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• Mario Bisconti

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Momento de torsión y equilibrio rotacional O B J E T IV O S

Al completar este capítulo el alumno: 1. Ilustrará mediante ejemplos y definiciones su comprensión de los términos brazo de palanca y momento de torsión. 2. Calculará el momento de torsión resultante respecto a cualquier eje, dadas las magnitudes y posiciones de las fuerzas que actúan sobre un objeto alargado. 3. Determinará las fuerzas o distancias desconocidas aplicando la primera y segunda condiciones de equilibrio. 4. Definirá centro de gravedad y dará ejemplos de dicho concepto.

En los capítulos anteriores nos hemos referido a las fuerzas que actúan en un solo punto. Existe un equilibrio traslacional cuando la suma vectorial es cero. Sin embargo, en muchos casos las fuerzas que actúan sobre un objeto no tienen un punto de aplicación común. Este tipo de fuerzas se llaman no concurrentes. Por ejemplo, un mecánico ejerce una fuerza en el maneral de una llave para apretar un perno. Un carpintero utiliza una palanca larga para extraer la tapa de una caja de madera. Un ingeniero considera las fuerzas de torsión que tienden a arrancar una viga de la pared. El volante de un automóvil gira por el efecto de fuerzas que no tienen un punto de aplicación común. En casos como éstos, puede haber una tendencia a girar que se define como momento de torsión. Si aprendemos a medir y a prever los momentos de torsión producidos por ciertas fuerzas, será posible obtener los efectos rotacionales deseados. Si no se desea la rotación, es preciso que no haya ningún momento de torsión resultante. Esto conduce en forma natural a la condición de equilibrio rotacional, que es muy importante en aplicaciones industriales y en ingeniería.

5-1 CONDICIONES DE EQUILIBRIO Cuando un cuerpo está en equilibrio, debe encontrase en reposo o en estado de movimiento rectilíneo uniforme. De acuerdo con la primera ley de Newton, lo único que puede cambiar dicha situación es la aplicación de una fuerza resultante. Hemos visto que si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo tienen un solo punto de intersección y si su suma vectorial es igual a cero, el sistema debe estar en equilibrio. Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de acción común, tal vez exista equilibrio traslacional pero no necesariamente equilibrio rotacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a

la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando. Al estudiar el equilibrio debemos tomar en cuenta el punto de aplicación de cada fuerza además de su magnitud. (b)

(a)

Considere las fuerzas que se ejercen sobre la llave de tuercas de la figura 5-la. Dos fuerzas F iguales y opuestas se aplican a la derecha y a la izquierda. La primera condición de equilibrio nos dice que las fuerzas horizontales y verticales están equilibradas; por lo tanto, se dice que el sistema está en equilibrio. No obstante, si las mismas dos fuerzas se aplican como indica la figura 5-Ib, la llave de tuercas definitivamente tiende a girar. Esto es cierto incluso si el vector que resulta de la suma de fuerzas sigue siendo cero. Es obvio que se requiere una segunda condición de equilibrio que explique el movimiento rotacional. Un enunciado formal de esta condición se presentará posteriormente, aunque antes es necesario definir algunos términos. En la figura 5-Ib, las fuerzas F no tienen la misma línea de acción. La línea de acción de una fuerza es una linea imaginaria que se extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones.

Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se intersecan en un mismo punto, puede haber rotación respecto a un punto llamado el eje de rotación. En nuestro ejemplo, el eje de rotación es una línea imaginaria que pasa a través del perno en dirección perpendicular a la página.

5-2 EL BRAZO DE PALANCA La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza se llama brazo de palanca de la fuerza, el cual determina la eficacia de una fuerza dada para provocar el movimiento rotacional. Por ejemplo, si se ejerce una fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de una gran rueda, gradualmente será más fácil hacer girar la rueda en relación con su centro (véase la figura 5-2.)

El brazo de palanca de una fuerza es la distancia perpendicular que hay de la línea de acci ón de la fuerza al eje de rotaci ón.

Si la línea de acción de la fuerza pasa por el eje de rotación (punto A de la figura 5-2), el brazo de palanca vale cero. Se observa que no hay efecto rotacional, independientemente de la magnitud de la fuerza. En este sencillo ejemplo, los brazos de palanca en los puntos B y C son simplemente la distancia de los ejes de rotación al punto de aplicación de la fuerza. Sin embargo, hay que notar que la línea de acción de la fuerza no es más que una sencilla construcción geométrica. El brazo de palanca se traza perpendicular a esta línea. Debe ser igual la distancia del eje al punto de aplicación de la fuerza, pero esto es cierto sólo cuando la fuerza aplicada es perpendicular a esta distancia. En los ejemplos de la figura 5-3, r representa el brazo de palanca; y O, el eje de rotación. Estudie cada ejemplo, observando cómo se trazan los brazos de palanca y razonando si la rotación es en el mismo sentido o contraria al avance de las manecillas del reloj con

respecto a O.

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5-3 MOMENTO DE TORSIÓN O

(a)

(c) Se ha definido la fuerza como un tirón o un empujón que tiende a causar un movimiento. El momento de torsión T se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional. En algunos textos se le llama también momento de fuerza.* Como ya hemos visto, el movimiento rotacional se ve afectado tanto por la magnitud de una fuerza F como por su brazo de palanca r. Por lo tanto, definiremos el momento de torsión como el producto de una fuerza por su brazo de palanca. Momento de torsión = fuerza X brazo de palanca

T=

Fr

5-1

Es preciso entender que en la ecuación (5-1) r se mide en forma perpendicular a la línea de acción de la fuerza F. Las unidades del momento de torsión son las unidades de fuerza por distancia, por ejemplo, newton-metro (N • m) y Hbra-pie (Ib • ft). Ya antes se estableció una convención de signos para indicar la dirección de las fuerzas. La dirección del momento de torsión depende de si éste tiende a producir la rotación en el sentido de avance de las manecillas del reloj, o sentido retrógrado (sr), o en dirección contraria a ellas o sentido directo (sd). Seguiremos la misma convención que para medir ángulos. Si la fuerza F tiende a producir una rotación contraria a la de las manecillas con respecto a un eje, el momento de torsión se considerará positivo. Los momentos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj se considerarán negativos. En la figura 5-3, todos los momentos de torsión son positivos (sd), excepto el correspondiente a la figura 5-3a.

EJEM PLO 5-1 Se ejerce una fuerza de 20 N sobre un cable enrollado alrededor de un tambor de 120 mm. ¿Cuál es el momento de torsión producido aproximadamente al centro del tambor? (Véase la figura 5-4.)

20 N

F ig u ra 5 -4 F u e rz a ta n g e n c ia l e je rc id a p o r e l c a b le e n ro lla d o a lre d e d o r d e u n ta m b o r.

Solución Note que la línea de acción de la fuerza de 20 N es perpendicular al diámetro del tambor. Por lo tanto, el brazo de palanca es igual al radio del tambor. Si se

* Al momento de torsión también se le ha llamado en algunos textos, torque o torca (N. del R.T.)

convierte el diámetro a metros (0.12 m), el radio es de 0.06 m. El momento de torsión se calcula a partir de la ecuación (5-1): r = Fr = -(20 N)(0.06 m) = -1.20 N • m El momento de torsión es negativo porque tiende a causar una rotación en el sentido de las manecillas del reloj.

EJEMPLO 5-2 Un mecánico ejerce una fuerza de 20 Ib en el extremo de una llave inglesa de 10 in, como se observa en la figura 5-5. Si este tirón forma un ángulo de 60° con el mango de la llave, ¿cuál es el momento de torsión producido en la tuerca?

20 201 10in. 10 in. B razo de torsión

(a)

60\/Lí L ín ea d e acción déla fuerza

r

(b)

F ig u ra 5 -5C á lc u lo d e l m o m e n to d e to r s ió n .

Solución Primero trace un bosquejo ordenado, extienda la línea de acción de la fuerza de 20 Ib, y dibuje el brazo de palanca como se mostró. Observe que el brazo de palanca r es perpendicular tanto a la línea de acción de la fuerza como al eje de rotación. Debe recordar que el brazo de palanca es una construcción geométrica y puede estar o no sobre alguna estructura física, como por ejemplo el mango de la llave de tuercas. A partir de la figura se obtiene r = (10 in) sen 60° = 8.66 in r = Fr = (20 Ib) (8.66 in) = 173 Ib • in Si se desea, este momento de torsión se puede transformar en 14.4 Ib • ft.

En algunas aplicaciones, es más útil trabajar con las componentes de una fuerza para obtener el momento de torsión resultante. En el ejemplo anterior se podría haber separado el vector de 20 Ib en sus componentes horizontal y vertical. En vez de hallar el momento de torsión de una sola fuerza, sería necesario encontrar el momento de torsión de las dos fuerzas componentes. Como indica la figura 5-6, el vector de 20 Ib tiene sus componentes Fx y JFj, las que se calculan por trigonometría: FJC=

(20lb)(cos60°) = lOlb Fy = (20 Ib) (sen 60°) = 17.3

E ———— 71 20 Ib 17.3 Ib

Ib

10 ¡n. 10 Ib

(a )