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INGENIERÍA HIDRÁULICA Y AMBIENTAL, VOL. XXII, No. 3, 2001

Noviembre del 2000

CÁLCULO DEL TIRANTE NORMAL EN UN CANAL RECTANGULAR DE FORMA DIRECTA INTRODUCCIÓN Para el cálculo del régimen uniforme en canales con secciones transversales, se propone en este artículo, una fórmula, la cual se ilustrará al final del desarrollo del artículo, con un ejemplo práctico. CÁLCULO En el cálculo del régimen uniforme, la determinación de la profundidad normal de circulación para un determinado caudal que circula por un canal dado viene expresada por la ecuación de Manning, Chow, Streeter, Luaces, King y Bakhmeteff entre otros. 1-7 2 1 1 AR 3 SO 2 n la que se puede plantear como:

Q =

Qn SO

= AR

2

3

=3

...(1)

A5

Conociendo que para la sección rectangular:

A = by

...(3)

P = b + 2y entonces se puede plantear que:

...(4)

= by

5

33

1 [b + 2y ]2

Se propone una fórmula para el cálculo del régimen uniforme en canales con secciones rectangulares cuyo error no supera el 2,5 % y la misma se ilustra a través de un ejemplo práctico. Palabras clave: tirante normal, régimen uniforme, secciones anchas, sección rectangular. It is intends a formula for the calculation of the uniform regime in rectangular channels whose error doesn't overcome 25 % and the same one is showed through a practical example. Key words: normal depth; uniform flow; wide rectangular channel; rectangular section.

...(2)

P2

Qn [by ]5 = =3 SO [b + 2y ]2 3

Resumen / Abstract

[by ]5 b 1+ 2y b    2

de donde finalmente se tiene que:

Qn SO

2

=

b 3y 5 3

1+ 2y  b  

2

=

=y

5

3

1 3

1 + 2y   b 

2

ecuación esta que no se puede resolver de forma directa, 1,4,5,8 y 9 sino haciendo uso de gráficos, ábacos o de algún método iterativo de solución de ecuaciones, como: Método de Newton, Bisección, Método de la secante, etcétera.

Carlos A. Luaces Socarrás, Máster en Ciencias, Ingeniero Hidráulico, Centro de Investigaciones Hidráulicas, Instituto Superior Politécnico José A. Echeverría, Ciudad de La Habana e-mail : [email protected]

40

...(5)

entonces, la ecuación (10) se puede plantear como:

Pero para una sección ancha, donde: R ≈ y , 5 2 Qn = byy 3 = by A3 SO

...(6)

siendo por lo tanto,

= y A3

b SO

...(7)

Sustituyendo la ecuación (7) en (5) se tiene: 5

y A3 = y

y

5

3

5

5

1 3

1 + 2y   b 

...(9)

1 + 2y   b 

2

5

 y   2y     y  = 1 + b     A

(

− 4 a + 16 a 2 − 16 a 2 1 − a 5 8a 2

)

...(15)

Entonces si le dan valores a, a se puede obtener valores de β y así hacer la tabla 1 de a, β y b/y,

b 1 = y a * β . (tabla 1)

y como: a = y A

β = yA

donde si se eleva al cubo se llega a:

...(14)

y resolviendo para β, se llega a:

donde:

1 3

resolviendo el cuadrado y ordenando el polinomio para β, se tiene que:

β1,2 = ...(8)

2

1

=

y A3

3

...(13)

4 a 2 β 2 + 4aβ + 1 − a 5 = 0

5

Qn

a 5 = [1 + 2aβ ]2

está entre [1 − ∞]

b está entre [0 − ∞]

Haciendo un nuevo cambio de variables para disminuir

2

...(10)

Si se llama a:

el intervalo del dominio de α y β entre [0 − 1] como el propuesto por Velazco y León10-11 para el tirante crítico en canales trapeciales, se obtiene (ver tabla 2 y gráfico 1).

K =

a=

y yA

...(11)

β =

yA b

...(12)

1 a

está entre [0 − 1] ,

G = 1 1 + β está entre [0 − 1]

Tabla 1 Valores de a, b y b/y a

1,00

1,20

1,40

1.60

1,80

2,00

5,00

10,00

50,00 100,00

β

0,00

0,24

0,47

0,70

0,93

1,16

5,49

15,76

176,77 500,00

b/y

∞

3,47

1,52

0,89

0,60

0,43

0,04

0,006

41

Lo que si se ajusta la misma a una ecuación potencial del tipo K = CGB se llega a: C = 0,978 224 81 B = 0,834 135 312 Con un coeficiente de correlación r = 0,998 866 99 y cuyo gráfico de error absoluto vs b/y se muestra en el gráfico 2, donde se puede observar los errores cometidos por el empleo de esta expresión no exceden el 2 %. Sustituyendo las variables por su valores originales,

1  1  =C  a 1 + β 

B

...(16)

 1 =C   y 1+ y A yA b  1

B

   

...(17)

y y A  1+ A b  yA   y = =   C   1 C  B 1 + y A     b  

B

...(18)

Tabla 2 Valores de K y G K

1,00

0,83

0,71

0,63

0,56

0,50

0,33

0,20

0,14

0,11

0,05

0,03

0,02

G

1,00

0,81

0,68

0,59

0,52

0,46

0,29

0,15

0,10

0,07

0,02

0,01

0,00

GRÁFICO 1 Curva de ajuste.

GRÁFICO 2 Error absoluto modular vs b/y de la ecuación ajustada.

42

Donde si se sustituyen los valores de C y B, se tiene que:

 y  y = 1,022 22y A 1+ A  b  

0, 834 135

...(19)

2 Qn = AR 3 S0

Resolviendo esta igualdad con ayuda del EXCEL (solve) se tiene que el tirante es:

o aproximadamente: 5

3. Comprobación:

y = y A 1 + y A  ...(20) b  donde C = 1,0 y B = 5/6 y un gráfico de error absoluto modular vs b/y como el que se muestra (gráfico 3). 6

y solve = 0,793 092 m donde el módulo del error absoluto será: Error= |y solve - y n| *100 = 0,098 % R/ El valor del tirante normal es de 0,794 m. CONCLUSIONES Se desarrolló una fórmula para el cálculo del tirante normal en un canal rectangular, la cual tiene un error máximo de aproximadamente un 2,5% y su empleo permite realizar los cálculos de forma directa sin tener necesidad de iterar. REFERENCIAS

GRÁFICO 3 Error de k vs b/y para C = 1 y B = 5/6.

De lo anterior se tiene que ahora el error mayor es de 2,5 % y el mismo se encuentra desplazado hacia la zona de b/y entre 0 a 3 y no como la ecuación anterior donde los errores (2%) se encontraban en casi toda la relación de b/y, por lo que se recomienda el empleo de esta última para el cálculo del tirante en canales con secciones rectangulares. EJEMPLO PRÁCTICO Por un canal de sección rectangular con ancho de fondo de 12 m, coeficiente de rugosidad de Manning de 0,013 y una pendiente longitudinal de 0,000 3, circulan 10 m3 de agua. ¿Cuál es el tirante normal de circulación? Datos: b = 12 m, m = 0, n = 0,013, S0 = 0,000 3, Q = 10 m3/s. 1. Calcular y A:

 Qn yA =   b SO

  

3

5

 10 ⋅ 0,013  =  12 ⋅ 0,000 3 

3

5

= 0,755

1. CHOW, V.T AND R. MAIDMENT DAVID: Hidrología aplicada, McGraw-Hill, 1994. 2. CHOW, V.T.: Hidráulica de canales, Editorial Diana, México, 1985. 3. STREETER, V. L.: Mecánica de los fluidos, Editorial Pueblo y Educación, Ciudad de La Habana, Cuba, 1989. 4. LUACES SOCARRAS, C.A.: "Conducciones libres", Jornada Cientifica Estudiantil de la CUJAE, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, Ciudad de La Habana, 1994. 5. LUACES SOCARRÁS, C.A.: "Cálculo hidráulico de canales en parámetros adimensionales", Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, Ciudad de La Habana, 1995. 6. KING, H. W.: Manual de hidráulica, t. I, Edición Revolucionaria,1986. 7. BAKHMETEFF, B. A.: Hydraulics of Open Channel, McGraw-Hill Book Co. Inc, 1932. 8. FRENCH, R. H.: Hidráulica de los canales abiertos, México, 1989. 9. Henderson, F.M.: Open channel flow, New York, 1966. 10. VELAZCO DAVIS, E.: "Una fórmula práctica para el tirante crítico en canales trapeciales", Revista Ingeniería Hidráulica, Vol. XIX, No. 3, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, Ciudad de La Habana, 1990. 11. LEÓN, M. A. Y ARMANDO ESTOPIÑAN: Hidráulica de canales, Editorial Pueblo y Educación, Ciudad de La Habana, Cuba, 1989.

2. Cálculo de y N: yN

 y  = y A 1 + A  b  

5

6

 0,755  = 0,755 * 1+  12  

5

6

= 0,794 NOVIEMBRE DEL 2000

43