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"AÑO DEL DIÁLOGO Y RECONCILIACIÓN NACIONAL"

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

CONDUCCION EN REGIMEN PERMANENTE Y TRANSITORIO

DATOS INFORMATIVOS: 

Facultad

: Ingeniería



Curso

: Transferencia de calor



Área

: Ciencias



Carácter del curso



Ciclo de estudios



Código del curso



Semestre Académico



Docente responsable

de la Ingeniería : Obligatorio : VIII : 1611-0046 : 2018-II : Ing. Calderón Torres Hugo Rolando

DATOS DEL ALUMNO: 

Estudiantes

:

Carlos Santos Julio Adriancine Castillo Cuadra Yunior Jonathan

Baudat Hernández Henry Heredia Sánchez Heyson Steve Trujillo Valderrama Arley Nvo. Chimbote, 17 de Noviembre de 2018

INDICE CAPITULO 1: CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN PERMANENTE ........................................................................................................................................... 4 1.1 SOLUCIÓN ANALÍTICA ................................................................................................................. 4 1.2 MÉTODO GRÁFICO Y FACTORES DE FORMA .......................................................................... 8 1.3 PROBLEMAS .................................................................................................................................. 12 CAPITULO 2: CONDUCCI´ON EN R´EGIMEN TRANSITORIO ........................................................... 21 2.1 INTRODUCCION ............................................................................................................................ 21 2.2 FUNDAMENTO TEÓRICO ...................................................................................................... 2323 2.2.1 Análisis de Sistemas Concentrados .............................................. 2Error! Bookmark not defined. 2.2.2 Número de Biot ………………………………………………………………………………23-25 PROBLEMA…………………………………………………………………………………………26 2.2.3 Número de FOURIER…………………………………………………………………………..28 2.2.4 Tips Para el desarrollo de Problemas básicos ……………………………………………………31 2.2.5 Diagrama de Heisler ……………………………………………………………………………36 3. FUENTE BIBLIOGRÁFICA………………………………………………………………………36

INTRODUCCION Este trabajo titulado “Conducción en régimen permanente y estacionario” fue realizado para el curso de Transferencia de calor con el objetivo de adquirir los conocimientos necesarios para hacer frente a problemas prácticos relacionado a estos temas. Anteriormente en clases vimos que la conducción con temperatura y el flujo de calor se pudieron tratar como funciones de una sola variable. Muchos problemas prácticos se encuentran en esta categoría, pero cuando los límites de un sistema son irregulares o cuando la temperatura a lo largo de un límite no es uniforme, puede que un tratamiento unidimensional ya no sea satisfactorio. En esos casos, la temperatura es una función de dos o posiblemente tres coordenadas. El flujo de calor a través de una sección en esquina donde convergen dos o tres paredes, la conducción de calor a través de las paredes de un cilindro hueco corto y la pérdida de calor de un tubo enterrado son ejemplos comunes de esta clase de problema. Ahora se consideran algunos métodos para analizar la conducción en sistemas bi y tridimensionales. El énfasis será en problemas bidimensionales ya que son menos incómodos de resolver, aunque ilustran los métodos básicos de análisis para sistemas tridimensionales. La conducción de calor en sistemas bi y tridimensionales se puede tratar mediante métodos analíticos, gráficos, analógicos, numéricos y computacionales. En algunos casos, también se dispone de “factores de forma”. En el capítulo 1 se considerarán los métodos de solución analítica, gráfica y de factor de forma en cuanto a la conducción en régimen permanente. En el capítulo 2 se abarcara el tema de conducción en régimen transitorio unidimensional y bidimensional. Ambos capítulos con problemas de aplicación que son necesarios para un mejor aprendizaje. Esperando que este trabajo sea del agrado de los ávidos lectores y sirva de guía para futuros trabajos.

CAPITULO 1: CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN PERMANENTE

1.1 SOLUCIÓN ANALÍTICA El objetivo de un análisis de transferencia de calor es predecir la tasa de flujo de calor, la distribución de temperatura o las dos. De acuerdo con la ecuación de Laplace

(1) En un sistema bidimensional sin fuentes de calor la ecuación de conducción general que rige la distribución de temperatura en régimen permanente es

(2) Si la conductividad térmica es uniforme. La solución de la ecuación (2) dará T(x y), que es la temperatura como una función de dos coordenadas espaciales xy y. Las componentes del flujo de calor por área unitaria o flujo de calor q en las direcciones “x”y “y”(q”xy q”y, respectivamente) se pueden obtener a partir de la ley de Fourier:

(3) Se debe observar que aunque la temperatura es un escalar, el flujo de calor depende del gradiente de temperatura y por tanto es un vector. El flujo de calor q en un punto dado x, y es la resultante de las componentes q”x y q”y en ese punto y está dirigido perpendicularmente a la isoterma, como se muestra en la figura 2.24. Por tanto, si se

conoce la distribución de temperatura en un sistema, la tasa de flujo de calor se puede calcular con facilidad. Por tanto, los análisis de transferencia de calor suelen concentrarse en determinar el campo de temperatura. Una solución analítica de un problema de conducción de calor debe satisfacer la ecuación de conducción de calor así como las condiciones límites especificados por las condiciones físicas del problema particular. El enfoque clásico para una solución exacta de la ecuación de Fourier es la técnica de separación de variables. Este enfoque se ilustrará aplicándolo a un problema relativamente simple.

Figura 1: Bosquejo que muestra el flujo de calor en dos dimensiones Considere una placa rectangular delgada, sin fuentes de calor y aislada en las superficies superior e inferior (figura 2). Dado que dT/dz se supone ser insignificante, la temperatura es una función sólo de “x” y “y”. Si la conductividad térmica es uniforme, la distribución de temperatura debe satisfacer la ecuación (2.75), que es una ecuación diferencial parcial lineal y homogénea que se puede integrar suponiendo una solución de productos para T(x, y) de la forma (4) donde X = X(x), una función sólo de x y Y = Y(y), una función sólo de y. Sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (1) se obtiene

(5)

Ahora las variables están separadas. El lado izquierdo es una función sólo de x, en tanto que el lado derecho es una función sólo de y. Dado que ningún lado puede cambiar ya que “x” y “y” varían, los dos deben ser iguales a una constante, digamos λ2. Por tanto, se llega a las dos ecuaciones diferenciales

(6)

(7)

Figura 2: Placa adiabática rectangular con distribución de temperatura sinusoidal en un borde

La solución general de la ecuación (6) es (8) La solución general para la ecuación (7) es (9)

por tanto, de la ecuación (4)

(10) Donde A, B, Cy D son constantes que se deben evaluar a partir de la condiciones de frontera. Como se muestra en la figura 2.25, las condiciones de frontera que se deben satisfacer son

Sustituyendo estas condiciones en la ecuación (10) para T, de la primera condición se obtiene

de la segunda condición

y de la tercera condición

La primera condición se puede satisfacer sólo si C = -Dy la segunda si A =0. Utilizando estos resultados en la tercera condición, se obtiene

Para satisfacer esta condición, senλL debe ser cero o λ= np/L, donde n =1, 2, 3(El valor n =0 se excluye debido a que daría la solución trivial T =0.), etcétera.* Por tanto, existe una solución diferente para cada entero ny cada solución tiene una constante de integración separada Cn. Sumando estas soluciones, se tiene

(11)

La última condición de frontera demanda que, en y = b,

Tal que sólo se necesita el primer término en la solución de la serie con C1 = Tm/senh(pb/L). Por tanto, la solución se convierte en

(12)

El campo de temperatura correspondiente se muestra en la figura 3. Las líneas continuas son isotermas y las discontinuas son líneas de flujo de calor. Se debe observar que las líneas que indican la dirección del flujo de calor son perpendiculares a las isotermas. Cuando las condiciones de frontera no son tan simples como en el problema del ejemplo, la solución se obtiene en la forma de una serie infinita. Por ejemplo, si la temperatura en el borde y = bes una función de x, digamos T(x, b) = F(x), entonces la solución, como se demuestra en [1], es la serie infinita

(13) cuya evaluación cuantitativa es muy laboriosa. El método de separación de variables se puede ampliar a casos tridimensionales suponiendo que T = XYZ, sustituyendo esta expresión para T en la ecuación (1), separando las variables e integrando las ecuaciones diferenciales totales resultantes sujetas a las condiciones de frontera dadas. 1.2 MÉTODO GRÁFICO Y FACTORES DE FORMA El método gráfico presentado en esta sección puede producir con rapidez una estimación razonablemente buena de la distribución de temperatura y del flujo de calor en sistemas bidimensionales geométricamente complejos, pero su aplicación está limitada a

problemas con fronteras isotérmicas y aisladas. El objetivo de una solución gráfica es trazar una red de isotermas (líneas de temperatura constante) y líneas de flujo constante (líneas de flujo térmico constante).

Figura 3: Isotermas y líneas de flujo de calor para la placa que se muestra en la figura 2 Las líneas de flujo son análogas a las líneas de corriente en un flujo de fluido potencial, es decir, son tangentes a la dirección del flujo de calor en cualquier punto. En consecuencia, el calor no puede fluir a través de las líneas de flujo constante. Las isotermas son análogas a las líneas de potencial constante y el calor fluye perpendicular a ellas. Así pues, las líneas de temperatura constante y las líneas de flujo de calor constante se intersecan a ángulos rectos. Para obtener la distribución de temperatura primero se elabora un modelo a escala y luego se trazan a mano alzada las isotermas y las líneas de flujo, con el método de prueba y error, hasta que formen una red de cuadrados curvilíneos. Entonces entre cualesquiera dos líneas de flujo fluye una cantidad constante de flujo. El proceso se ilustra en la figura 3 para una sección en esquina de profundidad unitaria (Δz =1) con caras ABC a temperatura T1, las caras FED a temperatura T2 y las caras CD y AF aisladas. En la figura 4) se muestra el modelo a escala y en la figura 2.27b) se muestra la red curvilínea de isotermas y líneas de flujo. Se debe observar que las líneas de flujo que emanan de fronteras isotérmicas son perpendiculares a la frontera, excepto cuando provienen de una esquina. Las líneas de flujo que conducen a o salen de una esquina de una frontera isotérmica bisecan el ángulo entre las superficies que forman la esquina.

Figura 3: Trazo de una red de cuadrados curvilíneos para una sección de esquina: a) modelo a escala, b) trazo del flujo, c) cuadrado curvilíneo común

Una solución gráfica, al igual que una solución analítica de un problema de conducción de calor descrito por la ecuación de Laplace y por la condición de frontera asociada, es única. Por tanto, cualquier red curvilínea, independiente del tamaño de los cuadrados, que satisface las condiciones límites representa la solución correcta. Para cualquier cuadrado curvilíneo [por ejemplo, consulte la figura 3c) la tasa de flujo de calor está dada por la ley de Fourier:

Este flujo de calor permanecerá igual a través de cualquier cuadrado dentro de cualquier curva de flujo de calor de la frontera a T1a la frontera a T2. Por tanto, ΔTa través de cualquier elemento en la curva de flujo de calor es

donde N es el número de incrementos de temperatura entre las dos fronteras a T1y T2. La tasa total de flujo de calor de la frontera a T2a la frontera a T1es igual a la suma del flujo de calor a través de todas las curvas. De acuerdo con las relaciones anteriores, la tasa de flujo de calor es la misma a través de todas las curvas ya que es independiente del tamaño de los cuadrados en una red de cuadrados curvilíneos. Por tanto, la tasa total de transferencia de calor se puede escribir como

(14) donde Δqn es la tasa de flujo de calor a través de la enésima curva y Mes el número de curvas de flujo de calor. Así pues, para calcular la tasa de transferencia de calor sólo se necesita trazar una red de cuadrados curvilíneos y de curvas de flujo de calor. Si bien la precisión el método depende en gran medida de la habilidad y paciencia de la persona que bosqueje la red de cuadrados curvilíneos, incluso un bosquejo burdo puede dar una estimación razonablemente buena de la distribución de temperatura. En cualquier sistema bidimensional en el que el calor se transfiere de una superficie a T1a otra a T2, la tasa de transferencia de calor por profundidad unitaria depende sólo de la diferencia en temperatura T1– T2=ΔT global, de la conductividad térmica ky de la relación M/N. Esta relación depende de la forma del sistema y se denomina factor de forma, S. Por tanto, la tasa de transferencia de calor se puede escribir como

(15) cuando la red consiste en cuadrados curvilíneos. Los valores de S para varias formas de importancia práctica se resumen en la tabla 1.

Tabla 1: Factor de forma S para conducción de varios sistemas qk=Sk(T1-T2)

1.3 PROBLEMAS Ejemplo 1 (Problema bidimensional) Un tubo largo de 10 cm de diámetro exterior está enterrado con su línea central a 60 cm por abajo de la superficie de un suelo que tiene una conductividad térmica de 0.4 W/m

K, como se muestra en la figura 4. a) Elabore una red cuadrada curvilínea para este sistema y calcule la pérdida de calor por metro de longitud del tubo si la temperatura superficial es 100 °C y la superficie del suelo está a 20 °C. b) Compare el resultado del inciso a) con el obtenido empleando el factor de forma S apropiado.

Figura 4: Perdida de calor de un tubo enterrado SOLUCIÓN a) La red cuadrada curvilínea para el sistema se muestra en la figura 4 en la página siguiente. Debido a la simetría, sólo se necesita trazar la mitad de este campo

Figura 5: Campo de potencial del tubo enterrado para el ejemplo

de flujo de calor. Hay 18 curvas de flujo de calor que van del tubo a la superficie y cada curva consiste en 18 cuadrados curvilíneos. Por tanto, el factor de forma es

y la tasa neta de flujo de calor por metro es, según la ecuación (15)

b) De la tabla 1

y la tasa de pérdida de calor por metro de longitud es

La razón de la diferencia en la pérdida de calor calculada es que el campo de potencial en la figura 5 tiene un número finito de curvas de flujo e isotermas y por tanto sólo es aproximada.

Ejemplo 2 (Problema bidimensional)/Extraido del libro de millis

Para una pared tridimensional, como en un horno, se utilizan factores de forma separados para calcular el flujo de calor a través de las secciones de borde y en esquina. Cuando todas las dimensiones interiores son mayores que un quinto del espesor de la pared,

Estas dimensiones se ilustran en la tabla 1. Observe que el factor de forma por profundidad unitaria está dado por la relación M/N cuando en los cálculos se utiliza el método de los cuadrados curvilíneos.

Ejemplo 3 (tridimensional) Un horno cúbico pequeño con medidas interiores de 50 * 50 cm, está construido de ladrillos de arcilla refractaria (k =1.04 W/m °C) con un espesor de pared de 10 cm, como se muestra en la figura 2.30. El interior del horno se mantiene a 500 °C y el exterior a 50 °C. Calcule la pérdida de calor a través de las paredes SOLUCION El factor de forma total se calcula sumando los factores de forma para las paredes, bordes y esquinas. Paredes:

Bordes:

Esquinas

Figura 6: Horno cubico para el ejemplo 3

Figura 7: Horno de secar y horno común: a) conjunto de hornos de secar hechos de ladrillos y b) horno industrial con tratamiento térmico.

Ejemplo 4 (tridimensional)

CAPITULO 2: CONDUCCI´ON EN R´EGIMEN TRANSITORIO 2.1 INTRODUCCION Para completar el estudio de la transferencia de calor por Conducción, recordemos que la ecuación general de Fourier surge a partir de las ecuaciones de conservación de la energía y a partir de la aceptación de la hipótesis fundamental de la conducción del Calor o ley de Fourier. Si además aceptábamos las hipótesis siguientes para el cuerpo en cuestión:  Material Homogéneo Material Isótropo  Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en el rango de temperaturas del problema.  No se realiza trabajo de contracción o dilatación debido a procesos térmicos No hay fuentes internas de calor Habíamos llegado a la siguiente ecuación:

Donde T es Temperatura, t es tiempo y a es la difusividad del material. En procesos estacionarios, el término a la izquierda del signo igual se consideraba nulo y entonces el problema se reducía a la resolución de la ecuación de Laplace para la temperatura. En adelante, nos interesaremos en describir lo que ocurre cuando hay una

evolución del campo de temperaturas, y del proceso de transferencia de calor, en el tiempo. Los problemas que se estudian en este caso son de dos tipos:  Cuerpos que evolucionan hacia un equilibrio térmico (calentamientos o enfriamientos)  Cuerpos que están sometidos a variaciones periódicas de Temperatura.

El primer tipo de problema abarca distintos casos que se presentan en la vida profesional como la puesta en marcha de una central, tratamientos térmicos de materiales (en particular, el proceso de templado), en tanto que el segundo abarca los problemas térmicos de regeneradores, máquinas de vapor, motores a explosión, etc. Algunos cuerpos, en cada punto de este, están variando su temperatura, tanto con el tiempo con la posición. Se estudia este caso para sistemas unidimensionales. En régimen transitorio la conducción de calor implica un almacenamiento de energía térmica. Por ejemplo, en el calentamiento de un hogar hay que suministrar el calor suficiente para elevar la temperatura de las paredes hasta sus nuevos valores de operación y aportar el calor que compense las pérdidas en régimen permanente para el funcionamiento normal. En las calderas de gran potencia que operan continuamente durante prolongados períodos de tiempo, el calor almacenado en las paredes y en el metal de la caldera es una fracción insignificante del aporte total de calor. En las calderas pequeñas, con cerramientos de refractario y que funcionan a tiempo parcial o, incluso, en aquellas calderas con hogares que frecuentemente se calientan y enfrían en operación discontinua, la energía almacenada en las paredes durante la puesta en servicio, puede ser una fracción considerable del aporte total de calor. La conducción en régimen transitorio tiene mucha importancia en la igualación de temperaturas en el calderín de vapor de la caldera, durante los períodos de aumento o disminución de presión de la unidad. En aquella parte del calderín que se encuentra por debajo del nivel de la superficie libre del agua, la superficie interior del mismo está calentada por su contacto con el agua de la caldera, mientras que la superficie interior del calderín de vapor que se encuentra por encima de dicha superficie libre del agua, está calentada por la condensación del vapor situado sobre el citado nivel. Durante un período transitorio de calentamiento, las temperaturas interior y exterior de la superficie del calderín de vapor aumentan por conducción, de forma que la diferencia de temperaturas a través de la pared del calderín, son mayores que las correspondientes a los

períodos en régimen permanente, lo que implica solicitaciones mayores, por lo que hay que controlar el incremento de temperatura y presión, con el fin de mantener siempre las solicitaciones térmicas dentro de unos límites aceptables, a efectos de proteger el calderín de vapor. Durante los períodos de reducción de presión, la superficie interior del calderín que se encuentra bajo el nivel de agua, está refrigerada por el agua de la caldera; la parte alta del calderín por encima del nivel de agua, se refrigera por radiación por el flujo de vapor hacia las conexiones de salida y por la conducción a través de la propia pared del mismo. La conducción transitoria se presenta en todos los procesos de calentamiento, en los que la temperatura varía con el tiempo, por lo que el análisis de la conducción se complica; para un flujo transitorio, la ecuación de energía térmica unidimensional, es:

Presentaremos entonces las distintas alternativas para resolver estos tipos de problemas. En efecto, desde cálculos simples se pueden obtener primeras aproximaciones al problema, que permitirán tener juicio crítico frente a resultados que pueden obtenerse p.ej. utilizando métodos numéricos.

2.2 FUNDAMENTO TEORICO _________________________________________________________________

2.2.1 ANALISIS DE SISTEMAS CONCENTRADOS La transferencia de calor ocurre en RÉGIMEN VARIABLE o TRANSITORIO cuando la temperatura de al menos uno de los sistemas entre los que se produce la transferencia varía con el tiempo. Un sistema se dice CONCENTRADO cuanto la temperatura varía con el tiempo pero no con la posición espacial, es decir, en un instante dado todo el sistema se encuentra a la misma temperatura. 2.2.2 NUMERO DE BIOT Se define el número de BIOT (Bi) como: Bi = (h*Lc) / k; Donde Lc = V / As; V: volumen del sistema;

As: superficie de transferencia del sistema. Para una placa plana grande de espesor E, bañada por el mismo fluido por las dos caras Lc = E / 2. Para un cilindro de radio R, Lc = R. Para una esfera de radio R, Lc = R. Cuando se produce transferencia de calor desde un fluido a un sistema sólido rodeado por dicho fluido, primero se transfiere el calor desde el fluido al sólido mediante convección y después el calor se transfiere desde el exterior al interior del sólido mediante conducción. El número de Biot se puede expresar también como:

O también:

El análisis utilizando el modelo de sistema concentrado es exacto cuando Bi = 0, pues en este caso la resistencia a la conducción dentro del sistema es nula y su temperatura uniforme. En los casos reales es imposible que Bi = 0 pues todos los sistemas presentarán alguna resistencia a la conducción en mayor o menor medida, siendo Bi > 0, y el análisis será aproximado. Cuanto más pequeño sea el número de Biot menos inexacto será el análisis. Se considera aplicable el modelo de sistema concentrado cuando Bi < 0,1. El modelo de sistema concentrado es aplicable a los cuerpos relativamente pequeños constituidos por materiales buenos conductores del calor.Se considera un cuerpo sólido de masa m, volumen V, área superficial As, densidad r y calor específico Cp, inicialmente a una temperatura Ti. En el instante t = 0, la temperatura del fluido que rodea al cuerpo es Tf y el coeficiente de película h. Se supone que Tf > Ti aunque el análisis también sería válido para Tf < Ti. Considerar el sistema como concentrado supone que la temperatura dentro del cuerpo es uniforme en cada instante y sólo cambia con el tiempo T = T (t). Durante un intervalo dt la temperatura del cuerpo se eleva una cantidad dT.

El balance de energía del sistema en el intervalo de tiempo dt se puede expresar como: Transferencia de calor hacia el cuerpo durante dt

=

Incremento de la energía del cuerpo durante dt

Cuya expresión matemática es: h As (Tf - Ti) dt = m Cp dT m = DV Tf = cte, entonces dT = d (T - Tf) La ecuación del balance de energía se puede transformar en:

Integrando:

Transformando:

La velocidad de transferencia de calor por en función del tiempo queda: Q-punto (t) = h As [ T (t) - Tf)] La cantidad total de calor transferida en un tiempo t será igual al incremento de energía del cuerpo en ese tiempo: Q = m Cp [T (t) - Ti] La cantidad total de calor transferida será máxima cuando el cuerpo alcance la temperatura del fluido o del ambiente: Q max = m Cp (Tf - Ti) Cuando el análisis de sistemas concentrados no es aplicable se puede determinar mediante los diagramas de Heisler-Grober.

PROBLEMA: A las 5 PM se encuentra una persona muerta en un cuarto cuya temperatura es 20 ºC. Se mide la temperatura del cuerpo y resulta ser de 25 ºC, se estima que el coeficiente de transferencia de calor es h = 8 W/m2ºC. Considerando el cuerpo como un cilindro de 30 cm de diámetro y 1,70 m de largo, estime el momento de la muerte de esta persona. Hipótesis: El cuerpo se considera como un cilindro de 30 diámetro x1.70 cm. De largo. Se desprecia efectos de la radiación y se consideran constantes las propiedades térmicas del cuerpo y h. Se asume una temperatura corporal de 37°C. La masa del cuerpo humano promedio es 72% de agua, así que se consideran:

Tprom= (37+25)/2= 31°C, k=0.617 W/m°C, densidad=996 Kg/m3, Cp=4.178J/Kg°C. Lc=V/Ai = pir2 L 2pirL + 2pir2

= 3.14 * 0.152 * 1.7 = 0.0689 m 2*3.14*0.15*1.7 + 2*3.14*0.152

Entonces bi = hL = 8* 0.0689 = 0.89 > 0.1 K 0.617

Por lo tanto no es aplicable el análisis de sistemas concentrados. Sin embargo aún se puede utilizar el procedimiento para estimar aproximadamente el momento de la muerte. En este caso calculamos el exponente b: Lc=V/Ai = pir2 L 2pirL + 2pir2

= 3.14 * 0.152 * 1.7 = 0.0689 m 2*3.14*0.15*1.7 + 2*3.14*0.152

b = __h__ = _______8________= 2.79 * 10-3 s-1 DCLc 996*4.178*0.0689 Ahora se sustituyen valores: T (t) – T amb = e –bi Ti - Tamb

Lo cual da:

t= 43860 s

= 25 – 20 = e – (2.79*10-3) t 37 – 20

= 12.2 h

El modelo de sistema concentrado es aplicable a cuerpos relativamente pequeños constituidos por materiales buenos conductores del calor, sin embargo no es aplicable a cuerpos relativamente grandes y/o malos conductores del calor.

El caso más general es el de un cuerpo relativamente grande rodeado por un fluido cuya temperatura permanece constante (la variación de la temperatura del fluido es muy pequeña y se puede considerar constante). A continuación se analiza la transferencia de calor entre un cuerpo relativamente grande (pared plana, cilindro o esfera) rodeado por un fluido cuya temperatura permanece constante a lo largo del tiempo y del espacio. El mecanismo de transferencia de calor es convección y el coeficiente de película, h, es constante y uniforme. Se considera una pared plana de espesor 2L, un cilindro de radio r y una esfera de radio r inicialmente a una temperatura uniforme Ti. La temperatura del fluido es Tf = cte. Una pared plana se considera grande cuando su espesor es mucho menor en relación a las otras dos dimensiones. Un cilindro se considera largo cuando su diámetro es mucho menor que su longitud. Una esfera se considera grande cuando no se puede aplicar el modelo de sistema concentrado. La variación de la temperatura con el tiempo en una pared plana se ilustra en la figura siguiente:

Se supone Ti > Tf y que la transferencia de calor es unidimensional en la direccion x (radial en el caso de cilindro o esfera). Inicialmente toda la pared está a la temperatura Ti. Al entrar en contacto con el fluido que está a una temperatura inferior Tf, la superficie exterior se enfría, por lo que aparece un gradiente de temperatura que provoca una transferencia de calor desde el interior al exterior. La temperatura en el plano central de la pared se mantendrá en Ti hasta el instante t2.

A partir de ese momento irá disminuyendo con el paso del tiempo hasta que toda la pared se encuentre a la temperatura del fluido, entonces la transferencia de calor cesará al no existir diferencia de temperatura entre la pared y el fluido. El proceso descrito anteriormente también es válido para un cilindro y una esfera grandes. El modelo matemático de este proceso da lugar a una ecuación diferencial en derivadas parciales poco práctica desde el punto de vista ingenieril. Se prefiere la solución en forma de tabla o gráfico. La solución comprende parámetros x, L, t, k, a (difusividad térmica), h, Ti y Tf. Para disminuir el número de parámetros se reducen dimensiones al problema mediante la definición de cantidades adimensionales cuyas expresiones, para una pared plana grande, se muestran a continuación: TEMPERATURA ADIMENSIONAL:

DISTANCIA ADIMENSIONAL DESDE EL CENTRO:

2.2.3

NÚMERO DE FOURIER (Tiempo adimensional):

Las expresiones para un cilindro largo y una esfera son las mismas reemplazando la variable x por r y L por el radio exterior ro. El problema de transferencia de calor en una sola dirección espacial en régimen variable descrito anteriormente tiene una solución que incluye una serie infinita lo que la hacen poco práctica desde el punto de vista ingenieril. Para t> 0,2 el error que se produce al considerar el primer término de la serie y despreciar todos los demás es inferior al 2%, margen de sobra válido para la realización de cálculos. Las expresiones de la temperatura en función del tiempo y la distancia al centro, considerando sólo el primer término de la serie, quedan de la siguiente forma:

Las constantes A1 y l1 son funciones, exclusivamente, del número de Biot. Sus valores respecto a Bi están tabulados en tablas. Jo es la función de Bessel de primer orden. Sus valores están tabulados en tablas también. Las expresiones anteriores son válidas suponiendo un cambio brusco en la temperatura del fluido en contacto con el sólido o, considerándolo desde otro punto de vista, cuando h es finito. En el caso de que se suponga un cambio brusco en la temperatura del fluido, es decir, si la temperatura de la superficie del sólido (Ts) alcanza rápidamente la temperatura del fluido (Tf) se considera que h es infinito. En el caso de temperatura específica de la superficie del sólido, en la expresión de la temperatura adimensional se cambia el valor de la temperatura del fluido (Tf) por el valor de la temperatura de la superficie del sólido (Ts). El caso de temperatura superficial específica se tiene muy aproximadamente en la práctica cuando sobre la superficie del sólido existe condensación o ebullición. Particularizando para el centro:

CENTRO DE UNA PARED PLANA (x = 0):

CENTRO DE UN CILINDRO (r = 0):

CENTRO DE UNA ESFERA (r = 0):

Se supone que cuando el tiempo tiende a infinito (el periodo de tiempo es lo suficientemente largo) la temperatura del cuerpo es la misma que la del fluido que lo rodea. Por lo tanto el máximo calor transferido entre el cuerpo y el fluido será igual al incremento de energía del cuerpo:

Qmax = m Cp (Tf - Ti) = r V Cp (Tf - Ti)

La cantidad de calor transferido Q en un tiempo finito t será menor que la cantidad de calor máxima Qmax. La fracción de calor transferido en un tiempo t con relación a la cantidad calor máxima viene dadas por las expresiones siguientes: PARED PLANA:

CILINDRO:

ESFERA:

Un valor pequeño del número de Biot (Bi) indica que la resistencia interior del cuerpo a la conducción de calor es pequeña con relación a la resistencia a la convección entre la superficie y el fluido. Entonces, la temperatura dentro del cuerpo es bastante uniforme y es aplicable el modelo de sistema concentrado. El número de Fourier es una medida del calor conducido a través de un cuerpo con relación al calor almacenado en él. Por tanto, un valor grande del número de Fourier indica una propagación más rápida de calor a través del cuerpo. Un sólido semiinfinito es aquel que su distribución de temperatura sólo depende de una superficie, es el caso del estudio del campo de temperaturas en un muro grueso en la zona cercana a la superficie. Mientras que el campo de temperatura de una pared plana depende de las dos superficies que están en contacto con el fluido, en el caso de un sólido semiinfinito el campo de temperatura sólo depende de una superficie. Un valor pequeño del número de Biot (Bi) indica que la resistencia interior del cuerpo a la conducción de calor es pequeña con relación a la resistencia a la convección entre la superficie y el fluido. La temperatura adimensional, en el caso de cambio brusco de la temperatura del fluido, se define como:

Las soluciones obtenidas para la temperatura adimensional se presentan gráficamente. En el caso de temperatura superficial (Ts) específica:

2.2.4 TIPS PARA EL DESARROLLO DE PROBLEMA BÁSICO El problema básico es de tres tipos: a) Se conoce la temperatura inicial del cuerpo objeto de estudio y se pretende predecir la temperatura que alcanza un determinado punto en un período de tiempo dado. El método para resolver este problema, mediante los diagramas de HeislerGröber, es el siguiente:

1) Se calculan los números de Fourier (Fo) y Biot (Bi). 2) Con Fo y 1/Bi se entra en el primer ábaco de Heisler y se calcula la temperatura en el centro. Si el punto del cual se pretende predecir su temperatura es el centro el problema está resuelto. 3) Si el punto objeto de estudio no es el centro se entra en el segundo ábado de Heisler con 1/Bi y x/L (ó r/ro en el caso de cilindro o esfera) y se calcula la temperatura en el punto en cuestión.

b) Se conoce la temperatura inicial del cuerpo objeto de estudio y el objetivo es predecir el tiempo necesario para que un determinado punto alcance una temperatura dada. El método de resolución, mediante los diagramas de Heisler-Gröber, es el siguiente:

1) Se entra en el segundo ábaco de Heisler con 1/Bi y x/L (ó r/ro) y se determina la temperatura en el centro. 2) Se entra en el primer ábaco de Heisler con 1/Bi y la temperatura en el centro y se obtiene el valor de Fo. 3) Fo = (a t) / L2 => t = (Fo L2) / a

c) Se quiere predecir el calor transferido en un determinado período de tiempo: 1) Se calcula la fracción Q/Qmax = Rc mediante el ábaco de Gröber correspondiente. 2) Qmax = m Cp (Ti - Tf) => Q = Rc Qmax

Para el caso de sólido casi ilimitado o semiinfinito el procedimiento es el mismo. Cambian los diagramas y los parámetros de entrada. En este caso sólo existen dos diagramas, uno para calcular la distribución de temperatura en el sólido y otro para calcular la fracción de calor transferido en un período de tiempo determinado. 2.2.5 DIAGRAMAS DE HEISLER

En estos gráficos Q es la pérdida de calor real del cuerpo en el tiempo. Evidentemente, existen otros muchos problemas de calentamiento y enfriamiento de interés. Las soluciones de un gran número de casos han sido presentadas en forma gráfica por Schneider y los lectores interesados en esos cálculos encontrarán de gran utilidad esta referencia. La Figura 4.13 proporciona las temperaturas centrales de los tres tipos de sólidos para valores pequeños de h, o para condiciones en que los sólidos se comportan como una capacidad global. En esta figura la dimensión característica es para la placa y para el cilindro y la esfera. En la Referencia están disponibles diagramas simplificados.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS -

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