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• Gusben Yuber Rivera Soto

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LuffiHIDRÁULICA DE CONDUCTOS

Ejercicios Resueltos sobre conductos cerrados Integrantes:

2015

 Fernández Mechato Alex  Meléndez Palomino Juliana  Rivera Arguello Hillary Rodham  Zegarra García Rosa Elizabeth Ingeniería Civil. Universidad Nacional de Piura

EJERCICIO 1 Para el sistema mostrado en la figura, calcule la potencia requerida para bombear 100L/s de líquido (S=0.85, v=10-5m2/s).La bomba opera con una eficiencia η=0.75. En l figura se dan los datos.

200

DATOS:

LINEA 1 L=10m D=0.20 m e=0.05 mm K2=0.5 y Kv=2

LINEA 2 L= 500m D=0.25m e=0.05mm Kc=0.25 y k2=1

Potencia= 100 l/s S=0.85 v= 10-5m2/s Long entre los =10m

codos

DESARROLLO Aplicamos la ecuación de balance energético, considerando las disipaciones de los codos y de las paredes de la tubería.

𝐸1 + 𝐸𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 = 𝐸𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 + ℎ1→2 … … … … . . 1 𝑃 𝛼𝑉𝐴 2 𝑃 𝛼𝑉𝐵 2 ( + 𝑍𝐴 ) + + 𝐻𝑙 = ( + 𝑍𝐵 ) + + 𝐻𝐴 + 𝐻𝐵 … … … … … 2 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔

𝑃 𝛼𝑉1 2 ( + 𝑍𝐴 ) + + 𝐻𝑙 𝛾 2𝑔 𝑃 𝛼𝑉2 2 = ( + 𝑍𝐵 ) + 𝛾 2𝑔 2 𝛼𝑉1 𝐿 𝛼𝑉2 2 𝐿 +{ (𝑓𝐴 + ∑ 𝜉) + (𝑓𝐵 + ∑ 𝜉)} … … … 3 2𝑔 𝐷 2𝑔 𝐷

Pero: 𝐷

𝑄

𝑅𝑒 = V 𝑣

PERO: 𝑉 = 𝐴

𝑅𝑒1 = 𝜋𝐷



𝑅𝑒2 = 𝜋𝐷

𝐷2 4

4𝑄

𝑉 = 𝜋𝐷2

4𝑥0.1𝑚3 ⁄𝑠

4𝑄



𝐴=𝜋

𝑅𝑒1 = 𝜋(0.2𝑚)10−5 𝑚2 ⁄𝑠 ↔ 𝑅𝑒1 = 63661.977 … … … … .4

1𝑣

4𝑥0.1𝑚3 ⁄𝑠

4𝑄

𝑅𝑒2 = 𝜋(0.25𝑚)10−5 𝑚2 ⁄𝑠 ↔ 𝑅𝑒2 = 50 929.582 … … … … .5

2𝑣

Hallamos los factores de fricción: Reemplazamos Re en la siguiente ecuación: 𝑓=

 𝑓1 =

1.325 𝜀 5.74 2 [ln(0.27 𝐷 + 0.9 )] 𝑅𝑒

1.325 0.05𝑚𝑚

[ln(0.27 200𝑚𝑚 +

2 5.74 )] 0.9 63 661.977

……………………6

𝑓1 = 0.0207  𝑓2 =

1.325 2 0.05𝑚𝑚 5.74 )] [ln(0.27 250𝑚𝑚 + 0.9 50 929.582

……………………7

𝑓2 = 0.0205 Si remplazamos en la ecuación: (0 + 10) + 0 + 𝐻𝑝 200𝑥103 =( + 20) 9.81𝑥1000𝑥0.85 16𝑥0.12 10 +{ (0.0207 + 0.5 + 2) 2 4 2𝑥9.81𝑥𝜋 𝑥0.2 0.2 16𝑥0.12 500 + (0.0205 + 2(0.25) + 1)} 2 4 2𝑥9.81𝑥𝜋 𝑥0.25 0.25

10 + 𝐻𝑝 = 54.8 ↔ 𝐻𝑝 = 44.8𝑚

La energía que ejerce la bomba al sistema es 44.8 por lo tanto la ecuación calcularemos la potencia de la bomba de la siguiente manera:

𝑃=

𝛾𝐻𝑝 𝑄 9.81𝑥1000𝑥0.85𝑥44.8𝑥0.1 ↔𝑃= 𝜂 0.75 𝑃 = 49.75 𝑘𝑤 ↔ 𝑃 = 50𝑘𝑤

E Π A Línea piesométrica

EJERCICIO 2 Una bomba está situada entre dos secciones de una tubería horizontal. El diámetro D1 y la presión P1 se dan como datos en la sección corriente arriba, D2 y P2 en la sección corriente abajo. Determine la potencia de la bomba requerida para el fluido en las siguientes condiciones: a) D1 =50 mm, P1 =350kPa, D2 =80 mm, P2 =760kPa, Q =95 L/min, hL =6.6m fluye agua a 20°C b) D1 =2 in, P1 =50lb/in2, D2 =3 in, P2 =110 lb/in2, Q =25 gal/min, hL =20 ft fluye agua a 70°F.

DESARROLLO Aplicamos ecuación de la energía mecánica 𝐸1 + 𝐸𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 = 𝐸𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 + ℎ1→2 … … … … . . 1

Substituye v= Q/A y

𝑃=

𝛾𝐻𝑝 𝑄 𝜂

despejando 𝐻𝑝

𝑤

= 𝛾𝑄

Z1=Z2 𝑃1 𝑄2 𝑃2 𝑄2 ( + 𝑍1 ) + + 𝐻 = ( + 𝑍 ) + + 𝐻𝐿 𝑃 2 𝛾 2𝑔𝐴2 𝛾 2𝑔𝐴2

a) Calculamos los valores para luego reemplazar: 𝐷2 𝐴=𝜋 4 𝐴1 = 𝜋

𝐷 21 0.052 ↔𝐴=𝜋 ↔ 𝐴1 = 0.00196 𝑚2 4 4

𝐴2 = 𝜋

𝐷22 0.082 ↔𝐴=𝜋 ↔ 𝐴2 = 0.00503 𝑚2 4 4 𝑄=

0.095 ↔ 𝑄 = 0.00158𝑚3 /𝑠 60

Reemplazamos los datos en la ecuación general de energía: 𝑃1 𝑄2 𝑃2 𝑄2 ( + 𝑍1 ) + + 𝐻 = ( + 𝑍 ) + + 𝐻𝐿 𝑃 2 𝛾 2𝑔𝐴2 𝛾 2𝑔𝐴2 (

350𝑥103 0.001582 𝑊 + 𝑍) + + 2 9.81𝑥1000 2𝑥9.81𝑥0.00196 9810𝑥0.00158 3 760𝑥10 0.001582 =( + 𝑍) + + 6.6 9810 2𝑥9.81𝑥0.005032

35.7 + 0.03 + 0.00645𝑊 = 77.5 + 0.005 + 6.6

Despejando W: 𝑊 = 750 𝑤𝑎𝑡𝑡

b) Con las variables en otro sistema

𝑄=

25 ↔ 𝑄 = 0.0557𝑚3 /𝑠 7.48𝑥60

50𝑥114 𝑊 110𝑥114 +0+ = + 0 + 20 62.4 62.4𝑥0.0557 62.4

Despejando W: 𝑊 = 550 ft −

lib /Hp seg

EJERCICIO 3 Entre dos tanques de almacenamiento se bombea un aceite (S=0.82) a través de una tubería con las siguientes características=2440m, D=200mm, f=0.02, suma K=12.5. Uno de los tanques esta 32 m más arriba que el otro. Con los datos de la bomba dados, determine: a) La descarga de aceite en la tubería. b) La potencia requería que ha de suministrar la bomba Q (L/s) Hp η

0 55 0

15 54 0.4

30 53 0.6

45 52 0.7

60 49 0.75

75 44 0.7

100 35 0.5

DESARROLLO a) Despejando de la ecuación de la energía. 𝐸1 = 𝐸𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 + ℎ1→2 𝐻𝑃 = (∆𝑍) + (𝑓𝐴 𝐻𝑃 = 32 + (0.02

𝐿 𝑄2 + ∑ 𝜉) 𝐷 2𝑔𝐴2

2440 𝑄2 + 12.5) 0.2 2𝑥9.81𝑥(0.7854𝑥0.22 )2

𝐻𝑃 = 32 + 13250𝑥𝑄 2 Los datos de la bomba pueden ser aproximados por la ecuación cuadrática (ejemplo por el uso de un ajuste por mínimos cuadrados). 𝐻𝑃 = 54.5 + 38.6𝑄 − 2330𝑥𝑄 2 Igualando ambas relaciones y reemplazando Hp: 32 + 13250𝑥𝑄 2 = 54.5 + 38.6𝑄 − 2330𝑥𝑄 2 𝑄 ≈ 0.039 𝑚3 ⁄𝑠 𝑦 𝐻𝑃 ≈ 52.3 𝑚

b) La aproximación numérica de la eficiencia de la curva es : 𝜂 = 29.4𝑄 − 349.2𝑥𝑄 2 + 1045𝑥𝑄 3

Por lo tanto al reemplazar con la potencia de la bomba:

𝑤𝑝 =

𝛾𝐻𝑝 𝑄 0.82𝑥9810𝑥0.039𝑥52.3 ↔ 𝜂 0.68 𝑤𝑝 = 2.42𝑥102 𝑤𝑎𝑡𝑡 𝑤𝑝 = 24.2 𝐾𝑊

EJERCICIO 4 Considere el sistema de bombeo simple mostrado en la figura P11.4. Suponga que ese da los siguientes parámetros      

Elevaciones de los depósitos = 𝑍1 +𝑍2 Longitud de la tubería = 𝑙 Aspereza del tubo =e Suma de los coeficientes de perdidas menores=∑ 𝑘 Viscosidad cinemática=𝑣 Descarga = 𝑄 = 15,000𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛

Desarrolle una solución numérica para determinar el diámetro requerido, use una longitud equivalente para representar las perdidas menores. Determine el diámetro con los siguientes datos: a.        Hf (ft) 490 Q(gal/min) 0

𝑍1 −𝑍2 = 120 𝑓𝑡 𝑙 = 1500 𝑓𝑡 𝑒 = 0.003𝑓𝑡 ∑ 𝑘 = 2.5 Agua a 50°F 𝑄 = 15,000𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛 Curva característica de la bomba:

486 4000

473 8000

453 12000

423 16000

b.        Hf (ft) 160 Q(gal/min) 0

168 400

𝑍1 −𝑍2 = 40𝑚 𝑙 = 500𝑚 𝑒 = 1𝑚𝑚 ∑ 𝑘 = 2.5 Agua a 20°C 𝑄 = 1.1𝑚3/𝑠𝑒𝑔 Curva característica de la bomba: 154 800

148 1200

138 1600

406 18000

DESARROLLO Escribir la ecuación de energía entre los puntos 1 y 2

Resolviendo para D1:

Reemplazando las relaciones

Y resolver para D, por sustitución sucesiva a). calcular Hp, a partir de datos de la bomba mediante la interpolación lineal

D(ft) 1 1.3 1.29

e/D 0.003 0.002308 0.002326

Re=3.016*1000000/D 3016000 2320000 2337984.496

f 0.026225 0.024435 0.024485

Le=2.5*D/f (ft) 95.3299415 133.005728 131.714763

b). calcular Hp, a partir de datos de la bomba mediante la interpolación lineal

D(m) 0.3 0.42 0.42

e/D 0.003333 0.002381 0.002381

Re=1.401*1000000/D 4670000 3335714.286 3335714.286

f 0.026988 0.02461 0.02461

Le=2.5*D/f (m) 27.78970633 42.66641091 42.66641091

EJERCICIO 5 Atreves de una tubería del lugar A al B se bombea gasolina a Q=400 L/seg, como se muestra en la figura P11.5, la tubería tiene la topografía mostrada con el lugar C a la más alta elevación. Las únicas contribuciones a las pérdidas menores son las dos válvulas localizadas en los extremos del tubo. Si   

𝑠 = 0.81 𝑣 = 4.27 ∗ 10−7 𝑚2/𝑠𝑒𝑔 𝑃𝑣 = 55.2 𝑘𝑝𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎, 𝑦 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 100 𝑘𝑝𝑎

a). determine la potencia necesaria para ser suministrada al sistema para satisfacer el requerimiento del flujo b) ¿Cuál es la elevación máxima posible en el lugar C, sin provocar que existan condiciones de presión de vapor? c). dibuje la línea piezometrica

DESARROLLO

).

b). encontrar la elevación en c cuando la presión en ese lugar es igual a la presión de vapor.

c). UBICACIÓN ALTURA PIEZOMETRICA(m) PERDIDA(m) A 100.000 -170.500 BOMBA 270.500 0.423 VALVULA 270.077 39.785 C 230.292 9.946 VALVULA 220.345 0.423 B 219.922

EJERCICIO 6 En los tres tubos en serie mostrados en la figura P11.6, las perdidas menores son proporcionales a la descarga al cuadrado, y se utiliza la fórmula de HAZEN-WILLIAMS. Para tener en cuenta las perdidas por fricción, Con los datos dados use el método de NEWTON para determinar la descarga, observe que las perdidas menores pueden ser omitidas en el cálculo inicial de Q: a.

Tubo 1 2 3

𝑝



(𝛾 + 𝑧)𝐴 = 250 𝑚



(𝛾 + 𝑧)𝐵 = 107 𝑚

𝑝

L(m) 200 150 300

D (mm) 200 250 300

∑𝑘

b. 𝑝



( + 𝑧)𝐴 = 820 𝑓𝑡



(𝛾 + 𝑧)𝐵 = 351𝑓𝑡

𝛾 𝑝

2 3 0

C(Hazen-Williams 100 120 90

Tubo 1 2 3

L(ft) 600 300 900

D (in) 8 10 12

∑𝑘

2 3 0

C(Hazen-Williams 100 120 90

DESARROLLO a). la ecuación de la energía, de A a B.

Usando la ecuación de HAZEN- WILLIAMS para R:

Sustituyendo conocidos datos en la ecuación de energía:

ITERACION 1 2 3

Q(m3/seg) 0.27722077 0.26496236 0.26471758

F 12.83417607 0.246460363 0.000118051

F´ 1046.96933 1006.88267 1006.07971

∆

= / -0.012258407 -0.000244776 -1.17338E-07

Primera iteración

b). véase la parte “a” para el desarrollo

Sustituyendo conocidos datos en la ecuación de energía:

ITERACION 1 2 3 4

Q(m3/seg) 10.9604614 10.3992418 10.3862171 10.3862104

F 49.49426647 1.097586465 0.000561415 -1.69105E-08

F´ 88.1905547 84.2693364 84.1780058 84.1779591

∆

= / -0.561219585 -0.013024743 -6.66938E-06 2.00889E-10

Primera iteración

EJERCICIO 7 Un oleoducto que transporta petróleo consta de los tres segmentos mostrados en la figura. Cada segmento dispone de una bomba reforzadora que se utiliza principalmente para vencer la fricción presente en el oleoducto. Los dos depósitos están a la misma altura. a) Deduzca una ecuación para determinar la descarga en el sistema si los factores de resistencia R de cada tubo y la potencia útil W de cada bomba se conocen. b) Determine la descarga con los datos dados en la figura. El peso específico del petróleo es 8830N/m

DESARROLLO a) 1. Iniciamos con la Ecuación de la Energía Mecánica en A y B 𝐻𝐴 +

𝑊𝑓1 𝑊𝑓2 𝑊𝑓3 ̅̅̅1 + ̅̅̅ + + = (𝑅 𝑅2 + ̅̅̅ 𝑅3 )𝑄 2 + 𝐻𝐵 𝛾𝑄 𝛾𝑄 𝛾𝑄 3

3

𝑖=1

𝑖=1

1 𝐻𝐴 − 𝐻𝐵 + ∑ 𝑊𝑓𝑖 − 𝑄 2 ∑ 𝑅̅𝑖 = 0 𝛾𝑄

Pero: 𝐻𝐴 = 𝐻𝐵 Debido a que la altura piezométrica es la misma para ambos

Despejamos Q 1

𝑄 = [∑ 𝑊𝑓𝑖 /(𝛾 ∑ 𝑅̅𝑖 )]3

b) 3

∑ 𝑊𝑓𝑖 = 200 × 103 + 200 × 103 + 250 × 103 = 650 × 103 𝑖=1 3

∑ 𝑅̅𝑖 = 4 × 104 + 3 × 104 + 2 × 105 = 2.7 × 105 𝑖=1 1

3

∴ 𝑄 = [(650 × 103 )/(8330 × 2.7 × 105 )]3 = 0.0663 𝑚 ⁄𝑠

EJERCICIO 8 Se bombea un líquido con gravedad específica de 0.68 desde un tanque de almacenamiento hasta un surtidor de descarga libre a través de una tubería de longitud L y diámetro D. La bomba suministra una cantidad de potencia 𝑊𝑓 conocida al líquido. Si se supone un factor de fricción constante de 0.015, determine la descarga con las siguientes condiciones: Tanque 1 2

Z (m) 24 18

P (kPa) 110 ------

L (m) D (mm) Wf (kW)

450 300 10

DESARROLLO 𝑊𝑓 𝑃1 𝐿 𝑄2 + 𝑍1 + = (∑ 𝐾 + 𝑓 + 1) + 𝑍2 𝛾 𝛾𝑄 𝐷 2𝑔𝐴2 Acomodamos la ecuación y reemplazamos datos: 𝑊𝑓 𝑃1 𝐿 𝑄2 + 𝑍1 − 𝑍2 + − (∑ 𝐾 + 𝑓 + 1) =0 𝛾 𝛾𝑄 𝐷 2𝑔𝐴2

110 × 103 1 × 104 1 + 24 − 18 + 0.68 × 9810 0.68 × 9810 𝑄 −

450 (0.5 + 3 × 0.26 + 2 + 0.015 × 0.30 + 1) 2 × 9.81 × (0.7854 × 0.302 )2 22.4 +

𝑄2 = 0

1.5 − 273.2𝑄 2 = 0 𝑄

Resolviendo la ecuación obtenemos: 3

𝑄 = 0.32 𝑚 ⁄𝑠

EJERCICIO 9 A través de tres tubos en serie de bombea agua a 20°C como se muestra en la figura. La potencia suministrada a la bomba es de 1920 Kw, y su eficiencia es de 0.82. Calcule la descarga.

Tubo 1 2 3

L (m) 200 300 120

D (mm) 1500 1000 1200

2

e (mm) 1 1 1

ΣK 2 0 10

10

𝐻𝑝 = (𝑅1 + 2𝑔𝐴 2 + 𝑅2 + 𝑅3 + 2𝑔𝐴 2 ) 𝑄 2 + 50 1

𝐻𝑝 = 2 2𝑔𝐴1

2

𝑊𝑓 𝑛 𝛾𝑄

=

=

1920×103 ×0.82 9800𝑄 2

𝜋 2×9.81×( )2 ×1.54

=

160.7 𝑄

= 0.03264

4

10 2𝑔𝐴3

3

2

=

2 𝜋 2×9.81×( )2 ×1.24 4

Luego hallaremos los factores de resistencia:

= 0.3985

𝑅1 ≅ 1.07

𝐿1

e1 −2 5 [ln (0.27 D )] 𝑔𝐷1 1

= 1.07

200 1 [ln (0.27 × )]−2 5 9.81 × 1.5 1500

= 0.03864

𝑅2 = 1.07 𝑅3 = 1.07

300 1 [ln (0.27 × )]−2 = 0.4846 9.81 × 15 1000

120 1 [ln (0.27 × )]−2 = 0.07455 9.81 × 1.25 1200

Sustituyendo los valores en la ecuacion mecánica 160.7 = (0.03864 + 0.03264 + 0.4846 + 0.07455 + 0.3985)𝑄 2 + 50 𝑄 160 = 1.029𝑄2 + 50 𝑄 Usamos el método de Newton: 𝐹(𝑄) = 1.029𝑄3 + 50𝑄 − 160.7, 𝐹 (𝑄) = 3.087𝑄2 + 50 Iter. 1 2 3 4

Q (m3/s) 2 2.842 2.775 2.774

F -52.47 5.02 0.0389

F´ 62.35 74.93 73.77

∆Q=-F/F´ 0.842 -0.067 -0.00053

3

∴ 𝑄 = 2.77 𝑚 ⁄𝑠

EJERCICIO 10 Determine la distribución del flujo de agua en el sistema en paralelo mostrado en la figura, y la potencia de bombeo requerida si la descarga a través de la bomba es Q1= 3m3/s. La eficiencia de la bomba es 0.75. Suponga factores de fricción constantes. TUBERÍA 1 2 3 4

L (m) 100 1000 1500 800

D(mm) 1200 1000 500 750

f 0.015 0.020 0.018 0.021

∑K 2 3 2 4

DESARROLLO 1) Inicialmente trabajamos las tuberías en paralelo 2,3 y 4  Hallamos la longitud equivalente de cada tubería. 𝐷 ∗ ∑𝑘 𝐿𝑒 = 𝑓 1.2 𝑋 2 Tubería 1: 0.015 = 160 Tubería 2: Tubería 3: Tubería 4: 

1𝑥3

= 150

0.02 0.5 𝑥2

= 56

0.018 0.75 𝑥 4 0.021

= 143

Ahora hallamos el factor R. 𝑅=

8𝑓(𝐿 + 𝐿𝑒) 𝑔𝜋 2 𝐷5

8𝑥0.015𝑥260 R1= = 0.1295 9.81𝑥𝜋2 1.25 8𝑥0.02𝑥1150 R2= = 1.900 9.81𝑥𝜋2 15 8𝑥0.018𝑥1556 R3= =74.05 9.81𝑥𝜋2 0.55 8𝑥0.021𝑥943 R4= = 6.895 9.81𝑥𝜋2 0.755



Hallamos el factor W 𝑊=

𝑊=

32

(

𝑄2 1 (∑ )2 √𝑅

= 6.0022 1 1 1 + + )2 √1.9 √74.05 √6.895



Hallamos los caudales para las tuberías 2, 3 y 4 Q2= √𝑊/𝑅2= √6.022/1.9 =1.78 m3/s Q3= √𝑊/𝑅3 = √6.022/74.05 = 0.285 m3/s Q4= √𝑊/𝑅4 = √6.022/6.895 =0.935 m3/s



Como sabemos Q1= Q2 + Q3 + Q4 → 3= 1.78 + 0.285 + 0.935 = 3 𝐻𝑝 = 𝑅1 𝑄1 2 + 𝑊 + 𝑧 Hp0.1295 𝑥 32 + 6.022 + 20 = 27.2 𝑚



Finalmente la potencia es:

𝛾𝑄1𝐻𝑝 9810 𝑥 3 𝑥27.2 𝑛

=

0.75

=1.07 MW

OBTENCIÓN DE LOS CAUDALES SEGÚN HAZEN WILLIAMS Tubería Principal: Caudal (m3/s) Diámetro (") Área (m2) Velocidad (m/s)

3 en m:

1.2

en m:

1

1.1310 2.6526

Tubería 1: Longitud 1000 (m) Diámetro (") Área (m2) 0.7854

Tubería 2: Longitud (m) Diámetro (") Área (m2)

1500

Longitud (m) Diámetro (")

800

en m:

0.5

0.1963

Tubería 3:

en m:

0.75

=1.07 x 10 6

Área (m2)



0.4418

𝐷1

Aplicamos el método de Hazen Williams 𝑄1 = 𝑄𝑡



5⁄ 2

∑𝑛𝑖=1(𝐷𝑖

⁄ √𝐿1 5⁄ 2

⁄ ) √𝐿𝑖

Calculamos la disipación en cada tubería:

6.824 ∗ 𝐿 ∗ 𝑣 1.851 ℎ𝐿 = 1.851 1.167 𝐶 𝐻𝑊 ∗ 𝐷 Caudales: Q1= Q2= Q3=

1.776224 0.256376 0.9674

Velocidades: v1= 2.262 v2= 1.306 v3= 2.19

hl1= hl2= hl3=

6.14 7.48 6.47

Con ayuda de Excel, podemos proponer valores a los caudales de tal manera que las disipaciones queden iguales o muy semejantes. Ya que en un sistema en paralelo las disipaciones deben ser iguales. Así obtenemos:

〖D_1〗^(5⁄2)⁄√(L_1 ) 〖D_2〗^(5⁄2)⁄√(L_2 ) 〖D_3〗^(5⁄2)⁄√(L_3 ) Caudales: Q1= Q2= Q3=

= = =

0.031622777 0.004564355 0.017222975

1.8082 0.2344 0.9574

Entonces:

Q1 Q2 Q3

Velocidades: v1= 2.302 v2= 1.194 v3= 2.167

(m3/s) 1.77622433 0.2563759 0.96739977

= = = hl1= hl2= hl3=

6.34 6.34 6.35



Como sabemos Q1= Q2 + Q3 + Q4 → 3= 1.8082 + 0.2344 + 0.9574 = 3 𝐻𝑝 = 𝑅1 𝑄1 2 + 𝑊 + 𝑧 Hp=0.1295 𝑥 32 + 6.022 + 20 = 27.2 𝑚



Finalmente la potencia es:

=1.07 MW

𝛾𝑄1𝐻𝑝 9810 𝑥 3 𝑥27.2 𝑛

=

0.75

(lts/seg) 1776.22433 256.375899 967.39977

=1.07 x 10 6

EJERCICIO 11 Para el sistema mostrado en la figura, determine la distribución del flujo de agua y la carga piezométrica en la unión utilizando un procedimiento apropiado. Suponga factores de fricción constantes. La curva característica de la bomba es Hp= a - bQ2 . a) a= 20 m, b= 30 s2/m5 , z1= 10 m, z2=20 m, z3=18m Tubería 1 2 3

L (m) 30 60 90

D (cm) 24 20 16

f 0.020 0.015 0.025

DESARROLLO a) 

Hallamos la longitud equivalente para la primera tubería. 𝐷 ∗ ∑𝑘 𝐿𝑒 = 𝑓 Tubería 1:



30 𝑋0.24 0.020

= 24

Ahora hallamos el factor R. 𝑅=

8𝑥0.02𝑥54 R1= = 112.1 9.81𝑥𝜋2 0.245 8𝑥0.015𝑥60 R2= = 232.4 9.81𝑥𝜋2 0.25

8𝑓(𝐿 + 𝐿𝑒) 𝑔𝜋 2 𝐷5

K 2 0 0

R3=



8𝑥0.025𝑥90 9.81𝑥𝜋2 0.165

=1773

Aplicamos la ecuación de la energía mecánica para las tres tuberías:

Tubería 1: 10+Hp= R1Q1 + H = H= 10 + (20 – 30Q21 ) – 112.1 Q21 = 30 – 142.1 Q21 Tubería 2: H= R2 Q22 +20, o Q2= √(𝐻 − 20)/232.4 Tubería 3: H= R3 Q32 +18, o Q3= √(𝐻 − 18)/1773 La sumatoria de caudales en una red de tuberías es igual a 0. ∑Q= Q1 –Q2 – Q3

Ahora procedemos a iterar el Q1 hasta tener un error aceptable. Q1 m3/s 0.15 0.20

H m 26.80 24.32

  

Q1 = 0.20 m3/s Q2=0.14 m3/s Q3=0.06 m3/s

Q2 m3/s 0.1711 0.136

Q3 m3/s 0.0705 0.0595

∑Q m3/s - 0.0916 + 0.004

b) a= 55ft, b=0.1 seg2/ft5, z1=20 ft, z2= 50 ft, z3= 45 ft Tubería 1 2 3



L (ft) 100 200 300

D(in) 10 8 6

f 0.020 0.015 0.025

Hallamos la longitud equivalente para la primera tubería. 𝐷 ∗ ∑𝑘 𝐿𝑒 = 𝑓 Tubería 1:

10 𝑋2 12

0.020

= 83.3

K 2 0 0



Ahora hallamos el factor R. 𝑅=

8𝑓(𝐿 + 𝐿𝑒) 𝑔𝜋 2 𝐷5

8𝑥0.02𝑥183.3 R1= 10 = 0.2296 32.2𝑥𝜋2 ( )5 12

8𝑥0.015𝑥200

R2= = 0.5735 8 32.2𝑥𝜋2 ( )5 12

R3=

8𝑥0.025𝑥300

=6.042 6 5 2 32.2𝑥𝜋 (12)

EJERCICIO 12. Resuelva el problema 11.11 por medio de un método numérico. a) Método de Newton. DESARROLLO:

∑ 𝑄 = 𝑄1 − 𝑄2 − 𝑄3 = 0

𝑤(𝐻) = √

30 − 𝐻 𝐻 − 20 𝐻 − 18 −√ −√ 142.1 232.4 1773

Usando la falsa posición del método: 𝐻𝑟 =

𝐻𝑙 𝑤(𝐻𝑢 ) − 𝐻𝑢 𝑤(𝐻𝑙 ) 𝑤(𝐻𝑢 ) − 𝑤(𝐻𝑙 )

VALORES

HL

HU

W(HL)

W(HU)

HR

W(HR)

1 2 3

25 24.57 24.46

20 20 20

-0.02193 -0.00562 -0.00144

0.2317 0.2317 0.2317

24.57 24.46 24.43

-0.00562 -0.00144 -0.00030

W(HL) W(HR) + + +

Ε ----0.0045 0.0012

𝑄1 = √

(30 − 24.43) = 0.198 𝑚3 ⁄𝑠 142.1

𝑄2 = √

𝑄1 = √

(24.43 − 20) = 0.138 𝑚3 ⁄𝑠 232.4

(24.43 − 18) = 0.060 𝑚3 ⁄𝑠 1773

EJERCICIO 14 El sistema aspersor de agua mostrado en la figura actúa desde una tubería de gran diámetro con presión interna constante 𝑃0 = 300𝑘𝑃𝑎. El sistema se coloca en un plano horizontal. Determine la distribución de flujo 𝑄1 , 𝑄2 , 𝑄3 , 𝑄4 con los datos dados. Las pérdidas provocadas por las válvulas se incluyen en los valores 𝑅̅ .

Tubo 1 2 3 4

R (s2/m5) 1.6*10^4 5.3*10^5 1.0*10^6 1.8*10^6

DESARROLLO Por la ecuación de la continuidad: 𝑄1 − (𝑄2 + 𝑄3 + 𝑄4 ) = 0 Ecuacion de la energia mecanica en la tuberia 1:

𝑃0 𝛾

𝑃 ̅̅̅1 = ̅̅̅ 𝑅1 𝑄2 2 + 𝐻, 𝑜𝑟 𝑄1 = √( 0 − 𝐻)/𝑅 𝛾

En el cual H= Altura piezométrica en la salida. Para cada tubería (i=2, 3, 4):

𝐻 = 𝑅̅𝑖 𝑄𝑖 2 , 𝑜𝑟 𝑄𝑖 = √𝐻⁄ ̅ 𝑅𝑖

Sustituyendo n la ecuación de la continuidad:

𝑃0 4 4 −𝐻 1 𝐻 1 1 𝛾 [ ]2 = ∑[ ]2 = √𝐻 ∑ 𝑅̅𝑖 𝑅̅𝑖 √𝑅̅𝑖 𝑖=2

𝑖=2

Resolviendo H: 300 × 103 /9810 𝐻= = 1 1 1 1 2 1 + 1.6 × 104 [ + + ]2 1 + 𝑅1 [∑ ] 6 6 5 √1 × 10 √1.8 × 10 √5.3 × 10 √𝑅̅𝑖 𝑃0 𝛾

30.58 = 26.46𝑚 1.556

3

∴ 𝑄1 = √(30.58 − 26.46)/1.6 × 104 = 0.01605 𝑚 ⁄𝑠 3

𝑄2 = √(26.46/5.3 × 105 ) = 0.00707 𝑚 ⁄𝑠 3

𝑄3 = √(26.46/1 × 106 ) = 0.00514 𝑚 ⁄𝑠 3

𝑄4 = √(26.46/1.8 × 106 ) = 0.00383 𝑚 ⁄𝑠