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• Edgar Jamanca Antonio

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• Energía cinética
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“AÑO DE LA UNIÓN NACIONAL FRENTE A LAS CRISIS EXTERNA”

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA ASIGNATURA

: Laboratorio de Operaciones Unitarias

TEMA

: Tiempo de Escurrimiento

DOCENTE

: Ing. Jiménez Escobedo Manuel

CICLO

: VII

ALUMNO

:

HUACHO – PERÚ

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental ÍNDICE ÍNDICE .................................................................................................................................................... 2 Resumen ................................................................................................................................................ 3 TIEMPO DE ESCURRIMIENTO .................................................................................................................. 3 Introducción ....................................................................................................................................... 3 Fundamento Teórico ........................................................................................................................... 3 Principio de Conservación de Materia .............................................................................................. 3 Principios de Conservación de Energía Mecánica ............................................................................. 4 Factor de Corrección de Energía Cinética ......................................................................................... 4 Longitud de Entrada. Factor de Fricción: Métodos de Cálculo ........................................................... 5 Pérdidas de Carga Hidráulica por Fricción: Perdidas Mayores y Menores ......................................... 6 Sección Experimental .......................................................................................................................... 7 Equipo y Materiales Empleados ....................................................................................................... 7 Metodología Experimental .............................................................................................................. 7 Tabulación de Datos Experimentales Recolectados .......................................................................... 7 Resultados ........................................................................................................................................ 12 Diámetro efectivo ......................................................................................................................... 12 Velocidad de salida del fluido por ecuación de balance de materia ................................................ 13 Velocidad de salida del fluido por ecuación de balance de energía mecánica.................................. 17 Tiempo analítico de escurrimiento ................................................................................................. 20 Correlaciones del tiempo de escurrimiento y la carga hidráulica .................................................... 24 Factor de fricción en simultáneo con valores de velocidad de salida ............................................... 24 Análisis y Discusión de Resultados ..................................................................................................... 25 Conclusiones ..................................................................................................................................... 25 Recomendaciones ............................................................................................................................. 25 Referencias Bibliográficas ................................................................................................................. 25 Apéndice .............................................................................................................................................. 26 Deducción de Ecuaciones .................................................................................................................. 26 Obtención del diámetro efectivo a partir de datos obtenidos por calibración .................................. 26 Deducción de la velocidad de salida, por medio de un balance macroscópico de masa ................... 26 Deducción de la velocidad de salida, por medio de un balance macroscópico de energía mecánica 28 Deducción del tiempo analítico de escurrimiento ........................................................................... 29 Ecuaciones para la regresión lineal o aproximación funcional ........................................................ 30 Calculo del factor de fricción simultáneo con la velocidad de salida del fluido................................. 31 Cálculos de propiedades físicas del sistema y errores ..................................................................... 31

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Tablas adicionales, gráficos y figuras varias ...................................................................................... 32 CUESTIONARIO ..................................................................................................................................... 35

Resumen En el presente trabajo se deducen los modelos de estado no estacionario y cuasi estacionario. El modelo de estado no estacionario esta conformado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias que se resuelven numéricamente con el método de newton raphson y el método de punto fijo.

TIEMPO DE ESCURRIMIENTO Introducción El drenado de un liquido desde un tanque a través de un tubo constituye un problema interesante de ingeniería química que permite analizar y comparar el comportamiento de un sistema bajo diferentes situaciones de complejidad. El problema es un ejemplo típico de una operación de estado no estacionario, donde la altura del liquido en el tanque y la velocidad del liquido en el tubo cambian con el tiempo. Las operaciones en estado no estacionario se simulan a través de un sistema de ecuaciones diferenciales que a veces no se pueden resolver analíticamente. En contraste, si suponemos una operación cuasi estacionario se simplifican algunas de las ecuaciones diferenciales y es posible arribar a una solución analítica. La suposición de estado cuasi estacionario nos permite un manejo matemático de las ecuaciones relativamente fácil; pero se pierde rigurosidad en el comportamiento real del sistema, y los resultados pueden diferir sustancialmente de una situación a otra.

Fundamento Teórico Principio de Conservación de Materia Un balance de materia en estado no estacionario, entre la superficie libre del líquido y el punto que conecta el tanque y el tubo da como resultado la siguiente ecuación:

Separando las variables e integrando entre la altura inicial y la altura final se obtiene la ecuación para calcular el tiempo de drenado:

El término del lado derecho se integra por partes y se obtiene:

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Esta ultima ecuación, se supone que el líquido es instantánea acelerado hasta alcanzar la velocidad v0 el cual es diferente de cero.

Principios de Conservación de Energía Mecánica Suponiendo estado estacionario y que la velocidad del líquido en el tanque es pequeña, el balance de energía mecánica entre la superficie libre del líquido y el extremo se salida del tubo, en un instante de tiempo t, conduce a la ecuación (4):

La energía por defectos de fricción se estima a partir de la ecuación (5), donde influye el factor de concentración:

Las combinaciones de las ecuaciones (4) y (5) da como resultado la ecuación (6):

A partir de la ecuación (5), se determina la velocidad del líquido del tubo para cualquier altura de nivel del líquido en el tanque. Como el factor de fricción depende de la velocidad, la solución de la ecuación (5) se debe realizar a través de un procedimiento iterativo. El factor a=1 (toma un valor de 1) en régimen turbulento y 0.5 para régimen laminar. El factor de fricción fD en régimen turbulento se calcula de la ecuación de Colebrook:

Factor de Corrección de Energía Cinética Partiendo de la ecuación:

Multiplicamos el término por un factor, de forma que el resultado, sea el valor correpto de la energia cinetica calculado a partir de la ecuacion anterior, este factor se denomina factor de correccion de la energia cinetica, se designa por α y se define mediante la ecuacion:

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Si se conoce α, puede emplearse la velocidad media para calcular la energía cinética utilizando en lugar de . Para calcular el valor de α a partir de la ecuación (2) ha de conocerse la velocidad local, como una función de la localización en la sección transversal, de forma que se pueda evaluar las integrales de dichas ecuación. Este mismo conocimiento de la distribución de velocidad es necesario también para calcular el valor de mediante la ecuación (3).

Longitud de Entrada. Factor de Fricción: Métodos de Cálculo Cuando un fluido que circula con una velocidad uniforme entra en una tubería, se forma una capa limite en las paredes, que gradualmente va aumentando de espesor a medida que aumenta la distancia al punto de entrada, puesto que el fluido esta retardado en la capa limite y el flujo total permanece constante, el fluido será acelerado en la corriente central. Para una cierta distancia de la entrada , las capas limite , que se han formado en contacto con las paredes , se juntan en el eje del tubo, y a partir de este punto , ocupan toda la sección y por consiguiente , conservan un espesor constante, se dice entonces que el flujo está totalmente desarrollados. Si las capas limites todavía son laminares cuando comienza el flujo totalmente desarrollado, el flujo en el tubo sigue siendo laminar. Por otra parte si la capas limite son ya turbulentas, persistirá el flujo turbulento.

Una condición experimental aproximada para la longitud de entrada

es:

Donde “d” es el diámetro del tubo y con respecto al diámetro del tubo y basado sobre la velocidad media del flujo en el tubo. Esta expresión es solamente aproximada y resulta inexacta para número de Reynolds, en la región de 2500 debido a que el espesor de la capa limite aumenta muy rápidamente en esta región. La longitud de entrada es algo arbitrario, siendo el espesor de la capa limite una función del perfil de velocidad considerado.

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental En la entrada del tubo la velocidad a través de toda la sección será constante. Para una cierta distancia de la entrada la velocidad en el eje del tubo habrá aumentado y alcanzara un valor máximo cuando las capas limites se unen. Factor de Fricción: El factor se podría deducir con las siguientes formulas:

Relacionando las dos formulas, se puede hallar el factor de Fricción para un flujo laminar.

Factor de Fricción para Flujo Turbulento.

Pérdidas de Carga Hidráulica por Fricción: Perdidas Mayores y Menores PERDIDAS MAYORES: Perdidas por fricción en el fluido que circula. Para el flujo de tuberías. La fricción es proporcional a la carga de velocidad del flujo y a la relación de la longitud al diámetro de la corriente: su formula seria la ecuación de Darcy.

Donde el valor del factor de Fricción f, dependería del régimen en que se encuentra el fluido. PERDIDAS MENORES: Son las perdidas energías ocasionadas por los accesorios que hay en el sistema, son: Expansión súbita: Conforme a un fluido pasa de una tubería pequeña a otra más grande a través de una expansión súbita, su velocidad disminuye de manera abrupta, lo que ocasiona turbulencia, que a su vez genera una pérdida de energía.

Contracción Súbita: La perdida de energía debido a una contracción súbita, la podemos apreciar en la siguiente formula.

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Sección Experimental Equipo y Materiales Empleados  Tanque cilíndrico de base plana, dotados con un nivel y agujero en la parte inferior para conexión de tubos.  Conectores o niples, para conexión de tuberías.  Tubos intercambiables para salida (tubos de cobre).  Termómetros.  Cronómetro.  Recipiente graduado.  Recipientes Plásticos.  Soportes para los tanques.  Fluido de trabajo: Diesel 2 (petróleo).

Metodología Experimental 

Tabulación de Datos Experimentales Recolectados Tuberías Tubería Nº 0 1 2 3 4 5

Longitud (cm) 5 15 30 60 60 60

Diámetro (mm) 16 5 5 3 5 8

Material Acero Cobre Cobre Cobre Cobre Cobre

Datos de Calibración Fluido: Agua v (ml)

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h (cm)

0.0

0.0

500.0

2.0

1000.0

4.1

1500.0

6.2

2000.0

8.3

2500.0

10.4

3000.0

12.5

3500.0

14.5

4000.0

16.7

4500.0

18.8

5000.0

20.8

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Datos de Escurrimiento – Tubo 0 Fluido: Diesel 2 (petróleo). Diámetro: 1.6 cm Longitud: 5 cm Tanque: Base Plana

Dato Nº Nivel (cm) 0 20 1 19 2 18 3 17 4 16 5 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 10 11 9 12 8 13 7 14 6 15 5 16 4 17 3 18 2 19 1 20 0 Tiempo Tanque Total Tubo vacío Temperatura del Fluido (ºC)

T1 (s)

T2 (s)

T3 (s)

(s)

0.00 0.42 0.91 1.39 1.79 2.25 2.71 3.20 3.97 4.76 5.37 6.70 6.78 7.34 7.97 8.87 9.59 10.52 10.35 12.13 13.71

0.00 0.53 1.09 1.59 2.11 2.61 3.3 3.76 4.28 5.01 5.53 6.22 6.98 7.77 8.51 9.22 9.95 10.78 11.68 12.46 13.59

0.00 0.48 0.98 1.54 2.07 2.64 3.24 3.85 4.44 5.07 5.63 6.17 7.05 7.88 8.51 9.15 9.89 10.69 11.67 12.33 13.52

0.00 0.48 0.99 1.51 1.99 2.50 3.08 3.60 4.23 4.95 5.51 6.36 6.94 7.66 8.33 9.08 9.81 10.66 11.23 12.31 13.61

17.60

17.67

17.69

17.65

22.00

22.00

22.00

22.00

T1 (s)

T2 (s)

T3 (s)

(s)

0.00 2.58 4.88 7.69

0.00 2.61 4.92 7.39

0.00 2.50 5.17 7.38

0.00 2.56 4.99 7.49

Datos de Escurrimiento – Tubo 1 Fluido: Diesel 2 (petróleo). Diámetro: 15 cm Longitud: 5 mm Tanque: Base Plana

Dato Nº 0 1 2 3

Nivel (cm) 20 19 18 17

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 4 16 5 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 10 11 9 12 8 13 7 14 6 15 5 16 4 17 3 18 2 19 1 20 0 Tiempo Tanque Total Tubo vacío Temperatura del Fluido (ºC)

10.16 12.67 15.43 17.95 20.72 23.70 26.27 28.91 31.81 34.68 37.74 40.83 43.97 47.22 50.45 53.79 56.89

9.79 12.52 15.25 17.58 20.60 23.21 25.96 28.88 31.69 34.36 37.54 40.31 43.74 46.77 49.75 53.57 56.58

10.22 12.73 15.37 17.93 20.76 23.40 26.22 28.83 31.70 34.52 37.50 40.62 43.72 46.51 49.82 52.88 56.46

10.06 12.64 15.35 17.82 20.69 23.44 26.15 28.87 31.73 34.52 37.59 40.59 43.81 46.83 50.01 53.41 56.64

72.22

71.57

71.25

71.68

22.00

22.00

22.00

22.00

T1 (s)

T2 (s)

T3 (s)

(s)

0.00 2.77 5.13 7.80 10.19 13.15 15.86 18.51 21.27 23.92 26.78 29.36 32.61 35.45 38.44

0.00 2.60 5.10 7.84 10.33 13.01 15.74 18.46 21.30 24.30 26.72 29.89 32.45 35.28 38.18

0.00 2.69 5.24 7.65 10.33 13.07 15.65 18.17 20.98 23.93 26.56 29.12 31.94 35.40 38.22

0.00 2.69 5.16 7.76 10.28 13.08 15.75 18.38 21.18 24.05 26.69 29.46 32.33 35.38 38.28

Datos de Escurrimiento – Tubo 2 Fluido: Diesel 2 (petróleo). Diámetro: 5 mm Longitud: 30 cm Tanque: Base Plana

Dato Nº 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Nivel (cm) 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6

Laboratorio Operaciones Unitarias

Página 9

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 15 5 16 4 17 3 18 2 19 1 20 0 Tiempo Tanque Total Tubo vacío Temperatura del Fluido (ºC)

41.48 44.08 47.23 40.54 53.85 57.09

41.09 44.17 47.31 50.55 53.59 56.61

40.97 43.97 47.11 50.17 53.37 56.36

41.18 44.07 47.22 47.09 53.60 56.69

71.19

70.94

70.61

70.91

22.00

22.00

22.00

22.00

T1 (s)

T2 (s)

T3 (s)

(s)

0.00 8.94 20.04 31.17 42.42 53.19 63.94 74.85 86.34 97.37 109.10 120.82 132.49 143.93 155.99 167.95 180.96 192.32 203.00 214.45 230.47

0.00 10.83 22.20 31.79 42.80 54.64 65.79 76.83 87.56 98.53 109.70 120.11 132.61 143.55 156.20 167.96 178.39 190.77 201.80 215.91 226.18

0.00 10.75 21.08 30.93 41.96 58.86 63.54 75.56 86.75 97.18 107.31 119.38 130.42 142.90 153.60 165.69 177.92 189.25 202.30 214.77 225.90

0.00 10.17 21.11 31.30 42.39 55.56 64.42 75.75 86.88 97.69 108.70 120.10 131.84 143.46 155.26 167.20 179.09 190.78 202.37 215.04 227.52

285.96

282.89

282.06

283.64

22.00

22.00

22.00

22.00

Datos de Escurrimiento – Tubo 3 Fluido: Diesel 2 (petróleo). Diámetro: 3 mm Longitud: 60 cm Tanque: Base Plana

Dato Nº Nivel (cm) 0 20 1 19 2 18 3 17 4 16 5 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 10 11 9 12 8 13 7 14 6 15 5 16 4 17 3 18 2 19 1 20 0 Tiempo Tanque Total Tubo vacío Temperatura del Fluido (ºC)

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Página 10

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Datos de Escurrimiento – Tubo 4 Fluido: Diesel 2 (petróleo). Diámetro: 5 mm Longitud: 60 cm Tanque: Base Plana

Dato Nº Nivel (cm) 0 20 1 19 2 18 3 17 4 16 5 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 10 11 9 12 8 13 7 14 6 15 5 16 4 17 3 18 2 19 1 20 0 Tiempo Tanque Total Tubo vacío Temperatura del Fluido (ºC)

T1 (s)

T2 (s)

T3 (s)

(s)

0.00 2.29 4.86 7.16 9.60 11.69 14.14 16.44 18.89 21.39 23.80 26.19 28.61 31.31 33.67 36.15 38.71 41.46 44.10 46.47 49.06

0.00 2.21 4.62 7.02 9.24 11.78 14.11 16.48 19.02 21.30 23.68 25.93 28.60 31.04 33.59 36.10 38.72 41.42 43.94 46.55 49.23

0.00 2.45 4.69 7.07 9.60 11.76 14.15 16.76 19.04 21.39 23.90 26.38 28.72 31.29 33.94 36.53 38.96 41.66 44.36 46.74 49.62

0.00 2.32 4.72 7.08 9.48 11.74 14.13 16.56 18.98 21.36 23.79 26.17 28.64 31.21 33.73 36.26 38.80 41.51 44.13 46.59 49.30

60.77

60.24

60.42

60.48

22.00

22.00

22.00

22.00

T1 (s)

T2 (s)

T3 (s)

(s)

0.00 1.20 2.35 3.45

0.00 1.38 2.64 3.68

0.00 1.15 2.32 3.47

0.00 1.24 2.44 3.53

Datos de Escurrimiento – Tubo 5 Fluido: Diesel 2 (petróleo). Diámetro: 8 mm Longitud: 60 cm Tanque: Base Plana

Dato Nº 0 1 2 3

Nivel (cm) 20 19 18 17

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Página 11

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 4 16 5 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 10 11 9 12 8 13 7 14 6 15 5 16 4 17 3 18 2 19 1 20 0 Tiempo Tanque Total Tubo vacío Temperatura del Fluido (ºC)

4.47 5.71 6.85 8.01 9.10 10.34 11.44 12.65 13.86 15.01 16.12 17.39 18.75 19.74 21.16 22.37 23.55

4.75 5.90 7.09 8.15 9.30 10.42 11.68 12.79 13.96 15.17 16.38 17.46 18.89 20.23 21.34 22.49 23.75

4.63 5.73 6.92 8.05 9.18 10.31 11.47 12.71 13.95 15.19 16.33 17.59 18.76 19.90 21.31 22.36 23.60

4.62 5.78 6.95 8.07 9.19 10.36 11.53 12.72 13.92 15.12 16.28 17.48 18.80 19.96 21.27 22.41 23.63

28.41

28.74

28.56

28.57

22.00

22.00

22.00

22.00

Resultados Diámetro efectivo A partir de los datos de calibración, convirtiendo los litros a mililitros:

h (cm) 0.0 2.0 4.1 6.2 8.3 10.4 12.5 14.5 16.7 18.8 20.8

v (ml) 0.0 500.0 1000.0 1500.0 2000.0 2500.0 3000.0 3500.0 4000.0 4500.0 5000.0

Hallamos los valores necesarios para la regresión lineal: i

xi

0

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yi

0.0 2.0

xi2

xi*yi

0.0 500.0

0 1000

0 4 Página 12

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental

Suma

2 3 4 5 6 7 8 9 10

4.1 6.2 8.3 10.4 12.5 14.5 16.7 18.8 20.8

1000.0 1500.0 2000.0 2500.0 3000.0 3500.0 4000.0 4500.0 5000.0

4100 9300 16600 26000 37500 50750 66800 84600 104000

16.81 38.44 68.89 108.16 156.25 210.25 278.89 353.44 432.64

11

114.3

27500.0

400650.0

1667.8

A partir de la aproximación lineal obtenemos los valores:

Por tanto despejando el diámetro de la ecuación (1.4), de la deducción de ecuaciones:

Reemplazando valores podemos obtener el valor del diámetro efectivo:

Velocidad de salida del fluido por ecuación de balance de materia Tubo 0: i

H (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

T (s) 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07

Laboratorio Operaciones Unitarias

0.00 0.48 0.99 1.51 1.99 2.50 3.08 3.60 4.23 4.95 5.51 6.36 6.94 7.66

dT/dH dH/dT -45.6667 -0.0219 -49.6667 -0.0201 -51.5000 -0.0194 -49.8333 -0.0201 -49.6667 -0.0201 -54.6667 -0.0183 -55.1667 -0.0181 -57.3333 -0.0174 -67.1667 -0.0149 -64.0000 -0.0156 -70.8333 -0.0141 -71.3333 -0.0140 -65.0000 -0.0154 -69.6667 -0.0144

v (m/s) 2.6066 2.3966 2.3113 2.3886 2.3966 2.1774 2.1577 2.0762 1.7722 1.8599 1.6805 1.6687 1.8313 1.7086 Página 13

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 14 15 16 17 18 19 20

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

8.33 9.08 9.81 10.66 11.23 12.31 13.61

-70.8333 -74.0000 -79.1667 -71.1667 -82.1667 -118.6667 -141.3333

-0.0141 -0.0135 -0.0126 -0.0141 -0.0122 -0.0084 -0.0071

1.6805 1.6086 1.5036 1.6726 1.4487 1.0031 0.8422

Tubo 1: i

H (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

T (s) 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

dT/dH 0.00 2.56 4.99 7.49 10.06 12.64 15.35 17.82 20.69 23.44 26.15 28.87 31.73 34.52 37.59 40.59 43.81 46.83 50.01 53.41 56.64

-263.1667 -249.5000 -246.1667 -253.3333 -257.6667 -264.6667 -259.0000 -267.1667 -280.8333 -272.8333 -271.8333 -279.1667 -282.3333 -293.0000 -303.3333 -310.8333 -312.3333 -309.8333 -329.0000 -331.8333 -314.1667

dH/dT -0.0038 -0.0040 -0.0041 -0.0039 -0.0039 -0.0038 -0.0039 -0.0037 -0.0036 -0.0037 -0.0037 -0.0036 -0.0035 -0.0034 -0.0033 -0.0032 -0.0032 -0.0032 -0.0030 -0.0030 -0.0032

v (m/s) 4.6317 4.8854 4.9515 4.8114 4.7305 4.6054 4.7062 4.5623 4.3403 4.4676 4.4840 4.3662 4.3172 4.1601 4.0184 3.9214 3.9026 3.9341 3.7049 3.6732 3.8798

Tubo 2: i

H (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

T (s) 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12

Laboratorio Operaciones Unitarias

dT/dH 0.00 2.69 5.16 7.76 10.28 13.08 15.75 18.38 21.18

-279.5000 -257.8333 -253.8333 -256.3333 -265.6667 -273.3333 -265.1667 -271.6667 -283.5000

dH/dT -0.0036 -0.0039 -0.0039 -0.0039 -0.0038 -0.0037 -0.0038 -0.0037 -0.0035

v (m/s) 4.3610 4.7275 4.8020 4.7551 4.5881 4.4594 4.5967 4.4868 4.2995 Página 14

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

24.05 26.69 29.46 32.33 35.38 38.28 41.18 44.07 47.22 50.42 53.60 56.69

-275.1667 -270.3333 -282.3333 -296.0000 -297.3333 -290.1667 -289.6667 -301.8333 -317.3333 -319.3333 -313.3333 -303.3333

-0.0036 -0.0037 -0.0035 -0.0034 -0.0034 -0.0034 -0.0035 -0.0033 -0.0032 -0.0031 -0.0032 -0.0033

4.4297 4.5089 4.3172 4.1179 4.0994 4.2007 4.2079 4.0383 3.8411 3.8170 3.8901 4.0184

Tubo 3: i

H (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

T (s) 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

dT/dH

0.00 10.17 21.11 31.30 42.39 55.56 64.42 75.75 86.88 97.69 108.70 120.10 131.84 143.46 155.26 167.20 179.09 190.78 202.37 215.04 227.52

-979.3333 -1055.3333 -1056.1667 -1064.3333 -1213.3333 -1101.5000 -1009.1667 -1123.0000 -1097.3333 -1091.0000 -1120.5000 -1156.8333 -1167.8333 -1171.1667 -1187.0000 -1191.3333 -1179.0000 -1163.8333 -1213.1667 -1257.5000 -1237.1667

dH/dT -0.0010 -0.0009 -0.0009 -0.0009 -0.0008 -0.0009 -0.0010 -0.0009 -0.0009 -0.0009 -0.0009 -0.0009 -0.0009 -0.0009 -0.0008 -0.0008 -0.0008 -0.0009 -0.0008 -0.0008 -0.0008

v (m/s) 3.4573 3.2083 3.2058 3.1812 2.7905 3.0738 3.3551 3.0150 3.0855 3.1034 3.0217 2.9268 2.8992 2.8910 2.8524 2.8421 2.8718 2.9092 2.7909 2.6925 2.7368

Tubo 4: i

H (m) 0 1 2 3

T (s) 0.20 0.19 0.18 0.17

Laboratorio Operaciones Unitarias

dT/dH 0.00 2.32 4.72 7.08

-227.1667 -236.1667 -238.3333 -237.8333

dH/dT -0.0044 -0.0042 -0.0042 -0.0042

v (m/s) 5.3657 5.1612 5.1143 5.1250 Página 15

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

9.48 11.74 14.13 16.56 18.98 21.36 23.79 26.17 28.64 31.21 33.73 36.26 38.80 41.51 44.13 46.59 49.30

-233.0000 -232.6667 -240.8333 -242.5000 -240.0000 -240.5000 -240.3333 -242.5000 -252.3333 -254.5000 -252.3333 -253.1667 -262.6667 -266.8333 -253.6667 -258.5000 -284.8333

-0.0043 -0.0043 -0.0042 -0.0041 -0.0042 -0.0042 -0.0042 -0.0041 -0.0040 -0.0039 -0.0040 -0.0039 -0.0038 -0.0037 -0.0039 -0.0039 -0.0035

5.2313 5.2388 5.0612 5.0264 5.0788 5.0682 5.0717 5.0264 4.8305 4.7894 4.8305 4.8146 4.6405 4.5680 4.8051 4.7153 4.2793

Tubo 5: i

H (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

T (s) 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

Laboratorio Operaciones Unitarias

dT/dH 0.00 1.24 2.44 3.53 4.62 5.78 6.95 8.07 9.19 10.36 11.53 12.72 13.92 15.12 16.28 17.48 18.80 19.96 21.27 22.41 23.63

-126.8333 -121.8333 -114.5000 -109.0000 -112.3333 -116.8333 -114.5000 -112.0000 -114.3333 -116.8333 -118.0000 -119.6667 -120.3333 -117.6667 -117.8333 -126.1667 -123.8333 -123.5000 -122.5000 -118.1667 -127.1667

dH/dT -0.0079 -0.0082 -0.0087 -0.0092 -0.0089 -0.0086 -0.0087 -0.0089 -0.0087 -0.0086 -0.0085 -0.0084 -0.0083 -0.0085 -0.0085 -0.0079 -0.0081 -0.0081 -0.0082 -0.0085 -0.0079

v (m/s) 3.7540 3.9081 4.1584 4.3682 4.2386 4.0753 4.1584 4.2512 4.1644 4.0753 4.0350 3.9788 3.9568 4.0465 4.0407 3.7738 3.8450 3.8553 3.8868 4.0293 3.7442

Página 16

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Velocidad de salida del fluido por ecuación de balance de energía mecánica Tubo 0: i

H (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

v (m/s) 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

f

2.3837 2.3434 2.3025 2.2608 2.2183 2.1751 2.1310 2.0859 2.0399 1.9929 1.9447 1.8954 1.8447 1.7927 1.7391 1.6838 1.6093 1.5506 1.4896 1.4262 -141.3333

0.0297 0.0298 0.0300 0.0301 0.0303 0.0304 0.0306 0.0308 0.0309 0.0311 0.0313 0.0316 0.0318 0.0320 0.0323 0.0326 0.0403 0.0407 0.0412 0.0417 -0.0071

Tubo 1: i

H (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Laboratorio Operaciones Unitarias

v (m/s) 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06

2.3180 2.2889 2.2593 2.2294 2.1991 2.1683 2.1371 2.1055 2.0733 2.0407 2.0076 1.9739 1.9396 1.9047 1.8691

f 0.0226 0.0227 0.0228 0.0228 0.0229 0.0230 0.0231 0.0231 0.0232 0.0233 0.0234 0.0235 0.0236 0.0237 0.0238 Página 17

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 15 16 17 18 19 20

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

1.8329 1.7960 1.7582 1.7197 1.6803 1.6400

0.0239 0.0240 0.0241 0.0243 0.0244 0.0245

Tubo 2: i

H (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

v (m/s) 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

f

2.6593 2.6348 2.6102 2.5853 2.5601 2.5348 2.5091 2.4832 2.4571 2.4307 2.4039 2.3769 2.3496 2.3220 2.2940 2.2657 2.2371 2.2080 2.1786 2.1489 2.1187

0.0219 0.0220 0.0220 0.0221 0.0221 0.0222 0.0222 0.0223 0.0223 0.0224 0.0224 0.0225 0.0225 0.0226 0.0227 0.0227 0.0228 0.0229 0.0229 0.0230 0.0231

Tubo 3: i

H (m) 0 1 2 3 4 5 6 7

Laboratorio Operaciones Unitarias

v (m/s) 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13

2.9813 2.9632 2.9450 2.9267 2.9083 2.8898 2.8711 2.8524

f 0.0240 0.0241 0.0241 0.0241 0.0242 0.0242 0.0243 0.0243

Página 18

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

2.8335 2.8145 2.7954 2.7761 2.7568 2.7373 2.7176 2.6979 2.6780 2.6579 2.6377 2.6174 2.5969

0.0243 0.0244 0.0244 0.0244 0.0245 0.0245 0.0246 0.0246 0.0247 0.0247 0.0247 0.0248 0.0248

Tubo 4: i

H (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

v (m/s) 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

f

3.1804 3.1614 3.1422 3.1230 3.1036 3.0841 3.0644 3.0447 3.0248 3.0048 2.9847 2.9644 2.9440 2.9235 2.9028 2.8820 2.8610 2.8399 2.8186 2.7972 2.7756

0.0211 0.0211 0.0211 0.0211 0.0212 0.0212 0.0212 0.0213 0.0213 0.0213 0.0214 0.0214 0.0214 0.0215 0.0215 0.0215 0.0216 0.0216 0.0216 0.0217 0.0217

Tubo 5: i

H (m) 0 1

Laboratorio Operaciones Unitarias

v (m/s) 0.20 0.19

3.2932 3.2736

f 0.0189 0.0189 Página 19

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

3.2539 3.2341 3.2142 3.1941 3.1739 3.1536 3.1332 3.1126 3.0919 3.0711 3.0501 3.0290 3.0078 2.9863 2.9648 2.9431 2.9212 2.8991 2.8769

0.0189 0.0189 0.0190 0.0190 0.0190 0.0190 0.0191 0.0191 0.0191 0.0191 0.0192 0.0192 0.0192 0.0193 0.0193 0.0193 0.0193 0.0194 0.0194

Tiempo analítico de escurrimiento Tubo 0: i

Re 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

f 5813.81 5715.62 5615.74 5514.08 5410.56 5305.05 5197.45 5087.61 4975.40 4860.66 4743.20 4622.81 4499.28 4372.33 4241.66 4106.93 3925.05 3781.88 3633.24

Laboratorio Operaciones Unitarias

0.0297 0.0298 0.0300 0.0301 0.0303 0.0304 0.0306 0.0308 0.0309 0.0311 0.0313 0.0316 0.0318 0.0320 0.0323 0.0326 0.0403 0.0407 0.0412

Suma pares Suma impares

0.2987 0.3309

Tamaño de paso

-98.20

Integral

-65.234

Tiempo

14.51557464

Página 20

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 19 20

3478.43 3316.63

0.0417 0.0423

Tubo 1: i

Re 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f 5653.75 5582.61 5510.55 5437.56 5363.57 5288.57 5212.49 5135.30 5056.94 4977.36 4896.49 4814.29 4730.66 4645.55 4558.87 4470.51 4380.40 4288.41 4194.42 4098.31 3999.90

0.0226 0.0227 0.0228 0.0228 0.0229 0.0230 0.0231 0.0231 0.0232 0.0233 0.0234 0.0235 0.0236 0.0237 0.0238 0.0239 0.0240 0.0241 0.0243 0.0244 0.0245

Suma pares Suma impares

0.2109 0.2345

Tamaño de paso

-71.14

0.0219 0.0220 0.0220 0.0221 0.0221 0.0222 0.0222 0.0223 0.0223 0.0224 0.0224 0.0225

Suma pares Suma impares

0.2021 0.2246

Tamaño de paso

-59.60

Integral

-33.368

Tiempo

194.166 s

Tubo 2: i

Re 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

f 6485.98 6426.38 6366.23 6305.51 6244.22 6182.33 6119.83 6056.69 5992.89 5928.43 5863.26 5797.38

Laboratorio Operaciones Unitarias

Integral

-26.769

Tiempo

219.404 s

Página 21

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5730.75 5663.35 5595.15 5526.13 5456.25 5385.48 5313.78 5241.12 5167.45

0.0225 0.0226 0.0227 0.0227 0.0228 0.0229 0.0229 0.0230 0.0231

Tubo 3: i

Re 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f 7271.51 7227.37 7182.98 7138.33 7093.41 7048.21 7002.75 6957.00 6910.96 6864.63 6818.01 6771.08 6723.84 6676.28 6628.40 6580.19 6531.64 6482.75 6433.51 6383.91 6333.94

0.0240 0.0241 0.0241 0.0241 0.0242 0.0242 0.0243 0.0243 0.0243 0.0244 0.0244 0.0244 0.0245 0.0245 0.0246 0.0246 0.0247 0.0247 0.0247 0.0248 0.0248

Suma pares Suma impares

0.2197 0.2442

Tamaño de paso

-44.14

0.0211 0.0211 0.0211 0.0211 0.0212 0.0212

Suma pares Suma impares

0.1922 0.2136

Tamaño de paso

-46.45

Integral

-21.555

Tiempo

1845.923 s

Tubo 4: i

Re 0 1 2 3 4 5

f 7757.14 7710.69 7663.96 7616.96 7569.68 7522.10

Laboratorio Operaciones Unitarias

Integral

-19.844 Página 22

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7474.24 7426.07 7377.60 7328.81 7279.71 7230.29 7180.54 7130.45 7080.01 7029.23 6978.09 6926.58 6874.69 6822.43 6769.77

0.0212 0.0213 0.0213 0.0213 0.0214 0.0214 0.0214 0.0215 0.0215 0.0215 0.0216 0.0216 0.0216 0.0217 0.0217

Tiempo

272.421 s

Tubo 5: i

Re 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f 8032.09 7984.35 7936.32 7888.01 7839.41 7790.51 7741.30 7691.79 7641.96 7591.80 7541.32 7490.51 7439.35 7387.85 7335.99 7283.77 7231.18 7178.21 7124.85 7071.10 7016.94

Laboratorio Operaciones Unitarias

0.0189 0.0189 0.0189 0.0189 0.0190 0.0190 0.0190 0.0190 0.0191 0.0191 0.0191 0.0191 0.0192 0.0192 0.0192 0.0193 0.0193 0.0193 0.0193 0.0194 0.0194

Suma pares Suma impares

0.1720 0.1912

Tamaño de paso

-47.74

Integral

-18.251

Tiempo

57.746 s

Página 23

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Correlaciones del tiempo de escurrimiento y la carga hidráulica Tubo 0: Los valores de las constantes de regresión son:

Tubo 1: Los valores de las constantes de regresión son:

Tubo 2: Los valores de las constantes de regresión son:

Tubo 3: Los valores de las constantes de regresión son:

Tubo 4: Los valores de las constantes de regresión son:

Tubo 5: Los valores de las constantes de regresión son:

Factor de fricción en simultáneo con valores de velocidad de salida Los valores hallados de fricción y velocidad simultáneamente, están en la sección de velocidad por ecuación de balance de energía mecánica, de igual manera en la sección de deducción de ecuaciones.

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Página 24

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Análisis y Discusión de Resultados Que cuando nosotros calculamos la caída del fluido en un tiempo definido observamos que en los tubos más largos tiene un menor tiempo de caída pero cuando utilizamos los tubos más cortos podemos observar que tiene un mayor tiempo de caída. Se ha visto que cuando las velocidades están en las mayores alturas son mayores, en contraste con las alturas menores las velocidades siempre son menores. Se ha visto que a mayor diámetro el fluido cae más rápidamente.

Conclusiones Se concluye que a mayor altura será mayor la velocidad de salida del fluido por medio del análisis de la ecuación de la energía. También podemos concluir sobre lo apreciable que son las perdidas por entrada a la tubería y también las perdidas por accesorio.

Recomendaciones El cronometrado del tiempo se debe hacer lo mas exacto posible y que lo haga una sola persona porque esa persona tiene un criterio de calculo propio o de aproximación propia. Utilizar un tipo de fluido conocido donde podemos hallar fácilmente las tablas de viscosidad, densidad y peso específico. Tener los cuidados respectivos porque el diesel 2 es un fluido muy inflamable.

Referencias Bibliográficas

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Página 25

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Apéndice Deducción de Ecuaciones Obtención del diámetro efectivo a partir de datos obtenidos por calibración A partir del volumen del cilindro:

Podemos expresarlo en función al diámetro efectivo del cilindro:

Esta ecuación puede expresarse de forma analítica por medio de una regresión lineal de los datos obtenidos por calibración, donde:

Donde:

A partir de la aproximación lineal obtenemos los valores:

Por tanto despejando el diámetro de la ecuación (1.4):

Reemplazando valores podemos obtener el valor del diámetro efectivo:

Deducción de la velocidad de salida, por medio de un balance macroscópico de masa A partir del balance macroscópico de materia en estado estacionario:

El término SALIDA es nulo pues al experimentar, no ingresa materia al sistema, además no hay reacción química y por tanto la generación es nula, entonces quedaría expresada asi:

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Página 26

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental

Ahora lo expresamos de forma matemática:

La masa de salida puede expresarse como:

Además el volumen se puede expresar:

Entonces de (2.5) en (2.4):

Para acondicionar el primer miembro de la ecuación (2.3), usamos:

Reemplazando (2.4) en (2.7) y despejando la masa:

Expresando en diferencial:

Reemplazando (2.9), (2.6) en (2.3):

Simplificando:

Por el área transversal tenernos:

Reemplazando (2.12) en (2.11):

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Y esto puede ser resuelto mediante diferenciación numérica en cada punto de altura, con su correspondiente tiempo de escurrimiento.

Deducción de la velocidad de salida, por medio de un balance macroscópico de energía mecánica El balance macroscópico de energía mecánica en estado estacionario esta expresada por la siguiente ecuación:

Y se analiza el siguiente diagrama:

El análisis se hace entre los puntos de la superficie del liquido (punto 1) y la salida del tubo (punto 2), como en los 2 puntos de análisis la presión es igual a la presión atmosférica, estos términos son iguales y se simplifican. Además la velocidad en el punto 1 puede considerarse nula, ya que la velocidad del fluido en la parte superior es despreciables respecto a la velocidad de salida de la tubería, y por último la altura en el punto 2 es nula ya que es el origen de la referencia de altura, por tanto la ecuación (3.1) quedaría expresada como:

Como Z1 es la altura desde la parte inferior de la tubería, hasta el nivel del liquido, puede reemplazarse por:

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Entonces la ecuación final seria, con su respectivo factor de corrección de la velocidad:

Donde las pérdidas totales pueden expresarse por:

Reemplazando (3.5) en (3.4):

Factorizando y trasladando todos los términos en un miembro obtenernos:

Como el factor de fricción depende del número de Reynolds y este a su vez de la velocidad, no se puede hallar directamente, por tanto se hace las siguientes ecuaciones algorítmicas:

Deducción del tiempo analítico de escurrimiento A partir de la ecuación (2.13), despejando dT:

Integrando ambos miembros:

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Resolviendo la integral por partes nos resulta de la siguiente manera:

La integral faltante puede resolverse por integración numérica a partir de la resolución de la Ecuación de Balance de Materia o el de Balance de Energía.

Ecuaciones para la regresión lineal o aproximación funcional Por el método de los mínimos cuadrados analizamos la posible solución lineal:

N

A partir de la = resolución de operaciones las respectivas matrices se hallan los valores de las constantes donde:

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(5.7) las con

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental

Y la ecuación final estará expresada por:

Calculo del factor de fricción simultáneo con la velocidad de salida del fluido La deducción de estas ecuaciones se expreso anteriormente en la sección 3 de las deducciones de ecuaciones desde la ecuación (3.8) en adelante.

Cálculos de propiedades físicas del sistema y errores Caudal El caudal es hallado por medio de la formula siguiente:

O también en función al diámetro de salida del fluido:

Número de Reynolds El número de Reynolds se halla a partir de propiedades del sistema y fluido:

Pérdidas totales de carga hidráulica Las pérdidas totales se hallan por medio de la ecuación:

Análisis de errores Los errores son calculados de la siguiente manera:

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Tablas adicionales, gráficos y figuras varias Tiempo de escurrimiento como función de la variación de carga hidráulica

Velocidad de salida del fluido como función de la carga hidráulica

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Velocidad de descenso como función de la carga hidráulica

Factor de fricción como función del número de Reynolds

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Diámetros constantes

Longitud constante

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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental CUESTIONARIO 1.- Para todos cálculos necesarios se debe adoptar el valor de un diámetro efectivo del tanque. ¿Por qué no se considera el diámetro físico real? Porque al momento de calibrar con el agua observamos que el diámetro del tanque tenia algunas deformaciones y donde no era necesario utilizarlo para hacer los cálculos por eso utilizamos el diámetro experimental que se obtiene al calibrar con el fluido, y donde al calibrar se obtendrá el radio efectivo con el que se trabajara el fluido. 2.- Explicar la razón de la desviación del tiempo de descarga experimental respecto al valor teórico, a medida que se emplean los tubos más cortos. A medida que se van a ir empleando los tubos va a depender la altura para el descenso del fluido porque sería a mayor altura mayor será el descenso de fluido en un menor tiempo pero a menor altura menor será el descenso del fluido en un mayor tiempo. 3.- ¿Cuál es el factor influyente en la desviación de los valores del tiempo de escurrimiento a medida que se emplean tubos de mayor diámetro? El factor influyente es que al utilizar tubos de menor diámetro se utilizaría más tiempo para la caída del fluido pero si el tubo seria de mayor diámetro el tiempo de escurrimiento se produciría más rápidamente. 4.- Considere el caso que no se utiliza ningún tubo, es decir, la descarga se produce a través del orificio. ¿Cómo deduciría el tiempo de escurrimiento, y cual serian estos valores? ¿Aumenta o disminuye, respecto al tubo más corto? Cuando la descarga se realiza por el orificio el fluido caerá con mayor rapidez en un menor tiempo ya que adquiere una aceleración y la influencia de la presión dinámica pero caso contrario ocurre cuando se emplean los tubos. 5.- ¿Qué criterios son necesarios para aplicar un balance de conservación de cantidad de movimiento? ¿Qué importancia relativa esperaría que tuvieran los efectos de la aceleración de la gravedad?

 Tipo de fluido a trabajar, para efectuar un buen balance de cantidad de movimiento.  El movimiento global del fluido.  Las fuerzas que interactúan dentro del fluido (fuerzas viscosas y presión) 6.- Explique si el termino longitud de entrada influye en los resultados. El termino de longitud de entrada si va influir en el resultado o sea en la velocidad que tome el fluido en el tanque que nos permitirá hallar el número de Reynolds. 7.- ¿influiría en los resultados teóricos, si se considera los términos de energía cinética que se despreciaron al efectuar el balance macroscópico de energía mecánica? Afectaría en un milésimo, ya que si comparamos la velocidad a la que desciende el nivel en comparación con la velocidad con la que sale el fluido, es extremadamente menor.

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