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• Jesús Gomez

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ÍNDICE INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 2

OBJETIVO .............................................................................................................. 2

TIPOS DE ERRORES: DEFINICIÓN, IMPACTO EN LA MEDICIÓN, CLASIFICACIÓN, CAUSAS DE LOS ERRORES, CONSECUENCIAS EN LA MEDICIÓN, ESTUDIOS DE R Y R .......................................................................... 3 CONCEPTOS BÁSICOS ..................................................................................... 4 CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES ................................................................ 6 CIFRAS SIGNIFICATIVAS .................................................................................. 8 HISTOGRAMAS Y DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA ........................................... 9 ELECCIÓN DE LOS INSTRUMENTOS ............................................................. 20 ERRORES EN METROLOGÍA DIMENSIONAL ................................................ 21 MEDIDA DEL ERROR ....................................................................................... 22 ERRORES POR MÉTODO DE SUJECIÓN DEL INSTRUMENTO ................... 27 ESTUDIOS DE R & R. ....................................................................................... 31 ERROR POR CONDICIONES AMBIENTALES ................................................ 31 TIPOS DE ERRORES........................................................................................ 35 ANÁLISIS ESTADÍSTICO: ................................................................................ 39 DISTRIBUCIÓN NORMAL DE ERRORES: ....................................................... 40 INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN: ............................................................. 41 INCERTIDUMBRE ............................................................................................. 44 EVALUACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE INCERTIDUMBRE (TIPO A O TIPO B) ............................................................................................ 48 EVALUACIÓN TIPO A DE LA INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR ....................... 50 CONCLUSIÓN ...................................................................................................... 53

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................... 54

CUESTIONARIO ................................................................................................... 55

INTRODUCCIÓN En la actualidad, uno de los mayores retos que enfrenta las empresas es el de la fuerte competencia dentro de los mercados tanto a nivel local como a nivel global, como dice Jack Welch: “este abierto al cambio. Olvide el pasado”. “estemos listos para ir mas allá”. Según Sergio novelo, “hace diez años, en México, todavía se veían los sistemas de calidad como algo que solo se media con índices estadísticos. Desde entonces, la calidad ha ido posesionándose donde debe. En todo los niveles sociales, ideológicos y económicos, siendo al día de hoy, ya no solamente un anexo en los procesos y productos, si no también, un complemento de la vida misma” Las organizaciones de manufactura y las instituciones de servicios, tienen que ser cada vez más eficiente es decir, altamente productivas dada la alta competencia en el mercado global. De tal manera que deben forjar una cadena de valor que logre satisfacer totalmente la necesidades de sus clientes, con calidad, en el menor tiempo posible, y aun costo competitivo. Las oficinas de diseño del producto, tiene el reto de innovar, modificar y optimizar en el menor tiempo posible sus diseños, para lanzar nuevos productos rápidamente, aun y cuando los productores sean altamente complejos. La manufactura experimenta retos que anteriormente eran inimaginables ya que tiene que producir tanto mayores como menores volúmenes de producción, con mucho menos recursos, de los que antes destinaba para ellos. Las instituciones de servicios, tiene que reducir al máximo sus tiempos de entrega e incrementar la creación de valor de sus operaciones para lograr la satisfacción total de sus clientes.

OBJETIVO El objetivo general de este caso de estudio es el de mostrar un caso práctico de aplicación de los tipos de errores que encontramos en la metrología, que evidencie en forma clara y concisas los pasos a seguir para la solución de un problema real planteado; servirá como una guía que facilite la compresión de aplicación de los diferentes métodos y herramientas estadísticas para la mejora de la calidad al lector de este trabajo.

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TIPOS DE ERRORES: DEFINICIÓN, IMPACTO EN LA MEDICIÓN, CLASIFICACIÓN, CAUSAS DE LOS ERRORES, CONSECUENCIAS EN LA MEDICIÓN, ESTUDIOS DE R Y R Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o una sustancia, que puede determinarse cuantitativamente, es decir, es un atributo susceptible de ser medido. Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la potencia, la velocidad, etc. A la magnitud de un objeto específico que estamos interesado en medir, la llamamos mesurando. Por ejemplo, si estamos interesado en medir la longitud de una barra, esa longitud específica será el mesurando Para establecer el valor de un mesurando tenemos que usar instrumentos de medición y un método de medición. Asimismo es necesario definir unidades de medición. Por ejemplo, si deseamos medir el largo de una mesa, el instrumento de medición será una regla. Si hemos elegido el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad será el metro y la regla a usar deberá estar calibrada en esa unidad (o submúltiplos). El método de medición consistirá en determinar cuántas veces la regla y fracciones de ella entran en la longitud buscada. En ciencias e ingeniería, el concepto de error tiene un significado diferente del uso habitual de este término. Coloquialmente, es usual el empleo del término error como análogo o equivalente a equivocación. En ciencia e ingeniería, el error, como veremos en lo que sigue, está más bien asociado al concepto de incerteza en la determinación del resultado de una medición. Más precisamente, lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas (o límites probabilísticos) de estas incertezas. Gráficamente, buscamos establecer un intervalo x 𝑥 −△ 𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 +△ 𝑥 como el de la Figura 1.1, donde con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de la magnitud x. Este mejor valor 𝑥 es el más representati- vo de nuestra medición y al semiancho x lo denominamo la incerteza o error absoluto de la medición.

Figura 1.1. Intervalo asociado al resultado de una medición. Notamos que, en lugar de dar un único número, definimos un intervalo. Al valor representativo del centro del intervalo (𝑥) lo llamamos el mejor valor de semiancho del imntaegrvnaitluod (△x) se denomina la incertidumbre o error absoluto de la medición. En todo proceso de medición existen limitaciones dadas por los instrumentos usados, el método de medición, el observador (u observadores) que realizan la medición. Asimismo, el mismo proceso de medición introduce errores o incertezas. Por ejemplo, cuando usamos un termómetro para medir una temperatura, parte del METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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valor del objeto fluye al termómetro (o viceversa), de modo que el resultado de la medición es un valor modificado del original debido a la inevitable interacción que debimos realizar. Es claro que esta interacción podrá o no ser significativa: Si estamos midiendo la temperatura de un metro cúbico de agua, la cantidad de calor transferida al termómetro puede no ser significativa, pero si lo será si el volumen en cuestión es de una pequeña fracción del mililitro. Tanto los instrumentos que usamos para medir como las magnitudes mismas son fuente de incertezas al momento de medir. Los instrumentos tienen una precisión finita, por lo que, para un dado instrumento, siempre existe una variación mínima de la magnitud que puede detectar. Esta mínima cantidad se denomina la apreciación nominal del instrumento. Por ejemplo, con una regla graduada en milímetros, no podemos detectar variaciones menores que una fracción del milímetro. A su vez, las magnitudes a medir no están definidas con infinita precisión. Imaginemos que queremos medir el largo de una mesa. Es posible que al usar instrumentos cada vez más precisos empecemos a notar las irregularidades típicas del corte de los bordes o, al ir a un más allá, finalmente detectemos la naturaleza atómica o molecular del material que la constituye. Es claro que en ese punto la longitud dejará de estar bien definida. En la práctica, es posible que mucho antes de estos casos límites, la falta de paralelismo en sus bordes haga que el concepto de la “longitud de la mesa” comience a hacerse cada vez menos definido, y a esta limitación intrínseca la denominamos denomina incerteza intrínseca o falta de definición de la magnitud en cuestión. Otro ejemplo sería el caso en que se cuenta la cantidad de partículas alfa emitidas por una fuente radioactiva en 5 segundos. Sucesivas mediciones arrojarán diversos resultados (similares, pero en general distintos). En este caso, de nuevo, estamos frente a una manifestación de una incerteza intrínseca asociada a esta magnitud “número de partículas emitidas en 5 s”, más que al error de los instrumentos o del observador.

CONCEPTOS BÁSICOS Otra fuente de error que se origina en los instrumentos además de la precisión es la exactitud de los mismos. Como vimos, la precisión de un instrumento o un método de medición están asociada a la sensibilidad o menor variación de la magnitud que se pueda detectar con dicho instrumento o método. Así, decimos que un tornillo micrométrico (con una apreciación nominal de 10 m) es más preciso que una regla graduada en milímetros; o que un cronómetro es más preciso que un reloj común, etc. La exactitud de un instrumento o método de medición está asociada a la calidad de la calibración del mismo. Imaginemos que el cronómetro que usamos es capaz de METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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determinar la centésima de segundo pero adelanta dos minutos por hora, mientras que un reloj de pulsera común no lo hace. En este caso decimos que el cronómetro es todavía más preciso que el reloj común, pero menos exacto. La exactitud es una medida de la calidad de la calibración de nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptados internacionalmente. En general los instrumentos vienen calibrados, pero dentro de ciertos límites. Es deseable que la calibración de un instrumento sea tan buena como la apreciación del mismo. La Figura 1.2 ilustra de modo esquemático estos dos conceptos.

Figura 1.2. Esta figura ilustra de modo esquemático los conceptos de precisión y exactitud. Los centros de los círculos indican la posición del “verdadero valor” del mesurando y las cruces los valores de varias determinaciones del centro. La dispersión de los puntos da una idea de la precisión, mientras que su centro efectivo (centroide) está asociado a la exactitud. a) Es una determinación precisa pero inexacta, mientras d) es más exacta pero imprecisa; b) es una determinación más exacta y más precisa; c) es menos precisa que a). Decimos que conocemos el valor de una magnitud dada, en la medida en que conocemos sus errores. En ciencia consideramos que la medición de una magnitud con un cierto error no significa que se haya cometido una equivocación o que se haya realizado una mala medición. Con la indicación del error de medición expresamos, en forma cuantitativa y lo más precisamente posible, las limitaciones que nuestro proceso de medición introduce en la determinación de la magnitud medida.

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CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES Existen varias formas de clasificar y expresar los errores de medición. Según su origen los errores pueden clasificarse del siguiente modo:

I.

Errores introducidos por el instrumento:  Error de apreciación, ap: si el instrumento está correctamente calibrado la incertidumbre que tendremos al realizar una medición estará asociada a la mínima división de su escala o a la mínima división que podemos resolver con algún método de medición. Nótese que no decimos que el error de apreciación es la mínima división del instrumento, sino la mínima división que es discernible por el observador. La mínima cantidad que puede medirse con un dado instrumento la denominamos apreciación nominal. El error de apreciación puede ser mayor o menor que la apreciación nominal, dependiendo de la habilidad (o falta de ella) del observador. Así, es posible que un observador entrenado pueda apreciar con una regla común fracciones del milímetro mientras que otro observador, con la misma regla pero con dificultades de visión sólo pueda apreciar 2 mm.  Error de exactitud, exac: representa el error absoluto con el que el instrumento en cuestión ha sido calibrado.

II.

Error de interacción; int: esta incerteza proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir. Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor se estima de un análisis cuidadoso del método usado.

III.

Falta de definición en el objeto sujeto a medición: como se dijo antes, las magnitudes a medir no están definidas con infinita precisión. Con sdef designamos la incertidumbre asociada con la falta de definición del objeto a medir y representa su in-certidumbre intrínseca.

En general, en un dado experimento, todas estas fuentes de incertidumbres estarán presentes, de modo que resulta útil definir el error nominal de una medición nom, como: 2nom = 2ap

2def 2int

2exac

(I.1)

Este procedimiento de sumar los cuadrados de los errores es un resultado de la estadística, y proviene de suponer que todas las distintas fuentes de error son independientes una de otras.

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Según su carácter los errores pueden clasificarse en sistemáticos, estadísticos e ilegítimos o espurios. a) Errores sistemáticos: se originan por las imperfecciones de los métodos de medición. Por ejemplo, pensemos en un reloj que atrasa o adelanta, o en una regla dilatada, el error de paralaje, etc. Los errores introducidos por estos instrumentos o métodos imperfectos afectarán nuestros resultados siempre en un mismo sentido. El valor de Sexac sería un ejemplo de error sistemático pero no son lo mismo, ni los errores de exactitud son los únicos responsables de los errores sistemáticos. Imaginemos por ejemplo el caso de una balanza bien calibrada que se usa para conocer el peso de las personas en los centros comerciales u otros negocios, como es usual que las personas (en público) se pesen vestidas, los valores registrados con estas balanzas tendrán un error sistemático por el peso de la vestimenta. La única manera de detectarlos y corregirlos es comparar nuestras mediciones con otros métodos alternativos y realizar un análisis crítico y cuidadoso del procedimiento empleado. También es aconsejable intercalar en el proceso de medición patrones confiables que permitan calibrar el instrumento durante la medición. b) Errores estadísticos: Son los que se producen al azar. En general son debidos a causas múltiples y fortuitas. Ocurren cuando, por ejemplo, nos equivocamos en contar el número de divisiones de una regla, o si es- tamos mal ubicados frente al fiel de una balanza. Estos errores pueden cometerse con igual probabilidad por defecto como por exceso. Por tan- to, midiendo varias veces y promediando el resultado, es posible reducir- los considerablemente. Es a este tipo de errores a los que comúnmente hace referencia la teoría estadística de errores de medición que formularemos sucintamente en lo que sigue. A estos errores lo designaremos con Sest. c) Errores ilegítimos o espurios: Supongamos que deseamos calcular el volumen de un objeto esférico y para ello determinamos su diámetro. Si al introducir el valor del diámetro en la fórmula, nos equivocamos en el número introducido, o lo hacemos usando unidades incorrectas, o bien usamos una expresión equivocada del volumen, claramente habremos cometido un error. Esta vez este error está más asociado al concepto convencional de equivocación. A este tipo de errores los designamos como ilegítimos o espurios. A este tipo de errores no se aplica la teoría estadística de errores y el modo de evitarlo consiste en una evaluación cuidadosa de los procedimientos realizados en la medición Un ejemplo de este tipo de error es el que se cometió en el Mars Climate Explorer a fines de 1999, al pasar de pulgadas a cm se cometió un error que costo el fracaso de dicha misión a Marte. Cuando se desea combinar los errores sistemáticos con los estadísticos, la prescripción usual es sumar los cuadrados de los errores absolutos y luego tomar METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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la raíz cuadrada de este resultado, como lo indica la Ec. (1.2). Si estamos midiendo una magnitud Z, el error final o combinado o efectivo de Z, DZ, vendrá dado por:

.

(1.2)

Los errores pueden asimismo expresarse de distintos modos, a saber:  Error absoluto: es el valor de la incertidumbre combinada (Ec. 1.2). Tiene las mismas dimensiones que la magnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de ésta. Si Z es la magnitud en estudio, Z es el mejor valor obtenido y △ Z su incertidumbre absoluta. El resultado se expresa adecuadamente como: Z = Z±△Z

(1.3)

El significado de esta notación es equivalente a decir que, según nuestra medi- ción, con una cierta probabilidad razonable p0 (usualmente p0 = 0.68, 68%) el valor de Z está contenido en el intervalo ( Z - △Z, Z + △Z), o sea: Z - △ < Z < Z +△ 𝑍 (1-4) Lo que es equivalente a: P (Z - △Z < Z < Z + △ Z)= P0

(1.5)

Que significa que la probabilidad que el mejor estimador de Z esté comprendido entre Z - △ Z y Z + △ Z es igual a p0. El valor de P0 se conoce con el nombre de coeficiente de confianza y los valores (𝑍 −△ 𝑍, 𝑍 +△ 𝑍Z) determinan un intervalo de confianza para Z.  Error relativo: ɛZ =△Z/Z, el cociente entre el error absoluto y el mejor valor de la magnitud.  Error relativo porcentual: ɛz%=100-ɛz, es la incertidumbre y el mejor valor de la magnitud.

Cifras significativas Cuando realizamos una medición con una regla graduada en milímetros, está claro que, si somos cuidadosos, podremos asegurar nuestro resultado hasta la cifra de los milímetros o, en el mejor de los casos, con una fracción del milímetro, pero no más. De este modo nuestro resultado podría ser L = (95.2 ± 0.5) mm, o bien L = (95 ± 1) mm. En el primer caso decimos que nuestra medición tiene tres cifras METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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significativas y en el segundo caso sólo dos. El número de cifras significativas es igual al número de dígitos contenidos en el resultado de la medición que están a la izquierda del primer dígito afectado por el error, incluyendo este dígito. El primer dígito, o sea el que está más a la izquierda, es el más significativo (9 en nuestro caso) y el último (más a la derecha) el menos significativo, ya que es en el que tenemos “me- nos seguridad”. Nótese que carece de sentido incluir en nuestro resultado de L más cifras que aquellas en donde tenemos incertidumbres (donde “cae” el error). No es correcto expresar el resultado como L = (95.321 1) mm, ya que si tenemos incertidumbre del orden de 1 mm, mal podemos asegurar el valor de las décimas, centésimas y milésimas del milímetro. Si el valor de L proviene de un promedio y el error es del orden del milímetro, se debe redondear el dígito donde primero cae el error. Es usual expresar las incertidumbres con una sola cifra significativa, y solo en casos excepcionales y cuando existe fundamento para ello, se pueden usar más. También es usual considerar que la incertidumbre en un resultado de medición afecta a la última cifra si es que no se la indica explícitamente. Por ejemplo, si sólo disponemos de la información que una longitud es L = 95 mm, podemos suponer que la incertidumbre es del orden del milímetro y, como dijimos antes, el resultado de L tiene dos cifras significativas. Una posible fuente de ambigüedad se presenta con el número de cifras significativas cuando se hace un cambio de unidades. Si en el último ejemplo deseamos expresar L en m, el resultado sería L = (95000±1000) m. ¿Cuántas cifras significativas tenemos en este re- sultado? Claramente dos, igual que antes, ya que la última cifra significativa sigue siendo 5. Sin embargo, si no indicamos explícitamente la incertidumbre de L, es difícil saber cuántas cifras significativas tenemos. Nótese que 95 mm 95000 m, ya que el primer resultado tiene sólo dos cifras significativas mientras el segundo tiene 5 (a propósito compare los costos de los instrumentos para realizar estas dos clases de determinaciones). Para evitar estas ambigüedades se emplea la notación científica. Podemos escribir la siguiente igualdad: 9.5 x101 mm =9.5 x 104 m. Notemos que los números en ambos miembros de la igualdad tienen igual nú mero de cifras significativas, siendo la única diferencia las unidades usadas.

Histogramas y distribución estadística Consideremos una población de personas de una ciudad y que queremos analizar cómo se distribuyen las estaturas de la población. Para llevar adelante este estudio podemos medir la altura de todos los individuos de la población, o bien tomar una muestra representativa de la misma, a partir de la cual inferiríamos las características de la población. Esta clase de estudio es un típico problema de METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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estadística. Si tomamos una muestra de tamaño N y para la misma medimos las alturas de cada individuo, este experimento dará N resultados: x1, x2, x3,..., xN. Todos estos datos estarán comprendidos en un intervalo de alturas (xmin, xmax) entre la menor y mayor altura medidas. Una manera útil de visualizar las características de este conjunto de datos consiste en dividir el intervalo ( xmin, xmax) en m subintervalos iguales, delimitados por los puntos (y1, y2, y3, ..., ym) que determinan lo que llamaremos el rango de clases. Seguidamente, contamos el número n1 de individuos de la muestra cuyas alturas están en el primer intervalo [y1, y2), el número nj de los individuos de la muestra que están en el j- ésimo intervalo [yj-1, yj), etc., hasta el subintervalo m. Aquí hemos usado la notación usual de usar corchetes, […], para indicar un intervalo cerrado (incluye al extremo) y paréntesis comunes, (…), para denotar un intervalo abierto (excluye el extremo). Con estos valores definimos la función de distribución fj que se define para cada subintervalos j como:

𝒏𝒋

𝒇𝒋 = ∑

𝒋 𝒏𝒋

(1.6)

Esta función de distribución está normalizada, es decir:

∑𝑚 𝑗=1 𝑓𝑗 = 1

(1.7)

El gráfico de fj versus xj [xj = 0.5 ( yj-1 + yj)] nos da una clara idea de cómo se distribuyen las altura de los individuos de la muestra en estudio. Este tipo de gráfico se llama un histograma y la mayoría de las hojas de cálculo de programas comerciales (Excel, QuatroPro, Origin, etc.) tienen herramientas para realizar las operaciones descriptas aquí y el gráfico resultante. En la Fig. 1.3 ilustramos dos histogramas típicos.

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Figura 1.3. Histograma de dos muestras con igual valor medio pero con distintos grados de dispersión. En este ejemplo, los datos tienen una distribución Gaussiana o Normal, descripta por la curva de trazo continúo.

Tres parámetros importantes de una distribución son:

El valor medio da una idea de la localización o valor medio de los valores en la muestra. En general da el centro de masa (centroide) de la distribución. Tanto Var(x) como sx dan una idea de la dispersión de los datos alrededor del promedio. Cuando más concentrada esté la distribución alrededor de menor será sx y viceversa. Una distribución de probabilidad muy común en diversos campos es la distribución gaussiana o normal, que tiene la forma de una campana como se ilustra en trazo continuo en la Fig. 1.3. La expresión matemática de esta distribución es:

La “campana de Gauss” está centrada en m y su ancho está determinado por la desviación estándar s. En particular, los puntos de inflexión de la curva están en xs y x s . El área de esta curva entre estos dos puntos constituye el 68.3% del área total. El área entre x-2.s y x 2.s es del 96% del total. Es útil caracterizar para esta función el ancho a mitad de su altura, que está relacionado con s a través de la expresión: FWHM = 2.35s (FWHM, de “full width half maximum”). Aunque esta distribución ocurre naturalmente en muchos procesos, desde luego no es única y existen muchos tipos de distribuciones de ocurrencia común en la naturaleza. Cuando se desea comparar un histograma no normalizado con una curva normal, es necesario calcular el número total de datos Nt, el valor medio de los mismos, x y la desviación estándar de los datos, x. Supondremos que el rango de clases está

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equiespaciado por una separación △x(= xi-xi-1). Para comparar el histograma con la curva normal debemos multiplicar la distribución (1.11) por el factor Nt. △ x. Los parámetros más usuales con los que puede caracterizarse la localización de una distribución asociada a un conjunto de N datos son: a) la media b) la mediana c) la moda La media o promedio de la distribución se define, según ya vimos, como: 𝑥 = ∑𝑁 𝑋𝐼 /𝑁, y es la media aritmética de los valores observados. La moda corresponde al valor de la variable donde está la máxima frecuencia, osea, que en un histograma la moda corresponde al valor de la variable donde hay un pico o máximo. Si una distribución tiene dos máximos la denominamos distribución bimodal, si tiene tres máximos trimodal y así sucesivamente. La mediana es el valor de la variable que separa los datos entre aquellos que definen el primer 50% de los valores de los de la segunda mitad. O sea que la mitad de los datos de la población o muestra están a derecha de la mediana y la otra mitad están a la izquierda de la misma. Mientras que a la media la calculamos usando una fórmula, a la moda la evaluamos directamente del histograma. Para estimar la mediana tenemos que observar la lista de datos ordenados de menor a mayor, y ubicar el valor central de la lista. Si el número de datos es impar, la mediana corresponde precisamente al valor central. Si el número N de datos es par, la mediana se estima como ½ (XN/2 + XN/2+1). En una distribución dada, una línea vertical trazada desde la mediana divide a la distribución en dos partes de área equivalentes. Es fácil darse cuenta que media, moda y mediana no tienen, en general, porqué coincidir. Estos tres parámetros sí son iguales en el caso de distribuciones simétricas respecto del valor medio y unimodales. Este es el caso de una distribución gaussiana o normal. En el caso de una distribución asimétrica, las diferencias entre moda, media y mediana pueden ser sustanciales. Es importante saber cuál parámetro de localización es más apropiado de usar o más representativo en una dada situación. Consideremos, para fijar ideas, la distribución del ingreso familiar en un país dado. La presencia de millonarios, aunque sean relativamente pocos, tiene un efecto sobre la media que contrarresta a muchos miembros de la población en el extremo inferior de la escala de salarios. De esta manera, la moda y la media difieren sustancialmente. En este caso tal vez la moda es un parámetro más representativo que la media. A menudo los datos estadísticos pueden ser interpretados de diversas maneras. El siguiente ejemplo ilustra las METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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distintas interpretaciones que pueden extraerse de un conjunto de datos estadísticos. Error de una magnitud que se mide una única vez En este caso el mejor valor será simplemente el valor medido y el error vendrá dado por el error nominal (nom) del instrumento. Según se deduce de (1.2), Z=nom. Error de una magnitud que se mide directamente N veces Un modo de minimizar la incidencia de los errores estadísticos, es realizar varias mediciones del mesurando. Dado el carácter al azar del este tipo de errores es claro que, al promediar los resultados, el promedio estará menos afectado de las desviaciones estadísticas que los valores individuales. El procedimiento que se describe a continuación es un método para determinar el número óptimo de mediciones a realizar en cada caso y el modo de determinar las incertidumbres asociadas al promedio. Esta teoría no es aplicable para reducir los errores de carácter sistemático o espurio. Supongamos que se han hecho N mediciones de una misma magnitud con resultados x1, x2 ,..., x j ,...xN . Estas N determinaciones pueden ser consideradas una muestra de todas las posibles mediciones que se podrían realizar (población). Bajo condiciones muy generales puede demostrarse que el mejor estimador de la magnitud x viene dado por el promedio, de los valores:

Este resultado es llamado también el mejor valor o estimador de x o valor más probable del mesurando. Llamaremos a

La desviación de cada medición respecto de x. También definimos la desviación estándar o error cuadrático medio de cada medición, Sx . Esta cantidad es equivalente al concepto de desviación estándar de la población, más específicamente Sx es un estimador de la misma. Sx da una idea global acerca de la dispersión de los x j alrededor del promedio x. Si la distribución es ancha Sx será grande y si es afilado su valor será pequeño (ver figura 1.3. Este estimador maestral (Sx) de la desviación estándar poblacional viene dado por:

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Sx tiene las mismas dimensiones físicas que 𝑋, pudiéndose comparar directamente con ésta. La calidad del proceso de medición será mayor cuanto menor sea el cociente Sx/ 𝑋, que en general es una constante del proceso de medición y no disminuye al aumentar N. Como acabamos de discutir, Sx representa el error “promedio” de cada medición. Otra manera de explicar el significado de Sx es pensar que, cuando realizamos una serie de mediciones, los resultados obtenidos presentarán una distribución estadística, cuya desviación estándar viene dada por Sx. Si suponemos ahora que realizamos varias series de mediciones de x, y para cada una de estas series calculamos el valor medio 𝑋, es de esperar que estos valores tendrán una distribución (puesto que variarán entre sí) pero con una menor dispersión que las mediciones individuales. Se puede probar que a medida que el número N de mediciones aumenta, la distribución de x será normal con una desviación estándar dada por:

x se llama el error estándar del promedio y es el estimador del error asociado a 𝑋. Recordemos que Sx es la dispersión de cada medición y que no depende de N sino de la calidad de las mediciones, mientras que x sí depende de N y es menor cuanto más grande es N. Si, por ejemplo, estamos midiendo una longitud con una regla graduada en milímetros, resulta claro que si aumentamos el número de mediciones podremos disminuir el error estadístico, pero nunca con este instrumento podremos dar con certeza cifras del orden de los micrones, por más que realicemos muchas mediciones. Al aumentar N, x ciertamente disminuye, pero, desde un punto de vista físico, el error en x solo puede disminuir hasta hacerse igual o del orden de nom. La Ec. (1.2) indica que no es razonable esforzarse en disminuir x mucho METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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más que nom. El balance óptimo se logra cuando x » nom. Esto nos da un criterio para decidir cuál es el número óptimo de mediciones a realizar de un mesurando. Como suponemos que Sx es constante con N, la idea es hacer un número pequeño de mediciones Nprel, digamos unas 5 a 10, luego calcular Sx, de donde se obtiene:

Que resulta de imponer la condición: est » nom. Si Nop > Nprel, se completan las mediciones para lograr Nop valores. Si Nop < Nprel, no se realizan más mediciones que las preliminares y se usan todas ellas. En todos los casos, según la Ec. (1.2), el error combinado o efectivo vendrá dado por:

Para la mayoría de los casos de interés práctico, si medimos 100 veces una magnitud x, aproximadamente 68 de ellas caerán en el intervalo (𝑋 − 𝑋, 𝑋 + 𝑋), 96 de ellas en el intervalo (𝑋 − 2𝑋, 𝑋 + 2𝑋), y 99 de ellas en el intervalo (𝑋 − 3𝑋, 𝑋 + 3𝑋). Estos resultados valen estrictamente para el caso en que los errores se distribuyan "normalmente", es decir, si el histograma formado con los resultados de las mediciones adopta la forma de una campana de Gauss Resumiendo, los pasos a seguir para medir una magnitud física X son:

1. Se realizan unas 5 a 10 mediciones preliminares y se determina el error promedio de cada medición Sx. 2. Se determina Nop. 3. Se completan las Nop mediciones de X. 4. Se calcula el promedio 𝑋 y su incertidumbre estadística X. 2  2 5. Se calcula el valor del error efectivo 𝑋 = √ + 𝑛𝑜𝑚 , ecuación (1.2). 𝑋

6. Se escribe el resultado de la forma x=.𝑋 ± x 7. Se calcula el error relativo porcentual ɛx=100*  X / 𝑋 8. Si se desea verificar que la distribución de valores es normal, se compara el histograma de distribución de datos con la curva normal correspondiente, es decir con una distribución normal de media 𝑋 y desviación estándar Sx. METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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9. Se analizan posibles fuentes de errores sistemáticos y se corrige el valor medido. 10. Se evalúa la incertidumbre absoluta de la medición combinando las incertidumbres estadísticas y sistemáticas (Ec. 1.2).

Combinación de N mediciones independientes Una situación frecuente en ciencia es la determinación del mejor valor de una dada magnitud usando N valores que resultan de mediciones independientes (obtenidos por diferentes autores, con diferentes técnicas e instrumentos). Cada una de estas mediciones independientes puede tener asociada distintos errores. Es decir, tenemos un conjunto de N mediciones, cada una caracterizada por un par (xk, k), con k = 1, 2,..., N. Nuestro objetivo es obtener el mejor valor para la magnitud en discusión. Es claro que al combinar los distintos resultados para obtener el mejor valor, , es preciso tener en cuenta los errores de cada determinación, de tal modo que aquellos valores que tengan menos error “pesen” más en el resultado final. Es posible demostrar en este caso que el mejor valor viene dado por:

Con un error dado por 

Un caso especial de interés, es cuando tenemos N determinaciones del mesurando todos con el mismo error . Como puede deducirse fácilmente de la Ec. (1.17) el promedio será:

Que, como es de esperar, coincide con la expresión (1.12). La incertidumbre asociada a este valor será, según la Ec. (1.18):

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Que coincide con la expresión (1.14). Además queda ilustrado el significado de s como el error asociado a cada medición individual y  como la incertidumbre asociada al mejor valor. Discrepancia Si una magnitud física se mide con dos (o más) métodos o por distintos observadores, es posible (y muy probable) que los resultados no coincidan. En este caso decimos que existe una discrepancia en los resultados. Sin embargo, lo importante es saber si la discrepancia es significativa o no. Un criterio que se aplica en el caso especial pero frecuente, en el que las mediciones se puedan suponer que siguen una distribución normal, es el siguiente. Si los resultados de las dos observaciones que se comparan son independientes (caso usual) y dieron como resultados:

Decimos que con un límite de confianza del 68% las mediciones son distintas si:

Y que con un límite de confianza del 96% las mediciones son distintas si:

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Estos criterios pueden generalizarse para intervalos de confianza mayores en forma similar. También se aplican cuando se comparan valores obtenidos en el laboratorio con valores tabulados o publicados. Nótese la diferencia entre discrepancia y error, que en algunos textos poco cuidadosos se confunde. El error está relacionado con la incertidumbre en la de- terminación del valor de una magnitud. La discrepancia está asociada a la falta de coincidencia o superposición de dos intervalos de dos resultados

Propagación de incertidumbres Hay magnitudes que no se miden directamente, sino que se derivan de otras que sí son medidas en forma directa. Por ejemplo, para conocer el área de un rectángulo se miden las longitudes de sus lados, o para determinar el volumen de una esfera se tiene que medir el diámetro. La pregunta que queremos responder aquí es cómo los errores en las magnitudes que se miden directamente se propagarán para obtener el error en la magnitud derivada. Sólo daremos los resultados, para mayor detalle se recomienda consultar la bibliografía citada. Supongamos, para fijar ideas, que la magnitud V, es una función de los parámetros, x, y, z, etc., o sea:

Y que x, y, z, etc., sí se midieron directamente y que conocemos sus errores, a los que designamos en el modo usual como x, y, z, etc. Entonces se puede demostrar que el error en V vendrá dado por:

En rigor las derivadas involucradas en esta ecuación son derivadas parciales respecto de las variables independientes x, y, z, etc. En el caso especial que la función V(x, y, z,..) sea factorizadle como potencias de x, y, z, etc., la expresión anterior puede ponerse en un modo muy simple. Supongamos que la función en cuestión sea:

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Entonces:

Para cálculos preliminares, esta expresión puede aproximarse por:

Esta última expresión para la propagación de los errores se conoce con el nombre de aproximación de primer orden, mientras que la expresión (1.22) se la denomina usualmente aproximación de segundo orden. Otro caso particular de interés es Z = x ± y. Usando la Ec. (I.10) obtenemos:

Truncación de números: Se desea determinar la densidad de un cuerpo y para ello se procedió a medir su volumen, que dio como resultado V = 3.5 ± 0.2 cm3 (ɛV% = 6%) y su masa m = 22.7±0.1 g. (m%=0.4%). Para calcular la densidad, , debemos realizar el cociente de r = m / V. Si realizamos este cociente con la calculadora obtenemos: = 22.7/3.5=6.485714286 g/cm3. Claramente, la mayoría de estas cifras no son significativas y debemos truncar el resultado. Para saber dónde hacerlo, debemos propagar los errores del numerador y denominador, y ver a qué cifra afecta el error de r. Usando (1.22) obtenemos para /  0.06 y por tanto   0.4 g/cm3, con lo que en el valor de r sólo una cifra decimal es significativa. Sin embargo, al truncar el número 6.4857, debemos tener en cuenta que el número más cercano a él y con una sola cifra decimal es 6.5 y no 6.4 que resultaría de una truncación automática. Final- mente, el valor que obtenemos para r es:  = 6.5 ± 0.4 g/cm3

y

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ɛ%=6%.

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Es importante tener en cuenta este criterio de truncación toda vez que realizamos una operación usando una calculadora o computadora. Midiendo π: Sabemos que el perímetro (p) de un círculo está relacionado con su diámetro (d) por la expresión p= πd, por lo tanto midiendo el diámetro y perímetro, es posible “medir π”. Diseñe un experimento que le permita realizar esta medición. Obtenga con este método. Dé su incertidumbre. Compare los valores tabulados de esta constante. Consulte en la bibliografía otros métodos de obtener π experimentalmente.

ELECCIÓN DE LOS INSTRUMENTOS Un aspecto importante a tener en cuenta antes de proceder a realizar una medición, es la elección de los instrumentos más apropiados para medir con la tolerancia o error requerido. Ignorar este paso puede acarrear importantes pérdidas de tiempo y dinero. Si se excede la tolerancia requerida, seguramente se dilapidó esfuerzo y recursos innecesariamente; por el contrario, si se realizó la medición con más error del requerido, la medición podría ser inútil para los fines perseguidos. Supongamos que nuestro problema es determinar el volumen de un alambre (cuyo diámetro es d  3 mm) y su longitud (L  50 cm) con un error del 1% ¿Qué instrumentos debemos usar para lograr nuestro objetivo con el menor costo? Lo que debemos lograr es V/V  0.01. Como V=π.d2.L/4, tenemos que:

La primera expresión es una aplicación de (1.23), esta aproximación de primer orden es útil y suficiente para este análisis preliminar. La asignación de la segunda línea es en cierto modo arbitraria, pero hemos respetado que el error total no supere el 1% requerido. A π, que es un número irracional, le asignamos un error relativo pequeño, para que nos permita saber cuántas cifras debemos usar en π de modo que el error de la truncación de π no afecte nuestra medición. No medimos π! Nótese que el error en el diámetro tiene mayor incidencia (su error relativo está multiplicado por 2) que la longitud L, y se debe a que el volumen es proporcional a d2 y proporcional a L. Un pequeño error en d tiene mayor incidencia en el error del volumen que lo que tiene el mismo error relativo en L. Por esta razón hemos asignado mayor tolerancia (error relativo) a d que a L. Con esta asignación preliminar podemos decidir cuáles instrumentos son más adecuados para realizar el experimento (los más adecuados son los que hacen la medición más fácil, en menor tiempo, con el menor costo y que cumplan los requisitos exigidos). Como METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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Debemos usar un tornillo micrométrico para medir d. Similarmente, para L tenemos:

Por lo tanto podemos usar una regla común graduada en milímetros para medir L. Para tenemos:

Que indica que debemos usar π con 3 cifras decimales para que el error en su truncamiento tenga una incidencia despreciable. Nótese que hasta ahora todo es preliminar y solo hemos elegido los instrumentos a medir. Luego de la elección llevamos adelante la medición usando estos instrumentos y procedemos para la medición de d y L. Nótese también que para elegir los instrumentos a usar debemos conocer el valor aproximado de los valores a medir, lo que parecería una paradoja. No obstante, para este análisis preliminar sólo es necesario tener una idea de los órdenes de magnitud y no un valor muy exacto. Este orden de magnitud se puede obtener por una inspección visual o una medición rápida. Finalmente, una vez que realicemos las mediciones de d y L debemos usar la expresión (1.22) para calcular los errores V y ɛV.

ERRORES EN METROLOGÍA DIMENSIONAL Toda acción que realice el hombre está expuesta a error, especialmente cuando se trata de realizar mediciones, ya que están presentes muchos factores que nos pueden inducir a errores. En metrología es imposible hacer una medición exacta, por lo tanto uno siempre se enfrentará a errores, los que pueden ser despreciables o significativos dependiendo de la medición. Tú deberás:

• Identificar los distintos errores en las mediciones.

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Errores en la medición Al hacer mediciones, las lecturas que se obtienen nunca son exactamente iguales, aun cuando las efectúe la misma persona, sobre la misma pieza, con el mismo instrumento, el mismo método y en el mismo ambiente (repetibilidad); si las mediciones las hacen diferentes personas con distintos instrumentos o métodos o en ambientes diferentes, entonces las variaciones en las lecturas son mayores (reproducibilidad). Esta variación puede ser relativamente grande o pequeña, pero siempre existirá. En sentido estricto, es imposible hacer una medición totalmente exacta, por lo tanto, siempre se enfrentarán errores al hacer las mediciones. Los errores pueden ser despreciables o significativos, dependiendo, entre otras circunstancias de la aplicación que se le dé a la medición. Los errores surgen debido a la imperfección de los sentidos, de los medios, de la observación, de las teorías que se aplican, de los aparatos de medición, de las condiciones ambientales y de otras causas.

MEDIDA DEL ERROR En una serie de lecturas sobre una misma dimensión constante, la inexactitud o incertidumbre es la diferencia entre los valores máximo y mínimo obtenidos. Incertidumbre = valor máximo - valor mínimo El error absoluto es la diferencia entre el valor leído y el valor convencionalmente verdadero correspondiente. Error absoluto = valor leído - valor convencionalmente verdadero Sea, por ejemplo, un remache cuya longitud es 5.4 mm y se mide cinco veces sucesivas, obteniéndose las siguientes lecturas: 5.5; 5.6; 5.5; 5.6; 5.3 mm La incertidumbre será: Dado el nivel del presente texto, la definición de incertidumbre se da de una manera muy simple, para un tratamiento formal se recomienda consultar la siguiente referencia. Guide to the expression of uncertainty in measurement (1993) preparada conjuntamente por expertos del BIPM (Bureau International des Poids et Measure), el (International Electrotechnical Commision), la ISO (International Organization forStandardization) y OIML (International Organization of Legal Metrology). Incertidumbre = 5.6 - 5.3 = 0.3 mm Los errores absolutos de cada lectura serían: METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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5.5 - 5.4 = 0.1 mm; 5.6 - 5.4 = 0.2 mm; 5.5 - 0.1 mm 5.6 - 5.4 = 0.2 mm; 5.3 - 5.4 = - 0.1 mm El signo nos indica si la lectura es mayor (signo +) o menor (signo -) que el valor convencionalmente verdadero.  El error absoluto tiene las mismas unidades de la lectura.  El error relativo es el error absoluto entre el valor convencionalmente verdadero. 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =

error absoluto valor convencinalmente verdadero

Y como el error absoluto es igual a la lectura menos el valor convencionalmente verdadero, entonces: error relativo =

valor leido − valor convencionalmente verdadero valor convencinalmente

Con frecuencia, el error relativo se expresa en porcentaje multiplicándolo por cien. En el ejemplo anterior los errores relativos serán: 0.1/5.4 = 0.0185 = 1.85% 0.2/5.4 = 0.037 = 3.7% 0.1/5.4 = 0.0185 = 1.85% 0.2/5.4 = 0.037 = 3.7% - 0.1/5.4 = - 0.0185 = -1.85% El error relativo proporciona mejor información para cuantificar el error, ya que un error de un milímetro en la longitud de un rollo de lámina y en el diámetro de un tornillo tienen diferente significado. Clasificación de errores en cuanto a su origen Atendiendo al origen donde se produce el error, puede hacerse una clasificación general de éstos en: errores causados por el instrumento de medición, causados por el operador o el método de medición (errores humanos) y causados por el medio ambiente en que se hace la medición. Errores por el instrumento o equipo de medición Las causas de errores atribuibles al instrumento, pueden deberse a defectos de fabricación (dado que es imposible construir aparatos perfectos). Éstos pueden ser deformaciones, falta de linealidad, imperfecciones mecánicas, falta de paralelismo, etc.

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El error instrumental tiene valores máximos permisibles, establecidos en normas o información técnica de fabricantes de instrumentos, y puede determinarse mediante calibración. Ésta es la comparación de las lecturas proporcionadas por un instrumento o equipo de medición contra un patrón de mayor exactitud conocida. (Véase la figura 3.1.) Debe contarse con un sistema de control que establezca, entre otros aspectos, periodos de calibración, criterios de aceptación y responsabilidades para la calibración de cualquier instrumento y equipo de medición. Errores del operador o por el método de medición Muchas de las causas del error aleatorio se deben al operador, por ejemplo: falta de agudeza visual, descuido, cansancio, alteraciones emocionales, etcétera. Para reducir este tipo de errores es necesario adiestrar al operador: Otro tipo de errores son debidos al método o procedimiento con que se efectúa la medición, el principal es la falta de un método definido y documentado. Los errores mencionados en los siguientes párrafos debe conocerlos y evitarlos o controlarlos el operador. Error por el uso de instrumentos no calibrados Instrumentos no calibrados o cuya fecha de calibración está vencida, así como instrumentos sospechosos de presentar alguna anormalidad en su funcionamiento no deben utilizarse para realizar mediciones hasta que no sean calibrados y autorizados para su uso. Para efectuar mediciones de gran exactitud es necesario corregir las lecturas obtenidas con un instrumento o equipo de medición, en función del error instrumental determinado mediante calibración.

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Error por la fuerza ejercida al efectuar mediciones La fuerza ejercida al efectuar mediciones puede provocar deformaciones en la pieza por medir, el instrumento o ambos, por lo tanto es un factor importante que debe considerarse para elegir adecuadamente el instrumento de medición para cualquier aplicación particular. Por ejemplo, en vez de utilizar un micrómetro con trinquete o tambor de fricción puede requerirse uno de baja fuerza de medición (véase la figura 3.2).

Error por instrumento inadecuado Antes de realizar cualquier medición es necesario determinar cuál es el instrumento o equipo de medición más adecuado para la aplicación de que se trate. Además de la fuerza de medición, deben tenerse presente otros factores tales como:  Cantidad de piezas por medir  Tipo de medición (externa, interna, altura, profundidad, etc.)  Tamaño de la pieza y exactitud deseada. Existe una gran variedad de instrumentos y equipos de medición, como se muestra esquemáticamente en la figura 3.3 abarcando desde un simple calibrador vernier hasta la avanzada tecnología de las máquinas de medición por coordenadas de control numérico, comparadores ópticos, micrómetros láser y rugosímetros, entre otros.

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Cuando se miden las dimensiones de una pieza de trabajo la exactitud de la medida depende del instrumento de medición elegido. Por ejemplo, si se ha de medir el diámetro exterior de un producto de hierro fundido, un calibrador vernier sería suficiente; sin embargo, si se va a medir un perno patrón, aunque tenga el mismo diámetro del ejemplo anterior, ni siquiera un micrómetro de exteriores tendría la exactitud suficiente para este tipo de aplicaciones, por tanto, debe usarse un equipo de mayor exactitud. Se recomienda que la razón de tolerancia de una pieza de trabajo a la resolución, legibilidad o valor de mínima división de un instrumento sea de 10 a 1 para un caso ideal y de 5 a 1 en el peor de los casos. Si no es así la tolerancia se combina con el error de medición y por lo tanto un elemento bueno puede diagnosticarse como defectuoso y viceversa. Cuando la razón antes mencionada no es satisfactoria, se requiere repetir las mediciones para asegurar la confiabilidad de las mediciones. La figura 3.4 muestra en forma esquemática la exactitud que puede obtenerse con diversos instrumentos de medición en función de la dimensión medida.

Figura 3.4 Error por puntos de apoyo Especialmente en los instrumentos de gran longitud, la manera como se apoya el instrumento provoca errores de lectura. En estos casos deben utilizarse puntos de apoyo especiales, como los puntos Airy o los puntos Bessel (véase la figura 3.5)

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Figura 3.5 Para ciertas piezas resulta muchas veces conveniente indicar la localización de puntos o líneas, así como el tamaño de áreas sobre los que se deben apoyar, tal como lo ilustra la figura 3.6.

Figura 3.6

ERRORES POR MÉTODO DE SUJECIÓN DEL INSTRUMENTO El método de sujeción del instrumento puede causar errores como los que muestra la figura 3.7. En ésta, un indicador de carátula está sujeto a una distancia muy grande del soporte y el hacer la medición la fuerza ejercida provoca una desviación del brazo. La mayor parte del error se debe a la deflexión del brazo, no del soporte; para minimizarlo se debe colocar siempre el eje de medición lo más cerca posible al eje del soporte.

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Error por distorsión Gran parte de la inexactitud que causa la distorsión de un instrumento puede evitarse manteniendo en mente la ley de Abbe: la máxima exactitud de medición es obtenida si el eje de medición es el mismo del eje del instrumento.

Fig. 3.7

La figura 3.8 muestra un micrómetro tipo calibrador. Puede verse que los errores los provoca la distorsión debido a la fuerza de medición aplicada y el hecho de que tal vez los topes no se muevan paralelos uno respecto del otro.

Fig. 3.8 La figura 3.9 ilustra cómo algunos instrumentos, como el micrómetro normal, inherentemente satisfacen la ley de Abbe, mientras que otros, como el calibrador, no.

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Fig. 3.9 Error de paralaje Este error ocurre debido a la posición incorrecta del operador con respecto a la escala graduada del instrumento de medición, la cual está en un plano diferente (véase fig. 3.10)

Fig. 3.10 El error de paralaje es más común de lo que se cree. En una muestra de 50 personas que usan calibradores con vernier la dispersión fue de 0.04 mm. Este defecto se corrige mirando perpendicularmente el plano de medición a partir del punto de lectura. Error de posición Este error lo provoca la colocación incorrecta de las caras de medición de los instrumentos, con respecto de las piezas por medir, como se muestra en la figura 3.11

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Fig. 3.11 Error por desgaste Los instrumentos de medición, como cualquier otro objeto, son susceptibles de desgaste, natural o provocado por el mal uso. En el caso concreto de los instrumentos de medición, el desgaste puede provocar una serie de errores durante su utilización, por ejemplo: deformaciones de sus partes, juego entre sus ensambles, falta de paralelismo o planitud entre las caras de medición, etcétera. Estos errores pueden originar, a su vez, decisiones equivocadas; por tanto, es necesario someter a cualquier instrumento de medición a una inspección de sus características. Estas inspecciones deberán repetirse periódicamente durante la vida útil del instrumento. Error de Abbe El principio de Abbe establece que la exactitud máxima es obtenida cuando los ejes de la escala y de medición son comunes. Esto es debido a que cualquier variación en el ángulo relativo (q) de la punta de medición de un instrumento, tal como la de un micrómetro tipo calibrador causa desplazamiento que no es medido sobre la escala del instrumento y esto es un error de Abbe (e=I-L en el diagrama). El error de rectitud del husillo o variación de la fuerza de medición pueden causar que q varié y el error se incrementa conforme lo hace R.

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ESTUDIOS DE R & R. Repetitividad de medida. Precisión de medida bajo un conjunto de condiciones de repetitividad. Condición de repetitividad de una medición (condición de repetitividad). Condición de medición, dentro de un conjunto de condiciones que incluye el mismo procedimiento de medida, los mismos operadores, el mismo sistema de medida, las mismas condiciones de operación y el mismo lugar, así como mediciones repetidas del mismo objeto o de un objeto similar en un periodo corto de tiempo. Reproducibilidad de medida (reproducibilidad). Precisión de medida bajo un conjunto de condiciones de reproducibilidad. Condición de reproducibilidad de una medición (condición de reproducibilidad). Condición de medición, dentro de un conjunto de condiciones que incluye diferentes lugares, operadores, sistemas de medida y mediciones repetidas de los mismos objetos u objetos similares. Para un correcto estudio de R&R es aconsejable revisar la norma mexicana NMXCH-5725/2-IMNC-2006 exactitud (veracidad y precisión) de resultados y métodos de medición, parte 2: método básico para la determinación de la repetitividad y la reproducibilidad de un método de medición normalizado; o bien su equivalente ISO5725-2 ó UNE 82009-2. Trazabilidad metrológica. Propiedad de un resultado de medida por la cual el resultado puede relacionarse con una referencia mediante una cadena ininterrumpida y documentada de calibraciones, cada una de las cuales contribuye a la incertidumbre de medida. La trazabilidad actualmente, puede demostrarse a través de certificados de calibración, emitidos por laboratorios acreditados en otro país por la entidad acreditadora de ese país que este incluida en los acuerdos de reconocimiento mutuo (MRA) de organizaciones internacionales o regionales tales como ILAC (Internacional Laboratory Accreditation Cooperation). Especialmente útil cuando se adquiere equipo nuevo de otro país.

ERROR POR CONDICIONES AMBIENTALES Entre las causas de errores se encuentran las condiciones ambientales en que se hace la medición; entre las principales destacan la temperatura, la humedad, el polvo y las vibraciones o interferencias (ruido) electromagnéticas extrañas. Humedad Debido a los óxidos que se pueden formar por humedad excesiva en las caras de medición del instrumento o en otras partes o a las expansiones por absorción de

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humedad en algunos materiales, etcétera, se establece como norma una humedad relativa de 55% +/-10%. Polvo Los errores debidos a polvo o mugre se observan con mayor frecuencia de lo esperado, algunas veces alcanzan el orden de 3 micrómetros. Para obtener medidas exactas se recomienda usar filtros para el aire que limiten la cantidad y el tamaño de las partículas de polvo ambiental. Temperatura En mayor o menor grado, todos los materiales que componen tanto las piezas por medir como los instrumentos de medición, están sujetos a variaciones longitudinales debido a cambios de temperatura. En algunos casos ocurren errores significativos; por ejemplo, en un experimento se sostuvo con las manos, a una temperatura de 31°C, una barra patrón de 200 mm durante 10 segundos y ésta se expandió 1m m. También por esta razón los arcos de los micrómetros se cubren con placas de aislante térmico en los costados. Para minimizar estos errores se estableció internacional mente, desde 1932, como norma una temperatura de 20°C para efectuar las mediciones. También es buena práctica dejar que durante un tiempo se estabilice la temperatura tanto de la pieza por medir como del instrumento de medición. El lapso depende de la diferencia de temperatura del lugar en que estaba la pieza y la sala de medición, así como del material y tamaño de la pieza. En general, al aumentar la temperatura crecen las dimensiones de las piezas y cuando disminuye la temperatura las dimensiones de las piezas se reducen. Estas variaciones pueden determinarse utilizando la siguiente expresión.

La tabla muestra, expresados en / °C, los coeficientes de expansión térmica de varios materiales.

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Como ejemplo, considérese una pieza de acero que mide 100.000 mm de diámetro cuando está a 10°C y se desea saber cuánto medirá a la temperatura de referencia de 20°C. Para determinarlo basta utilizar la expresión dada.

Por lo que el diámetro de la pieza a 20°C será de 100.0115 mm. Obsérvese que la variación resultó algo mayor que 0.01 mm, lo que puede detectarse fácilmente con un micrómetro. En la Práctica es muy difícil mantener constante la temperatura de la pieza por medir, la del instrumento de medición y, en caso necesario, la del instrumento de medición y, en caso necesario, la del patrón a 20°C, por lo que aun cuando se cuenta con un cuarto con temperatura controlada que se mantiene estable a 20°C, existirán variaciones que pueden ser hasta de 1°C por cada metro en el sentido vertical. Cuando en las mediciones se desea lograr exactitud en el orden de los micrómetros, será necesario realizarlas a 20°C o hacer las correcciones pertinentes mediante la expresión dada antes. Medición y Registro Por lo general, cuando se efectúa la medición los valores medidos se registran. Para mediciones críticas es mejor que dos personas trabajen juntas, ya que una se dedica a medir y otra se especializa en registrar la medición. En este caso las notas se deben tornar corno se indica en los siguientes párrafos.

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Para el operador las indicaciones son las siguientes: a) Con pronunciación clara y correcta, dicte al personal de registro los valores medidos. b) Inmediatamente después de tornar el dato, asegúrese otra vez del valor medido para evitar una lectura errada. c) Asegúrese de que el personal de registro repita verbalmente el valor correcto en el momento de la lectura de datos. d) Efectúe las mediciones en las mismas condiciones cada vez. Si una perilla ha de girarse en el sentido de las manecillas del reloj, entonces debe girarse cada vez a una velocidad constante. Lo mismo puede decirse cuando un botón o algo semejante debe moverse de arriba abajo o viceversa. El operador siempre debe pararse en el mismo lugar, de otra manera las condiciones producidas por la radiación del calor del cuerpo en los instrumentos de medición y las piezas de trabajo, y por la alteración del alineamiento del piso debido al movimiento del cuerpo, pueden afectar de alguna manera la exactitud de la medición. Para el personal de registro las indicaciones son las siguientes: a) Asegúrese de registrar la fecha, los nombres del operador del registrador y del instrumento de medición, el tiempo de iniciación/ finalización, las temperaturas antes y después de la medición, el lugar donde se efectuó ésta y el estado del tiempo. b) Repita verbalmente el valor dictado por el operador, y asegúrese que el valor registrado sea el mismo que el que repitió. c) Registre los valores correctamente y no borre los datos una vez que los haya escrito. Si más tarde corrige datos, trace una línea y anote la palabra” corrección”. d) Si se ha de dibujar una gráfica, anote primero las lecturas y luego coloque los valores en las gráficas. d) Cuando se vaya a efectuar una medición de especial exactitud, torne dos detalles de las anormalidades que ocurren durante la medición. En un caso particular debe a un registrarse la condición emocional del operador.

Medición y Error. Definiciones: Instrumento: Dispositivo para determinar el valor o magnitud de una cantidad o variable. Exactitud: Aproximación con la cual la lectura de un instrumento se acerca al valor real de la variable medida. Precisión: Medida de la reproducibilidad de las mediciones. Es una medida del grado con el cual mediciones sucesivas difieren unas de otras. Para tener una METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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correcta evaluación de la precisión de un instrumento debe considerarse tanto la conformidad como las cifras significativas. Por ejemplo el valor real de una resistencia es 1.384.572Ω, y se mide con un multímetro el cual indica repetidamente 1.4MΩ. Aquí se tiene conformidad pero existe un error creado por las limitaciones de la escala. El aumento de las cifras significativas incrementa la precisión de la medición. La conformidad es condición necesaria pero no suficiente en cuanto a precisión. De modo semejante, la precisión es condición necesaria pero no suficiente para la exactitud. Cifras significativas: El número de cifras significativas, como hemos visto, es importante a la hora de cuantificar magnitud y precisión de las mediciones de una cantidad. Es importante remarcar que, cuando se manejan valores medidos con distintas cifras significativas, suele cometerse el error de escribir el resultado del error absoluto con cifras que carecen de sentido.

TIPOS DE ERRORES Graves o gruesos: Son en gran parte de origen humano, como la mala lectura de los instrumentos, ajuste incorrecto y aplicación inapropiada, así como equivocaciones en los cálculos. Un error grave típico es el error por efecto de carga o error de inserción. Sistemáticos: Se deben a fallas de los instrumentos, como partes defectuosas o desgastadas, y efectos ambientales sobre el equipo. Un ejemplo típico como veremos más adelante en el galvanómetro de D’arsonval, se deriva de la fricción de los cojinetes de las partes móviles, deterioro del resorte antagónico, etc. Estos errores pueden evitarse mediante una buena elección del instrumento, aplicación de factores de corrección, o recalibrando los mismos contra un patrón.

ALEATORIOS O FORTUITOS: Se deben a causas desconocidas y ocurren incluso cuando todos los errores sistemáticos han sido considerados. Para compensar estos errores debe incrementarse el número de lecturas y usar medios estadísticos para lograr una mejor aproximación del valor real de la cantidad medida. Cabe aclarar que algunos autores simplemente separan los errores en sistemáticos, y fortuitos (o residuales), y en los primeros incluyen los graves o humanos, los instrumentales, ambientales, etc. METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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Expresando el resultado de una medición: Error absoluto: Es directamente la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero,

E x = X m − Xv

(1-1)

Ahora el valor verdadero, ¿existe? Lo que podemos asegurar es que cuanto más cercano al valor verdadero se quiera llegar, será más el esfuerzo, y por ende, el costo del instrumento utilizado. No existe una regla única e invariante para determinar este error. Ver puntos siguientes (1.4, y 1.5). Error relativo: Cuando se requiere comparar dos errores de dos magnitudes medidas muy diferentes, el error absoluto no es suficiente. Por lo tanto, se define, 𝑒𝑥 =

Xm−Xv Xv

𝐸𝑥

= 𝑋𝑣 (1-2)

El cual en general se expresa en porcentaje. Debido a la imposibilidad de conocer el valor verdadero, suele a veces utilizarse en su lugar, el valor verdadero convencional (Xvc) el cual puede determinarse con otro instrumento mucho más exacto respecto al utilizado en la medición. En la práctica generalmente con los datos del fabricante, uno puede determinar en error absoluto, entonces para hallar el error relativo, se suele utilizar en el denominador directamente el valor medido (Xm). Error límite: Si podemos concluir que Ex es el error absoluto límite (máximo medible), entonces podemos expresar la medición como, X=Xm ± Ev

(1-3)

En la mayoría de los instrumentos de indicación, la exactitud está garantizada por un cierto porcentaje de la lectura en plena escala, también conocido como error límite o de garantía. Este error, para el caso de instrumentos analógicos, está relacionado a la clase del instrumento. De esta manera, el fabricante promete que el error no será mayor que el error límite, pero cabe aclarar que, para lecturas lejos del fondo de escala, el error relativo aumenta. Error en un instrumento analógico: Para expresar el error límite absoluto y también el relativo de un instrumento analógico, es necesario conocer ciertas definiciones según la norma IEC 60051-1: Error intrínseco (Ex): Error propio del aparato que comete cuando se encuentra en condiciones normales de uso. METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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Valor fiduciario (Xf): Es un valor convencional al cual se refieren los errores de un instrumento con el fin de especificar su exactitud. Esta puede ser:  El límite superior del campo de medida en: aparatos con ‘0’ en un extremo no fuera de escala (excepto óhmetros).  La suma absoluta de los valores extremos de la escala, en aparatos con ‘0’  dentro de la escala.  90° eléctricos para cosfímetros, y fasímetros.  La longitud total de la escala para aparatos con escala no lineal contraída (por Ej. óhmetros). El análisis del error relativo en un óhmetro serie, será tratado más adelante. Clase (c): Se define como clase de exactitud a:

𝐸𝑥

𝐶 = 𝑋𝑓 ∗ 100

(1-4)

Las clases típicas son:  Para instrumentos de tablero: 1; 1.5  Para multímetros: 2; 2.5; 5

Lectura en un instrumento analógico: En general se observa la deflexión de una aguja dentro de una escala graduada, obteniéndose, 𝐾𝑥: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎

[𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑋]

(1-5)

[𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛]

ẟ𝑚: 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠: [𝑑𝑖𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛] Luego el valor medido será:

Y finalmente el resultado de la medición será como la expresión (1-3) donde Ex se obtiene con la clase del instrumento utilizado. Xm= Kx x ẟm

(1-5)

Error en un instrumento digital: Para determinar el error límite o de garantía de un instrumento digital, existen varias expresiones, pero la más difundida por la mayoría de los fabricantes es la que sigue la norma IEC 485: Ex =±( p% * Xm + m * dígitos) METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

(1-6) 37

Donde p es un porcentaje de valor medido, y m es la cantidad de dígitos de los menos significativos para la escala seleccionada. Ejemplo: Se mide un voltaje de 17.80Vcc en un multímetro digital en la escala de 19.99Vcc. La hoja de datos provista por el fabricante indica: Eu= ± (0.1% * Um + 1 * dígitos) Entonces, Eu= ± (0.1% *17.80Vcc +1 * 0.01Vcc) = ± 0.0278Vcc Y el resultado de la medición será, V 0 (17.80

0.03)Vcc

Propagación de errores: Cuando se realiza una medición indirecta, esto es, la variable a determinar depende de más de una medición, surge la necesidad de evaluar como pesan cada uno de los errores en el error del resultado final. Sea una variable X = f (X 1 , X 2 ,..., X n ) , entonces desarrollando por serie de Taylor, y considerando que los errores son tan pequeños tal que se pueden despreciar los términos de orden superior:

(1-7) La cual se denomina ley de propagación de errores límites. Por ejemplo para la suma de dos mediciones:

METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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ANÁLISIS ESTADÍSTICO: El análisis estadístico de datos de mediciones es una práctica común ya que permite obtener una determinación analítica de la incertidumbre del resultado final (ver punto 1.8), esto es, una vez hallados y acotados los errores sistemáticos puede obtenerse un valor que caracterice a los errores restantes (aleatorios o fortuitos). Cabe aclarar que el tratamiento estadístico de datos no puede eliminar tendencias fijas contenidas en las mediciones, como por ejemplo, la que puede derivar de un error sistemático. Para realizar el análisis y aplicar los métodos estadísticos mencionados, es necesario contar con un gran número de mediciones, o sea contar con una población de datos, y además los errores sistemáticos deben ser pequeños en comparación con los errores residuales (o aleatorios). Como ejemplo, en la siguiente tabla se muestran 50 mediciones de voltaje. Voltaje leído Número de [V] 99. lecturas 1 7 99. 4 8 99. 12 9 100. 19 0 100. 10 1 100. 3 2 100. 1 3 Tabla 1

Figura 1.1 Luego con estos datos pueden hallarse los siguientes índices: Media aritmética: También llamada promedio: 𝑛 ∑𝑋𝑖 𝑓−1 𝑋 𝑛

(1-8)

Desviación de la media: Es el alejamiento de una lectura dada de la media aritmética:

METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

39

𝑑𝑖 = 𝑋𝑖 − Ẋ

(1-9)

Cada una de las desviaciones puede ser positiva o negativa. Nótese que la ∑𝑛𝑖−1 𝑑𝑖 = 0 Desviación promedio: Es una indicación de la precisión de los instrumentos: 𝑛 ∑ |𝑑𝑖| 𝐷 𝑖−1 𝑛

(1-10)

Desviación estándar: Es la raíz media cuadrática de las desviaciones. Es muy utilizada en el análisis estadístico de errores. Para un número finito n de datos:

σ=

𝑛 ∑ 𝑑𝑖 √𝑖−1 𝑛−1

(1-11)

La desviación estándar tiene la ventaja de tener las mismas unidades que la variable medida. Varianza: También llamada desviación cuadrática media: V= σ2

(1-12)

DISTRIBUCIÓN NORMAL DE ERRORES: Esta distribución, muchas veces da una buena descripción de muchos resultados en mediciones que están afectadas de errores. Las medidas repetidas y realizadas con gran cuidado siguen en muchos casos esta particular distribución. El contorno de la misma es una curva con forma de campana llamada campana de Gauss.

Figura 1.2 METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

40

Para un punto cualquiera de esta curva, la función distribución de probabilidad será: 𝑦(σ) =

1 √2𝜋

𝑒

−σ² 2

Esta distribución normal o gaussiana de error es la base del estudio analítico de los efectos aleatorios.  Todas las observaciones incluyen pequeños efectos de distorsión, llamados errores aleatorios.  Los errores aleatorios pueden ser positivos o negativos.  Hay igual probabilidad de errores aleatorios positivos o negativos. El área total bajo la distribución normal entre los límites -∞, y +∞ representa el número entero de observaciones. Ahora el área sombreada entre incluye alrededor del 68% de todos los casos. Error probable: En el gráfico anterior se define r= ±0.6745 ⋅ σ como error probable, esto es, se tiene igual probabilidad (50%) de que alguna observación tenga un error aleatorio ≤ r . El coeficiente que multiplica a la desviación estándar se define como factor de cobertura k. k

Fracción de área total (probabilidad 0.6745 0.5000 p) 1.0000 0.6828 1.6450 0.9000 1.9600 0.9500 2.0000 0.9545 3.0000 0.9972 2.5800 0.9900 3.0000 0.9970 Tabla 1.2

INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN: Un hecho significativo de las medidas es que el valor ‘verdadero’ de una magnitud medida no es nunca conocido con absoluta certeza. Los fenómenos físicos y las leyes que los describen son estadísticos por naturaleza. Si bien en la mayoría de los fenómenos macroscópicos las incertidumbres son despreciables, al seguir magnitudes al nivel de calibraciones, se alcanza inevitablemente el límite del ‘ruido’

METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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de fluctuaciones aleatorias. Esta característica intrínseca de las magnitudes físicas requiere entonces estimarse como veremos más adelante. Se debe prestar atención y tener claro la diferencia entre error e incertidumbre. Por ejemplo el resultado de una medición luego de aplicar una corrección (por los errores sistemáticos) puede estar muy cerca del valor de la cantidad, aunque no lo podemos saber, es decir con un error pequeño, aunque puede existir, debido a los métodos e instrumentos utilizados en la medición, una gran incertidumbre. El CIPM1 y el NIST2 con su nota técnica 1297, coinciden en las siguientes definiciones. La incertidumbre del resultado de una medición generalmente consiste en varios componentes que pueden ser agrupados en dos categorías de acuerdo al método usado para estimar sus valores numéricos: A. Aquellos componentes de incertidumbre que son evaluados mediante métodos estadísticos. B. Aquellos que son evaluados por otros métodos o juicios científicos tales como resultados previos, conocimiento de propiedades de materiales componentes, especificaciones de fabricantes, reportes de calibraciones, etc. Estudiaremos a continuación la incertidumbre tipo A. Incertidumbre estándar (i): Representa cada componente de incertidumbre que contribuye a la incertidumbre del resultado de una medición mediante la desviación estándar estimada:

µi=𝛔 =

𝑛 ∑ 𝑑𝑖 √ 𝑖−1 𝑛−1

Incertidumbre estándar combinada (µc): Representa la estimación de la desviación estándar, a través de combinar las incertidumbres estándares µi obtenidas. Comúnmente llamada ley de propagación de incertidumbre o RSS (raíz cuadrada de la suma de los cuadrados). Para fines prácticos, suele estimarse solo una con la combinada.

i, por lo tanto la estándar coincide

Incertidumbre expandida (U): Se define a partir de la incertidumbre combinada y el factor de cobertura k. U=k*µc Por lo tanto para una cierta cantidad ‘y’ medida, el resultado de la medición será: METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

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y-U ≤ Y≤ y+U Este entorno acotado alrededor del valor Y se define como intervalo de confianza el cual tiene un nivel de confianza determinado por la fracción p de la probabilidad asociada al factor de cobertura k (ver tabla 1.2). Por ejemplo, si k = 2.58, se tiene un nivel de confianza del 99%. Distribución t-Student: Fue desarrollada por el inglés William Gosset, y permite validar conclusiones estadísticas a partir de pequeñas cantidades de datos (n