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• Alejandra Gordo

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La metodología llamada "Prueba Estadística" consiste en enfrentar dos hipótesis: una llamada hipótesis nula (Ho) y su opuesta llamada hipótesis alterna (Ha). La hipótesis nula siempre habla de que el parámetro es igual a cierto valor dado. La hipótesis alterna trata de probar que el valor del parámetro ha cambiado. La hipótesis nula defiende el status quo; la hipótesis alterna trata de demostrar que éste ya ha cambiado. Cuando se realiza la prueba de hipótesis, siempre se parte del supuesto de que la hipótesis nula es verdadera. Para rechazar su veracidad tiene que haber suficiente evidencia estadística a partir de la muestra, pero siempre se corre el riesgo de cometer uno de estos dos errores: * El error de rechazar una hipótesis nula verdadera, creyendo que es falsa. ** El error de aceptar una hipótesis nula falsa creyendo que es verdadera. El primer error se llama error tipo I y se representa por la letra griega a . También se conoce como "riesgo del productor", porque éste es el que pierde cuando un cliente rechaza adquirir su producto por creer, en base al muestreo, que es defectuoso y no tiene la calidad anunciada. Los valores que se dan a a son: 010, 0.05 y 0.01

El segundo error se llama error tipo II y se representa por la letra griega b. También se conoce como "riesgo del consumidor", porque éste es el que pierde cuando adquiere un producto que cree que es bueno, cuando en realidad es defectuoso. En este caso los valores que puede tener ß no se dan, sino que se tienen que calcular a partir de los valores que se supone puede tener el parámetro.

Distribución cuando Ho es Verdadera

Zona de rechazo de Ho

1-a a Zc

Procedimiento para calcular b en una prueba de una sola cola (derecha). m= 18 Parámetro a = 0.025 Error tipo I Zc = 1.959964 s= 4.5 n= 32 error std= 0.795495 x-barrac= 19.55914 19 m1 = b = 0.758936 Error tipo II 1 - b = 0.241064

Distribución cuando Ho es Falsa

b 1-b

Potencia de la prueba

Distribución cuando Ho es Verdadera

Zona de rechazo de Ho

Zona de rechazo de Ho

1-a

a/2

a/2 Zc

Zc

Procedimiento para calcular b en una prueba de dos colas. m= 80 a = 0.05 Zc = 1.959964 s= 8 n= 30 error std= 1.460593 x-barrac= 77.137 82.863 m1 = 81.2 Z = -2.78155 1.1383801483 0.1275 b = 0.0027 btotal = 0.1302

Distribución cuando Ho es Falsa

b 1-b

1-b

PROBLEMAS SOBRE LOS ERRORES TIPO I y II. 1. Suponga que un alergólogo desea probar la hipótesis de que al menos 30% del público es alérgico a algunos productos de queso. Explique cómo el alergólogo podría cometer : a) un error tipo I b) un error tipo II 2. Una socióloga se interesa en la eficacia de un curso de entrenamiento diseñado para lograr que más conductores utilicen los cinturones de seguridad en los automóviles. a) ¿Qué hipótesis pone a prueba si comete un error tipo I al concluir de manera errónea que el curso de entrenamiento no es eficaz? b) ¿Qué hipótesis pone a prueba si comete un error tipo II al concluir de forma errónea que el curso de entrenamiento es eficaz? 3. Se acusa a una empresa grande de tener prácticas de discriminación en la contratación de empleados. a) ¿Qué hipótesis se pone a prueba si un jurado comete un error tipo I al encontrar culpable a la empresa? b) ¿Qué hipótesis se pone a prueba si un jurado comete un error tipo II al encontrar culpable a la empresa? 4. Un fabricante de telas considera que la proporción de pedidos de materia prima que llegan con retraso es p=0.6. Si una muestra aleatoria de 10 pedidos indica que 3 o menos llegaron con retraso, la hipótesis de que p=0.6 se debería rechazar a favor de la alternativa p < 0.6. Utilice la distribución binomial. a) Calcule la probabilidad de cometer un error tipo I si la proporción verdadera es p= 0.6. b) Calcule la probabilidad de cometer un error tipo II para las alternativas p= 0.3, p= 0.4 y p= 0.5.

5. Repita el ejercicio anterior pero ahora suponga que se seleccionaron 50 pedidos y que se define a la región crítica como x £ 24, donde x es el número de pedidos en la muestra que llegaron con retraso. Utilice la aproximación normal.

a) 0.0559

b) b = 0.0017 ; b = 0.0968 ; b = 0.5557

6. Se estima que la proporción de adultos que vive en una pequeña ciudad que son graduados universitarios es p=0.6 Para probar esta hipótesis se selecciona una muestra aleatoria de 15 adultos. Si el número de graduados en la muestra es cualquier número entre 6 y 12, no rechazaremos la hipótesis nula de que p = 0.6; de otro modo, concluiremos que p ¹ 0.6. a) Evalúe a suponiendo que p = 0.6. Utilice la distribución binomial. b) Evalúe b para las alternativas p = 0.5 y p = 0.7. 7. Repita el ejercicio anterior pero suponga que se seleccionan 200 adultos y que la región de no rechazo se define como 110 £ x £ 130, donde x es el número de individuos graduados en la muestra. Utilice la aproximación normal. 8. Una tintorería afirma que un nuevo removedor de manchas quitará más de 70% de las manchas en las que se aplique. Para verificar esta afirmación el removedor de manchas se utilizará sobre 12 manchas elegidas al azar. Si se eliminan menos de 11 de las manchas, no se rechazará la hipótesis nula de que p = 0.7; de otra manera, concluiremos que p > 0.7. a) Evalúe a, suponiendo que p = 0.7

a = 0.0850

b) Evalúe b para la alternativa p = 0.9

b = 0.3410

9. Repita el ejercicio anterior pero ahora suponga que se tratan 100 manchas y que la región crítica se define como x > 82, donde x es el número de manchas eliminadas. 10. Se pregunta a una muestra aleatoria de 400 votantes en cierta ciudad si están a favor de un impuesto adicional del 4% sobre las ventas de gasolina con el fin de obtener los fondos que se necesitan con urgencia para la reparación de calles. Si más de 220 votantes pero menos de 260 de ellos favorecen el impuesto sobre las ventas, concluiremos que 60% de los votantes lo apoyan. a) Calcule la probabilidad de cometer un error tipo I si 60% de los votantes están a favor del aumento de impuestos. b) ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error tipo II al utilizar este procedimiento de prueba si en realidad sólo el 48% de los votantes están a favor del impuesto adicional a la gasolina? 11. Suponga que en el ejercicio anterior concluimos que 60% de los votantes están a favor del impuesto sobre las ventas de gasolina si más de 214 votantes pero menos de 266 de ellos lo favorecen. Demuestre que esta nueva región crítica tiene como resultado un valor más pequeño para a a costa de aumentar b. 12. Un fabricante desarrolla un nuevo sedal para pesca que, según afirma, tiene una resistencia media a la rotura de 15 kg y una desviación estándar de 0.5 kg. Para probar la hipótesis de que m = 15 kg contra la alternativa de que m < 15 kg, se prueba una muestra aleatoria de 50 sedales. La región crítica se define como x-barra < 14.9. a) Calcule la probabilidad de cometer un error tipo I cuando Ho es verdadera. b) Evalúe b para las alternativas m = 14.8 y m = 14.9 kg. 13. En un restaurante de carnes, una máquina de bebidas gaseosas se ajusta para que la cantidad de bebida que sirva se distribuya de forma aproximadamente normal, con una media de 200 ml y una desviación estándar de 15 ml. La máquina se verifica periódicamente tomando una muestra de 9 bebidas y calculando el contenido promedio. Si x-barra cae en el intervalo (191, 209), se considera que la máquina opera de forma satisfactoria; de otro modo, se concluye que m ¹ 200 ml. a) Calcule la probabilidad de cometer un error tipo I cuando m = 200 ml.

b) Calcule la probabilidad de cometer un error tipo II cuando m = 215 ml. 14. Repita el ejercicio anterior usando muestras aleatorias de tamaño n = 25. Utilice la misma región crítica. 15. Se desarrolla un nuevo proceso de cura para cierto tipo de cemento que da como resultado una resistencia media a la compresión de 5000 kg/cm² y una desviación estándar de 120 kg. Para probar la hipótesis de que m = 5000 kg contra la alternativa de que m < 5000 kg se toma una muestra aleatoria de 50 piezas de cemento. La región crítica se define como x-barra < 4970 kg. a) Calcule la probabilidad de cometer un error tipo I cuando Ho es verdadera. b) Evalúe b para las alternativas m = 4970 y m = 4960.

Procedimiento para calcular b en una prueba de una sola cola (izquierda). m= 200 a= 0.05 Zc = -1.64485 s= 15 n= 44 error std= 2.26134 x-barrac= 196.2804 m1 = 192.5 b = 0.04728

Distribución cuando Ho es Verdadera Zona de rechazo de Ho

1-a

a Zc

1 - b = 0.95272

Distribución cuando Ho es Falsa

1-b b

CÁLCULO DE ERROR TIPO I Y II CON DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Cuando el muestreo es con reemplazo) La probabilidad en cada ensayo se mantiene constante. x1 = 6 x2 = 12 n = 100 p = 0.06 P(x£ c1) = 0.440693 P(x£ c2) = 0.983248 1 - α = 0.542555 α = 0.457445 0.5 p1 = 1E-21 P(x£ c1) = P(x£ c2) = 9.56E-16 ß = 9.56E-16 1 1-ß=

CÁLCULO DE ERROR TIPO I Y II CON DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA (Cuando el muestreo es sin reemplazo) La probabilidad en cada ensayo está cambiando. x =3 2 1 0 n = 50 k = 10 N = 500 P(x= c) = 0.056409 0.195227 0.39134 0.345162 P(x£ c) = 0.988139 P(x> c) = 0.011861

-1

-2

-3

-4

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA MEDIAS CUANDO SE CONOCE σ. A) COLA A LA DERECHA. Parámetro = 200 σ = 15 α = 0.05 Zc = 1.6448536 Tamaño muestral = 9 Error estándar = 5 x-barrac = 208.22427 Media muestral exp. = 209 Zp = 1.8 Valor - p = 0.0359303 Decisión = Ho se rechaza

C) COLA A AMBOS LADOS. Parámetro = 120 σ = 12 α = 0.05 Zc = -1.959964 1.959964 Tamaño muestral = 9 Error estándar = 4 x-barrac = 112.16014 127.8399 Media muestral exp. = 209 Zp = 22.25 Valor - p = 0 Decisión = Ho se rechaza

B) COLA A LA IZQUIERDA. Parámetro = 200 σ = 15 α = 0.05 Zc = -1.644854 Tamaño muestral = 9 Error estándar = 5 x-barrac = 191.7757 Media muestral exp. = 191 Zp = -1.8 Valor - p = 0.03593 Decisión = Ho se rechaza

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES. A) COLA A LA DERECHA. Parámetro = 0.6 Tamaño muestral = 15 α = 0.05 Zc = 1.6448536 σ = 0.1264911 p-c = 0.8080594 x = 12 Prop. muestral exp. = 0.8 Zp = 1.5811388 Valor - p = 0.0569231 Decisión = Ho no se rechaza

C) COLA A AMBOS LADOS. Parámetro = 0.6 Tamaño muestral = 60 α = 0.05 Zc = -1.959964 1.959964 σ = 0.0632456 p-c = 0.476041 0.723959 x = 28.5 Prop. muestral exp. = 0.475 Zp = -1.976424 Valor - p = 0.0481068 Decisión = Ho se rechaza

B) COLA A LA IZQUIERDA. Parámetro = 0.02 Tamaño muestral = 60 α = 0.05 Zc = -1.64485 σ = 0.018074 p-c = -0.00973 x =6 Prop. muestral exp. = 0.1 Zp = 4.426267 Valor - p = 0.999995 Decisión = Ho no se rechaza

APROXIMACIÓN DE LA NORMAL A LA BINOMIAL A) COLA A AMBOS LADOS. n = 200 π= 0.6 µ = 120 σ = 6.928203 x1 = 109.5 x2 = 130.5 Z1 = -1.51554 Z2 = 1.515544 1 - α = 0.870365 α = 0.129635 π1 = 0.7 µ1 = 140 σ1 = 6.480741 Z1 = -4.70625 Z2 = -1.46588 ß = 0.071339 1 - ß = 0.928661

PRUEBA UNILATERAL (COLA DERECHA)

α = 0.05 Z = 1.644854 µo = 75 σ= 8 n= 40 σx = 1.264911 Xc = 77.08059 µ1 = 72 µ1 = 73 µ1 = 74 µ1 = 75 µ1 = 76 µ1 = 77 µ1 = 78 µ1 = 79 µ1 = 80 µ1 = 81 µ1 = 82

Z 4.016562 3.225992 2.435423 1.644854 0.854284 0.063715 -0.72685 -1.51742 -2.30799 -3.09856 -3.88913

ß 0.99997 0.999372 0.992563 0.95 0.803526 0.525401 0.233658 0.06458 0.0105 0.000972 5.03E-05

1-ß 2.95E-05 0.000628 0.007437 0.05 0.196474 0.474599 0.766342 0.93542 0.9895 0.999028 0.99995

1-ß 1.2 1 0.8 1-ß 0.6 0.4 0.2 0 72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

CURVA CARACTERISTICA DE OPERACIÓN

n= AQL = p 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070 0.075 0.080 0.085 0.090 0.095 0.100 0.105 0.110 0.115 0.120 0.125 0.130 0.135 0.140 0.145 0.150 0.155 0.160

55 2 1-ß 1 0.997299 0.982171 0.950246 0.902265 0.841427 0.771789 0.697361 0.621642 0.547432 0.476803 0.411161 0.351344 0.297736 0.250377 0.209059 0.173408 0.142949 0.117158 0.095495 0.077434 0.06248 0.050176 0.040114 0.031931 0.025312 0.019984 0.015715 0.012312 0.00961 0.00747 0.005792 0.004473

E je Y: Probabilidad de Aceptación del Lote (1 - ß) 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 .10 .11 .12 .13 .14 .15 .16 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1-ß