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• Tony Szwarc

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FACULTAD DE INGENIERÍA

U.Na.M.

Asignatura: MECANÍSMOS Y ELEMENTOS DE MÁQUINAS

TP Nº1

Alumno: -Bongers - do SANTOS - Roldan - Szwarc

Fecha: 12-03-2020 Vence: 26-03-2020

VºBº:

PROBLEMA N°1 Para los estados de esfuerzos indicados a y b, trace el diagrama del círculo de Mohr con todas sus acotaciones, determine los esfuerzos normales principales y cortantes máximos, y obtenga el ángulo descrito entre el eje x y σ1. Trace el elemento de esfuerzo, e indique todos sus detalles. a) σx = 15MPa; σy = 0 MPa; τxy= 8 MPa (SCR) b) σx= -20Kpsi; σy= 30Kpsi; τxy=45Kpsi (SR)

PROBLEMA N°2 Una condición de tensión plana existe en un punto de la superficie de una estructura cargada, donde las tensiones tienen las magnitudes, y las direcciones mostradas en el elemento de tensión.

Figura 1 Determine las tensiones actuantes y muestre las direcciones en un elemento que está orientado a un ángulo de 45° en sentido horario respecto al original.

PROBLEMA N°3 La barra ABC de acero mostrada en la Figura 2 está soportada en el extremo superior por un pasador, además está cargada por una fuerza P1 en C y soporta una carga P2 en el extremo E. La configuración además se complementa con una viga BDE que está conectada con un perno a la barra vertical en la unión B y soportada en el punto D.

Determinar el desplazamiento vertical en el punto C si la carga P1 = 1500 lb y la carga P2 = 3600 lb. (No tomar en cuenta los pesos de la barra y la viga.)

Datos: Segmento AB, L1 = 20 pulg. y un área de sección transversal A1 = 0.25 pulg.2; Segmento BC, L2 = 34.8 pulg. y área A2 = 0.15 pulg.2. Segmento BDE, a = 28 pulg. y b = 25 pulg.

PROBLEMA N°4 Un eje sólido de acero gira libremente sobre cojinetes en los puntos A y E. El eje cuyo diámetro es d=30mm es impulsado por un engranaje en C, sobre el cual se aplica un par de torsión T2 = 350 N∙m (ver sentido en la figura). En cambio, los engranajes B y D son impulsados por el eje y tienen pares de torsión resistentes T1 = 175 N∙m y T3 = 105 N∙m, respectivamente, que actúan en el sentido opuesto al par de torsión T2. Determinar el esfuerzo cortante máximo en cada parte del eje y el ángulo de torsión entre los engranes B y D.

Datos: Segmento LBC = 500 mm Segmento LCD = 400 mm Módulo de cortante es G = 80 GPa.

DESARROLLO

PROBLEMA N°1

a) Datos: σx= 15 MPa

σy= 0 MPa

τxy= 8 MPa (SCR)

Escala: 1cm=1MPa Figura 4 - Circulo de Mohr para el problema 1.a

A partir de la utilización del circulo de Mohr y adoptando la escala mencionada, pudimos determinar los siguientes valores de tensiones principales: σ1= -3,47 MPa

σ2= 18,47 MPa ϴp=23,42°

2ϴp=46,85°

τmax= 10,97 MPa

σmed= 7,5 MPa

ϴc=21,57°

2ϴc=43,15°

τmax=10,97MPa

8MPa ϴc=21,57°

σmed=7,5MPa

15MP a aa σ1=-3,47MPa

ϴp=23,42°

8MPa

σ2=18,47MPa

Figura 5 - Tensiones principales sobre el elemento de esfuerzo del problema 1.a

b) Datos σx= -20 kpsi

σy= 30 kpsi

τxy= 45kpsi (SR)

Escala 1cm=1kpsi Figura 6 - Ciruculo de Mohr para el problema 1.b

A partir de la utilización del circulo de Mohr y adoptando la escala mencionada, pudimos determinar los siguientes valores de tensiones principales: σ1= -46,48 kpsi 2ϴp=60,95°

σ2= 56,48 kpsi ϴp=30,47°

τmax=51,48 kpsi MPa

2ϴc=29,05°

σmed= 5 kpsi

ϴc=1 τmax=51,48kps i

30kpsi 45kpsi ϴc=14.52°

-20kpsi

ϴp=30,47°

σmed=5kpsi

σ1=-46,48kpsi

σ2=56,48kpsi

Figura

7 - Tensiones principales sobre el elemento de esfuerzo del problema 1.b

Conclusiones: Vemos que el circulo de Mohr es una buena herramienta, ya que a partir de su utilización podemos determinar los valores de esfuerzos máximos y mínimos y sus direcciones.

PROBLEMA N°2 Datos: σx= 20 kpsi

σy= -12 kpsi

τxy= 60kpsi (SR)

Graficando estos valores en el circulo de Mohr, obtenemos el siguiente grafico

Escala 1cm=1kpsi Figura 8 - Circulo de Mohr para el problema 2

Para poder determinar las tensiones actuantes en un elemento que esta orientado un angulo de 45° en un sentido horario, utilizaremos las siguientes ecuaciones: 𝜎𝑥 ′ = 𝜎𝑦 ′ =

𝜎𝑥 +𝜎𝑦

+

2 𝜎𝑥 +𝜎𝑦 2

−

𝜎𝑥 −𝜎𝑦

𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2

(𝜎𝑥 −𝜎𝑦 )2

𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±√

𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝛼

2

4

𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝛼

+ 𝜏𝑥𝑦 2

Reemplazando con los valores correspondientes obtenemos: 𝜎𝑥 ′ =

20+12 2

+

20−12 2

cos(2 . 45°) + 60 𝑠𝑒𝑛(2 . 45°)

𝜎𝑥 ′ = 76𝑘𝑝𝑠𝑖 𝜎𝑦 ′ =

20+12 2

−

20−12

𝜎𝑦 ′ = −44 𝑘𝑝𝑠𝑖

2

cos(2 . 45°) + 60 𝑠𝑒𝑛(2 . 45°)

(20−12)2

𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±√

4

+ 602

𝜏𝑚𝑎𝑥 = ± 60,13𝑘𝑝𝑠𝑖

También utilizamos el método grafico para corroborar: Escala 1cm=1kpsi

Figura 9 - Circulo de Mhor para el ejercicio 2, con rotación

45°

σy’= 44kpsi

σx’= 76kpsi τmax= 60,13kpsi

Figura 10 - Tensiones sobre el elemento de esfuerzo del problema 2 Conclusiones: A partir del estado de esfuerzos propuestos en un elemento a un angulo de inclinación de 0º, pudimos determinar las tensiones actuantes y sus direcciones sobre el mismo, pero con una rotación de 45º en sentido horario.

PROBLEMA N°3 Para el desarrollo del siguiente problema se tuvo en cuenta las siguientes consideraciones: 

El material es homogéneo por lo que cumple con la ley de Hooke.



Despreciamos el peso de la barra y la viga.



Las cargas son puntuales y se encuentran aplicadas en el baricentro de la barra y la viga.

Datos: P1 = 1500 lb

P2 = 3600 lb

Segmento AB, L1 = 20 pulg. y un área de sección transversal A1 = 0.25 pulg.2 Segmento BC, L2 = 34.8 pulg. y área A2 = 0.15 pulg.2.

Segmento BDE, a = 28 pulg. y b = 25 pulg. E= 30 lb/pulg.2 (Modulo de elasticidad del acero al carbono)

RA

A

P3 P3

D

a

B

b

E

B P2

C

RD

P1 Figura 11 – Diagrama de cuerpo libre para el problema 3

Primero debemos calcular el valor de la fuerza P3, mediante un momento aplicado en el punto D, de la viga BDE: ∑ 𝑀𝐷 = (𝑃3 ∗ 𝑎) + (− 𝑃2 ∗ 𝑏) = 0 𝑃3 =

𝑃2 ∗𝑏

𝑃3 =

3600 [𝑙𝑏]∗25[𝑝𝑢𝑙𝑔.]

𝑎

28[𝑝𝑢𝑙𝑔.]

= −3214.28[𝑙𝑏]

Luego determinamos el desplazamiento vertical en el punto C: ∆𝐿𝐶 =

𝑃1∗ 𝐿2 𝐸∗𝐴2

∆𝐿𝐶 = 30

𝑃 𝐿

3∗ 1 + 𝐸∗𝐴 1

1500 [𝑙𝑏]∗34.8 [𝑝𝑢𝑙𝑔] [lb/pulg.2 ]∗0.15 [𝑝𝑢𝑙𝑔.2]

+ 30

(−3214.28)∗20 [𝑝𝑢𝑙𝑔] [lb/pulg.2 ]∗0.25 [𝑝𝑢𝑙𝑔.2]

= 3028.59 𝑝𝑢𝑙𝑔

Conclusión: Luego de calcular la fuerza P3 de compresión sobre la barra ABC, se determinó que la barra se encuentra alargada 3028.59 pulg. o 0.0769 metros.

PROBLEMA N°4

Para el desarrollo del ejercicio, se tuvieron en cuenta las siguientes consideraciones:     

Se cumple con la Ley de Hooke para todo el sistema. Se desprecian los distintos pesos de los elementos. El sistema es considerado ideal y sin rozamientos. Material CHIE. Considero T3=175N.m por el hecho de que tengo que generar un torque necesario para vencer las fuerzas anteriores.

Datos: d=30mm. T1=175N.m T2=350N.m T3=105N.m

175N.m

Segmento LBC = 500 mm Segmento LCD = 400 mm Módulo de cortante es G = 80 GPa.

A

C

B

E

D REH

RAH

REV

RAV

175

𝑀𝑡𝐶𝐷

Mt

-175

Figura 12 – Diagrama MQN para el problema 4

El par de torsión 𝑀𝑡𝐶𝐷 en el segmento CD se determina cortando la sección a través del segmento y elaborando un diagrama de cuerpo libre, como en la figura anterior. El par de torsión se supone positivo y, por tanto, su vector apunta alejándose 𝑀𝑡𝐶𝐷 = T2-T1= 350 N.m- 175 N.m = 175 N m El signo positivo en el resultado significa que TCD actúa en el sentido positivo supuesto

El par de torsión en el segmento BC se determina de la misma manera. 𝑀𝑡𝐵𝐶 =- T1= - 175 N m Pasamos a hallar los esfuerzos cortantes máximos

Fórmulas que ocuparemos para determinar esfuerzo cortante máximo en cada parte del eje y el ángulo de torsión.

𝐓𝐌 =

𝛕.𝐑

𝐉=

𝐉

𝛑.𝐃𝟒 𝟑𝟐

𝛕.𝐋

𝛉 = 𝐆.𝐉

J: momento de inercia polar.

Esfuerzos cortantes en cada parte del eje: 𝜏𝐵𝐶 =

175∗0.03∗32

𝜏𝐶𝐷 =

175∗0.03∗32

𝜋∗0.034

𝜋∗0.034

= 66 𝑀𝑃𝑎

= 66 𝑀𝑃𝑎

Angulo de torsión entre engranes B y D 𝜃𝐵𝐶 = 𝜃𝐶𝐷 =

−175∗(0.5+0.4) 80𝑥109 ∗(

𝜋∗0.034 ) 32

175∗(0.5+0.4) 𝜋∗0.034 ) 32

80𝑥109 ∗(

= −0.05 = 0.05

𝜃 = 𝜃𝐶𝐷 + 𝜃𝐵𝐶 = 0

Conclusión: Debido a que es igual el par de torsión en los segmentos BC y CD, los esfuerzos cortantes máximos también van a ser iguales. Como también se puede observar que el ángulo de torsión entre los engranes B y D son cero debido a que están sometidos al mismo valor de par de torsión, corroborando así la consideración de que el eje gira libremente y sin rozamiento alguno.