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• Ian Oscar Gomez Huamani

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Métodos de diferenciación e integración

Integrantes: Pilares P. Ivan (20180520B) Cruzado C. Eder (20182188E) Rosas Lucas. Dennis (20161353G) Ian Gómez Huamani 20180612D Curso: Método Numérico, PQM-311, sección B, FIP

Docente: Msc. Jean Paul Lozano Pérez-Jefe de práctica

AÑO:

2020

Índice

1.

RESUMEN.............................................................................................................................1

1

MARCO TEORICO..................................................................................................................1 1.1

Diferenciación numérica...............................................................................................1

1.1.1

Fórmulas para 3 puntos........................................................................................2

1.1.2

Fórmulas para 5 puntos........................................................................................2

1.2

INTEGRACION NUMERICA............................................................................................3

1.2.1

Elementos de integración numérica.....................................................................3

1.2.2

La regla Trapezoidal..............................................................................................3

1.2.3

Regla de Simpson..................................................................................................4

1.2.4

Fórmulas de Newton-Cotes cerradas....................................................................7

1.2.5

Fórmulas de Newton-Cotes abiertas....................................................................8

1.2.6

Integración numérica compuesta.......................................................................10

Explicado gráficamente......................................................................................................11 Regla compuesta de Simpson.............................................................................................11 1.2.7

Integración numérica múltiple...........................................................................11

2

APLICACIONES....................................................................................................................15

3

CONCLUCIONES..................................................................................................................21

4

BIBLIOGRAFIA.....................................................................................................................21

1. RESUMEN El presente informe busca explica la forma en la que se usa los métodos numéricos para calcular la derivada en un punto discreto usando valores cercanos a ese punto podríamos a próxima un valor para la derivada además de aportar también en la parte de integración numérica nos apoyaremos en la fórmula del trapecio para generar una formula general para la aproximación de esa integral esto nos ayudara en los momentos en donde no coscamos la función y solo tenemos datos discretos, ya que en la mayoría de las veces los datos obtenidos son datos discretos en los cuales si para su análisis sería necesario la integración o su derivada en dichos puntos estos métodos serían muy útiles conociendo que tan próximo son los datos generado y conociendo como es que varía el error en cada método para poder aplicarlos eficientemente. 1 MARCO TEORICO 1.1 Diferenciación numérica El método de diferenciación numérica es usado para aproximar la derivada en un punto discreto en la cual buscaremos valores pequeños para el ‘’h’’ con el objetivo de obtener un menor error al momento de utilizar este método de aproximación. Para el modelamiento de la solución de este método nos apoyaremos en el polinomio de LaGrange con valores de ‘’h’’ constante.

Ahora derivaremos el polinomio hallado.

Dado que no tenemos información sobre Dx no podríamos hallar el error por truncamiento, pero al hacer que los valores de x y x0 sean el mismo esa parte se simplificara obteniendo la siguiente formula.

Generalizando para n términos obtendremos.

pág. 1

Derivando y simplificando cuando x sea igual a x0 obtendremos.

Po el cual a partir de esta generalización obtendremos demostraremos todos los valores de las derivadas. 1.1.1 Fórmulas para 3 puntos Formula del extremo para 3 puntos:

Formula de punto medio para 3 puntos:

Ejemplo: 1.1.2 Fórmulas para 5 puntos Formula del extremo en 5 puntos:

Formula de punto medio para 5 puntos:

Ejemplo:

pág. 2

Analizando el error por cotas generado por aproximación obtendríamos.

En donde los valores de e(x0+h) y e(x0-h) son el error por cota por lo tanto el error total generado por esta aproximación seria.

Por lo tanto el error generado por la aproximación queda acotado por la siguiente formula.

En el cual observamos que mientras más pequeño sea el h más grade será el error producido por la cota. 1.2 INTEGRACION NUMERICA 1.2.1 Elementos de integración numérica A menudo surge la necesidad de evaluar la integral definida de una función que no tiene una antiderivada o cuya antiderivada no es fácil de obtener. El método básico asociado con la b

aproximación de ∫ f (x )dx recibe el nombre de cuadratura numérica. Éste utiliza una suma a

b

n

∑ aif ( xi)

para aproximar

i=0

∫ f (x )dx .

Los métodos de cuadratura en se basan en los

a

polinomios de interpolación que se han explicado en clase. La idea básica es seleccionar un conjunto de nodos distintos {x0, ..., xn} del intervalo [a, b]. Entonces integramos el polinomio interpolante de Lagrange

1.2.2

La regla Trapezoidal b

Para derivar la regla trapezoidal (o regla del trapecio) para aproximar ∫ f ( x )dx ., sean x0 = a, a

x1 = b, h = b−a y utilice el polinomio de Lagrange

Entonces

pág. 3

El producto (x −x0)(x −x1) no cambia de signo en [x 0, x1], por lo que el teorema del valor promedio ponderado para integrales 1.13 se puede aplicar al término de error para obtener, para algunos j en (x0, x1),

Por medio de la notación h = x1 − x0 obtenemos la siguiente regla: Regla Trapezoidal

Esto recibe el nombre de regla trapezoidal porque cuando f es una función con valores positivos, b a f(x) dx se aproxima mediante el área de un trapecio, como se muestra en la figura anterior. En gráfica

El término de error para la regla trapezoidal implica f 0, por lo que la regla da el resultado exacto cuando se aplica a cualquier función cuya segunda derivada es idénticamente cero, es decir, cualquier polinomio de grado uno o menos. 1.2.3 Regla de Simpson La regla de Simpson resulta de la integración sobre [a, b] del segundo polinomio de Lagrange con nodos igualmente espaciados x0 = a, x2 = b, y x1 = a + h, en donde h = (b − a) /2.

pág. 4

Al deducir la regla de Simpson de esta forma, sin embargo, da un solo término de error O(h 4) relacionado con f(3) . Al aproximar el problema de otra forma, se puede derivar otro término de orden superior relacionado con f (4) . Para ilustrar este método alternativo, suponga que f se expande en el tercer polinomio de Taylor alrededor de x1. Entonces, para cada x en [x0, x2], existe un número ε (x) en (x0, x2) con

4

Puesto que ( x−x 1) nunca es negativo en [x0, x2], el teorema de valor promedio ponderado para las integrales 1.13 implica que

para algún número ε 1 en (x0, x2). Sin embargo, h=x 2−x 1=x1 −x0 , por lo que

pág. 5

Mientras

Por consiguiente, la ecuación se puede reescribir como

Regla de Simpson

El término de error en la regla de Simpson implica la cuarta derivada de f, por lo que da resultados exactos cuando se aplica a cualquier polinomio de grado tres o menos. Ejemplo: Compare las aproximaciones de la regla trapezoidal y la regla de Simpson para 2

∫ f (x )dx cuando f(x) es 0

a) x 2 b) x 4 c) ( x +1 )−1 Solución: En [0,2], la regla trapezoidal y de Simpson tiene las formas

Cuando f (x) = x2, obtenemos 2

Trapezoidal:

∫ f ( x ) dx=02+ 22=4 0

2

De Simpson:

∫ f ( x ) dx= 13 [02 +4. 12+ 22]= 83 0

La aproximación a partir de la regla de Simpson es exacta porque su error de truncamiento implica f(4), lo cual es idénticamente 0 cuando f (x) = x 2.

Cuando f (x) = x4, obtenemos 2

Trapezoidal:

∫ f ( x ) dx=04 +24 =32 0

pág. 6

2

De Simpson:

∫ f ( x ) dx= 13 [04 + 4.1 4 +24 ]= 20 3 0

Cuando f (x) = (x+1)-1, obtenemos 2

Trapezoidal:

∫ f ( x ) dx=(0+1)−1 +(2+1)−1= 43 0

2

De Simpson:

∫ f ( x ) dx= 13 [(0+1)−1 +4.(1+1)−1 +( 2+ 1)−1 ]= 10 3 0

Los resultados a los tres valores: exacto, aproximación trapezoidal y de Simpson se muestran en la siguiente tabla.

En cada instancia, la regla de Simpson es significativamente mayor. F(x) Valor exacto Trapezoidal De Simpson

a X2 2.667 4.000 2.667

b X4 6.400 16.000 6.667

c (x+1)-1 1.099 1.333 1.111

1.2.4 Fórmulas de Newton-Cotes cerradas La fórmula cerrada de (n+1) puntos de Newton-Cotes utiliza nodos X 1=X0+ih, para i=0, 1, …, n, donde X0=a, Xn=b y h=(b-a)/n. Recibe el nombre de cerrada porque los extremos de intervalo cerrado [a,b] se incluyen como nodos.

La fórmula asume la forma

Donde

pág. 7

n

Suponga que ∑ ai . f (x i¿ )¿ denota la formula cerrada de (n+1) puntos de Newton-Cotes con i=0

x0=a, xn=b, y h=(b-a)/n. Existe ξ ∈ (a,b) para el que

Si n es par y f ∈ C n+2 [a , b], y

Si n es impar y f ∈ C n+1 [a , b]. Observe que cuando n es un entero par, el grado de precisión es n+1, a pesar de que el polinomio de interpolación es de grado a lo sumo n. Cuando n es impar, el grado de precisión sólo es n. Se listan algunas de las fórmulas comunes de Newton-Cotes cerradas con sus términos de error. Observe que, en cada caso, el valor desconocido ξ se encuentra en (a, b).

n=1: Regla trapezoidal

n=2: Regla de Simpson

n=3: Regla de tres octavos de Simpson

1.2.5 Fórmulas de Newton-Cotes abiertas Las fórmulas de Newton-Cotes abiertas no incluyen los extremos de [a,b] como nodos. Éstas utilizan nodos X1=X0+ih, para cada i=0, 1, …, n, donde h=(b-a)/(n+2) y X 0=a+h. Esto implica que Xn=b-h, por lo que etiquetamos los extremos al establecer X -1=ayXn+1=b. Las formulas abiertas contienen todos los nodos que se usan para la aproximación dentro del intervalo abierto (a,b). Las formulas se convierten en:

b

Donde a i=∫ Li ( x ) dx a

pág. 8

n

Suponga que

∑ ai . f (x i)denota la formula abierta de (n+1) puntos de Newton-Cotes con i=0

x−1=a , x n+1 =b , y h=

b−a . Existe ξ ∈ (a, b) para el que: n+2

Si n es par y f ∈ C n+2 [a , b], y

Si n es impar y f ∈ C n+1 [a , b]. Observe que, como en el caso de métodos cerrados, tenemos el grado de precisión comparativamente superior para los métodos pares que para los métodos impares. Algunas de las fórmulas de Newton-Cotes abiertas comunes con sus términos de error son las siguientes:

n=0: Regla del punto medio

n=1:

n=2:

n=3: pág. 9

Ejemplo: Compare los resultados de las formulas cerradas y abiertas de Newton-Cortes como las ecuaciones anteriores dadas para aproximar. π /4

∫ senx . dx=1− √2/2 ≈ 0.29289322 0

Solución: Para las formulas cerradas, tenemos

Y para las fórmulas abiertas, tenemos

La tabla resume los resultados y muestra los errores de aproximación: n Fórmulas cerradas Error Fórmulas abiertas Error

0 0.30055887 0.00766565

1 0.27768018 0.01521303 0.29798754 0.00509432

2 0.29293264 0.00003942 0.29285866 0.00003456

3 0.29291070 0.00001748 0.29286923 0.00002399

1.2.6 Integración numérica compuesta En general, el uso de fórmulas de Newton-Cotes es inapropiado sobre largos intervalos de integración. Se requerirían fórmulas de grado superior y los valores de los coeficientes en estas fórmulas son difíciles de obtener. Además, las fórmulas de Newton-Cotes están basadas en polinomios de interpolación que utilizan nodos igualmente espaciados, un procedimiento inapropiado sobre intervalos largos debido a la naturaleza oscilatoria de los polinomios de orden superior.

pág. 10

Analizamos el enfoque por tramos (o fragmentario) para la integración numérica que usa las fórmulas de Newton-Cotes de bajo orden. Estas son las técnicas que se aplican más a menudo. 4 x

Ejemplo: Use la regla de Simpson para aproximar ∫ e dx y compare esto con los resultados 0

2 x

obtenidos mediante la suma de las aproximaciones de Simpson para ∫ e dx y 0

4

1

2

3

4

∫ e x dx y al sumar estas con ∫ e x dx , ∫ e x dx , ∫ e x dx y ∫ e x dx 0

0

1

2

3

Solución: La regla de Simpson en [0, 4] con h=2 4

∫ e x dx ≈ 23 ( e 0+ 4 e2 +e 4 ) =56.76958 0

La respuesta correcta en este caso es e 4 −e 0=53.59815 , y el error -317143 es mucho más grande de lo que aceptaríamos normalmente. Al aplicar la regla de Simpson en cada uno de los intervalos [0, 2] y [2, 4] con h = 1 4

2 x

∫ e dx ≈∫ e 0

4 x

0

dx+∫ e x dx 2

1 1 ≈ ( e 0 +4e +e 2) + ( e 0+ 4 e 3 +e 4 ) 3 3 1 ≈ (e0 + 4e+2 e2 + 4 e 3+ e 4) 3 ≈ 53.86385 El error se ha reducido a -0.26570. Para las integrales en [0, 1], [1, 2], [3, 4], y [3, 4], utilizamos la regla de Simpson cuatro veces con h =1/2, con lo que obtenemos 4

1 x

∫ e dx ≈∫ e 0

0

2 x

3 x

4

dx+∫ e dx +∫ e dx+∫ e x dx 1

x

2

3

≈ 53.86385 El error para esta aproximación se ha reducido a -0.01807 b

Para generalizar este procedimiento para una integral arbitraria ∫ f ( x ), seleccione un entero a

par n. Subdivida el intervalo [a, b] en n subintervalo y aplique la regla de Simpson en cada par consecutivo de subintervalo

pág. 11

Explicado gráficamente

Regla compuesta de Simpson b

Para aproximar la integral I =∫ f ( x ) dx a

1.2.7 Integración numérica múltiple Definido la función sobre un plano rectangular

Se aproxima estos valores mediante los métodos ya estudiados

Aproximación mediante regla de trapecio definido en tres nodos en el eje X y el eje Y

pág. 12

Método generalizado mediante la la regla compuesta de Simpson Para aplicar la regla compuesta de Simpson, subdividimos la región R [a, b] y [c, d] en un número par de subintervalos n y m con puntos igualmente espaciados x0, x1, , xn y y0, y1. , ym, respectivamente. Estas subdivisiones determinan tamaños de pasos h = (b − a)/n y k = (d − c)/m. Al escribir la integral doble como la integral iterada

utilizamos la regla compuesta de Simpson tomando x como una constante Si yj = c + jk, para cada j = 0, 1, ,m. Entonces

pág. 13

ahora, utilizamos la regla compuesta de Simpson para las integrales en esta ecuación. Si xi = a + ih, para cada i = 0, 1, , n. Entonces, para cada j = 0, 1, ,m tenemos

Regiones no rectangulares Analizaremos la siguiente forma

Analicemos con el método de simpsom

pág. 14

2 APLICACIONES 1)Diseñe un algoritmo que permita aproximar la siguiente integral

El algoritmo diseñado es el siguiente

pág. 15

2) Se tienen los siguientes datos de la función f(x) (0.5;0.4794),(0.6;0.5646),(0.7;0.6442) Se desea aproximar f´(x) X0=0.5 , x1=xo+h=0.6 Para 2 puntos

h=0.1

[ f ( x 0+h )−f ( x 0 ) ]

f ´ ( x 0 )=

h

f ´ ( 0.5 )=

[ f ( 0.6 )−f ( 0.5 ) ] = [ 0.5646−0.4794 ] =0.852 0.1

0.1

Para 3 puntos

f ´ ( x 0 )=

−3 f ( xo )+ 4 f ( xo +h )−f ( x 0+ 2h ) −3 f ( 0.5 )+ 4 f ( 0.6 )−f (0.7) = =0.88 2h 0.2 pág. 16

X0=0.6

,

f ´ ( 0.6 )=

x0-h=0.5

,

x0+h=0.7

, h=0.1

[ f ( 0.7 ) −f ( 0.6 ) ] =0.796

0.1 [ f ( x 0 )−f ( x 0−h ) ] =f ´ ( 0.6 )= [ f ( 0.6 )−f ( 0.5 ) ] =0.852 f ´ ( x 0 )= h 0.1 [ f ( x 0+h )−f ( x 0−h ) ] =f ´ ( 0.6 )= [ f ( 0.7 )−f ( 0.5 ) ] =0.824 f ´ ( x 0 )= 2h 0.2

X0=0.7, x0-h=0.6 , Para 2 puntos

f ´ ( 0.7 )=

x0-2h=0.5

[ f ( 0.7 ) −f ( 0.6 ) ] =0.796 0.1

Para 3 puntos

f ´ ( x 0 )=

3 f ( xo ) −4 f ( xo+h )+ f ( x 0+2 h ) 3 f ( 0.7 )−4 f ( 0.6 ) + f ( 0.5 ) =f ´ ( 0.7 )= =0.768 2h 0.2

3) Aproximar la primera derivada de la función f(x) = e2x usando la formula regresiva y centrada para un x0 = 1.1 con un tamaño de paso h = 0.1 Use el hecho que f’(1.1) = 18.050 para determinar el error relativo porcentual para cada formula f(x0) : f(1.1) = 9.025 f(x0+h) : f(1.2) = 11.023 f(x0+2h): f(1.3) = 13.464

f ´ ( 1.1 )=

[ 11.023−9.025 ] 0.1

=19.980

Er%=10.7%

f ´ ( 1.1 )=

−3 ( 9.025 ) + 4(11.023 )+ 12.464 =17.767 0.2

Er%=1.58% Usando las fórmulas centradas f(x0 - 2h): f(0.9) = 6.050 f(x0 - h) : f(1.0) = 7.389 f(x0+h) : f(1.2) = 11.023 f(x0+2h): f(1.3) = 13.464

f ´ ( 1.1 )=

[ 11.023−7.389 ] 0.2

=18.170

Er%=0.665%

pág. 17

f ´ ( 1.1 )=

6.050−8 ( 7.389 ) +8 ( 11.023 )−13.464 =18.048 12∗0.1

Er%=0.009% 4) calcule el flujo volumétrico, en cada instante de tiempo, que alimenta el tanque “A” con los siguientes datos:

dV V˙ = dt

−3V ( i )+ 4 V ( i+1 )−V (i+2)  V˙ ( i )= 2h

V ( i+1 )−V (i−1)  V˙ ( i )= 2h 3 V ( i−2 ) +4 V ( i−1 ) −V (i)   V˙ ( i )= 2h

para i=1 para 1