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• GM Gabriela Monserrat

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Unidad II. Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad

1.

Funciones de distribución En cada caso obtenga la función de distribución de probabilidad y trace su gráfica. a) Se pregunta a cuatro empleados en un despacho si están o no registrados en algún servicio médico público. Sea Y la variable aleatoria que representa el número empleados con algún servicio médico público. b) Se hacen 3 llamadas para saber si la vivienda en la que habita es unifamiliar o multifamiliar. Sea X representa el número de personas que respondieron unifamiliar.

2.

El administrador de una cadena de hoteles, estima la probabilidad de sobre el numero de salones para eventos ocupados por semana. Sea X el número de salones para eventos ocupados y suponga que tiene la siguiente función de distribución de probabilidad: x 0 1 2 3 4 5 p(x) 0.05 0.15 0.35 0.25 0.1 0.1 a) Determine la probabilidad de que ningún salón para eventos esté desocupado. b) Determine la probabilidad de que exactamente tres salones para eventos estén desocupado. c) Determine la probabilidad de que más de cuatro salones para eventos estén desocupado. d) Determine la media y desviación estándar.

3.

En una encuesta de nuevos registros a programas de maestría, se obtuvieron los siguientes datos sobre el estado conyugal de los estudiantes. Estado conyugal Frecuencia Soltero 870 Casado 366 Otro (separado, viudo o divorciado) 25 a) ¿Qué método recomendaría usted para asignar probabilidades al estado conyugal de un nuevo estudiante de maestría? b) Muestre sus asignaciones de probabilidades.

4.

Para cada una de las funciones dadas conteste los incisos siguientes. a) Verifique si es una función de distribución de probabilidad y trace su gráfica. b) Obtenga la función de distribución de probabilidad acumulada y trace su gráfica. c) Encontrar el valor esperado y desviación estándar de la variable aleatoria. I. Suponga que las probabilidades de los valores de X son: P ( X  2)  .4 , P ( X  0 )  .1 , P ( X  1)  .3 , P ( X  4 )  .2 . II.

Sea Y tiene la función de probabilidad dada por:

p( x)  10x

x  1, 2, 3,4.

5.

El gerente de una gran compañía de redes de cómputo desarrolló una distribución de probabilidad del número de interrupciones por día 0.32 0.35 0.18 0.08 0.04 0.03 P( X  x) 0 1 2 3 4 5 x a) Verifique si es una función de distribución de probabilidad y trace su gráfica. Interprete. b) Determine la probabilidad de que en una semana sucedan dos o menos interrupciones. c) Determine la probabilidad de que en una semana sucedan exactamente tres interrupciones. d) Determine la probabilidad de que en una semana sucedan mas de cuatro interrupciones. e) Determine la probabilidad de que en una semana sucedan uno o menos interrupciones. f) Obtenga la función de distribución de probabilidad acumulada y trace su gráfica. g) Obtenga la función generadora de momentos y obtenga el valor esperado, desviación estándar, coeficiente de asimetría y curtosis del número de interrupciones.

6.

Cierto tipo de producto está empaquetado en lotes de cuatro. Sea X el número de productos que están en buenas condiciones en un lote elegido de manera aleatoria y suponga que la función de distribución de probabilidad de X es dada por: P ( x)  cx x  1, 2, 3, 4 , donde c es una constante. a) Determine el valor de la constante c para que p(x) sea una función de distribución de probabilidad y trace su gráfica. b) Determine P(X=2),

Profesor: Felipe de Jesús Díaz Serrano / Departamento de estadística.

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Unidad II. Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad

Binomial y Poisson 7.

Las líneas telefónicas del sistema de reservaciones de una aerolínea están ocupadas 40% del tiempo. Suponga que los eventos de que las líneas estén ocupadas en llamadas sucesivas son independientes. Suponga que entran 10 llamadas a la aerolínea. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las líneas estén ocupadas para exactamente tres llamadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que las líneas no estén ocupadas para al menos una llamada? ¿Cuál es el número esperado de llamadas en las que todas las líneas estén ocupadas?

8.

Harley Davidson, director de control de calidad de la compañía de automóviles Kyoto Motor, se encuentra realizando su revisión mensual de transmisiones automáticas. En el procedimiento, se retiran 10 transmisiones de la pila de componentes y se les revisa en busca de defectos de fabricación. A lo largo del tiempo, sólo el 2% de las transmisiones tienen defectos (suponga que los defectos se presentan de manera independiente en diferentes transmisiones). a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra de Harley contenga más de dos transmisiones con defectos de fábrica? (No utilice las tablas.) b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las transmisiones elegidas tenga defectos de fábrica? (No utilice las tablas.)

9.

Diane Bruns es la alcaldesa de una ciudad grande. Últimamente, se ha estado preocupado acerca de la posibilidad de que grandes cantidades de personas que cobran el seguro de desempleo en realidad tengan un trabajo en secreto. Sus asistentes estiman que 40% de los beneficiarios del seguro de desempleo entran en esta categoría, pero la señora Bruns no está convencida. Le pide a uno de sus ayudantes que haga una investigación de 10 beneficiarios del seguro tomados al azar. a) Si los asistentes de la alcaldesa tienen razón, ¿cuál es la probabilidad de que los individuos investigados tengan un empleo? (No utilice las tablas). b) Si los asistentes de la alcaldesa están en lo correcto, ¿cuál es la probabilidad que sólo tres de los individuos investigados tengan trabajo? (No utilice las tablas).

10. Un mes más tarde, la alcaldesa Bruns (ejercicio 3) toma la edición matutina del principal diario de la ciudad, el SunAmerican, y lee la noticia sobre un fraude en los seguros de desempleo. En el artículo, el periódico afirma que, de cada 15 beneficiarios del seguro de desempleo, la probabilidad de que cuatro o más tengan en realidad un empleo es de 0.9095, y que el número esperado de beneficiarios con trabajo excede de siete. Usted es un asistente especial de la señora Bruns y debe responder a estas afirmaciones en una conferencia de prensa que se llevará a cabo esa misma tarde. Ella le pide a usted que encuentre la respuesta a las preguntas siguientes: a) ¿Son las afirmaciones del Sun-American congruentes entre sí? b) ¿La primera afirmación del periódico contradice la opinión de los asistentes de la alcaldesa? 11. Harry Ohme está a cargo de la sección de electrónica de una gran tienda departamental. Se ha dado cuenta de que la probabilidad de que un cliente que solamente se encuentre curioseando compre algo es de 0.3. Suponga que 15 clientes visitan la sección de electrónica cada hora. Utilice la tabla de distribución binomial (copias) para responder a las preguntas siguientes: a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las personas que curiosea compre algo durante una hora dada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro personas que curiosean compren algo en una hora dada? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las personas que curiosean compre algo durante una hora dada? d) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de cuatro personas que curiosean compren algo durante una hora dada? 12. Sea X una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros n  25 y p  .2 . Evalúe P( X    2 ) , (  : media,  : desviación estándar). 13. Suponer que X tiene una distribución binomial con parámetros var( X )  4 . Encontrar n y p .

n

y

p . Suponga que E[ X ]  5 y la

14. Suponga que el número de clientes que entran a un banco en una hora es una variable aleatoria de Poisson y suponga que P(X = 0) = 0.05. Determine la media y la varianza de X.

Profesor: Felipe de Jesús Díaz Serrano / Departamento de estadística.

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Unidad II. Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad

15. Se supone que el número de grietas en un tramo de una carretera interestatal que tienen la suficiente importancia para requerir reparación sigue una distribución de Poisson con una media de dos grietas por milla. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas que requieran reparación en 5 millas de carretera? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos una grieta que requiera reparación en media milla de carretera? c) Si el número de grietas se relaciona con la carga vehicular en la carretera y algunos tramos de la misma tienen una carga intensa de vehículos en tanto que en otros tramos la carga vehicular es ligera, ¿qué piensa el lector acerca del supuesto de que el número de grietas que requieren reparación sigue una distribución de Poisson? 16. La concertista de piano Donna Prima se preocupa cada vez más por el número de tosidos que se presentan en la audiencia justo antes que empiece a tocar. Durante su última gira, Donna estimó un promedio de ocho tosidos justo antes de empezar su concierto. La señora Prima le ha prometido a su director que si escucha más de cinco tosidos en el concierto de esa noche, se rehusará a tocar. ¿Cuál será la probabilidad de que la artista toque esa noche? 17. El número de fallas de un instrumento de prueba de partículas de contaminación en un producto es una variable aleatoria de Poisson con una media de 0.02 fallas por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento no falle en una corrida de 8 horas? b) ¿Cuál es la probabilidad de al menos una falla en un día? 18. La compañía Texas I. ha observado que sus calculadoras fallan y necesitan remplazarlas con una frecuencia de tres cada 25 días. a) ¿Cuál es la cantidad esperada de calculadoras que fallen en 30 días? b) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen al menos dos en 50 días? c) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen tres en 10 días? d) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen al menos dos en 25 días? 19. Si X es una variable aleatoria con distribución Poisson satisfaciendo P ( X  0 )  P ( X  1) . ¿Cuál es la E[ X ] ? Aproximación de la Binomial a Poisson. 20. El 2% de las cartas que se envían a cierta ciudad no llevan los timbres postales correctos. En 400 de dichas cartas: a) ¿Cuántos timbres incorrectos se esperaría encontrar? b) ¿Cuál es la probabilidad de hallar 5 o menos cartas con timbres incorrectos? c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar más de 5 cartas con timbres incorrectos? d) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 5 o más cartas con timbres incorrectos? 21. La probabilidad de vender un seguro de vida a personas que contesten un anuncio especial se estima que es de 0.01. Sobre esta base, si 1000 personas contestan el anuncio, ¿cuál es la probabilidad de que: a) nadie compre un seguro? b) por lo menos uno compre un seguro? c) más de 10 compren seguros? Geométrica – binomial negativa 22. Si la probabilidad es 0.75 de que una persona crea un rumor acerca de las transgresiones de cierto político, determine las probabilidades de que a) la octava persona en oír el rumor sea la quinta en creerlo; b) la decimoquinta persona en oír el rumor sea la décima en creerlo 23. Si las probabilidades de tener un niño o niña son ambas 0.50, determine las probabilidades de que a) el cuarto niño de una familia sea su primer hijo; b) el séptimo niño de una familia sea su segunda hija; c) el décimo niño de una familia sea su cuarto o quinto hijo

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Unidad II. Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad

24. Cuando se graba cierto anuncio de televisión, la probabilidad es 0.30 de que cierto actor diga sus líneas de corrido en una toma cualquiera. ¿Cuál es la probabilidad de que recite sus líneas de corrido por primera vez en sexta toma? 25. En una "prueba de tortura" se enciende y apaga un interruptor eléctrico hasta que éste falla. Si la probabilidad es 0.001 de que el interruptor falle en cualquier momento en que esté encendido o apagado, ¿cuál es la probabilidad de que el interruptor no falle durante las primeras 800 veces que se encienda o apague? Supóngase cumplidas las condiciones necesarias para la distribución geométrica y utilice logaritmos. Hipergeométrica 26. Al poco tiempo de ser puestos en servicio algunos autobuses fabricados por cierta compañía presenta grietas en la parte inferior del bastidor principal. Supongamos que 1 ciudad en particular tiene 20 de estos autobuses y que han aparecido en 8 de ellos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 5 exactamente 4 tengan grietas visibles? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 5 al menos 4 tengan grietas visibles? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 6 exactamente 3 tengan grietas visibles? d) Calcule el valor esperado y la desviación estándar. 27. Un agencia de viajes cuenta con 12 programaciones para un recorrido turístico a Sudamérica y 13 a Canadá. Debido a inestabilidad del dólar sólo se pueden llevar a cabo 7 recorridos turísticos. ¿Cuál es la probabilidad de que? a) ¿Los recorridos sean 3 a Sudamérica? b) ¿Los recorridos sean al menos 4 a Canadá? Distribución conjunta 28. Para cada función de distribución ( y densidad) de probabilidad conjunta obtenga lo siguiente: a) Verifique si es una fdpc. b) Obtenga las distribuciones marginales para las dos variables aleatorias correspondientes (dar presentación). c) ¿Son independientes las dos variables aleatorias correspondientes?. d) Para cada variable obtenga su valor esperado(media), varianza, var(2 X  2Y ) , var( X  2Y ) . e) Calcule la covarianza y coeficiente de correlación. Interprete sus resultados. f) Calcule las probabilidades condicionales P(X | Y) y P(Y | X). I. H \

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X\ Y

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