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UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS MAESTRÍA EN ECONOMÍA APLICADA

“Resolución ejercicios sobre conjunto presupuestario y línea presupuestaria” Trabajo de Teoría Microeconómica AUTOR: Ángel Campoverde

Profesora: Econ. Mercy Orellana

CUENCA-ECUADOR 2018.

EJERCICIOS LIBRO DE MICROECONOMIA Y CONDUCTA DE ROBERT FRANK 1.- La compañía de Semillas Acme cobra a 2$ el kilo los 10 primeros kilos de semillas de caléndulas que usted le compra a la semana y a 1$ el kilo las demás. Si su renta es de 100$ semanales, represente su restricción presupuestaria correspondiente al bien compuesto y a las semillas de caléndulas. 𝑝1 = 2

𝑦 𝑥1 = 10 𝐾𝑔 cuando

𝑤 = 100 𝑦1 = 𝑥1 𝑝1 𝑦1 = 10(2) = 20 ∆𝑦1 20 = = −2 ∆𝑥1 −10

Ahora por cada unidad adicional que el consumidor compre pasados los 10 Kg tenemos por Por lo tanto 𝑤 ′ = 𝑤 − 𝑦1 𝑤 ′ = 100 − 20 𝑤 ′ = 80 Ahora por cada kilo adicional de caléndulas cuando el consumidor supera los 10Kg el precio caes a $1((𝑝2 ) 𝑥2 = 𝑥2 =

𝑤′ 𝑝2

80 = 80 1

𝑦2 = 𝑤 ′ 𝑦2 = 80 ∆𝑦2 80 = = −1 ∆𝑥2 −80 𝑋 = 10 + 80 = 90 Por tanto, cuando se consume toda la renta disponible en Caléndulas obtenemos 90 Kg. Para entender esto revisemos la gráfica 1

Restricción presupuestaria del bien compuesto 120

Δ𝑦 = −2 Δ𝑥

Renta (y) $

100 80

∆𝑦2 = −1 ∆𝑥2

60 40 20 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Calendulas Kg Restricción presupuestaria

Del ejercicio que se puede determinar que hay una restricción presupuestaria quebrada la misma que inicia con una renta de 100 y termina en ochenta lo que origina que el 𝑦1 sea $ 20 y 𝑥1 =10Kg de Caléndulas a un precio de $ 2, lo que nos da una pendiente de -2. El punto de quiebre tiene una Renta 𝑦2 de $80 y este es igual a 80 Kg de caléndulas adicionales ya que el precio 𝑝2 = $1 por cada Kg adicional cuando el consumo supera los 10Kg. Con esto podemos concluir que al disminuir el costo por cada kilo adicional de caléndulas la cantidad que se puede adquirir es mayor. 2.- Repita el mismo problema suponiendo que el precio de cada kilo supere los 10 es de 4 $ 𝑝1 = 2

𝑦 𝑥1 = 10 𝐾𝑔 cuando

𝑤 = 100 𝑦1 = 𝑥1 𝑝1 𝑦1 = 10(2) = 20

∆𝑦1 20 = = −2 ∆𝑥1 −10 Ahora por cada unidad adicional que el consumidor compre pasados los 10 Kg tenemos por lo tanto 𝑤 ′ = 𝑤 − 𝑦1 𝑤 ′ = 100 − 20 𝑤 ′ = 80 Ahora por cada unidad adicional el precio sube a $ 4 𝑥2 =

𝑤′ 𝑝2

𝑥2 =

80 = 20 4

𝑦2 = 𝑤 ′ 𝑦2 = 80 ∆𝑦2 80 = = −4 ∆𝑥2 −20 𝑋 = 10 + 20 = 30 Por tanto, cuando se consume toda la renta disponible en Caléndulas obtenemos 30 Kg, lo que muestra que ante un incremento del precio por Kg de Caléndulas disminuye la cantidad que se consume de ellas si la comparamos con el ejercicio anterior tenemos. Para entender esto revisemos la gráfica 2

Restricción presupuestaria del bien compuesto 120

∆𝑦 = −2 ∆𝑥

Renta (y) $

100 80 60

∆𝑦

40

∆𝑥

=-4

20 0 0

10

20

30

40

50

Restricción presupuestaria

60

70

80

90

Calendulas Kg

Con las nuevas condiciones aplicadas al ejercicio anterior se detecta que la recta presupuestaria es quebrada con una renta total de 100$ y termina en 80$ lo que origina que el 𝑦1 sea $ 20 y 𝑥1 =10Kg de Caléndulas a un precio de $ 2 y determinando la pendiente que la pendiente es -2. El punto de quiebre tiene una Renta 𝑦2 de $80 y este es igual a 20 Kg de caléndulas adicionales ya que el precio 𝑝2 = $4 por cada Kg adicional cuando el consumo supera los 10Kg. Esto demuestra una contracción del consumo de Kg de caléndulas cuando el precio sube por cada kilo adicional que se compre lo que origina que la línea presupuestaria se contraiga desde el punto de quiebre hacia la izquierda. 3.- A Sánchez le gustan los anacardos más que los almendras y las almendras más que las nueces. Le gustan por igual las pecanas y las avellanas y prefiere las avellanas a las almendras. Suponiendo que sus preferencias son transitivas ¿qué prefiere?

{Anacardos, Almendras} = {Anacardos} {Almendras, Nueces} = {Almendras} {Pecanas, Avellanas} = {Pecanas, Avellanas} {Avellanas, Almendras} = {Avellanas} Anacardos ≻ Almendras; Almendras ≻ Nueces; Pecanas ~ Avellanas; Avellanas ≻ Almendras a.- ¿Las Pecanas o las nueces? Las Pecanas, esto desprendemos de la siguiente comparación: Pecanas ~ Avellanas Avellanas ≻ Almendras Almendras ≻ Nueces Por transitividad Pecanas ≻ nueces b.- ¿Las avellanas o lo anacardos? Entre las avellanas y los anacardos la elección del consumidor es indiferente. Anacardos ≻ Almendras Avellanas ≻ Almendras Por tanto Avellanas ~ Anacardos 4.- Inicialmente, 𝒑𝒙 es 120$ y 𝒑𝒚 = 𝟖𝟎$. Verdadero o falso: Si 𝒑𝒙 sube 18$ y 𝒑𝒚 sube 12 $, la nueva resta presupuestaria se desplazará hacia adentro y en paralelo a la antigua recta presupuestaria. Explique su respuesta. La pendiente para este caso está definida por: 𝑤 𝑝𝑦 𝑤 ∗ 𝑝𝑥 𝑝𝑥 𝑤 = 𝑤∗𝑝 =𝑝 𝑦 𝑦 𝑝𝑥

𝑝𝑥 120 = = −1,5 𝑝𝑦 −80 Ahora podemos calcular la variación de los incrementos si es que es igual a la pendiente la línea presupuestaria es paralela.

∆𝑝𝑥 18 = = −1,5 ∆𝑝𝑦 −12 Ahora comprobamos si 𝑝𝑥 = 120 Incrementa 18$ el nuevo 𝑝𝑥′ = $138 y si 𝑝𝑦 = 80 y sube 12 dólares por tanto 𝑝𝑦′ = 92 ahora la pendiente seria 𝑝𝑥′ 138 = −1,5 ′ = 𝑝𝑦 −92 Analizando si el precio de X sube, la cantidad consumida del bien (𝑤⁄𝑝′ ) disminuye; y si es en la 𝑥 misma proporción que sube el precio de Y, la cantidad consumida del bien 𝑤⁄𝑝′ también 𝑦

disminuye. Y como en este caso la disminución se dio en la misma proporción la línea presupuestaria se desplazó hacia adentro y mantuvo la pendiente. Esto se comprobó con los cálculos de las pendientes para los dos bienes. Para entender de mejor forma veamos la gráfica 3

Ejercicio 4 w/80 𝑝𝑥 = 𝑝𝑦

w/92

𝑝𝑥′ ′= 𝑝𝑦

-1,5

-1,5 w/120

w/138 Linea presupuestaria inicial

Linea presupuestaria Final

5.- Marta tiene 150$ de renta disponible para gastar todas las semanas y no puede pedir ningún préstamo. Compra chocolatinas y el bien compuesto. Suponga que cada chocolatina cuesta 2,50$ y el bien compuesto 1$ la unidad. a.- Represente la restricción presupuestaria de Marta. 𝑦1 =

𝑤 𝑝𝑦

150 = 150 1 𝑤 𝑥1 = 𝑝𝑥

𝑦1 =

𝑥1 =

150 = 60 2,5

𝑝𝑥 2,5 = = −2,5 𝑝𝑦 −1

RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA DE MARTA 𝑤 120 = 150 𝑝𝑦 Bien compuesto

100

𝑝𝑥 = −2,5 𝑝𝑦

80 60 40 20

𝑤 = 60 𝑝𝑥

0 0

10

20

30

40

50

60

70

Chocolatinas

b.- ¿Cuál es el costo de oportunidad, en función de las chocolatinas Malted Milk Balls, de una unidad adicional del bien compuesto? Para calcular el costo de oportunidad del bien compuesto con relación a las chocolatinas debemos calcular la proporción de cambio de la siguiente forma 𝑝𝑦 1 = = −0,4 𝑝𝑥 2,5 El costo de oportunidad de consumir una unidad adicional del bien compuesto es de 0,4 chocolatinas. 6.- Suponga en el problema 5 que en un periodo inflacionista el coste del bien compuesto aumenta a 1,50$ la unidad, pero el coste de las chocolatinas no varía. a.- Represente la nueva restricción presupuestaria. 𝑦1 = 𝑦1 =

150 = 100 1,5

𝑥1 = 𝑥1 =

𝑤 𝑃𝑦′

𝑤 𝑝𝑥

150 = 60 2,5

𝑝𝑥 2,5 = = −1,67 𝑝𝑦 −1,5

NUEVA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA DE MARTA 160

Bien compuesto

140 120

𝑤 100 𝑝′ = 100 𝑦 80 60

𝑝𝑥 = −1,67 𝑝𝑦′

𝑝𝑥 = −2,5 𝑝𝑦

40

𝑤 = 60 𝑝𝑥

20 0 0

10

20

30

40

50

60

70

Chocolatinas

b.- ¿Cuál es el costo de oportunidad, de una unidad más del bien compuesto? Para calcular el costo de oportunidad aplicamos el mismo criterio del ejercicio anterior 𝑝𝑦 1,5 = = −0,6 𝑝𝑥 2,5 El costo de oportunidad de consumir una unidad más del bien compuesto se debe sacrificar 0,6 de chocolatinas. Con ello se observa que con la subida del precio del bien compuesto el costo de oportunidad subió debido a una disminución de la cantidad de bien compuesto que se puede adquirir. 7.- Suponga en el problema 6 que marta pide una subida salarial para luchar contra la inflación. Su jefe acepta y le sube el sueldo, de tal manera que ahora su renta disponible es de 225$ al mes. a.- Represente su nueva restricción presupuestaria 𝑦1 = 𝑦1 =

225 = 150 1,5

𝑥1 = 𝑥1 =

𝑤 𝑃𝑦′

𝑤 𝑝𝑥

225 = 90 2,5

𝑝𝑥 2,5 = = −1,67 𝑝𝑦 −1,5

NUEVA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA DE MARTA ′

𝑤 = 150 𝑝𝑦

160

Bien compuesto

140 120 100

𝑝𝑥 = −1,67 𝑝𝑦

80 60

𝑝𝑥 = −1,67 𝑝𝑦

40 20 0 0

20

40

60

80

𝑤′ = 90 𝑝𝑥 100

Chocolatinas

b.- ¿Cuál es el coste de oportunidad de una unidad más del bien compuesto? Para este caso el coste de oportunidad se calcula de la misma forma que la anterior, 𝑝𝑦 1,5 = = −0,6 𝑝𝑥 2,5 De lo que se desprende que el coste de oportunidad de consumir una unidad adicional de bien compuesto es 0,6 de chocolatina, que es el mismo coste que en el ejercicio 6 ya que ocurrió un incremento salarial que subió la capacidad de adquisición de chocolatinas y bien compuesto en la misma proporción.

EJERCICIOS DE MASCOLEL 2.D.1 Un consumidor vive durante dos períodos, denotados 1 y 2, y consume un bien de consumo único en cada período. Su riqueza cuando nace es w> 0. ¿Cuál es su presupuesto walrasiano (de por vida)?

𝑥1 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 = 𝑤 Si consideramos que 𝑥1 𝑦 𝑥2 representan mismo bien en dos periodos de tiempo, tenemos que el precio del bien en el periodo dos sube con relación al periodo 1 por el efecto de la inflación suponiendo que 𝑝1 = 1 pues 𝑝2 =1+i Tenemos 𝑥1 + 𝑥2 𝑝2 = 𝑤 𝑜 𝑥1 + 𝑥2 (1 + 𝑖) = 𝑤 Por tanto la recta presupuestaria para este ejercicio es 𝐵𝑝,𝑤 = {𝑥 𝜖 𝑅+2 : 𝑥1 + 𝑥2 𝑝2 ≤ 𝑤}

PRESUPESTO WALRASIANO EJERCICIO 2.D.1

PERIODO 2

𝑤 𝑝2

PERIODO 1

𝑤 𝑝1

2D.2 Un consumidor consume un bien de consumo x y horas de ocio h. El precio del bien de consumo es p, y el consumidor puede trabajar a una tasa salarial de s = 1. ¿Cuál es el conjunto presupuesto walrasiano del consumidor? El primer conjunto está dado por las horas de ocio que el consumidor decide utilizar que para este caso van a ser 24 horas (suponiendo que la persona no trabaja) entonces tenemos: ℎ(𝑠) + 𝑡(𝑠) = 𝑤 ℎ(1) + 0(1) = 24 ℎ = 24

El segundo conjunto presupuestario viene dado por la interrelación de las horas de ocio y el consumo del bien x. De donde tenemos entonces que: 𝑤 = 𝑥1 𝑝1 + ℎ(𝑠) 24 = 𝑥1 𝑝1 + ℎ(1) 24 = 𝑥1 𝑝1 + ℎ De los dos subconjuntos anteriores podemos concluir que el conjunto presupuestario de este ejercicio viene dado por: 𝑋: 𝐵𝑝,𝑤 = {(𝑥, ℎ)𝜖 𝑅+2 : ℎ ≤ 24, 𝑥1 𝑝1 + ℎ ≤ 24}

BIEN DE CONSMO

CONJUNTO PRESPUESTARIO DE OCIO Y CON RELACION A UN BIEN

𝑋: 𝐵𝑝,𝑤 = {(𝑥, ℎ)𝜖 𝑅+2 : ℎ ≤ 24, 𝑥1 𝑝1 + ℎ ≤ 24} OCIO BIEN VS OCIO

OCIO

24

2.D.3 Considere una extensión del presupuesto de Walrasian establecido en un conjunto de consumo arbitrario 𝑿: 𝑩𝒑,𝒘 = {𝒙 𝝐 𝑿: 𝒑𝒙 ≤ 𝒘}. Asumiendo que (𝒑, 𝒘) >> 𝟎. a) Si X es el conjunto representado en la figura 2.C.3, ¿será 𝑩𝒑,𝒘 convexo? 𝐵𝑝,𝑤 No es un conjunto convexo, por cuanto solo se puede consumir un bien, en diferentes ciudades en el mismo momento, por esta razón solo la línea presupuestaria no converge en ninguno de los ejes del espacio 𝑅+𝐿 . Esto se evidencia en la figura 2.C.3 del libro de Mascolel.

b) Demuestre que si X es un conjunto convexo, entonces 𝑩𝒑,𝒘 también lo es

Bien X2

𝑤 𝑝1

BIEN X

𝑤 𝑝1

De la gráfica anterior para demostrar la convexidad debo encontrar una cantidad 𝑥3 aun precio 𝑝3 la cual debe ser igual a la riqueza (w). Por ello calculamos dicho punto utilizando la fórmula siguiente: 𝑝3 𝑥3 =∝ (𝑋2 𝑃2 ) + (1−∝)(𝑋2 𝑃2 ) De lo cual desprendemos que 𝑤 = 𝑋1 𝑃1 y 𝑤 = 𝑋2 𝑃2 remplazando en la ecuación anterior nos da: 𝑝3 𝑥3 =∝ (𝑤) + (1−∝)(𝑤) 𝑝3 𝑥3 =∝ 𝑤 + 𝑤 − 𝛼𝑤

𝑝3 𝑥3 = 𝑤 Con esto se demuestra que 𝐵𝑝,𝑤 es convexa por que se encuentra dentro del conjunto presupuestario y corta en dos ejes del hiperplano. Además en cualquier punto de la recta a un precio 𝑝3 se consume 𝑥3 se gasta el total de la riqueza. 2.D.4 Demuestre que el presupuesto establecido en la Figura 2D.4 no es convexo

DATOS 𝑠=1 𝑠′ > 𝑠 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜=8 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎: 𝐻𝐸 Ahora sabemos que M es la cantidad que se puede ganar y se transforma en la renta w. para ello primero debemos determinar las horas extra que es igual. 𝐻𝐸 =

𝑀 − 8𝑠 𝑠′

Ahora tenemos aún número de 𝐻1 y un salario 𝑠 ′′ debe dar el total ganado M. 𝐻1 𝑠 ′′ = 𝛼𝐻𝑇 𝑠 + (1 − 𝛼) 𝐻𝐸 𝑠 ′ Remplazando tenemos: 𝑀 − 8(1) ′ 𝐻1 𝑠 ′′ = 𝛼8(1) + (1 − 𝛼) ( )𝑠 𝑠′ 𝐻1 𝑠 ′′ = 8𝛼 + (1 − 𝛼)(𝑀 − 8) 𝐻1 𝑠 ′′ = 8𝛼 + 𝑀 − 𝛼𝑀 − 8 + 8𝛼 𝐻1 𝑠 ′′ = 16𝛼 + 𝑀 − 𝛼𝑀 − 8 𝐻1 𝑠 ′′ = 8(2𝛼 − 1) + 𝑀(1 − 𝛼) Con ello se obtuvo que 𝐻1 𝑠 ′′ no es igual a M por tanto no es convexa.

−𝑠1′ No hay convexidad

-s

Si se cumple el principio de convexidad −𝑠1′ debe ser igual a –s ya que pasan por la misma recta presupuestaria pero en nuestro ejemplo no se cumplió, por ello se determinó la no convexidad. Que se demostró en el proceso matemático anterior. Otra manera de demostrar es calculando el ratio de cambio con respecto al total generado. 𝐻𝑇 = 𝐻𝑇 + 𝐻𝐸 𝐻𝑇 = 8 +

𝑀 − 8𝑠 𝑠′

El ratio de cambio viene dado por 𝑀 − 8𝑠 8 𝑠′ ; 𝑀 − 8𝑠 𝑀 − 8𝑠 8 + 𝑠′ 8 + 𝑠′ Resolviendo tenemos y 8𝑠 ′ 𝑀 − 8𝑠 ; ′ ′ 8𝑠 + 𝑀 − 8𝑠 8𝑠 + 𝑀 − 8𝑠 Y sabiendo que s es igual a 1 8𝑠 ′ 𝑀−8 ; ′ ′ 8𝑠 + 𝑀 − 8 8𝑠 + 𝑀 − 8 De esta manera podemos ver que los dos ratios muestran que no tienen relación proporcional ninguna. Por ello podemos demostrar que la cantidad que se consume cuando solo se trabaja las 8horas es menor con relación a la cantidad que se consume si se incluye horas extra.