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Diferenciación e integración numéricas

Derivadas e integrales Concepto de derivada  y f  x i  x− f  x i  Cociente incremental = x x f  x i  x− f  x i  dy Derivada = lim d x  x0 x

Derivadas e integrales Concepto de integral definida b

I =∫ f ( x) dx a

b

n

∫ f  x  dx= lim ∑ f  x i  x a

 x  0 i=1 n∞

Suma de Riemann

Suma de Riemann

Derivadas e integrales Relación entre derivadas e integrales: posición versus velocidad d v t = y t  dt t

y t =∫ v t  dt 0

Tipos de funciones Tipo de función a integrar o diferenciar: Función continua simple

métodos analíticos

(polinomio, exp., trigon., etc.) Función continua complicada

métodos numéricos

Función tabulada

métodos numéricos

Métodos sin computadora

Métodos sin computadora

Métodos sin computadora

Aplicaciones

Diferencias ●

●

Métodos analíticos: cambian según el tipo de función --> tablas de derivadas e integrales Métodos numéricos: se aplican de igual forma a todas las funciones

Orientación

Integración numérica Problema de integración numérica: se quiere aproximar la integral definida de una función f(x) en un intervalo [a,b] evaluando f(x) en un número finito de puntos.

b

I =∫ f ( x) dx a

Fórmulas de integración de Newton-Cotes Se basan en reemplazar el integrando por un polinomio: b

b

I =∫ f  x dx≈∫ P n  x dx a

a

2

P n ( x)=a 0 + a1 x+ a 2 x +...+a n−1 x 1º Grado

h

Trapecio

n−1

+ an x

2º Grado

h

h

Simpson 1/3

n

3º Grado

h

h

h

Simpson 3/8

Fórmulas de integración de Newton-Cotes Aplicación múltiple (fórmula compuesta)

h

Segmentos de igual longitud h

Forma cerrada

Forma abierta

Fórmulas de integración de Newton-Cotes Se eligen n+1 puntos {x0,...,xn} en el intervalo [a,b], y se aproxima f(x)  con un polinomio de Lagrange de grado n :  n

f ( x)≈ P n ( x )=∑ f ( x i ) L i ( x ) i=0

b

b

n

∫ f ( x ) dx  ≈  ∫ ∑ f ( x ) L ( x ) dx  = a

a

i=0

i

i

n

∑ ai f ( x i ) i=0 ⏟ Fórmula de integración

b

donde

ai =∫ L i ( x) dx a

para

i=0,1,⋯, n

Regla del Trapecio P(x): polinomio de primer grado

n=1 f ( x)≈ P 1 ( x) P 1 ( x )= b

x−x 1 x 0− x 1 x1

∫ f ( x) dx≈∫ a

x0

[

[

f ( x 0 )+

x− x 1 x 0− x 1

x− x 0 x 1− x 0

f ( x 0 )+ 2

x−x 0 x 1− x 0

f ( x1)

]

f ( x 1) dx 2

]

x1

1 ( x− x 1 ) 1 ( x−x 0 )                       = f ( x 0 )+ f ( x 1) 2 x0− x1 2 x1 −x 0 x

0

Regla del Trapecio b

∫ f ( x ) dx≈

x 1− x 0 2

a

b

∫ f ( x ) dx≈

x 1− x 0 2

a

f ( x 1 )−

f ( x 1 )+

x 0 −x 1 2

x 1− x 0 2

f ( x0 )

f ( x 0)

b

f ( x 0 )+ f ( x 1)

x −x ) ∫ f ( x ) dx≈(⏟ 2 1

a

0

Regla del trapecio  I T

Regla del Trapecio b

∫ f ( x) dx a

≈ ancho × altura promedio

Ejemplo 21.1 pág. 634 Integrar, desde a = 0 a b = 0.8, 2

3

4

f  x=0.225 x−200 x 675 x −900 x 400 x

La solución exacta es

3076 I= ≈1.640533333333333 1875

5

Error de la regla del trapecio* Partiendo de la serie de Taylor: I

II

f ( x )= f ( x 0 )+ f ( x 0 )( x− x 0 )+ f (ξ1 )

( x− x 0 )2 2!

Sustituyendo a z = x – x0 , dz = dx, e integrando x 1 =b

∫

x 0 =a

x1 − x 0

f ( x ) dx=

∫ 0

x 1 −x 0

f (z + x 0 ) dz= f ( x 0 )

∫ 0

x 1 −x 0 I

dz + f ( x 0 )

∫

2

I

                   = f ( x 0 )( x 1 −x 0 )+ f ( x 0 )

( x 1 −x 0 ) 2

0

x 1 −x 0 II

z dz + f (ξ1 )

∫ 0

z2 dz 2

3

II

+ f ( ξ1 )

( x 1−x 0 ) 6

reemplazamos la primera derivada por una diferencia finita dividida hacia adelante: I

f ( x 0 )=

f ( x 1 )− f ( x 0 ) ( x 1−x 0 )

II

− f ( ξ2 )

( x 1 −x 0 ) 2

Error de la regla del trapecio 2

b

∫ f ( x)dx= f ( x 0 )( x 1− x 0 )+ a

(x 1− x 0 ) 2

[

f (x 1 )− f (x 0 ) ( x 1− x 0 )

II

− f ( ξ2 )

( x 1− x 0 ) 2

]

3

II

+ f ( ξ1 )

( x 1− x 0 ) 6

3

3

f ( x 1)− f ( x 0 ) ( x 1− x 0 ) ( x 1− x 0 ) II II = f ( x 0 )( x 1− x 0 )+ ( x 1− x 0 )− f ( ξ 2 ) + f ( ξ 1) 2 4 6

Se puede demostrar que ξ 1= ξ2 , llegándose finalmente a: b

∫ a

f ( x 0 )+ f ( x 1)

1 II 3 f ( x ) dx =( x 1−x 0 ) − f ( ξ )( x 1− x 0 ) 2 12 ⏟ ⏟ Regla del Trapecio

Error de truncamiento        verdadero  E t

Error de la regla del trapecio 1 II 3 E t =− f (ξ) h 12

Error de truncamiento verdadero

1 ¯II E a =− f ( x )h3 12

Error de truncamiento aproximado

Resultado exacto para polinomios P n ( x ) de grado n≤1.

Ejemplo 21.1 pág. 634 0.2+0.232 f (0)=0.2 ; f (0.8)=0.232 ⇒ I Trap =0.8 =0.1728 2

E t =1.640533−0.1728=1.467733 ⇒  t =89.5 %

Estimación del error f II (x )=8000 x 3−10800 x 2 + 4050 x−400 0.8

f¯II (x )=

3 2 8000 x −10800 x +4050 x−400 dx ∫ 0

0.8−0

1 E a=− −600.83 =2.56 12

=−60

Ejemplo 21.1 pág. 634

La regla del trapecio de aplicación múltiple (regla compuesta)

La regla del trapecio de aplicación múltiple (regla compuesta) Se divide el intervalo [a,b] en n segmentos de igual longitud h=(b­a)/n:

b−a h= n

La regla del trapecio de aplicación múltiple (regla compuesta) x1

b

x2

xn

∫ f ( x) dx=∫ f ( x) dx +∫ f ( x) dx +...+ ∫ a

x0

b

∫ f ( x ) dx ≈ I =h

x1

f ( x 0 )+ f ( x 1 )

T

2

a

[

+h

f ( x) dx

x n−1

f ( x 1 )+ f ( x 2 )

n−1

2

f ( x n−1 )+ f ( x n )

+...+h

h I T = f ( x 0 )+2 ∑ f ( x i )+ f ( x n ) 2 i=1

2

]

La regla del trapecio de aplicación múltiple (regla compuesta) 3

(b−a) E t =− 12 n3

n

∑ i=1

Error de truncamiento verdadero

f II ( ξi ) n

∑

considerando

i=1 f¯II =

f II ( ξi ) n

se tiene 3

(b−a) ¯II E a =− f 2 12 n 1 2 II =− h (b−a) f¯ 12

Error de truncamiento aproximado

Regla compuesta del trapecio: Pseudocódigo     

iniciar a, b, n definir funcion f h = (b­a)/n; x = a; s = 0 repetir para i desde 0 hasta n:    si i==0  o  i==n:       s = s + f(x)    en caso contrario:       s = s + 2*f(x)    x = x + h I = s*h/2

Ejemplo 21.2, pag. 628 Usar la regla del trapecio con 2 segmentos para calcular la integral entre a = 0 y b = 0.8 de 2

3

4

f  x=0.225 x−200 x 675 x −900 x 400 x

5

Solución. Para n = 2, h = 0.4: f 0=0.2 ; f 0.4=2.456 ; f 0.8=0.232 0.2+2(2.456)+0.232 I T =0.8 =1.0688 4 E t =1.640533−1.0688=0.57173 ;  t =34.9 %

E a=−

0.83 12 2

2

−60=0.64

Ejemplo 21.2, pag. 628 Código en Octave: trapecio.m ● Código en Python: trapecio.py ● Planilla de cálculo: trapecio.ods ●

Reglas de Simpson Regla 1/3 de Simpson: P(x) de segundo grado

b−a h= 2 Regla 3/8 de Simpson: P(x) de tercer grado

b−a h= 3

Regla 1/3 de Simpson P(x): polinomio de segundo grado

f ( x)≈ P 2 ( x)

n=2 P 2 ( x)= x2

I≈∫ x0

[

( x− x 1)( x−x 2 ) ( x 0 − x 1)( x 0− x 2 )

( x− x 1)( x− x 2 ) ( x 0− x 1)( x 0− x 2 )

f ( x 0 )+

f ( x 0 )+

( x− x 0 )( x− x 2 ) ( x 1− x 0 )( x 1− x 2 )

( x−x 0 )( x−x 2 ) ( x 1−x 0 )( x 1−x 2 )

f ( x 1 )+

f ( x 1)+

( x−x 0 )( x−x 1 ) ( x 2 −x 0 )( x 2 −x 1)

( x−x 0 )( x−x 1) ( x 2 −x 0 )( x 2 − x 1)

f ( x 2)

]

f ( x 2 ) dx

Integrando y sustituyendo a x 2 =x 1 +h , x 0 = x 1−h : IS

1/3

f ( x 0 )+ 4 f ( x 1 )+ f ( x 2 ) h = [ f ( x 0 )+4 f ( x 1 )+ f ( x 2 ) ] =(b−a) ⏟⏟ 3 6 ancho

altura promedio

Error de la regla 1/3 de Simpson Mediante un procedimiento similar al utilizado para la regla del trapecio se obtienen: Error de truncamiento verdadero 1 5 IV (b−a)5 IV E t =− h f ( ξ )=− f (ξ) 90 2880

Error de truncamiento aproximado 1 5 ¯IV (b−a)5 ¯IV E a =− h f ( ξ )=− f (ξ) 90 2880

Da resultados para polinomios cúbicos, aun cuando su fórmula se obtenga de una parábola!!!

Ejemplo 21.4, pág. 633 Integrar entre a = 0 y b = 0.8 f  x=0.225 x−200 x 2 675 x 3−900 x 4400 x 5

Solución. f 0=0.2 ; f 0.4=2.456 ; f 0.8=0.232 0.2+4(2.456)+0.232 I S =0.8 =1.367467 6 E t =1.640533−1.367467=0.2730667 ;  t =16.6 % 1/3

f IV  x =48000 x−21600 0.8

IV  f =

∫ 48000x−21600 dx 0

0.8−0

0.85 E a=− −2400=0.2730667 2880 =−2400

La regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple Se divide el intervalo [a,b] en n segmentos de igual longitud:

b−a h= n n : número par b

x2

x4

xn

∫ f ( x) dx=∫ f ( x)dx +∫ f ( x)dx +...+ ∫ a

b

h

x0

x2

h

f ( x) dx

x n− 2

h

∫ f ( x ) dx≈ 3 [ f ( x 0 )+4 f ( x1)+ f ( x 2 )] + 3 [ f ( x 2 )+ 4 f ( x 3)+ f ( x 4) ] +... + 3 [ f ( x n−2 )+4 f ( x n−1)+ f ( x n )] a

La regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple IS

1/ 3

h = [ f (x 0 )+ 4 f (x 1 )+2 f ( x 2 )+...+2 f (x n−2 )+4 f ( x n−1)+ f (x n ) ] 3 IS

1/ 3

[

n−1

n−2

h = f ( x 0 )+ 4 ∑ f ( x i )+2 ∑ f ( x i )+ f ( x n ) 3 i =1,3,5,.. i=2,4,6,. . n−1

f ( x 0 )+ 4 I S =(b−a) ⏟ 1/ 3

ancho

∑

i=1,3,5,..

]

n−2

f ( x i )+2

∑

i =2,4,6,. .

f ( x i )+ f ( x n )

3n ⏟ altura promedio

Error de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple n

1 5 IV E t =− h ∑ f ( ξi ) 90 i=2,4,6. ..

Error de truncamiento verdadero

n

∑

considerando

i =1 f¯IV =

f IV ( ξ i ) n /2

se tiene 5

(b−a) ¯IV E a =− f 4 180 n 1 4 IV =− h (b−a) f¯ 180

Error de truncamiento aproximado

Regla compuesta de Simpson 1/3: Pseudocódigo iniciar a, b, n     

definir funcion f h = (b­a)/n; x = a; s = 0 repetir para i desde 0 hasta n:    si i==0  o  i==n:       s = s + f(x)    en caso contrario si i%2==0:       s = s + 2*f(x)    en caso contrario:       s = s + 4*f(x)    x = x + h I = s*h/3

Ejemplo 21.5 Integrar entre a = 0 y b = 0.8 f  x=0.225 x−200 x 2 675 x 3−900 x 4400 x 5

Solución. x

f(x)

0

0.2

0.2

1.288

0.4

2.456

0.6

3.464

0.8

0.232

I S =0.8 1/ 3

E t =1.640533−1.623467=0.017067 ; εt =1.04 % E a =−

●

0.2+ 4(1.288+3.464)+ 2(2.456)+ 0.232 =1.623467 12

0.8

5

180(4)

4

(−2400)=0.017067

Planilla de cálculo: simpson13.ods

Regla 3/8 de Simpson Se integra un polinomio de tercer grado: 3

3

 x−x j  P 3 x=∑ ∏ i=0 j=0  x i −x j  j≠i

x2

I ≈∫

[

3

3

( x− x j )

∑ ∏ ( x −x )

x 0 i=0 j=0 j≠i

i

j

]

dx

Integrando y sustituyendo a x i = x 0 +i⋅h , siendo h=(b­a)/ 3: IS

3/ 8

f ( x 0 )+3 f ( x 1 )+3 f ( x 2 )+ f ( x 3 ) 3h = f ( x 0 )+3 f ( x 1 )+3 f ( x 2 )+ f ( x 3 ) ] =(b−a) [ ⏟⏟ 8 8 ancho

altura promedio

3 5 IV (b−a)5 IV Error de truncamiento: E t =− h f ( ξ )=− f ( ξ) 80 6480

Resultado exacto para polinomios P n ( x ) de grado n≤3.

Ejemplo 21.6. pag. 637 Integrar entre a = 0 y b = 0.8 f  x=0.225 x−200 x 2 675 x 3−900 x 4400 x 5

a) con la regla de Simpson 3/8 b) En 5 intervalos, usando las reglas 1/3 y 3/8 de Simpson

a) Se divide en 3 partes iguales x

f(x)

0

0.2

0.533333

3.487177

0.266667

1.432724

0.8

0.232

IS

3 /8

0.2+3(3.487177+1.432724)+0.232 =0.8 =1.519170 8

E t =1.640533−1.519170=0.1213630 ; εt =7.4 % 5

E a=−

0.8 (−2400)=0.1213630 6480

Ejemplo 21.6. pag. 637 b) Se divide en 5 segmentos (h = 0.16): x

●

f(x) 0

0,200000

0,16

1,296919

0,32

1,743393

0,48

3,186015

0,64

3,181929

0,80

0,232000

I =I 1I 2 =1.645077 E t =−0.00454383  t =−0.28 %

Planilla: simpson3_8.ods

0.16 I 1= 0.24×1.2969191.743393=0.380324 3 3 I 2= 0.16 [1.74339333.1860153.1819290.232 ]=1.264753 8

Algoritmos ●

●

Código en Octave regla 1/3 de simpson compuesta: simpson1_3.m Código en Python regla 1/3 de simpson compuesta: simpson1_3.py

Otras fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas de Newton-Cotes: integrales.pdf

Integración con segmentos desiguales Apropiada para datos experimentales Por ejemplo, con la regla trapezoidal: I ≈ h1

f ( x 0 )+ f ( x 1 ) 2

+h 2

f ( x 1 )+ f ( x 2 ) 2

+...+h n

f ( x n−1 )+ f ( x n ) 2

Ejemplo 21.7 pag. 640 Integrar a partir de los datos: x

f(x) 0,00

0,200000

0,12

1,309729

0,22

1,305241

0,32

1,743393

0,36

2,074903

0,40

2,456000

0,44

2,842985

0,54

3,507297

0,64

3,181929

0,70

2,363000

0,80

0,232000

●

solución en 21_7.ods

Ejemplo 21.8 pag. 641 x

●

f(x) 0,00

0,200000

0,12

1,309729

0,22

1,305241

0,32

1,743393

0,36

2,074903

0,40

2,456000

0,44

2,842985

0,54

3,507297

0,64

3,181929

0,70

2,363000

0,80

0,232000

Solución en 21_8.ods

Problemas 21.1 a 21.23 pag. 645

Límite de precisión de las fórmulas de Newton-Cotes n : número de segmentos Muchas evaluaciones de f(x) para alcanzar alta precisión. Para n grandes predomina el error de redondeo.

Integración Numérica Eficiente de Funciones Se conoce la expresión de f(x). Extrapolación de Richardson: se usan dos estimaciones numéricas de una integral con el mismo orden del error de truncamiento, para obtener una tercera estimación más exacta. Algoritmo de Romberg: usa la regla compuesta del trapecio para obtener estimaciones preliminares, aplicando luego el proceso de Extrapolación de Richardson para mejorar las aproximaciones.

Extrapolación de Richardson El valor exacto I de una integral definida consta de la estimación y el error correspondiente de la fórmula de integración numérica usada:

I =I (h)+ E (h)

Aplicada con dos pasos distintos, siendo h1>h2:

I (h 1 )+ E (h 1 )=I (h 2 )+ E (h 2 ) Usando la regla del trapecio compuesta, el error de truncamiento se aproxima: 3

(b−a) ¯II (b−a) 2 ¯II E≈− f =− h f 2 12 12 n

Extrapolación de Richardson II Suponiendo f¯ ≈cte para todo tamaño de paso h, se puede 2 2 escribir:

E (h1 ) h1 h1 ≈ 2 ⇒ E (h 1 )≈ E (h 2 ) E (h 2 ) h 2 h2

( )

Reemplazando,

2

h1 I (h 1 )+ E (h 2 ) ≈ I (h 2 )+E (h 2 ) h2

( )

despejando,

E (h 2 )≈

I (h1 )−I (h 2 ) 1− ( h 1 /h 2 )

2

Extrapolación de Richardson reemplazando,

I =I (h 2 )+E (h 2 )≈...≈ I (h 2 )+

I (h 2 )−I (h 1 ) 2

( h 1 /h 2 ) −1

Se puede demostrar que el error es del orden de O(h4).

En el caso en que I ≈I (h 2 )+

h 2 = h1 / 2

I (h 2 )−I (h 1 ) 2

2 −1

4 1 = ... = I (h 2 )− I (h 1) 3 3

Ejemplo 22.1 pag. 652 Integrar entre a = 0 y b = 0.8 f  x=0.225 x−200 x 2 675 x 3−900 x 4400 x 5

De la aplicación de la regla del trapecio, n           h                 I             et(%) 1      0.8000      0.1728        89.5       2      0.4000      1.0688        34.9       4      0.2000      1.4848          9.5

Con 1 y 2 segmentos,

4 1 I≈ 1.0688− 0.1728=1.367467 ⇒ ...εt =16.6 % 3 3

Con 2 y 4 segmentos,

4 1 I ≈ 1.4848− 1.0688=1.623467 ⇒ ...εt =1.0 % 3 3

Extrapolación de Richardson Se puede demostrar que:

IS

1/ 3

4 1 4 (h 2 )= I T (h 2 )− I T (h 1)+O (h ) 3 3

A partir de dos estimaciones de O(h4), realizando el mismo procedimiento usado para la regla del trapecio, se llega a:

I ≈I (h 2 )+ En el caso en que

I (h 2 )−I (h 1 )

( h 1 /h 2 )

4

−1

h2 = h 1 / 2

16 1 6 I = I h 2 − I h1 Oh  15 15

Ejemplo 22.2 pag. 653 Obtener una estimación de O(h6) a partir del ejemplo 22.1: 16 1 I ≈ 1.623467− 1.367467=1.640533 15 15

Extrapolación de Richardson: Caso General * A partir de dos estimaciones de O(hn), se obtiene una aproximación de O(hn+2):

I =I (h 2 )+

I (h 2 )−I (h1 )

En el caso en que

I =I (h 2 )+

( h1 / h2 )

n

+O (h

n+ 2

)

−1

h2 = h 1 / 2

I (h 2 )− I (h1 ) n

2 −1

+O (h

n+2

)

Algoritmo de Romberg En general, I j , k=

4

k −1

I j1, k−1−I j , k−1 4

k −1

−1

k : nivel de integración j : estimación Por ejemplo, para k = 2 y j = 1, I 1,2 =

4

2−1

I 2,1−I 1,1

4 2−1−1

4 I 2,1−I 1,1 = 3

Algoritmo de Romberg La iteración continúa hasta que

∣

∣ a∣=

I 1, k −I 1, k −1 I 1, k

∣

100 % s

●

Planilla de cálculo: romberg.ods

●

Código en Octave: romberg.m

●

Código en Octave: romberg.py

Problemas ●

22.1 a 22.3

●

22.9 a 22.11

●

22.14 y 22.15

Diferenciación numérica Recordando que a partir de la serie de Taylor: f ( x i+ 1 )= f ( x i )+ f ' ( x i ) h+

f ' ' ( xi ) 2!

2

h+

f ' ' ' ( xi) 3!

3

h + ...

Es posible obtener: f ' ( x i )=

f ( x i+ 1 )− f ( x i ) h

−

f ' ' ( xi ) 2

2

h+ O( h )

Que se puede escribir como: f '( x i )=

f ( x i+ 1 )− f ( x i ) h

+ O( h)

Diferencia finita dividida hacia adelante

Diferenciación numérica En forma similar se obtenían f '( x i )=

f ( x i )− f ( x i−1 ) h

+ O( h) Primera diferencia finita dividida hacia atrás

y f '( x i )=

f ( x i+ 1 )− f ( x i− 1 ) 2h

2

+ O( h ) Primera diferencia finita dividida centrada

Diferenciación numérica Si escribimos f ( x i+ 2 )= f ( x i )+ f ' ( x i ) 2 h+

f ' ' ( xi) 2!

2

( 2 h) +

f ' ' ' ( x i) 3!

3

( 2 h) + ...

Ahora hacemos 2

f ( x i+ 2 )− 2 f ( x i+ 1 )=...=− f ( x i )+ f ' ' ( x i ) h + ...

despejando, f ' ' ( x i )=

f ( x i+ 2 )− 2 f ( x i+1 )+ f ( x i ) h

2

+ O( h) Segunda diferencia finita dividida hacia adelante

Diferenciación numérica En forma similar, haciendo f ' ' ( x i )=

f ( x i )− 2 f ( x i− 1 )+ f ( x i−2 ) h

2

En forma similar, haciendo f ' ' ( x i )=

f ( x i+ 1 )− 2 f ( x i )+ f ( x i−1 ) h

2

f ( x i− 2 )−2 f ( x i−1 ) + O( h) Segunda diferencia finita dividida hacia atrás

f ( x i+ 1 )+ f ( x i−1 ) 2

+ O( h ) Segunda diferencia finita dividida centrada

Diferenciación numérica Sustituyendo

f ' ' ( x i )=

en f '( x i )=

f ( x i+ 2 )− 2 f ( x i+ 1 )+ f ( x i ) h

2

f ( x i+ 1 )− f ( x i ) h

−

f ' ' ( xi ) 2

+ O( h) 2

h+ O( h )

se llega a f '( x i )=

f ( x i+ 1 )− f ( x i ) h

Es decir f '( x i )=

−

[

f ( x i+ 2 )−2 f ( x i+1 )+ f ( x i ) 2h

2

− f ( x i+ 2 )+ 4 f ( x i+ 1 )− 3 f ( x i ) 2h

]

2

+ O( h) h+ O( h )

2

+ O( h )

Fórmulas de diferencias finitas divididas En forma similar se obtienen las fórmulas indicadas en derivadas.pdf

Ejemplo 23.1 pag. 671 Encontrar la derivada de f(x) en x = 0.5 4

3

2

f ( x )=−0.1 x −0.15 x −0.5 x −0.25 x +1.2

Valor exacto: 3 2 f ' (0.5)=−0.3×0.5 −0.45×0.5 −0.5−0.25=−0.9125

Ejemplo 23.1 pag. 671 Con fórmulas de exactitud O(h):

x

f(x)

0

1.2

0.25

1.103516

0.5

0.925

0.75

0.6363281

1

0.2

0.925−1.103516 f ' (0.5)= =−0.714 ; εt =21.7 % 0.25 Diferencia finita dividida hacia atrás 0.6363281−0.925 f ' (0.5)= =−1.155 ; εt =−26.5 % 0.25

Diferencia finita dividida hacia adelante

Con fórmulas de exactitud O(h2): 0.6363281−1.103516 f ' (0.5)= =−0.934 ; εt =−2.4 % 2×0.25 Diferencia finita dividida centrada

Ejemplo 23.1 pag. 671 Con fórmulas de exactitud O(h2):

x

f(x)

0

1.2

0.25

1.103516

0.5

0.925

0.75

0.6363281

1

0.2

−0.2+ 4×0.6363281−3×0.925 f ' (0.5)= =−0.859375 ; εt =5.82 2×0.25 Diferencia finita dividida hacia adelante 3×0.925−4×1.103516+1.2 f ' (0.5)= =−0.878125 ; εt =3.77% 2×0.25 Diferencia finita dividida hacia atrás

Con fórmulas de exactitud O(h4): −0.2+8×0.6363281−8×1.1035156+1.2 f ' (0.5)= =−0.9125 ; εt =0 % 12×0.25 Diferencia finita dividida centrada

Extrapolación de Richardson También se puede aplicar a las derivadas (O(h²)): D≈D h 2 

Si h2 = h1 / 2 :

D h 2 −D h1  2

 h1 /h2  −1

4 1 D≈ Dh 2 − Dh 1  3 3

Extrapolación de Richardson: Caso General * A partir de dos estimaciones de O(hn), se obtiene una aproximación de O(hn+2):

D=D (h 2 )+ En el caso en que

D= D(h 2 )+

D (h 2 )−D(h1 )

( h1 / h 2 )

n

+O (h

n+ 2

−1

h2 = h 1 / 2

D (h 2 )−D(h1 ) n

+O (h

2 −1 Se puede usar el algoritmo de Romberg

n+2

)

)

Ejemplo 23.2 pag 672 Calcular la primera derivada en x = 0.5 4

3

2

f ( x)=−0.1 x −0.15 x −0.5 x −0.25 x +1.2

Con fórmulas centradas, pasos 0.5 y 0.25: 0.2−1.2 f ' (0.5)= =−1.0 ; εt =−9.6 % 2×0.5 0.6363281−1.103516 f ' (0.5)= =−0.934375 ; εt =−2.4 % 2×0.25

extrapolando,

4 1 f ' (0.5)= (−0.934375)− (−1)=−0.9125 ; εt =0 % 3 3

Derivadas e integrales para datos con errores ●

Datos empíricos

●

La diferenciación numérica tiende a amplificar los errores

●

●

Se prefiere ajustar por mínimos cuadrados un polinomio de bajo grado y derivarlo.

La integración (por ser una suma) tiende a compensar los errores y es mucho más estable

Problemas 23.1 a 23.27 pag. 679

Estudio de casos Determinación de la cantidad total de calor El calor necesario para incrementar la temperatura de un material es Δ H =m c Δ T

Donde la capacidad calorífica c puede variar con la temperatura: c(T )=0.132+1.56×10−4 T +2.64×10−7 T 2

Calcular el calor necesario para elevar la temperatura de 1000 g de ese material desde ­100 a 200 °C.

Determinación de la cantidad total de calor Solución: el incremento de temperatura se calcula T como 2

Δ H =m ∫ c(T )dT T1

Se aplica la regla del trapecio. Solución en caso24_1.m

Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de vela de carreras

30

z −2 z / 30 F =∫ 200 e dz 5+z 0

( )

Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de vela de carreras La posición de la fuerza viene dada por: 30

∫ z f (z)dz d=

0 30

∫ f (z)dz 0

Determinar la fuerza T en el cable. Determinación de F y d en planilla de cálculo: caso24_2.ods F = 1480,56 lb d = 13,05 ft

Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de vela de carreras Ecuaciones de equilibrio:

∑ F H =0=F−T sin θ−H ∑ F V =0=V −T cosθ ∑ M 0 =0=3V −F d F d 1480.6×13.05 V= = =6440.6 lb 3 3 6440.6 V T= = =6473lb cos θ 0.995 H =F −T sin θ=1480.6−6473×0.0995=836.54 lb

Cálculo del trabajo Trabajo: W =F ×d

Si F es cte

xn

W =∫ F ( x) dx x0

Si θ no es constante: xn

W =∫ F ( x)cos [θ( x)] dx x0

Cálculo del trabajo Datos

x, ft

F(x), lb

θ, rad

F(x) cos θ

0

0,0

0,50

0,0000

5

9,0

1,40

1,5297

10

13,0

0,75

9,5120

15

14,0

0,90

8,7025

20

10,5

1,30

2,8087

25

12,0

1,48

1,0881

30

5,0

1,50

0,3537

Solución en caso24_4.ods

Problemas 24.1 a 24.55 pag. 693