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ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 02 - TAREA 02 - SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS

ESTUDIANTES: ALVARO JOSE NINO GALERA – C.C. 1.129.574.422 ALVARO JESUS VILLAFANEZ C.C. 1.143.425.526 ERWIN RAMON PINEDA – C.C. 1.143.120.928 JAIME ANDRES TOBON – C.C. 1.121.820.085 LEONARDO SARMIENTO – C.C. 1.143.457.762

TUTOR: JHONATAN ANDRES ARENAS

GRUPO 208046_336

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ABRIL – 2020 ATLANTICO – COLOMBIA

INTRODUCCION En el siguiente trabajo, se realizará de forma individual los puntos seleccionados por cada estudiante en el foro colaborativo, participando activamente sobre el tema actual (Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos) para al final poder entregar un trabajo consolidado entre todos. Se dan a conocer por medio de diferentes formas de aplicación de los temas tratados para entrar en una destreza de desarrollo de los mismos, dando lugar al reconocimiento inmediato de solución de problemas basados en sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos, logrando concluir con el desarrollo de las actividades propuestas de forma correcta se logra el entendimiento de las fórmulas previstas alcanzando resultados precisos rápidamente.

OBJETIVO GENERAL Estudiar los problemas básicos del álgebra lineal en cuanto a los sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos, con el fin de establecer los métodos y gráficos para su correcta solución.

OBEJTIVOS ESPECIFICOS 

Utilizar las herramientas conceptuales y procedimientos del álgebra lineal suministradas por la UNAD, para la resolución de problemas.



Resolver gráficamente los ejercicios planteados sobre los sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos.



Conocer los diferentes métodos para la correcta solución de los sistemas de ecuaciones lineales rectas y planos.

Ejercicio 1: Conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. presente un mapa conceptual explicando de entre los siguientes contenidos de la unidad 2, utilice para su construcción la herramienta Cmaptools o alguna otra similar que facilite su elaboración. a) Explicar qué métodos se utilizan para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

https://cmapscloud.ihmc.us:443/rid=1VNW9PL1D-PP9767BM/m%C3%A8todos%20soluci%C3%B2n%20sistema%20ecuaciones%20lineales.cmap

b) Explicar qué son los sistemas de ecuaciones lineales y cómo se transforman en matrices.

c) Rectas: paralelas, perpendiculares e intersección.

d) Soluciones de sistemas: sistemas con solución única, sistemas sin solución y sistemas con infinitas soluciones.

https://www.goconqr.com/en/mindmap/21864713/sistema-de-ecuaciones-lineales

e) Planos: conceptualización, ecuación del plano y vector normal.

https://www.goconqr.com/es-ES/mindmap/21924987/Planos

Ejercicio 2. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el que le corresponda según el ítem (a, b, c, d, e) seleccionado, empleando el método de reducción de Gauss-Jordan. Valide su resultado graficando en Geogebra* el punto de intersección de las rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso. a) 20 𝑥 + 40𝑦 + 𝑧 = 10 50𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 60 20𝑥 + 30𝑦 + 50𝑧 = 40  20 [50 20

Convertir Sistema de ecuaciones en una matriz: 40 1 10 1 1 ] . 60 30 50 40

 1 0 (0 1 0 0

Se deja matriz identidad 3x3: 0 0) 1

𝑓1/10 2 4 𝑓2/10 [5 1/10 𝑓3/10 2 3

1/10 1 1/10] . 6 4 5

2 4 1/10 1 → 2𝑓2 − 5𝑓1 [0 −19,8 −0,3 ] . 7 𝑓3 − 𝑓1 0 −1 4,9 3 →

2 4 1/10 1 [0 −19,8 −0,3 ] . 7 19.8𝑓3 − 𝑓2 0 0 97,32 52,4

→ 19.8𝑓2 + 0.3𝑓3 [ 97.32𝑓1 − 1/10𝑓3

194,64 389,28 0 92,08 0 −1926,936 0 ] . 696,96 0 0 97,32 52,4

0 1926.936𝑓1 + 389.28𝑓2 375058,823 → [ 0 −1926,936 0 0 𝒇𝟏/𝟑𝟕𝟓𝟎𝟓𝟖. 𝟖𝟐𝟑 𝟏 ∴ 𝒇𝟐/−𝟏𝟗𝟐𝟔. 𝟗𝟑𝟔 [𝟎 𝒇𝟑/𝟗𝟕. 𝟑𝟐 𝟎 

𝟎 𝟏 𝟎

0 448744,856 0 ] . 696,96 97,32 52,4

𝟎 𝟏, 𝟏𝟗𝟔 = 𝒙 𝟎] . −𝟎, 𝟑𝟔𝟏 = 𝒚 𝟏 𝟎, 𝟓𝟑𝟖 = 𝒛

Comprobamos resultado: 20 𝑥 + 40𝑦 + 𝑧 = 10 20 (1,196) + 40(−0,361) + 0,538 = 10 23,92 − 14,44 + 0,538 = 10



Se realiza las operaciones y se aplica redondeo: 24,458 − 14,44 = 10 10,018 = 10

10 = 10

b) 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 10 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 29 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 31 

Para hallar el punto de intersección entre las tres rectas debemos resolver el sistema de ecuaciones, por tanto:

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 10

(1)

2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 29

(2)

2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 31

(3)



Despejamos de la ecuación (1) a x, tenemos que:

𝑥 = 2𝑦 − 𝑧 + 10 

(4)

Reemplazamos (4) en las ecuaciones (2) y (3), por tanto:

2(2𝑦 − 𝑧 + 10) + 𝑦 − 4𝑧 = 29 2(2𝑦 − 𝑧 + 10) + 3𝑦 − 5𝑧 = 31 

Después de simplificar obtenemos que:

𝑥 = 2𝑦 − 𝑧 + 10 (4) 5𝑦 − 6𝑧 = 9

(5)

7𝑦 − 7𝑧 = 11

(6)



Dividiendo (5) entre 5, se tiene:

𝑦 − 1,2𝑧 = 1,8 𝑦 = 1,2𝑧 + 1,8 

(7)

Reemplazamos (7) en (6), tenemos:

7(1,2𝑧 + 1,8) − 7𝑧 = 11 8,4𝑧 + 12,6 − 7𝑧 = 11 8,4𝑧 − 7𝑧 = 11 − 12,6

1,4𝑧 = −1,6 

Por tanto:

𝑧=− 

8 7

Reemplazando el valor de z en las ecuaciones, tenemos que:

𝑥 = 12 𝑦= 

3 7

Entonces, el punto de intersección entre las tres rectas es:

3 8 (12, , − ) 7 7

c) 𝑥−2𝑦+6𝑧=−22 2𝑥+𝑦−4𝑧=19 2𝑥+3𝑦−5𝑧=28 

Se ejecuta el metodo de Gauss Jordan para obtener el resultado de las variables:

1 −2 6 −22 (2 1 −4 19) 𝑙2 − 2𝑙1 2 3 −5 28 𝑙3 − 2𝑙1 1 −2 6 −22 → (0 5 −16 63) 𝑙2: 𝑙2/5 0 7 −17 72 1 −2 𝑙1 + 2𝑙2 6 −22 → (0 1 −3.2 12.6) 0 7 −17 72 𝑙3: −7𝑙2 1 0 −0.4 3.2 → (0 1 −3.2 12.6) 0 0 5.4 −16.2 𝑙3/5.4 1 0 −0.4 3.2 𝑙1 + 0.4𝑙3 → (0 1 −3.2 12.6) 𝑙2 + 3.2𝑙3𝑙2 0 0 1 −3 1 0 0 2 ∴ (0 1 0 3 ) 0 0 1 −3 

Verificación de resultado:

d) 𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟐𝟗 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓𝒛 = 𝟑𝟏 Solucion: 5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 10 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 29

2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 29 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 31

10𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 20 −10𝑥 − 5𝑦 + 20𝑧 = 145

−𝟗𝒚 + 𝟐𝟐𝒛 = −𝟏𝟐𝟓 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 29 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 31

2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 29 −2𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = −31 −𝟐𝒚 + 𝒛 = −𝟐

−𝟗𝒚 + 𝟐𝟐𝒛 = −𝟏𝟐𝟓

−𝟐𝒚 + 𝒛 = −𝟐

−9𝑦 + 22𝑧 = −125 44𝑦 − 22𝑧 = 44

35𝑦 = -81 81

𝑦=− . 35

81

−2𝑥(− 35 + 𝑧 = −2 . 𝑧=−

232 35

.

81

𝑦 = − 35. 𝑧=−

232 35

.

2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 29

2𝑥 −

81 232 − 4 ∗ (− ) = 29 35 35

2𝑥 −

81 232 +4∗ = 29 35 35

2𝑥 −

81 928 + = 29 35 35

2𝑥 +

121 = 29 5

2𝑥 = 29 −

2𝑥 = 𝑥=

121 5

24 5

12 5

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (

5∗

12 5

12 81 232 ,− ,− ) 5 35 35

81

− 2𝑥 (− 35) + (−

232 35

) = 10

2∗

12 81 232 + (− ) − 4 ∗ (− ) = 29 5 35 35

2∗

12 81 232 + 3 ∗ (− ) − 5 ∗ (− ) = 31 5 35 35

10 = 10 2∗

12 81 232 + (− ) − 4 ∗ (− ) = 29 5 35 35

2∗

12 81 232 + 3 ∗ (− ) − 5 ∗ (− ) = 31 5 35 35

10 = 10 29 = 29 2∗

12 81 232 + 3 ∗ (− ) − 5 ∗ (− ) = 31 5 35 35

10 = 10 29 = 29 31 = 31 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (

𝟏𝟐 𝟖𝟏 𝟐𝟑𝟐 ,− ,− ) 𝟓 𝟑𝟓 𝟑𝟓

e) 𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 34 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = −9 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = −29 1 −2 6 34 (2 1 −4| −9 ) 2 3 −5 −29 1 −2 6 34 𝑓 − 2𝑓 2 1 → (0 5 −16|−77) 𝑓3 − 2𝑓1 0 7 −17 −97 1 −2 6 34 → (0 5 −16|−77) 5𝑓3 − 7𝑓2 0 0 27 54 27𝑓1 − 6𝑓3 27 −54 0 594 → −27𝑓2 − 16𝑓3 ( 0 −135 0 |1215) 0 0 27 54 135𝑓1 − 54𝑓2 3645 0 0 14580 → ( 0 −135 0 | 1215 ) 0 0 27 54 𝑓 1 3645 1 0 0 4 𝑓 2 (0 1 0|−9) → −135 𝑓3 0 0 1 2 27

𝟏 ∴ (𝟎 𝟎 

𝟎 𝟏 𝟎

𝟎 𝟒 𝒙 𝟎|−𝟗) 𝒚 𝟏 𝟐 𝒛

Tenemos que: 𝒙 = 𝟒, 𝒚 = −𝟗 𝒚 𝒛 = 𝟐 y reemplazamos en las 3 ecuaciones:

o Primera ecuación: 𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 34

→ 4 − 2(−9) + 6(2) = 34 → 4 + 18 + 12 = 34 ∴ 𝟑𝟒 = 𝟑𝟒 o Segunda ecuación: 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = −9 → 2(4) + (−9) − 4(2) = −9 → 8 − 9 − 8 = −9 ∴ −𝟗 = −𝟗 o Tercera ecuación: 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = −29 → 2(4) + 3(−9) − 5(2) = −29 → 8 − 27 − 10 = −29 ∴ −𝟐𝟗 = −𝟐𝟗 

Una vez que tenemos que todas las ecucaciones dan igualdad pasamos a graficarla en geogebra:

Ejercicio 3. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Defina el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y resuélvalo por medio de la reducción de Gauss-Jordan. Concluya según los resultados y compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a) Una empresa de tecnología elabora 3 productos diferentes A, B y C, los cuales se constituyen con los componentes x, y, z. Si el producto A requiere 2 componentes ‘x’, 5 componentes ‘y’, y 6 componentes ‘z’, B requiere 3, 4 y 7 respectivamente, y C necesita 6, 3 y 1 respectivamente, y a su vez, la compañía desea construir 100 productos A, 120 de B y 90 de C, ¿cuál es el sistema de ecuaciones que permitiría encontrar la cantidad de componentes x, y, z necesarios para lograr esa producción total? 2𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 100 3𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧 = 120 6𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 90 2 5 6 100 → 2𝑓2 − 3𝑓1 (3 4 7) . 120 𝑓3 ⁄−3 + 𝑓1 6 3 1 90 2 5 6 100 → (0 −7 −4 ) . −60 7𝑓3 + 4𝑓2 0 4 5,66 70 2 5 6 100 → 23.62𝑓2 + 4𝑓3 (0 −7 −4 ) . −60 23.62𝑓1 − 6𝑓3 0 0 23,62 250 →

118,1 0 862 165.34𝑓1 + 118.1𝑓2 47,24 −165,34 0 ) . −417,2 ( 0 0 0 23,62 250

𝑓1 /7810.6616 7810,6616 0 → 𝑓2 /−165.34 ( 0 𝑓3 /23.62 1 0 ∴ (0 1 0 0

0 11,9 = 𝑥 0) . 2,5 = 𝑦 1 10,5 = 𝑧

0 0 93251,76 −165,34 0 ) . −417,2 0 23,62 250

b) Un supermercado vende 3 paquetes de verduras que se componen de zanahoria, tomate y cebolla. El primer paquete lleva 150 gr de zanahoria, 170 gr de tomate y 170 gr de cebolla, mientras que el segundo paquete lleva 120, 180 y 100 gr respectivamente y el tercer paquete lleva 110, 130 y 150 gr respectivamente de zanahoria, tomate y cebolla. Si el supermercado posee 12 kg de zanahoria, 14 kg de tomate y 13,5 kg de cebolla, ¿qué sistema de ecuaciones permitiría definir la cantidad de paquetes que se podrían conformar con estas disponibilidades y requerimientos? Tenga en cuenta la conversión de unidades. 

Tenemos que:

𝑥 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 1 𝑦 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 2 𝑧 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 3 

El sistema de ecuaciones seria:

150𝑥 + 120𝑦 + 110𝑧 = 12000 170𝑥 + 180𝑦 + 130𝑧 = 14000 170𝑥 + 100𝑦 + 150𝑧 = 13500 

Reescribimos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvemos por el método eliminación de Gauss Jordan

110 12000 130|14000) 150 13500 11 80 𝑅1 →𝑅1 1 0.8 150 15 | → ( ) 170 180 130 14000 13500 170 100 150 11 1 0.8 15 80 𝑅2−170𝑅1→𝑅2 𝑅3−170𝑅3→𝑅3 16| → 400 0 44 3| −100 76 (0 −36 3 ) 11 1 0.8 𝑅2 15 80 →𝑅2 44 4 | 100 → 0 1 33| 11 76 −100 (0 −36 3 ) 7 800 1 0 11 11 𝑅1−0.8𝑅2→𝑅1 𝑅3+36𝑅2→𝑅3 4 | 100 → 0 1 33 11 | 980 2500 (0 0 33 11 ) 800 𝑅3 7 →𝑅3 1 0 11 11 980 |100 33 → 4 0 1 33| 11 375 (0 0 1 49 ) 150 (170 170

120 180 100

7 𝑅3→𝑅1 11 4 𝑅2− 𝑅3→𝑅2 33 𝑅1−

1 0 0 1 0 0

→

( 

Por tanto:

475 7 400 𝑦= 49 375 { 𝑧 = 49 } 𝑥=

475 0| 7 400 0 | 49 1 375 49 )



Para verificar, reemplazamos cada uno de los valores en el sistema de ecuaciones:

475 400 375 71250 48000 41250 150 ( ) + 120 ( ) + 110 ( )= + + = 12000 7 49 49 7 49 49 475 400 375 80750 72000 48750 170 ( ) + 180 ( ) + 130 ( )= + + = 14000 7 49 49 7 49 49 475 400 375 80750 40000 56250 170 ( ) + 100 ( ) + 150 ( )= + + = 13500 7 49 49 7 49 49 

En conclusión,

475 7 400 𝑦= 49 375 { 𝑧 = 49 } 𝑥=

c) Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000 kg. y recorren diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos transportan diariamente una media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. de media. Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 km. entre todos. ¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada modelo? 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 = 60 15000𝑚1 + 10000𝑚2 + 5000𝑚3 = 475000 400𝑚1 + 300𝑚2 + 100𝑚3 = 12500  Construccion del arreglo matricial para ejecutar el metodo de Gauss Jordan: 1 1 1 60 (15000 10000 5000 475000) 𝑙2: 𝑙2 − 15000𝑙1; 𝑙3: 𝑙3 − 400𝑙1 400 300 100 12500 1 1 1 60 𝑙2 (0 −5000 −10000 −425000) 𝑙2: −5000 0 −100 −300 −11500 1 1 (0 1 0 −100

1 2 −300

60 85 ) 𝑙1: 𝑙1 − 𝑙2; 𝑙3: +100𝑙2 −11500

1 0 −1 −25 𝑙3 (0 1 2 85 ) 𝑙3: −100 0 0 −100 −3000 1 (0 0

0 −1 1 2 0 1

1 0 (0 1 0 0

−25 85 ) 𝑙1: 𝑙1 + 𝑙3; 𝑙2: −2𝑙3 30

0 5 0 25 ) 1 30

d) Una constructora desarrolla 3 tipos de obras. El requerimiento de hormigón en el primer tipo de ellas es de 100 ton, en el tipo 2 es de 80 ton y en el 3 de 40 ton. Por otro lado, en el primer tipo de obra se requieren 190 varillas de acero, en el 2 se requieren 15 y en las 30 varillas. Mientras que las obras 1 requieren 24 máquinas de carga pesada, las 2 requieren de 18 y las últimas de 25. Si la constructora cuenta con 700 ton de hormigón, 400 varillas de acero y 300 máquinas de carga pesada, ¿cuál será el sistema de ecuaciones que describe la capacidad actual de obras de cada tipo de la constructora? 

Obra tipo 1

Hormigón = 100 ton, varillas = 190, máquinas de carga pesada = 24 

Obra tipo 2

Hormigón = 80 ton, varillas = 15, máquinas de carga pesada = 18 

Obra tipo 3

Hormigón = 40 ton, varillas = 30, máquinas de carga pesada = 25 100/700 x + 190 / 400 y + 24/ 300 z 80⁄700𝑥 + 15⁄400𝑦 + 18/300𝑧 40⁄700𝑥 + 30⁄400𝑦 + 25/300𝑧

e) Una farmacéutica produce 3 medicamentos que se basan en 3 principios activos. El primer medicamento requiere 6 gr del primer principio activo, 9 del segundo y 10 del tercero. El segundo medicamente requiere 11 gr del primer principio activo, 6 del segundo y 16 del tercero. Mientras que el requerimiento de principios activos del tercer producto es de 18 gr, 1 gr y 7 gr respectivamente. Si la empresa desea producir 120 unidades del medicamento 1, 90 del medicamento 2 y 20 del 3, ¿qué sistema de ecuaciones lineales permitirá encontrar la cantidad de cada principio activo que se requerirá? 𝑥 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑜 𝑦 = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑜 𝑧 = 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑜 

Sacamos el sistema de ecuaciones:

6𝑥 + 9𝑦 + 10𝑧 = 120000 11𝑥 + 6𝑦 + 16𝑧 = 90000 18𝑥 + 1𝑦 + 7𝑧 = 20000 

Utilizamos el método de Gauss Jordan:

6 (11 18

9 10 120000 6 16| 90000 ) 1 7 20000



Se intercambian las filas f1 y f3

18 1 → (11 6 6 9

7 20000 16| 90000 ) 10 120000

18 11 𝑓1 0 18 → 1 𝑓3 − 𝑓1 ( 0 3 𝑓2 −

1 97 18 26 3

7 20000 211 700000 18 | 9 23 340000 3 3 )



Intercambiamos las filas de la matriz f2 y f3: 18 0

(0

1 7 20000 26 23 340000 3 3 | 3 97 211 700000 18 18 9 ) 18

→

𝑓3 −

0 97 𝑓2 156 ( 0

0

1 26 3

0

0

18 0

1 26 3

0

0

( 𝑓1 − 7𝑓3 → 𝑓 − 23 𝑓 2 3 3 (

→

392000 31 0 |68536000 1085| 651 95000 156 ) 13 0

392000 31 0 |68536000 1085| 651 95000 156 ) 13 0

1 1

0 (

→ 𝑓1 − 1𝑓2

7 20000 23 340000 3 | 3 1085 95000 156 13 )

392000 0 31 | 2636000 0 1085| 217 0 156 95000 13 )

18 0

3 𝑓 26 2

0

18

𝑓1 − 7𝑓3 → 𝑓 − 23 𝑓 2 3 3

1 26 3

18 0 0 (

108000 0 217 | 2636000 0 1085| 217 0 156 95000 13 ) 0 1

6000 1 0 0| 217 2636000 → 0 1 0 217 | 156 𝑓3 0 0 1 228000 1085 ( 217 ) 1 𝑓 18 1



Tenemos que: 𝒙 =

𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟏𝟕

,𝒚 =

𝟐𝟔𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟏𝟕

𝒚𝒛=

𝟐𝟐𝟖𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟏𝟕

y reemplazamos en las 3

ecuaciones: o Primera ecuación: 6𝑥 + 9𝑦 + 10𝑧 = 120000 6000 2636000 228000 → 6( ) + 9( ) + 10 ( ) = 120000 217 217 217 36000 23724000 2280000 → + + = 120000 217 217 217 ∴ 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 o Segunda ecuación: 11𝑥 + 6𝑦 + 16𝑧 = 90000 6000 2636000 228000 ) + 6( ) + 16 ( ) = 90000 217 217 217 66000 15816000 3648000 → + + = 90000 217 217 217 11 (

∴ 𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 o Tercera ecuación: 18𝑥 + 1𝑦 + 7𝑧 = 20000 6000 2636000 228000 ) + 1( )+7( ) = 20000 217 217 217 108000 2636000 228000 → + + = 20000 217 217 217 18 (

∴ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎

Ejercicio 4. Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. Según su literal seleccionado, defina la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta, y grafíquela o compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a) De la recta que pasa por el punto 𝑃(3,4,7) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos 𝑄(−8, −3, −2) 𝑦 𝑅(1,3,2). 𝑃(3,4,7) 𝑄(−8, −3, −2) 𝑅(1,3,2) 𝑣⃗ = (𝑥2 − 𝑥1 )𝑖 + (𝑦2 − 𝑦1 )𝑗 + (𝑧2 − 𝑧1 )𝑘 𝑣⃗ = (−8 − 3)𝑥 + (−3 − 4)𝑦 + (−2 − 7)𝑘 𝑣⃗ = (−11)𝑥 + (−7)𝑦 + (−9)𝑘 𝑣⃗ = (−11, −7, −9) 

Ecuaciones vectoriales:

(𝑥𝑖, 𝑦𝑗, 𝑧𝑘) = (3𝑖, 4𝑗, 7𝑘) + 𝑡(−11𝑖, −7𝑗, −9𝑘) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,4,7) + 𝑡(−11, −7, −9) 

Ecuaciones parametricas:

𝑥 = 3 + 𝑡(−11);

𝑥 = 3 − 11𝑡

𝑦 = 4 + 𝑡(−7);

𝑦 = 4 − 7𝑡

𝑧 = 7 + 𝑡(−9)

𝑧 = 7 − 9𝑡



Ecuaciones simetricas, cosiste en despejar t:

𝑡=

𝑥−3 𝑦−4 𝑧−7 = = −11 −7 −9

b) De la recta que pasa por los puntos 𝐴(−5, −7,6) 𝑦 𝐵(2,11,8). 

Ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡 𝑦 = 𝑦 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡



Ecuaciones simétricas: 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1 = = 𝑎 𝑏 𝑐



Ecuación Vectorial: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑡𝑣⃗ 𝑂𝑅

Por tanto, tenemos que: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2 − (−5))𝑖̂ + (11 − (−7))𝑗̂ + 8 − 6)𝑘̂ 𝑣⃗ = 𝐴𝐵 𝑣⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 7𝑖̂ + 18𝑗̂ + 2𝑘̂ Por tanto: 𝑎=7 

𝑏 = 18

𝑐=2

Se obtendría que las Ecuaciones Paramétricas, serian: 𝑥 = −5 + 7𝑡 𝑦 = −7 + 18𝑡 𝑧 = 6 + 2𝑡

Y las ecuaciones simétricas serian: 𝑥+5 𝑦+7 𝑧−6 = = 7 18 2 Mientras que, la ecuación vectorial seria: 𝑣⃗ = (7, 18, 2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃 = (−5, −7,6) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑅 𝑂𝑃 + 𝑡𝑣⃗ 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧𝑘̂ = −5𝑖̂ − 7𝑗̂ + 6𝑘̂ + 𝛼(7𝑖̂ + 18𝑗̂ + 2𝑘̂)

c) De la recta que pasa por el punto 𝐸(−2, −3,5) y cuyo vector director es −7𝑖 + 6𝑗 − 8𝑘. 

Dado el vector director:

⃗ = (−7𝑖, 6𝑗, −8𝑘) 𝑉 𝑃𝑂 = (−2, −3, 5) 

Se puede determinar directamente las ecuaciones de la recta puesto que

con esos dos elementos dados es suficiente: 

Ecuacion vectorial de la recta: 𝐸𝑉 = (−2, −3, 5) + 𝑡(−7𝑖, 6𝑗, −8𝑘)



Ecuaciones paramétricas de la recta:

𝑋 = −2 − 7𝑡; 𝑌 = −3 + 6𝑡;

𝑍 = 5 − 8𝑡



Ecuaciones simétricas de la recta:

𝑥+2 𝑦+3 𝑧−5 = = −7 6 −8

d) De la recta que pasa por los puntos 𝑃(6,−2,−3) y 𝑄(−2,−4,−5). Solución: Ecuación vectorial. 𝐶𝑖 + (−4, (−2))𝑗 + (−5, (−3))𝑘 𝑣 = (−2, −6)𝑖 + (−4, −2)𝑗 + (−5, −3)𝑘 𝑣 = −8𝑖 + (−2)𝑗 + (−2)𝑘 𝑣 = −8𝑖 − 2𝑗 − 2𝑘 Sea R= (x,y,z) en la recta se obtiene:

→ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 = → + 𝑡𝑣 𝑂𝑅

𝑂𝑃

→ = 𝟔𝒊 − 𝟐𝒋 − 𝟑𝒌 + 𝒕 (−𝟖𝒊 − 𝟐𝒋 − 𝟐𝒌) 𝑶𝑹

Ecuación paramétrica:

𝒙 = 𝟔 − 𝟖𝒕 𝒚 = −𝟐 − 𝟐𝒕 𝒛 = −𝟑 − 𝟐𝒕

𝑥 = 6 − 8𝑡 𝑥 − 6 = −8𝑡 𝑥−6 =𝑡 −8 𝑦 = −2 − 2𝑡 𝑦 + 2 = −2𝑡 𝑦+2 =𝑡 −2 𝑧 = −3 − 2𝑡 𝑧 + 3 = −2𝑡 𝑧+3 =𝑡 −2 Ecuación simétrica:

𝑥−6 𝑦+2 𝑧+3 = = −8 −2 −2

e) De la recta que pasa por el punto 𝑇(7,2, −1) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos 𝑀(3, −5,7) 𝑦 𝐷(−2,4, −6). 

Hallamos la ecucacion vectorial para los puntos 𝑀(3, −5,7) 𝑦 𝐷(−2,4, −6):

𝑣 = (3 − (−2))𝑖 + ((−5) − (−2))𝑗 + ((−7) − (−6))𝑘 → 𝑣 = (3 + 2)𝑖 + (5 + 2)𝑗 + (−7 + 6)𝑘 ∴ 𝒗 = 𝟓𝒊 + 𝟕𝒋 − 𝟏𝒌 o Sea 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) en la recta se obtiene: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 = 𝑀 ⃗⃗⃗ + 𝑡𝑣 𝑂𝑅 ∴ 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 = 𝟑𝒋 − 𝟓𝒊 + 𝟕𝒌 + 𝒕(𝟓𝒊 + 𝟕𝒋 − 𝟏𝒌) 

Hallamos la ecuación paramétrica:

𝒙 = 𝟑 + 𝟓𝒕 𝒚 = −𝟓 + 𝟕𝒕 𝒛 = 𝟕 − 𝟏𝒕

o Nos dice que la recta es paralela a 𝑇(7,2, −1): ⃗⃗ + 𝑡𝑣⃗ 𝑟⃗ = 𝑇 o Calculamos 𝑣⃗: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3 + 5𝑡, −5 + 7𝑡, 7 − 1𝑡) → (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3, −5,7) + (5𝑡, 7𝑡, −1𝑡) → (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3, −5,7) + 𝑡(5,7, −1) ⃗⃗ = (𝟓, 𝟕, −𝟏) ∴𝒗

o Reemplazamos en la formula 𝑟⃗ = (7,2, −1) + 𝑡(5,7, −1) → (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 + 5𝑡, 2 + 7𝑡, −1 − 1𝑡) 𝒙 = 𝟕 + 𝟓𝒕 𝒚 = 𝟐 + 𝟕𝒕 𝒛 = −𝟏 − 𝟏𝒕 

Hallamos las ecuaciones simétricas:

𝒙−𝟕 =𝒕 𝟓 𝒚−𝟐 → 𝑦 = 2 + 7𝑡 → 𝑦 − 2 = 7𝑡 ∴ =𝒕 𝟕 𝒛+𝟏 ∴ 𝑧 = −1 − 1𝑡 = 𝑧 + 1 = −1𝑡 ∴ =𝒕 −𝟏 𝑥 = 7 + 5𝑡 → 𝑥 − 7 = 5𝑡 ∴

o Entonces pasamos a igualar las 3 expresiones: ∴

𝒙−𝟕 𝒚−𝟐 𝒛+𝟏 = = 𝟓 𝟕 −𝟏



Demostramos en Geogebra:

Ejercicio 5. Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a) ¿Son paralelos los siguientes planos 1: 3𝑥 − 5𝑦 + 7𝑧 = 10 𝑦 2: −9𝑥 + 15𝑦 − 21𝑧 = −30? Justifique su respuesta empleando un producto cruz. Grafique ambos planos. 1: 3x − 5y + 7z = 10 2: −9x + 15y − 21z = −30  3 −9

Tenemos: −5 15

7 −21

𝑖 𝑗 𝑘 3 −5 7 = 𝑖(105 − 105) − 𝑗(−63 + 63) + 𝑘(45 − 45) = 0 −9 15 −21 

Si el producto cruz es igual a 0 quiere decir que son perpendicular y no paralelas en la gráfica que las dos rectas se tocan en muchos puntos, prácticamente en todos.

b) ¿Son paralelos los siguientes planos 1: −16𝑥 + 10𝑦 + 12𝑧 = −8 𝑦 2: 8𝑥 − 5𝑦 − 6𝑧 = 4? Justifique su respuesta empleando un producto cruz. Grafique ambos planos. −16𝑥 + 10𝑦 + 12𝑧 = −8 8𝑥 − 5𝑦 − 6𝑧 = 4 

Debemos sacar los vectores directores de ambos planos:

𝑛 ̂1 = (−16, 10, 12) 𝑛 ̂2 = (8, −5, −6) 

Para saber si los planos son paralelos debe haber una proporcionalidad entre ellos, es decir:

𝑛 ̂1 = 𝑘𝑛 ̂2 (−16, 10, 12) = 𝑘(8, −5, −6) 

Entonces:

16 = −2 8 10 10 = −5𝑘 → 𝑘 = − = −2 5 12 12 = −6𝑘 → 𝑘 = − = −2 6 −16 = 8𝑘 → 𝑘 = −



Por tanto, para los 3 se cumple que k tiene el mismo vector, se comprueba que:

𝑛 ̂1 = 𝑘𝑛 ̂2 

En conclusión, tenemos que los planos −16𝑥 + 10𝑦 + 12𝑧 = −8 y 8𝑥 − 5𝑦 − 6𝑧 = 4 son paralelos.

c) ¿Cuál

es

la

ecuación

del

plano

que

contiene

los

puntos

𝐴(2, −3,9), 𝐵(0,2, −4) 𝑦 𝐶(1, −1,3)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. 

Planteamiento de los vectores directos encontrados a partir de los tres puntos: 𝐴 (2, −3,9) 𝐵 (0,2, −4) 𝐶 (1, −1,3) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (0,2, −4) − (2, −3,9) = (−2, 5, −13) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = (1, −1,3) − (2, −3,9) = (−1, 2 , −6)



Producto cruz de los vectores directores encontrados:

𝑖 𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 𝑋𝐴𝐶 = |− 2 5 −1 2

𝑘 −2 −13 5 −13 −2 5 |𝑖 − | |𝑗 + | |𝑘 −13| = | −1 −6 2 −6 −1 2 −6

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −4𝑖 + 1𝑗 + 1𝑘 𝐴𝐵 𝑋𝐴𝐶 

Planteando un vector desconocido 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧):

𝐴𝑇 = 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝐴(2, −3,9) 𝐴𝑇 = 〈𝑥 − 2, 𝑦 + 3, 𝑧 − 9〉 

Aplicamos criterio de perpendicularidad:

𝑃𝑇 ∙ 𝑛⃗⃗ = 0 〈𝑥 − 2, 𝑦 + 3, 𝑧 − 9〉 ∙ 〈−4𝑖 + 1𝑗 + 1𝑘〉 = 0 (𝑥 − 2)(−4) + (𝑦 + 3)(1) + (𝑧 − 9)(1) = 0 −4𝑥 + 8 + 𝑦 + 3 + 𝑧 − 9 = 0 −4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2

d) ¿Cuál

es

la

ecuación

del

plano

que

contiene

los

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑂(5, −2,3), 𝑃(4, −1,4) 𝑦 𝑄(2,0,1)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. Solución: 𝑶 = (𝟓, −𝟐, 𝟑) 𝑷 = (𝟒, −𝟏, 𝟒) 𝑸 = (𝟐, 𝟎, 𝟏) → = (4 − 5)𝑖 + (−1 − (−2)𝑗 + (4 − 3)𝑘 𝑂𝑃

→ = −1𝑖 + 1𝑗 + 1𝑘 = → 𝑂𝑃

𝑣

→ = (2 − 5)𝑖 + (0 − (−2)𝑗 + (1 − 3)𝑘 𝑂𝑄

→ = −3𝑖 + 2𝑗 + (−2)𝑘 𝑂𝑄

→ = −3𝑖 + 2𝑗 − 2𝑘 = → 𝑂𝑄

𝑤

Vector perpendicular a OP y OQ

𝑖 𝑗 𝑘 1 𝑂𝑃 ∗ 𝑂𝑄 (−11 1 ) = 𝑖 ( 2 −32−2

−1 1 −1 1 1 )−𝑗( )+𝑘( ) −3 −2 −3 2 −2

→ = 𝑖(−2 − 2) − 𝑗(2 − (−3) + 𝑘(−2 − (−3)) 𝑢

→ = 𝑖(−2 − 2) − 𝑗(2 + 3) + 𝑘(−2 + 3) 𝑢

→ = 4𝑖 − 5𝑗 + 1𝑘 = (−4, −5, −1) 𝑢

Utilizar cualquiera de los tres puntos. Por ejemplo: P

−4(𝑥 − 4) − 5(𝑦 − (−1)) + 1(𝑧 − 4) −4𝑥 + 16 − 5𝑦 − 5 + 𝑧 − 4 = 0 −4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = −16 + 5 + 4 −4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = −7

−4(𝑥 − 5) − 5(𝑦 − (−2)) + 1(𝑧 − 3) −4𝑥 + 20 − 5𝑦 − 10 + 𝑧 − 3 = 0 −4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = −20 + 10 + 3 −4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = −7 Ecuación general del plano tomando como referencia el punto

𝑂 = (5, −2,3)

e) ¿Cuál

es

la

ecuación

del

plano

que

contiene

los

puntos

𝑋(2, −2,0), 𝑌(3,1,4), 𝑍(−4,1,1)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. 

Hallamos el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑋𝑌 donde hacemos la resta de las coordenadas de sus extremos:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑌(3,1,4) − 𝑋(2, −2,0) 𝑋𝑌 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 〈𝟏, 𝟑, 𝟒〉 ∴ 𝑿𝒀 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ donde hacemos la resta de las coordenadas de sus Hallamos el vector 𝑋𝑍 extremos:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑍(−4,1,1) − 𝑋(2, −2,0) 𝑋𝑍 ∴ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑿𝒁 = 〈−𝟐, 𝟑, 𝟏〉 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗: Continuamos a encontrar el producto cruz o producto vectorial de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑋𝑌𝑥𝑋𝑍

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑥𝑋𝑍 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = | 1 3 4| 𝑋𝑌 −2 3 1 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑥𝑋𝑍 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : Se buscan las 3 componentes del vector 𝑋𝑌

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |3 4| 𝑖̂ − | 1 4| 𝑗̂ + | 1 3| 𝑘̂ 𝑋𝑌𝑥𝑋𝑍 3 1 −2 3 −2 1 

Se resuelve cada uno de los determinantes:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑥𝑋𝑍 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [3 − 12]𝑖̂ − [1 − (−8)]𝑗̂ + [3 − (−6)]𝑘̂ 𝑋𝑌 ̂ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒙𝑿𝒁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝟗𝒊̂ − 𝟗𝒋̂ + 𝟗𝒌 ∴ 𝑿𝒀 

Concluimos que el vector normal (𝑛⃗⃗):

⃗⃗⃗ = 〈−𝟗, −𝟗, 𝟗〉 𝒏



Se escoge un punto cualquiera en el plano 𝑇(𝑝, 𝑞, 𝑟) y determinamos el nuevo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗: vector 𝑋𝑇

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑋𝑇 = 𝑇(𝑝, 𝑞, 𝑟) − 𝑋(2, −2,0) ∴ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑿𝑻 = 〈𝒑 − 𝟏, 𝒒 + 𝟐, 𝒓 − 𝟎〉 

Se dice que son vectores ortogonales o perpendiculares si ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑋𝑇. 𝑛⃗⃗ = 0

〈𝑝 − 1, 𝑞 + 2, 𝑟 − 0〉. 〈−9, −9,9〉 = 0 ∴ (𝒑 − 𝟏) − 𝟗 + (𝒒 + 𝟐) − 𝟗 + (𝒓 − 𝟎)𝟗 = 𝟎 

Aplicamos propiedad distributiva:

−9𝑝 + 9 − 9𝑞 − 18 + 9𝑟 = 0 → −9𝑝 − 9𝑞 + 9𝑟 + 9 − 18 = 0 ∴ −𝟗𝒑 − 𝟗𝒒 + 𝟗𝒓 = 𝟗 

Dividimos las ecuaciones entre 9 en ambos extremos:

−9𝑝 − 9𝑞 + 9𝑟 9 = 9 9 ∴ −𝒑 − 𝒒 − 𝒓 = 𝟏

CONCLUSION Al finalizar el trabajo podemos establecer la importancia de que cada participante pudo entender, razonar y desenvolverse muy bien haciendo el correcto uso de los recursos suministrados por el la UNAD y el tutor, para así, cumplir con la entrega de una actividad consolidada con los diferentes aportes de cada uno y sobretodo con los parámetros establecidos en la guía de aprendizaje.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 

Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca virtual de la UNAD. Páginas 1 a la 30. Disponible en el Entorno de Conocimiento.



Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 19 a 38 y 54 a 80. Disponible en el Entorno de Conocimiento



Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 163 a 203 y 208 a 230. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081