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• Jhonatan Adiel Heredia Vazquez

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Licenciatura en Matemáticas Asignatura: Geometría Analítica I Unidad 1.- Introducción a la Geometría Analítica Actividad 1.-Ejercicios Alumna: Elda Josefina Vázquez Calderón Grupo: MT-MGAN1-2001-B2-003 Matricula: ES1822028919 Docente: M. en C. Cinthia Barrera Cadena

Geometría Analítica I ACTIVIDAD 1-UNIDAD 1 Instrucciones: I. Investiga los conceptos de distancia entre dos puntos, punto equidistante, traslación en el Plano, vector, vector geométrico y escalar. Distancia entre dos puntos: La distancia entre dos puntos está vinculada al plano cartesiano, ya que este permite calcular la distancia que existe entre ambos puntos, a partir de la ubicación de las coordenadas de ambos. Su fórmula es la siguiente:

Por su parte, cuando ambos puntos pasan del plano a la superficie terrestre, su distancia se calcula de otra manera. De acuerdo con la metodología  denominada fórmula del Haversine. Con referencia al plano cartesiano, el mismo se utiliza como un sistema de referencia para ubicar puntos en un plano. Y es a través de la ubicación de las coordenadas de dos puntos, que se puede calcular justamente la distancia entre ellos. De manera que cuando los dos puntos: –se hallan sobre el eje x (correspondiente a las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia es el valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) --se hallan sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta que está paralela a dicho eje. En tanto la distancia es el valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas (y1 – y2). Ejemplo:

Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2).

Si los puntos se hallan en cualquier otro lugar del sistema de coordenadas, la distancia entonces, queda establecida por la relación: Otra manera de calcularla es aplicando el Teorema de Pitágoras cuya fórmula es: a2 + b2 = c2. Su enunciado es. En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Para esto se debe ubicar cada punto en su respectiva coordenada por ejemplo: P1 (x1, y1 y P2 (x2, y2) y luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1 P2 y allí aplicar el teorema. En cuanto al cálculo de la distancia entre dos puntos terrestres, se calcula por la fórmula del Haversine o del semiverseno que es una ecuación astronómica que permite calcular la distancia de círculo máximo entre dos puntos del globo terráqueo sabiendo su longitud y su latitud. A través de esta ley de seversenos se relacionan los lados y ángulos de los triángulos esféricos. Punto Equidistante: La palabra equidistante se deriva del verbo equidistar, compuesto por el sufijo “equi-”, de raíz latina aequi-, que significa ‘igual’, y “distar”, del verbo latín distāre, que traduce ‘estar lejos’. En áreas como la Matemática, la Geometría, la Geometría analítica o el Dibujo técnico, la equidistancia se refiere a aquel punto, línea, plano o sólido que se encuentra a la misma distancia de otro punto, línea, plano o sólido determinado. Asimismo, podemos decir que un lugar es equidistante cuando consideramos que se encuentra a medio camino entre otros dos puntos de referencia. Traslación en el Plano: Traslación: es el movimiento directo de una figura en la que todos sus puntos:   

Se mueven en la misma dirección. Se mueven la misma distancia. El resultado de una traslación es otra figura idéntica que se ha desplazado una distancia en una dirección determinada.

Cuando movemos un mueble en una misma dirección lo estamos trasladando. El hecho de cambiar de posición una figura en un plano llamamos traslación. Se trata de trasladar una figura a un lugar del plano a una distancia, dirección y sentido determinados Ejemplo:

1º En una hoja de papel cuadrícula dibuja un eje de coordenadas. Señala los puntos: (-6,-2), (-9,-6) y (-2,-5) que serán los vértices del triángulo

2º Unes los puntos ABC del triángulo y dibujas un vector guía de traslación, lo tienes en color amarillo. Observa que el extremo de este vector tiene de componentes (10,7). Un modo sencillo de hacer una traslación es servirnos del vector guía. Para ello, a cada punto ABC del triángulo le colocamos el vector guía guardando el mismo módulo, dirección y sentido del vector guía tal como lo tienes en F.3 con los colores verde, rojo y azul. Los extremos de cada uno de los vectores verde, rojo y azul son los nuevos vértices del triángulo. Si sumas las componentes de cada punto A, B y C con los del vector guía tendrás los puntos correspondientes al nuevo triángulo.

El triángulo ABC se ha convertido en el A’B’C’ de acuerdo con el vector guía. Así pues, los vectores que unen los puntos ABC con A’B’C’ tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Los puntos A’,B’ y C’ son los homólogos de A, B y C, es decir, que están colocados en el mismo orden o posición.  Si sumamos las componentes del punto A = (–6, –2) con las del vector guía (10,7) obtenemos las componentes del punto A’ (–6 + 10, –2 + 7) = A’(4,5)  Si sumamos las componentes del punto B = (–9, –6) con las del vector guía (10,7) obtenemos las componentes del punto B’ (–9+ 10, –6+ 7) = B’ (1,1).  Si sumamos las componentes del punto C = (–2, –5) con las del vector guía (10,7) obtenemos las componentes del punto C’ (–2+ 10, –5+ 7) = C’(8,2)

Vector: Un Vector es un segmento de línea que con dirección y sentido, representa una magnitud física, forma parte fundamental de la Geometría, su representación gráfica consiste en una flecha, cuya punta va dirigida en dirección a la magnitud del estudio. En estudios matemáticos avanzados, el vector tiene gran importancia, ya que se utiliza para el estudio de funciones y la resolución de problemas en las que se busca la representación numérica y grafica de una función.

Vector geométrico: Un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación).

Un vector posee las siguientes características: Origen: Cuando un vector es usado, parte de un punto del cual tendrá como partirá para cumplir con su objetivo clave. Longitud: La cual es necesaria para el estudio matemático de la función en estudio, para obtenerla, es necesario calcular el modulo con los puntos de origen y llegada respectivamente elevados al cuadrado y dentro de una raíz. Dirección: Esta se visualiza dependiendo de la orientación que tenga en el espacio. Puede ser creciente o decreciente dependiendo de la magnitud en estudio. Sentido: Básicamente es hacia a donde apunta la punta de la flecha con la que es representado Un vector en estudios básicos se puede encontrar en el plano cartesiano, cuyas dos dimensiones permiten el estudio del comportamiento de puntos a fin de establecer parámetros y respuestas que den las respuestas de la función. Sin embargo, el estudio en 3D (en el espacio) se emplea vectores como ejes coordenados. A pesar que es usado generalmente en la Geometría, el Vector no deja de tener un significado abstracto, por lo que se emplea en áreas ajenas al cálculo matemático, como por ejemplo: En la informática, en la biología, en el estudio de mapas (cartografía) y muchos más Escalar: Se denomina escalar a los números reales, constantes o complejos que sirven para describir un fenómeno físico con magnitud, pero sin la característica vectorial de dirección. Formalmente es un tensor de rango cero. En términos matemáticos, se llama escalar a los elementos de un cuerpo (en algunos casos también a los elementos de un anillo), generalmente números, y en particular se usa cuando se quiere distinguirlos claramente de los vectores en el álgebra lineal y en cualquier rama que use módulos o espacios vectoriales.

II. Resuelve los siguientes ejercicios sin olvidar argumentar todos los pasos realizados. Nota: Cada ejercicio tiene un valor de 20 puntos. Cada inciso en los ejercicios tiene valor 20/número de incisos.

1. Demuestra que, en cada inciso, los tres puntos son los vértices de un triángulo isósceles. i. P (0; 1); Q (8; −7) y R (1; −6). 2

2

|⃗ PQ|= √( 8−0 ) + (−7−1 ) =√ 128 2

2

2

2

|⃗ QR|=√ ( 1−8 ) + (−6+7 ) =√ 65 |⃗ PR|=√ (1−0 ) + (−6−1 ) =√ 50 Es falso

ii. S (−4; 4); T (−2; −4) y U (6; −2) 2 2 |⃗ ST|=√ (−2+4 ) + (−4−4 ) =√ 68 2

2

|⃗ TU |=√ ( 6+2 ) + (−2+4 ) =√ 68 2

2

|⃗ SU |=√ ( 6 +4 ) + (−2−4 ) =√ 136 Triangulo Isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual. Por lo tanto es verdadero se comprueba con dos lados de √ 68 y uno de √ 136

2. Demuestra que, en cada inciso, los tres puntos son los vértices de un triángulo rectángulo, es decir, deberás verificar que se satisface el teorema de Pitágoras. Hint: Dibuja primero el triángulo en el sistema coordenado. i. P (6; 2); Q (2; −3) y R (−2; −2).

2

2

|⃗ PQ|= √ ( 2−6 ) + (−3−2 ) =√ 41

Y

2

2

|⃗ QR|=√ (−2−2 ) + (−2+3 ) =√ 17 (6,2) P

-X

X

(-2,2) R

2

2

|⃗ PR|=√ (−2−6 ) + (−2−4 ) =√ 80 El teorema de Pitágoras dice: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Suponiendo que la hipotenusa sea |⃗ PR|

(2,-3) Q -Y 2

( √ 80 ) = ( √ 41 ) ²+( √17)² 80=41+17 80≠ 58 por lo tanto no tiene un ángulo recto, y no es un triangulo rectángulo.

ii. P (2π; 2); Q (0; −1) y R (−2π; 2). = P (6.28; 2); Q (0; −1) y R (−6.28; 2).

2

2

|⃗ PQ|= √( 0−6.28 ) + (−1−2 ) =√ 48.44 2 2 |⃗ QR|=√ (−6.28−0 ) + ( 2+1 ) =√ 48.44

y

2

2

|⃗ PR|=√ (−6.28−6.28 ) + ( 2−2 ) =√ 157.75 (-6.28, 2) R (6.28, 2) P

-x

x

El teorema de Pitágoras dice: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Suponiendo que la hipotenusa sea |⃗ PR|

(0, -1) Q 2

( √ 157.75 ) =( √48.44 ) ²+( √ 48.44)² -y

157.75=48.44+48.44 157.75≠ 96.88 por lo tanto no tiene un ángulo recto, y no es un triángulo rectángulo.

3. En cada inciso, demuestra que, el punto P(x; y) es equidistante de los puntos Q(x1; y1); R(x2; y2) y T (x3; y3). . P (1; −2); Q (−11; 3); R (6; 10) y T (1; 11).

√

2

d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y1 )

2

2

2

2

2

|⃗ PR|=√ ( 6−1 ) + ( 10+2 ) =√ 16 9=13 |⃗ PT|=√ ( 1−1 ) + ( 11+2 ) =√ 169=13 2 2 |⃗ PR|=√ (−11−1 ) + ( 3+2 ) =√ 169=13

d |⃗ PR|=d|⃗ PT|=d|⃗ PR| El punto, línea, plano o sólido que se encuentra a la misma distancia de otro punto, línea, plano o sólido determinado por lo tanto es equidistante. ii. P (2; −3); Q (6; 0); R (−2; −6) y T (−1; 1).

√

2

d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y1 )

2

2 2 |⃗ PQ|= √( 6−2 ) + ( 0+3 ) =√ 25 2

2

|⃗ PT|=√ (−1−2 ) + ( 1+3 ) =√ 25

2

2

|⃗ PR|=√ (−2−2 ) + (−6+3 ) =√ 25

d |⃗ PR|=d|⃗ PT|=d|⃗ PR| 4. Demuestra que M

( a+2 c , b+2 d ) es el punto medio del segmento cuyos extremos

son los puntos S(a; b) y T (c; d). M (´x , ´y ) ´x =

x 1+ x 2 a+c = 2 2

´y =

y 1 + y 2 b +d = 2 2

M=

( a+c2 , b+d2 )

5. En cada inciso, calcule cuál es el par ordenado (x; y) tal que la flecha que va de P(x; y) a Q(x1; y1) representa el mismo vector que la flecha que va de S(x2; y2) a T (x3; y3). i. Q (6; −2); S (4; −7) y T (3; 1).

P= (5,6)

√

2

2

d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y1 ) 2 2 |⃗ Q P|= √( 5−6 ) + ( 6+2 ) =√ 6 5 2

2

|⃗ S T|=√ ( 3−4 ) + ( 1+7 ) =√ 6 5

ii. Q (6; −2); S (4; −7) y T (3; 1). (es lo mismo) Referencias

Unadm Matemáticas/Geometría analítica 1/Contenido Nuclear/Unidad Introducción a la Geometría Analítica/México D.F. Diciembre 2015.

1

IPN (2006). Geometría Analítica. Libro para el estudiante, México IPN-Dirección de publicaciones página 132. Fuller G. & Tarwater, F. (1995). Geometría Analítica (séptima edición) México: Pearson Educación.