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• Darwin Torres García

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TORSOR DE FUERZAS (llave o tornillo) Z R

⏟ Componente de

aR Y

X El torsor en un sistema de fuerzas se produce cuando el ̅ de un sistema general es paralelo a la fuerza resultante, cuando esto sucede se dice que la resultante de un sistema es un torsor y viene dado por esta expresión.

̅̅̅̅

̅

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗⃗

⃗⃗

Verificación del torsor: ̅ ̅̅̅̅

̅

̅̅̅̅

Por lo tanto la solución quedaría: ̅

⃗

⃗⃗

⃗

LA EXPRESION VECTORIAL DEL PAR REDUCIDO ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅ ̅ | ̅| | ̅|

̅̅̅̅

̅ | ̅|

̅

UBICACIÓN DEL TORSOR En el caso general, el sistema de fuerzas y momento de par que actúa sobre un cuerpo, figura 435a, se reducirá a una sola fuerza resultante y a un momento de par en O que no son perpendiculares, sino que actuara a un ángulo a partir de , figura 4-35c. Sin embargo, como se muestra en la figura 4-42a, puede resolverse en dos componentes: una perpendicular, , y la otra paralela , a la línea de acción de . Como en la argumentación previa, la componente perpendicular puede ser eliminada desplazando al punto P, como se muestra en la figura 4-42b. Este punto se encuentra sobre el eje bb, que es perpendicular a ya

. Para mantener una equivalencia de carga, la distancia de O a P es

. Además,

cuando es aplicada en P, el momento de que tiende a girar al cuerpo con respecto a O es la misma dirección que , figura 4-42a. Finalmente, como es un vector libre, puede ser desplazado hacia P de manera que sea colineal con , figura 4-42c. A esta combinación de una fuerza colineal y un momento de par se le denomina llave. El eje de la llave tiene la misma línea de acción que la fuerza. Por tanto, la llave tiende a ocasionar una traslación y una rotación, ambas con respecto a este eje. Comparando la figura 4-42a con la figura 4-42c, se ve que un sistema general de fuerza y momento de par actuando sobre un cuerpo puede ser reducido a una llave. El eje de la llave y el punto por el cual pasa este eje siempre pueden ser determinados.

= Figura 4-35

Figura 4-42

EJE CENTRAL DE UN SISTEMA DE FUERZAS ¿Cuáles son los puntos del espacio que dan momento mínimo?. Evidentemente los que tomados como centro de momentos hacen que el momento resultante y la resultante del sistema sean paralelos. Si designamos por Q tales puntos, se debe cumplir:

M (Q) = MR = kR que es la condición de paralelismo entre el momento resultante y la resultante del sistema; entonces el momento es el vector momento mínimo. Si ̅

⃗ ̅

⃗⃗

⃗

⃗

⃗⃗

⃗

se tiene:

Suponiendo que Q-O tiene por componentes X, Y, Z; puesto que ̅ tendremos: (

⃗

⃗

⃗⃗ )

así que las componentes del momento resultante con respecto al punto Q, son: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y eliminando k, ó sustituyendo en (*), resulta:

que es la ecuación de una recta paralela a R, que se denomina eje central del sistema de fuerzas. Según esto, el eje central de un sistema de fuerzas es el lugar geométrico de los puntos del espacio que tomados como centro de momentos dan momento mínimo. Este lugar geométrico es una recta paralela a la resultante.

1.- Ejercicio sobre torsor de fuerzas: En la figura mostrada: A) Reducir el sistema al punto Q (3, 2, -4) B) Encuentre el torsor del sistema

⃗

⃗⃗

⃗

⃗

⃗⃗

⃗

⃗

(-2, 0, 2) (-4,- 3, 0)

⃗

⃗

⃗

(-4, 3, 0)

⃗⃗

⃗

⃗⃗

⃗

Solución: 1. Calculo de la resultante

( ⃗

⃗⃗ )

⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗⃗

⃗

2. Traslado del sistema al punto Q ̅

̅

̅

̅

⃗ ⃗ ⃗

̅ ̅ ̅

̅

̅

̅

⃗

(

⃗

̅

̅

⃗

⃗⃗

⃗

)

⃗⃗

⃗

(

⃗

̅

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗ ⃗ ̅

̅

̅

̅

⃗⃗

⃗

⃗

)

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

̅

̅ ̅

̅ Por lo tanto ̅

(

⃗

⃗

⃗⃗ )

⃗

⃗

(

(

̅

̅

⃗⃗

⃗

)

⃗⃗

⃗

⃗

⃗

⃗⃗ )

⃗

⃗

⃗⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗⃗ ⃗⃗

B) CALCULO DEL TORSOR ̅̅̅̅ 1. Calculo del vector unitario de la resultante ⃗

⃗⃗

⃗

√ (

⃗

⃗

⃗⃗ )

⃗

⃗

√

√ ⃗ √

⃗

⃗⃗

√ ⃗

⃗⃗

⃗

Por consiguiente el torsor viene dado por:

{

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗

⃗

⃗⃗

2.-ejercicio sobre ubicación del torsor Tres fuerzas paralelas actúan sobre el borde de la placa circular de cubierta en la figura 4.46a. Determine la magnitud y la dirección de una fuerza resultante equivalente al sistema dado de fuerzas y localice su punto de aplicación, P, sobre la placa.

Solución a) Calculando la fuerza resultante ⃗⃗

∑ b) Calculando momentos y suponemos que

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

actúa en el punto P (x, y) ∑

̅ ̅ ⃗

̅ ( ⃗ ( ⃗

Igualando tenemos

⃗⃗) ⃗⃗ ) ⃗

( ⃗ (

⃗⃗ ) ⃗⃗)

⃗

⃗ ⃗

̅

⃗⃗ ) ̅ ( ⃗⃗ ) ⃗ ( ⃗⃗) ⃗ ( ⃗ ⃗

3.- ejercicio sobre ecuación del eje central Todas las fuerzas que actuaban sobre un cuerpo han sido reducidas a una fuerza de intensidad 13 kilos con dirección (ángulos directores de la fuerza) y a un par de 7.07 kg.cm con dirección , se desea conocer la ecuación del eje central y la intensidad del par resultante según la dirección del eje central. Solución A) cálculo de ecuación del eje central

Por lo tanto las componentes de | | |

⃗

|

⃗

|

⃗⃗

| ⃗

Expresión vectorial de

⃗

⃗⃗

. |

⃗

| | |

Remplazando en la ecuación del eje central

| |

⃗ ⃗⃗