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• Renato Echevarría Carrillo

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Pag 287 Renato Echevarria Carrillo 1. El conjunto W formado por todos los puntos de R2 que tienen la forma (x, x) es una línea recta. ¿Es W un subespacio de R2? Explique.

2. Sea W el conjunto de todos los puntos en R3 que están en el plano xy. ¿Es W un subespacio de R3? Explique.

W = (x,y,0) i)

(0,0) ∈ W X1 = 0 → (0,0) ∈ W

ii)

u ∈ W ; v ∈ W ; u+v ∈ W

i)

sí X=0 y Y=0 ---- entonces pasa por el origen.

ii)

u+v ∈ W u = (x,y,0) v = (x2,y2,0) u+v = (x+x2,y+y2,0)

u = (W 1; W 1) v = (W 2; W 2) u+v = (W 1; W 2 + W 1; W 2) según la condición es igual al otro W 1+W 2 = W 1+ W 2 ∈ W iii)

u∈W ; 𝛼 ∈W 𝛼. 𝑢 ∈ ℝ ? u = (W 1; W 1) 𝛼. 𝑢 = (𝛼 W 1; 𝛼 W 1) Como cada componente es igual o perteneces a W ° es un subespacio de R3 °°

→ (x3,y3,0) tiene las formas de cada vector de W así que pertenece a W iii)

𝛼(𝑢) ∈ W u ∈ (x,y,0) 𝛼. 𝑢 = 𝛼(x, y, 0) = (𝛼x2, 𝛼y2,0) → 𝑃𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑊

° es un subespacio de R3 °°

Pag 287 -289 6. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de R3 son subespacios de R3? El conjunto de todos los vectores de la forma

7. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de R4 son subespacios de R4? El conjunto de todos los vectores de la forma (a) (a, b, c, d), donde a – b = 2 (a1, b1, c1, d1) → a1-b1 = 2

(a) (a, b, c), donde a = c = 0

(a2, b2, c2, d2) → a2-b2 = 2

𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 ∈ R3 → 𝛼 (a, b, c) + 𝛽(a1, b1, c1) (0, 𝛼𝑏 + 𝛽𝑏, 0)

Suma

u = (a, b, c), a = c = 0

(a1, b1, c1, d1) + (a2, b2, c2, d2) = (a1+ a2, b1+ b2, c1+ c2, d1+ d2)

v = (a, b, c), a = c = 0

a1+ a2 –(b1+ b2) = 2

 (0, 𝛼𝑏 + 𝛽𝑏, 0) ∈ R3 y es un subespacio de R3

a1-a2 +a1-b2 = 2 2

+ 2=2 4=2

(b) (a, b, c), donde a = -c 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 ∈ R3 → 𝛼 (a, b, c) + 𝛽(a1, b1, c1) (-𝛼𝑐 − 𝛽𝑐1, 𝛼𝑏 + 𝛽𝑏1, 𝛼𝑐 + 𝛽𝑐1) -𝛼𝑐 − 𝛽𝑐1 = -(-𝛼𝑐 − 𝛽𝑐1) u = (a, b, c), a = -c v = (a, b, c), a = -c  (-𝛼𝑐 − 𝛽𝑐1, 𝛼𝑏 + 𝛽𝑏1, 𝛼𝑐 + 𝛽𝑐1) es subespacio R3

 Por lo tanto (a1+ a2, b1+ b2, c1+ c2, d1+ d2) ∉ subconjunto de R4, entonces no es subespacio (b) (a, b, c, d), donde c = a + 2b y d = a – 3b (a1, b1, c1, d1) → c1 = a1 + 2b1 d1 = a1 – 3b1 (a2, b2, c2, d2) → c2 = a2 + 2b2 d2 = a2 – 3b2 Suma

(c) (a, b, c), donde b = 2a + 1

(a1, b1, c1, d1) + (a2, b2, c2, d2) = (a1+ a2, b1+ b2, c1+ c2, d1+ d2)

𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 ∈ R3 → 𝛼 (a, b, c) + 𝛽(a1, b1, c1)

°c1+ c2 = a1+ a2 +2(b1+ b2)

𝛼 (a, 2a+1, c) + 𝛽(a1, 2a1+1 c1)

c1+ c2 = a1+ a2 +2b1+ 2b2

→ (𝛼a, 𝛼(2a+1), 𝛼c) + (𝛽a1,𝛽(2a1+1), 𝛽 c1

c1+ c2 = a1+ 2b1 +a2+ 2b2

→

(𝛼a+ 𝛽a1, 𝛼(2a+1) + 𝛽(2a1+1), 𝛼c+ 𝛽 c1) 𝛼(2a+1) + 𝛽(2a1+1) =2(𝛼a+ 𝛽a1) +1 ----para que cumpla 2a𝛼+𝛼+2𝛽a1+ 𝛽 ≠ 2𝛼a + 2𝛽a1+ 1 ---- no son iguales  No es subespacio R3

c1+ c2 = c1+ c2 ° d1+ d2 = a1+ a2 -3(b1+ b2) d1+ d2 = a1+ a2 -3b1+3b2 d1+ d2 = a1+ 3b1 -a2+ 3b2 d1+ d2 = d1+ d2

Producto 𝜆(a, b, c, d) = ( 𝜆a, 𝜆b, 𝜆c, 𝜆d) 𝜆c = 𝜆a + 2(𝜆b) 𝜆c = 𝜆a + 2𝜆b 𝜆c = 𝜆(a + 2b) 𝜆c = 𝜆c 𝜆d = 𝜆a + 3(𝜆b) 𝜆d = 𝜆a + 3𝜆b 𝜆d = 𝜆(a + 3b) 𝜆d = 𝜆d  Si es un subespacio de R4

(c) (a, b, c, d), donde a = 0 y b = −d (a1, b1, c1, d1) → a1 = 0 y b1 = −d1 (a2, b2, c2, d2) → a2 = 0 y b2 = −d2 Suma (a1, b1, c1, d1) + (a2, b2, c2, d2) = (a1+ a2, b1+ b2, c1+ c2, d1+ d2) a1+ a2 =0 a1 = -a2 a1=0 b1+ b2 = -( d1+ d2) b1+ b2 = b1+ b2 Producto 𝜆(a, b, c, d) = ( 𝜆a, 𝜆b, 𝜆c, 𝜆d) 𝜆a=0 𝜆a= 𝜆b  Si es subespacio de R4