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• Cesar Rau Montalvo

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22

ANÁLISIS COMBINATORIO II

Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados •

Reconoce cuándo utilizar la combinatoria para resolver problemas de agrupamientos.

•

Calcula las diferentes maneras de combinar a través del métodos gráfico y el análisis combinatorio.

Estrategias motivadoras

La máquina computadora electrónica portátil Las máquinas computadoras electrónicas pueden resolver los problemas más diferentes. En una misma máquina se pueden descifrar las escrituras en idiomas desconocidos, efectuar el cálculo de una represa y elaborar los datos sobre el movimiento de un cohete. ¿Cómo se explica esta diversidad de aplicaciones de la máquina? Fundamentalmente esto se debe a que todos estos problemas se reducen a cálculos, a operaciones con números. Pero, ¿por qué la máquina debe resolver tantos problemas y para los datos numéricos más variados? ¿Cuántas combinaciones diferentes de números se pueden situar en la máquina? Para responder a esta pregunta, tomemos, por ejemplo, la computadora “Strelá”. La memoria operativa de esta máquina está formada por 2048 células, cada una de las cuales contiene 43 cifras binarias. Cada cifra puede contener 0 ó 1 cifras binarias. En total, tenemos 43 × 2048 > 87 000 lugares diferentes, siendo el número de tipos de llenado de las células igual a dos (0 ó 1). Según la fórmula (1), obtenemos que la máquina “Strelá” puede hallarse en más de 287 000 estados diferentes. Es difícil hacerse una idea de la magnitud de este número. Es suficiente decir que el número de neutrones que se pueden empaquetar densamente en una esfera de radio igual a la distancia hasta la nebulosa más alejada que conocemos, no es mayor que 2500. Si tomásemos una sola célula de la memoria, se necesitaría el trabajo de nueve años de un ejército de cien mil mecanógrafas para imprimir todos los números que pueden surgir en esta célula (considerando que las mecanógrafas trabajan siete horas por día y que invierten 10 segundos en escribir un número de 43 cifras).

181

COLEGIO PRIVADO

Aritmética

Organizador visual

COMBINACIÓN

Son los diferentes agrupamientos que se pueden formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto.

Si tenemos n elementos y vamos a agrupar de r en r elementos, tenemos: Cnr =

n! ,0≤r≤n (n − r )!× r !

COMBINACIONES De seguro alguna vez al estar en un equipo de fútbol, te preguntaste: "Si somos 4 equipos, ¿cuántos partidos debemos jugar en una sola rueda?, o ¿con 3 frutas diferentes, cuántos jugos de sabores diferentes se podrán preparar?, o ¿con 5 amigos, de cuántas maneras diferentes nos podemos agrupar?". Pues es este tipo de problemas que el análisis combinatorio resuelve, utilizando las combinaciones, veamos cómo a través del primer ejemplo:



A vs. B indica

A como local





B como visitante



B vs. A indica

B como local





A como visitante

Ejemplo 1

Por permutación





entonces serían diferentes. Pero continuemos, si nos interesara el orden tendríamos:

Con 3 equipos de fútbol: A, B y C; ¿cuántos partidos diferentes se puede jugar en una sola rueda? Resolución Los partidos programados serán: Como hemos mencionado, los partidos encerrados en línea punteada son los mismos que fueron programados, por lo tanto:

Pero quizás te preguntes, ¿por qué no: B vs. A, C vs. A y C vs. B? Porque la condición es en una sola rueda, indica que sólo se enfrentarán una sola vez, si fuera en 2 ruedas:

182

3! P23 (3 − 2)! 3! 3! N.º de partidos = = = = =3 2! 2! (3 − 2)! × 2! 2!

Se divide entre 2! porque el orden no interesa (AB = BA) y 2! indica el número de formas de ordenar 2 elementos.

Aritmética La notación para el número de partidos será:

N.º de jugos diferentes = C31 + C32 + C33 3! 3! 3! + + 1!× (3 − 1)! 2!× (3 − 2)! 3!× (3 − 3)! = 3 + 3 +1 =7

C 32

=

Se lee: Combinación de 3 elementos tomados de 2 en 2 Lo calculamos: C 32 =

Sabías que lo que acabas de utilizar es una propiedad de la combinatoria.

3! =3 (3 − 2)! × 2!

C31 + C32 + C33 + ... + Cnn =2n – 1

Combinación: Es cada uno de los diferentes grupos que se puedan hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar el orden.

Otras: • Cn1 = Cnn = 1

El número de combinaciones de n elementos diferentes tomados de k en k, con k ≤ n está dado por: Cnk =

• Cn1 = n • Cnk = Cnn−k (Números combinatorios complementarios) n × Cnk −−11 k n factores   n(n − 1)(n − 2)... n • Ck = k!

n! k ! × (n − k)!

• Cnk =

Continuemos practicando: Ejemplo 2 Estás en tu casa y quieres prepararte jugo, teniendo sólo 3 frutas diferentes: manzana, fresa y pera. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrás preparar con estas frutas? Resolución Método 1 (en forma gráfica)

A este tema de agrupación que hemos visto también se le conoce como combinación simple, hacemos esta observación pues existe otro tipo especial de combinación en la cual se escoge el mismo elemento más de una vez. Dicha combinación se le denomina combinación completa o combinación con repetición. Veamos un ejemplo: Ejemplo En un día caluroso Ana, Bety y Carol piden gaseosas; si se sabe que hay 4 sabores: Coca, Inka, Fanta y Sprite, ¿de cuántas maneras puedes hacer el pedido? Resolución

•

Cuando se escoge 1 fruta: M, F, P = 3

•

Cuando se escoge 2 frutas: MF, MP, FP = 3

•

Cuando se escoge 3 frutas: MFP = 1

Total de sabores diferentes: 3 + 3 + 1 = 7

Quizás tu respuesta pueda ser C43 , pero esto significaría de un total de 4 sabores diferentes formar grupos de 3 sabores diferentes; pero no es posible que 2 de ellos o los 3 escogen el mismo sabor; de ahí que el pedido se puede realizar de las siguiente manera:

Coca: C



Fanta: F



Inka: I



Sprite: S



Método 2 (empleando combinaciones)

CCC

CCI

IIC

FFC

SSC

CIF

Como no importa el orden, solo los grupos:

III

CCF

IIF

FFI

SSI

CIS

FFF

CCS

IIS

FFS

SSF

CFS

•

De 3 frutas agrupando de 1 en 1: C31

•

De 3 frutas agrupando de 2 en 2: C32

•

De 3 frutas agrupando de 3 en 3: C33

Como puedo escoger uno u otro grupo, aplico el principio de adición:

SSS

IFS

Como verás hemos tomado elementos repetidos pero quizás te preguntes porqué no usar P43 , recuerda que esa expresión se utiliza cuando el orden importa y aquí C I F = I C F pues es el mismo pedido.

183

COLEGIO PRIVADO

Aritmética Por lo tanto, para este tipo de problemas donde quiero formar grupos con elementos repetidos utilizamos: CRkn (Es el número de maneras de escoger k objetos distintos o no de un total de n objetos distintos)

Nanda quiere comprar helados para ella y sus 2 hermanas; si en la heladería venden 5 tipos de helados ya envasados, ¿de cuántas maneras diferentes puede efectuar dicha compra? Resolución

Para calcularlo utilizamos la siguiente expresión: CR nk = Cnk + k −1 =

Ejemplo

CR 53 = C 53+ 3−1 = C73 =

(n + k − 1)! (n − 1)!× k !

7! 7! 4! 5× 6 ×7 = = 3!× (7 − 3)! 3!× 4 ! 4 ! 1 × 2 × 3

= 35

Para nuestro ejemplo:

Se puede comprar de 35 maneras diferentes.

CR 43 = C 43 + 3−1 =

(4 + 3 − 1)! (4 − 1)!× 3!

CR 43 = C 43 + 3−1 =

6! 3! × 4 × 5 × 6 = 20 = 3!× 3! 3! × 1 × 2 × 3

Como habíamos visto, se podía comprar de 20 maneras.

1.

De un grupo de profesores conformado por 5 matemáticos y 3 literatos se desea formar un comité de 4 miembros. ¿De cuántas maneras diferentes puede formarse el comité que incluye al menos 1 literato? A) 61 D) 64

B) 62 E) 65

Resolución



C) 63

∴ Número de formas: 4 × C13 = 2860 4

Resolución 3.

5 matemáticos(M) Comisión de 4 con ⇒ 3 literatos (L) al menos un literato. Entonces 1 L y 3 M ó 2 L y 2 M ó 3 L y 1 M El número de formas es:

30

5

Rpta.: E 2.

De una baraja de 52 cartas, se extraen al azar 4 de ellas. ¿De cuántas formas se puede obtener cartas de la misma figura? A) 2860 D) 2678

B) 2140 E) 2845

C) 1852

184

Rpta.: A

Una persona tiene 5 amigos y durante 5 días invita a su casa a 3 de ellos, de modo que el grupo no se repita ni una sola vez. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? A) 18 526 B) 30 240 C) 24 569 D) 32 785 E) 30 698 Resolución N.º de amigos: 5 N.º de formas de agruparlos de 3 en 3: 5! C53 = = 10 2!× 3!

C13 × C 53 + C 32 × C 52 + C 33 × C15 = 65          30

Escoger 4 cartas de la misma figura → C13 , pero son 4 4 figuras diferentes.



Hay en total 10 grupos de 3 y debe escoger durante 5 días a dichos grupos. N.º de formas: 1.er día 2.o día 3.er día 4.o día 5.o día 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30 240 Rpta.: B

Aritmética

NIVEL I 1.

Dado el conjunto A = {a, b, c, d, e}, halle el número de combinaciones de estos elementos tomados de 2 en 2. Rpta.: 10

2.

De un grupo de 5 personas, ¿de cuántas formas se puede escoger a 3 de ellas? Rpta.: 10

3.

En la final de un torneo de ajedrez clasifican 10 jugadores. ¿Cuántos partidos se jugarán si se juega todos contra todos? Rpta.: 45

4.

Mati y sus 11 amigas deciden presentar un reclamo y para ello forman un comité de 4 personas. ¿De cuántas maneras distintas se podrá escoger dicho comité? Rpta.: 495

5.

Yadhira compra papaya, fresa, piña, plátano y mango. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con esas frutas? Rpta.: 31

6.

¿Cuántos triángulos se pueden formar como máximo, empleando 8 rectas coplanares? Rpta.: 56

7.

8.

10. En una reunión hay 10 varones y 5 mujeres; se van a formar grupos de 3 personas. ¿Cuántos grupos diferentes se formarían si sólo puede haber 2 mujeres en el grupo? Rpta.: 1200 11. De 5 alumnos de Administración y 4 de Economía, se seleccionará 4 de ellos al azar. ¿De cuántas maneras diferentes se puede obtener entre los seleccionados 2 de Administración y 2 de Economía? Rpta.: 60 12. De un grupo de profesores conformado por 5 matemáticos y 3 literatos se desea formar un comité de 4 miembros. ¿De cuántas maneras diferentes puede formarse el comité que incluye al menos un literato? Rpta.: 65 NIVEL III 13. En un campeonato de fulbito 12 equipos deben jugar todos contra todos. Si llegan 4 equipos más, ¿cuántos partidos adicionales deben jugarse? Rpta.: 54

Se tienen 18 puntos no colineales. ¿Cuál es la cantidad de triángulos que puede formarse?

14. Con 8 hombres y 7 mujeres, ¿cuántos grupos diferentes de 5 personas se pueden formar de modo que esté conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Rpta.: 816

Rpta.: 1176

Se desea formar un comité de 7 seleccionando 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8 físicos y 6 matemáticos. ¿De cuántas maneras podrá seleccionarse?

15. De 7 números positivos y 6 números negativos se escogen 4 números al azar y se les multiplica. Calcule el número de formas en que se pueden multiplicar de tal manera que el producto sea positivo.

Rpta.: 1400

Rpta.: 365

NIVEL II 9.

Al último seminario de Aritmética llegaron 16 tardones, de los cuales, el coordinador sólo puede dejar ingresar a 3. ¿De cuántas maneras los puede escoger el coordinador, sin importar el orden en que lo haga?

16. María tiene 8 amigas de confianza y desea hacer una reunión. ¿De cuántas maneras puede asistir 5 de sus amigas si dos de ellas no se llevan bien y no pueden asistir juntas? Rpta.: 36

Rpta.: 560

185

COLEGIO PRIVADO

Aritmética

NIVEL I 1.

NIVEL III

En un campeonato de fútbol se han inscrito 12

8.

equipos. Si todos juegan contra todos, ¿cuántos

ecuación x + y + z + w = 6?

partidos se jugarán?

2.

A) 52

B) 48

D) 60

E) 66

C) 45

Con un grupo de 15 alumnos, ¿cuántos comités de 3 alumnos se pueden formar?

3.

A) 480

B) 450

D) 445

E) 460

C) 455

¿Con 6 frutas diferentes cuántos jugos diferentes se

9.

A) 120

B) 90

D) 36

E) 84

¿De cuántas maneras se puede colocar 9 monedas de sol en 4 alcancías iguales? A) 820

B) 600

D) 715

E) 750

A) 31

B) 32

D) 128

E) 63

C) 64

tipos de barquillos se pueden servir. A) 45

B) 36

D) 28

E) 21

sus cifras. A) 17

B) 18

D) 19

E) 20

C) 16

máximo se pueden formar? B) 460

D) 455

E) 480

C) 470

productos distintos con 4 factores se pueden formar? B) 45

D) 40

E) 42

C) 35

Con un grupo de 8 personas se desea formar dos comités de 4 integrantes cada uno. ¿De cuántas maneras se podrá realizar? A) 70

B) 35

D) 65

E) 85

se debe formar un comité de 5 personas donde debe haber al menos tres mujeres y de las 5 personas

aquello? A) 1280

B) 1820

D) 2820

E) 2420

C) 2180

12. ¿Cuántas palabras de seis letras, que contengan dos

Con los primeros 7 números primos, ¿cuántos

A) 36

11. En una reunión donde asisten 6 varones y 5 mujeres;

secretaria. ¿De cuántas formas se puede realizar

Con 15 recetas coplanares, ¿cuántos triángulos como

A) 450

DESAFÍO

seleccionadas deberá elegirse una presidenta y una

NIVEL II

7.

C) 32

Se tienen 8 matemáticos, 7 físicos y 9 químicos. químicos se pueden formar? Dé como respuesta la de

6.

C) 550

10. En una heladería se puede servir barquillos con tres

¿Cuántos equipos de 3 matemáticos, 2 físicos y 2

5.

C) 60

bolas, para ello se tienen 5 sabores. Calcule cuántos

puede formar?

4.

¿Cuántas soluciones no negativas tiene la siguiente

C) 60

186

vocales y 4 consonantes distintos, se pueden formar con cuatro vocales incluyendo la E y seis consonantes incluyendo la S de modo que empiecen con E y contengan a la S? A) 3060

B) 3600

D) 7200

E) 4800

C) 3500

Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso

: __________________________________________________

Profesor

: ____________________________________________________________________

1.

En un campeonato de fútbol se han inscrito 10

6.

equipos. Si todos juegan contra todos, ¿cuántos

B) 48

D) 36

E) 45

C) 24 7.

2.

3.

A) 60

B) 140

D) 12

E) 126

C) 120

Con un grupo de 10 personas se desea formar 2

Con un grupo de 12 alumnos, ¿cuántos comités de 3

comités de 5 integrantes cada uno. ¿De cuántas

alumnos se pueden formar?

maneras se podrá realizar?

A) 210

B) 220

D) 250

E) 215

C) 240

¿Con 5 frutas diferentes cuántos jugos diferentes se

8.

pueden formar?

4.

Con los primeros 9 números primos, ¿cuántos productos distintos con 5 factores se pueden formar?

partidos se jugarán? A) 60

Aula : __________

A) 252

B) 126

D) 141

E) 256

C) 120

¿Cuántas soluciones no negativas tiene la siguiente ecuación?

A) 31

B) 32

D) 63

E) 128

C) 15

x+y+z+w=8

Se tienen 6 matemáticos, 5 físicos y 4 químicos.

A) 165

B) 180

D) 150

E) 140

C) 220

¿Cuántos equipos de 2 matemáticos, 3 físicos y 2 químicos se pueden formar? Dé como respuesta la de sus cifras.

5.

9.

¿De cuántas maneras se puede colocar 7 monedas de sol en 3 alcancías iguales?

A) 620

B) 540

D) 600

E) 500

C) 480

Con 12 rectas coplanares ¿cuántos triángulos como máximo se pueden formar? A) 66

B) 110

D) 200

E) 240

A) 75

B) 60

D) 28

E) 45

C) 36

10. En una heladería se pueden ordenar copas con 4 bolas de helados, para ello se tienen 6 sabores diferentes.

C) 220

¿De cuántas maneras se puede realizar esta orden? A) 60

B) 36

D) 84

E) 75

187

C) 45

23

PROBABILIDADES I

Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados •

Tiene la idea inicial de probabilidad y aplicará dicha idea en muchos momentos de su vida diaria.

•

Conoce la definición de probabilidad y solucionará los problemas que se le presentan en su vida diaria.

Estrategias motivadoras

Lectura Lo probabilístico, utilizando el cálculo de probabilidades se estiman las reservas que hay de petróleo en el subsuelo, para lo cual se analiza estadísticamente la información geológica y de ingeniería que se recoge mediante instrumentos de medición. Hay las reservas probadas, las probables y las posibles. Esta denominación depende del grado de certidumbre que se tenga sobre las estimaciones que se hacen. Así, las reservas posibles tienen un menor grado de certidumbre que las probables y éstas a su vez menos que las probadas, clasificación esta última donde hay cifras “ciertas y precisas” obtenidas de los yacimientos detectados, con un margen de error muy pequeño. La historia de cálculo de probabilidades es, entre todas las ramas de las matemáticas, algo singular, ya que nace como una teoría para juegos de azar y muy pronto se utiliza para el estudio de fenómenos colectivos tales como problemas económicos, sociales, predicciones estadísticas y otros muchos problemas de diversos tipos. Por ejemplo: •

¿Cuál es la probabilidad o posibilidad que la inflación baje en el siguiente mes?

•

¿Cuál es la probabilidad de que un televisor dure 5 años sin que falten sus circuitos?

•

¿Cuál es la probabilidad que al lanzar dos dados el resultado sea 11?

188

Aritmética

Organizador visual

PROBABILIDADES

Definición clásica de probabilidad

Conceptos previos

Experimento aleatorio (ε)

Evento

Espacio muestral (Ω)

P(A) =

N .º de casos favorables n(A) = N .º de casos totales n(Ω)

Evento seguro (Ω)

Evento imposible (∅)

Eventos mutuamente excluyentes

TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES Es una parte de las matemáticas que se ocupa del estudio de los fenómenos aleatorios o procesos estocásticos. Nace como una teoría para juegos de azar y muy pronto se utiliza para el estudio de fenómenos colectivos.

Ejemplos •

Dejar caer un objeto de una altura de 1 m y hallar su velocidad de impacto.

•

Colocar un punto en cada cara de un dado trucado y predecir el resultado que se obtiene al lanzarlo.

Nociones de probabilidades Experimento determinístico

Experimento aleatorio (ε)

Se denomina experimento determinístico a aquella prueba o ensayo que bajo las mismas condiciones de experimentación presenta los mismos resultados.

Se denomina experimento aleatorio a toda prueba o ensayo cuyos resultado no pueden predecirse sin realizar previamente la prueba.

189

COLEGIO PRIVADO

Aritmética Ejemplos

Operaciones entre sucesos

ε1:

Al lanzar una moneda y al caer al piso puede mostrar “cara” o “sello”.

Se ha indicado anteriormente que los sucesos son conjuntos y como tales cumplen todas las operaciones de los mismos.

ε2:

Al lanzar un dado puede mostrar en su cara superior 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.

Del experimento aleatorio: “Lanzar un dado y observar el puntaje obtenido”.

ε3:

El último dígito del número que saldrá premiado en la lotería puede ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ó 0.

Se consideran los siguientes sucesos: A : Se obtiene resultado par → A = {2, 4, 6} B : Se obtenga puntaje menor que 4 → B = {1, 2, 3}

Espacio muestral (Ω) Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

C : Se obtenga puntaje que sea un número primo → C={2, 3, 5} Ejemplo Determine como operación(es) de los anteriores, los sucesos:

De los ejemplos anteriores: Ω1 = {cara, sello} Ω2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} Ejemplo Una moneda se lanza 3 veces. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?

i)

“Se obtenga puntaje par o menor que 4”.

ii)

“Se obtenga puntaje menor que 4 y primo”.

iii)

“Se obtenga resultado mayor o igual a 4”.

iv)

“Se obtenga resultado primo pero no par”.

Resolución Resolución

i)

A∪B = {2, 4, 6, 1, 3}

ii)

B∩C = {2, 3}

iii)

BC = {4, 5, 6}

iv)

C – A = {3, 5}

Evento o suceso Un evento o suceso es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se denotan con las primeras letras mayúsculas de nuestro alfabeto.

Dentro de las operaciones entre sucesos se considera algunas notaciones particulares como:



De los ejemplos iniciales:

Ω: Se llama suceso seguro (siempre ocurre).



A1: El resultado muestra cara.

Ejemplo: Elegir un estudiante del aula que sea humano.













A1= {cara} A2: El resultado sea un número primo.

∅: Se le llama suceso imposible (nunca ocurre).

A2= {2, 3, 5}

Ejemplo: Sacar una carta de una baraja y obtener 0.

A3: El resultado sea un número impar.

{x}: Se le llama suceso elemental (sólo tiene un resultado).

A3= {1, 3, 5, 7, 9}

190

Aritmética Sucesos mutuamente excluyentes

Definición clásica de probabilidad

Dados dos sucesos A y B se dice que ellos son mutuamente excluyentes si y sólo si A∩B = ∅.

Si A es un suceso de un espacio muestral Ω, entonces la probabilidad de ocurrencia de A, el cual denotaremos P[A], está dada por la relación:

Ejemplo 1 En una caja se tiene 5 paquetes de galletas, 3 de soda y 2 de vainilla, del cual se extrae un paquete. Consideremos los sucesos: A: El paquete extraído es de soda. B: El paquete extraído es de vainilla. Luego: A y B son mutuamente excluyentes, porque el paquete extraído no puede ser de soda y vainilla y a la vez.

P(A) =

n(A) n(Ω)

∨

P(A) =

N .º de casos favorables N .º de casos posibles

Ejemplo 1 Determine la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado sea un número compuesto. Resolución Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(Ω) = 6 A: Resultado es un número compuesto ={4, 6} → n(A)=2 ∴ P(A) =

Ejemplo 2 De los pacientes atendidos en un hospital cierto día tenemos los siguientes sucesos: C: Se han atendido a menos de 20 personas. D: Se han atendido exactamente 25 personas. E : Se han atendido a más de 14 personas. Se tiene: C y D: Mutuamente excluyentes. C y E: No son mutuamente excluyentes. D y E: No son mutuamente excluyentes. Sucesos independientes Dados los sucesos A y B se dice que ellos son independientes si la ocurrencia de A no afecta al hecho de que ocurra simultáneamente o sucesivamente B. Ejemplo Se lanza una moneda cuatro veces y se observa el resultado.

2 1 = 6 3

Ejemplo 2 De una caja que contiene 7 lapiceros negros y 5 lapiceros azules; se extrae uno de ellos al azar. Determine la probabilidad que sea azul. Resolución Ω = {7 negros y 5 azules} → n(Ω) = 12 B: Color azul → n(B) = 5 ∴ P(B) =

5 12

Ejemplo 3 Angelita rinde su práctica calificada y la calificación es vigesimal. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una nota par mayor que 14? Resolución Ω ={7 negros y 5 azules} → n(Ω) = 12 B: Nota par mayor a 14 = {16, 18, 20} → n(C) =3 ∴ P(B) =

Sean los sucesos:

3 1 = 21 7

A: Sale cara en el tercer lanzamiento.

Ejemplo 4

B: Sale cara en el cuarto lanzamiento.

Se tiene una baraja de 52 cartas y de ella se extrae una. Halle la probabilidad de que la carta extraída:

Luego: A y B son independientes ya que si en el tercer lanzamiento sale cara, eso no impide que en el cuarto lanzamiento se obtenga cara.

–

Sea un as de corazones.

–

Sea un as.

–

Sea de figura roja.

–

Represente su valor con una letra.

191

COLEGIO PRIVADO

Aritmética Resolución n(Ω) = 52 (26 rojas, 26 negras) A: as corazones → n(A) = 1 B: un as

→ n(B) = 4

C: figura roja

→ n(C) = 26

D: valor una letra → n(D) = 16 ∴

1.

1 52 26 1 P(C) = = 52 2 P(A) =



4 1 = 52 13 16 4 P(D) = = 52 13

P(B) =

En el lanzamiento de dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener como resultado un puntaje que sea múltiple de 3? A) 1 3

B) 2 3

D) 2 4

E) 1 2

C) 3 5

Resolución ε: lanzar 2 dados n(Ω) = 6 × 6 = 36 A: resultado múltiplo de 3 A = {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6)} n(A) = 12 ∴ P(A) = 12 = 1 36 3 Rpta.: A 2.

Si se lanzan 3 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos dos caras? A) 1 3

B) 2 3

D) 4 2

E) 1 4

C) 1 2

n(Ω) = 23 = 8 A: obtener por lo menos 2 caras A = {ccc, ccs, csc, scc} n(A) = 4 ∴P(A) = 4 = 1 8 2 3.

Rpta.: C

En una reunión hay 10 hombres y 8 mujeres. Si se eligen 3 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean mujeres? A) 10 102

B) 1 120

D) 7 102

E) 12 100

C) 7 118

Resolución 10 hombres   Elegir 3 personas al azar 8 mujeres 

Resolución ε: lanzar 3 monedas

18! = 51 × 16 15!× 3! A: las 3 personas elegidas son mujeres 8! N.º de casos favorables: C83 = = 56 5!× 3! 56 7 ∴ P(A) = = 51×16 102 N.º de casos totales: C18 3 =

192

Rpta.: D

Aritmética

NIVEL I 1.

2.

3.

En el lanzamiento al aire de 3 monedas, ¿cuál es la probabilidad que los resultados obtenidas en las monedas sean iguales?

10. Una pareja planifica tener 3 hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos sean niñas? Rpta.: 3/8

Rpta.: 1/4

11. Al lanzar 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 números cuyo producto sea impar?

Calcule la probabilidad de lanzar 2 dados y que el puntaje obtenido sea 10.

Rpta.: 1/4

Rpta.: 1/2

12. Se lanzan 4 monedas. ¿Cuál es al probabilidad de que una sea cara y las otras sean sellos?

De una baraja de 52 naipes, se escoge una carta. ¿Cuál es la probabilidad que sea menor que 5?

Rpta.: 1/4

Rpta.: 4/13 4.

5.

Se lanza un dado acompañado de una moneda. Calcule la probabilidad de obtener puntaje no menor de 3 y acompañado de cara en la moneda.

NIVEL III 13. En una reunión hay 10 hombres y 8 mujeres. Si se eligen 3 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean mujeres?

Rpta.: 1/3

Rpta.: 7/102

Un alumno escribe al azar un numeral de 3 cifras. Halle la probabilidad de que escriba un número par que empieza en 5.

14. De un total de 52 cartas se extraen 2 a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que dichas cartas sean espadas? Rpta.: 1/17

Rpta.: 1/18 6.

Una caja contiene 7 lapiceros negros y 5 lapiceros azules; se extrae uno de ellos al azar. Determine la probabilidad de que el lapicero extraído no sea de color azul.

15. Se lanza un dado en el gráfico mostrado. Determine cuál es la probabilidad de acertar si para ello debe caer en el círculo negro.

Rpta.: 7/12 7.

En una urna se tienen 4 bolas negras y 5 bolas rojas. Si se extraen 2 bolas, ¿cuál es la probabilidad que éstas sean rojas? Rpta.: 5/18

8.

Jimmy rinde su práctica calificada y la calificación es de 0 a 20. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una nota par mayor que 12? Rpta.: 4/21 NIVEL II

9.

Ana, Betty y 4 amigas más van a ser ubicadas en una carpeta de 6 asientos. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana y Betty se sienten juntas?

Rpta.: 0,16 16. En una caja se tienen 5 bolas rojas y dos blancas; se escogen 2 bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de colores diferentes? Rpta.: 10/21

Rpta.: 1/3

193

COLEGIO PRIVADO

Aritmética

NIVEL I 1.

Se lanza una moneda y un dado. Calcule la probabilidad de que salga un número primo y cara. A) 1/2 D) 3/5

2.

C) 2/3

B) 2/9 E) 4/9

C) 7/36

¿Cuál es la probabilidad que al lanzar una moneda tres veces, salgan al menos dos veces cara? A) 2/3 D) 3/5

4.

B) 1/4 E) 1/5

B) 3/4 E) 1/2

C) 2/5

Con una baraja de 52 cartas, calcule la probabilidad de:

A) 1/13, 2/3 D) 1/13, 1/2

B) 1/52, 4/13 E) 1/13, 2/5

C) 1/13, 3/4

En una urna hay 8 besos de moza, 5 de fresa y 3 de vainilla. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un beso de moza de fresa y de vainilla?

6.

B) 2/13 E) 4/13

C) 6/13

En una alcancía José ha introducido 15 monedas de un sol, 12 monedas de dos soles y 13 monedas de 5 soles. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar moneda de dos soles? A) 7/40 D) 7/15

B) 7/20 E) 5/15

B) 1 , 1 , 1 3 5 12

C) 1 , 1 , 2 3 4 5

D) 1 , 2 , 1 3 4 12

9.

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados la suma no sea 7?

C) 7/10

194

B) 1/6 E) 3/5

C) 5/6

10. Se ha seleccionado a los 7 alumnos más destacados de un salón, formado por 4 alumnos y 3 alumnas; de estos se desea escoger a un par de alumnos. ¿Cuál es la probabilidad que sea un hombre y una mujer? A) 5/7 D) 3/8

B) 4/7 E) 2/7

C) 3/7

DESAFÍO

C) 13/28

Calcule la probabilidad de sacar una carta que no sea numérica de una baraja. A) 3/13 D) 5/13

7.

B) 15/28 E) 13/56

a. entre A y B b. entre B y C c. todo el camino A) 1 , 1 , 1 3 4 7

A) 2/5 D) 2/6

NIVEL II

A) 15/56 D) 10/28

De la ciudad A a la ciudad B hay 3 rutas y de la ciudad B a la ciudad C hay 4 rutas posibles. José viaja todos los días de la ciudad A a la ciudad C pasando por B y Santiago hace lo mismo todos los días en sentido contrario. Cuál es la probabilidad de que cualquier día sus rutas coincidan (no necesariamente al mismo tiempo):

E) 1 , 1 , 1 3 4 12

– obtener 7 – obtener una carta roja

5.

8.

Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los dados sea 10? A) 1/4 D) 5/36

3.

NIVEL III

11. Se sientan alrededor de una mesa circular 7 personas. ¿Cuál es la probabilidad que 3 amigos en particular estén juntos? A) 0,1 D) 0,05

B) 0,2 E) 0,3

C) 0,25

12. Se tiene un dado cargado de tal manera que la probabilidad de sacar 2 es el doble que la de obtener 1, la de sacar 3 el triple de la de obtener 1 y así sucesivamente. Calcule la probabilidad de obtener un número par. A) 2/5 D) 4/7

B) 2/7 E) 12/13

C) 3/5

Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso

: __________________________________________________

Profesor

: ____________________________________________________________________

1.

Se lanza una moneda y un dado. Calcule la

7.

probabilidad de que salga un número par y sello.

2.

A) 2/3

B) 1/4

D) 3/4

E) 1/2

8.

A) 7/36

B) 1/6

D) 1/12

E) 1/2

B) 3/5

D) 4/5

E) 1/12

C) 2/3

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados la

A) 7/9

B) 5/9

D) 8/9

E) 5/36

C) 3/4

¿Cuál es la probabilidad que al lanzar una moneda 9.

A) 5/8

B) 3/8

D) 1/8

E) 4/5

C) 7/8

Se ha seleccionado a los 8 alumnos más destacados de un salón, formado por 5 alumnos y 3 alumnas; de estos se desea escoger a un par de alumnos. ¿Cuál es la probabilidad que sea un hombre y una mujer?

Con una baraja de 52 cartas, calcule la probabilidad

A) 5/14

B) 13/28

de:

D) 3/11

E) 12/28

C) 15/28

10. De la ciudad A a la ciudad B a 6 caminos y de la

– obtener una carta negra A) 1/13, 2/3

B) 1/26, 1/4

C) 1/13, 1/2

D) 1/13, 1/5

E) 1/26, 1/2

6.

A) 2/5

suma no sea 5?

C) 5/36

– obtener 9

5.

de no sacar moneda de 5 soles?

Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad que la

tres veces, salgan dos veces sello?

4.

En una alcancía José ha introducido 8 monedas de un sol y 12 monedas de 5 soles. ¿Cuál es la probabilidad

C) 1/3

suma de los dados sea 8?

3.

Aula : __________

ciudad B a la ciudad C hay 5 caminos; si una persona va de la ciudad A a la ciudad C pasando por B y otra de la ciudad C a A pasando por B, cuál es la probabilidad de que ello coincidan:

En una urna hay 13 besos de moza, 8 de fresa y 5 de

a. entre A y B

vainilla. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un beso de

b. entre B y C

moza de fresa y de vainilla?

c. todo el camino

A) 11/15

B) 13/20

D) 6/20

E) 20/39

C) 5/39

Calcule la probabilidad de sacar una carta que no sea mayor de 10 en una baraja. A) 5/13

B) 6/13

D) 10/13

E) 9/13

C) 8/13

A) 1 , 1 , 1 4 4 16

B) 1 , 1 , 1 3 4 12

C) 1 , 1 , 1 6 5 30

D) 1 , 1 , 1 5 5 25

E) 1 , 1 , 1 4 5 20

195

COLEGIO PRIVADO

Aritmética

24

PROBABILIDADES II

Aprendizajes esperados Estrategias motivadoras •

Plantea y resuelve problemas de probabilidades haciendo uso de las propiedades.

•

Aplica las propiedades de probabilidad en su diario vivir, como por ejemplo en el nacimiento de un hijo.

Estrategias motivadoras

El problema del Caballero de Meré En 1654, Antoine Gombaud, conocido como Caballero de Meré planteó al matemático Blaise Pascal (1623-1662) el problema de cómo repartir la apuesta realizada en un juego de azar cuando éste se ve interrumpido por algún motivo y, en ese momento, uno de los jugadores lleva ventaja sobre el otro. Más concretamente: Dos jugadores, que han depositado una apuesta inicial, lanzan repetidamente una moneda, el primero gana si sale cara y el segundo si sale cruz. Han decido que el primero que gane seis veces (consecutivamente o no) se llevará el total de la apuesta. En un momento dado han salido (en cualquier orden) cinco caras y tres cruces y el juego debe ser interrumpido. ¿Cómo deben repartirse la apuesta? A lo largo de la historia se fueron buscando distintas soluciones a este problema. Muchas de ellas fueron incorrectas, porque se basaban en los puntos acumulados que los jugadores tenían cuando se interrumpe el juego. Por ejemplo, Luca Pacioli propone en este caso que el primero debería tomar los 5/8 de la apuesta y el segundo los 3/8 restantes. El siguiente diagrama de árbol nos va a convencer de que ésta no es la respuesta correcta, que el reparto debe hacerse en proporción 7 a 1.

196

Aritmética

Organizador visual

Propiedades de las probabilidades 1.

6.

Si A y B son eventos independientes, entonces:

Si A es un evento de Ω, entonces:

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

0 ≤ P(A) ≤ 1 Teorema de la multiplicación Consecuencias: P(Ω) = 1 P(∅) = 0 2.

Sean A y B los sucesos incluidos en un espacio muestral, entonces:

Sea A un evento y su contrario AC, entonces:

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B / A)

C

P(A ) = 1 − P(A) 3.

Sean A y B eventos mutuamente excluyentes, entonces: P(A∪B) = P(A) + P(B)

4.

Si A y B son eventos no mutuamente excluyentes, entonces: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

5.

Probabilidad condicional: sean los eventos A y B con P(B) > 0. La probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido B, se denomina probabilidad condicional y se denota por P(A/B).

A y B son no independientes. Ejemplo Una urna contiene 6 bolitas blancas y 4 negras; se extraen dos bolitas sucesivamente y sin reposición. Calcule la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra. Resolución Observe: La probabilidad solicitada es: 6 4 24 4 × = = 10 9 90 15

P(A ∩ B) P(A/ B) = P(B)

197

COLEGIO PRIVADO

Aritmética Ejemplo Se lanza un dado dos veces en forma sucesiva. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean 5? Resolución

Si A y B son sucesos independientes:

A: Resultado 5 → n(A) = 1 B: Resultado 5 → n(B) = 1

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

∴ P(A ∩ B) =

1.

La probabilidad que tiene Ana de aprobar un examen es 0,8; en el caso de María es 0,7 y para Norma es 0,5. Si las tres rinden el examen, ¿cuál es la probabilidad que al menos una de ellas apruebe el examen? A) 0,97 D) 0,47

B) 0,65 E) 0,86

C) 0,25

Observamos: P(AC ∩ BC) = 0,60 Rpta.: D 3.

Resolución P(Ana apruebe)=0,8 → P(Ana no apruebe)=0,2 P(María apruebe)=0,7 → P(María no apruebe)=0,3 P(Norma apruebe)=0,5 → P(Norma no apruebe)=0,5 A: al menos una de ellas apruebe el examen AC: ninguna de ellas aprueba el examen P(A) + P(AC) = 1 P(AC) = (0,2)(0,3)(0,5) = 0,03 P(A) + 0,03 = 1 ∴P(A) = 0,97 Rpta.: A 2.

1 1 1 × = 6 6 36

En una fiesta, donde asistieron 72 personas, resulta que 56 beben, 42 fuman y 8 no fuman ni beben. Si se escoge una de ellas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que fume pero no beba? A) 2 9

B) 1 5

D) 3 5

E) 1 9

C) 1 2

Resolución Graficando:

Sean A y B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tal que P(A) = 0,20; P(B) = 0,30 y P(A∩B) = 0,10. Calcule P(AC ∩ BC). A) 0,20 D) 0,60

B) 0,30 E) 0,54

C) 0,45

Resolución Graficando:

P()  1

P(A) = 0,20

A: que fume pero no beba

P(B) = 0,30

P(A) = 8 = 1 72 9 0,10

0,10

Rpta.: E

0,20

0,60

P(A  B)  0,10

198

Aritmética

NIVEL I 1.

La probabilidad que llueva mañana es 0,10, la probabilidad que truene es 0,05 y la probabilidad que llueve y truene es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad que llueva o truene? Rpta.: 0,12

2.

3.

Se lanzan simultáneamente tres monedas de diferentes valores. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?

18

12

50

55

¿Cuál es la probabilidad de obtener suma 6 ó 7, al tirar un par de dados normales?

Nissan

24

30

16

En una baraja de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta de corazones con un valor menor que 7 ó un valor mayor que 10?



Determine la probabilidad de que un auto haya sido vendido en Lima o Arequipa y no sea Nissan ni Toyota. Rpta.: 6/35

12. Se lanza una moneda reiteradamente 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos tres caras?

De una baraja de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que, al extraer una carta al azar, ésta sea 8 ó de figura negra?

Se lanza un dado dos veces en forma sucesiva. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean de puntaje 3?

Rpta.: 5/16 NIVEL III 13. Si se sabe que P(A) = 0,6; P(B) = 0,7 y P(A∪B) – P(A∩B)=3, calcule P(A∪B) – P(A∩B). Rpta.: 0,3 14. Al extraer una carta de una baraja usual, ¿cuál es la probabilidad de obtener 4 o un 6?

Se extraen dos cartas de una baraja de 40. Calcule la probabilidad de que ambas cartas sean reyes.

Se lanza un dado y se observa que el resultado es impar. ¿Cuál es la probabilidad que el resultado sea un número primo?

Rpta.: 2/13 15. La probabilidad de que haya un tsunami en Asia es 0,8 y la probabilidad de que haya un tsunami en Perú, dado que hubo uno en Asia, es 0,4. Calcule la probabilidad de que sucedan ambos eventos. Rpta.: 0,32

Rpta.: 2/3 NIVEL II 9.

Cusco

45

Rpta.: 1/130 8.

Arequipa

30

Rpta.: 1/36 7.

Lima Toyota

Rpta.: 7/13 6.

11. Una compañía se dedica a la venta de autos en Lima, Arequipa y Cusco, observándose el siguiente informe mensual:

Datsun

Rpta.: 9/52 5.

Rpta.: 7/13

Rpta.: 7/8

Rpta.: 11/36 4.

10. De una baraja de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de extraer una carta y que esta sea 10 ó de figura roja?

La probabilidad que tiene Paulo de ganar a Felipe un partido de ping pong es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Paulo de ganar por lo menos uno de los tres partidos que juegan?

16. De un grupo de estudiantes, la probabilidad de no llevar Matemática es 0,49 y la probabilidad de no llevar Física es 0,53. Si la probabilidad de no llevar Matemática ni Física es 0,27, ¿cuál es la probabilidad de llevar sólo uno de los cursos? Rpta.: 0,46

Rpta.: 19/27

199

COLEGIO PRIVADO

Aritmética

NIVEL I 1.

NIVEL III

La probabilidad que Roberto viaje de Lima a Cusco por avión es 3/16 y que viaje por tierra es 7/16, además la probabilidad de no viajar es 3/8. ¿Cuál es la probabilidad de que Roberto viaje al Cusco? A) 10/20 D) 7/8

B) 5/8 E) 3/8

8.

C) 3/5 9.

2.

3.

A) 1/3

B) 2/3

D) 2/5

E) 1/5

Una compañía de transporte público posee dos rutas cubiertas por el 40% y el 60% de sus buses

A) 1/3 D) 8/9

un autobús se averíe.

B) 4/5 E) 2/3

C) 5/6

¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 cartas de corazones (una después de la otra) de una baraja de 52 cartas? B) 3/17 E) 2/17

C) 1/17

B) 0,07 E) 0,09

respectivamente, además la probabilidad de que un bus se averíe diariamente es de 8% y 10% respectivamente. Calcule la probabilidad que un día,

A) 0,036

B) 0,082

D) 0,045

E) 0,090

10. Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al

C) 0,12

sello se introduce una bola negra. Si el experimento se repitió 3 veces y a continuación se introduce la mano en la urna, retirando una bola, ¿cuál es la probabilidad de que en la urna quede una bola blanca y otra negra? A) 2/5

B) 1/2

D) 2/3

E) 1/4

NIVEL II

6.

C) 0,21

B) 3/5 E) 1/5

11. Tres alumnos A, B y C quieren resolver un problema. La probabilidad de que el alumno A resuelva este problema es de 4/5, de que el alumno B pueda resolverlo es 3/7 y de que el alumno C pueda resolverlo es de 2/3. Si los tres tratan de resolverlo juntos, ¿cuál es la probabilidad de que el problema sea resuelto?

Se sabe que el 50% de una población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad que el fumador sea hipertenso? A) 2/5 D) 4/5

7.

B) 0,23 E) 0,32

C) 3/4

DESAFÍO

En un hospital el 15% de pacientes atendidos son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% son hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad al azar hay de que un paciente sea hipertenso u obeso? A) 0,22 D) 0,26

C) 0,092

aire; si sale cara se introduce una bola blanca y si sale

En un centro de estudios la probabilidad para aprobar los cursos de Física y Química son 0,30 y 0,6 respectivamente y la probabilidad de no aprobar dichos cursos es 0,15. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambos cursos? A) 0,10 D) 0,05

5.

C) 1/4

Héctor desea visitar el Cusco o Arequipa. Si la probabilidad de viajar a Cusco es 3/5 y la probabilidad de viajar a Arequipa es 5/9, ¿cuál es la probabilidad de viajar al Cusco y Arequipa?

A) 4/17 D) 5/17 4.

Se lanzan dos dados y la suma fue 7. Calcule la probabilidad que alguno de los dados haya sido 3.

C) 2/7

A) 71/105

B) 73/105

D) 101/105

E) 103/105

C) 97/105

12. De un lote de 10 artículos, hay 2 artículos defectuosos y se extrae una muestra de 4 artículos uno a uno sin

Una urna contiene 3 bolas rojas, 5 verdes y 2 azules; se extrae al azar 3 bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea azul y las otras dos verdes?

reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo

A) 7/45

B) 1/15

A) 3/16 D) 1/18

D) 2/15

E) 7/15

B) 4/15 E) 5/18

C) 4/9

200

artículo defectuoso se obtenga en la cuarta extracción? C) 1/45

Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso

: __________________________________________________

Profesor

: ____________________________________________________________________

1.

La probabilidad que Raúl viaje de Lima a Cusco por

6.

avión es 0,4 y que viaje por tierra es 0,5, además la probabilidad de no viajar es 0,1. ¿Cuál es la

que el fumador sea hipertenso?

probabilidad de que Raúl viaje al Cusco?

A) 1/12

B) 1/6

A) 0,45

B) 0,70

D) 1/10

E) 1/4

D) 0,60

E) 0,90

C) 0,20

5.

Una urna contiene 5 bolas moradas, 4 marrones y 3 celestes; se extrae al azar 3 bolas. ¿Cuál es la

probabilidad de viajar a Cusco es 0,25 y la

probabilidad de que la primera sea celeste y las otras

probabilidad de viajar a Arequipa es 0,40, ¿cuál es la

dos marrones?

probabilidad de viajar al Cusco y Arequipa?

A) 17/110

B) 7/110

A) 0,24

B) 0,23

D) 23/110

E) 113/200

D) 0,36

E) 0,15

C) 0,10

C) 3/110

Se lanzan dos dados y la suma fue 6. Calcule la

¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 cartas de espadas

probabilidad que alguno de los dados haya sido 5.

(una después de la otra) de una baraja de 52 cartas?

A) 3/5

B) 4/5

A) 11/750

B) 23/750

D) 2/5

E) 5/6

D) 113/750

E) 101/750

C) 109/750 9.

4.

C) 1/5

Hilda desea visitar el Cusco o Arequipa. Si la

8. 3.

Se sabe que el 48% de una población fuma y que el 12% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad

7. 2.

Aula : __________

C) 1/6

Una compañía de transporte público posee dos

En un centro de estudios la probabilidad para aprobar

rutas cubiertas por el 45% y el 55% de sus buses

los cursos de Física y Química son 0,48 y 0,65

respectivamente, además la probabilidad de que

respectivamente y la probabilidad de no aprobar

un bus se averíe diariamente es de 8% y 12%

dichos cursos es 0,12. ¿Cuál es la probabilidad de

respectivamente. Calcule la probabilidad que un día,

aprobar ambos cursos?

un autobús se averíe.

A) 2/3

B) 1/3

D) 1/6

E) 1/5

C) 1/4

A) 0,100

B) 0,102

D) 0,201

E) 0,200

C) 0,105

En un hospital el 18% de pacientes atendidos son

10. Una mujer con un cromosoma defectuoso producto

hipertensos, un 20% son obesos y un 5% son

de la leucemia se casa con un hombre sano. ¿Cuál es

hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad al azar hay

la probabilidad que un hijo varón tenga leucemia?

de que un paciente sea hipertenso u obeso?

A) 1/4

B) 1/3

A) 28%

B) 45%

D) 1/2

E) 3/4

D) 30%

E) 33%

C) 12%

201

C) 1/5

COLEGIO PRIVADO

Aritmética

CLAVES

CAP. 22

AUTOEVALUACIÓN 1

2

3

4

E

C

E

B

5

6

7

8

D

C

B

E

9

10

11

12

D

E

A

B

CLAVES

CAP. 23

AUTOEVALUACIÓN

1

2

3

4

B

D

E

D

5

6

7

8

B

E

C

E

9

10

11

12

C

B

D

D

CLAVES

CAP. 24

AUTOEVALUACIÓN

202

1

2

3

4

B

E

C

D

5

6

7

8

A

E

D

A

9

10

11

12

C

B

D

B