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• Bryan Skinner

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1. Introducción a los métodos numéricos

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1.2

Tipos de errores: Error absoluto, error relativo,

error porcentual, errores de redondeo y truncamiento

Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemáticas exactas. Éstas incluyen los errores de truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos. Para ambos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto, o verdadero, y el aproximado está dada por: Valor verdadero = Valor aproximado + error

(1.1)

Reordenando la ecuación se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir: Et = Valor verdadero − Valor aproximado

(1.2)

donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t indica que se trata del error verdadero (true). Esto contrasta con los otros casos, donde se debe emplear una estimación aproximada del error. Una desventaja en esta definición es que no toma en consideración el orden de la magnitud del valor que se estima. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache en lugar de un puente. Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decir Error relativo fraccional verdadero =

Et valor verdadero

(1.3)

El error relativo también se puede multiplicar por 100 % para expresarlo como εt =

Et × 100 % valor verdadero

(1.4)

donde εt denota el error relativo porcentual verdadero.

Tomado de: Steven Chapra y R. P. Canale, Métodos numéricos para ingenieros, McGraw-Hill Interamericana, 2007, 5ed. Pg. 57. ITESCAM

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En las situaciones reales a veces es difícil contar con el valor verdadero. Entonces en dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor estimación posible al valor verdadero; es decir, para la aproximación misma, como: error aproximado × 100 % (1.5) εa = valor aproximado donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado. Uno de los retos que enfrentan los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia del conocimiento de los valores verdaderos. Por ejemplo, ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular los resultados. En tales métodos se hace una aproximación considerando la aproximación anterior. Este proceso se efectúa varias veces, o de forma iterativa, para calcular en forma sucesiva, esperando cada vez mejores aproximaciones. En tales casos, el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por εa =

aproximación actual − aproximación anterior × 100 % aproximación actual

(1.6)

Los signos de las ecuaciones de error pueden ser positivos o negativos. A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada εs . Por lo tanto, es útil emplear el valor absoluto de las ecuaciones de error anteriores. En tales casos, los cálculos se repiten hasta que |εa | ≤ εs

(1.7)

Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable fijado previamente (εs ).

Tomado de: Steven Chapra y R. P. Canale, Métodos numéricos para ingenieros, McGraw-Hill Interamericana, 2007, 5ed. Pg. 58-59. ITESCAM

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1. Introducción a los métodos numéricos

Errores de redondeo Los errores de redondeo se originan debido a que la computadora emplea un número determinado de cifras significativas durante un cálculo. Los números tales √ como π, e, o 7 no pueden exspresarse con un número fijo de cifras significativas. Por lo tanto, no pueden ser representados exactamente por la computadora. Además, debido a que las computadoras usan una representación en base 2, no pueden representar exactamente algunos números en base 10. Esta discrepancia por la omisión de cifras significativas se llama error de redondeo. Tomado de: Steven Chapra y R. P. Canale, Métodos numéricos para ingenieros, McGraw-Hill Interamericana, 2007, 5ed. Pg. 60.

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