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“AÑO DEL CENTENARIO DE MACHU PICCHU PARA EL MUNDO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Tema:

CURVAS HORIZONTALES Curso: Caminos I - Clase N° 07 Docente: Ing. Eduardo Injante Lima Alumna: Altamirano Arguelles Andrea Victoria Año y Sección: VII Ciclo “A” ICA – PERU 2011

CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

INTRODUCCIÓN

A lo largo de nuestra formación profesional, hemos estudiado en detalle las tres etapas que preceden a la realización de un proyecto de carreteras. Son éstas, el estudio de rutas, el estudio del trazado y la ejecución del anteproyecto. Completadas estas tres etapas del trabajo, corresponde ahora realizar el llamado proyecto de la carretera. Como tal, se entiende el proceso de localización del eje de la vía, su replanteo en el terreno y referencia de sus áreas adyacentes, vamos a recalcar toda la metodología que debemos utilizar para replantear el proyecto horizontal de una vía, Replanteo y Trazado del Proyecto Horizontal de la Vía. El replanteo topográfico corresponde al conjunto de operaciones destinadas a señalizar en terreno la ubicación de obras de ingeniería, cuyas características físicas están contenidas en los planos del proyecto. La estructura básica de una obra vial queda definida por él o los ejes de proyecto, cuya proyección en planta está constituida por un conjunto de alineaciones rectas enlazadas por curvas circulares o curvas de radio variable con el desarrollo. Se analizara al detalle cada paso a seguir en el replanteo del proyecto horizontal, el cual incluye Eje de la Vía, curvas horizontales y sección típica de la vía, con el objetivo principal de dejar listo el terreno para los siguientes trabajos.

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

CURVAS HORIZONTALES (CIRCULARES) El diseño geométrico en planta de una carretera, o alineamiento horizontal, es la proyección sobre un plano horizontal de su eje real o espacial. Dicho eje horizontal esta constituido por una serie de tramos denominados tangentes, enlazados entre si por curvas.

1.

CURVA CIRCULAR

Las curvas circulares se utilizan para empalmar tramos rectos, estas curvas deben cumplir con ciertas características como: facilidad de trazo, economía y deben ser diseñadas de acuerdo a las especificaciones técnicas. Existen diferentes tipos de curvas circulares, estas son: 

Curva simple



Curva compuesta



Curva mixta



Curva inversa

A.1. Curva simple

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Es un arco de circunferencia que empalma dos tangentes.

Curva simple A.2. Curva compuesta Es una curva que está compuesta por dos arcos de diferente radio.

Curva compuesta A.3. Curva mixta

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Curva mixta

A.4. Curva inversa Son dos curvas colocadas en sentido contrario a la tangente común.

Curva mixta TRAZADO DE CURVAS HORIZONTALES

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

El trazo de curvas se emplea en la construcción de vías para conectar dos líneas de diferente dirección o pendiente.

1. TRAZO Como la liga entre una y otra tangente requiere el empleo de curvas horizontales, es necesario estudiar el procedimiento para su realización, estas se calculan y se proyectan según las especificaciones del camino y requerimientos de la topografía. El eje de la vía está constituido, tanto en sentido horizontal como en el vertical, por una seria de rectas unidas sucesivamente por curvas. El alineamiento horizontal está constituido por rectas o alineamientos rectos que se conectan entre sí generalmente por medio de curvas circulares que proporcionan el correspondiente cambio de dirección que mejor se acomode al correcto funcionamiento de la vía. Dichas curvas, además, deben ser fáciles de localizar en el terreno y económicas en su construcción. Las curvas circulares pueden ser simples, compuestas o reservas. Las simples son las de uso más general; las compuestas se usan menos, en casos especiales, y las reservas no se deben de usar sino en casos excepcionales. En nuestro proyecto, se utilizaron curvas circulares simples.

2. ELEMENTOS DE CURVA HORIZONTAL

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Los elementos que conforman las curvas horizontales están dados en la siguiente Figura:

PI: Punto de intersección entre las 2 tangentes. a: Angulo de la curva R: Radio de la curva. Pc: Principio de Curva. Pt: Punto de terminación de Curva. E: Es la external de la curva. F: Es la flecha de la curva. T: Es la tangente Lc: Es la longitud de curva CL: Es la cuerda larga que sustenta a la longitud de la curva. Cc: Es el punto medio del arco circular.

3. INTERPRETACIÓN Y COMPROBACIÓN DE LIBRETA DE CURVAS HORIZONTALES

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Cuando se realiza el diseño de la vía, en las memorias se entregan todos los datos de las curvas horizontales, estos tienen que chequearse antes de proceder a realizar el replanteo, para evitar pérdidas de tiempo, que a la vez son perdidas de dinero. Los datos que debemos revisar son: •Longitud de Curva (LC) •Angulo de Deflexión (α) 

Longitud de Curva (LC)

La comprobación de la longitud de la curva se la realiza sumando las distancias horizontales y verificando que las distancias acumuladas concuerden con las que están el las cartillas. En el ejemplo son los valores que están sombreadas con amarillo. 

Angulo de Deflexión (α)

La comprobación de los ángulos de deflexión se la realiza de la siguiente forma: •Se calcula los ángulos de deflexión para cada abscisa, multiplicando las distancias horizontales con el delta ángulo, y se verifica que los ángulos calculados sean los de las cartillas •Luego se verifican loa ángulos acumulados y el último debe ser igual a α/2 1.1.

Replanteo de Puntos de Curvas Horizontales

Para realizar este trabajo, una vez que se ha vuelto a trazar los PC y los PT de cada curva, usando las referencias, procedemos a colocar nuestro Instrumento topográfico en el PC, a continuación, encerando con el PI anterior o con el PI de la curva en estudio, comienzo a medir los ángulos de deflexión acumulados, los cuales se encuentran en la tabla que ya fue revisada, estos ángulos los mido uno por uno. A cada ángulo le corresponde la distancia entre cada abscisa en la cual se coloca una estaca, al final, replanteando la curva, llegaremos nuevamente al PT, el cual puede estar desubicado, con respecto a la medida inicial con los PI.

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Replanteo de una curva horizontal 1.2.

Punto Obligado de Curva (POC)

La mejor manera de trazar las curvas es haciéndolo por mitades a partir del PC y los PT y a encontrarse en la mitad de la curva ya que así se evita que se acumule el error natural que haya en el trazo de la curva. Sucede a menudo que no toda la curva pude verse desde el PC y el PT, necesitándose entonces cambiar el aparato a un punto sobre la curva (Punto Obligado de Curva POC), para seguir trazándola. Con lo mencionado anteriormente, el Punto Obligado de Curva (POC) es una ayuda que nos sirve para poder replantear la curva cuando la topografía de la misma, no nos permite hacerla por el método común. Para realizar esto, se coloca el instrumento topográfico en el POC, se visa el PC con los ceros del aparato coincidiendo y utilizando el movimiento general se da vuelta de campana y se gira el ángulo hasta el valor del ángulo acumulado del POC donde se encuentra el aparato, después se sigue midiendo los ángulos de la libreta de las curvas horizontales, y se sigue el procedimiento común para replantear las curvas.

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

CURVAS CIRCULARES SIMPLES 1.1.

CURVA CIRCULAR SIMPLE:

Las curvas circulares simples se definen como arcos de circunferencia de un solo radio que son utilizados para unir dos alineamientos rectos de una vía. Una curva circular simple (CCS) está compuesta de los siguientes elementos: 1.1.1.

Elementos de

una

curva

circular: Punto

de

intersección

(PI): Es el

punto donde

se

encuentran

dos

alineamientos rectos. Punto de inicio (PC, A): Es el punto donde comienza la curva. Punto final (PT, B): Punto donde termina la curva. Angulo de deflexión o ángulo central (α): Es el ángulo formado por la prolongación de un alineamiento recto y el siguiente. Este puede ser a la izquierda o a la derecha dependiendo en qué sentido se lo haya medido. Tangentes (API y PIB): Es la distancia entre el punto de intersección (PI) y los puntos A y B (PC y PT).

Radio (R, AB y AC): Es el radio de la circunferencia que describe el arco de la curva.

Cuerda principal (AB): Es la

línea recta que une el PC y el

PT (A y B).

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nhh

Externa (PID): Es la distancia entre el punto de intersección y el punto medio de la curva (D).

Flecha (DE): Distancia entre el punto medio de la curva (D) y el punto medio de la cuerda (E).

Longitud de la curva (AB): Es el arco descrito por la curva de la circunferencia desde el PC hasta el PT.

A continuación se muestra la deducción de las fórmulas para calcular cada uno de los elementos de una curva: Longitud de la tangente y externa: Del triángulo PIAC:

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Grado de la curva:

Definición por arco En este caso la curva se asimila como una sucesión de arcos pequeños (de longitud predeterminada), llamados arcos unidad (s). Comparando el arco de una circunferencia completa (2πR), que subtiende un ángulo de 360º, con un arco unidad (s), que subtiende un ángulo Gs (Grado de curvatura) se tiene:

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Definición por cuerda Este caso es el más común para calcular y materializar (plasmar en el terreno) una curva circular, pues se asume que la curva es una sucesión de tramos rectos de corta longitud (también predeterminada antes de empezar el diseño), llamados cuerda unidad (c). La continuidad de esos tramos rectos se asemeja a la forma del arco de la curva (sin producir un error considerable). Este sistema es mucho más usado porque es más fácil medir en el terreno distancias rectas que distancias curvas (pregunta: ¿Se pueden medir distancias curvas en el terreno utilizando técnicas de topografía?¿cómo?).

Tomando una cuerda unidad (c), inscrita dentro del arco de la curva se forman dos triángulos rectángulos como se muestra en la figura, de donde:

Longitud de la curva A partir de la información anterior podemos relacionar longitudes con ángulos centrales, de manera que se tiene:

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Cuerda principal y flecha Del triángulo AEC:

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1.2.

METODOS PARA REPLANTEAR UNA CURVA

Existen tres métodos para replantear una curva circular, los cuales son los siguientes: Deflexiones angulares (CLASE) Ordenadas sobre la tangente (CLASE) 1. Trazo de curva horizontal por el método de desarrollo del arco sobre la tangente (MÉTODO DE COSSIO TUDELA) 2. Método de deflexiones relativas a las tangentes y a las cuerdas 3. Curva circular tangente a tres alineamientos sucesivos, con desviaciones en el mismo sentido. 4. Método por desvíos sobre la prolongación de la cuerda 5. Método de replanteo por polares Polares absolutas desde la tangente Por polares arrastradas 6. Método de replanteo por cuerdas o polígono inscrito 7. Método de replanteo por tangentes o polígono circunscrito 8. Método de replanteo por intersección angular desde las tangentes 9. Método de replanteo por intersección de distancias desde la tangente. 10. Ordenadas sobre la cuerda principal

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A. TRAZO DE CURVA HORIZONTAL POR EL METODO DE DESARROLLO DEL ARCO SOBRE LA TANGENTE (METODO DE COSSIO TUDELA) Supongamos que deseamos ubicar el punto P de la figura, estando el teodolito en PC y siendo S la longitud del arco (PC)P. Medimos sobre la tangente, desde PC, la longitud S del arco (PC)P y ubicamos así el punto Q. Trazamos la línea QN, perpendicular a la cuerda (PC)P por lo que los triángulos (PC)NQ y QNP son rectángulos, ambos en el vértice común N. Se requiere, para la utilización del método, hallar la distancia QP. QP 

QN 2  NP 2 ……………… (a)

Utilizando el radian como unidad de ángulo, θ = S/R y θ/2 = S/2R

S/2R

S/2R

S/2R

S/R

Si trazamos del centro C la perpendicular CM a la cuerda (PC)P, ángulo (PC)CM = ángulo PCM = ángulo Q(PC)P, si tenemos en cuenta lo anteriormente supuesto, será: (PC)Q = Arco (PC)P = S Cuerda (PC)P = 2 R  sen ( S / 2 R )

(b)



Semicuerda = (PC)M =MP = R  sen ( S / 2 R)

(c)



(d)

MC = R  cos ( S / 2 R )  , y QN =  ( PC ) Q

  sen ( S / 2 R)  S  sen ( S / 2 R) 

(e) (f)

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

Los triángulos (PC)NQ y CMP son semejantes, luego,

( PC )Q ( PC ) N  R MC ( PC ) N 

 ( PC )Q   MC 

(g) y (h)

R

Teniendo en cuenta las igualdades (b) y (e), SR cos( S / 2 R ) ( PC ) N   S cos( S / 2 R ) R NP  ( PC ) P  ( PC ) N , teniendo en cuenta (e) y también (k): NP  2 R sen( S / 2 R)  S  cos( S / 2 R ) Reemplazando en (a) los valores para QN y NP de (f) e (i), respectivamente. QP 

 S sen( S / 2 R) 2   2 R sen(S / 2 R)  S cos( S / 2 R) 2

,

Efectuando operaciones se reduce a la siguiente expresión: QP 

4 R 2 sen 2 ( S / 2 R )  4 R S sen( S / 2 R ) cos( S / 2 R )  S 2

(1)

Esta expresión resuelve el problema y nos da el valor buscado QP, que necesitamos para usar el método. Sin embargo, para llegar a la expresión que dio El Autor del mismo, en forma directa, o sea sin exponer su deducción, la cual es diferente que la ultima expresión, tenemos que transformar las funciones trigonométricas que están usando ángulos e radianes iguales a S/2R en otras equivalentes en función del arco doble, en este caso de S/R. Para ello empleamos las conocidas igualdades trigonométricas.

Sen ½ x = ½ [ (1+Senx)1/2 – ( 1-Senx)1/2 ],

Cos ½ x = -1[(1+Senx)1/2 + ( 1-Senx)1/2 ], que aplicadas a nuestro caso dan:

Sen (S/2R) = ½ [ (1+Senx)1/2 – ( 1-Senx)1/2]

Cos (S/2R) = ½ [ (1+Senx)1/2 + ( 1-Senx)1/2]

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

Si reemplazamos estos valores en la ecuación ( 1 )

QP  R 2  ( S / R ) 2  ( 2 S / R ) sen( S / R )  2 cos( S / R )

Esta expresión, si reproduce la dada por el Ing. Cossio para aplicar su método. La práctica ha demostrado que este es adecuado para el trazado de curvas cortas. Tiene la ventaja de que las longitudes sobre la tangente son las mismas que las longitudes de los arcos correspondientes de la curva, lo que evita confusiones y errores en los trabajos en el campo. La formula para conocer el ángulo V es la siguiente:

 2 Rsen 2  Sp /  2 R     QP  

V  arcsen 

d 

SP , ángulo de deflexión en radianes del punto P desde el PC. 2R

G = (π – 2d) – V , en radianes, llamaremos a esta ecuación (A). Para convertir (A) en grados en grados sexagesimales se hará lo siguiente:

G° = 57.29578 x (A)

Ejemplo: Determinar la distancia QP para el siguiente caso de curva horizontal:

Datos: PC = km 2 + 43 +5.53 R = 60 m I = 55°17’23” m S = 63.50 m

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES



T

 R  tan

T

 60  tan

T

 31.43m

2 5517 '23" 2

LC





LC





LC

 57.90 m

 R  180



 60  5517 '23" 180

PC  PI  T PI  435.53  31.43 PI  466.96m  46  6.96 m

PT  PC  LC PT  435.53  57.90 PT  493.43  49  3.43m QP  R 2  ( S / R ) 2  (2 S / R ) sen( S / R )  2 cos( S / R )

 63.50    60 

QP  60 2  

2

63.50    63.50   63.50   2  sen   2 cos  60    60   60 

QP  106.57 m

B. METODO DE DEFLEXIONES RELATIVAS A LAS TANGENTES Y A LAS CUERDAS

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

a 

a 

a 

a

En la figura, la recta PD que llega a la curva, según el sentido del trazo, es tangente en D al arco de circunferencia de centro O. Al punto D, también lo designamos como PC ( Principio de Curva), siendo DA = La , un arco de curva y la recta DA su cuerda de longitud Ca. Desde A se traza una perpendicular AA’ a la tangente en D, a la que consideramos un eje de abscisas. Llamemos Xa a la abscisa DA’ e Ya a la ordenada A’A y de O tracemos la perpendicular OM a la cuerda DA, resultando:

DM = MA = Ca/2

Los triángulos rectángulos OMD y OMA son iguales y semejantes al triangulo rectángulo DA’A, entonces, OD DA  , o sea DM AA' R Ca  , de donde Ca / 2 Ya

Ya 

Ca 2 2R

Es fácil darse cuenta en la figura que el ángulo ADA’ es la mitad del ángulo AOD, al que llamamos θa, o sea que:

Angulo ADA' 

a 2

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

Llamando La al arco DA, a  a 2



180 La , y  R 90 La  R

En la figura podemos ver que Ya = DA. Sen (θa/2) = Ca Sen (θa/2) y teniendo en cuenta (b)  90 La   ---------- (1) Ya  Ca sen   R 

En el método que estamos siguiendo a se le llama la Deflexión del Punto A con Respecto a la tangente en D. Del mismo modo, en la figura anterior, si QQ’, que es igual a Yq, es perpendicular a la tangente a la curva D, Yq será la Deflexión de Q con respecto a la Tangente en D y, por un proceso similar que para Ya,

Yq 

Cq 2 2R

y también, similarmente a como se dedujo:  90 Lq   ---------- (2) Yq  Cq sen   R 

De 1 y 2 podemos establecer la siguiente conocida regla: “Si por un punto D de una circunferencia se traza una tangente, la deflexión de un punto cualquiera de la curva, tal como A o Q de la figura anterior, con relación a la tangente en D es igual al cuadrado de la cuerda respectiva dividido por el doble del Radio de la curva”.

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

a 

a 

a 

a 

 

a 

a 

En la figura, arco DA = arco AB, luego, la recta DA = AB = (cuerda) = C y ángulo DOA = ángulo AOB = θ. Las rectas rectas OM y ON son perpendiculares a DA y AB, respectivamente, y AB” es prolongación de DA y es también igual a C.

De A tracemos la recta tangente AB’. Por simple observación de la figura, se establece que Angulo B”AB’ = Angulo B’AB, y como los lados AB” y AB son iguales por construccion, la recta AB’ es una mediana del triangulo isósceles B”AB y, por tanto, AB’ es perpendicular a BB”, siendo también BB’ = B’B” = Yb

Los triángulos rectángulos ONA y AB’B son semejantes, luego, (Angulo AON) = (Angulo NOB) = (Angulo BAB’) = (Angulo B’AB”) = θ/2, y la distancia d = BB” = 2Yb A una distancia como d , en este método, se le llama la Deflexión de B con respecto a la cuerda DA, en un caso como el de la figura.

De A tracemos una perpendicular AA’ a la tangente en D y resultara que, por construcción. Triangulo DA’A = Triangulo AB’B”. Por la semejanza de los triángulos OMA y DA’A, teniendo en cuenta que MA = C/2, OA = R, DA = C y que A’A = Ya = Yb = d/2, se tiene: C/2 d /2  , de donde R C

d

C2 R

Por simple inspección de la figura: Yb = CS sen (θ/2)

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

 

180 L  R

Y para L = 10m:  /2 

900  R

Si reemplazamos Δ/2 por 900/πR,  900     R

C10 = 2 R sen 

Con relación a la distancia DA’ = AB’ = X, por simple inspección de la figura, haciendo Ya = Yb = Y, X  C 2  Y 2 y también

 90 L   X  C. cos( / 2)  C. cos   R

Si L = 10m  900     R

X10 = C. cos 

Si en la figura, D es el PC de la curva y es una progresiva entera del trazo, lo expuesto permite colocar puntos como A y B y los que sigan, si también son progresivas enteras. Para ello se calculan C, X e Y con la formulas anteriores, luego se mide la distancia DA’ = X, alineando en la dirección de la tangente y así se ubica el punto A’, luego un ayudante sujeta el cero de una cinta en (PC) y otro en A’ el cero de otra cinta y el operador hace coincidir, en el punto A, la medida C de la cuerda en la cinta con cero en D con la medida Y en la cinta con cero en A’. Se prolonga DA, en una distancia igual a C, hasta B”. Con cero de una cinta en A y con cero de otra cinta en B” se hace coincidir en el punto B las distancias AB = C y B” = 2Y = d. Prolongando AB una distancia igual a la cuerda C, se tiene un punto C”, similar a B” y en forma también se coloca el punto adicional C y así sucesivamente.

En este método, como en el de abscisas y ordenadas, es mas cómodo que el operador haga coincidir en los puntos de la curva solo los ceros, mientras que los ayudantes sujetan las medidas respectivas, de las cuerdas y de Ya o de 2Ya = d donde corresponda.

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

En la figura D o PC es el comienzo de la curva por trazar, que no es una progresiva entera, siendo A la primera progresiva entera de adelante en la curva. Se calculan los valores de Ca, Xa e Ya. Con Xa se coloca el punto A’ sobre la tangente y con cero de una cinta en D o PC y el cero de otra en A?, se hace coincidir en A las medidas Ca e Ya. Calculando Cq, Xq, e Yq, considerando una longitud de arco Lq complementaria para tener una arco normal entre A y Q ( o sea, por ejemplo, si la distancia normal es de 10 m y el arco DA es 6.47 m, será el arco DQ = 10 – 6.47 = 3.53 m), con el cero de una cinta en PC y el cero de otra en Q’ se hace coincidir en Q las distancias Cq e Yq.

Habiendo colocado A y Q, se tiene dos puntos que son progresivas enteras, aunque Q este ficticiamente en el trazo, antes del PC, Se prolonga QA en una longitud igual al valor de la longitud de la cuerda entre progresivas enteras, hasta B”, para lo cual se calculan los valores necesarios, que en este caso lo llamamos C e Y. Con el cero de la cinta en A y el cero de otra en B”, se hacen coincidir en B las medidas C desde A y d = 2Y desde B”, para colocar así el punto B de la curva. Luego, prolongando la cuerda AB en otra longitud, también igual a C, se marca el punto C” y se coloca el punto C de manera similar a como se coloco B, y así sucesivamente.

Cuando las curvas son de igual radio grande ( mayor de 150 m para arcos de 10 m y mayor de 400 m para arcos de 20 m), los arcos y las cuerdas difieren porco y se puede asumir que son iguales.

Ejemplo: 25

CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

Resolver la siguiente Curva Horizontal por el método estudiado, la cual tiene los siguientes datos:

Datos: R = 80 m PI = km 10 + 70 + 1.05 I = 42°15’33” PC  PI  T PC  701.05  30.92 PC  670.13m



T

 R  tan

T

 80  tan

T

 30.92 m

2 4215'33" 2

LC





 R  180



LC





 80  4215'33" 180

LC

 59 m PT  PC  LC PT  670.13  59 PT  729.13  72  9.13

Gm 

I LC

  Gm  L

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

 1   2 

C1  2 RSEN 

 1 A1  2C1Sen   4 

DEFLEXIONES ESTACA

L(m)

Δ

C(m)

A (m)

PC = 67+0.13

0.000

67+10

9.87

7.069457203

9.864564188

0.608474624

69+00

10

7.162570621

9.99434444

1.240476203

69+10

10

7.162570621

9.99434444

1.863262291

71+00

10

7.162570621

9.99434444

2.48422863

71+10

10

7.162570621

9.99434444

3.102768755

PT = 72+9.13

9.13

6.539426977

9.125807378

3.346384301

C. CURVA CIRCULAR TANGENTE A TRES ALINEAMIENTOS SUCESIVOS, CON DESVIACIONES EN EL MISMO SENTIDO. Sean los tres alineamientos de la figura que concurren, dos a dos en C y en D, con los ángulos de desviación sucesivos A y B conocidos (medidos) y la distancia CD = d también conocida.

Sean (PC) y (PTPC) y PT los puntos de tangencia de la curva con los alineamientos. Trazando líneas perpendiculares a los respectivos alineamientos por los respectivos puntos de tangencia, estas concurrirán al punto O, centro de la curva buscada.

(PC) = C(PT.PC) = R{tan ( A/2 )}

(a)

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

(PT.PC)D = D(PT) = R{tan ( B/2 )}

(b)

d = R [ tan ( A/2 ) + tan ( B/2 )]

( c ), de donde

R

d tan( A / 2)  tan( B / 2)

EJEMPLO APLICATIVO

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

D. METODO POR DESVIOS SOBRE LA PROLONGACION DE LA

CUERDA Partiendo del método anterior, si prolongamos la cuerda base de replanteo podríamos seguir replanteando puntos desde la zona convexa de la curva.

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

Estacionado en N, visamos a TE y marcando 200g, medimos la distancia NH, marcando H. situamos en H y marcando 100g con respecto ala recta HN mediría la distancia NP con lo que se obtendrá el punto P. Si conocemos el arco TE, NP, conoceremos el ángulo en el centro β. Del mismo modo conoceremos δ.

E. METODO DE REPLANTEO POR POLARES E.1.POLARES ABSOLUTAS DESDE LA TANGENTE Es quizás el de uso más común. Estacionado en TE visamos a V o a un punto de la alineación e imponemos el ángulo €, medimos la distancia TE, P y marcamos el punto p.

Desde TE vamos replanteando puntos sucesivos de la curva , en función de los ángulos € y sub cuerdas correspondientes. Una vez acabado habremos de verificar la situación relativa de los puntos midiendo las cuerdas entre ellos. E.2.POR POLARES ARRASTRADAS

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CAMINOS I –CURVAS HORIZONTALES

Es una aplicación del caso anterior, para cuando estamos limitados por el medio empleado para medir distancias. Estacionamos en TE visamos a V y marcamos el angulo є1, y la distancia L=TE P1.

De este modo situamos el punto P1. Continuando con la estación en TE marcamos ahora el ángulo є2 y medimos desde P1 la distancia L. donde intercepten la dirección marcada desde TE y la distancia L, estará el punto P2. Continuaremos asi para marcar el reto de los puntos.

En el ejemplo, los puntos están separados a la misma distancia, con lo cual, Al ir encadenando los puntos entre si por la medida de las cuerdas L, solo podremos verificar el replanteo realizando la mitad desde cada tangente y comprobando el error en el punto central de la curva, compensándolo o repitiendo el trabajo según el caso.

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F. METODO DE REPLANTEO POR CUERDAS Consiste en realizar una poligonal de tal modo que los vértices son puntos de la propia curva. Iremos marcando los ángulos interiores y las distancias de los lados dela poligonal.

Con lo cual tendremos los datos suficientes para definir la poligonal. Es conveniente hacer la mitad desde cada tangente y cerrar en un punto centrado en la curva, para no acumular errores excesivos.

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G. METODO DE REPLANTEO POR TAGENTES En este método se pretende hacer una poligonal por el lado exterior de la curva, de tal modo que sus lados sean tangentes a la circunferencia. Estacionamos en V1, replanteamos V2, B1 con el angulo mitad de v1 y T1 en la dirección a V2. Desde V2 comprobamos el replanteode T1 y continuaremos situando B2 Y T2.

H. METODO DE REPLANTEO POR INTERSECCION ANGULAR DESDE LAS TANGENTES Utilizando el método de bisección, podemos replantear una curva estacionando dos aparatos, uno en cada tangente. Analizando la figura anterior

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Observe que el ángulo P siempre es el mismo, sea el punto quesea, gracias a una de las propiedades de la curva circular expuestas al comienzo de la lección. Visando desde TE a TS y TS a TE y girando los ángulos a y b, donde intercepten las dos visuales se encontrara el punto. I. METODO DE REPLANTEO POR INTERSECCION DE DISTANCIAS DESDE LAS TANGENTE Sobre la misma figura anterior, observamos que si conociéramos las longitudes TE, P Y TS, P, es su intersección encontraríamos el punto P.

J. METODO ORDENADAS SOBRE LA CUERDA PRINCIPAL Este método es similar al método anterior, la diferencia es que las ordenadas se miden sobre la cuerda principal.

Estacionado en TE, visamos TS. Medimos entonces la distancia XP, marcando el punto H. estacionado ahora en H y midiendo 100G a partir de la recta TE, TS, medimos la distancia YP, con lo que obtenemos el punto P.

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El sistema es exactamente igual al anterior solo que por la cuerda. También conviene tomar las cuerdas entre los puntos replanteados para comprobar su situación relativa.

K. CURVA CIRCULAR TANGENTE A TRES ALINEAMIENTOS SUCESIVOS, CON DESVIACIONES EN EL MISMO SENTIDO. Sean los tres alineamientos de la figura que concurren, dos a dos en C y en D, con los ángulos de desviación sucesivos A y B conocidos (medidos) y la distancia CD = d también conocida.

Sean (PC) y (PTPC) y PT los puntos de tangencia de la curva con los alineamientos. Trazando líneas perpendiculares a los respectivos alineamientos por los respectivos puntos de tangencia, estas concurrirán al punto O, centro de la curva buscada.

(PC) = C(PT.PC) = R{tan ( A/2 )}

(a)

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(PT.PC)D = D(PT) = R{tan ( B/2 )}

(b)

d = R [ tan ( A/2 ) + tan ( B/2 )]

( c ), de donde

R

d tan( A / 2)  tan( B / 2)

EJEMPLO APLICATIVO

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CASOS ESPECIALES DE REPLANTEO:

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En algunas ocasiones se presentan casos en los que no se puede replantear una curva por medio de los métodos mencionados anteriormente, a continuación se explica la forma en la que se debe realizar el replanteo: 1. Cuando el PI es inaccesible 2. Cuando el PI y el PC son inaccesibles 3. Cuando el PT es inaccesible 4. Replanteo de un punto cualquiera desde el PI 5. Cuando no se pueden observar todos los puntos de la curva desde el PC por la presencia de obstáculos Cuando el PI es inaccesible:

Replanteo cuando el PI es inaccesible Primero se escoge dos puntos cualquiera A y B sobre las tangentes, como se indica en la figura 7.9, luego se mide la distancia AB y los ángulos θ y γ con la ayuda de un teodolito. Con los ángulos medidos se determinan los ángulos PIAB, PIBA, φ y el ángulo de deflexión. Una vez calculados estos ángulos por medio de la ley de senos se determinan las distancias API y BPI. Luego se calcula la longitud de la tangente y la longitud de la curva, conocidos estos datos ya se pueden determinar las abscisas del PC y el PT, las cuales se miden desde los puntos A y B. Cuando el PI y el PC son inaccesibles:

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Replanteo cuando el PI y el PC son inaccesibles Se escogen dos puntos cualquiera A y C sobre las tangentes y se miden los ángulos β y γ y la distancia AC, con los datos medidos se calcula el resto de ángulos y la distancia API por medio de la ley de senos. En el punto A se levanta una perpendicular a API y se ubica el punto A’, luego por este punto se traza una paralela a API y se localiza el punto B’, la distancia A’B’ debe ser igual a 2APC. Para determinar el punto B se mide desde la B’ la distancia B’B la cual es igual a AA’, perpendicular a AB. Desde A se mide la distancia PCA y se ubica el PC. Se mide el ángulo θ y se traza una curva circular cuyo ángulo al centro es α-θ hasta llegar al PT. Cuando el PT es inaccesible

Replanteo

cuando el PT es inaccesible

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Se realiza el replanteo de los puntos normalmente hasta llegar al punto x, que es el último punto que se puede observar desde el PC y tiene un ángulo central igual a θ. Por lo tanto el ángulo que falta por localizar será igual:

Luego se determina la distancia xA y xx’ aplicando las siguientes fórmulas:

Para localizar el punto q se mide sobre la línea xA una distancia igual a 2xA, y el punto q’ se localiza levantando la línea qq’ la cual es igual a xx´y perpendicular a xq. Replanteo de un punto cualquiera desde el PI: Para replantear un punto cualquiera desde el PI, en la figura 7.12 el punto A, es necesario conocer los siguientes valores: 

El ángulo θ,



La distancia PIA

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CONCLUSIONES El personal destinado a los trabajos de Replanteo de una vía debe de ser un personal capacitado capaz de trabajar en conjunto, puesto que estos trabajos implican una perfecta coordinación y ordenamiento tanto de datos como de puntos que se establecen o replantean en el campo. El personal destinado a los trabajos de Replanteo de una vía debe de ser un personal capacitado capaz de trabajar en conjunto, puesto que estos trabajos implican una perfecta coordinación y ordenamiento tanto de datos como de puntos que se establecen o replantean en el campo. Todo trabajo de Trazado y Replanteo de una vía debe ser realizado lo mas detalladamente posible, y deberá ser revisada cada cierta distancia para en caso de existir algún error sea fácil de corregirlo. Es obligación del personal de topografía que realiza el Replanteo, junto con la fiscalización de la obra vial, revisar los ángulos de la poligonal abierta por medio de observaciones solares, y las distancias entre los PI por medio de arrastre de coordenadas, para así en caso de existir errores sean estos repartidos. Debemos tener presente la gran importancia que implica el replanteo y trazado de un proyecto vial, pues ésta constituye el inicio de todo el trabajo y aporta a la correcta ejecución de los mismos, puesto que se deberá plasmar en el terreno las características físicas de la carretera contenidas en el plano de proyecto

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