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Matemática

Examen de admisión

2016-II

Solucionario UNI

PREGUNTA N.o 1



Caso 2: a > 1

Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). 1 I. Si a > 0, entonces existe n0 ∈ N tal que a >  . n0



Es evidente, ya que si n0 ∈ N, entonces

1 ≤ 1. n0

II. Verdadera Por densidad de los racionales, entre dos números racionales existen infinitos números, de los cuales al menos uno será irracional.

II. Para cada a, b ∈ Q con a  > > > > ... 2  3  4  5  6 

Respuesta: VVV

existen infinitos n0

1

0

9 =2,25 4 +∞ 2,2352... 5

UNI 2016-II

Academia CÉSAR VALLEJO

PREGUNTA N.o 2

Calcule la suma de la media, la moda y la mediana de las calificaciones.

3 Sean a; b; c ∈ N tales que (ab ) = 1c 8 ab. Entonces

el valor de 2b – a – c es

A) 2 B) 3 D) 5



C) 4 E) 6

A) 1,00 B) 4,72 D) 6,72

Resolución

Resolución

Tema: Estadística Tenga en cuenta que

Tema: Potenciación Análisis y procedimiento Dado ab 3=1c8ab

3

Medidas de tendencia central

Notación

Media

x

→ 1c ≥ a3

1c 8 ab ab a3



Se observa que a=2.

Reemplazamos.

C) 5,72 E) 8,72

ACADEMIA

2b3=1c82b

∴ 2b – a – c=8 – 2 – 3=3

Me

Moda

Mo

Análisis y procedimiento Del cuadro podemos indicar lo siguiente:

CESAR VALLEJO

213=9261  243=13 824  Verificamos por 253=15 625  última cifra. 3 26 =17 576  3 29 =24 389 

Se observa que b=4 y c=3.

Mediana

Calificación

N.º de estudiantes

1

7

2

6

3

4

4

3

CREEMOS EN LA EXIGENCIA5 Total

Respuesta: 3

5 25

Necesitamos calcular la media, la moda y la mediana de ese conjunto de datos.

PREGUNTA N.o 3 Se escogió un salón de clases de sexto grado con un total de 25 estudiantes y se les pidió a cada estudiante que evaluara un programa televisivo con una calificación de 1 a 5. (5=excelente, 4=bueno, 3=regular, 2=malo, 1=fatal). Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

• x =

1×7 + 2× 6 + 3 × 4 + 4 × 3 + 5 × 5 = 2, 72 25

• La mediana divide al conjunto de datos, previamente ordenados, en dos partes iguales.

Me=2

1

3

3

4

1

2

2

2

5

1

• La moda de un conjunto de datos es el valor que se repite con mayor frecuencia.

4

5

1

5

3



5

1

4

1

2

∴ x+Mo+Me=2,72+1+2=5,72

2

1

2

3

5

Respuesta: 5,72

2

Mo=1

UNI 2016-II

Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 4

II. Verdadera

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F). Sean a y b los valores reales positivos,



2ab a+b , mg = ab y mh = . 2 a+b I. Si ma=mg, entonces ma=mg=mh.



ab =



ab (a + b ) = 2ab

II. Si mg=mh, entonces ma=mg=mh.



a + b = 2 ab

III. Si ma ≠ mg, entonces a ≠ b.



a + b − 2 ab = 0



(

ma =



A) VVF B) VVV D) VFF

C) VFV E) FVV

Si mg=mh tenemos que 2ab a+b

a − b) = 0 2



→ a − b = 0

Resolución



→ a = b (elevando al cuadrado)

Tema: Promedios



→ a=b



Reemplazamos en



• ma =



• mg = ab = b × b = b



• mh =



Notamos que si mg=mh, entonces ma=mg=mh.



Si ma ≠ mg tenemos que

Análisis y procedimiento Se sabe que

Si ma=mg tenemos que



a+b = ab 2 a + b = 2 ab



a + b − 2 ab = 0



(



a+b b+b = =b 2 2

CESAR VALLEJO

2ab a+b ma = ; mg = ab ; mh = 2 a+b I. Verdadera

ACADEMIA

2b 2b × b = =b a+b b+b

CREEMOS EN LAIII. EXIGENCIA Verdadera

a − b) = 0 2



a+b ≠ ab 2



a + b ≠ 2 ab



→ a − b = 0



→ a = b (elevando al cuadrado)



→ a=b



a + b − 2 ab ≠ 0



Reemplazamos en a+b b+b • ma = = =b 2 2



(



• mg = a × b = b × b = b 2ab 2b × b = =b a×b b+b Notamos que si ma=mg, entonces ma=mg=mh. • mh =

a − b) ≠ 0 2



→ a − b ≠ 0



→ a ≠ b



→ a ≠ b



Notamos que si ma ≠ mh, entonces a ≠ b.

Respuesta: VVV

3

UNI 2016-II

Academia CÉSAR VALLEJO

PREGUNTA N.o 5

Análisis y procedimiento Sean los 35 impares consecutivos

Si se cumple ab5 (b −1)5 = c (b − 1) ( 2b + 4 ) ( 2b + 1) determine el valor de a+b+c.

A) 8 B) 11 D) 19

a+1; a+3; a+5; ...; a+69 siendo a par Nos piden en qué cifra termina N si

C) 15 E) 22



Resolución

→ N=35a+(1+3+5+...+69) – 42

Tema: Teoría de numeración

N=35a+352 – 42 N=35a + ...3 par

Análisis y procedimiento Del enunciado

ab5

= c(b – 1) (2b+4) (2b+1)

(b – 1) 5

N=...0+...3 ∴ N=...3

b 1

N=(a+1)+(a+3)+(a+5)+...+(a+69) – 42 35 impares consecutivos  

Analizando se concluye que 1 rd no necesariamente se cumple. Ejemplo División por defecto

a+b+c=8+4+6=18

División por exceso

19

Respuesta: 18

19

7 2 rd=5

ACADEMIA

7 3 re=2

CESAR VALLEJO

PREGUNTA N.o 8



Sean A y B enteros positivos tales que A > B. Al dividir A entre B se obtiene rd residuo por defecto y re residuo por exceso. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. rd+re=A II. re > rd III. MCD(A; B)=MCD(rd, re)

∴ rd > re

III. Verdadera

División por defecto A

División por exceso

B

A

CREEMOS EN LA EXIGENCIA r q



A) FFF B) FVV D) FVF

→ A=Bq+rd (I) → A=B(q+1) – re (II)

C) FFV E) VVV

Resolución Tema: Operaciones fundamentales I. Falsa Por dato, A y B son enteros positivos; A > B.

A B rd q → A=Bq+rd

División por exceso A re



Sea MCD(A; B)=n



→ A = n ∧ B = n Reemplazamos en (I) y (II).

o

o

A=Bq+rd A=B(q+1) – re      

Análisis y procedimiento

División por defecto

re

d

B q+1

B q+1

→ A=B(q+1) – re

o

o

o

o

o

o

o

o



n = n (q ) + rd n = n (q + 1) − re



n = n + rd n = n − re o

→ rd = n re = n



Luego MCD(rd; re)=n



∴ MCD(A; B)=MCD(rd; re)

Respuesta: FFV

5

o



UNI 2016-II

Academia CÉSAR VALLEJO

PREGUNTA N.o 9

Entonces, Ran(f )=〈2; +∞〉

Sea f la función definida por

Hallamos f *.

f( x )

2x − 1 = , ∀ x > 1 x −1

Sea y = 2 +

La inversa f * de esta función es









A) f *( x )

x −1 = ; x > 1/2 2x − 1

B) f *( x )

x +1 1 = ;x< 2x + 1 2

C) f *( x )

x +1 = ; x > −2 x+2

D) f *( x )

x −1 = ; x < −2 x+2

E) f *( x )

x −1 = ;x>2 x−2

Resolución Tema: Funciones Análisis y procedimiento Nos piden la inversa f * de

f( x )

ACADEMIA

1 = y−2 x −1



x −1 =

1 y−2



x = 1+

1 y−2



x=

Entonces, f *( x ) =

CREEMOS EN LA EXIGENCIA



x −1 ;x>2 x−2

PREGUNTA N.o 10 Halle la matriz A si sabemos que −1 2 1 2   Ax −1 = ( A −1 ) − A −1  , donde x =    3 5

1 x −1

De x > 1



x −1 . x−2

Respuesta: f *( x ) =

Hallamos Ran(f ).



y −1 y−2

Por lo tanto, la función inversa f * es x −1 f *( x ) = ; x>2 x−2

2x − 1 = , x >1 x −1

f( x ) = 2 +



CESAR VALLEJO

Damos forma

1 x −1



 1 A)  1  2



  −1 D)  − 1  2

x – 1 > 0 1 >0 x −1 1 2+ >2 x −1 f(x)

6

1 3  1 3 

 1 B)  − 1  2

1 3  1 3 

1  1 −  − 3 3  C)  1  1  3 3 

 1   1 − 2 

 1 1  − 2 3  E)    1 − 1  3 

UNI 2016-II

Solucionario de Matemática Resolución

PREGUNTA N.o 11

Tema: Matrices

Sea D={(x; y) ∈ R2/x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≥ 2, x+y ≤ 4} Si a  0, determine la solución del problema Máx ax + by  s.a. ( x; y ) ∈ D

Análisis y procedimiento Tenemos

2   Ax −1 = ( A −1 ) − A −1 

−1

1 2 ;x=   3 5

Aplicando inversa tenemos

(

( Ax −1 )−1 = ( A −1 ) 2 − A −1 



)

−1 −1



xA −1 ⋅ A =

Tema: Programación lineal



(( A −1 )2 − A −1 ) A ACADEMIA

Nos piden máx ax+by; a  0 De x+y ≥ 2 → y ≥ 2 – x x+y ≤ 4 → y ≤ 4 – x

Aplicamos inversa. A=(x+I) – 1

 2 2 → A =    3 6



A −1 =

∴ A

−1



x + y ≥ 2  D = x + y ≤ 4  x ≥ 0; y ≥ 0 

CESAR VALLEJO

x=A – 1 – I

→ A – 1=x+I



Análisis y procedimiento Reordenamos

×A

Luego

C) (0; 4) E) (4; 0)

Resolución

2

→ xA −1 = ( A −1 ) − A −1

A) (0; 0) B) (0; 2) D) (2; 0)

Graficamos la región factible.

CREEMOS EN LA EXIGENCIA

−1

Y

1  6 −2 6  −3 2 

4 2

1   1 − 3 =  − 1 1   2 3 

Respuesta: A

−1

  1 = − 1  2

D 2

4

X

Sea f(x; y)=ax+by Como piden máxf(x; y), evaluamos en los extremos de D. 1 −  3  1  3 



7

f(2; 0)=2a f(4; 0)=4a f(0; 4)=4b f(0; 2)=2b

UNI 2016-II

Academia CÉSAR VALLEJO

Como a  0

Luego

→ máxf(x; y)=4b

Por lo tanto, la solución del problema es (0; 4).

( B −1 · B (I

Respuesta: (0; 4)

PREGUNTA N.o 12



Sea A una matriz de orden 3×5 y B una submatriz cuadrada A de orden 3 tal que A=(B N) donde N es de orden 3×2 y B – 1 existe. Correspondientemente, en el sistema Ax=b, x se descompone como  xB  x= . Entonces una solución del sistema es  x N 

 B −1b  A)    Nx B 

 B −1b  B)    Bx N 

 xB  B −1 N  = B −1 · b  x N 

)

 xB  B −1 N  = B −1 · b  x N 

)

I · x B + B −1 N · x N = B −1 · b

Una solución es I · xB+B – 1N · xN=B–1 · b+0

ACADEMIA

 Bb  C)    Nb 



xB=B –1 · b ∧ xN=0

CESAR VALLEJO Luego



 B −1b  D)    0 

Resolución

(B − I ) b  E)    0



 x B   B −1b  x= =   x N   0 

CREEMOS EN LA EXIGENCIA  B −1b 

Tema: Sistema de ecuaciones

Respuesta:    0 

Análisis y procedimiento Tenemos que Ax=b.

PREGUNTA N.o 13



Tres números x, y, z forman una progresión geométrica creciente que cumplen: x+y+z=21 x · y · z=216 Determine la razón de la progresión dada.

x  (B N )  B  = b xN 

Multiplicamos por B – 1 por la izquierda.



 xB  B −1 · ( B N )  = B −1 · b  x N 



En una matriz aumentada (B N) se cumple que

M · (B N)=(M · B M · N)

8

A) 3/2 B) 2 C) 5/2 D) 3 E) 7/3

UNI 2016-II

Solucionario de Matemática Resolución

Resolución

Tema: Sistema de ecuaciones no lineales

Tema: Funciones

Análisis y procedimiento Se tiene lo siguiente: x+y+z=21 (I) xyz=216 (II)

Análisis y procedimiento Nos piden el número de soluciones reales de la ecuación.

Por dato: x, y, z forman una PG.



senx = L n x − π f(x)

g(x)

Graficamos las funciones.

Sea q la razón geométrica. x; y=qx, z=xq2=xqq

Y g(x)

Reemplazando en (II) obtenemos. 3



(qx) =216



qx=6

→ x =

f(x)

6 , y = 6, z = 6q q

ACADEMIA

CESAR VALLEJO

π –1 π

π+1

2π

X

Reemplazando en (I) obtenemos.

6 + 6 + 6q = 21 q



6 + 6q = 15 q



2q2 – 5q+2=0



(2q – 1)(q – 2)=0

→ q=2 ∨ q =

Observamos 4 cortes en el gráfico. Por lo tanto, la ecuación tiene 4 soluciones. Respuesta: 4

CREEMOS EN LA EXIGENCIA PREGUNTA N.o 15 Dada una proposición x, se define f como sigue: 1, si x es una proposición verdadera. f( x ) =  0, si x es una proposicción falsa.

1 2

Por lo tanto, como la progresión es creciente, q=2.

Indique cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas.

Respuesta: 2

I. f(p ∧ q)=f(p) · f(q) II. f(~ p)=1 – f(p)

PREGUNTA N.o 14

III. f(p → q)=1+f(q) – f(p)

Determine el número de soluciones reales de la ecuación sen(x) = Ln x − π

A) 1 B) 2 D) 4



C) 3 E) 5

9

A) solo I B) solo II C) I y II D) I y III E) II y III

UNI 2016-II

Academia CÉSAR VALLEJO

Resolución



Tema: Funciones

Análisis y procedimiento

=1 – f(p) · f(∼ q) =1 – f(p)[1 – f(q)] ∴ f(p → q)=1 – f(p)+f(p) · f(q)

Respuesta: I y II

I. Verdadera Por tabla de verdad se conoce

PREGUNTA N.o 16 p

q

p∧q

V

V

V

→  f(p)=1; f(q)=1; f(p ∧ q)=1 → f(p ∧ q)=f(p) · f(q)

F

→  f(p)=1; f(q)=0;  f(p ∧ q)=0 → f(p ∧ q)=f(p) · f(q)

V



F

2

2

2

III. a + b + c ≥ a + b + c

V

F

F

F

F

→ f(p)=0; f(q)=0; f(p ∧ q)=0 → f(p ∧ q)=f(p) · f(q)

∴ f(p ∧ q)=f(p) · f(q)

∼ p

V

F V

C) VFF E) FFF

CESAR VALLEJO

Tema: Desigualdades Análisis y procedimiento I. Verdadera Tenemos que

0  . ac bc

II. a − b ≤ a + b + 2 a b

F

F

I. Si 0  0; x ≠ 1 x

;x>0

UNI 2016-II

Solucionario de Matemática

Análisis y procedimiento

Cuya gráfica es Y 4

L

0 1

X

r

2R

R R

Nota La gráfica que más se aproxima es

2R

Nos piden R/r.

Y

Dato: Vcono=Vcubo →

0

Respuesta:

2R

X

En el cono (que no menciona si es recto) se aplica semejanza de triángulos.

Y

ACADEMIA

0

X

PREGUNTA N.o 21

πR 2 L ( ) 3 πL = 2R → R = 3 24



R L = r L− R

CESAR VALLEJO R L = r L − πL 24 24 R = ∴ r 24 − π →

El volumen de un cono de base circular de radio R y altura L es igual al volumen de un cubo de arista 2R. R Calcule , donde r es el radio de la circunferencia r menor del tronco de cono de altura R, obtenido del cono de base circular.

24

CREEMOS EN LARespuesta: EXIGENCIA 24 − π



A)

64 64 − π



D)

12 12 − π

B)

32 32 − π

C)

24 24 − π

E)

6 6−π

PREGUNTA N.o 22 Halle el volumen del sólido que se genera al girar la figura sombreada alrededor del eje diametral CD  = 120º , r = 23 6 y AD = r . si mBC 4 C

Resolución

r

Tema: Tronco de cono

r

Volumen de un cono h R

B

πR 2h V= 3



13

A D

A) 43p B) 37p D) 30p

C) 32p E) 25p

UNI 2016-II

Academia CÉSAR VALLEJO

Resolución

PREGUNTA N.o 23

Tema: Teorema de Pappus-Guldin

En la figura, AB=10 cm, BD=AC, DC=3 cm. Halle AP×PD.

Análisis y procedimiento B

Del gráfico

2x C

Dato: 3

120º

r=2 6

r

r

3

A

120º r

B

A r/4 D

4

P

D

C

A) 12,25 B) 20,25 D) 25,00

C) 21,00 E) 49,00

ACADEMIA Resolución

CESAR VALLEJO

Tema: Congruencia de triángulos 0Análisis y procedimiento Del gráfico

Nos piden VSól · G.



3r

r 3/2

5x

8x

VSól · G=Vesfera – VSól · G BCA

CREEMOS EN LA EXIGENCIA



4 VSól · G= πr 3 − 2π xA 3



VSól · G=



4 7  VSól · G=  −  πr 3  3 16 



3 VSól · G=  64 − 21  π ( 23 6 ) = 43 π  48 



4 3 1 (r 3 )  7r  r 3 1 πr − 2π ×  × 4 2 3 3 2 2

B 3x

2x

a

n

8x

5x S

A b

P

 10x 5x D b C n

Nos piden (AP)(PD). Datos: a=10; b=3 Se prolonga DA hasta S, de modo que BS=BC=.

Respuesta: 43p

14

UNI 2016-II

Solucionario de Matemática Se nota que

SD=BD=n y como AC=n

Resolución Tema: Cilindro

→ SA=DC=b. De lo cual tenemos que

Análisis y procedimiento



AB=BD

Nos piden vtronco.



a=n → AP = PD =

10 − 3 = 3, 5 2

B

∴ (AP)(PD)=12,25 4

Respuesta: 12,25

C 1

r

Observación

1

El problema es ABSURDO, ya que se encuentra que x=10º, a 10 por lo cual ≠ . ACADEMIA b 3

PREGUNTA N.o 24

1

D

4

CESAR VALLEJO

A

En la figura, el tronco de cilindro cuyas bases tienen áreas iguales y los planos que las contienen son perpendiculares; AB=8 u, CD=2 u. Halle el volumen de tronco de cilindro (en u3).

La igualdad de áreas de las bases permite aprovechar la simetría.

CREEMOS EN LA EXIGENCIA r=3/2 u

B

C 8

2

8 + 2  3 π  2   2

2

Vtronco =  

∴ Vtronco=22,5p u3

D

Observación

A

Para que haya solución, se asume que la sección recta es circular.



A) 11,25p

B) 22,5p



D) 90p

C) 45p

Respuesta: 22,5p

E) 180p

15

UNI 2016-II

Academia CÉSAR VALLEJO

PREGUNTA N.o 25

PREGUNTA N.o 26

En un trapecio ABCD (AD // BC), las bisectrices exteriores de A y B se intersecan en P y las bisectrices exteriores de C y D se intersecan en Q. Si AD+BC=AB+CD=10 cm, entonces PQ en cm es

En la figura, mS AOC=120º. Halle el menor valor entero de x.



2x – 4y

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

x+3y O

A) 34º B) 35º D) 37º

C) 36º E) 38º

Tema: Ángulos

Tema: Cuadrilátero Análisis y procedimiento Por dato a+b=m+n=10

β

A

a

β m 2

θ m M 2 m θ 2 θ B

ACADEMIA

Análisis y procedimiento Nos piden xmenor Z.

CESAR VALLEJO

B

C

Nos piden PQ.

D

n 2 a+b 2 b

2x – 4y x+3y O

A

Por dato

γ CREEMOS EN LA EXIGENCIA γ mSCOA=120º=3x – y  → y=3x – 120º (I)

n α N n 2 2 α α C

Q

Consideramos la expresión que contiene algún signo negativo para garantizar que dicho ángulo exista.

2x – 4y < 120º

  x – 2y < 60º (II) Reemplazamos (I) en (II).

Al trazar las medianas PM y QN se puede verificar que P, M, N y Q son colineales. ∴ PQ =

A

Resolución

Resolución

P

B

C



x – 2(3x – 120º) < 60º

    

180º < 5x

      36º < x

m n a b + + + = 10 2 2 2 2

∴ xmenor Z=37º

Respuesta: 10

Respuesta: 37º

16

UNI 2016-II

Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 27

PREGUNTA N.o 28

La base de un prisma recto es un hexágono regular de 2 m de lado. Si la arista lateral mide 6 3 m, halle el volumen (en m3) del prisma.

Dado el gráfico siguiente, se muestra una circunferencia. Determine la relación correcta.



B β

A

A) 72 B) 96 C) 108 D) 136 E) 154

C x

D

F

α E

Resolución Tema: Prisma Análisis y procedimiento

ACADEMIA

Nos piden V.



A) x=a+b+90º



B) 90º+x=a+b



C) a+b+180º=x



D) a+x=b+180º

CESAR VALLEJO

E) 180º+x=a+b

Resolución

Tema: Cuadrilátero inscrito en la circunferencia Análisis y procedimiento Nos piden una relación entre x; a y b.

6 3

CREEMOS EN LA EXIGENCIA

2

2

2

A

Sabemos que

B β

Q

V = ( A base ) (altura ) (*)

C

α

x β

D α

 22 3  → a base = 6  =6 3  4 

M

F

N

E  ABCF está inscrito → mSCFN=mS ABC=b  DCFE está inscrito → mS MCF=mS DEF=a

En (*)

V = 6 3 × 6 3 = 108

∴

Respuesta: 108

QCF: a+b=180º+x

Respuesta: 180º+x=a+b

17

UNI 2016-II

Academia CÉSAR VALLEJO

PREGUNTA N.o 29

Del dato

En una pirámide regular O-ABCD, la longitud de la distancia trazada de B a OD es 4 2 u y las regiones AOC y ABCD tienen igual área. Determine el volumen de la pirámide en (u3).



(m 2 ) 2 = ( 2 m) (OQ) 2

→ QO = 2m

Como  BOQ es notable de

53º 2

53º 2



A)

20 10 3



B)

32 10 3



C)

40 10 3



D) 15 10



m 5 = 5 2 → m = 10



E) 23 10



V=

→ θ =

Como  BHO es notable de 53º → BO = 5 2 Luego

ACADEMIA

CESAR VALLEJO

Resolución

∴ V =

Tema: Pirámide Análisis y procedimiento

En un triángulo isósceles ABC (AC ≅ BC) se traza por el vértice A un plano de modo que dista de C una longitud n unidades y de B una longitud 2n unidades. Si el segmento AB determina un ángulo de 45º con el plano y la proyección de CB sobre el plano mide 2n unidades. Calcule el área de la proyección del triángulo ABC sobre el plano.

 BOD

1 ( A base ) (altura ) 3 O θθ m 5

m

53º H

4 2

B

A

40 10 3

CREEMOS EN LAPREGUNTA EXIGENCIA N.o 30

Por dato A   ABCD=A

V=

40 10 3

Respuesta:

Nos piden V.



1 (m 2 ) 2 ( 2m) = 4 m3 3 3

m

m 2

Q

m m

C m 2

D

18



A) n 2 2



B) n 2 3



C) 2n 2 3



D) 3n 2 2



E) 4 n 2 3

UNI 2016-II

Solucionario de Matemática Resolución

PREGUNTA N.o 31

Tema: Geometría del espacio

Se consideran un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABE con E encima del plano del cuadrado. Halle el ángulo formado por el triángulo ABE y el cuadrado ABCD, si las áreas de los triángulos AEB y DCE están en la relación 3 .

Análisis y procedimiento Nos piden A

 APQ

(área de la proyección de la región ABC sobre el plano P).



Datos CP=n, BQ=2n, mS BAQ=45º y PQ=2n

A) 15º B) 22º 30’ C) 30º D) 37º E) 60º

B

Resolución



n 2n

L n

2n

Q 2n 45º

A

P

Tema: Geometría del espacio

C



ACADEMIA n

Análisis y procedimiento

CESAR VALLEJO

 BQA: BQ=QA  →  QA=2n

P

Nos piden mS ENM=x

2n

Datos:

CREEMOS EN LA

A

EBA

= 3y

A CED EXIGENCIA

 EBA es equilátero.

Trazamos

E

CL ⊥ BQ  →  CP=LQ=n

Entonces  BLC ≅   CPA  →  AP=2n Luego, se observa que

A

∴ A

 APQ =

 APQ =

( 2n)

2

a

 APQ es equilátero.

3

a

4

D

M

a 3 C

a

A

2a

n2 3 Sea

Respuesta: n

2

3



19

x

2a

AB = 2a →

EN = a 3

a

N

a

B

UNI 2016-II

Academia CÉSAR VALLEJO

Como

Si T es punto de tangencia, entonces

A

EBA

A

CED

= 3 →

Se observa que el

EM = a

x = nm

 MEN es notable de 30º y 60º.

Análisis y procedimiento Nos piden

∴ x=30º



Respuesta: 30º

PM=a.

Por datos

PREGUNTA N.o 32 ABC es un triángulo circunscrito a una circunferencia,



PM+QN=10



RT=4



PM > QN

la cual es tangente a los lados del triángulo en los puntos P, Q y R (P ∈ AB, Q ∈ BC y R ∈ AC). M ∈ AR

B

ACADEMIA

con PM ⊥ AC, N ∈ RC con QN ⊥ AC, T ∈ PQ con

CESAR VALLEJO

RT ⊥ PQ y PM > QN. Si RT=4 u y PM+QN=10 u,

P

T

entonces la longitud de PM (en u) es

A) 6 B) 13/2 C) 7 D) 15/2 E) 8

A CREEMOS EN LA EXIGENCIA

a

M



Tema: Semejanza Recuerde Teorema de Pappus

Por el teorema de Pappus

N

a+b=10 (I)

ab = 4 → ab = 16 (II)

De (I) y (II)

A

M

R

b

Del dato tenemos que

Resolución

n

4

Q

a=8  ∧  b=2

B x T

∴ PM=8

m N

Respuesta: 8

20

C

UNI 2016-II

Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 33

Analizamos en la C.T.

Determine el conjunto A, definido por   π A =  x ∈ − ;  2 





A) 0;

D)

Y

 π cos( x) − cos(3 x) < sen(2 x)  2 

p 6

π 2

π π π B) − ; 0 C) − ; 4 6 2

p p ; 6 2

π π E) − ; 4 4



–

Resolución Tema: Inecuaciones trigonométricas Análisis y procedimiento



x ∈ 0;

0 X

π 2

CESAR VALLEJO π 6

∴ A = 0;

Resolvemos la inecuación.

Respuesta: 0;

p 6

 π π cos x − cos 3 x < sen 2 x; x ∈  − ;   2 2

→ − 2 sen 2 x sen(− x) < sen 2 x



0

π 6

   π π A =  x ∈  − ;  cos( x) − cos(3 x) < sen(2 x)  2 2  



x

1 2 senx

Del gráfico

ACADEMIA

Dato:



π 6

CREEMOS EN LAPREGUNTA EXIGENCIA N.o 34 De un disco de cartulina de radio R=4 cm, se corta un sector circular de ángulo central q. Con la parte restante del disco, uniendo los bordes cortados se forma un cono. Si el ángulo en el vértice del cono construido mide 60º, determine cuánto mide el ángulo q.

sen 2 x(2 sen x − 1) < 0 2 sen x cos x (2 sen x − 1) < 0 +

→ sen x (2 sen x − 1) < 0; cos x ≠ 0



Por el método de los puntos críticos, tenemos + –∞

– 0

C) 120º E) 180º

Resolución Tema: Longitud de arco de circunferencia En un sector circular, se cumple

+ 1 2

A) 90º B) 115º D) 135º

+∞

r θrad r

1 → 0 < sen x < 2

21



 

=q · r

UNI 2016-II

Academia CÉSAR VALLEJO

Análisis y procedimiento Nos piden la medida del ángulo q.

Focos: F1(h; k – c); F2(h; k+c) Y

Del enunciado

60º

2π – θ 4 cm 4 cm θ  

 

A

R

C(h; k)

g=4 cm

g=4 cm

 



F2

B



O

F1

C

 Análisis y procedimiento Del dato

=(2p – q)4 =2pR

 ABC equilátero → 2R=g=4 cm → R=2



=4(2p – q)=2pR

ACADEMIA

Al reemplazar R=2, tenemos ∴ q=prad 180º



→

( x − 1)2 (y + 2)2 + =1 4 16

CESAR VALLEJO

CREEMOS EN LA• EXIGENCIA b2=4 → b=2

Determine las coordenadas del foco de coordenadas positivas de la elipse 4x2+y2 – 8x+4y=8.



4(x – 1)2+(y+2)2=16

• a2=16 → a=4

PREGUNTA N.o 35





De la ecuación anterior se tiene una elipse de centro (1; – 2) y el eje focal paralelo al eje Y, donde

Respuesta: 180º



4x2+y2 – 8x+4y=8

Al agrupar términos tenemos

De los gráficos tenemos

• c2=a2 – b2 → c2=16 – 4 → c=2 3

A) (1; − 2 − 2 3 )

Y

B) (1; − 2 + 2 3 ) C) (1; 2 + 2 3 )

F2

E) (1; 4 + 2 3 )

C(1; –2)

D) (1; 4 − 2 3 )

X

F1

Resolución Tema: Elipse Ecuación de la elipse con centro en C(h; k) y eje focal paralelo al eje Y ( x − h)2 b

X

2

+

(y − k)2 a2

F1 (1; − 2 − 2 3 )

F2 (1; − 2 + 2 3 )

Por lo tanto, el foco de coordenadas positivas es F2 (1; − 2 + 2 3 )

=1

Respuesta: (1; − 2 + 2 3 )

22

UNI 2016-II

Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 36

Caso 2

El área de un sector circular cuyo ángulo central mide 60º es de 24p cm2. Si triplicamos el radio de dicho sector y disminuimos b radianes a su ángulo central, el área del nuevo sector disminuye un cuarto del anterior. ¿Cuál es el valor, en radianes, de b?

A)

9 p 34



D)

12 p 36

10 p 35

B)

C)

11 p 36

E)

13 p 37

3(1

3r=

3r=

36

A1=18p cm2



1π π π  2 2 −β =  − β  (36 cm) = 18 π cm → 23 3 36

∴ β =

ACADEMIA

θrad

A

r

  

Análisis y procedimiento Del enunciado

11π 36

Respuesta:

11 p 36

CESAR VALLEJO

A=

1 2 θr 2

PREGUNTA N.o 37 En la circunferencia trigonométrica del gráfico mostrado, el punto M corresponde a un ángulo en posición normal q. Calcule el área de la región sombreada (en u2).

CREEMOS EN LA EXIGENCIA

Y

Caso 1 r

O

2

A=24π cm 60º

π rad 3

M

r Dato:

A=24p cm2



1 π 2 · · r = 24 π cm 2 2 3



r=12 cm

cm



Resolución

r

A1=18π cm2

π – β rad 3

Tema: Área de un sector circular

6 cm

=3

) 2 cm

23



A)

1 ( 2π − θ + sen(θ)) 2



B)

1 ( 2π − θ + cos(θ)) 2



C)

1 ( 2π + θ + sen(θ)) 2



D) 2π − θ + sen(θ)



E) 2π − θ + cos(θ)

A X

UNI 2016-II

Academia CÉSAR VALLEJO

Resolución

• Q=cot(760º) · sen(450º)

Tema: Circunferencia trigonométrica



Análisis y procedimiento Nos piden el área S sombreada.

• R=tan(1125º) · sec(720º)

Q=cot(720º+40º) · 1 → Q=cot40º

R=tan(1080º+45º) · 1 → R=tan45º=1

Y Y O 1 θ



S = SO

A

S=

∴ S =

A

M – SO

X A

1 ⋅ 1 ⋅ sen ( 2π − θ) − 2

1 ( 2π − θ + sen θ) 2

ACADEMIA

PREGUNTA N.o 38

Se cumple que

CESAR VALLEJO

cot40º > 1 > tan40º

∴ Q > R > P

Respuesta: Q > R > P

1 Respuesta: ( 2π − θ + sen (θ)) 2

PREGUNTA N.o 39

CREEMOS EN LA EXIGENCIA π 7π Sea f:

Dados P=tan(400º)+cos(810º) Q=cot(760º) · sen(450º) R=tan(1125º) · sec(720º) indique la alternativa correcta.

cot40º

40º tan40º

S

( 2π − θ) ⋅ 1 2 2

1

X

M

M



C.T.

1 2π – θ

6

;

6

→ R definida por

x  f ( x) = 2 ·cos 2  − x  + 4 ·cos( x). 2  Determine el rango de f.

A) P > Q > R B) P > R > Q C) Q > P > R D) Q > R > P E) P = Q = R

Resolución Tema: Reducción al primer cuadrante Análisis y procedimiento Datos: • P=tan(400º)+cos(810º) P=tan(360º+40º)+cos(720º+90º) P=tan40º+cos90º → P=tan40º

24



 3 A)  − 4; 2 



 1+ 4 3 B)  − 4; 2 



 1+ 2 3 C)  − 4; 2 



D) [ − 2;



E) [ − 2; 2 3

3

UNI 2016-II

Solucionario de Matemática Resolución

− 4 ≤ f ( x)