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“UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA” Facultad de Ingeniería “Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil”

INDICE 1. Introducción ---------------------------------------------------------------------------------

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2. Objetivos -------------------------------------------------------------------------------------

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3. Marco teórico ------------------------------------------------------------------------------3.1. Definición ------------------------------------------------------------------------------3.2. Flujo por Gravedad ------------------------------------------------------------------3.3. Flujo propulsado por bomba ------------------------------------------------------3.4. Caso particular ------------------------------------------------------------------------3.5. Fórmula de Hazen-Williams --------------------------------------------------------

3 3 3 4 6 7

4. Ejemplos de aplicación -------------------------------------------------------------------

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5. Conclusiones y recomendaciones -------------------------------------------------------

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6. Bibliografía ------------------------------------------------------------------------------------

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MECÁNICA DE FLUIDOS II

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TUBERÍAS RAMIFICADAS I.

INTRODUCCIÓN: El método más común para transportar fluidos de un punto a otro es impulsarlo a través de un sistema de tuberías. Las tuberías de sección circular son las más frecuentes, ya que esta forma ofrece no sólo mayor resistencia estructural sino también mayor sección transversal para el mismo perímetro exterior que cualquier otra forma. El manejo de los fluidos en superficie provenientes de un yacimiento de petróleo o gas, requieren de la aplicación de conceptos básicos relacionado con el flujo de fluidos en tuberías en sistemas sencillos y en red de tuberías, el uso de válvulas accesorios y las técnicas necesarias para diseñar y especificar equipos utilizados en operaciones de superficie. El estudio del flujo en sistemas de tuberías es una de las aplicaciones más comunes de la mecánica de fluidos, esto ya que en la mayoría de las actividades humanas se ha hecho común el uso de sistemas de tuberías. Por ejemplo la distribución de agua y de gas en las viviendas, , el flujo de aire por ductos de refrigeración, el flujo de gas y petróleo en la industria petrolera, flujo de aire comprimido y otros fluidos que la mayoría de las industrias requieren para su funcionamiento, ya sean líquidos o gases. El transporte de estos fluidos requiere entonces de la elaboración de redes de distribución que pueden ser: Tuberías en serie, tuberías en paralelo, tuberías ramificadas, redes de tuberías. En nuestro informe hablaremos de tuberías ramificadas o redes abiertas las cuales tienen como característica principal que el fluido se lleva de un punto a varios puntos diferentes. Este sistema es muy usado en aspersión para agricultura, así como en la distribución de agua a poblaciones rurales, muy importantes en nuestro medio. Para ello creemos que es muy importante obtener conocimiento de este sistema para poder aportar como estudiantes y futuros ingenieros a la sociedad.

II.

OBJETIVOS:  Obtener conocimientos para poder verificar redes de tuberías.  Obtener conocimientos para poder diseñar sistemas de tuberías abiertas.  Demostración de algunas fórmulas utilizadas en el cálculo de elementos utilizados en tuberías ramificadas.  Saber determinar el momento para la utilización de las formulas, ya que las fórmulas utilizadas dependen de muchos factores para su utilización.  Describir el procedimiento a seguir para el desarrollo de problemas relacionados con cada tema tratado.

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III.

MARCO TEÓRICO: 3.1. Definición: Se habla de tuberías ramificadas cuando el fluido se lleva de un punto a varios puntos diferentes. Los sistemas de tuberías ramificadas están constituidos por una o más tuberías que se separan o dividen en dos o más tuberías (o que se reducen a una sola) y que no vuelven a juntarse de nuevo aguas abajo 3.2. Flujo por Gravedad: Este caso se presenta en la mayoría de los sistemas de distribución de fluido, por ejemplo, una red de tuberías de agua de una vivienda.

Figura N°01: Red de tuberías de agua En este caso el sistema de tuberías se subdivide en ramas o tramos, que parten de un nodo hasta el nodo siguiente. Los nodos se producen en todos los puntos donde la tubería se subdivide en dos o más, pudiéndose añadir nodos adicionales en los cambios de sección para facilitar el cálculo. El problema general, asociado a los sistemas de tuberías ramificadas, consiste en determinar el caudal de cada una de las tuberías cuando se conocen el resto de los dos datos (presión en cada uno de los depósitos, sus cotas, datos de la tubería y propiedades del fluido). Este tipo de problemas se puede resolver al aplicar la ecuación de continuidad, que establece que el caudal total que llega al nudo, ha de ser igual al caudal total que abandona dicho nudo. En este caso para cada nodo se cumple la ecuación de continuidad: ∑𝑄 = 0 MECÁNICA DE FLUIDOS II

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Luego en cada tramo, entre dos nodos se cumple la ecuación de Bernoulli generalizada: 𝑃1 𝑉 21 𝑃2 𝑉 2 2 + + 𝑍1 = + + 𝑍2 + ℎ𝑙 𝜌𝑔 2𝑔 𝜌𝑔 2𝑔

Si existe una bomba en él tuvo como se muestra en la figura anterior se modifica de la siguiente manera: 𝑃1 𝑉 21 𝑃2 𝑉 2 2 + + 𝑍1 + ℎ𝑤 = + + 𝑍2 + ℎ𝑙 𝜌𝑔 2𝑔 𝜌𝑔 2𝑔 Donde: ℎ𝑙 : Pérdidas locales ℎ𝑤 : Pérdidas locales

Figura N°02: Sistema de tuberías ramificadas de 3 tramos

3.3. Flujo propulsado por bomba: El caso más sencillo de sistemas de tuberías ramificadas es cuando se tienen 3 tramos, como en la figura.

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Figura N°03: Sistema de tuberías ramificadas propulsado por bomba

Este sistema ramificado es gobernado por un sistema de 4 ecuaciones, donde supondremos inicialmente que el diámetro de tubería es constante en cada tramo, por lo cual en la ecuación de Bernoulli generalizada las velocidades se cancelan:

𝑃1 − 𝑃2 2 + 𝑍1 − 𝑍2 + ℎ𝑤 = ℎ𝑓12 = 𝑅12 𝑄12 𝜌𝑔 𝑃2 − 𝑃3 2 + 𝑍2 − 𝑍3 = ℎ𝑓23 = 𝑅12 𝑄12 𝜌𝑔 𝑃2 − 𝑃4 2 + 𝑍2 − 𝑍4 = ℎ𝑓24 = 𝑅12 𝑄12 𝜌𝑔 𝑄12 = 𝑄23 + 𝑄34 Donde: 𝑅𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 8 𝑓 ∗ (𝑙 + 𝑙𝑒 ) 𝑠 2 ⁄ 5 𝑅= 𝑚 𝑔 ∗ 𝜋 2 ∗ 𝐷5 𝑓 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑒 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷 𝑙𝑒 = ∗ ∑ 𝑘 𝑓 ∑ 𝑘 = 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠

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Deberá resolverse entonces este sistema de cuatro ecuaciones, en donde se pueden tener hasta 4 incógnitas. El problema más común para este tipo de configuraciones de tubería consiste en determinar la tubería y la potencia de la bomba en función de los caudales requeridos en los puntos 3 y 4. Esto es lo que se requiere, por ejemplo, cuando se diseña un sistema de tuberías para una vivienda.

3.4. Caso particular de sistemas de distribución de agua: En el caso particular de un sistema de distribución de agua el procedimiento consiste en ir a la extremidad de tubería más alejada, y moverse hacia el principio de la tubería sumando los caudales requeridos cada vez que aparece un nodo. Suponga que el ejemplo de los tres tanques se requiera llevar un caudal de 2 l/s al tanque 3 y 1 l/s al tanque 4. Esto nos indica que: 𝑄23 = 2; 𝑄23 = 1; 𝑄12 = 𝑄23 + 𝑄24 = 3

Una vez que se conoce el caudal en cada uno de los tramos se calcula el diámetro de la tubería suponiendo una velocidad, escogiendo por supuesto tamaños comerciales de tuberías. Para sistemas de distribución de agua se usan velocidades entre 0,6 m/s y 3 m/s, esto ya que velocidades mayores producen ruido en la tubería y velocidades menores permiten que se produzcan depósitos que tienden a taparlas.

Una vez conocido el tamaño de la tubería y el caudal de cada tramo se calculan las pérdidas de carga en cada tramo, y se determina el camino más desfavorable para el líquido, que será el trayecto que éste debe realizar, desde el principio de la tubería hasta el punto más alejado con la mayor pérdida de carga. En el ejemplo se calcularan las pérdidas para los caminos 13 y 14, siendo las pérdidas de carga: ℎ𝐿13 = ℎ𝐿13 + ℎ𝐿13 ℎ𝐿14 = ℎ𝐿12 + ℎ𝐿24

Se puede luego utilizar la ecuación de Bernoulli generalizada aplicándola entre el inicio y el final, obteniendo dos ecuaciones que nos permiten calcular la potencia de la bomba: ℎ𝑤 = ℎ𝐿13 −

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𝑃1 − 𝑃3 − 𝑧1 + 𝑧3 𝜌𝑔

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La potencia necesaria para la bomba será el valor mayor obtenido. Evidentemente en un sistema correctamente balanceado se puede pensar que los dos valores son similares, si no es el caso esto se puede lograr variando el diámetro de tubería para disminuir la pérdida de carga. 3.5. FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS La fórmula de Hazen-Williams tiene origen empírico. Se usa ampliamente en los cálculos de tuberías para abastecimiento de agua. Su uso está limitado al agua en flujo turbulento, para tuberías de diámetro mayor de 2'' y velocidades que no excedan de 3 m/s. La ecuación de Hazen-Williams usualmente se expresa así: 𝑸 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟐𝟔 ∗ 𝑪𝑯 ∗ 𝑫𝟐.𝟔𝟑 ∗ 𝑺𝟎.𝟓𝟒 Expresión en la que: Q: gasto en litros por segundo CH: coeficiente de Hazen y Williams D: diámetro en pulgadas S: pendiente de la línea de energía en metros por km

Para una tubería dada, la longitud, el diámetro y el coeficiente de resistencia son constantes, luego 𝑸 = 𝑲𝒉𝟎.𝟓 𝒇 Siendo: 𝑲 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟐𝟔 ∗ 𝑪𝑯 ∗ 𝑫𝟐.𝟔𝟑 ∗ 𝑳−𝟎.𝟓𝟒 Los valores de la constante CH de Hazen y Williams han sido determinados experimentalmente. Son función de la naturaleza de las paredes. (Obsérvese que este coeficiente CH es diferente del de Chezy). Los valores usuales se observan en la siguiente tabla:

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NATURALEZA DE LAS PAREDES

CH

EXTREMADAMENTE LISAS Y RECTAS

140

LISAS

130

MADERA LISA, CEMENTO PULIDO

120

ACERO RIBETEADO

110

FIERRO FUNDIDO VIEJO

95 6080 4050

FIERRO VIEJO EN MAL ESTADO FUERTEMENTE CORROÍDO

Tabla N°01: Coeficientes de Hazen-Williams

Hagamos una breve discusión de la fórmula Si el Diámetro D y la pendiente de la línea de energía S se mantienen constantes se tiene que 𝑄1 𝐶𝐻1 = 𝑄2 𝐶𝐻2 Significa esto que si el coeficiente CH varía, el gasto variará en la misma proporción. Podría también aplicarse este concepto a dos tuberías, que tengan el mismo diámetro y el mismo valor de S. Sus gastos estarán en la misma proporción que sus respectivos coeficientes de Hazen y Williams. Si el diámetro y el gasto permanecen constantes, entonces 𝐶𝐻1 𝑆1 0.54 = 𝐶𝐻1 𝑆1 0.54 1.85

𝐶𝐻 𝑆1 = ( 1) 𝑆2 𝐶𝐻2

Así por ejemplo si dos tuberías tienen el mismo diámetro y el mismo gasto, pero la primera tiene CH igual a 100 y la segunda igual a 120, entonces 𝑆1 100 1.85 =( ) = 0.714 𝑆2 120

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Conviene obtener la expresión de la pérdida de carga a partir de la ecuación de Hazen y Williams. 𝑆 0.54 =

𝑆=

ℎ𝑓 =

𝑄 0.000426𝐶𝐻 𝐷2.63 𝑄

5.813 ∗ 10−7 𝐶𝐻 1.85 𝐷4.866 𝐿𝑄1.85 5.813 ∗ 10−7 𝐶𝐻 1.85 𝐷4.866

Para una tubería particular se cumple que ℎ𝑓 = 𝐾 ∗ 𝑄1.8

Así por ejemplo, si D = 10'', CH = 120 y L = 1,25 km se obtiene

ℎ𝑓 =

1.25 ∗ 𝑄1.85 = 0.00417𝑄1.85 5.813 ∗ 10−7 ∗ 7022.4 ∗ 7.345 ∗ 104

Que es la ecuación de descarga para la tubería.

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IV.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN:  EJEMPLO N°01: En la figura (a) encontrar los caudales del agua a 20 °C con los siguientes datos de tubería y elevación de los embalses: 𝐿1 = 3000 𝑚, 𝐷1 = 1 𝑚 y 600 𝑚, 𝐷2 = 0.45 𝑚 y

∈2 𝐷2

= 0.002; 𝐿3 = 1000 𝑚, 𝐷3 = 0.6 𝑚 y

∈1 𝐷1 ∈1 𝐷1

= 0.0002; 𝐿2 = = 0.001; y 𝑧1 =

30 𝑚, 𝑧2 = 18 𝑚 y 𝑧3 = 9 𝑚.

(a) Tres depósitos interconectados.

Solución: Suponer 𝑧𝐽 +

𝑝𝐽 𝛾

= 23 𝑚. Entonces

7 = 𝑓1

3000 𝑉12 1 2𝑔

5 = 𝑓2

600 𝑉22 0.45 2𝑔

14 = 𝑓3

1000 𝑉32 0.60 2𝑔

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𝑓1 = 0.014

𝑓2 = 0.024

𝑓3 = 0.020

𝑚 𝑠

𝑄1 = 1.380 𝑚3 /𝑠

𝑚 𝑠

𝑄2 = 0.278 𝑚3 /𝑠

𝑉1 = 1.75

𝑉2 = 1.75

𝑉3 = 2.87

𝑚 𝑠

𝑄3 = 0.811 𝑚3 /𝑠

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De tal manera que el caudal de entrada es mayor que el caudal de salida en: 1.380 − 0.278 − 0.811 = 0.291 Suponer 𝑧𝐽 +

𝑝𝐽 𝛾

𝑚3 𝑠

= 24.6 𝑚.

Entonces: 5.4 = 𝑓1

3000 𝑉12 1 2𝑔

𝑓1 = 0.015

𝑉1 = 1.534

𝑚 𝑠

𝑄1 = 1.205 𝑚3 /𝑠

6.6 = 𝑓2

600 𝑉22 0.45 2𝑔

𝑓2 = 0.024

𝑉2 = 2.011

𝑚 𝑠

𝑄2 = 0.320 𝑚3 /𝑠

𝑓3 = 0.020

𝑉3 = 3.029

𝑚 𝑠

𝑄3 = 0.856 𝑚3 /𝑠

1000 𝑉32 15.6 = 𝑓3 0.60 2𝑔

Todavía el caudal de entrada es mayor en 0.029 Extrapolando linealmente 𝑧𝐽 +

𝑝𝐽 𝛾

𝑚3 . 𝑠

= 24.8 𝑚.

𝑄1 = 1.183 𝑄2 = 0.325 𝑄3 = 0.862 𝑚3 /𝑠

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 EJEMPLO N°02: Determinar el flujo que circula por cada rama, considerando la siguiente información:

Conducto 1 2 3

Li (m) 500 700 1000

Φi (m) 0.10 0.15 0.13

Fi 0.025 0.020 0.018

ΣK 3 2 7

Solución: 1. Longitud equivalente (𝐿𝑒)𝑖 =

𝐷𝑖 𝛴𝑘 𝑓𝑖

Desarrollando para cada uno tenemos: 0.10 (𝐿𝑒)1 = 3 = 12𝑚 0.025 0.15 (𝐿𝑒)2 = 2 = 15 𝑚 0.020 0.13 (𝐿𝑒)3 = 7 = 50.56 𝑚 0.018 2. Coeficiente de resistencia Ṝ Ṝ𝑖 = 8𝑓𝑖 ∗

𝐿𝑖 + (𝐿𝑒)𝑖 𝑔 ∗ 𝜋 2 ∗ (𝐷𝑖)5

𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜: MECÁNICA DE FLUIDOS II

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Ṝ1 = 105762.38

𝑠2 𝑚5

Ṝ2 = 15559.69

𝑠2 𝑚5

Ṝ3 = 42082.14

𝑠2 𝑚5

3. Ecuación de energía Rama 2 𝑃 𝑃 ( + 𝑧) 𝑐 − ( + 𝑧) 𝑏 = Ṝ2(𝑄2)2 𝛾 𝛾 𝑃 ( + 𝑧) 𝑐 − 𝐻 = Ṝ2(𝑄2)2 𝛾 𝑃𝑐 ( + 𝑧𝑐) − 𝐻 = Ṝ2(𝑄2)2 𝛾 (0 + 20) − 𝐻 = Ṝ2(𝑄2)2 (20 − 𝐻) = Ṝ2(𝑄2)2 1

20 − 𝐻 2 𝑄2 = ( ) Ṝ2 Rama 1 𝑃 𝑃 ( + 𝑧) 𝑏 − ( + 𝑧) 𝑎 = Ṝ1(𝑄1)2 𝛾 𝛾 𝑃 𝐻 − ( + 𝑧) 𝑎 = Ṝ1(𝑄1)2 𝛾 𝑃𝑎 𝐻 − ( + 𝑧𝑎) = Ṝ1(𝑄1)2 𝛾 𝐻 − (0 + 5) = Ṝ1(𝑄1)2 1

𝐻−5 2 𝑄1 = ( ) Ṝ1 Rama 3 1

𝐻 − 13 2 𝑄3 = ( ) Ṝ3 4. Balance hidráulico B 𝑄2 = 𝑄1 + 𝑄3 𝑄1 + 𝑄3 − 𝑄2 = 0 1

1

1

𝐻−5 2 𝐻 − 13 2 20 − 𝐻 2 ( ) +( ) −( ) =0 Ṝ1 Ṝ3 Ṝ2 1

1

1

2 𝐻−5 𝐻 − 13 2 20 − 𝐻 2 ( ) +( ) −( ) =0 105762.38 15559.69 42082.14

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5. Resolvemos aplicando el método de iteraciones sucesivas.

H propuesta

CERO

1 12 21 13 20 15 15.10 15.15 15.16 15.20 15.30 15.31 15.33

0.0125 0.024 -0.0013 -0.0091 -0.00071 -0.00067 -0.00051 -0.00012 -0.000079 -0.00000052(OK)

Entonces la carga piezométrica en B: H = 15.33 metros

Procedemos a calcular los flujos: 1

15.33 − 5 2 𝑄1 = ( ) 105762.38 1

20 − 15.33 2 𝑄2 = ( ) 42082.14 1

15.33 − 13 2 𝑄3 = ( ) 15559.69 Obteniendo: 𝑄1 = 0.0099 m^3/s 𝑄2 = 0.0173 m^3/s 𝑄3 = 0.0074 m^3/s Comprobamos: 0.0173 = 0.0099 + 0.0074 (OK)

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V.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:  Es muy importante tener bien entendido la ecuación de extremo o de conservación de la energía.  También es muy importante conocer la ecuación de nudo o de conservación de la masa.  Estos sistemas abiertos o ramificadas lo podemos utilizar para aspersión y también en la distribución de agua potable.  Seguir el procedimiento descrito en cada caso para poder determinar la solución a los problemas planteados.

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VI.

BIBLIOGRAFIA:  STREETER VICTOR (1970). Mecánica de Fluidos. Editorial McGRAW-HILL. Cuarta Edición. Impreso en Mexico. Universidad de Michigan. Pp. 747.  MOTT ROBERT (2013) Mecánica de Fluidos. Editorial Pearson Educación. Sexta Edición. México. Pp 623.

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