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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS

TEXTO DE HORMIGÓN ARMADO

Profesor: GERMÁN LÓPEZ BARBA Ingeniero Civil

Año 2005

ÁMBITO El diseño de elementos estructurales de Hormigón Armado, es una disciplina científica que se ha desarrollado ampliamente en los últimos tiempos, cuyo conocimiento requiere estudios extensivos. La presente obra no pretende cubrir un total conocimiento de la materia; pretende constituir un texto para su aprendizaje desde el punto de vista básico, compatible con los requerimientos fundamentales de capacitación que generalmente están establecidos en los cursos de nuestras Universidades, en la carrera de Ingeniería Civil. Se ha contemplado su actualización, tomando en cuenta las normas constantes en el último Código para Estructuras de Concreto ACI – 318 RM – 02.

CURSO DE HORMIGON ESTRUCTURAL I PROGRAMA ANALITICO CAPITULO I.- INTRODUCCION Definiciones del Hormigón.- Materiales constitutivos.- Propiedades y ventajas.- Tipos y Clases de hormigón.- Resistencia.- La Tecnología y la Teoría Estructural.- EL Hormigón Armado,- Descripción de la Armadura.

CAPITULO II.- PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE DISEÑO El comportamiento inelástico del hormigón.- La Resistencia ultima.- Seguridad de una estructura.Provisiones de seguridad: factores de resistencia.- Combinación de cargas.- Ejemplos de determinación de las cargas de diseño.Esfuerzos y deformaciones.- Influencia de la velocidad de aplicación de la carga.- Efectos de la carga sostenida.- El flujo plástico.

CAPITULO III.- DISEÑO POR FLEXION Mecánica de la flexión.- Comportamiento de vigas bajo momentos flectores.- Distribución rectangular equivalente de compresiones.Vigas simplemente armadas.- Cuantía de armadura.- Resistencia por tensión.- Limites de armadura; la relación de balance.- Ecuaciones fundamentales de diseño.- Ejemplos de resolución analítica.Procedimientos prácticos de diseño por flexión; uso de tablas o ayudas: ejemplos ilustrativos.Vigas con pequeña carga axial.- Procedimiento de diseño.- Ejemplo. Vigas doblemente armadas; ecuaciones de diseño.- Ejemplos.- Tablas.Diseño de vigas de sección T.- Ecuaciones de diseño.- Relaciones de armadura.- Ejemplo de análisis directo.- Uso de tablas para el diseño de vigas T.Redistribución de momentos negativos, en vigas contínuas.

CAPITULO IV DISEÑO POR CORTE Y TORSION Mecánica del esfuerzo cortante.- Vigas simples y vigas armadas.- Regulaciones principales del código ACI-318-02 para diseño de esfuerzo cortante.- Diseño de vigas sin refuerzo del alma.- Diseño de vigas con refuerzo.- Criterios aproximados; criterios más exactos.Mecánica de la torsión.- Analogía del tubo de armadura triangular. Diseño por corte y torsión combinados.- Regulaciones del código.- Armaduras requeridas.- Ejemplos numéricos ilustrativos.-

CAPITULO V.- ANALSIS DE LA ADHERENCIA Y ANCLAJE Mecánica de la adherencia.- Ecuación fundamental La longitud desarrollada de anclaje.- Longitud requerida en tensión.- Longitud de compresión.- Ganchos de anclaje.- Interrupción de varillas para momentos flectores.- casos especiales y ayudas para determinar los puntos de corte de varillas.- Criterios aproximados para interrumpir varillas.Empalmes de varillas.- Criterios y regulaciones para empalmar varillas.- Empalmes en tensión.Empalmes en compresión.

CAPITULO VI.- DISEÑO POR FLEXO COMPRESION Mecánica de la flexocomprensión.- Pequeñas y grandes excentricidades.- Regulaciones principales del Código ACI-318-02 para diseño de columnas; limites de armaduras longitudinales; armadura transversal; zuncho.- Interacción de cargas axiales y momentos flectores.Columnas de sección rectangular; columnas fallando por tensión.- Contribución de varillas intermedias.Análisis directos según los esfuerzos y deformaciones.- Columnas con fallas por compresión.- Ecuaciones aproximadas de diseño.- Ejemplos ilustrativos de diseño.Columnas circulares zunchadas: Análisis directo.- Ecuaciones aproximadas de diseño.- Ejemplos ilustrativos de diseño.- Esbeltez de columnas; efectos de la esbeltez; el pandeo de la columna.Regulaciones del Código ACI sobre esbeltez; reducción de la capacidad de columnas por la esbeltez.Ejemplos numéricos ilustrativos.

CAPITULO VII.- LOSAS Descripción y clasificación de las losas, según sus tipos de apoyo y sus sistemas constructivos.- Losas llenas; losas nervadas.Losas apoyadas en sus bordes.- Losas armadas en un solo sentido.- Losas cruzadas.- Método ilustrativo de losas cruzadas, apoyadas en sus bordes.Losas apoyadas en columnas.- Análisis de la altura mínima para control de deflexiones.- Provisiones para el esfuerzo cortante.- Aberturas en las losas.- Transferencia de momentos en las conexiones losacolumna.El Método Directo ACI para cálculo de losas cruzadas.- Limitaciones y regulaciones de diseño.- Ejemplo de diseño de una losa plana.- Ejemplo de diseño de una losa con vigas.Momentos flectores en columnas.

CAPITULO VIII.- FUNCIONALISMO DE LOS ELEMENTOS DE HORMIGON ARMADO Control de fisuramiento.- Ancho máximo de fisuras permisibles.- Regulaciones del código sobre fisuramiento.- Ejemplos ilustrativos de análisis por fisuramiento.Control de deflexiones.- Deflexiones instantáneas.- Deflexiones diferidas.- Deflexiones máximas permisibles.- Ejemplos ilustrativos de cálculo de deflexiones.-

CAPITULO IX.- PROVISIONES ESPECIALES PARA DISEÑO SISMICO Requerimientos Generales: Análisis y proporcionamiento de Miembros estructurales.- Factores de reducción de resistencia.Limitaciones de materiales.- Empalmes, Anclajes en el concreto.Miembros flexionantes: Ámbito.- Refuerzo flexionante.- Refuerzo transversal, Requerimiento para resistencia al corte. Miembros sujetos a la flexocompresión: Ámbito.- Resistencia mínima de columnas flexionantes.- Armadura longitudinal.- Armadura transversal.Requisitos de resistencia al corte.Nudos de estructuras especiales: Armadura transversal.- Resistencia al corte.- Longitud desarrollada de varillas en tensión. Muros estructurales armados.- Vigas de acoplamiento:

Refuerzo.- Fuerzas de diseño.- Resistencia al corte.- Diseño para flexión y cargas axiales.- Elementos de borde de paredes estructurales.- Vigas de conexión. Fundaciones: Plintos.- Losas.- Cabezales de pilotes.- Pilotes, pilares.- Cajones. Ejemplos: Proporcionamientos y detalles de miembros flexionantes.- Proporcionamientos y detalles de columnas.Análisis de la conexión de una viga exterior y la columna.- Análisis de la conexión de una viga interior y la columna.- Análisis de un muro estructural

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN

CAPITULO I INTRODUCCIÓN 1.01 DEFINICION Actualmente, podemos definir al hormigón como un material pétreo que se obtiene de la mezcla apropiada de arena, grava, cemento y agua. A la arena y la grava, que son materiales inertes, se los denomina los agregados; el cemento es obviamente el material aglutinante; el agua es un agente de consistencia y de reacción química. Al hormigón se le conoce también como concreto.

Se lo utiliza como material

estructural bajo las siguientes modalidades: • Hormigón Armado • Hormigón Pre-esforzado • Hormigón Simple • Ferro-cemento Para generalizar y referirse mejor al espíritu del hormigón, como material de construcción es denominado Hormigón Estructural. Citaremos a continuación las ventajas más relevantes del concreto, como material de construcción: En primer lugar está su resistencia a esfuerzos de compresión, pues aunque artificialmente obtenido, es finalmente una roca. Su durabilidad, pues resiste magníficamente a la acción del tiempo y la intemperie; a diferencia de otros materiales, con el transcurso del tiempo aumenta su resistencia, debido a que el proceso de hidratación del cemento continúa casi indefinidamente. Su resistencia al fuego, es otra cualidad que le hace un material recomendable. Su economía y facilidad de fabricación. Desde luego que los agregados y las materias primas para elaborar el cemento existen prácticamente en todos los lugares de la tierra, donde quiera se puede hacer hormigón, en condiciones ventajosas.

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La versatilidad de formas: Prácticamente se puede hacer de concreto elementos de cualquier forma, pues solo depende de que se construyan moldes o encofrados adecuados.

Esta propiedad permite disponer de infinitas posibilidades tanto

arquitectónicas como estructurales para una construcción cualquiera. Es decir, que el campo de aplicación de este material es muy amplio, pues podemos decir que casi toda estructura se puede ejecutar en hormigón. La estática y la estética tienen en el hormigón su mejor medio de aplicación.

1.02 TECNOLOGIA Y TEORIA ESTRUCTURAL El

conocimiento del hormigón armado podemos dividirlo en dos grandes partes,

perfectamente diferenciadas pero relacionadas entre sí. La una parte se refiere al estudio de las propiedades físicas del hormigón, siendo los aspectos más relevantes el conocimiento de normas de construcción, las características del hormigón simple y del hormigón armado; el estudio de sus materiales constitutivos: Cemento, agregados, agua, aditivos; los ensayos que se realizan sobre el hormigón, el control de calidad; la producción del hormigón; la dosificación, el mezclado, el transporte y colocación en obra, la compactación, el curado, el acabado; la construcción de andamios y encofrados; la preparación y armado del hierro de refuerzo, y otros. En resumen, a este gran capítulo lo definimos como la Tecnología del Hormigón. La otra parte se refiere a la teoría del hormigón desde el punto de vista estructural, al estudio de las fuerzas internas que se desarrollan en un miembro de una estructura y al dimensionamiento del mismo para resistir una solicitación de fuerzas. Podemos decir que se refiere a la aplicación de la Estática y de la Resistencia de Materiales al Hormigón. A esta parte le llamaremos la Teoría Estructural del Hormigón, y es a la cual nos referiremos en los siguientes capítulos de este curso. Sin embargo, a continuación citamos algunos aspectos relativos a la Tecnología, por considerarlos relevantes y dignos de mencionarse.

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1.03 MATERIALES La grava, a la que se denomina el agregado grueso, se obtiene de rocas disgregadas, y se las puede usar en su estado natural, si la gradación de sus partículas es apropiada, o previa una trituración de rocas más grandes. En todo caso es conveniente someterla a un tamizado, a fin de obtener un control adecuado sobre el tamaño y proporción de sus partículas. El tamaño mínimo de éstas se define por el tamiz N°4, en el cual dichas partículas son retenidas; el tamaño máximo de la grava es variable y debe convenir a las dimensiones de los elementos en que se va a emplear y a las posibilidades de obtener una masa compacta. Las propiedades de la grava decidirán fundamentalmente la calidad del concreto que se obtenga, de ahí que es necesario que aquella tenga buena resistencia a la acción del tiempo y a la intemperie; no sea alterada fácilmente por reacciones químicas, sea completamente limpia de materiales muy finos y/o orgánicos; debe tener una superficie rugosa. Los concretos normales se obtienen de las rocas comunes y corrientes; pero para algunos casos especiales es posible fabricar hormigones bastante livianos, usando así mismo agregados de poco peso, tales como ciertas rocas de origen volcánico, como el pómez, esquistos arcillosos, pizarras o escorias de altos hornos.

La arena, denominada también el agregado fino, es aquel material que pasa por el tamiz N°4.

Su naturaleza es similar a la grava, excepto, como se define, por el

tamaño de las partículas; las propiedades de la grava son también aplicables a las arenas, así como sus requerimientos. A fin de obtener un concreto lo más compacto posible, es necesario que tanto los agregados gruesos como los finos, no tengan una medida uniforme en cuanto a sus partículas, siendo mejor que exista una variación de medidas, en proporciones adecuadas, de tal modo que los gránulos más finos ocupen los intersticios dejados entre los más gruesos, y sea posible obtener así una mezcla más compacta. En otras palabras, se requiere que los agregados de un concreto tengan una adecuada gradación,

El cemento que se emplea en la elaboración del concreto es el cemento hidraulico, o sea aquel que necesita de agua para su reacción química y endurecimiento. De los cementos hidraulicos, el que generalmente se emplea para la fabricación del hormigón

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es el denominado tipo Portland.

Este material está constituido básicamente de

silicatos de calcio y aluminio. Las materias primas para la elaboración de cemento son las calizas y las arcillas, principalmente. Los cementos usuales son: ♦ Cemento Pórtland (ASTM C 150) ♦ Mezclas de cementos hidráulicos (ASTM C 595 M) ♦ Cemento hidraulico expansivo (ASTM C 845) ♦ Cemento hidráulico (ASTM 1157)

El agua empleada en la elaboración del concreto debe ser limpia, libre de impurezas orgánicas y de excesivas sustancias químicas disueltas, tales como sales, que puedan provocar reacciones desfavorables con el hierro u otros metales embebidos en el hormigón. No es necesario que el agua sea potable. Especificaciones detalladas y métodos de ensayo para el control de los diferentes materiales constitutivos del concreto, se dan en publicaciones especializadas, siendo una de las más conocidas, las normas de la ASTM (Sociedad Americana de Ensayo de Materiales) y el código ACI 318M – 02.

1.04 FABRICACION DEL CONCRETO Muchos son los factores que intervienen en la elaboración del concreto, los mismos que deben ponerse en práctica para conseguir la calidad de material que se prevee. En primer lugar citamos la PROPORCION de la mezcla. Con esto nos referimos a la cantidad de cada uno de los componentes mencionados que debe proveerse, relacionados entre sí. La proporción de un concreto puede ser variable, según sea el grado de resistencia final que se desee obtener, y según las propiedades de los componentes. La cantidad de grava y de arena necesaria depende principalmente de su granulometría y su peso específico, lo que a la vez determina la cantidad de cemento requerido. Esta cantidad de cemento es factor preponderante en el resultado final, pues de una manera general, a mayor cantidad de cemento corresponde mayor resistencia del concreto.

Pero por otro lado hay que considerar también que el

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cemento es un material mas caro que los demás, y la cantidad a emplearse debe estar dentro de límites razonables. La cantidad de agua que intervenga en una mezcla es también de primera importancia. Teóricamente el agua requerida debe ser la necesaria para la hidratación del cemento solamente, pero esto significa una mezcla bastante seca, difícil de compactar, y que da como resultado muchos espacios vacíos en la masa, afectando grandemente a su resistencia, apariencia y forma final. En la práctica es necesario añadir una mayor cantidad de agua, a fin de dar la plasticidad y consistencia adecuadas al concreto para obtener una masa homogénea y facilitar su manipuleo. Más, esto trae como consecuencia la creación de vacíos por la evaporación y escurrimiento del agua en exceso, lo que debilita notablemente la resistencia del concreto; una exagerada cantidad de agua disminuye mucho la calidad del hormigón. De ahí que la cantidad de agua a emplearse debe ser cuidadosamente controlada, debiendo ponerse el menor volumen de agua posible. Básicamente, la cantidad de agua necesaria está relacionada directamente a la cantidad de cemento empleado, de ahí que el control más racional del agua está expresado en la RELACION AGUA-CEMENTO. El modo más adecuado para expresar la proporción de una mezcla para concreto es en términos del peso de los materiales antes que por su volumen, y es más práctico tomar como referencia un saco de cemento, cuyo peso se conoce.

El agua se

expresa en volumen. Así diremos que para un saco de cemento se requieren tantos kilos de piedra, tantos kilos de arena y tantos litros de agua. Existen ciertas normas y ensayos especializados, tales como los dados por el Instituto Americano de Concreto (A.C.I.) para determinar la proporción más conveniente a fin de obtener un concreto de resistencia dada. EL MEZCLADO del concreto tiene por objeto producir un material homogéneo, mediante un íntimo y uniforme contacto entre sus elementos constitutivos.

Debe

hacerse en máquinas mezcladoras diseñadas para el objeto, y durante el tiempo suficiente para que se produzca la mezcla. Para elementos importantes y cantidades apreciables, no se permite el mezclado manual. EL

TRANSPORTE

Y

LA

COLOCACION

I−5

del

concreto,

deben

efectuarse

cuidadosamente, evitando la segregación de sus constituyentes. Luego de haberse colocado el hormigón en obra, debe ser perfectamente COMPACTADO. La mejor manera de conseguir una buena compactación, es mediante aparatos vibradores. Una de las propiedades desventajosas del cemento, y por tanto del concreto, es la retracción de fraguado o encogimiento que sufre durante el proceso de endurecimiento, lo que produce fisuraciones, las mismas que hay que tratar de evitar o reducir al mínimo. Esto se consigue, en gran parte, manteniendo el concreto recién elaborado, húmedo constantemente, por el lapso de algunos días. Este proceso se denomina el CURADO del hormigón, y tiene mucha influencia en la calidad final que se obtiene para el mismo. ADITIVOS.- Adicionalmente a los elementos fundamentales constitutivos del concreto, pueden agregarse ciertas sustancias químicas, conocidas como aditivos para el concreto, que le proporcionan o acentúan ciertas propiedades. Así por ejemplo, se usan aditivos acelerantes de fraguado, retardantes de fraguado, plastificantes o reductores de agua, inclusores de aire, impermeabilizantes, y otros más. Los aditivos deben cumplir con ciertas propiedades y normas, tales como las dadas por la ASTM.

1.05 RESISTENCIA DEL CONCRETO Al mencionar la resistencia del concreto, nos referimos a la resistencia a la compresión, que es la propiedad que se aprovecha con ventaja, puesto que la resistencia a esfuerzos de tensión es muy pequeña, y en la mayoría de los casos prácticos no se lo toma en cuenta. La resistencia del concreto se mide mediante procedimientos convencionales, siguiendo ciertas normas como las dadas para el efecto por la ASTM y la ACI, así por ejemplo, tomando muestras de forma cilíndrica de 15 cm de diámetro por 30 cm de altura, y sometiéndole a cargas de compresión, según una rata de velocidad determinada. El concreto recién elaborado, obviamente no tiene la misma resistencia que cuando es más viejo. A medida que pasa el tiempo, la resistencia del concreto aumenta, siendo la rata de incremento mayor en las edades tempranas que en las posteriores. Como término de referencia y para los fines prácticos se considera como resistencia del concreto, la que tiene a los 28 días de elaborado.

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Teniendo en consideración todos los factores anteriormente descritos, que intervienen en la calidad del concreto, podemos tener naturalmente muchas clases de concreto, en cuanto a su resistencia. Pero desde un punto de vista práctico, se consideran las siguientes resistencias, para uso general de hormigón simple y armado, no preesforzado:

17, 20, 27, 34, 41 MPa

El peso unitario, para concretos elaborados con agregados comunes y corrientes, o sea para concretos de peso normal, se toma como 2 300 a 2 400 Kg/m3. El módulo de elasticidad del concreto se puede computar mediante la siguiente ecuación empírica: _____

Ec = 1 340 W

3/2

√ f ´c

MPa

W

= peso unitario del concreto, en Toneladas/M3

f ´c

= resistencia a la rotura por compresión, MPa

Para concretos normales, con W = 2 300 Kg/m3, se tiene _____

Ec = 4 700 √ f ´c

MPa

1.06 EL HORMIGON ARMADO Hemos mencionado que el concreto no es apto para absorber esfuerzos de tensión. Pero en cambio el acero es un magnífico material para trabajar a este esfuerzo. Si en una masa de concreto, que va a servir como elemento de una estructura, embutimos varillas de acero en las zonas sometidas a tensión, habremos confiado estos esfuerzos a dicho acero, obviando así la deficiencia mencionada del concreto. De esta manera obtenemos lo que se denomina Hormigón Armado. No obstante lo anterior, se emplea el acero también para absorber otros tipos de esfuerzos que no son los de tensión, para aliviar el trabajo del hormigón, y mantener las dimensiones de los elementos estructurales, en límites convenientes. La combinación del acero con el concreto es posible debido a ciertas propiedades

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comunes a ambos materiales que hacen compatible su trabajo simultáneo. Estas son la adherencia, causada por una adhesión química y por una natural rugosidad; y un coeficiente de expansión térmica semejante, ya que éste vale 0.0000055 para el concreto, y 0.0000065 para el hierro. Mientras el acero es susceptible de corrosión, en cambio el hormigón le da protección adecuada, si se da a las varillas un recubrimiento de concreto. El tipo usual de refuerzo para hormigón armado es el de varillas redondas, cuyo diámetro varía desde 1/4” hasta 1-3/8”, por lo general. Con el fin de aumentar la adherencia, las barras tienen su superficie corrugada, con excepción de las de 1/4” de diámetro, que la tiene lisa. La medida de las varillas en la práctica americana, se designan por números, desde el #2 hacia adelante en correspondencia al número de octavos de pulgada de su diámetro nominal; así por ejemplo, el #3 tiene un diámetro de 3/8”, el #4 tiene 4/8” igual 1/2”, etc. En el sistema decimal, se emplean las siguientes medidas nominales del diámetro, en milímetros: 8 - 10 - 12 - 14 - 16 - 18 - 20 - 22 - 25 - 28 - 32 Actualmente, la ASTM establece la siguiente designación de varillas Standard, para diámetros nominales: 10 – 13 – 16 – 19 – 22 – 25 – 29 – 32 – 36 – 43 – 57 mm La longitud de las varillas son de 6, 9, y 12 m. Los diámetros menores se entregan también en rollos.

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ARMADURAS USUALES TIPO

No. NORMA ASTM

ESFUERZO DE FLUENCIA

Varillas deformadas de lingotes

A 615

276 MPa

Varillas deformadas de acero de ejes

A 996 M

414 MPa

Varillas deformadas de acero de riel

A 996 M

345 MPa 414 MPa

A 706

412 MPa

Malla de barras corrugadas

A 184

482 MPa

Malla de alambrón corrugado

A 496

512 MPa

A 185

444 MPa

A 497

482 MPa

Varilla deformadas de acero de baja aleación

Malla electrosoldada de alambrón liso Malla electrosoldada de alambrón corrugado

El Módulo de elasticidad es prácticamente el mismo para todos los aceros de refuerzo, y vale E = 196 000 MPa Referencias: Diseño de Estructuras de Concreto – G. Winter y A. Nilson Código ACI – 318 M – 02 Reinforced Concrete .- E.G. Nawy

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CAPÍTULO II PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL DISEÑO

CAPITULO II PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL DISEÑO

2.01 COMPORTAMIENTO DEL HORMIGÓN ESFUERZOS Y DEFORMACIONES. Para comprender mejor el rendimiento y comportamiento de una estructura, es necesario considerar la relación que existe entre los esfuerzos a que están sometidos los materiales que forman dicha estructura, y las deformaciones que éstos producen en los mismos. Para el concreto, el principal esfuerzo al que se le somete es el de compresión; por tanto a este esfuerzo relacionemos las deformaciones correspondientes. Para cada resistencia de un concreto se puede trazar una curva relacionada a un sistema de ejes ortogonales, que represente la deformación correspondiente a un esfuerzo dado. Las deformaciones se miden cuidadosamente mediante dispositivos especiales, causadas bajo cargas de intensidad conocida, en pruebas de laboratorio, y de este modo podemos trazar las curvas de la relación esfuerzos-deformaciones, para hormigones de diferentes resistencias a la compresión, a los 28 días de edad. Todas estas curvas tienen una conformación similar. Al comienzo presentan una sección recta, lo que significa que las deformaciones son proporcionales directamente a los esfuerzos; pero luego esta proporcionalidad se va perdiendo y las deformaciones se incrementan con una rata mayor que el incremento de los esfuerzos. Luego alcanzan su máximo esfuerzo, o sea su resistencia a la compresión, a una deformación más o menos igual, y que vale aproximadamente 0.003 cm/cm y finalmente muestran una sección que desciende. De la forma de estas curvas, para los diferentes grados de resistencia podemos ver que los concretos de menor resistencia son menos frágiles que los de mayor resistencia, o lo que es lo mismo, la fractura de los concretos de menor resistencia ocurre a mayores deformaciones que las de los hormigones más fuertes; son dúctiles. También podemos observar que las secciones rectas iniciales, tienen diferentes inclinaciones, siendo mayores para los concretos de más alta resistencia. Esto significa que los módulos de elasticidad, o sea las cotangentes de las inclinaciones de estas líneas varían según el grado de resistencia del concreto. Otra deducción importante que podemos sacar de estas relaciones, es que la proporcionalidad directa entre los esfuerzos y deformaciones, y que está representada por la línea recta del comienzo del diagrama, ocurre solamente hasta un esfuerzo bajo, con relación al esfuerzo de falla del concreto. Esto II - 1

significa que un comportamiento elástico del material solo se puede considerar bajo pequeñas cargas. Pero la realidad es que una buena parte de los esfuerzos de que es capaz el concreto, corresponde a un comportamiento inelástico, en el que ya no existe la proporción directa antes mencionada. Otro factor importante que hay que considerar en el comportamiento del hormigón, es la velocidad de aplicación de la carga. Así veremos que para un mismo concreto, de una resistencia dada, una misma deformación se puede alcanzar bajo diferentes esfuerzos, si es que se varía la velocidad de aplicación de la carga.

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Podemos representar las relaciones esfuerzos-deformaciones, medidas en diferentes especímenes de pruebas de un mismo concreto, a los que se han cargado a diferentes ratas de velocidad.

Debe observarse que la parte descendente de la curva, es mucho más abrupta para cargas rápidas que para cargas lentas. Se ve también que el vértice de las curvas, o sea la mayor resistencia alcanzada, es un poco menor para las ratas de deformación menores. Esto se debe al flujo plástico, el cual es una propiedad de ciertos materiales por la que continúan deformándose a través de un tiempo largo, bajo la acción de cargas constantes. Este fenómeno podemos ilustrar esquemáticamente mediante un gráfico, en el cual hemos representado la deformación instantánea εinst. que ha sufrido un concreto que ha sido cargado a los 28 días de edad. La carga ha sido mantenida por algo más de 200 días durante los cuales el flujo plástico ha incrementado la deformación total, en un valor aproximado a 3 veces la deformación inicial. Si mantuviéramos la carga, la deformación continuaría incrementándose, aún cuando a una proporción menor, hasta que alcanzaría su valor límite. Pero si se remueve la carga, ocurriría una recuperación instantánea εinst., que sería la recuperación elástica, y luego se tendría también una recuperación plástica, pero que nunca alcanzaría el valor del flujo plástico inicial. Si se vuelve a cargar después de algunos días, nuevamente se producirá la deformación elástica instantánea, y luego una deformación plástica, esta última de distinto valor que las respectivas anteriores. De análoga manera para el concreto, se tiene también gráficos de relaciones esfuerzos-deformaciones para el acero de refuerzo. Las características principales de este acero son su punto de fluencia y su módulo de elasticidad. El punto de fluencia es generalmente idéntico en tensión y en compresión. II - 3

Todos los aceros muestran una porción elástica, siendo la tangente de la línea recta que la representa igual para los diferentes grados de resistencia; luego sigue una “plataforma de fluencia”, representada por una porción más o menos horizontal bajo esfuerzos constantes. Con deformaciones posteriores, los esfuerzos se incrementan de nuevo, aunque a una rata mucho menor. Para definir el punto de fluencia, se traza una línea paralela a la inclinación de la línea elástica, a partir de una deformación igual al 0.2%.

En vista de que una vez alcanzado el límite de fluencia, las deformaciones que sufre el acero son grandes, tales que el concreto no puede asimilar, se toma entonces como resistencia del acero, el punto de fluencia, que se le designa fy.

2.02 HIPÓTESIS PRINCIPALES Las hipótesis más importantes, sobre las cuales se basa la mecánica del hormigón armado, son las siguientes, muchas de las cuales son generales para todos los materiales. 1. En cualquier sección del miembro que se considere, las fuerzas internas que se desarrollan en dicho miembro, están en equilibrio con la acción de las fuerzas exteriores, que actúan en dicha sección. 2. Las deformaciones que ocurren en una varilla embutida en concreto, son iguales a las del concreto que la rodea. Esto significa que no puede haber un deslizamiento entre hormigón y acero. 3. Las secciones transversales que son planas antes de someterse a una carga, II - 4

siguen siendo planas bajo la acción de la carga. Aún cuando en la práctica, bajo cargas cercanas a la falla, esta asunción no es exacta, las variaciones son tan pequeñas que no merecen tomarse en cuenta. 4. El concreto se fisura generalmente en la zona de un miembro sujeto a esfuerzos de tensión, y por tanto no absorbe esfuerzos de este tipo. Esta consideración es realmente una simplificación de la realidad, puesto que antes de la formación de fisuras, y luego en las zonas comprendidas entre fisura y fisura, el concreto si resiste esfuerzos de tensión, pero éstos son de muy pequeña magnitud. 5. La teoría no se basa en asunciones correspondientes a un material ideal, sino más bien en la relación esfuerzos-deformaciones y en las propiedades de resistencia de sus dos materiales constitutivos, acero y concreto, con algunas simplificaciones razonables. Esto significa un reconocimiento a las propiedades inelásticas del material y el desarrollo de un método de análisis más concordante con la realidad, aún cuando un poco más complejo que en el caso de un material único, sustancialmente elástico. Estas asunciones citadas, permiten calcular el rendimiento de un miembro de hormigón armado solamente bajo un concepto fundamental básico. Pero la acción conjunta de los dos materiales es compleja y escapa a un tratamiento puramente analítico; por lo tanto la investigación experimental y sus conclusiones, juegan un papel preponderante en el diseño del hormigón armado. 6. BASES DE DISEÑO. Una de las características más importantes de un miembro es su resistencia máxima. Por tanto una base lógica de diseño será esta propiedad, a la que aplicamos las medidas de seguridad adecuadas. Al método de diseño basado en este criterio se le denomina el diseño a la resistencia última. El método de diseño a la resistencia requiere que las resistencias nominales calculadas de un miembro, reducidas por un factor específico, igualen o excedan los efectos de las cargas de servicio incrementadas por factores específicos de carga.

2.03

DEFINICIONES - NOTACIONES

Cargas de Servicio

Las cargas consideradas como reales o características, sin variación por factores de carga.

Cargas Factoradas

Las cargas multiplicadas por un factor apropiado, empleadas para dimensionar miembros estructurales.

Resistencia Requerida

Resistencia de un miembro o sección transversal necesaria para resistir las cargas de diseño o sus efectos internos. II - 5

Resistencia Nominal

Resistencia de un miembro o sección transversal, calculada de acuerdo a ciertas provisiones o asunciones de resistencia, antes de la aplicación de cualquier factor de reducción.

Resistencia de Diseño

La resistencia nominal multiplicada por un factor de reducción.

Resistencia requerida: Mu

= Momento factorado, en una sección.

Pu

= Carga axial factorada, a una excentricidad dada.

Vu

= Fuerza cortante factorada, en una sección.

Tu

= Momento torsional factorado.

Resistencia nominal: Mn

= Momento resistente nominal

Mb

= Momento resistente en la condición de balance.

Pn

= Carga axial resistente a una excentricidad dada.

Po

= Carga axial resistente, concéntrica.

Pb

= Carga axial resistente, en la condición de balance.

Vn

= Fuerza cortante resistente, nominal.

Vc

= Fuerza cortante resistente provista por el hormigón.

Vs

= Fuerza cortante resistente provista por el refuerzo.

Tn

= Momento torsional resistente

Ts

= Momento torsional resistente provisto por el refuerzo.

Resistencia de Diseño:

φ Mn = Momento de diseño, en una sección. φ Pn = Carga axial de diseño, a una excentricidad dada. φ Vn = Fuerza de Corte, de diseño. φ Tn = Momento torsional de diseño.

II - 6

2.04

PROVISIONES DE SEGURIDAD

Los requerimientos generales de seguridad estructural se pueden expresar en la forma:

γc C

=

γr R

γc

= coeficiente parcial > 1 aplicado a la carga promedio C

γr

= coeficiente de seguridad parcial < 1 aplicado a la resistencia promedio R de la estructura

El criterio básico para el diseño por resistencia, se puede expresar de la siguiente manera: Resistencia Requerida ≤ Resistencia de Diseño Todos los miembros, en todas sus secciones, se deben proporcionar para cumplir con el criterio mencionado, bajo la combinación mas severa de cargas y los mayores esfuerzos posibles. Tendremos: Pu

≤

φ Pn

Mu

≤

φ Mn

Vu

≤

φ Vn

Tu

≤

φ Tn

Este criterio provee un margen de seguridad, de dos maneras: 1. La resistencia requerida se calcula en términos de cargas factoradas o de sus correspondientes momentos y fuerzas internas. 2. La resistencia de diseño se calcula multiplicando la resistencia nominal por un factor de reducción. La resistencia nominal se calcula según las regulaciones del Código, asumiendo que el miembro o la sección tendrán las dimensiones y los materiales, las propiedades previstas en los cálculos.

II - 7

Existen varias razones para establecer ciertos márgenes de seguridad en el diseño estructural, entre los cuales anotamos: 1. La resistencia de los materiales o elementos puede ser menor que la esperada, a lo cual contribuyen los siguientes factores: ♦ Variación en la resistencia de los materiales, tanto en la compresión del hormigón como en la fluencia y la tensión final del acero. ♦ Efectos de la velocidad de prueba, pues la resistencia del hormigón y del acero se afectan por la rata de carga. ♦ La resistencia del hormigón, en situ, esto es en una estructura, es algo diferente de la obtenida en un especímen de prueba de control. ♦ La variación de los esfuerzos residuales debido a la retracción del fraguado pueden afectar a la carga de fisuración de un miembro, lo cual es significativo cuando la fisuración es un estado límite crítico. Análogamente, la transferencia de cargas de compresión del hormigón al acero, debido al flujo plástico y a la retracción de fraguado, en columnas, puede conducir a una fluencia prematura del acero en compresión, especialmente en columnas esbeltas con pequeñas relaciones de armadura. ♦ Los miembros pueden ser diferentes de lo asumido, debido a errores de fabricación. ♦ La simplificación de asunciones y ecuaciones pueden introducir errores sistemáticos e inciertos. ♦ El empleo de tamaños discretos de varillas conduce a variaciones en la capacidad real de los miembros. 2. Pueden ocurrir sobrecargas. Las cargas muertas pueden variar debido a: - Variaciones en las dimensiones de los miembros. - Variaciones en la densidad de los materiales. - Alteraciones estructurales y no estructurales: Las cargas vivas varían considerablemente de tiempo en tiempo y de un edificio a otro. Existen ciertas incertidumbres en el cálculo de los efectos de una carga: las asunciones de rigideces, longitudes de luces, etc. e inexactitudes cometidas en el modelamiento de estructuras tridimensionales.

II - 8

3. Las consecuencias de una falla pueden ser severas. Se deben considerar algunos factores al respecto: El tipo de falla, la advertencia de la falla, las alternativas de otros modos de carga. Las pérdidas potenciales de vidas. Los costos sociales en pérdidas de tiempo, pérdidas de rentas, pérdidas indirectas de vidas y propiedades. La importancia del elemento estructural en la estructura total. El costo de la reposición de la estructura. Las regulaciones sobre la resistencia, no aseguran necesariamente un comportamiento aceptable bajo cargas de servicio. Por esta razón, el Código incluye requisitos adicionales orientados a proporcionar un rendimiento satisfactorio bajo estas cargas; por ejemplo, para acción flexionante hay normas especiales de servicio concernientes a deflexiones y a distribución del refuerzo. En resumen, una estructura no sólo debe ser resistente sino además funcional.

2.05

RESISTENCIA REQUERIDA

Esta es expresada en términos de una carga factorizada o de sus respectivos momentos y fuerzas internas. Al respecto se tienen tres opciones: 1. Multiplicar las cargas por los respectivos factores y sumarlas para obtener una carga total. 2. Calcular los efectos de las cargas factoradas, separadamente para cargas muertas y para cargas vivas, y luego superponer los efectos. 3. Calcular los efectos de las cargas no factoradas, muertas y vivas, separadamente, multiplicar estos efectos por los factores de carga, y luego superponerlos. Cuando se consideran cargas de gravedad y cargas horizontales, los efectos de tales cargas tienen que ser calculados separadamente, antes de ser superpuestos. El Código prescribe los factores de carga a ser aplicados a una combinación específica de carga. Una lista de estos factores se presenta a continuación.

II - 9

Factores de Carga U = 1.4 (D + F)

(9 – 1)

U = 1.2 (D + F + T) + 1.6 (L+H) + 0.5 (Lr, o S, o R)

(9 – 2)

U = 1.2 D + 1.6 (Lr, o S, o R) + (1.0 L, o 0.8 W)

(9 – 3)

U = 1.2 D + 1.6 W + 1.0 L + 0.5 (Lr, o S, o R)

(9 – 4)

U = 1.2 D + 1.0 E + 1.0 L +0.2 S

(9 – 5)

U = 0.9 D + 1.6 W +1.6 H

(9 – 6)

U = 0.9 D + 1.0 E + 1.6 H

(9 – 7)

U = Resistencia requerida D = Carga muerta L = Carga viva F = Cargas de Fluidos T = Efectos acumulados de temperatura, flujo plástico, contracción, asentamientos diferenciales. H = Cargas debido al empuje de tierras o a su peso, agua en suelos u otros materiales. Lr = Carga viva en cubiertas o azoteas. R = Cargas por lluvias. S = Cargas por nieve W = Cargas por viento.

II - 10

Nota: El factor de L en las ecuaciones de (9 – 3) a (9 - 5) se permitirá reducir a 0.5, excepto en garajes, áreas ocupadas por asambleas públicas y en áreas donde la carga viva es mayor que 500 Kg/m2 Cuando la carga sísmica E se basa en cargas a nivel de servivio, el valor 1.4 E se empleará en lugar de 1.0 E en las ecuaciones (9 – 5) y (9 – 7). Si la acción estructural debido a H es en sentido contrario a la acción de W o E, se tomará H = 0 en las ecuaciones (9 – 6) y (9 – 7). Si se considera en el diseño los efectos de impacto, estos se incluirán en la carga viva L.

Ecuaciones Simplificadas de combinaciones de Carga Carga muerta D + viva L

Carga muerta, viva, y viento

Carga muerta, viva, y sísmica

U = 1.4 D

(9 – 1)

U = 1.20 + 1.6 L

(9 – 2)

U = 1.2 D + 1.6 L + 0.8 W

(9 – 3)

U = 1.2 D + 1.0 L + 1.6 W

(9 – 4)

U = 0.9 D + 1.6 W

(9 – 6)

U = 1.2 D + 1.0 L + 1.0 E

(9 – 5)

U = 0.9 + 1.0 E

( 9 – 7)

Una estructura debe diseñarse para satisfacer los requerimientos de todos y cada uno de los diversos estados de carga mencionados, según el tipo de cargas. Al determinar la resistencia requerida para las combinaciones de carga, debe prestarse atención al signo apropiado (positivo o negativo). Tal es el caso por ejemplo, de los empujes sísmicos E o presiones del viento W, que pueden producir efectos reversos y contrarios al peso muerto sobrecarga viva L. II - 11

D

o

2.06

RESISTENCIA DE DISEÑO

La resistencia de diseño de un miembro es igual a la resistencia nominal multiplicada por un factor de reducción, menor que la unidad. El propósito de los factores de reducción φ es 1. Definir un nivel de resistencia menor que el que podría esperarse si todas las dimensiones de los elementos y propiedades de los materiales fueran las previstas en los cálculos; 2. reflejar el grado de ductilidad, tenacidad y confiabilidad de un miembro, bajo los efectos de las cargas consideradas; y 3. reflejar la importancia del miembro. El valor de los factores

φ

prescritos en el Código, se muestran en la tabla

siguiente: FACTORES DE REDUCCION DE RESISTENCIA

φ

ACCION Secciones controladas por tensión

0.90

Secciones controladas por compresión: Miembros con refuerzo espiral Otros miembros reforzados

0.70 0.65

Cortante y Torsión Soporte en el concreto Zonas de anclaje post-tensado Modelos de puntales y ligaduras

0.75 0.65 0.85 0.75

II - 12

Ejemplo- Determinación de las cargas de diseño. siguientes cargas de servicios:

Sea una columna sometida a las

TIPO DE CARGA

CARGA AXIAL P

MOMENTO FLECTOR M

Carga muerta D

40 000 Kg.

20 000 Kg.m.

Carga viva

L

50 000 Kg.

30 000 Kg.m.

Sismo

E

55 000 Kg.

15 000 Kg.m.

Pu = 48000 + 8000 = 128000 kg 1.-

U = 1.2 D + 1.6 L

Mu = 24000 + 48000 = 72000 kgm e = 72000/128000 = 0.56 m Pu = 48000 + 50000 + 55000 = 153000 kg

2.-

U = 1.2 D + 1.0 L + 1.0 E

Mu = 24000 + 30000 + 15000 = 69000 kgm e = 69000/153000 = 0.45 m Pu = 36000 + 55000 = 91000 kg (-19000kg)

3.-

U = 0.9 D + 1.0 E

Mu = 18000 + 15000 = 33000 kgm (3000kgm) e = 33000/91000 = 0.36 m

El caso 1 da la mayor excentricidad. El caso 2 da la mayor carga axial El caso 3 da una carga axial de tensión. Por consiguiente se deben analizar estos 3 casos.

II - 13

Ejemplo 2: Sea un piso típico, para el que se dan los efectos de las cargas de servicio. Determinar los efectos de carga última, para la viga AB Ecuación (9 – 2)

U = 1.2 D + 1.6 L

Ecuación (9 – 5)

U = 1.2 D + 1.0 L + 1.0 E

Ecuación (9 – 7)

U = 0.9 + 1.0 E

M O M E N T O S - Kgm CARGAS

APOYO A

CENTRO

APOYO B

APOYO A

APOYO B

Muerta D

− 4 000

+ 4 000

− 5 000

+ 1 500

+ 2 000

Viva

L

− 4 000

+ 5 000

− 4 500

+ 1 000

+ 1 500

Sísmica E

± 12 000

± 10 000

± 1 400

± 1 400

B á s i c a s

F a c t o r a d a s

C O R T A N T E S - Kg

a) 1.2 D

− 4 800

+ 4 800

− 6 000

+ 1 800

+ 2 400

I

b) 1.6 L

− 6 400

+ 8 000

− 7200

+ 1 600

+ 2 400

∑

c) a + b

− 11 200

+ 12 800

− 13 200

+ 3 400

+ 4 800

d) 1.2 D

− 4 800

− 6 000

+ 1 800

+ 2 400

e) 1.0 L

− 4 000

− 4 500

+ 1 000

+ 1 500

f) 1.0 E

± 12 000

± 10 000

± 1 400

± 1 400

g) d + e + f

− 20 800

− 20 500

+ 4 200

+ 5 300

h) d + e - f

+ 3 200

-

500

+ 1 400

+ 2 500

i) 0.9 D

− 3 600

− 4 500

+ 1 350

+ 1 800

III

j) 1.0 E

± 12 000

± 10 000

± 1 400

± 1 400

∑

k) i + j

− 15 600

− 14 500

+ 2 750

+ 3 200

l) i + j

+ 8 400

+ 5 500

−

−

II ∑

Carga Crítica

(g) y (l)

(c)

(g) y (l)

(g)

En el diseño de la viga se analizarán todos estos valores críticos. II - 14

50

(g)

400

2.07 RESISTENCIA ÚLTIMA Un método más real para diseñar un miembro de hormigón armado, será aquel que esté basado en el comportamiento inelástico del material. Dentro de este concepto, como no podemos establecer una ley que relacione los esfuerzos y las deformaciones, necesitamos un punto de referencia para poder determinar las cargas de servicio de que será capaz el miembro. Este punto es su resistencia última, o la máxima carga que podrá soportar el mismo, previa a la falta. Naturalmente, relativo a este punto se tomarán los márgenes de seguridad apropiados y se preverán los esfuerzos y deformaciones a que pueden someterse un elemento estructural, para que preste un buen servicio. El cálculo de la resistencia de un miembro, se basa en dos condiciones principales: 1. El equilibrio estático 2. La compatibilidad de deformaciones

Al respecto, deben satisfacerse las asunciones siguientes: 1. Las deformaciones en el acero de refuerzo y las del hormigón son directamente proporcionales a la distancia del eje neutro. 2. La deformación máxima utilizable del hormigón, en el extremo de las fibras comprimidas εu = 0.003. 3. Para deformaciones mayores que fy/Es el esfuerzo en el acero es igual a la fluencia fy, independientemente de su deformación (por lo cual el máximo esfuerzo disponible es fy). 4. La resistencia del hormigón a la tensión no se considera en los cálculos de flexión, en los miembros de hormigón armado. 5. La relación entre los esfuerzos de compresión del hormigón y sus deformaciones, tendrán una distribución rectangular, trapezoidal, parabólica u otra forma geométrica compatible con pruebas de compresión. 6. La máxima resistencia a la compresión del hormigón disponible vale 0.85 fc.

II - 15

2.08 DISPOSICIÓN DE LA ARMADURA Recubrimientos mínimos de concreto para protección del refuerzo. Concreto colado en obra Hormigón colado contra la tierra y en contacto permanente con la misma

7.5 cm

Hormigón expuesto a la tierra o a la intemperie: Varillas de diámetro # 20 mm o mayores

5

cm

Varillas de diámetro menores

4

cm

Losas, tabiques, nervios

2

cm

Vigas, columnas (estribos, cercos, zunchos)

4

cm

Varillas # 20 mm o mayores

2

cm

Varillas menores

1.5 cm

Hormigón no expuesto a la intemperie ni en contacto con la tierra:

Losas, cáscara, placas plegadas:

Espaciamientos límites del refuerzo. Mínimo espaciamiento neto entre varillas paralelas (db = diámetro de la barra)

db ó 2.5 cm

Para varillas colocadas en dos o más capas, las varillas de la capa superior se colocarán directamente sobre las varillas inferiores con un espaciamiento neto entre capas de por lo menos En

un

refuerzo

zunchado

compresión con cercos,

2.5 cm o

un

refuerzo

la distancia

de

neta entre

barras longitudinales, por lo menos será

1.5 db ó 4 cm

En tabiques y losas, diferentes de las construcciones nervadas, el espaciamiento entre varillas será no mayor que

3 h ó 50 cm (h = espesor de la losa) II - 16

(Atados de varilla paralelas se permitirán hasta 4 varillas en cada atado.- Estas varillas serán amarradas entre si.- El diámetro del atado se asimila al diámetro nominal db) Referencias: Diseño de Estructuras de Concreto – A. Winter y A. Nilson Código ACI – 318 M – 02 Reinforced Concrete – Ed. G. Nawy

II - 17

CAPÍTULO III ANÁLISIS POR FLEXIÓN

CAPITULO III ANÁLISIS POR FLEXIÓN MECÁNICA DE LA FLEXIÓN 3.01 COMPORTAMIENTO VIGAS Básicamente sabemos, que en cualquier sección transversal de un miembro sometido a momentos flectores se desarrollan fuerzas internas, las mismas que pueden resolverse en sus componentes normales y tengenciales a dicha sección. Los componentes normales son los esfuerzos de flexión, y que a la vez son esfuerzos de tensión en un lado del eje neutro, y de compresión en el otro lado. Estos esfuerzos son los que equilibran los momentos de flexión propiamente dichos. Los componentes tengenciales son los esfuerzos cortantes, y son los que equilibran las fuerzas transversales o de corte. Por cuanto, como se expresó antes, el concreto no es capaz de trabajar a la tensión en las vigas sometidas a flexión, se colocan varillas de acero para que sean éstas las que equilibren dichos esfuerzos. Estas varillas se disponen por tanto en las caras que sufren tensión, lo más cerca de las fibras extremas, según como lo permitan los requerimientos de protección del acero.

Se deja al concreto para que absorba los correspondientes esfuerzos de compresión. Esta acción combinada de ambos materiales es posible si se previene un deslizamiento entre uno y otro, lo que se consigue manteniendo la apropiada adherencia, mediante el uso de varillas corrugadas y de anclajes especiales en los extremos de las mismas. Al incrementarse la carga, la resistencia a la tensión del concreto se alcanza pronto y se producen las fisuras. Estas fisuras deben mantenerse suficientemente pequeñas, de tal modo que no afecten a la buena apariencia ni a la protección del acero, pero su presencia afecta notablemente al comportamiento de la viga bajo la acción de las cargas, ya que el concreto no transmite ningún esfuerzo de tensión, sino que es el acero el que absorbe toda la tensión. Cuando se sigue incrementando la carga, los esfuerzos y las deformaciones también aumentan, pero ya no en forma proporcional, sino en una relación curvilínea, igual al

III − 1

diagrama esfuerzos-deformaciones. Al alcanzarse la capacidad de carga de la viga, ésta falla. La falla puede producirse de dos maneras: 1. Por fluencia del acero; esto ocurre cuando la cantidad de acero es baja o moderada, y el punto de fluencia del mismo se alcanza antes de que la compresión del concreto alcance el límite de ruptura. Al fluir el acero, las fisuras del concreto se ensanchan demasiado, la deflexión de la viga aumenta, el eje neutro y las deformaciones en la zona de compresión del concreto suben hasta provocar también la ruptura del hormigón. A esta falla del hormigón se le llama falla por compresión secundaria. 2. Por compresión del concreto; esto sucede cuando se emplea grandes secciones de acero, o aceros de muy alta resistencia.

3.02 ESFUERZOS ELÁSTICOS.- Sección Fisurada.-

Si los esfuerzos de tensión exceden el módulo de ruptura del concreto, se forman fisuras. Pero los esfuerzos tanto de compresión en el concreto como de tensión en el acero pueden ser suficientemente bajos para que ambos materiales sigan comportándose elásticamente. En este caso, por simplicidad se asume que las fisuras han alcanzado el eje neutro; y que las secciones planas antes de la flexión, siguen siendo planas durante la flexión. Para computar los esfuerzos, podemos seguir considerando todavía una sección transformada. Habrá que tomar en cuenta solamente que todo el concreto por debajo de la línea neutra es inactivo.

III − 2

La sección transformada consistirá en el concreto sujeto a compresión, a un lado del eje neutro y un área n veces la sección de acero, al otro lado. Llamemos d la altura efectiva de la sección, comprendida entre el borde de la zona comprimida, y el centro de la armadura. Podemos proceder aplicando los principios de equilibrio a las fuerzas de la sección: bkd C = ⎯⎯⎯ fc 2

Tendremos:

;

T = As fs

;

C = T

( C = fuerza total de compresión ; T = fuerza total de tensión ) Tomando momentos con relación a C: M = Tjd = As fs jd

;

fs

M = ⎯⎯⎯⎯ As jd

Tomando momento a T: bkd bd2 M = Cjd = ⎯⎯⎯ fc jd = ⎯⎯⎯ kj fc 2 2

Haciendo

fc K = ⎯⎯ kj 2

Se puede ver que:

;

j = 1 - k/3

Conociendo los esfuerzos de trabajo se tiene también: 1 k = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ fs 1 + ⎯⎯⎯ n fc

(

Es n = ⎯⎯⎯⎯ = relación modular Ec

fc

M = Kbd2

tendremos:

jd = d - kd/3

;

M = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ I/2 bd2 kj

)

III − 3

Alternativamente, haciendo As ρ = ⎯⎯⎯ bd

As = ρ bd

;

y sustituyendo en la ecuación cuadrática para kd: ______________ k = √ ( ρ n )2 + 2 ρ n

se obtiene

-

ρn

Ejemplo: Sea una viga sometida a un momento flector M = 1100 kgm. Datos:

b = 25 cm

fc = 210 kg/cm2 ; fc = 80 kg/cm2

h = 65 cm

fy = 2800 kg/cm2 ; fs = 1400 kg/cm2

d = 60 cm Calcular la armadura: 1 k = ⎯⎯⎯ fs 1 + ⎯⎯ nfc

;

Es 2000000 n = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 9 Ec 217300

1 1 k = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ = 0.34 1400 2.94 1 + ⎯⎯⎯ 9 x 80

;

0.34 j = 1 - ⎯⎯⎯ = 0.89 3

M 11000 x 100 As = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 14.74 cm2 1400 x 0.89 x 60 fsjd

III − 4

;

As = 3 # 25

3.02 ESFUERZOS INELÁSTICOS

Ya anotamos antes que la falla puede ocurrir, o por tensión del acero, esto es cuando fs = fy , o por compresión del concreto, cuando su deformación es: εc = 0.003 Prácticamente no es necesario que conozcamos la verdadera forma de distribución de esfuerzos en el concreto; lo que es necesario conocer es la posición de la línea neutra, dada por c, la fuerza total resultante de compresión C, y su localización. En una viga rectangular, el área comprimida es bc, y la fuerza total de compresión se puede expresar así: C = fpr bc

( fpr = esfuerzo promedio de compresión )

Naturalmente, este esfuerzo promedio tendrá su valor según sea la resistencia nominal f ´c de un concreto en particular.

Hagamos

fpr α = ⎯⎯⎯ f ´c

;

entonces

C = α f ´c bc

La localización de esta fuerza puede definirse como una fracción de c, y tendremos la distancia βc. De esta manera, lo que se necesita es conocer los valores de α y de β, a fin de definir la compresión del concreto. Por pruebas directas, así como evaluaciones indirectas, se han encontrado los siguientes valores que tienen una apreciación satisfactoria.

α = 0.72, para hormigón de resistencia f ´c ≤ 280 Kg/cm2, y decrece 0.04 por cada 70 Kg/cm2 sobre 280.

β = 0.425 y decrece 0.025 en forma análoga. El equilibrio requiere que:

III − 5

C = T,

o sea

α f ´c bc = As fs

El momento equilibrante será el del par de fuerzas C y T. Tendremos: M = T z = As fs ( d - βc ) ; o también M = C z = α f ´c bc ( d - βc ) Para falla en tensión, cuando fs = fy , tendremos el valor de c: As fy c = ⎯⎯⎯⎯ α f ´c b La cantidad de acero podemos expresar como una relación no dimensional, entre la sección del acero a la sección neta de hormigón: As ρ = ⎯⎯⎯ bd

A esta fracción llamamos la relación de refuerzo.

ρ fy

Podemos también escribir entonces

c = ⎯⎯⎯ d α f ´c

Sustituyendo valores en la expresión anterior, tendremos para el momento último, en falla de tensión:

β fy

M n = As fy d ( 1 - ⎯⎯⎯ ρ ) α f ´c

Y con los valores específicos dados para α y β tendremos:

Mn

fy = As fy d ( 1 - 0.59 ⎯⎯⎯ ρ ) f ´c

III − 6

Para la falla en compresión, ya sabemos que el criterio usado es que la deformación

εc = 0.003. Si es que el acero no alcanza el punto de fluencia, tendremos que εs

fs = ⎯⎯ Es

Del diagrama de deformaciones, y por semejanzas de triángulos tendremos:

εc

0.003 c = ⎯⎯⎯⎯ d = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ d εs + εc fs / Es + 0.003 Entre estas dos posibilidades de falla por tensión o compresión, podemos considerar un punto ideal en que dicha falla ocurra simultáneamente tanto por tensión como por compresión. Esto dependerá de la cantidad de refuerzo que se provea a la viga. Habrá pues una determinada proporción de acero, de tal manera que al momento de alcanzar la pieza su resistencia máxima, el acero habrá alcanzado su esfuerzo de fluencia fy y el concreto habrá alcanzado su deformación máxima. Como la posición de la línea neutra es única, para ambos casos, entonces igualamos las expresiones que tenemos para c y tendremos:

ρ fy

0.003 c = ⎯⎯⎯⎯ d = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ d α f ´c fy / Es + 0.003 De aquí podemos resolver esta ecuación por ρ , que corresponderá a una condición de falla simultánea por tensión y compresión. Este valor se llama relación balanceada de refuerzo, y le designamos por ρb.

Se obtiene entonces

ρb

0.003 f ´c = α ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯ fy / Es + 0.003 fy

En una viga bien diseñada, la relación ρ de armadura se mantiene por debajo de la relación de balance ρb.

III − 7

3.04 DISTRIBUCIÓN RECTANGULAR EQUIVALENTE DE ESFUERZOS. Hemos visto que la forma de la distribución de compresiones en el concreto varía considerablemente, sin que podamos precisar analíticamente esta forma. Podemos pensar entonces que esta distribución compleja se puede reemplazar por una forma ficticia simple y sencilla, con tal de que se tenga la misma intensidad de la fuerza total de compresión C, y el mismo punto de aplicación. C.S. Whitney ha propuesto una forma rectangular, cuya corrección ha sido comprobada por suficientes experimentos. Este rectángulo representa una intensidad constante y uniforme de esfuerzos de compresión, que vale 0.85 f ´c, actuando en una parte de la sección comprimida, de una altura a = 0.85 c. Tendremos entonces, en una viga de sección rectangular, de ancho b, un esfuerzo uniforme de compresión igual a 0.85 f ´c que actúa en una área ab, de tal modo que la fuerza total de compresión será: C = 0.85 f ´c ab

El valor a se expresa en términos de la distancia c, tomando a = 0.85 c. Se tiene entonces C = 0.85 f´c x 0.85 c x b = 0.72 f´c cb Lo que comprueba el valor de α. Como el centroide del rectángulo está a media altura, la distancia de C desde el borde de compresión es a/2. Expresando así mismo en términos de c, como antes, tendremos la posición de la resultante: 0.5 x 0.85 c = 0.425 c, lo que comprueba el valor de β. Los valores de α y β dados, son aplicables para concretos con una resistencia hasta de 280 Kg/cm2. Para mayores resistencias, estos valores decrecen. Para tomar en cuenta esta variación, en el bloque equivalente de distribución de esfuerzos, se tiene de una manera general: a/c = β1 = 0.85

para hormigones con f´c ≤ 28 MPa.

Este valor decrece 0.05 por cada 7 Kg/cm2 de aumento sobre 28.

III − 8

DISEÑO POR FLEXIÓN 3.05 VIGAS SIMPLEMENTE ARMADAS Se denomina viga simplemente armada, a la que tiene armadura de tensión solamente. Se vio anteriormente que una viga puede fallar principalmente de dos maneras: por tensión del hierro o por compresión del concreto, según cual sea el material que primero alcanza su resistencia máxima. Esto depende de la relación de la armadura. Se mencionó también que existe una cuantía de hierro que corresponderá a una condición de falla simultánea por tensión y compresión, denominada la relación de balance. Adoptando el bloque rectangular equivalente de Whitney, para el cual α = 0.85 β1, y sustituyendo el valor de Es = 200 000 MPa obtenemos la siguiente ecuación para la relación balanceada de refuerzo;

ρb

f ´c

600

= 0.85 β1 ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ fy 600 + fy

Que es la forma de la ecuación consignada en el Código.

β1

= 0.85 para hormigones de f ´c ≤ 28 MPa ; y va decreciendo 0.05 por cada 7

Kg/cm2 de aumento de resistencia f ´c , así por ejemplo, para f ´c = 35 MPa,

β1 =

0.80

A fin de asegurar que una falla se produzca por fluencia del hierro, antes que por rompimiento del concreto, el Código establece como cuantía máxima de armadura, el 75% de la de balance. Así

ρmax

= 0.75 ρb

Considerando la fuerza de tensión T tendremos: Mn = As fy ( d - a/2 ) Por otro lado, del equilibrio horizontal de fuerzas se tiene:

εu

0.85 f ´ c

h

a = β1c

c d

As

εs T = A s fy

b

III − 9

As fy a = ⎯⎯⎯⎯⎯ 0.85 f ´c b Si es que As = ρ bd , podemos poner también

ρ fy d

a = ⎯⎯⎯⎯ 0.85 f ´c Sustituyendo valores tendremos:

Mn =

ρ fy bd ( d

-

ρ

1

⎯⎯⎯⎯⎯ x ⎯⎯ ) 2 0.85 f ´c fy

- 0.59 ρ ⎯⎯ ) f ´c Según las provisiones de seguridad del Código, este momento último debe ser Mn =

ρ fy bd2 ( 1

fy d

reducido por el factor φ, y tendremos la siguiente ecuación de diseño: - 0.59 ρ ⎯⎯ ) f ´c ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Mu =

Para flexión

φ

φ ρ fy bd2 ( 1

fy

= 0.90

Podemos presentar esta ecuación en otra forma. Hagamos fy ω = ⎯⎯ ρ f ´c Entonces:

Mu =

φ bd2 f ´c ω ( 1

Haciendo

Kn =

φ f ´c ω ( 1

- 0.59 ω )

- 0.59 ω ), tendremos

_________ Mu = Kn bd ; d = √ Mu / Kn b ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2

III − 10

Para calcular la armadura tenemos: Mu =

φ As fy d ( 1

- 0.59 ω )

de aquí

Mu φ fy ( 1 - 0.59 ω ) As = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ : Haciendo an = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

φ fy ( 1

- 0.59 ω ) d

Mu : As = ⎯⎯

100

and

Adopramos las unidades usuales del sistema métrico: Resistencia del hormigón f’c y del acero fy aproximamos a 1 kg/cm2 = 10 MPa. Momento flector M en kg.m Sección de un miembro ancho b y altura d (h) en cm. Sección del acero de refuerzo As en cm2. LÍMITES DE RELACIONES DE ARMADURA ρ PARA VIGAS SIMPLEMENTE ARMADAS f’c – MPa fy ρ 7,5 21 28 35 42 MPa β1 = 0.85 β1 = 0.85 β1 = 0.85 β1 = 0.80 β1 = 0.75 0.0309 0.0371 0.0495 0.0583 0.0655 ρb 0.0232 0.0278 0.0371 0.0437 0.0491 ρ máx. 280 0.005 0.005 0.005 0.0053 0.0058 ρ min.

350

ρb ρ máx. ρ min.

0.0229 0.0172 0.004

0.0275 0.0206 0.004

0.0367 0.0275 0.004

0.0432 0.0324 0.0043

0.0486 0.0364 0.0047

420

ρb ρ máx. ρ min.

0.0178 0.0133 0.0033

0.0214 0.0160 0.0033

0.0285 0.0214 0.0033

0.0335 0.0251 0.0036

0.0377 0.0282 0.0039

ρb = 0.085 β1

f’c ⎯⎯⎯ x fy

600 ⎯⎯⎯⎯ 600 + fy

ρ máx. = 0.75 ρb ρ min. =

1.4 ⎯⎯⎯ Fy

para f’c < 35 MPa ;

III − 11

0.25

__ √ f’c ⎯⎯⎯ para f’c > 35 MPa fy

Ejemplo 1: Capacidad de momento último de una sección dada: Sea una viga rectangular b = 30 cm., y altura útil d = 44 cm. Está armada con As = 4 #28 = 24.63 cm2 Si el acero tiene fy = 4 200 Kg/cm2 y el concreto f ´c = 280 Kg/cm2. ¿Cuál es el último momento de que es capaz esta viga? La relación actual de acero es: ρ = 24.63 / ( 30 x 40 ) = 0.0186 La relación de balance es: 0.0285

ρmáx. = 0.75 x 0.0285 = 0.0214 > 0.0186 Por tanto, la falla será a la fluencia del hierro. Entonces:

Por tanto:

As fy 24.63 x 4 200 a = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 14.4 cm. 0.85 f ´c b 0.85 x 280 x 30

Mu = φ As fy (d - a/2) = 0.90 x 24.63 x 4 200 (44 - 7.2) Mu = 3´426 000 Kg.cm. = 34 260 Kg.m. Comprobamos la cabida de la armadura: Recubrimiento

4x2

=

8

cm

Diámetro de estribos

2 x .8 =

1.6

Varillas longitudinales

4 x 2.8 =

11.2

3 x 2.8 =

8.4 ⎯⎯⎯ 29.2 cm 30 cm

Espaciamiento entre varillas

Ancho requerido mínimo Ancho disponible

III − 12

30 cm

Ejemplo 2: Proporcionamiento de una sección para resistir un momento dado. Determinar la sección de concreto y el acero requerido para una viga simplemente soportada, de luz = 5 mts. con las cargas siguientes: Carga muerta

WD = 2 950 Kg/m.l.

Carga viva

WL = 3 320 Kg/m.l.

Resistencia del concreto

f ´c = 210 Kg/cm2

Resistencia del hierro

fy = 2 800 Kg/cm2

Cargas de diseño: Wu = 1.2 x 2 950 + 1.6 x 3 320 = 3 540 + 5 310 = 8 850 Kg/m. (Ec. 9 – 2) Wu l2 8 850 x 25 Momento: Mu = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 27 660 Kg.m. 8 8 a) Con el máximo porcentaje permitido: = 0.75 ρb ; tendremos

ρ

= 0.0278

ω

=

Mu =

ρ fy / f ´c

= 0.0278 (2 800 / 210) = 0.371

φ [ bd2 f ´c ω (1 - 0.59 ω) ]

Mu = 0.90 x bd2 x 210 x 0.371 (1 - 0.59 x 0.371) = 54.8 bd2 bd2 = 2´766 000 / 54.8 = 50 500

Tomando b = 25 cm.

___________ d = √ 50 500 / 25 = 45 cm. h = 50 cm. 2 Armadura: As = 0.0278 x 25 x 45 = 31.2 cm ≅ 4 #32.

III − 13

Comprobamos la cabida del hierro. Recubrimiento Estribos Varillas Espaciamiento

4x2 = 2x1 = 4 x 3.2 = 3 x 3.2 =

8 cm 2 12.8 9.6 ⎯⎯⎯ 32.4 cm 25 < 32 cm

Ancho requerido Disponible

Es necesario poner las varillas longitudinales en dos filas. En resumen tendremos

b = 25 cm h = 55 As = 4 #32 en dos filas

4 + 1 + 3.2 + 1.3 ~ 10 cm

25 cm b) Una relación recomendable por moderada es ρ = 0.5 ρmax Con esta relación tendremos: ρ = 0.5 x 0.0278 = 0.0139

ω = 0.0139 x 13.32 = 0.18 Mu = 0.90 bd2 x 210 x 0.18 ( 1 - 0.106 ) = 30.4 bd2 bd2 = 2´766 000 / 30.4 = 91 000 Tomando ___________ d = √ 91 000 / 30 = 55

b = 30 cm h = 62 cm

Armadura: As = 0.0135 x 30 x 55 = 22.2 cm2 2 #28 + 2 #25 = 22.13 cm2

III − 14

Ejemplo 3: Sección de concreto dada. Computar el hierro. Sea la sección anterior y un momento Mu = 20 000 Kg.m. Asumimos un valor de a = 10 cm. Mu 2’000 000 As = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 15.9 cm2 φ fy ( d - a/2 ) 0.90 x 2 800 ( 55 - 5 ) Comprobación de a: As fy 15.9 x 2 800 a = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 8.3 cm 0.85 f ´c b 0.85 x 210 x 30 Con a = 8 cm 2’000 000 As = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 15.56 cm2 2 520 x 51

5 #20 = 15.71 cm2

Nótese que la ecuación de flexión no es muy sensible a diferentes valores de a.

USO DE TABLAS En la práctica, el diseño de estructuras de hormigón armado se abrevia y facilita, mediante el uso de tablas o ayudas previamente elaboradas. Ejemplo 1: Dados:

Mu f ´c fy

= 20 000 Kg.m. = 280 Kg/cm2 = 4 200 Kg/cm2

b = 25 cm

Determinar el peralte h y la armadura, asumiendo ρ = 0.5 ρb 1)

De la tabla:

ρmax = 0.0213

Para el diseño:

ρ = 0.5 x 0.028 = 0.0142

;

ρb = 0.028

De la tabla F1-04 Para ρ = 0.0142 se lee an = 33.19 __________________ d = √ 20 000 / (.489 x 25) = 41 cm

III − 15

Kn = .489 h = 47 cm

2)

Armadura: 20 000 As = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 14.70 cm2 33.19 X 41 o también: As = ρbd = 0.0142 x 25 x 41 = 14.55 cm2 As = 3 #25

Ejemplo 2: Dados:

Mu f ´c fy

= 12 000 Kg.m. = 280 Kg/cm2 = 3 500 Kg/cm2

b = 20 cm d = 49 cm h = 55 cm

Computar la armadura F = bd2 = Mu / Kn F = bd2 = 20 x 492 = 48 020 Kn = Mu / F = 12 000 / 48 020 = .250 De la tabla F1-04 se obtiene ρ = 0.0085 , an = 29.69 Armadura:

As = ρbd = 0.0085 x 20 x 49 = 8.33 cm2

o también

Mu 12 000 As = ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 8.25 cm2 an d 29.69 x 49 2 #25

III − 16

3.06 VIGAS RECTANGULARES SOMETIDAS A FLEXION Y A UNA PEQUEÑA CARGA AXIAL. SIN REFUERZO DE COMPRESION Pu 0.85 f ´c

e´

e

Cc

d h

cL d - h/2

As

T b

Sabemos que un sistema de fuerzas que consta de una carga axial y un momento flector, es equivalente a la misma carga axial actuando excéntricamente con relación al eje centroide de la sección. Como se indicó anteriormente, el Código ACI da los factores φ de reducción de resistencia, como factores de seguridad, los cuales son diferentes para la flexión pura y para la compresión axial. Cuando esta última es muy pequeña, y la flexión es predominante, surge entonces la incertidumbre de cual es el valor del coeficiente φ a aplicarse. Al respecto, y para el caso propuesto, el Código establece que el coeficiente φ puede incrementarse hasta 0.90, conforme el valor φ Pn decrece desde un valor 0.10 f ´c Ag o de φ Pb, el que sea menor, hasta cero, mediante una interpolación lineal.

III − 17

Ejemplo: Calcular la armadura para una viga rectangular, con los datos siguientes: Sección:

b = 25 cm ; h = 50 cm ; d = 44 cm Momento flector

Mu = 15 000 Kg.m.

Carga axial de compresión

Pu = 16 000 Kg.

Resistencia del hormigón

f ´c = 280 Kg/cm2

Fluencia del hierro

fy = 3 500 Kg/cm2

La carga axial de referencia será: 0.1 f ´c Ag = 0.1 x 280 (25 x 50) = 35 000 Kg. Supongamos que Pb > 35 000 Kg.

Determinamos el valor de φ por interpolación:

φ = 0.65 + ( 19 000 / 35 000 ) ( 0.25 ) = 0.79 La excentricidad es: e = Mu / Pu = 15 000 / 16 000 = 0.937 m La excentricidad con relación al hierro en tensión es: e´ = e + ( d - h/2 ) = 0.937 + ( 0.44 - 0.25 ) e´ = 1.127 m ; Pue´ = 16 000 x 1.127 = 18 032 Kg.m.

III − 18

F = 25 x 442 = 48 400 cm3 Kn = Pue´ / F = 18 032 / 48 400 = 0.373 ( Para φ = 0.90 ) Modificamos para φ actual: Kn = ( 0.79 / 0.90 ) x 0.373 = 0.327 Para este valor, en la tabla F1-04 leemos an = 29.10 ( φ = 0.90 ) Modificamos an = ( 0.79 / 0.90 ) x 29.10 = 25.54 La armadura será As = ( Pu x e´) / ( an d ) - ( Pu / φ fy ) As = ( 18 032 / 25.54 x 44 ) - ( 16 000 / 0.79 x 3 500 ) As = 16.05 - 5.79 = 10.28 cm2 Si se obtuviera que As = 0, o de un valor negativo, este método de análisis no sería válido y el diseño habría de hacerse como columna. Comprobemos si el valor 0.1 f ´c Ag < Pb conforme lo asumido. En este caso, la carga de balance valdrá: 6 100 Pb = 0.85 β1 f ´c bd ⎯⎯⎯⎯⎯ - As fy 6 100 + fy 6 100 Pb = 0.85 x 0.85 x 280 x 25 x 44 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - 10.26 x 3 500 6 100 + 3 500 Pb = 141 400 - 35 910 = 105 490 Kg > 35 000 Por tanto el valor de φ interpolado es correcto Adoptamos como armadura As = 3 #22 = 11.40 cm2 Comprobamos la sección de armadura mínima:

ρmin = 14 / fy = 14 / 3 500 = 0.004 As min = 0.004 x 25 x 44 = 4.4 cm2 < 11.40

III − 19

o.k.

ok

3.07 VIGA RECTANGULAR DOBLEMENTE ARMADA Puede suceder que sea conveniente limitar las dimensiones de una viga, en cuyo caso es posible que el concreto no pueda desarrollar la fuerza de compresión necesaria para equilibrar el momento de flexión dado. Entonces se añade armadura en la zona de compresión, obteniéndose lo que se llama una viga doblemente armada, puesto que se tiene armadura en la cara de compresión, y armadura en la cara de tensión. La inclusión de algún refuerzo de compresión reduce las deflexiones a largo plazo. Como de todos modos hay que proveer de varillas de soporte para los estribos, a todo lo largo de la viga, con frecuencia es conveniente tomar en cuenta esta armadura en el diseño de flexión. En una viga doblemente armada, si la relación del refuerzo de tensión, es igual o menor que la relación máxima, o sea si: ρ ≤ ρmax = 0.75 ρb, se puede aproximar la resistencia de la viga, dentro de límites aceptables, despreciando las varllas en compresión. Si la relación del refuerzo de tensión es mayor que 0.75 ρb, es necesario un análisis más detallado, tomando en cuenta la armadura en la cara comprimida. Consideremos una sección rectangular de una viga, con un refuerzo de compresión A´s ubicado a una distancia d´ desde el borde de compresión, y con refuerzo de tensión As, a una altura efectiva d. Se asume que a la falla ambas clases de refuerzo se esfuerzan hasta la fluencia fy.

εu ε´s

d´

0.85 f ´c

0.85 f ´c A´s fy

A´s fy

a

A´s c d - d´

d

As b

εs A s fy

A´s fy

Mn = Mn 1 + Mn 2

III − 20

(As - A´s)fy

El momento total resistente se puede descomponer en dos partes: La primera parte Mn 1, que corresponde al par de fuerzas formado por el acero en compresión A´s y por una correspondiente área parcial del acero en tensión, de igual sección que A´s. De este modo tendremos: Mn 1 = A´s fy ( d - d´ ) La segunda parte será la contribución del refuerzo de tensión restante (As - A´s) que actúa en correspondencia con la compresión del concreto. Mn 2 = ( As - A´s ) fy ( d - a/2 ) Del equilibrio de fuerzas: ( As - A´s ) fy a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0.85 f ´c b Definiendo

ρ = As / bd

y

ρ´ = A´s / bd

podemos expresar

( ρ - ρ´ ) fy d a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0.85 f ´c El momento total resistente es: Mn = Mn 2 + Mn 1 = ( As - A´s ) fy ( d - a/2 ) + A´s fy ( d - d´) Introduciendo el factor φ , obtendremos la siguiente ecuación de diseño: Mu = φ [ ( As - A´s ) fy ( d - a/2 ) + A´s fy ( d - d´) ] Debe observarse que la relación de armadura de balance, será:

_

ρb = ρb + ρ´ _ Y la relación máxima a emplearse será: ρmax = 0.75 ρb + ρ´ Se debe determinar si el hierro en compresión realmente fluye o nó. Para esto nos referimos al diagrama de deformaciones, y por geometría tenemos:

III − 21

c εu ⎯ = ⎯⎯⎯⎯ d´ εu - εy

εu ;

c = ⎯⎯⎯⎯ d´ εu - εy

;

Asumirmos εs = εy

Ahora: Considerando fuerzas horizontales:

ρ fy bd = 0.85 β1 f ´c bc + ρ´ fy bd f ´c c ρ = 0.85 β1 ⎯⎯ ⎯⎯ + ρ´ fy d Reemplazando el valor de c f ´c d´ εu ρ = 0.85 β1 ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯ + ρ´ fy d εu - εy

_

Tomando εu = 0.003 ; εy = fy / Es y Es = 2´030 000 Kg/cm2 Obtendremos el mínimo valor de ρ para asegurar que, a la falla, el hierro de compresión esté en fluencia.

_

ρmin

f ´c d´ 6 100 = 0.85 β1 ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ + ρ´ fy d 6 100 - fy

Si el refuerzo de tensión es menor que esta relación, el esfuerzo del acero de compresión, a la falla, es menor que el punto de fluencia. Esta situación requiere una pequeña modificación en la ecuación previa. En este caso:

_

f ´sb ρb = ρb + ρ´ ⎯⎯ fy De aquí, la máxima relación permitida es:

_

ρmax

f ´sb = 0.75 ρb + ρ´ ⎯⎯ fy

;

III − 22

d’ f ´sb = 6100 - ⎯⎯ (6100 + fy) < fy d

Si la relación del acero de tensión es menor que ρmin y menor que ρb, el acero de tensión está en el esfuerzo de fluencia, a la falla, pero no el esfuerzo del hierro en compresión. En este caso, el esfuerzo del acero en compresión se puede escribir en términos de la profundidad desconocida del eje neutro: c - d´ f ´s = εu Es ⎯⎯⎯ c Por equilibrio de fuerzas horizontales, se tiene: c - d´ As fy = 0.85 β1 f ´c bc + A´s εu Es ⎯⎯⎯ c

Esta ecuación se resuelve por c , y el momento último resistente se puede encontrar ( a = β1 c )

de la expresión: Mn = 0.85 f ´c ab ( d - a/2 ) + A´s f´s ( d - d´ ) Y con el factor φ de reducción, el momento de diseño será: Mu = φ [ 0.85 f ´c ab ( d - a/2 ) + A´s f´s ( d - d´ ) ]

En vigas doblemente armadas, se debe proveer de cercos laterales que amarren la armadura longitudinal, de igual manera que en columnas.

Ejemplo 1: Momento último de una sección dada: Se dan los siguientes datos: b = 30 cm.

As = 6 #32 = 48.26 cm2 (dispuestos en 2 filas)

d = 47 cm.

A´s = 2 #28 = 12.3 cm2

d´ = 6 cm.

f´c =

350 Kg/cm2

fy = 3 500 Kg/cm2 Cuál será la capacidad de esta sección, para un momento último?

III − 23

As = 48.26 ;

As 48.26 ρ = ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 0.0342 bd 30 x 47

A´s = 12.31 ;

12.31 ρ´ = ⎯⎯⎯ = 0.0087 1 410

As - A´s = 35.95 Comprobación:

ρb = 0.0432 ρmax = 0.75 x 0.0432 = 0.0324

Como ρ > ρmax se analiza como viga doblemente armada:

Comprobación de los límites:

ρmax = 0.75 ρb + ρ´ = 0.75 x 0.0432 + 0.0087 = 0.041 _

f ´c d´ 6 100 ρmin = 0.85 β1 ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ + ρ´ fy d 6 100 - fy Para la fluencia del acero en compresión

_

350 6 6 100 ρmin = 0.85 x 0.80 ⎯⎯⎯ x ⎯⎯ x ⎯⎯⎯ + 0.0087 = 0.029 3 500 47 2 600

El actual ρ está entre estos límites, por tanto la falla será por tensión, y el acero de compresión también habrá fluido. Entonces: M1 = φ A´s fy ( d - d´ ) = 0.90 x 12.31 x 3 500 / 100 ( 47 - 6 ) = 15 900 Kg.m. ( As - A´s ) fy 35.95 x 3 500 a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 14 cm. 0.85 f ´c b 0.85 x 350 x 30

III − 24

M2 = φ ( As - A´s ) fy ( d - a/2 ) M2 = 0.90 x 35.95 x 35 ( 47 - 7 ) =

45 300 Kg m.

Mu = M1 + M2 = 15 900 + 45 300 =

61 200 Kg.m.

Ejemplo 2: Determinación del acero, para un momento dado. Una viga rectangular que debe soportar una carga viva de servicio de 39 00 Kg/m.1., y una carga muerta calculada de 1 860 Kg/m. con una luz de 5.50 mts. simplemente apoyada, es limitada en su sección, por razones arquitectónicas, a b = 25 cm. y h = 50 cm. Si fy = 2 800 Kg/cm2 y f ´c = 210 Kg./cm2, ¿qué sección de acero se debe proveer? Carga de diseño: Wu = 1.2 x 1 860 + 1.6 x 3 900 = 8 470 Kg/m.1 8 470 x 5.52 Mu = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 32 000 Kg m. 8 Asumimos: d = 40 cm (acero en dos filas) d´ =

6 cm

Primero, comprobamos la capacidad de la sección como si se armara simplemente, con ρ = ρmax.

ρmax = 0.0278 As = 0.0278 x 25 x 40 = 27.8 cm2 As fy 27.8 x 2 800 a = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 17.4 cm 0.85 f ´c b 0.85 x 210 x 25 Mmax = φ As fy ( d - a/2 )

III − 25

Mmax = 0.90 x 27.8 x 28 ( 40 - 8.7 ) = 21 930 Kg.m. Como 21 930 < 32 000 se requiere armadura de compresión. Entonces: M1 = 32 000 - 21 930 = 10 070 Kg.m. M1 10 070 A´s = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 11.75 cm2 φ fy ( d - d´ ) 0.90 x 28 (34) Este es el acero de compresión y la parte adicional del de tensión. El área de acero de tensión será: As = 27.80 + 11.75 = 39.55 cm2 Ahora comprobamos si las barras en compresión fluirán a la falla. Adoptamos A´s = 2 #28 = 12.31 cm2 Con ρ´ = 12.31 / 25 x 40 = 0.0123 , la relación límite del acero en tensión, para la fluencia del acero en compresión es:

_

ρmin

210 6 6 100 = 0.85 x 0.85 x ⎯⎯⎯ x ⎯⎯ x ⎯⎯⎯ + 0.0123 2 800 40 3 300

_

ρmin = 0.0273 Relación del acero en tensión, adoptamos As = 5 #32 = 40.21 cm2

_

ρ = 40.21 / 1 000 = 0.0402 > ρmin O sea que las barras en compresión si fluirán a la falla, como se asumió. Comprobación de la relación máxima de armadura, para viga doblemente armada:

ρmáx = 0.0278 + 0.0123 = 0.0401 = ρ ok III − 26

6 2 #28

50

5 #32

10 25

USO DE TABLAS Ejemplo 1: Para una viga de sección rectangular dada, sujeta a un momento de flexión simple, determinar las armaduras de tensión y compresión, asumiendo para el acero de tensión la máxima relación. Datos:

b = 30 cm.

Mu = 26 300 Kg.m.

d = 31 cm

f ´c = 350 Kg/cm2

d´ =

fy

6 cm

= 4 200 Kg/cm2

Determinamos la capacidad de la sección sin refuerzo de compresión: Para ρ = 0.75 ρb, de la tabla F1-05 encontramos:

ρ = 0.025 ; Kn = .803 ; an = 31.21 ; F = bd2 = 30 x 312 = 28 800 ;

c / d = 0.416 ~ 0.42

Mu = Kn F

Mu = .803 x 28 800 = 23 130 Kg.m. Como este momento es menor que el momento de diseño, se requiere armadura de compresión, y el momento resistente calculado pasa a ser Mu1 ; también As pasa a ser Asw.

III − 27

Mu2 = Mu - Mu1 = 26 300 - 23 130 = 3 170 Kg.m. Asw = ρmax bd = 0.025 x 30 x 31 = 23.25 cm2 Ahora determinamos el área del acero adicional. En la tabla F2-05 para d´/d = 0.19, f ´c = 350 Kg/cm2 y fy = 4 200, se lee a´n = 30.79

Entonces

Mu2 3 170 A´s = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 3.32 cm2 a´n d 30.79 x 31

La armadura total de tensión será:

As = Asw + A´s

As = 23.25 + 3.32 = 26.57 cm2 De la tabla F2-13, con los valores c/d = .42 y d´/d = 0.19, leemos: a” = 22.22 para determinar el acero en compresión. Como a”n < a´n, el acero en compresión no fluye; por tanto usamos a”n. (Se toma el valor menor entre a´n y a”n) Mu2 3 170 A´s = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.60 cm2 a” d 20.62 x 31 Adoptamos:

As = 27.85 cm2

;

As = 4.60 + 23.25

3 #28 + 2 #25 = 28.29

A´s = 2 #18 = 5.09 cm2 5.09 28.29 ρ´ = ⎯⎯⎯⎯ = 0.0055; ρ = ⎯⎯⎯⎯ = 0.030 30 x 31 30 x 31

ρ´ 0.0055 ;

⎯ = ⎯⎯⎯ = 0.183 ρ 0.030

Comprobamos la relación máxima. De la tabla F2-30 se lee

ρmax = 0.029 = ρ

ok

III − 28

Ejemplo 2: Dados el momento Mu, la armadura de compresión A´s. Determinar el acero de tensión As. Dados:

f ´c = 210 Kg/cm2 fy

b = 25 cm

= 3 500 Kg/cm2

Mu = 25 000 Kg.m.

d = 50 cm d´ =

5 cm

A´s = 2 #28 = 12.31 cm2

ρ´ = 12.31 / 1 250 = 0.0098 Considerando sin refuerzo de compresión: F = 25 x 502 = 62 500 ; Kn = 25 000 / 62 500 = 0.400 De la tabla F1-03

ρ = 0.0143

Para: ρ´/ρ = 0.0098 / 0.0143 = 0.69 ; d´/d = 0.10 ; ρ = 0.0143 Se encuentra en la tabla F2-31 Muc γ = ⎯⎯⎯ = 1.07 Mus

Muc = Capacidad con acero de compresión Mus = Capacidad sin acero de compresión

Por tanto el porcentaje requerido es:

_

ρ = 0.0143 / 1.07 = 0.0134 _ El acero de tensión es:

As = ρ bd = 0.0134 x 25 x 50 = 16.75 cm2 As = 2 #25 + 2 #22 = 17.42 cm2

Método alternativo: Calculamos el momento Mu2 Mu2 = φ A´s fy ( d - d´ ) = 0.90 x 12.31 x 3 500 ( 50 - 5 ) / 100 Mu2 = 17 450 Kg.m. Calculamos Mu1 = 25 000 - 17 450 = 7 550 Kg.m.

III − 29

Entonces:

Kn = Mu1 / F = 7 550 / 62 500 = 0.121

Con este valor, en la tabla F1-03 leemos: an = 30.45 Entonces:

Mu1 7 550 As - A´s = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.96 cm2 an d 30.45 x 50 As = ( As - A´s ) + A´s = 4.96 + 12.31 = 17.27 cm2

Ejemplo 3: Armadura de compresión para ductilidad. Se dá una sección sujeta a un momento Mu; computar la armadura necesaria, si por razones de ductilidad o rigidéz, el valor ρ - ρ´ se restringe a 0.375 ρb. Dados:

f ´c = 210 Kg/cm2 fy

b = 28 cm

= 3 500 Kg/cm2

d = 47 cm

Mu = 25 600 Kg.m.

d´ =

6 cm

Determinamos la capacidad de la sección con la relación de armadura indicada: As = 0.375 ρb bd

;

0.375 ρb = ½ ρmax

En la tabla F1-03 se encuentra: ½ ρmax = 0.5 x 0.0204 = 0.0102 ;

Kn = 0.298

F = 28 x 472 = 61 800 El momento sin el refuerzo A´s será: Mcs = Kn F = .298 x 61 800 = 18 420 Kg.m. Como el momento de diseño es mayor que el correspondiente al límite de relación de armadura establecido, es necesario emplear un refuerzo extra de tensión y compresión, para equilibrar la diferencia.

III − 30

Tendremos:

Mu2 = Mu - Mcs = 25 600 - 18 420 = 7 180 Kg.m.

Calculamos la armadura de compresión: Mu2 7 180 A´s = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 5.56 cm2 φ fy ( d - d´ ) 0.90 x 3 500 ( 0.47 - 0.06 ) 3 #16 Calculamos la armadura de tensión: Asc = ( ρ - ρ´ )max bd = 0.0102 x 28 x 47 = 13.42 cm2 As = Asc + A´s = 13.42 + 5.56 = 18.98 cm2 ; 4 #25

3.08 DISEÑO DE VIGAS T Desde luego que los sistemas de losas y vigas de hormigón armado son generalmente monolíticos en su construcción, es evidente que una parte de la losa actúa en conjunto con su viga de apoyo para absorber esfuerzos de compresión, por flexión, resultando de esta manera una viga de sección en forma de T, en vez de la forma rectangular. La losa forma lo que se denomina el ala de la viga, mientras que a la sección proyectada fuera de la losa, se le llama el alma o nervio de la viga. Como en la mayoría de los casos, la longitud de la losa es muy grande con relación al ancho del nervio, queda por definirse el ancho b de la losa que tendrá una participación efectiva en la sección comprimida de la viga. Este ancho efectivo depende principalmente de la luz de la viga y del espesor relativo de la losa. El Código A.C.I. establece las siguientes disposiciones para determinar el ancho b en vigas T, para diseño por flexión. 1) Para vigas T simétricas, el ancho efectivo b no excederá de una cuarta parte de la longitud del claro de la viga. El ancho ( b - bw ) / 2, que sobresale a cada lado del nervio, no excederá 8 veces el espesor de la losa, ni de la mitad de la distancia libre entre vigas. 2) Para vigas que tienen ala solo en un lado, el ala efectica sobresaliente tendrá un ancho no mayor que 1/12 de la luz de la viga, ni más que 6 veces el espesor de la losa, ni mayor que la mitad de la distancia libre a la próxima viga. 3) Para vigas aisladas de sección T, el espesor del ala no será menor que ½ del ancho del alma, y el ancho total del ala no será mayor que 4 veces el ancho del alma. El eje neutro de una viga T puede estar, sea en el ala o sea en el nervio, según sean las proporciones de las medidas de la sección, la cantidad de acero de refuerzo y la resistencia de los materiales. Si la profundidad calculada del eje neutro es menor o igual que el espesor de la losa hf, la viga se analiza como si fuera de sección rectangular, de ancho b igual al ancho efectivo del ala.

III − 31

b

b c

hf

c

L.N

L.Neutra

d

bw

bw

Cuando el eje neutro cae en el nervio, el caso es diferente, y tendremos que analizar la viga como de sección T. Nótese entonces que para el diseño de una viga de hormigón armado, la sección rectangular o la sección T se refiere mas bien a la forma de la zona en compresión, antes que a la forma geométrica total de la viga. Así tendremos que una viga de sección T para momento positivo, no es viga T para momento negativo, puesto que en los apoyos la zona comprimida está en el nervio, que tiene una sección rectangular; esto en el caso que las alas estén en la cara superior de la viga. En el análisis de vigas T, conviene adoptar la misma distribución equivalente de esfuerzos empleada en vigas de sección rectangular. Una viga T puede ser tratada como de sección rectangular, si la profundidad del bloque equivalente de compresiones es igual o menor que el espesor del ala. Como orientación previa, asumimos que la L.N. cae en el ala o patín; tendremos: As fy ρ fy d β1 c = a = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ 0.85 f ´c b 0.85 f ´c

;

As ρ = ⎯⎯ bd

Entonces:

ρ fy d

c = ⎯⎯⎯⎯⎯ 0.85 β1 f ´c

Si c ≤ hf el miembro se comporta como viga rectangular, de ancho b y altura útil d.

III − 32

b 0.85 f ´c

L.N

a

hf

εu

c

d

As T = As fy

bw

εy

En caso contrario, se analiza como viga T. Consideremos el acero total de tensión en dos partes: 1° Asf para balancear el esfuerzo en los patines voladizos.

Asf

0.85 f ´c ( b - bw ) hf = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ fy

El brazo de palanca entre Asf fy y 0.85 f ´c ( b - bw ) hf es d - hf/2 Entonces: Mn-1 = Asf fy ( d - hf/2 ) El resto del refuerzo: ( As - Asf ) servirá para balancear el esfuerzo de compresión en la sección rectangular de la viga. Del equilibrio de fuerzas se tiene

( As - Asf ) fy a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0.85 f ´c bw

Un 2° momento adicional será: Mn-2 = ( As - Asf ) fy ( d - a/2 ) El momento total resistente será:

III − 33

Mn = Mn-1 + Mn-2 Mn = Asf fy ( d - hf/2 ) + ( As - Asf ) fy ( d - a/2 ) Mu = φ Mn = φ [ Asf fy ( d - hf/2 ) + ( As - Asf ) fy ( d - a/2) ] Para asegurar que el acero en tensión fluya antes que ocurra la falla por compresión, se tiene:

_

ρb = bw / b ( ρb + ρf ) _ Aquí

ρb = relación de balance para viga rectangular con armadura simple. ρf = Asf / bwd

Según el Código, la máxima relación permitida para vigas T es: _ ρmax = 0.75 [ bw / b ( ρb + ρf ) ]

III − 34

Ejemplo 1: Capacidad de momento último de una sección dada. Una viga aislada T está compuesta de una ala de 70 cm de ancho y 14 cm de espesor, y de una alma de 26 cm de ancho y 61 cm de altura, por debajo del ala; por tanto la altura total de la viga es de 75 cm. El acero de refuerzo a la tensión consiste de 6 barras #32, colocadas en dos filas. El centroide de las barras está a 67 cm del tope. Concreto f ´c = 210 Kg/cm2

;

acero fy = 4 200 Kg/cm2

Cuál es el momento de que es capaz la viga? As = 6 #32 = 48.26 cm2 Se ve fácilmente que toda el ala se puede considerar efectiva. Primero comprobamos la localización del eje neutro. As 48.26 ρ = ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 0.0103 bd 70 x 67

ρ fy d

0.0103 x 4 200 x 67 a = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 16 cm > 14 cm 0.85 f ´c 0.85 x 210 por tanto se analizará como viga T. Asf = 0.85 x 210 (44) 14 / 4200 = 26.18 cm2 Por tanto As - Asf = 48.26 - 26.18 = 22.08 cm2 Las relaciones de armadura son: 48.26 26.18 ρ = ⎯⎯⎯⎯ = 0.0103 ; ρf = ⎯⎯⎯ = 0.015 70 x 67 1 742 Relación de balance:

ρb = 0.0214 El máximo permitido es:

III − 35

ρw max = 0.75 ( 0.0214 + 0.015 ) 26/70 = 0.010 ∼ 0.0103

ok.

Ahora:

Mn-1

( 67 - 7 ) = 26.78 x 4 200 ⎯⎯⎯⎯ = 65 974 Kg.m. 100

22.08 x 4 200 a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 20 cm 0.85 x 210 x 26

Mn-2

( 67 - 10 ) = 22.08 x 4 200 ⎯⎯⎯⎯ = 52 860 Kg.m. 100

Con el factor φ Mu = 0.90 ( 65 974 + 52 860 ) = 106 950 Kg.m.

Ejemplo 2: Determinación del acero para un momento dado. Un piso consiste de una losa de 6 cm soportada en vigas continuas de luz = 7 mts espaciadas a 1.20. Las dimensiones del alma se han determinado por los momentos negativos y son: bw = 30 cm y d = 53 cm Qué armadura de tensión se requiere en el centro para resistir un último momento de 60 000 Kg.m. si fy = 2 800 Kg/cm2 y f ´c = 210 Kg/cm2 ? Ancho del ala:

16 hf + bw = 96 + 30

= 126 cm

Luz / 4 = 700 / 4

= 175 cm

Espaciamiento de vigas

= 120 cm

Por tanteo, asumimos: a = hf = 6 cm d - a/2 = 53 - 3 = 50 cm

III − 36

b = 120

Mu 60 000 x 100 As = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 47.6 cm2 φ fy ( d - a/2 ) 0.90 x 2 800 x 50 As 47.6 ρ = ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 0.0075 bd 120 x 53

ρ fy d 0.0075 x 2 800 x 53 c = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 7.33 cm 0.85 β1 f ´c 0.85 x 0.85 x 210 Como c > hf se analiza como viga T:

Asf

0.85 f ´c ( b - bw ) hf 0.85 x 210 (90) 6 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 34.4 cm2 fy 2 800

M1 = φ Asf fy ( d - hf/2 ) = 0.90 x 34.4 x 2 800 (0.50) M1 = 43 400 Kg.m. M2 = Mu - M1 = 60 000 - 43 400 = 16 600 Kg.m. Asumimos un valor a = 10 cm

As - Asf

16 600 M2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 13.7 cm2 φ fy ( d - a/2 ) 0.90 x 2 800 (0.48)

Comprobación de a: ( As - Asf ) fy 13.7 x 2 800 a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 7.2 cm ≅ 10 0.85 f ´c bw 0.85 x 210 x 30 Entonces: As = Asf + ( As - Asf ) = 34.4 + 13.7 = 48.1 cm2 Nótese que el acero calculado como viga T, As = 48.1, es muy semejante

III − 37

al aproximado tomando a = hf ; As = 47.6 cm2 Comprobación de la fluencia por tensión: 48.1 ρ = ⎯⎯⎯⎯ = 0.0076 ; 120 x 53

34.4 ρf = ⎯⎯⎯ = 0.021 1 590

ρb = 0.037 ρmax = 0.75 ( 0.037 + 0.021 ) 30/120 = 0.0109 > 0.0076 ok

III − 38

USO DE TABLAS PARA VIGAS T. Ejemplo 1: Para una sección dada y un momento Mu, determinar el acero As. Dados:

Mu = 30 000 Kg.m.

b = 75 cm

f ´c = 210 Kg/cm2

bw = 25 cm

fy

= 2 800 Kg.cm2

hf = d

8 cm

= 45 cm

Calculamos: F = bd2 = 75 x 452 = 152 000 Kn = Mu / F = 30 000 / 152 000 = 0.197 De tabla F1-03, con este valor de Kn, se encuentra: c / d = 0.148

a / d = 0.126

Calculamos hf / d = 8 / 45 = 0.178 > c / d Entonces el diseño es como viga rectangular, puesto que hf > c . De la tabla se tiene: an = 23.75 30 000 As = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 28.07 cm2 ; 23.75 x 45

3 #25 + 4 #22 (dos filas) h = 53 cm2

Cuando hf / d < c / d , pero hf / d > a / d también el diseño es como viga rectangular.

Ejemplo 2:

Mu = 46 000

b

f ´c = 210

bw = 25

fy

d

= 2 800

= 75

= 55

hf =

III − 39

7

Determinar el acero: 1)

F = 75 x 552 = 227 000 ;

Kn = 46 000 / 227 000 = .202

De la tabla F1-03, encontramos c / d = 0.153 , a / d = 0.130 hf / d = 7 / 55 = 0.127 Como hf / d < c / d ; hf / d < a / d se considera viga T. 2)

Capacidad del ala: De tabla F2-02, para hf / d = 0.127 se obtiene: anf = 23.67

jf = 0.936

Para b / bw = 75 / 25 = 3 , se lee Knf = 3.231 en la tabla

F2-06. Muf = Knf jf bw d hf = 3.231 x 0.936 x 25 x 55 x 7 = 29 000 Kg.m. Alternativamente, podemos obtener Muf así: Compresión en el ala: Cf = hf x 0.85 f ´c ( b - bw ) = 7 x 178 x 50 = 62 400 Kg. Brazo de palanca: d - hf/2 = 55 - 3.5 = 51.5 cm Muf = φ Cf ( d - hf/2 ) = 0.90 x 62 400 x 0.515 = 29 000 Kg.m. Armadura:

Asf

Muf 29 000 = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 22.4 cm2 anf d 23.6 x 55

III − 40

1

Asf 22.4 ρf = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 0.0163 bw d 25 x 55 3)

Capacidad del alma: Muw = Mu - Muf = 46 000 - 29 000 = 17 000 Kg.m. F = bw d2 = 25 x 552 = 75 700 Kn = Muw / F = 17 000 / 75 700 = .225 De la tabla F1-03, se encuentra an = 23.45 As - Asf = Muw / an d = 17 000 / 23.45 x 55 = 13.2 cm2 As = 22.4 + 13.2 = 35.6 cm2 ; 6 #28 = 36.96 cm2 (dos filas) Comprobamos el límite de armadura: Relación actual ρ = 36.96 / (75 x 55) = 0.009 En la tabla F3-01, para los valores: f ´c = 210 ; fy = 2 800 ; hf/d = 7/55 = 0.13 ; b/bw = 75/25 = 3 Se lee ρmáx = 0.014 > ρ

ok.

Por lo tanto la sección es adecuada.

III − 41

2

3.09 REDISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS La sección 8.4 del Código A.C.I. permite una redistribución de omentos negativos, en miembros continuos, siempre que los porcentajes de armaduras no exceden una cantidad especificada. Esta redistribución es un reconocimiento al comportamiento inelástico del hormigón. En muchos casos, es posible, de esta manera, obtener una reducción sustancial del refuerzo total requerido, sin afectar a la seguridad de una estructura, permitiendo a la vez un descongestionamiento de la armadura en los nudos de momentos negativos. Las limitaciones para la aplicación de las regulaciones contenidas en la sección 8.4 del Código, se pueden resumir como sigue: 1. Las provisiones son aplicables a miembros flexionantes continuos, no pre-esforzados 2. Las provisiones no son aplicables a miembros diseñados por el Método aproximado 8.3.3 ni a sistemas de pisos o losas diseñadas por el Método directo. 3. Los momentos flectores deben ser determinados por métodos analíticos, tales como la Distribución de Momentos, la Deflexión Angular, etc.

Si se usan

métodos aproximados, no se debe hacer ninguna redistribución de momentos. 4. La redistribución es permitida solamente cuando la deformación neta de tensión no es menor que 0.0075. 5. El porcentaje máximo permitido para aumentar o disminuir un momento negativo, es igual a 1000 εt, pero no mayor que 20% 6. La corrección de los momentos negativos se hace para cada estado de carga considerada. Entonces los miembros son dimensionados para los máximos momentos corregidos, que resulten de todas las condiciones de carga. 7. Una variación en el momento negativo de apoyo, en un tramo dado, requiere también una variación en el momento positivo de dicho tramo. Un decremento del momento de apoyo requiere el correspondiente incremento del momento positivo en el centro del tramo, o un incremento en el apoyo conlleva un

III − 42

decremento en el momento al centro del tramo. 8. El equilibrio estático se debe mantener en todos los nudos, antes y después de la redistribución de momentos. 9. En el caso de momentos negativos desiguales en cada lado de un apoyo fijo, la diferencia entre estos dos momentos se toma dentro del apoyo. Si fueran a corregirse uno o ambos de estos momentos, la diferencia resultante entre los momentos variados se toma dentro del apoyo. 10. La redistribución de momentos se puede llevar a cabo en varios ciclos como se crea conveniente, provisto que, después de cada ciclo de redistribución, se calcula un nuevo porcentaje de incremento o decremento de los momentos. Generalmente un ciclo es suficiente.

III − 43

Se sugiere el siguiente procedimiento para determinar el momento permisible de distribución 1. Determinar los momentos de flexión factorados en los poyos mediante métodos analíticos. Calcular el coeficiente de resistencia Mn / f’c bd2, o Mu / f’c bd2 en los apoyos. 2. Con este valor calculado, entre en el gráfico de coeficientes, determine hacia arriba la intersección con la curva apropiada de f’c, y lea hacia la izquierda el porcentaje permisible de redistribución. 3. Ajuste los momentos de apoyo y los momentos positivos correspondientes para satisfacer el equilibrio.

Ejemplo 1: Determinar la armadura para una losa de piso nervada, armada en un solo sentido, aplicando la redistribución de momentos:

Resistencia del hormigón f’c

=

280 kg/cm2

Fluencia del acero

=

4200 kg/cm2

fy

Apoyos exteriores libres Se dan los momentos calculados mediante un análisis elástico.

III − 44

Ancho de los nervios

13 cm

Espaciamiento entre nervios

64 cm

Altura útil

d = 29 cm

Carga muerda

D = 440 kg/m2

;

Du = 1.2 x 440 = 528 kg/m2

Carga viva

L = 510 kg/m2

;

Lu = 1.6 x 510 = 816 kg/m2

Total Wu

= 1344 kg/m2

Carga para cada nervio Carga muerta

528 x 0.64 = 340 kg/m

Carga viva

816 x 0.64 = 520 kg/m

Total c/nervio

Wu/n = 860 Kg/m

El valor de los momentos se ha determinado mediante un análisis estructural.

III − 45

III − 46

5420 R = 860 x 7.30 /2 + ⎯⎯⎯ 7.30 Para V = 0

;

RA = 2400 kg ;

2400 – 860x = 0

2.792 Mx = 2400 (2.79) – 860 (⎯⎯⎯) 2

860 x 7.30 4400 R = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ 2 7.30

Para V = 0

;

;

;

x = 2.79 m

;

Mx = 3350

RA = 25.36

2523 – 860x = 0

RB = 3880 kg

;

;

RB = 3742

2536 x = ⎯⎯⎯ = 2.95 m 860

2.952 Mx = 2523 (2.93) – 860 ⎯⎯⎯ = 7480 – 3740 = 3740 Kgm 2

III − 47

a) Redistribución de los momentos negativos. La intensión es disminuir el momento de apoyo, en el estado de carga I, sin sobrepasar el máximo momento positivo del estado de carga II. Según el diagrama III de envolventes, se tiene que el mayor momento al borde del apoyo vale 5070 kgm Calculamos el máximo porcentaje de variación permitido: Mu 580 x 100 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ < 0.21 ; Φ f’c bd2 0.90 x 280 x 13 x 292

f’c = 280 kg/cm2 b = 13 cm ; d = 29 cm

Del ábaco de redistribución permisible se obtiene 7.5% (límite) Rebajamos el momento negativo 5860 kgm en este porcentaje. Mu- = 5860 x 0.925 = 5420 kgm cL Al borde de la viga Mu- = 5400 kgm Por razones de equilibrio, calculamos el momento positivo aumentado, que vale 3350 kgm < 4090 b) Para ahorrar el refuerzo para el momento positivo en el tramo, reducimos dicho momento, para lo cual redistribuimos el momento negativo de apoyo, incrementando el momento en un 7.5%: Mu- = 4090 x 1.075 = 4400 Kgm Para este momento, calculamos el momento positivo correspondiente, en el estado de carga II, y se obtiene que Mu+ vale 3740 kgm En resumen, los momentos de diseños redistribuidos, para los cuales se calcularán las armaduras respectivas, están indicados en el diagrama envolvente III

III − 48

Sección Apoyo cL tramo

Estado de carga I II 54 000 3 740

Momentos no redistribuidos 5 840

% Redistribuido 7.5%

4 090

8.6%

Para momento positivo, el máximo porcentaje de variación permitido es: Mu 4090 ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.15 Φ f’c bd2 0.90 x 280 x 13 x 292 Para este valor, del ábaco se obtiene: 10% > 8.6 ok Como la armadura es directamente proporcional al momento flector, se ha logrado una reducción del 7.5% y el 8.6% en el apoyo y en el tramo, respectivamente, sin afectar la seguridad de la estructura

III − 49

3.10 ANÁLISIS APROXIMADO DE ELEMENTOS CONTINUOS (8.3) Como una alternativa de análisis, los siguientes coeficientes aproximados, para el cálculo de momentos flectores y fuerzas cortantes, se permiten para el diseño de vigas continuas y losas en una sola dirección, bajo las siguientes limitaciones: a) Número de tramos, dos o más b) Los tramos son aproximadamente iguales, con una diferencia de luces de dos tramos adyacentes, tal que el más largo no exceda del 20% del corto. c) Las cargas son uniformemente distribuidas. d) La carga viva unitaria no exceda tres veces el valor de la carga unitaria muerta. e) Los miembros son prismáticos.

Momentos positivos Tramos finales Bordes discontinuos, no empotrados

Wu ln2 / 11

Bordes discontinuos, integrados con los apoyos

Wuln2 / 14

Tramos interiores

Wuln2 / 16

Momentos negativos en la carga exterior del primer apoyo interior Dos tramos

Wuln2 / 9

Más de dos tramos

Wuln2 / 10

Momento negativo en las otras caras de apoyos interiores

III − 50

Wuln2 / 11

Momentos negativos en las caras de todos los apoyo, para Losas con tramos que no excedan de 3 m. Vigas, cuando la relación de la suma de rigideces de columnas a la rigidez de la viga, excede de 8 en cada borde del tramo.

Wuln2 / 12

Momentos negativos en la cara interior del apoyo exterior, para miembros construidos integralmente con los apoyos Cuando el apoyo es una viga antepecho

Wuln2 / 24

Cuando el apoyo es una columna

Wuln2 / 16

Fuerza Cortante en miembros extremos en la cara del primer apoyo interior

1.15 Wuln /2

Cortante en las caras de los demás apoyos

Wuln / 2

_____________________________ Referencias: Diseño de Estructuras de Concreto: por G.Winter y A.Nilson; 11va. Edición. Fundamentos del Hormigón Armado: por P.Ferguson; 4ta. Edición. Manual de Diseño. Publicación SP - 17 (89). A.C.I. Reglamento de las Construcciones de Concreto Armado. A.C.I. 318-02.

III − 51

TABLAS DE AYUDA PARA DISEÑO POR FLEXIÓN

AREAS DE VARIAS COMBINACIONES DE VARILLAS Las columnas encabezadas 0 5 contienen áreas para varillas de un mismo diámetro, en grupos de 1 a 10 Las columnas encabezadas 1 2 3 4 5 contienen áreas para varillas de dos diámetros, de 1 a 5 de cada medida Número 0 5

Propiedades

1

0,50

3,01

Peso Kg/m.1.

0,394 0,616 0,888 1,208 1,578 1,997 2,466 2,984 3,853 4,834 6,310

2 3

1,00

3,52

Perímetro-cms

2,51

3,14

1,51

4,02

4

2,01

4,52

5

2,51

5,03

1

0,78

4,71

2

1,57

5,50

3

2,36

6,28

4

3,14

5

3,93

1

1

2

2,32

3,11

# mm

8

10

12

14

16

18

20

22

25

28

32

# mm

Número 3 4

1

2

1,28

1,78

2,29

2,79

2,57

3,08

3,58

4,08

3,36

3,87

4,37

4,87

7,07

3,64

4,14

4,65

5,15

5,65

7,85

4,43

4,93

5,44

5,94

6,44

1,13

6,79

1,91

2,70

3,49

4,27

5,06

2 3

2,26

7,92

3,04

3,83

4,62

5,40

6,19

3,39

9,05

4,17

4,96

5,75

6,53

7,32

4

4,52 10,18

5,30

6,09

6,88

7,66

8,45

5

5,65 11,31

6,43

7,22

8,01

8,79

9,58

1

1,54

2,67

3,80

4,93

6,06

7,19

2

3,08 10,78

8,73

3

4,62 12,32

4

9,24

3,77

4,40

5,03

7,85

28

32

5,66

6,28

6,91

8,80 10,05

# mm

1

2

4,68

6,22

7,82

9,36 10,90 12,44 13,98

5

2,07

10

Designación de las varillas - # mm 12 14 16 18 20 22 25

10

3,29

2,86

8

8

# mm

Número 3 4 3,90

4,68

5 5,47

4,21

5,34

6,47

7,60

5,75

6,88

8,01

9,14 10,27

6,16 13,85

7,29

8,42

9,55 10,68 11,81

5

7,70 15,39

8,83

9,96 11,09 12,22 13,35

1

2,01 12,06

3,55

5,09

6,63

9,71

3,14

4,27

5,40

6,53

7,66

2

4,02 14,07

5,56

7,10

8,64 10,18 11,72

5,15

6,28

7,41

8,54

9,67

3

6,03 16,08

7,57

9,11 10,65 12,19 13,73

7,16

8,29

9,42 10,55 11,68

4

8,04 19,09

9,58 11,12 12,66 14,20 15,74

9,17 10,30 11,43 12,56 13,69

5

10,05 20,11

11,59 13,13 14,67 16,21 17,75

11,18 12,31 13,44 14,57 15,70

1

2,54 15,27

4,55

6,56

8,57 10,58 12,59

4,08

5,62

7,16

2 3

5,09 17,81

7,10

9,11 11,12 13,13 15,14

6,63

8,17

9,71 11,25 12,79

4

10,18 22,90

12,19 14,20 16,21 18,22 20,23

11,72 13,26 14,80 16,34 17,88

5

12,72 25,45

14,73 16,74 18,75 20,76 22,77

14,26 15,80 17,34 18,88 20,42

1

3,14 18,85

5,68

5,15

2

6,28 21,99

3

9,42 25,13

4

12,57 28,27

15,11 17,66 20,20 22,75 25,29

14,58 16,59 18,60 20,61 22,62

14,11 15,65 17,19 18,73 20,27

5

15,71 31,42

18,25 20,80 23,34 25,89 28,43

17,72 19,73 21,74 23,75 25,76

17,25 18,79 20,33 21,87 23,41

1

3,80 22,81

6,94 10,08 13,22 16,37 19,51

6,34

2

7,60 26,61

10,74 13,88 17,02 20,17 23,31

10,14 12,69 15,23 17,78 20,32

3

11,40 30,41

4

15,21 34,21

18,35 21,49 24,63 27,78 30,92

17,75 20,30 22,84 25,39 27,93

17,22 19,23 21,24 23,25 25,26

5

19,01 38,01

22,15 25,29 28,43 31,58 34,72

21,55 24,10 26,64 29,19 31,73

21,02 23,03 25,04 27,05 29,06

1

4,91 29,45

8,71 12,51 16,31 20,12 23,92

8,05 11,19 14,33 17,48 20,62

7,45 10,00 12,54 15,09 17,63

2

9,82 34,36

13,62 17,42 21,22 25,03 28,83

12,96 16,10 19,24 22,39 25,53

12,36 14,91 17,45 20,00 22,54

3

14,73 39,27

4

19,64 44,18

23,44 27,24 31,04 34,85 38,65

22,78 25,92 29,06 32,21 35,35

22,18 24,73 27,27 29,82 32,36

5

24,54 49,09

28,34 32,14 35,94 39,75 43,55

27,68 30,82 33,96 37,11 40,25

27,08 29,63 32,17 34,72 37,26

7,63 20,36

12

14

16

8,17

9,64 11,65 13,66 15,67 17,68

10

12

14

8,23 10,77 13,32 15,86

8,82 11,37 13,91 16,46 19,00 18

20

22

11,96 14,51 17,05 19,60 22,14

14,54 17,68 20,82 23,97 27,11

18,53 22,33 26,13 29,94 33,74

3,86

4,65

5,44

6,22

7,01

5,40

6,19

6,98

7,76

8,55

6,94

7,73

8,52

9,30 10,09

8,48

9,27 10,06 10,84 11,63

8,70 10,24

9,17 10,71 12,25 13,79 15,33

7,16

9,17 11,18 13,19

8,29 10,30 12,31 14,32 16,33 16

18

20

11,43 13,44 15,45 17,46 19,47

14

8,89 11,43 13,98 16,52

13,94 16,49 19,03 21,58 24,12

17,87 21,01 24,15 27,30 30,44

Número 3 4 7,76

5

9,30 10,84

10,96 12,50 14,04 15,58 17,12

5,81

7,82

9,83 11,84 13,85

9,61 11,62 13,63 15,64 17,65 16

18

13,41 15,42 17,43 19,44 21,45

17,27 19,82 22,36 24,91 27,45

1

6,16 36,95

11,07 15,98 20,98 25,80 30,70

9,96 13,76 17,56 21,37 25,17

9,30 12,44 15,58 18,73 21,87

2

12,31 43,10

.

17,22 22,13 27,04 31,95 36,85

16,11 19,91 23,71 27,52 31,32

15,45 18,59 21,73 24,88 28,02

3

18,47 49,26

25

23,38 28,29 33,20 38,11 43,01

4

24,63 55,42

29,54 34,45 39,36 44,27 49,17

28,43 32,23 36,03 39,84 43,64

27,77 30,91 34,05 37,20 40,34

5

30,79 61,58

35,70 40,61 45,52 50,43 55,33

34,59 38,39 42,19 46,00 49,80

33,93 37,07 40,21 43,36 46,50

1

8,04 48,26

14,20 20,35 26,51 32,67 38,83

12,95 17,86 22,77 27,68 32,50

11,84 15,64 19,44 23,25 27,05

2

16,08 56,30

22,24 28,39 34,55 40,71 46,87

20,99 25,90 30,81 35,72 40,62

19,88 23,68 27,48 31,29 35,09

3

24,13 64,34

4 5

32,17 72,38

38,33 44,48 50,64 56,80 62,96

37,08 41,99 46,90 51,81 56,71

35,97 39,77 43,57 47,38 51,18

40,21 80,42

46,37 52,52 58,38 64,84 71,00

45,12 50,03 54,94 59,85 64,75

44,01 47,81 51,61 55,42 59,22

28

30,29 36,44 42,60 48,76 54,92

22

25

22,27 26,07 29,87 33,68 37,48

29,04 33,95 38,86 43,77 48,67

20

22

21,61 24,75 27,89 31,04 34,18

27,93 31,73 35,53 39,34 43,14

F1-01 COEFICIENTES PARA EL DISEÑO POR FLEXIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES SIN REFUERZO DE COMPRESION

ρ

=

ω

f ´c

As

⎯⎯ = ⎯⎯ fy bd

Kn =

c ω ⎯ = 1.18 ⎯⎯

φ fy ( 1 - 0.59 ω) an = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

β1

d a

100

c

β1

⎯ = d

d =

φ f ´c ω ( 1 - 0.59 ω )

Mu

⎯ d

As = ⎯⎯ and

__________ √ Mu / Kn b

2

bd

Mu = F = ⎯⎯ Kn

jn = 1 - 0.59 ω

a

C

d j ud

L.N.

As

b

As b Mu d

en en en en

cm2 cm Kg.Mts. cm

T

f ´c = 175 Kg/cm2 fy = 2 800

fy = 3 500

F1 - 02

f y = 4 200

ω

Kn

ρ

an

ρ

an

ρ

an

0,020

0,032

0,0012

24,97

0,0010

31,30

0,0008

0,030

0,048

0,0019

24,88

0,0015

31,04

0,040

0,063

0,0025

24,72

0,0020

0,050

0,079

0,0031

24,55

0,060

0,094

0,0037

0,070

0,109

0,080

c/d

a/d

jn

37,54

0,028

0,024

0,988

0,0012

37,29

0,042

0,035

0,982

30,87

0,0017

37,03

0,056

0,047

0,976

0,0025

30,71

0,0021

36,86

0,069

0,059

0,971

24,38

0,0030

30,54

0,0025

36,61

0,083

0,071

0,965

0,0044

24,30

0,0035

30,37

0,0029

36,36

0,097

0,083

0,959

0,124

0,0050

24,13

0,0040

30,12

0,0033

36,19

0,111

0,094

0,953

0,090

0,138

0,0056

23,96

0,0045

29,95

0,0037

35,94

0,125

0,106

0,947

0,100

0,153

0,0062

23,79

0,0050

29,78

0,0042

35,68

0,139

0,118

0,941

0,110

0,167

0,0069

23,70

0,0055

29,61

0,0046

35,51

0,153

0,130

0,935

0,120

0,181

0,0075

23,54

0,0060

29,36

0,0050

35,26

0,167

0,142

0,929

0,130

0,195

0,0081

23,37

0,0065

29,19

0,0054

35,01

0,180

0,153

0,923

0,140

0,209

0,0087

23,20

0,0070

29,02

0,0058

34,84

0,194

0,165

0,917

0,150

0,222

0,0094

23,03

0,0075

28,85

0,0062

34,59

0,208

0,177

0,912

0,160

0,235

0,0100

22,95

0,0080

28,68

0,0067

34,42

0,222

0,189

0,906

0,170

0,248

0,0106

22,78

0,0085

28,43

0,0071

34,16

0,236

0,201

0,900

0,180

0,261

0,0112

22,61

0,0090

28,26

0,0075

33,91

0,250

0,212

0,894

0,190

0,274

0,0119

22,44

0,0095

28,09

0,0079

33,74

0,264

0,224

0,888

0,200

0,286

0,0125

22,35

0,0100

27,92

0,0083

33,49

0,278

0,236

0,882

0,210

0,299

0,0131

22,19

0,0105

27,75

0,0087

33,24

0,292

0,248

0,876

0,220

0,311

0,0137

22,02

0,0110

27,50

0,0092

33,07

0,305

0,260

0,870

0,230

0,323

0,0144

21,85

0,0115

27,33

0,0096

32,82

0,319

0,271

0,864

0,240

0,335

0,0150

21,74

0,0120

27,16

0,0100

32,56

0,333

0,283

0,858

0,250

0,346

0,0156

21,60

0,0125

27,00

0,0104

32,39

0,347

0,295

0,853

0,260

0,357

0,0162

21,43

0,0130

26,74

0,0108

32,14

0,361

0,307

0,847

0,270

0,369

0,0169

21,26

0,0135

26,57

0,0112

31,89

0,375

0,319

0,841

0,280

0,380

0,0175

21,09

0,0140

26,40

0,0116

31,72

0,389

0,330

0,835

0,290

0,391

0,0181

21,00

0,0145

26,23

0,0121

31,47

0,403

0,342

0,829

0,300

0,401

0,0187

20,84

0,0150

26,07

0,0125

31,21

0,416

0,354

0,823

0,310

0,411

0,0194

20,67

0,0155

25,81

0,0129

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0,0188

23,03

0,0150

28,85

0,0125

34,59

0,208

0,177

0,912

0,160

0,471

0,0200

22,95

0,0160

28,68

0,0133

34,42

0,222

0,189

0,906

0,170

0,497

0,0213

22,78

0,0170

28,43

0,0142

34,16

0,236

0,201

0,900

0,180

0,523

0,0225

22,61

0,0180

28,26

0,0150

33,91

0,250

0,212

0,894

0,190

0,549

0,0238

22,44

0,0190

28,09

0,0158

33,74

0,264

0,224

0,888

0,200

0,574

0,0250

22,35

0,0200

27,92

0,0167

33,49

0,278

0,236

0,882

0,210

0,599

0,0263

22,19

0,0210

27,75

0,0175

33,24

0,292

0,248

0,876

0,220

0,623

0,0275

22,02

0,0220

27,50

0,0183

33,07

0,305

0,260

0,870

0,230

0,647

0,0288

21,85

0,0230

27,33

0,0192

32,82

0,319

0,271

0,864

0,240

0,670

0,0300

21,74

0,0240

27,16

0,0200

32,56

0,333

0,283

0,858

0,250

0,693

0,0313

21,60

0,0250

27,00

0,0208

32,39

0,347

0,295

0,853

0,260

0,716

0,0325

21,43

0,0260

26,74

0,0217

32,14

0,361

0,307

0,847

0,270

0,739

0,0338

21,26

0,0270

26,57

0,0225

31,89

0,375

0,319

0,841

0,280

0,760

0,0350

21,09

0,0280

26,40

0,0233

31,72

0,389

0,330

0,835

0,290

0,782

0,0363

21,00

0,0290

26,23

0,0242

31,47

0,403

0,342

0,829

0,300

0,803

0,0375

20,84

0,0300

26,07

0,0250

31,21

0,416

0,354

0,823

0,310

0,824

0,0388

20,67

0,0310

25,81

31,04

0,430

0,366

0,817

0,320

0,844

0,0400

20,50

0,0320

25,64

30,79

0,444

0,378

0,811

0,330

0,865

0,0413

20,41

25,48

0,458

0,389

0,805

0,340

0,884

0,0425

20,25

25,31

0,472

0,401

0,799

0,350

0,904

20,08

0,486

0,413

0,794

0,360

0,922

19,91

0,500

0,425

0,788

0,370

0,941

19,82

0,514

0,437

0,782

F2 - 01 COEFICIENTES PARA SECCIONES RECTANGULARES CON ARMADURA DE COMPRESION, Y PARA SECCIONES T, CON f ´s = fy y hf < a

b Cs o Cf d´

hf A´s o Asf

c

Cc

a

E. N.

d

jf d

h As

T

bw o b a´n =

φ

fy

⎯⎯ ( 1 - ⎯⎯ ) ; anf = 100 d

Knf =

ρ

-

ρ´

d´

φ

0.85 f ´c

φ

b

fy

hf

⎯⎯ ( 1 - ⎯⎯ ) 100 2d hf

⎯⎯⎯⎯ ( ⎯⎯ - 1 ) ; jf = 1 - ⎯⎯ 100 bw 2d f´c

d´

6.100

Mu2 - Kn F

≥ 0.85 β1 ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ ; A´s = ⎯⎯⎯⎯⎯ fy d 6.100 - fy a´n d Knf ( jf ) bw hf Asf = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ anf

A´s y Asf están en cm2. Mu está en Kg.m.

f ´c = 175 Kg/cm2

F2 - 02

fy = 2 800

fy = 3 500

f y = 4 200

d´ / d

ρ − ρ´

a´n ó anf

ρ − ρ´

a´n ó anf

ρ − ρ´

a´n ó anf

hf / d

jf

0,01

0,0008

25,05

0,0008

31,30

0,0010

37,62

0,02

0,99

0,02

0,0017

24,80

0,0017

31,04

0,0019

37,20

0,04

0,98

0,03

0,0025

24,55

0,0025

30,71

0,0029

36,86

0,06

0,97

0,04

0,0033

24,30

0,0033

30,37

0,0039

36,44

0,08

0,96

0,05

0,0042

24,04

0,0042

30,03

0,0048

36,11

0,10

0,95

0,06

0,0050

23,79

0,0051

29,78

0,0058

35,68

0,12

0,94

0,07

0,0058

23,54

0,0059

29,44

0,0068

35,35

0,14

0,93

0,08

0,0067

23,28

0,0068

29,10

0,0077

34,92

0,16

0,92

0,09

0,0075

23,03

0,0076

28,77

0,0087

34,59

0,18

0,91

0,10

0,0083

22,78

0,0085

28,51

0,0097

34,16

0,20

0,90

0,11

0,0092

22,52

0,0093

28,18

0,0106

33,83

0,22

0,89

0,12

0,0100

22,27

0,0102

27,84

0,0116

33,41

0,24

0,88

0,13

0,0108

22,02

0,0110

27,50

0,0125

33,07

0,26

0,87

0,14

0,0117

21,76

0,0119

27,25

32,65

0,28

0,86

0,15

0,0125

21,51

0,0127

26,91

32,31

0,30

0,85

0,16

0,0133

21,26

0,0136

26,57

31,89

0,32

0,84

0,17

0,0142

21,00

0,0144

26,23

31,55

0,34

0,83

0,18

0,0150

20,75

0,0153

25,98

31,13

0,36

0,82

0,19

0,0158

20,50

0,0161

25,64

30,79

0,38

0,81

0,20

0,0167

20,25

0,0170

25,31

30,37

0,40

0,80

0,21

0,0175

19,99

24,97

30,03

0,42

0,79

0,22

0,0183

19,74

24,72

29,61

0,44

0,78

0,23

0,0192

19,49

24,38

29,27

0,46

0,77

0,24

0,0200

19,23

24,04

28,85

0,48

0,76

0,25

0,0209

18,98

23,70

28,51

0,50

0,75

0,26

0,0217

18,73

23,45

28,09

0,52

0,74

0,27

0,0226

18,47

23,11

27,75

0,54

0,73

0,28

18,22

22,78

27,33

0,56

0,72

0,29

17,97

22,44

27,00

0,58

0,71

0,30

17,71

22,19

26,57

0,60

0,70

0,31

17,46

21,85

26,24

0,62

0,69

0,32

17,21

21,51

25,81

0,64

0,68

0,33

16,96

21,17

25,48

0,66

0,67

0,34

16,70

20,92

25,05

0,68

0,66

0,35

16,45

20,58

24,72

0,70

0,65

0,36

16,20

20,25

24,30

0,72

0,64

0,37

15,94

19,91

23,96

0,74

0,63

f ´c = 210 Kg/cm2

F2 - 03

fy = 2 800

fy = 3 500

f y = 4 200

d´ / d

ρ − ρ´

a´n ó anf

ρ − ρ´

a´n ó anf

ρ − ρ´

a´n ó anf

hf / d

jf

0,01

0,0010

25,05

0,0010

31,30

0,0012

37,62

0,02

0,99

0,02

0,0020

24,80

0,0020

31,04

0,0023

37,20

0,04

0,98

0,03

0,0030

24,55

0,0031

30,71

0,0035

36,86

0,06

0,97

0,04

0,0040

24,30

0,0041

30,37

0,0047

36,44

0,08

0,96

0,05

0,0050

24,04

0,0051

30,03

0,0058

36,11

0,10

0,95

0,06

0,0060

23,79

0,0061

29,78

0,0070

35,68

0,12

0,94

0,07

0,0070

23,54

0,0071

29,44

0,0081

35,35

0,14

0,93

0,08

0,0080

23,28

0,0082

29,10

0,0093

34,92

0,16

0,92

0,09

0,0090

23,03

0,0092

28,77

0,0105

34,59

0,18

0,91

0,10

0,0100

22,78

0,0102

28,51

0,0116

34,16

0,20

0,90

0,11

0,0110

22,52

0,0112

28,18

0,0128

33,83

0,22

0,89

0,12

0,0120

22,27

0,0122

27,84

0,0140

33,41

0,24

0,88

0,13

0,0130

22,02

0,0133

27,50

0,0151

33,07

0,26

0,87

0,14

0,0140

21,76

0,0143

27,25

0,0163

32,65

0,28

0,86

0,15

0,0150

21,51

0,0153

26,91

0,0175

32,31

0,30

0,85

0,16

0,0160

21,26

0,0163

26,57

0,0186

31,89

0,32

0,84

0,17

0,017

21,00

0,0173

26,23

0,0198

31,55

0,34

0,83

0,18

0,0181

20,75

0,0183

25,98

0,0210

31,13

0,36

0,82

0,19

0,0191

20,50

0,0194

25,64

30,79

0,38

0,81

0,20

0,0201

20,25

0,0204

25,31

30,37

0,40

0,80

0,21

0,0211

19,99

0,0214

24,97

30,03

0,42

0,79

0,22

0,0221

19,74

0,0224

24,72

29,61

0,44

0,78

0,23

0,0231

19,49

0,0234

24,38

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0,0241

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24,04

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0,48

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0,25

0,0251

18,98

0,0255

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28,51

0,50

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0,26

0,0261

18,73

0,0265

23,45

28,09

0,52

0,74

0,27

0,0271

18,47

0,0275

23,11

27,75

0,54

0,73

0,28

0,0281

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22,78

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0,56

0,72

0,29

0,0291

17,97

22,44

27,00

0,58

0,71

0,30

0,0301

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0,31

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0,69

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21,51

25,81

0,64

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16,70

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0,70

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0,36

0,0361

16,20

20,25

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0,72

0,64

0,37

0,0371

15,94

19,91

23,96

0,74

0,63

f ´c = 280 Kg/cm2

F2 - 04

fy = 2 800

fy = 3 500

f y = 4 200

d´ / d

ρ − ρ´

a´n ó anf

ρ − ρ´

a´n ó anf

ρ − ρ´

a´n ó anf

hf / d

jf

0,01

0,0013

25,05

0,0014

31,30

0,0016

37,62

0,02

0,99

0,02

0,0027

24,80

0,0027

31,04

0,0031

37,20

0,04

0,98

0,03

0,0040

24,55

0,0041

30,71

0,0047

36,86

0,06

0,97

0,04

0,0053

24,30

0,0054

30,37

0,0062

36,44

0,08

0,96

0,05

0,0067

24,04

0,0068

30,03

0,0078

36,11

0,10

0,95

0,06

0,0080

23,79

0,0082

29,78

0,0093

35,68

0,12

0,94

0,07

0,0094

23,54

0,0095

29,44

0,0109

35,35

0,14

0,93

0,08

0,0107

23,28

0,0109

29,10

0,0124

34,92

0,16

0,92

0,09

0,0120

23,03

0,0122

28,77

0,0140

34,59

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0,0136

28,51

0,0155

34,16

0,20

0,90

0,11

0,0147

22,52

0,0150

28,18

0,0171

33,83

0,22

0,89

0,12

0,0160

22,27

0,0163

27,84

0,0186

33,41

0,24

0,88

0,13

0,0174

22,02

0,0177

27,50

0,0202

33,07

0,26

0,87

0,14

0,0187

21,76

0,0190

27,25

0,0217

32,65

0,28

0,86

0,15

0,0201

21,51

0,0204

26,91

0,0233

32,31

0,30

0,85

0,16

0,0214

21,26

0,0217

26,57

0,0248

31,89

0,32

0,84

0,17

0,0227

21,00

0,0231

26,23

0,0264

31,55

0,34

0,83

0,18

0,0241

20,75

0,0245

25,98

0,0279

31,13

0,36

0,82

0,19

0,0254

20,50

0,0258

25,64

30,79

0,38

0,81

0,20

0,0267

20,25

0,0272

25,31

30,37

0,40

0,80

0,21

0,0281

19,99

0,0288

24,97

30,03

0,42

0,79

0,22

0,0294

19,74

0,0299

24,72

29,61

0,44

0,78

0,23

0,0308

19,49

0,0313

24,38

29,27

0,46

0,77

0,24

0,0321

19,23

0,0326

24,04

28,85

0,48

0,76

0,25

0,0334

18,98

0,0340

23,70

28,51

0,50

0,75

0,26

0,0348

18,73

0,0353

23,45

28,09

0,52

0,74

0,27

0,0361

18,47

0,0367

23,11

27,75

0,54

0,73

0,28

0,0374

18,22

22,78

27,33

0,56

0,72

0,29

0,0388

17,97

22,44

27,00

0,58

0,71

0,30

0,0401

17,71

22,19

26,57

0,60

0,70

0,31

0,0415

17,46

21,85

26,24

0,62

0,69

0,32

0,0428

17,21

21,51

25,81

0,64

0,68

0,33

0,0441

16,96

21,17

25,48

0,66

0,67

0,34

0,0455

16,70

20,92

25,05

0,68

0,66

0,35

0,0468

16,45

20,58

24,72

0,70

0,65

0,36

0,0481

16,20

20,25

24,30

0,72

0,64

0,37

0,0495

15,94

19,91

23,96

0,74

0,63

f ´c = 350 Kg/cm2

F2 - 05

fy = 2 800

fy = 3 500

f y = 4 200

d´ / d

ρ − ρ´

a´n ó anf

ρ − ρ´

a´n ó anf

ρ − ρ´

a´n ó anf

hf / d

jf

0,01

0,0016

25,05

0,0016

31,30

0,0018

37,62

0,02

0,99

0,02

0,0031

24,80

0,0032

31,04

0,0037

37,20

0,04

0,98

0,03

0,0047

24,55

0,0048

30,71

0,0055

36,86

0,06

0,97

0,04

0,0063

24,30

0,0064

30,37

0,0073

36,44

0,08

0,96

0,05

0,0079

24,04

0,0080

30,03

0,0091

36,11

0,10

0,95

0,06

0,0094

23,79

0,0096

29,78

0,0110

35,68

0,12

0,94

0,07

0,0110

23,54

0,0112

29,44

0,0128

35,35

0,14

0,93

0,08

0,0126

23,28

0,0128

29,10

0,0146

34,92

0,16

0,92

0,09

0,0142

23,03

0,0144

28,77

0,0164

34,59

0,18

0,91

0,10

0,0157

22,78

0,0160

28,51

0,0183

34,16

0,20

0,90

0,11

0,0173

22,52

0,0176

28,18

0,0201

33,83

0,22

0,89

0,12

0,0189

22,27

0,0192

27,84

0,0219

33,41

0,24

0,88

0,13

0,0205

22,02

0,0208

27,50

0,0237

33,07

0,26

0,87

0,14

0,0220

21,76

0,0224

27,25

0,0256

32,65

0,28

0,86

0,15

0,0236

21,51

0,0240

26,91

0,0274

32,31

0,30

0,85

0,16

0,0252

21,26

0,0256

26,57

0,0292

31,89

0,32

0,84

0,17

0,0267

21,00

0,0272

26,23

0,0310

31,55

0,34

0,83

0,18

0,0283

20,75

0,0288

25,98

0,0329

31,13

0,36

0,82

0,19

0,0299

20,50

0,0304

25,64

30,79

0,38

0,81

0,20

0,0315

20,25

0,0320

25,31

30,37

0,40

0,80

0,21

0,0330

19,99

0,0336

24,97

30,03

0,42

0,79

0,22

0,0346

19,74

0,0352

24,72

29,61

0,44

0,78

0,23

0,0362

19,49

0,0368

24,38

29,27

0,46

0,77

0,24

0,0378

19,23

0,0384

24,04

28,85

0,48

0,76

0,25

0,0393

18,98

0,0400

23,70

28,51

0,50

0,75

0,26

0,0409

18,73

0,0416

23,45

28,09

0,52

0,74

0,27

0,0425

18,47

0,0432

23,11

27,75

0,54

0,73

0,28

0,0441

18,22

22,78

27,33

0,56

0,72

0,29

0,0456

17,97

22,44

27,00

0,58

0,71

0,30

0,0472

17,71

22,19

26,57

0,60

0,70

0,31

0,0488

17,46

21,85

26,24

0,62

0,69

0,32

0,0503

17,21

21,51

25,81

0,64

0,68

0,33

0,0519

16,96

21,17

25,48

0,66

0,67

0,34

0,0535

16,70

20,92

25,05

0,68

0,66

0,35

0,0551

16,45

20,58

24,72

0,70

0,65

0,36

0,0566

16,20

20,25

24,30

0,72

0,64

0,37

0,0582

15,94

19,91

23,96

0,74

0,63

F2 - 06

Coeficientes Knf para calcular Asf en vigas T, con hf < a

Knf b / bw

175

f ´c - Kg/cm2 210 280

2,0

1,342

1,611

2,151

2,691

2,2

1,617

1,940

2,581

3,231

2,4

1,884

2,261

3,012

3,762

2,6

2,151

2,581

3,442

4,302

2,8

2,418

2,902

3,872

4,842

3,0

2,692

3,231

4,302

5,382

3,2

2,959

3,551

4,732

5,914

3,4

3,226

3,872

5,163

6,453

3,6

3,494

4,193

5,593

6,993

3,8

3,768

4,522

6,023

7,533

4,0

4,035

4,842

6,453

8,065

4,2

4,302

5,163

6,884

8,605

4,4

4,569

5,483

7,314

9,145

4,6

4,843

5,812

7,744

9,684

4,8

5,111

6,133

8,174

10,216

5,0

5,377

6,453

8,605

10,756

5,2

5,645

6,774

9,035

11,296

5,4

5,919

7,103

9,465

11,836

5,6

6,186

7,424

9,895

12,367

5,8

6,453

7,744

10,326

12,907

6,0

6,720

8,065

10,756

13,447

6,2

6,994

8,394

11,186

13,987

6,4

7,261

8,714

11,616

14,518

6,6

7,523

9,035

12,047

15,058

6,8

7,795

9,355

12,477

15,598

7,0

8,070

9,684

12,907

16,138

7,2

8,337

10,005

13,337

16,669

7,4

8,605

10,326

13,767

17,208

7,6

8,871

10,646

14,198

17,749

7,8

9,145

10,975

14,628

18,289

8,0

9,413

11,296

15,058

18,821

8,2

9,680

11,616

15,488

19,360

8,4

9,947

11,937

15,919

19,900

8,6

10,221

12,266

16,349

20,440

8,8

10,488

12,586

16,779

20,972

9,0

10,755

12,907

17,209

21,512

9,2

11,023

13,228

17,640

22,052

9,4

11,297

13,557

18,070

22,592

9,6

11,564

13,877

18,500

23,123

9,8

11,831

14,198

18,930

23,663

10,0

12,098

14,518

19,360

24,203

350

F2 - 10

Coeficientes a"n para vigas rectangulares con armadura de compresión f ´s < fy

f ´c = 175 Kg/cm2 d´/d

f ´s 2

Kg/cm

2.800 3.500

4.200

f ´s

c / d 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,04 0,05 0,06 0,07

18,77 25,46 29,90 33,11

0,08 0,09 0,10 0,11 0,12

35,52

7,96 13,64 18,29 21,88 24,80 27,15 29,13

1,91 7,75 11,46 14,91 17,80

3,29 7,04

0,13 0,14 0,15

30,80 32,26 33,51

20,24 22,32 24,15

10,21 12,93 15,25

0,16

34,56

25,73

17,32

9,35

1,75

27,15 28,37 29,48 30,50 31,41 32,22 32,99 33,65

19,15 20,73 22,21 23,50 24,68 25,72 26,71 27,60

11,56 13,53 15,26 16,84 18,28 19,58 20,73 21,84

4,37 7,12 8,66 10,53 12,21 13,79 15,10 16,36

2,47 4,56 6,91 8,14 9,72 11,17

1,04 2,93 4,64 6,26

1,60

28,44 29,18 29,92 30,57 31,16 31,75 32,74

22,85 23,76 24,62 25,44 26,16 26,83 28,08 29,19 30,20 31,06 31,83

17,53 18,60 19,58 20,51 21,40 22,19 23,64 24,95 26,07 27,09 28,03

12,48 13,71 14,84 15,88 16,88 17,78 19,41 20,86 22,18 23,31 24,35

7,71 9,07 10,30 11,49 12,54 13,55 15,40 17,02 18,43 19,75 20,89

3,22 4,71 6,49 7,30 8,49 9,60 11,60 13,34 14,92 16,32 17,55

0,56 2,04 3,40 4,68 5,87 8,01 9,91 11,60 13,08 14,44

1,10 2,33 4,64 6,63 8,42 10,01 11,45

1,45 3,60 5,48 7,13 8,67

0,42 0,44

28,87 29,61

25,30 26,16

21,94 22,86

18,70 19,77

15,67 16,78

12,76 13,96

10,05 11,28

0,46 0,48

30,31 30,92

26,98 27,66

23,74 24,53

20,70 21,55

17,77 18,72

15,03 16,03

12,44 13,47

28,34 28,92 29,51 30,06

25,28 25,94 26,60 27,17 27,70

22,36 23,09 23,77 24,40 25,00

19,58 20,37 21,11 21,81 22,42

16,94 17,78 18,57 19,29 19,97

14,43 15,32 16,13 16,89 17,62

0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

Kg/cm2

0,65 3,97 7,33

a"n = φ [ 61 ( 1 - (d´/d / c/d) ) ( 1 - (d´/d) ) ] - 0.0085 f ´c ( 1 - (d´/d) )

2.800

3.500 4.200

F2 - 11

Coeficientes a"n para vigas rectangulares con armadura de compresión f ´s < fy

f ´c = 210 Kg/cm2 d´/d

f ´s 2

Kg/cm

2.800 3.500

4.200

f ´s

c / d 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,04 0,05 0,06 0,07

18.56 25.22 29.69 32.90

0,08 0,09 0,10 0,11 0,12

35.26

7.17 13.41 18.05 21.76 24.63 26.99 29.02

1.69 7.00 11.22 14.68 17.55

3.04 6.83

0,13 0,14 0,15

30.62 32.06 33.32

19.99 22.10 23.96

10.04 12.74 15.10

0,16

34.42

25.56

17.12

9.11

1.60

26.91 28.18 29.27 30.28 31.21 32.06 32.82 33.49

18.98 20.58 22.02 23.37 24.55 25.56 26.57 27.50

11.30 13.24 15.02 16.62 18.05 19.40 20.58 21.68

4.13 6.41 8.52 10.38 11.98 13.50 14.93 16.20

2.19 4.30 6.24 7.93 9.53 10.97

0.84 2.70 4.47 6.07

1.43

28.26 29.02 29.78 30.45 31.04 31.63 32.65

22.61 23.54 24.46 25.22 25.98 26.66 27.92 29.02 30.03 30.88 31.72

17.38 12.23 18.47 10.12 19.49 14.59 20.41 15.69 21.26 16.62 22.02 17.55 23.54 19.23 24.80 20.67 25.98 22.02 27.00 . 23.11 27.92 24.21

7.51 8.86 10.12 11.30 12.40 13.41 15.27 16.87 18.31 19.57 20.75

3.04 4.47 5.82 7.09 8.27 93.64 11.39 13.16 14.76 16.11 17.38

0.42 1.86 3.20 4.55 5.74 7.84 9.78 11.47 12.91 14.34

0.84 2.11 4.47 6.41 8.27 9.87 11.30

1.35 3.46 5.31 7.00 8.52

0,42 0,44

28.77 29.53

25.14 25.98

21.76 22.78

18.56 19.57

15.52 16.62

12.57 13.75

9.95 11.14

0,46 0,48

30.20 30.79

26.83 27.50

23.62 24.46

20.50 21.43

17.63 18.56

14.85 15.86

12.32 13.33

28.18 28.77 29.36 29.86

25.14 25.81 26.49 27.08 27.59

22.19 22.95 23.62 24.30 24.89

19.49 20.25 21.01 21.68 22.27

16.79 17.63 18.39 19.15 19.82

14.74 15.18 16.03 16.79 17.55

0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

Kg/cm2

0.42 3.71 6.58

a"n = φ [ 61 ( 1 - (d´/d / c/d) ) ( 1 - (d´/d) ) ] - 0.0085 f ´c ( 1 - (d´/d) )

2.800

3.500 4.200

F2 - 12

Coeficientes a"n para vigas rectangulares con armadura de compresión f ´s < fy

f ´c = 280 Kg/cm2 d´/d

f ´s 2

Kg/cm

2.800 3.500

4.200

f ´s

c / d 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,04 0,05 0,06 0,07

18.05 24.72 29.19 32.39

0,08 0,09 0,10 0,11 0,12

34.76

6.66 12.91 17.55 21.26 24.13 26.49 28.51

1.18 6.50 10.71 14.17 17.04

2.53 6.33

0,13 0,14 0,15

30.12 31.55 32.82

19.49 21.60 23.45

9.53 12.23 14.59

0,16

33.91

25.05

16.62

8.69

1.10

26.40 27.67 28.77 29.78 30.71 31.55 32.31 32.98

18.47 20.08 21.51 22.86 27.04 25.05 26.07 26.99

10.88 12.82 14.59 16.20 17.63 18.98 20.16 21.26

3.63 5.90 8.01 9.87 11.47 12,99 14.43 15.69

1.77 3.88 5.82 7.51 9.11 10.54

0.42 2.28 4.05 5.65

1.01

27.75 28.51 29.27 29.95 30.54 31.13 32.14

22.19 23.11 24.04 24.80 25.56 26.24 27.50 28.60 29.61 30.45 31.30

16.87 17.97 18.98 19.91 20.75 21.51 23.03 24.30 25.48 26.49 27.42

11.81 13.08 14.17 15.27 16.20 17.12 18.81 20.25 21.60 22.69 23.79

7.09 8.44 9.70 10.88 11.98 12.99 14.85 16.45 17.88 19.15 20.33

2.61 4.05 5.40 6.66 7.84 8.94 10.97 12.74 14.34 15.69 16.96

1.43 2.78 4.13 5.31 7.42 9.36 11.05 12.48 13.92

0.51 1.77 4.13 6.07 7.93 9.53 10.97

0.93 3.04 4.89 6.58 8.10

0,42 0,44

28.26 28.93

24.72 25.56

21.34 22.35

18.14 19.15

15.10 16.20

12.23 13.41

9.53 10.71

0,46 0,48

29.69 30.28

26.40 27.08

23.20 24.04

20.08 21.01

17.21 18.14

14.51 15.52

11.89 12.91

27.75 28.34 28.93 29.44

24.72 25.39 26.07 26.66 27.16

21.76 22.52 23.20 23.87 24.46

19.06 19.82 20.58 21.26 21.85

16.45 17.29 18.05 18.81 19.49

13.92 14.76 15.61 16.37 17.12

0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

Kg/cm2

3.29 6.16

a"n = φ [ 61 ( 1 - (d´/d / c/d) ) ( 1 - (d´/d) ) ] - 0.0085 f ´c ( 1 - (d´/d) )

2.800

3.500 4.200

F2 - 13

Coeficientes a"n para vigas rectangulares con armadura de compresión f ´s < fy

f ´c = 350 Kg/cm2 d´/d

f ´s 2

Kg/cm

2.800 3.500

4.200

f ´s

c / d 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,04 0,05 0,06 0,07

17.55 24.21 28.68 31.89

0,08 0,09 0,10 0,11 0,12

34.25

6.16 12.40 17.04 20.75 23.62 25.98 28,01

0.76 6.07 10.29 13.75 16.62

2.02 5.82

0,13 0,14 0,15

29.61 31.04 32.31

19.06 21.17 23.03

9.03 11.73 14.09

0,16

33.41

24.63

16.11

8.18

0.67

25.98 27.25 28.34 29.36 30.28 31.13 31.89 32.56

17.97 19.57 21.01 22.35 23.54 24.55 25.56 26.49

10.38 12.32 14.09 15.69 17.12 18.47 19.65 20.75

3.21 5.48 7.59 9.45 11.05 12.57 14.00 15.27

1.35 3.46 5.40 7.09 8.69 10.12

1.77 3.54 5.15

0.59

27.25 28.01 28.77 29.44 30.03 30.62 31.63

21.68 22.61 23.54 24.30 25.05 25.73 26.99 28.09 29.10 29.95 30.79

16.45 11.39 17.55 12.65 18.56 13.75 19.49 14.85 20.33 15.77 21.09 16.70 22.61 18.39 23.87 . 19.82 25.05 21.17 26.07 22.27 26.99 . 23.37

6.58 7.93 9.19 10.38 11.47 12.48 14.34 15.94 17.38 18.64 19.82

2.19 3.63 4.98 6.24 7.42 8.52 10.54 12.32 13.92 15.27 16.53

1.01 2.36 3.71 4.89 7.00 8.94 10.63 12.06 13.50

0.08 1.35 3.71 5.65 7.51 9.11 10.54

0.59 2.70 4.55 6.24 7.76

0,42 0,44

27.84 28.51

24.30 25.14

20.84 21.85

17.72 18.73

14.68 15.77

11.81 12.99

9.19 10.38

0,46 0,48

29.27 29.86

25.98 26.66

22.69 23.54

19.66 20.58

16.79 17.72

14.09 15.10

11.56 12.57

27.33 27.92 28.51 29.02

24.21 24.89 25.56 26.15 26.66

21.34 22.10 22.78 23.45 24.04

18.64 19.40 20.16 20.84 21.43

16.03 16.87 17.63 18.39 19.06

13.58 14.43 15.27 16.03 16.79

0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

Kg/cm2

2.78 5.65

a"n = φ [ 61 ( 1 - (d´/d / c/d) ) ( 1 - (d´/d) ) ] - 0.0085 f ´c ( 1 - (d´/d) )

2.800

3.500 4.200

F2-30

Máxima relación de refuerzo de tensión para vigas con doble armadura f ´c

fy 2

Kg/cm Kg/cm

p´/ p 2

210

2.800

210

3.500

210

4.200

280

2.800

280

3.500

280

4.200

350

2.800

350

3.500

350

4.200

d´ / d

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

0,0304 0,0304 0,0304 0,0304 0,0304 0,0304 0,0304 0,0226 0,0226 0,0226 0,0226 0,0226 0,0224 0,0222 0,0176 0,0176 0,0176 0,0175 0,0173 0,0171 0,0169 0,0405 0,0405 0,0405 0,0405 0,0405 0,0405 0,0405 0,0301 0,0301 0,0301 0,0301 0,0301 0,0299 0,0295 0,0234 0,0234 0,0234 0,0233 0,0230 0,0228 0,0225 0,0476 0,0476 0,0476 0,0476 0,0476 0,0476 0,0476 0,0354 0,0354 0,0354 0,0354 0,0354 0,0351 0,0346 0,0275 0,0275 0,0275 0,0274 0,0271 0,0268 0,0265

0,0331 0,0331 0,0331 0,0331 0,0331 0,0331 0,0331 0,0246 0,0246 0,0246 0,0246 0,0246 0,0242 0,0237 0,0191 0,0191 0,0191 0,0190 0,0186 0,0182 0,0178 0,0439 0,0439 0,0439 0,0439 0,0439 0,0439 0,0439 0,0327 0,0327 0,0327 0,0327 0,0327 0,0322 0,0315 0,0254 0,0254 0,0254 0,0252 0,0247 0,0242 0,0237 0,0515 0,0515 0,0515 0,0515 0,0515 0,0515 0,0515 0,0383 0,0383 0,0383 0,0383 0,0383 0,0378 0,0369 0,0298 0,0298 0,0298 0,0296 0,0290 0,0284 0,0278

0,0357 0,0357 0,0357 0,0357 0,0357 0,0357 0,0357 0,0265 0,0265 0,0265 0,0265 0,0265 0,0260 0,0252 0,0206 0,0206 0,0206 0,0205 0,0199 0,0193 0,0187 0,0473 0,0473 0,0473 0,0473 0,0473 0,0473 0,0473 0,0352 0,0352 0,0352 0,0352 0,0352 0,0346 0,0334 0,0274 0,0274 0,0274 0,0272 0,0264 0,0256 0,0248 0,0554 0,0554 0,0554 0,0554 0,0554 0,0554 0,0554 0,0413 0,0413 0,0413 0,0413 0,0413 0,0405 0,0392 0,0322 0,0322 0,0322 0,0319 0,0309 0,0300 0,0291

0,0383 0,0383 0,0383 0,0383 0,0383 0,0383 0,0383 0,0285 0,0285 0,0285 0,0285 0,0285 0,0278 0,0267 0,0222 0,0222 0,0222 0,0219 0,0211 0,0204 0,0196 0,0507 0,0507 0,0507 0,0507 0,0507 0,0507 0,0507 0,0378 0,0378 0,0378 0,0378 0,0378 0,0369 0,0354 0,0294 0,0294 0,0294 0,0291 0,0281 0,0270 0,0260 0,0593 0,0593 0,0593 0,0593 0,0593 0,0593 0,0593 0,0442 0,0442 0,0442 0,0442 0,0442 0,0432 0,0414 0,0345 0,0345 0,0345 0,0341 0,0329 0,0316 0,0304

0,0409 0,0409 0,0409 0,0409 0,0409 0,0409 0,0409 0,0304 0,0304 0,0304 0,0304 0,0304 0,0295 0,0282 0,0237 0,0237 0,0237 0,0234 0,0224 0,0214 0,0205 0,0541 0,0541 0,0541 0,0541 0,0541 0,0541 0,0541 0,0404 0,0404 0,0404 0,0404 0,0404 0,0392 0,0373 0,0315 0,0315 0,0315 0,0310 0,0297 0,0284 0,0271 0,0632 0,0632 0,0632 0,0632 0,0632 0,0632 0,0632 0,0472 0,0472 0,0472 0,0472 0,0472 0,0459 0,0437 0,0368 0,0368 0,0368 0,0363 0,0348 0,0332 0,0317

0,0435 0,0435 0,0435 0,0435 0,0435 0,0435 0,0435 0,0324 0,0324 0,0324 0,0324 0,0324 0,0313 0,0297 0,0253 0,0253 0,0253 0,0249 0,0237 0,0225 0,0213 0,0575 0,0575 0,0575 0,0575 0,0575 0,0575 0,0575 0,0429 0,0429 0,0429 0,0429 0,0429 0,0416 0,0393 0,0335 0,0335 0,0335 0,0330 0,0314 0,0298 0,0283 0,0671 0,0671 0,0671 0,0671 0,0671 0,0671 0,0671 0,0502 0,0502 0,0502 0,0502 0,0502 0,0486 0,0459 0,0392 0,0392 0,0392 0,0386 0,0367 0,0349 0,0330

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Mu con refuerzo de Compresión Valores de γ

f ´c

fy

Kg/cm2

Kg/cm2

210 2.800

210 3.500

210 4.200

ρ 0,2

d´ / d = 0.05 ρ´ / ρ 0,4 0,6 0,8

F2-31

= ------------------------------------------------Mu sin refuerzo de Compresión

1,0

0,2

d´ / d = 0.10 ρ´ / ρ 0,4 0,6 0,8

1,0

0,2

d´ / d = 0.15 ρ´ / ρ 0,4 0,6 0,8

1,0

0,2

d´ / d = 0.20 ρ´ / ρ 0,4 0,6 0,8

1,0

0,005

1,003

1,005

1,005

1,005

1,005

1,001

1,001

1,001

1,001

1,001

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,010

1,019

1,031

1,037

1,039

1,039

1,007

1,010

1,011

1,011

1,011

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,001

1,002

1,003

1,003

1,003

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1,044

1,001

1,015

1,017

1,017

1,017

1,002

1,003

1,003

1,003

1,003

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1,117

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1,024

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1,182

1,185

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1,134

1,048

1,079

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1,091

1,092

1,036

1,050

1,055

1,057

1,058

0,030

1,092

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1,138

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1,188

1,189

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1,135

1,139

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0,035

-

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-

1,719

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-

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1,196

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-

1,127

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-

-

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.

-

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-

-

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-

-

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-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

-

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-

-

-

-

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-

-

-

-

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-

-

-

-

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1,012

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1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

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1,000

1,000

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-

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-

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-

-

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-

-

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-

-

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-

-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

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-

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-

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-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

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1,001

1,001

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1,000

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1,000

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1,003

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-

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-

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-

-

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-

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-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

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-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

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-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

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-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Mu con refuerzo de Compresión Valores de γ

f ´c

fy

Kg/cm2

Kg/cm2

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280 3.500

280 4.200

ρ 0,2

d´ / d = 0.05 ρ´ / ρ 0,4 0,6 0,8

F2-32

= ------------------------------------------------Mu sin refuerzo de Compresión d´ / d = 0.10 ρ´ / ρ 0,4 0,6 0,8

d´ / d = 0.15 ρ´ / ρ 0,4 0,6 0,8

d´ / d = 0.20 ρ´ / ρ 0,4 0,6 0,8

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0,2

1,0

0,2

1,0

0,2

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1,001

1,001

1,001

1,001

1,001

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

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1,020

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1,001

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1,132

1,172

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1,199

1,063

1,109

1,137

1,146

1,147

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1,086

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1,066

1,068

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1,189

1,066

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-

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-

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1,235

-

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1,183

-

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-

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-

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-

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-

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1,177

1,179

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1,004

1,004

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1,002

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1,003

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1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

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1,007

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1,008

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1,000

1,000

1,000

1,000

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1,012

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1,001

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1,045

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-

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-

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1,221

-

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-

-

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-

-

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-

-

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-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

-

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-

-

-

-

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1,008

1,008

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

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1,017

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1,002

1,002

1,002

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

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1,024

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1,009

1,009

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-

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-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

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-

-

-

-

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-

-

-

-

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-

-

-

-

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-

-

-

-

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-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,050

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Mu con refuerzo de Compresión Valores de γ

f ´c Kg/cm

ρ

fy 2

Kg/cm

2

350 2.800

350 3.500

350 4.200

0,2

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F2-33

= ------------------------------------------------Mu sin refuerzo de Compresión d´ / d = 0.10 ρ´ / ρ 0,4 0,6 0,8

d´ / d = 0.15 ρ´ / ρ 0,4 0,6 0,8

d´ / d = 0.20 ρ´ / ρ 0,4 0,6 0,8

1,0

0,2

1,0

0,2

1,0

0,2

0,005

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,0

0,010

1,007

1,009

1,010

1,011

1,011

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,015

1,015

1,025

1,030

1,031

1,031

1,004

1,006

1,006

1,006

1,006

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,020

1,024

1,041

1,052

1,055

1,056

1,014

1,020

1,022

1,022

1,023

1,003

1,004

1,004

1,004

1,004

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,025

1,033

1,058

1,074

1,081

1,082

1,023

1,038

1,042

1,043

1,044

1,012

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1,017

1,018

1,000

1,003

1,003

1,003

1,003

0,030

1,043

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1,014

1,014

1,014

0,035

1,053

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1,138

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1,043

1,073

1,091

1,094

1,095

1,032

1,051

1,055

1,057

1,058

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1,027

1,029

1,030

1,030

0,040

1,064

1,114

1,149

1,169

1,174

1,053

1,092

1,116

1,123

1,124

1,042

1,070

1,080

1,082

1,083

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1,044

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1,050

1,051

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1,156

1,053

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1,106

1,110

1,111

1,042

1,065

1,071

1,073

1,074

0,050

1,088

1,157

1,206

1,236

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1,077

1,134

1,171

1,188

1,190

1,065

1,111

1,136

1,140

1,142

1,053

1,087

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1,101

0,005

1,001

1,001

1,001

1,001

1,001

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,010

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1,020

1,020

1,001

1,001

1,001

1,001

1,001

1,001

1,001

1,001

1,001

1,001

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1,000

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1,018

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1,002

1,002

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1,002

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1,000

1,000

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1,081

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1,014

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1,017

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1,003

1,003

1,003

1,003

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1,101

1,106

1,108

1,038

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1,069

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1,033

1,037

1,039

1,040

0,035

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1,195

1,199

1,063

1,109

1,137

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1,146

1,052

1,084

1,095

1,100

1,103

1,038

1,055

1,062

1,066

1,067

0,040

-

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1,244

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-

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-

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-

-

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1,002

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1,003

1,003

1,001

1,002

1,002

1,003

1,003

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,010

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1,029

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1,006

1,006

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

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-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

F3-01

Máxima relación de refuerzo de tensión para vigas de sección T f ´c

fy

Kg/cm2 Kg/cm2

210

ρmax

2.800

0,02784

210

3.500

0,02065

210

4.200

0,01604

280

2.800

0,03712

280

3.500

0,02753

280

4.200

0,02138

350

2.800

0,04367

350

3.500

0,03239

350

b / bw

para bw=b

4.200

0,02515

hf / d

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

0,1

0,01630

0,01250

0,01050

0,00939

0,00862

0,00808

0,00766

0,00734

0,00709

0,2

0,01870

0,01570

0,01410

0,01320

0,01260

0,01220

0,01180

0,01160

0,01140

0,3

0,02110

0,01880

0,01770

0,01700

0,01660

0,01630

0,01600

0,01580

0,01570

0,4

0,02350

0,02200

0,02130

0,02090

0,02060

0,02040

0,02020

0,02010

0,02000

0,1

0,01220

0,00943

0,00803

0,00719

0,00663

0,00623

0,00593

0,00569

0,00551

0,2

0,01420

0,01200

0,01090

0,00102

0,00982

0,00951

0,00928

0,00909

0,00895

0,3

0,01610

0,01450

0,01380

0,01330

0,01300

0,01280

0,01260

0,01250

0,01240

0,4

0,01800

0,01710

0,01660

0,01640

0,01620

0,01610

0,01600

0,01590

0,01580

0,1

0,00961

0,00747

0,00640

0,00576

0,00533

0,00502

0,00470

0,00462

0,00447

0,2

0,01120

0,00960

0,00879

0,00831

0,00799

0,00776

0,00758

0,00745

0,00734

0,3

0,01280

0,01170

0,01120

0,01090

0,01060

0,01050

0,01040

0,01030

0,01020

0,4

0,01440

0,01380

0,01360

0,01340

0,01330

0,01320

0,01320

0,01310

0,01310

0,1

0,02170

0,01660

0,01410

0,01250

0,01150

0,01080

0,01020

0,00979

0,00945

0,2

0,02490

0,02090

0,01880

0,01760

0,01680

0,01620

0,01580

0,01550

0,01520

0,3

0,02810

0,02510

0,02360

0,02270

0,02210

0,02170

0,02140

0,02110

0,02090

0,4

0,03130

0,02940

0,02840

0,02780

0,02740

0,02720

0,02700

0,02680

0,02670

0,1

0,01630

0,01260

0,01070

0,00959

0,00884

0,00830

0,00790

0,00759

0,00734

0,2

0,01890

0,01600

0,01450

0,01370

0,01310

0,01270

0,01240

0,01210

0,01190

0,3

0,02140

0,01940

0,01840

0,01770

0,01730

0,01700

0,01680

0,01670

0,01650

0,4

0,02400

0,02280

0,02220

0,02180

0,02160

0,02140

0,02130

0,02120

0,02110

0,1

0,01280

0,00996

0,00853

0,00768

0,00710

0,00670

0,00639

0,00615

0,00596

0,2

0,01490

0,01280

0,01170

0,01110

0,01060

0,01030

0,01010

0,00993

0,00979

0,3

0,01710

0,01560

0,01490

0,01450

0,01420

0,01400

0,01380

0,01370

0,01360

0,4

0,01920

0,01850

0,01810

0,01790

0,01770

0,01760

0,01750

0,01750

0,01740

0,1

0,02580

0,00199

0,01690

0,01510

0,01390

0,01310

0,01240

0,01190

0,01150

0,2

0,02980

0,02520

0,02290

0,02150

0,02060

0,01990

0,01940

0,01900

0,01870

0,3

0,03380

0,03050

0,02880

0,02790

0,02720

0,02670

0,02640

0,02610

0,02590

0,4

0,03780

0,03580

0,03480

0,03420

0,03380

0,03360

0,03330

0,03320

0,03310

0,1

0,01940

0,01500

0,01290

0,01160

0,01070

0,01010

0,00963

0,00927

0,00898

0,2

0,02260

0,01930

0,01770

0,01670

0,01600

0,01560

0,01520

0,01490

0,01470

0,3

0,02580

0,02350

0,02240

0,02180

0,02130

0,02100

0,02080

0,02060

0,02050

0,4

0,02890

0,02780

0,02720

0,02690

0,02660

0,02650

0,02640

0,02630

0,02620

0,1

0,01520

0,01190

0,01030

0,00928

0,00862

0,00815

0,07790

0,00752

0,00730

0,2

0,01790

0,01550

0,01430

0,01350

0,01300

0,01270

0,01240

0,01220

0,01210

0,3

0,02050

0,01900

0,01820

0,01780

0,01750

0,01730

0,01710

0,01700

0,01690

0,4

0,02320

0,02260

0,02220

0,02200

0,02190

0,02180

0,02170

0,02170

0,02160

CAPÍTULO IV ANÁLISIS DEL CORTANTE Y LA TORSIÓN

CAPITULO IV ANÁLISIS DEL CORTANTE Y LA TORSIÓN 4.01 MEÁCANICA DEL ESFUERZO CORTANTE Y TENSIÓN DIAGONAL La naturaleza del esfuerzo cortante podemos visualizar por el comportamiento de una viga laminada, sometida a una carga. Consideremos dos piezas de sección rectangular unidas de tal forma que constituyan una sola viga. Si la adhesión entre estas piezas es suficientemente fuerte, las piezas se deformarán realmente como una sola viga, pero si la adhesión es débil, las piezas se separarán y se deslizarán entre si. Cuando la adhesión sea efectiva, significará que hay fuerzas actuando en la superficie de contacto, que impiden el deslizamiento o corte de las piezas. Estas serán unas fuerzas horizontales que actúan separadamente en cada una de las partes. Esta misma clase de esfuerzos existen en todas las vigas de una sola pieza, y están ubicados en planos horizontales; pero son diferentes en intensidad, según la distancia desde el eje neutro. ESFUERZOS CORTANTES INTERIORES P

P

vpr=V / bh

h

Vmx=3Vpr / 2

P

dx

IV - 1

Consideremos una longitud diferencial de una viga de sección rectangular, sometida a la acción de una fuerza cortante V. El equilibrio vertical se provee, mediante los esfuerzos cortantes verticales v. Su valor promedio es igual a la fuerza de corte dividida para el área transversal. vprom = V / hb Tomemos un elemento cuadrado muy pequeño, situado en el eje neutro de la viga, (1). En este elemento actuarán los esfuerzos verticales en ambas caras, que por razones de equilibrio serán iguales y opuestos.

Pero en realidad no existiría

equilibrio si solo actuara este par de fuerzas, ya que el elemento giraría; por tanto en las caras horizontales se desarrollan también esfuerzos equilibrantes, de la misma magnitud.

En resumen, en cualquier punto de una viga, el esfuerzo

cortante horizontal es igual al esfuerzo cortante vertical. Sabemos que en un elemento cortado a 45°, estos esfuerzos cortantes en las caras vertical y horizontal equivalen a dos pares de esfuerzos normales, uno de tensión y otro de compresión, que actúan en las caras inclinadas a 45°, y que son de igual valor que los cortantes. Si el elemento de viga considerado es uno que esté situado fuera del eje neutro, sin que tampoco esté en los bordes exteriores, entonces existirán en sus caras verticales, a más de los esfuerzos cortantes, también los esfuerzos de flexión. Todos los esfuerzos que actúan en el elemento pueden así mismo combinarse en un par de esfuerzos inclinados de compresión, y en otro par de esfuerzos de tensión, que son normales entre si. Estos se conocen como esfuerzos principales. Como podemos ver, los esfuerzos de tensión no están confinados solamente a los esfuerzos horizontales de flexión f, sino que existen también otras tensiones de varias inclinaciones y magnitudes, debidas solamente a las fuerzas de corte o a la combinación de corte y flexión. A estos esfuerzos inclinados de tensión se les denomina la tensión diagonal, la misma que debe ser especialmente considerada en el diseño del hormigón armado.

IV - 2

Si los esfuerzos de flexión son despreciables, en un punto dado, los esfuerzos de tensión diagonales tienen una inclinación de aproximadamente 45° y son del mismo valor que los esfuerzos cortantes, siendo máximos en el eje neutro. Por consiguiente, las fisuras diagonales se forman, en la mayoría de los casos, en o cerca del eje neutro, y desde ahí se propagan, cuando las tensiones diagonales igualan la resistencia a la tensión del concreto.

ESFUERZOS TANGENCIALES Y NORMALES

1

t=v

2

t = -v

v

t1

v

v

f

v

1

t2

f

2 v v

45° t

v v

t

α t2

t1

Se ha encontrado que, para puntos de gran fuerza cortante y pequeño momento flector, se forman fisuras de tensión diagonal a un esfuerzo nominal de: ____ Vc vc = ⎯⎯⎯ = 0.9 √ f ´c bd Cuando tanto la fuerza de corte como el momento flexionante son grandes, fisuras de flexión se forman primero, las mismas que son controladas por el refuerzo longitudinal. Sin embargo, es posible que estas fisuras se superpongan con las de tensión diagonal y se propaguen formando un doblez. Es evidente que en este caso, el esfuerzo nominal de fisuración será menor que en el caso anterior.

IV - 3

VARIACION DE ESFUERZOS V pequeño M grande

V grande M pequeño

{

{

V grande M grande

{ M

M

V

V

V pequeño M grande

V grande M grande

V grande M pequeño

V

IV - 4

{

{

{

{ M

V grande M pequeño

Experimentalmente se ha establecido que para vigas con grandes momentos flectores, para los que se ha provisto de la armadura adecuada, el esfuerzo nominal de fisuración vale: Vc ____ vc = ⎯⎯⎯ = 0.5 √ f ´c bd Comparando las dos expresiones últimas, vemos que grandes momentos flectores pueden reducir la fuerza de corte de fisuración, a casi la mitad del valor que se tendría si el momento fuera cero. Es evidente entonces, que el esfuerzo cortante bajo el cual se desarrollan fisuras diagonales, depende de la relación de la fuerza de corte al momento flector: V / M, o en términos no dimensionales, de la relación Vd / M. Valores moderados de esta relación corresponden a magnitudes intermedias vfis, comprendidas entre los dos extremos indicados anteriormente.

IV - 5

Las tensiones diagonales son proporcionales a las fuerzas de corte V y a los momentos flectores M en un punto dado de la viga, los mismos que dependen de la distribución de carga y de la posición y naturaleza de los apoyos. Así podremos encontrar en cualquier punto, muchas combinaciones entre fuerzas cortantes y momentos, en cuanto a su intensidad. Naturalmente, los valores relativos de M y V afectarán la magnitud y la dirección de los esfuerzos de tensión diagonal. En un lugar de fuerza cortante V grande, y pequeño momento flector M, habrá un fisuramiento muy pequeño por flexión antes que se desarrolle una fisura por tensión diagonal; por tanto, el esfuerzo promedio de corte, previo a la formación de la fisura es: v = V / bd No se conoce la exacta distribución de estos esfuerzos a través de la altura de la sección, por lo que el valor calculado según esta expresión se refiere meramente a una medida de la intensidad promedio del esfuerzo cortante. VIGAS SIN REFUERZO AL CORTE Tomemos una viga con cualquier sistema de cargas, en la cual se ha formado parcialmente una fisura diagonal de tensión. Consideremos la parte de la viga situada a la izquierda de la fisura. En esta porción habrá una fuerza cortante exterior Vext. No podrá transmitirse ninguna fuerza de tensión perpendicular a la fisura, a través de la misma. Las únicas fuerzas internas verticales serán aquellas que actúan en la parte del concreto no fisurado, Vc, y a través del acero longitudinal Ve. Así, la fuerza cortante interior es Vint = Vc + Ve. El equilibrio requiere que Viny = Vext , por tanto la parte del cortante resistido por la sección no fisurada del concreto es: Vc = Vext - Ve

IV - 6

La parte del cortante resistido por el refuerzo longitudinal, en una acción de espiga, es generalmente muy pequeña, debido a que las varillas están apoyadas, contra desplazamientos verticales, principalmente en una capa delgada de concreto que forma el recubrimiento. La presión de soporte causada por Ve, crea en este concreto esfuerzos verticales de tensión, por lo cual, las fisuras diagonales resultan en un desprendimiento del concreto a lo largo del refuerzo de tensión. Por consiguiente, el valor de esta acción de espiga Ve no se toma en cuenta; entonces resulta que las fuerzas de corte deben ser resistidas por la parte no fisurada del concreto, y tendremos Vc ≅ Vext

P

P

Cc Vc Ts

R

Ve p

Ve R

VIGAS CON REFUERZO EN EL ALMA Con el fin de incrementar la resistencia al esfuerzo cortante, de una viga, se puede proveer de una armadura adecuada, denominada armadura de alma. El refuerzo de alma puede consistir en estribos verticales, que son los más generalizados, o en estribos inclinados. También puede armarse mediante barras dobladas, provenientes de la armadura de flexión.

IV - 7

Armaduras con Estribos Verticales

Con Estribos Inclinados

P

P Cc

Cc S

Vc

S

Vc

α

Avfy

Avfy

45°

Ts

Ts

Ve R

p

R

p

Consideremos una fisura diagonal potencial, a la que atraviesan varios estribos verticales, de sección Av. Cada estribo desarrollará una fuerza Av fy Av = área de la sección transversal del estribo, incluyendo todas las ramas ( 2 ramas para estribos en U ). fv = esfuerzo de tensión en el estribo. La condición de equilibrio en la dirección vertical, requiere que Vc + ∑n Av fv = Vext n

= número de estribos que atraviesan la fisura. Siendo S el espaciamiento

entre estribos, y p la proyección horizontal de la fisura, tendremos n = p / S

IV - 8

Al momento de falla, el esfuerzo en los estribos habrá alcanzado la fluencia fy, y despreciando la acción de espiga Ve, tendremos que la fuerza de corte a la falla será: Vn = Vc + n Ay fy La participación de los estribos en el equilibrio de la fuerza cortante está bien definida, no así el valor de Vc llevado por el concreto. Se asume que a la falla, este valor es igual al que causó la tensión diagonal. Si asumimos que la proyección p de la falla es igual a la altura útil d ( p = d ) significará que la falla tiene una inclinación cercana a 45°; la ecuación anterior será entonces: Av fy d Vn = Vc + ⎯⎯⎯⎯ S Dividiendo ambos miembros de esta igualdad para bd, obtendremos esta misma ecuación expresada según el esfuerzo cortante nominal:

Vn

Av fy = vc + ⎯⎯⎯⎯ bS

ARMADURA CON BARRAS INCLINADAS Las consideraciones generales son las mismas que las del caso anterior. Introduciendo el factor de inclinación, tendremos:

vn

Av fy ( sen α + cos α ) = vc + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ bs

IV - 9

Debe observarse que el análisis precedente es válido sólo si es que el espaciamiento entre varillas es tal, que cualquier línea de falla potencial del concreto sea atravesada por lo menos por un estribo o una barra inclinada. De otra manera, el refuerzo no contribuiría a la resistencia de la viga.

A - DISEÑO POR CORTE

El diseño de una sección por esfuerzo cortante, se basará en las expresiones: Ф Vn > Vu

;

Vc + Vs

4.02 ESFUERZO PARA EL DISEÑO Hemos visto que el esfuerzo de corte promedio vale: v = V / bd en forma general. Según las disposiciones del Código A.C.I., y generalizando tanto a vigas de sección rectangular como a vigas T, el esfuerzo de corte, de diseño será: Vu vu = ⎯⎯⎯⎯ Φ bw d 

;

Φ = 0.75 para corte

En vista de los efectos favorables de compresión debido a las reacciones, el Código permite tomar como valor crítico de diseño, el corte que ocurre a una distancia

d

desde la cara de los apoyos, excepto cuando en el apoyo se

desarrolla tensión, o existe una carga concentrada comprendida en la distancia d , en cuyo caso la sección crítica se considera al borde del apoyo.

IV - 10

4.03 VIGAS SIN REFUERZO El esfuerzo de corte que pueda tomar el concreto, por sí solo, está dado por la ecuación: ___ Vu d vc = 0.5 √ f ´c + 175 ρw ⎯⎯⎯ Mu __ Pero este valor no debe ser mayor que 0.9 √ f ´c Mu = Momento flector en el punto considerado Vu = Fuerza de corte en el punto considerado La relación Vud / Mu no debe tomarse mayor que 1.0 Alternativamente el Código permite también el uso de una expresión más simple, aproximada y conservadora: ___ vc = 0.50 √ f ´c

IV - 11

Esta expresión es adecuada para la mayoría de los casos. Si es que el esfuerzo calculado vu no es mayor que el valor de vc , según cualquiera de las dos alternativas dadas, entonces no se requiere teóricamente armadura en el alma.

Sin embargo, el Código establece la provisión de una

mínima armadura dada por la expresión: 3.5 bw S Av = ⎯⎯⎯⎯ fy S = espaciamiento del refuerzo Av = área total del refuerzo Esta armadura no se requiere en los siguientes casos: a) En losas y zapatas. b) En sistemas nervados de pisos. c) En vigas de una altura no mayor que 25 cm ; que 2½ veces el espesor del ala, o que ½ del ancho del alma, el que sea mayor. d) Si vu es menor que la mitad de vc.

IV - 12

Ejemplo:

Una viga rectangular, debe soportar una fuerza de corte = 7 600 Kg. sin refuerzo en el alma. f ´c = 280 Kg/cm2 Cuál será la sección mínima, si el diseño está controlado por corte?

a) El esfuerzo nominal de corte, en este caso, no debe ser mayor de la mitad que el permitido para el concreto: _____ vc = 0.50 √ 2 80 = 8.3 Kg/cm2 ;

vc/2 = 4.15

Por tanto: 7 600 Vu bw d = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2 440 cm2 Φ vc/2 0.75 x 4.15 Adoptamos la sección b = 35 b)

Podemos

considerar

la

provisión

d = 70 cm de

la

armadura

mínima

correspondiente, si es que tomamos el valor total de vc . En este caso:

IV - 13

7 600 bw d = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 1 220 cm2 ; b = 30 , d = 40 cm 0.85 x 8.3 La armadura mínima será, con S ≅ d/2 = 20 cm , fy = 2 800 Kg/cm2 3.5 x 30 x 20 Av = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.75 cm2 ≅ 2 #10 (#10 mínimo) 2 800 Entonces dispondremos estribos de 2 ramas con varillas #10 @ 20 cm

4.04 VIGAS CON REFUERZO Cuando el esfuerzo unitario de corte excede el de la resistencia del concreto, se debe proveer de refuerzo en el alma. Este refuerzo se proporcionará solo para el exceso del corte sobre la capacidad del concreto, pero no podrá ser menor que el mínimo indicado. El refuerzo para corte, llamado también refuerzo de alma, puede consistir de los siguientes tipos: a) Estribos perpendiculares al eje del miembro. b) Malla soldada, con los alambres dispuestos perpendicularmente al eje del miembro. c) Estribos inclinados a un ángulo de 45° o más, con relación al acero longitudinal de tensión. d) Varillas longitudinales dobladas a un ángulo de 30° o más, con relación al acero longitudinal de tensión. e) Una combinación de estribos y varillas longitudinales dobladas. f) Espirales (zunchos)

IV - 14

Las ecuaciones para el diseño del refuerzo de alma serán:

vs = vu - vc

;

Av fy vs = ⎯⎯⎯ bw S

Para estribos verticales: Av fy vu = vc + ⎯⎯⎯ bw S Para estribos inclinados: Av fy (sen α) vu = vc + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ bw S α = 45° mínimo Para varillas dobladas, cuando se tenga una o más varillas dobladas paralelamente en una misma sección vu = vc + Av fy sen α α = 30° mínimo

IV - 15

Con el fin de que la armadura para cortante sea efectiva, el Código especifica los siguientes espaciamientos máximos: Para estribos verticales o alambres de malla También

Smax = d/2 Smax = 60 cm

___ Cuando el esfuerzo para la armadura vs > √ f ´c , estas distancias se reducen a la mitad, esto es a d/4 ó a 30 cm. Para varillas inclinadas, una línea trazada desde un eje ubicado a d/2 desde el borde superior, a 45° con dirección al apoyo más cercano, debe interceptar a una varilla. Para varillas longitudinales dobladas, a 45° el espaciamiento máximo es ¾ d. Se considerará también, el espaciamiento correspondiente a la armadura mínima:

Smax

Av fy = ⎯⎯⎯ 3.5 bw

___ En ningún caso el valor de vs debe exceder de 2.1 √ f ´c

Kg/cm2

El esfuerzo de fluencia de la armadura para cortante no excederá de 420 MPa, excepto para mallas de alambre soldadas, que no será mayor que 550 MPa.

Ejemplo 1: Comprobar por esfuerzo cortante, la siguiente viga en voladizo. f ´c = 210 Kg/cm2 Acero: grado 28 Peso propio: 0.25 x 0.33 x 2 400 = 200 Kg/m Carga muerta adicional: 800 Kg/m

IV - 16

Sobre carga viva de servicio: 1 690 Kg/m A la distancia d = 28 cm desde el borde del apoyo, se tiene: wu = 1.2 wd + 1.6 wL = 1.2 x 1 000 + 1.6 x 1 690 = 3 900 Kg/m

Vud = 3 900 ( 1.80 - 0.28 ) = 5 928 Kg ;

5 928 vu = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 11.30 Kg/ cm2 0.75 + bd

____ Permisible: vc = 0.50 √ 210 = 7.25 Kg/cm2 (Según la expresión aproximada). vc + 3.5 = 7.25 + 3.50 = 10.75 Kg/cm2 (Disponible para armadura mínima). Como vu > 10.75 se requerirá armadura en el alma.

IV - 17

Ahora analizamos con la expresión más exacta: 3 #18 = 7.63 cm2 ρw

7.63 1.522 = ⎯⎯⎯⎯ = 0.011 ; Mu = 3 900 x ⎯⎯⎯ = 4 505 Kg.m 25 x 28 2

5 928 x 0.28 vc = 7.25 + 175 x 0.011 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 7.25 + 0.71 = 7.96 Kg/cm2 4 505 7.96 + 3.50 = 11.46 Kg/cm2 (Disponible con armadura mínima). Ahora vu < 11.46 por lo que no se requiere armadura por corte, principal. Pero según la disposición del Código, hay que proveer de la armadura mínima, capaz de absorber un esfuerzo vs = 3.5 Kg/cm2, en una distancia x desde el borde del apoyo, donde el esfuerzo cortante vu disminuya hasta vc/2, o sea 7.96/2 = 3.98 Kg/cm2. Al borde del apoyo tendremos: Vu = 3 900 x 1.80 = 7 020 ; 2

vu = 13.37 Kg/cm

;

vu = 7 020 / 0.75 x 700 ; 1.80 x 3.98 x = 1.80 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.26 m 13.37

Usando #10, tendremos: Av = 2 #10 = 1.57 cm2 (mínimo #10) Espaciamiento máximo = d/2 = 14 cm. Comprobamos: Av fy 1.57 x 2 800 vs = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 12.56 Kg/cm2 > 3.5 bS 25 x 14 Resumen:

1 @

7 cm =

7 cm

9 @ 14 cm = 1.26 m 1.33 m

IV - 18

ok.

Ejemplo 2: Analizar por cortante la siguiente viga, usando acero de grado 28 y concreto con f ´c = 210 Kg/cm2 D = 2 700 Kg

Sección:

L = 6 700 Kg

b = 23 cm d = 48 h = 55

La sección crítica de diseño está a una distancia de 0.48 m desde el borde del apoyo, o sea a 1.80 - 0.48 = 1.32 desde el centro. Peso propio:

0.23 x 0.55 x 2 400 = 304 Kg/m

A la distancia d tendremos: Por carga muerta: Vu = 1.2 ( 2 700 + 304 x 1.32 ) = 3 715 Kg Por carga viva: Vu = 1.6 x 6 700 = 10 720 Kg 14 435 Kg Total Vud _ V = 14 435 / 0.75 = 21 670 Kg IV - 19

21 670 Esfuerzo requerido de diseño: vu = ⎯⎯⎯⎯ = 17.32 Kg/cm2 23 x 48 ___ Resistente: vc = 0.50 √ 210 = 7.25 Kg/cm2 < vu Por tanto se requieren estribos. ___ Máximo permisible para vu = 7.25 + 2.1 √ 210 = 37.7 Kg/cm2 > 17.43 Deducimos que la sección sí es adecuada. En el punto de aplicación de la carga, justo al lado izquierdo tendremos: Vu-90 = 1.2 ( 2 700 + 304 x 0.9 ) + 1.6 x 6 700 = 14 280 Kg vu-90 = 14 280 / 0.75 x 1 104 = 17.25 Kg/cm2 En el mismo punto si omitimos la una carga viva de la izquierda, tendremos la condición más desfavorable, cuyo valor será:

0.90 Vu-90 = 1.2 (2 700 + 304 x 0.9) + 1.6 x 6 700 x ——— = 6 240 Kg 3.60 _ V = 6 240 / 0.75 = 8 320 Kg vu-90 = 8 320 / 1 104 = 7.54 Kg/cm2 vs = 7.54 - 7.25 = 0.29 Kg/cm2 Por ser este valor pequeño, y por cuanto vu > vc/2 , se dispondrá la armadura mínima en toda la parte media central. Como la variación de vs entre los apoyos y las cargas concentradas, es muy pequeña, computamos un solo espaciamiento S para los estribos. El diseño será para vs = vu - vc = 17.43 - 7.25 = 10.18 Kg/cm2 La dimensión mínima de estribos es el #10 ; Av = 2 #10 = 1.57 cm2 ___ Controlamos el espaciamiento máximo: √ 210 = 14.5 Kg/cm2 > 10.07 por tanto el máximo espaciamiento es d/2 = 24 cm IV - 20

Tendremos: So = Av fy / vs x b = 1.57 x 2 800 / 10.18 x 23 = 18 cm En resumen, usaremos estribos U 8, dispuestos como sigue, a partir del apoyo: 1 @ 6 8 @ 12

= 9 = 90 99 cm

En la parte central, comprendida entre las cargas concentradas, pondremos los estribos espaciados a 24 cm. que provee más del esfuerzo mínimo de 3.5 Kg/cm2 requerido por el Código. 1.57 x 2 800 vs = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ~ 10 Kg/cm2 > 3.5 ok 23 x 24 Ejemplo 3: Una viga simplemente apoyada, de sección 40 cm. por 55 cm. de altura útil, soporta una carga total de diseño de 10 340 Kg/m. La luz libre es de 6.0 m. Tiene un refuerzo de 64.34 cm2 ininterrumpido. Resistencia del concreto f ´c = 210 Kg/cm2. Analizar esta viga por esfuerzo cortante, siendo la fluencia del acero fy = 2 800 Kg/cm2. Al borde del claro tendremos: Vu = 10 340 x 6 / 2 = 31 020 Kg A la distancia d del borde de apoyo: Vu = 31 020 - 10 340 x 0.55 = 25 330 Kg Los esfuerzos de diseño serán: Vu Vu Vu ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ Φ bw d 0.75 x 40 x 55 1 650 Al borde apoyo: 31 020 vu = ⎯⎯⎯⎯ = 18.8 Kg/cm2 1 650

IV - 21

A la distancia d 25 330 vu = ⎯⎯⎯⎯ = 15.3 Kg/cm2 1 650

___ El concreto lleva: vc = 0.50 √ 210 = 7.2 kg/cm2. El punto teórico en el que no se necesita armadura en el alma será: 18.8 - 7.2 3 x ⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.86 m 18.8 Para la armadura mínima, tendremos que considerar vc / 2 = 3.6 y la distancia será: 18.8 - 3.6 3 x ⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.43 m 18.8

IV - 22

Si usamos la ecuación más exacta, entonces debemos considerar las variaciones de ρw , Vu y Mu a través de la longitud de la viga. El cálculo hacemos en forma tabular ___ Vu d vc = 0.5 √ f ´c + 175 ρw ⎯⎯ Mu Máximo valor:

___ 0.9 √ 210 = 13 Kg/cm2

Distancias x m.

Mu Kg.m.

Vu Kg.

Vu d / Mu

0

0.0

31 020

1.0

0.50

14 220

28 430

1.0

1.00

25 850

20 680

0.44

1.50

34 900

15 510

0.24

2.00

41 360

10 340

0.14

2.50

45 240

5 170

0.06

3.00

16 530

0.0

0

Mu = 31 020 x - 5 170 x2 ρw

64.34 = ⎯⎯⎯⎯ = 0.029 40 x 55

;

vc Kg/cm2 7.2 + 5.1 = 12.3 < 13 7.2 + 5.1 = 12.3 7.2 + 2.2 = 9.4 7.2 + 1.2 = 8.4 7.2 + 0.7 = 7.9 7.2 + 0.3 = 7.5 7.2 + 0 = 7.2

Vu = 31 020 - 10 340 x 175 ρw = 5.13

Comparando los resultados de las dos ecuaciones, vemos que las distancias en que se requiere armadura del alma, son prácticamente iguales, pero con los valores de la expresión 2a. obtendremos una armadura mucho menor.

IV - 23

;

Calculamos la armadura con referencia al 1er. diagrama. Adoptamos estribos en U #10 ; Av = 2 #10 = 1.57.

Controlamos los límites de espaciamiento:

___ √ f ´c = 14.4 Kg/cm2

vu - vc = 15.3 - 7.2 = 8.1 Kg/cm2 < 14.4 El espaciamiento máximo será: a)

d / 2 = 55 /2 28 cm

b)

S

c)

Smax

≤

60 cm Av fy 1.57 x 2 800 = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 31 cm 3.5 bw 3.5 x 40

Rige el criterio a) Smax = 28cm. Para la sección crítica tendremos: Av fy 4 396 S = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 13 cm ( vu - vc ) bw 8.1 x 40 Este es un espaciamiento adecuado, y por tanto confirmamos el diámetro #10 escogido. Ahora veamos el exceso de cortante para el cual podemos adoptar el máximo espaciamiento: ( vu - vc ) = 4 396 / 28 x 40 = 3.92 Kg/cm2 Veamos a qué distancia x1 ocurre este exceso: x1 = 1.86 x 3.92 / 11.6 = 0.63 m O sea a:

1.86 - 0.63 = 1.23 m

(18.8 – 7.2 = 11.6)

desde el apoyo.

Podemos entonces determinar los espaciamientos de estribos.

IV - 24

Como referencia, para el apoyo tenemos: S0 = 4 396 / 11.6 x 40 = 9.5 cm Tomando intervalos cada 50 cm tendremos: S1 = 9.5 x 1.86 / 1.36 = 13 cm S2 = 9.5 x 1.86 / 0.86 = 20 cm S3 = 9.5 x 1.86 / 0.36 = 49 cm

(Rige el máx. = 28)

En resumen, a partir de la cara del apoyo tendremos: 1 5 2 7

@ 6 cm @ 13 @ 20 @ 28

= 6 cm = 65 = 40 = 140 2.71 > 2.43

111 cm

Si consideramos el criterio más exacto, o sea el 2° diagrama, veremos que el máximo vu - vc vale 3 Kg/cm2 (Deducción gráfica). Por tanto:

S = 4 396 / 3 x 40 = 36 cm.

Rige el mínimo que es 28.

Tendríamos: 1 @ 14 9 @ 28

= 14 cm = 2.52 2.66 > 2.40

Es buena práctica proveer de unos pocos estribos extras, más allá del punto teórico requerido.

IV - 25

4.05 DISEÑO AL CORTE PARA MIEMBROS CON FUERZAS AXIALES Una fuerza longitudinal de compresión Nu , aplicada a un miembro de flexión, incrementará el esfuerzo nominal vc . Esto se puede tomar en cuenta en el diseño, por modificaciones de las respectivas ecuaciones. Según el Código A.C.I., en la ecuación del esfuerzo cortante llevado por el concreto, según el criterio detallado, el valor de Mu se reemplaza por: 4h-d Mm = Mu - Nu ⎯⎯⎯ 8

(h = altura total del miembro)

Se permite tomar para Mm valores menores que Vud. Así, con una fuerza axial de compresión, tendremos: ___ Vud vc = 0.5 √ f ´c + 175 ρw ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Mu - 1/8 Nu ( 4 h - d ) Pero sin exceder del valor: ___ __________________ 0.9 √ f ´c √ 1 + 0.0285 Nu / Ag Ag = área bruta de la sección Como alternativa, el Código permite emplear la siguiente expresión más simple y fácil de aplicar, pero menos exacta. ___ 0.007 Nu vc = 0.5 ( 1 + ⎯⎯⎯⎯⎯ ) √ f ´c Ag Al contrario de la compresión, la tensión longitudinal reduce el fuerzo cortante nominal de fisuración. Por esto, indícase la siguiente expresión, para usar en vez de las dadas para vc:

IV - 26

0.0285 Nu ___ vc = 0.5 ( 1 - ⎯⎯⎯⎯⎯ ) √ f ´c Ag (Nu es negativo para la tensión) Como otra alternativa, cuando hay tensión longitudinal, la armadura del alma se puede calcular para tomar todo el esfuerzo cortante, con vc = 0 . Ejemplo 4: Una viga ha sido diseñada por flexión, y tiene la siguiente sección: Hormigón f ´c = 210 Kg/cm2 Armadura longitudinal As = 4 #28 = 24.63 cm2

b = 30 cm d = 51 cm h = 57 cm

Las cargas a la distancia 51 cm desde el borde del apoyo son: Corte:

Vu = 17 000 Kg

Momento:

Mu = 13 500 Kg.m

Carga axial de compresión:

Nu = 14 000 Kg

Analizar por esfuerzo cortante. Esfuerzo requerido de diseño: Vu 17 000 vu = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 13.07 Kg/cm2 Φ bd 0.85 x 30 x 51 Calculamos ahora la resistencia del hormigón: a)

Según la expresión aproximada: ___ vc = 0.50 √ 210 = 7.25 Kg/cm2 Esfuerzo para la armadura mínima 3.50 Kg/cm2 Disponible: 7.25 + 3.50 = 10.75 Kg/cm2 < 13.07 Kg/cm2

IV - 27

Se requiere de armadura principal en el alma. b)

Según la expresión detallada, sin considerar la carga axial: 24.63 Vd 17 000 x 0.51 ρ = ⎯⎯⎯ = 0.0161 ; ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.642 1 530 M 13 500 vc = 7.25 + 175 x 0.0161 x 0.642 = 7.25 + 1.80 = 9.05 Kg/cm2 Disponible: 9.05 + 3.50 = 12.55 < 13.07 Se requiere de armadura principal.

c)

Tomando en cuenta la carga axial:

( 4 x 57 ) - 51 Mm = 13 500 - 14 000 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 10 402 Kg.m 100 x 8 Vd 17 000 x 0.51 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.833 Mm 10 402 vc = 7.25 + 2.82 (0.833) = 9.6 Kg/cm2 Disponible: 9.6 + 3.5 = 13.1 < 13.07 Kg/cm2 En este caso no se requiere de armadura principal por cortante, pero se requiere la armadura mínima. Comprobación del esfuerzo resistente límite:

vc - max

___ ______________________________ = 0.9 √ 210 √ 1 + ( 0.0285 x 14 000 / 30 x 57 )

vc - max = 14.48 Kg/cm2 > 9.6

o.k.

Armadura mínima: Con varilla #8 Av = 2 #8 = 1.00 cm2 Espaciamiento: S = d/2 = 25 cm

IV - 28

;

fy = 2 800 Kg/cm2

1.00 x 2 800 vs = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 3.73 Kg/cm2 > 3.5 25 x 30

o.k.

Resumen #8 @ 25 cm.

B – ANÁLISIS DE LA TORSIÓN 4.06 MECÁNICA DE LA TORSIÓN El diseño por torsión se basa en el comportamiento de un tubo de paredes delgadas en el cual se considera la analogía de una armadura espacial, cercha. Una vez que ocurre la fisuración, el concreto en la zona central de la sección influye muy poco en su resistencia torsional, tal que pueda ignorarse, idealizándose de este modo un miembro tubular.

IV - 29

La torsión es resistida a través de un flujo cortante constante q, que actúa alrededor de la línea central del tubo. Del equilibrio de la torsión externa T y de los esfuerzos internos se tiene T = 2 A0 q = 2 A0 τ t , de donde q = τ t = T / 2 A0 τ

=

esfuerzo cortante a través del espesor del tubo

t

=

espesor del tubo

T

=

torsión aplicada

A0

=

área comprendida dentro de la línea central del espesor del tubo

IV - 30

Cuando una viga de hormigón es sometida a torsión se producen fisuras alrededor de la viga, con cierta inclinación, las cuales tienden a extenderse formando una espiral. Luego de la fisuración, una viga sometida a torsión pura puede idealizarse como una armadura espacial, consistente de barras longitudinales en las esquinas, cercos y diagonales de concreto dispuestas en forma espiral entre las fisuras de torsión. Un concepto básico para el diseño es que el concreto es resistente bajo compresión mientras que el acero es resistente a la tensión. De esta manera, en la analogía de la armadura, los miembros en tensión constan del refuerzo del acero, y las diagonales y más miembros en compresión constan de hormigón.

IV - 31

Con referencia al cuerpo libre para equilibrio vertical, tendremos: At fy v2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cot θ S

IV - 32

Como el flujo cortante (fuerza por unidad de longitud) es constante sobre la altura de la sección, resulta: T v2 = Yo = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Yo 2 Ao Sustituyendo para valores de v2 obtenemos 2 Ao At fy T = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cot θ S Con referencia al cuerpo libre para equilibrio horizontal, escribimos: Ni = Vi cot θ La fuerza Ni es centrada a media altura de la sección, de tal manera que el esfuerzo q es constante en la cara del elemento. Las cuerdas del tope y de la base están sometidas a una fuerza Ni / 2. Se asume que el acero longitudinal fluye cuando se alcanza la máxima torsión. Sumando las fuerzas internas y externas en todas las cuerdas de la cercha espacial, tendremos: T T Al fy = ∑ Ni = ∑ Vi cot θ = ∑ q yi cot θ = ∑ ⎯⎯⎯ yi cot θ = ⎯⎯⎯ cot θ ∑ yi 2 Ao 2 Ao Al fy es la fuerza de fluencia en todo el refuerzo longitudinal.

Reordenando esta ecuación resulta: 2 Ao Al fy T = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 (x0 + y0) cot θ

IV - 33

DISEÑO POR TORSIÓN 4.07 CONSIDERACIONES GENERALES La torsión puede ignorarse si el momento torsional Tu es menor que la torsión de falla: Tu < Tcr / 4 ___ La torsión de falla o de fisuración corresponde a un esfuerzo de tensión √ f ´c Según el Código 02, previo a la fisuración, el espesor t de la pared del tubo idealizado y el área Ao encerrada por la línea central de dicha pared, están relacionadas a la geometría de la sección no fisurada, según las siguientes asunciones: Espesor del tubo

t

= 3 Acp / 4 Pcp

A0 = 2 Acp / 3 Acp

=

área comprendida en el perímetro exterior de la sección transversal de hormigón.

Pcp

=

perímetro exterior de la sección transversal de hormigón.

A0

=

área comprendida en la línea central del espesor del tubo

___ Tenemos que T = 2 A0 τ t ; τ = √ f ´c Por sustitución de valores según las expresiones anteriores tenemos que la torsión resistente del hormigón vale:

Tcr

___ = √ f ´c ( A2cp / Pcp )

IV - 34

Tendremos entonces que el diseño por torsión puede no ser tomado en cuenta si ___ Tu < Φ 0.25 √ f ´c ( A2cp / Pcp ) Sea que un miembro de hormigón armado esté sujeto a torsión solamente, o a flexión combinada con corte, la rigidez del miembro decrece luego de la fisuración. La reducción de la rigidez torsional, después de la fisuración, es mucho mayor que la reducción de rigidez flexionante. Si el momento torsional Tu no puede ser reducido por redistribución de fuerzas internas en la estructura, el miembro debe ser diseñado para todo el momento torsional, al cual se le denomina como torsión de equilibrio. Sección crítica.- La sección crítica de un miembro para diseño por torsión está a una distancia “d” de la cara de apoyo. Las secciones localizadas dentro de esta distancia serán diseñadas para la torsión en “d”. Si una viga transversal se enmarca dentro de esta distancia d, se produce una torsión concentrada; en este caso la torsión de diseño se tomará en la cara del apoyo.

IV - 35

4.08 RESISTENCIA TORSIONAL La resistencia torsional de diseño deberá ser igual o mayor que la resistencia requerida, esto es Φ Tn ≥ Tu . El momento torsional nominal, en términos del esfuerzo de fluencia de los cercos es: 2 A0 At fy Tn = ⎯⎯⎯⎯⎯ cot θ S Aoh = área comprendida en la línea central del refuerzo torsional transversal exterior. θ

= ángulo de las diagonales en compresión, variable entre 30° y 60°. Generalmente se toma 45°.

REPRESENTACION DE AREAS A0h

IV - 36

La definición de A0 se refiere a una sección no fisurada. La resistencia nominal de torsión Tn se alcanza después de la fisuración y luego de que el miembro ha sufrido una apreciable rotación torsional. Bajo estas grandes deformaciones, una parte del hormigón de recubrimiento puede desprenderse, razón por la cual, cuando se calcula el área A0 correspondiente a la torsión Tn, no se toma en cuenta el concreto de recubrimiento. Por ésta razón el parámetro A0 se relaciona a A0h. El área A0 se puede determinar por un análisis exacto o más sencillamente asumiendo que A0 = 0.85 A0h Al analizar la mecánica de la torsión, llegamos a las ecuaciones 2 A0 At fy T = ⎯⎯⎯⎯⎯ cot θ S

y

2 A0 Al fy T = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 (x0 + y0) cot θ

Tenemos también: Ph = 2 (x0 + y0) que es el perímetro de la línea central del refuerzo transversal torsional más exterior. Haciendo las sustituciones respectivas tendremos que el refuerzo longitudinal requerido por torsión se calcula en función de la armadura transversal, como sigue: Al = ( At / S ) Ph cot2θ Nótese que el término At / S es el refuerzo debido solamente a la torsión. En miembros sujetos a torsión conjuntamente con corte, flexión o carga axial, la cantidad de la armadura, tanto longitudinal como transversal, para resistir todas las acciones de las diferentes fuerzas, será determinada por el principio de superposición. En miembros sujetos a flexión, la sección del refuerzo longitudinal requerido por torsión, ubicada en la zona de compresión por flexión, puede reducirse tomando en cuenta dicha compresión.

IV - 37

4.09 LÍMITES – ESFUERZO EN EL HORMIGÓN Para reducir las fisuraciones y evitar el rompimiento del hormigón en compresión, en las diagonales, el Código 02 prescribe un límite superior para el esfuerzo debido al corte y torsión. En secciones sólidas, los esfuerzos debidos al corte actúan en todo el ancho de la sección, mientras que los esfuerzos debidos a la torsión se asume que son resistidos por una pared delgada de un tubo. Por ésta razón, el Código establece una interacción elíptica entre corte y torsión, como sigue: ______________________________ √ ( Vu / bwd )2 + ( Tu Ph / 1.7 A20h )2

≤

___ Φ ( Vc / bwd + 2 √ f ´c )

para secciones sólidas. Para secciones con vacíos (vigas cajón) los esfuerzos de torsión y corte son directamente aditivos en un lado, y el límite está dado por: ___ ( Vu / bwd ) + ( Tu Ph / 1.7 A 0h ) ≤ Φ ( Vc / bwd + 2 √ f ´c ) 2

Si el espesor dado de la pared de la sección es menor que A0h / Ph el segundo término del primer miembro de esta expresión viene a ser Tu / 1.7 A0ht, o más exactamente Tu / 2Aot . Por esta razón, en este caso el actual valor del espesor t será empleado en vez de Aoh / Ph

IV - 38

DIAGRAMA DE SUMA DE ESFUERZOS TORSIONALES Y CORTANTES

Esfuerzos Torsionales

Esfuerzos Cortantes

Esfuerzos Torsionales

SECCION HUECA

Esfuerzos Cortantes

SECCION LLENA

4.10 ARMADURA El refuerzo para resistir la torsión consta de una armadura longitudinal y otra transversal. Esta última puede consistir en cercos cerrados, malla soldada o una armadura en espiral. De lo visto anteriormente, y considerando un ángulo θ = 45°, tendremos: Para la armadura transversal:

At / S = Tu / (2Φ A0 fy)

Para la armadura longitudinal:

Al = ( At / S ) Ph

Para secciones huecas, la distancia comprendida entre la línea central del refuerzo transversal torsional y la cara interior de la pared de la sección hueca, no debe ser menor que 0.5 A0h / Ph

IV - 39

ARMADURA MINIMA Siempre que Tu > Φ Tcr / 4 el Código especifica una armadura mínima de torsión, y considerando que generalmente un miembro sujeto a torsión está también sujeto a corte, se tiene:

Área mínima de cercos:

Área mínima de refuerzo longitudinal:

3.5 bw S ( Av + 2 At ) = ⎯⎯⎯⎯⎯ fy ___ 1.3 √ f ´c Acp At Al = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯ Ph fy S

At / S requerido por torsión solamente, no debe ser menor que 1.75 bw / fy. ESPACIAMIENTO DE LA ARMADURA. La distancia entre cercos no debe exceder de Ph/8 ó de 30 cm. el que sea menor. Para una viga cuadrada, este máximo espaciamiento es análogo a d/2 establecido para cortante. El refuerzo longitudinal debe ser distribuido alrededor del perímetro de los cercos, interiormente de los mismos, a un espaciamiento máximo de 30 cm. Con el fin de evitar el pandeo de las varillas longitudinales, estas deben tener un diámetro mínimo de 1/24 del espaciamiento entre cercos, ni menor que 10 mm. EJEMPLO DE DISEÑO POR TORSIÓN Sea una cubierta de elementos prefabricados que están apoyados simplemente en vigas principales, con resaltes. Estas vigas están empotradas a las columnas para transferir torsión.

IV - 40

Columnas 40 x 40 cm

Viga interior

Viga L de antepecho

9.00 m

A

9.00

9.00

PLANTA

0.40

cL

0.28

0.20

0.80

18.00

A

0.15

SECCION A-A

IV - 41

9.00

Datos: Sobrecarga viva

=

180 Kg/m2

Carga muerta

=

350 Kg/m2

Resistencia del hormigón f´c

=

350 Kg/cm2

Fluencia del acero

=

4 200 Kg/cm2

fy

Asumimos que la carga que entrega el sistema de cubierta a las vigas de apoyo es uniformemente distribuida. 1.)

Se trata de calcular los momentos flectores, fuerza cortante y momento de torsión para la viga exterior de antepecho.

Por carga muerta: Reacción de cubierta: 350 x 18/2 Peso propio de la viga: [( 0.40 x 0.80 ) + ( 0.15 x 0.20 )] 2 400 Sobrecarga viva: Cargas para el diseño:

Total W0 180 x 18/2 = Wl

=

3 150 Kg/m

=

840 Kg/m ⎯⎯⎯⎯⎯ 3 990 Kg/m 1 620 Kg/m

= =

Wu = 1.2 (3 990) + 1.6 (1 620) = 4 790 + 2590 = 7380 Al centro del claro el momento será: Mu = 7 380 x 92 / 8

≅

7 500 Kg m

La fuerza cortante en el apoyo será: Vu = 7 380 x 9 / 2 =

IV - 42

33 200

Cargas torsionales para el diseño, serán las cargas aplicadas excéntricamente: 1.2 (3 150) + 1.6 (1 620) =

6 370 Kg/m

La excentricidad de la carga entregada por la cubierta, con relación al centro de la viga será:

20 + 7.5

≅

28 cm

El momento torsional en los apoyos valdrá: Tu = 6 370 ( 9 / 2 ) 0.28 ≅

8 000 Kg m

La sección crítica tanto para la torsión como para el corte está ubicada a una distancia d desde la cara del apoyo Tomemos d = 0.75 m La sección crítica, desde el centro de las columnas estará situada a una distancia = 0.75 + 0.20 = 0.95 m Y desde el centro del tramo estará a: 4.50 - 0.95 = 3.55 m Fuerza cortante

Vu = 33 200 ( 3.55 / 4.50 )

Momento torsional Tu = 8 000 ( 3.55 / 4.50 ) 2.)

= 25 400 Kg = 6 310 Kg m

Comprobación de la posibilidad de ignorar la torsión.

La torsión puede despreciarse si

Torsión resistente del concreto:

Tu < Φ Tcr / 4

Tcr

___ = √ f ´c ( A2cp / Pcp )

Acp

=

área de la sección de la viga

Pcp

=

perímetro de la sección de la viga

IV - 43

;

Φ = 0.75

Se tiene: 3 500 cm2

Acp = (40 x 80) + (15 x 20)

=

Pcp = 2 (40 + 80) + 2 (15) =

270 cm

El valor límite de la torsión para ser ignorada será: ___ ____ 2 0.75 x 0.25 √ f ´c ( A cp / Pcp ) = [ 0.75 x 0.25 √ 350 ( 3 5002 / 270 ) ] / 100 = 1 590 Kg m < 6 310

Por consiguiente, la torsión debe considerarse. 3.)

Cálculo de los cercos requeridos por torsión.

El diseño de la resistencia torsional debe cumplir con la expresión: Φ Tn ≥ Tu Aquí Tn = 2 A0 At fy cot θ / S A0 = 0.85 A0h A0h = área comprendida entre la línea central del refuerzo torsional cerrado, transversal 33 cm

13

73

60

cL Cercos

15 48

IV - 44

Consideremos un recubrimiento de 3 cm netos más 0.5 cm al centro de los cercos. Tendremos: A0h

=

( 33 x 73 ) + ( 13 x 15 ) A0

=

=

2 604 cm2

0.85 x 2 604

=

2 213 cm2

Para hormigón no pre-esforzado se toma θ = 45° Por sustitución de valores, en las ecuaciones anteriores se tiene: At Tu 6 310 x 100 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.045 2 x 0.75 x 2 213 x 4 200 x 1 S 2 Φ A0 fy cot θ 4.)

Cálculo de cercos requeridos por esfuerzo cortante.

Resistencia del concreto: ___ ____ Vc = 0.5 √ f ´c bwd = 0.5 √ 350 40 x 75 = 28 060 Kg

Para la armadura: Vs = Vu / Φ - Vc = 25 400 / 0.75 - 28 060 = 5 800 Kg Av / S = Vs / (fy d) = 5 800 / (4 200 x 75) = 0.018 (Para dos ramas) 5.)

Armadura total para torsión y corte:

At / S + Av / 2S = 0.045 + 0.018 / 2 = 0.054 (Para una rama) Tomemos un diámetro #10 mm = 0.78 cm2 El espaciamiento será:

S = 0.78 / 0.054 = 14 cm

Adoptemos un espaciamiento mínimo de S = 14 cm 6.)

Comprobación del espaciamiento máximo de cercos:

Por torsión, el máximo espaciamiento es Ph / 8 ó 30 cm Ph = perímetro de los cercos: Ph = 2 ( 33 + 73 ) + 2 ( 15 ) = 242 cm

IV - 45

;

Smáx = 242 / 8 = 30 cm

Por cortante, el máximo espaciamiento es d / 2 ó 30 cm Smáx = 75 / 2 = 37 cm Rige el mínimo espaciamiento 14 cm y el máximo 30 cm 7.)

Comprobación del área mínima de cercos:

( Av + 2 At ) = 3.5 b S / fy = 3.5 x 40 x 30 / 4 200 = 1.00 cm2 (mínimo) Disponible 2 #10 = 1.57 cm2 > 1.00 ok. 8.)

Disposición de los cercos:

cL

1.65 3.55

Desde luego que para este caso, de carga uniformemente repartida, tanto el esfuerzo cortante como el de torsión son cero en el centro de la luz, y varían linealmente hasta su valor máximo en la sección crítica, el punto de espaciamiento máximo de cercos se puede determinar por simple relación.

Scrítico 14 ⎯⎯⎯⎯ (3.55) = ⎯⎯ (3.55) = 1.65 m desde ⊄ 30 Smáximo 9.)

Comprobación del esfuerzo del concreto en las diagonales en compresión

IV - 46

Debe cumplirse la condición: ____________________________ ___ √ ( Vu / bd )2 + ( TuPh / 1.7A20h )2 ≤ Φ ( Vc / bd + 2 √ f ´c ) _______________________________________________ √ ( 25 400 / 40x75 )2 + ( 6 310x100x242 / 1.7x2 6042 )2 = 12 Kg/cm2 ___ ___ ___ ___ Φ Vc / bd + 2 √ f ´c = Φ ( 0.5 √ f ´c bd / bd + 2 √ f ´c = 2.5 Φ √ f ´c ___ = 2.5 x 0.75 √ 350 = 35 Kg/cm2

12 < 35 10.)

ok.

Cálculo del refuerzo longitudinal por torsión Al = ( At / S ) Ph cot2θ Al = 0.045 x 242 x 1.0 = 10.89 cm2 Comprobación del área mínima: At / S ≥ 1.75 b / fy = 1.75 x 40 / 4 200 = 0.017 < 0.045

Al min

___ ____ At 1.3 √ 350 ( 3 500) 1.3 √ f ´c Acp = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯ Ph = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - 0.045 (242) S 4 200 fy

Al min = 20.27 - 10.89 = 9.38 cm2 < 10.89 Rige 10.89 cm2 Esta área de acero debe disponerse alrededor del perímetro de la sección de la viga, con un espaciamiento máximo de 30 cm Con éste propósito colocamos esta armadura en 4 capas. En cada capa tendremos 10.89 / 4 = 2.72 cm2 ; 2 #14 en la cara superior y en las caras laterales.

IV - 47

2 #14

2 #14

2 #14

3 #32 + 3 #28

Para la fila inferior tenemos que añadir la armadura requerida por flexión. Calculamos esta armadura: F = bd2 = 40 x 752 = 225 000 Kn = Mu / F = 75 000 / 225 000 = 0.3333 En la tabla de flexión F1-05 se lee an = 29.60; entonces As = Mu / and = 75 000 / (29.60 x 75) = 33.80 cm2 En la parte central del tramo la armadura total en la cara interior será: 2.72 + 33.80 = 36.52 cm2 3 #32 + 3 #28 En la zona cercana a los apoyos, la armadura dispuesta en forma continua será 33.80 / 3 + 2.72 = 14.00 cm2 ; 3 #28.

IV - 48

Nota: Se ha ilustrado solamente el diseño por torsión y corte, pero no el diseño de la ménsula, que en el diseño integral de la viga debería realizarse.

_____________________________

Referencias: ACI – 218 – M – 02 PCA – NOTAS ON Reinforced Concrete – Ed. G. Nawy

IV - 49

CAPÍTULO V ANÁLISIS DE ADHERENCIA Y ANCLAJE

CAPITULO V ANALISIS DE ADHERENCIA Y ANCLAJE 5.01 GENERALIDADES La armadura del hormigón para desarrollar la resistencia de tensión en una sección, depende de la compatibilidad de los dos materiales, acero y concreto, para que puedan en conjunto resistir las cargas exteriores. Deben tener la misma deformación a fin de prevenir la discontinuidad o separación de los dos materiales. La resistencia a la adherencia depende de la combinación de varios parámetros, tales como la adhesión entre las superficies de contacto entre acero y hormigón y la presión del concreto endurecido sobre las varillas de acero debido a su encogimiento por secado. corrugaciones de las

Además, la trabazón por fricción entre las

varillas y el concreto, resulta en un incremento de la

resistencia al deslizamiento. En resumen, la resistencia de adherencia está controlada por los siguientes factores principales: •

Adhesión entre el hormigón y la armadura.

•

Agarre resultante por la contracción de secamiento del hormigón circundante y por las deformaciones de las varillas que producen una resistencia de tipo cortante en la interacción acero-concreto.

•

Resistencia friccional al deslizamiento y trabazón cuando el elemento de refuerzo está sujeto a esfuerzos de tensión.

•

Efectos de la calidad del hormigón y su resistencia a la tensión y compresión.

V−1

•

Efectos de anclajes mecánicos en los extremos de las varillas mediante una longitud desarrollada, empalmes, ganchos y crucetas.

•

Diámetro, forma, y espaciamiento de la armadura, en cuanto afecta a la figuración.

5.02 MECÁNICA DE LA ADHERENCIA Consideremos una viga simplemente apoyada, con un sistema de cargas dada. En los apoyos, el momento flector, y por lo tanto el esfuerzo del acero, es cero, y máximo en el punto a. Siendo fs el esfuerzo en este punto, la fuerza total de tensión es: Ts = Ab fs Evidentemente esta fuerza ha sido transferida desde el concreto a la varilla, en una longitud l mediante esfuerzos de adherencia en la superficie. Por tanto, la fuerza promedio de adherencia por unidad de longitud, en la distancia l es: U = Ab fs / l

V−2

Adherencia en una Fuerza Axial.Consideremos una varilla embebida en un elemento de hormigón, sometida a una fuerza neta de tensión dT, en una longitud ld.

Si db = diámetro de la varilla,

µ = esfuerzo promedio de adherencia, fs = esfuerzo en la varilla de refuerzo, la fuerza de anclaje será: π db2 dT = ⎯⎯⎯ fs 4 O sea: db2 µ db ld = π ⎯⎯⎯ fs 4 Esfuerzo promedio: fs db µ = ⎯⎯⎯ 4 ld Longitud desarrollada: fs ld = ⎯⎯⎯ db 4µ

V−3

Adherencia en momento flector.Consideremos una varilla sometida a un momento flector que varía a lo largo de la viga. Sea jd el brazo de palanca del par de fuerzas debido al momento M. Tenemos T = M / jd En términos de la diferencia de momentos entre fisura y fisura expresamos dM dT = ⎯⎯⎯ jd También dT = µ dx ∑o ∑o = la circunferencia total de todo el refuerzo sometido al esfuerzo de adherencia. Obtenemos dM / dx = µ ∑o jd = Cortante V V µ = ⎯⎯⎯ ∑o jd

V−4

5.03 LONGITUD DESARROLLADA BÁSICA De lo expuesto podemos concluir que la longitud desarrollada ld, como función de la dimensión y esfuerzo de fluencia de la armadura, determina la resistencia de las varillas al deslizamiento, y por lo tanto la capacidad de falla de las vigas. Se ha verificado experimentalmente que la resistencia de adherencia µ es función de la resistencia a la compresión del concreto, de tal manera: ____ µ = k √ f ´c k es un constante Según las expresiones anteriores podemos escribir: Ab = π db2 / 4

;

π db ld µ > Ab fy

Longitud desarrollada básica: Ab fy ldb = k, ⎯⎯⎯ ____ √ f ´c O también: ldb db fy ⎯⎯⎯ = k2 ⎯⎯⎯ ____ db √ f ´c ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(Ecuación básica)

k2 es una función de las propiedades geométricas del elemento de refuerzo y de la relación entre las resistencias de adherencia y de compresión del concreto. ____ Límite del valor √ f ´c

____ Para el análisis de la adherencia y anclaje, el valor √ f ´c no excede de 8.3 MPa.

V−5

V−6

5.04 ECUACIONES PARA EL DISEÑO DE Ld Varillas o malla en tensión Condiciones Espaciamiento entre varillas no menores que db, y recubrimiento neto no menor que db, y estribos o amarres no menores que el mínimo requerido. o

Varillas # 20 y menores

Varillas # 22 y mayores

12 fy α β λ ( ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ) db ____ 25 √ f ´c

3 fy α β λ ( ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ) db ____ 5 √ f ´c

18 fy α β λ ( ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ) db

9 fy α β λ ( ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ) db ____ 10 √ f ´c

Espaciamiento neto entre varillas no menores que 2 db y el recubrimiento neto no menor que db.

Otros casos

______

25 √ f ´c

Valor de los factores: α = factor de localización de la armadura. Armadura colocada horizontalmente de tal manera que más de 30 cm de hormigón es fundido por debajo de las varillas. Otra armadura

1.3 1.0

β = factor de revestimiento. Varillas con revestimiento epoxy con un espesor menor que 3 db o un espaciamiento neto menor que 6 db. Otras varillas revestidas con epoxy. Armaduras no revestidas

1.5 1.2 1.0

λ = factor para hormigones livianos. Cuando se use agregados livianos.

1.3

V−7

Para casos comunes y corrientes, con un sentido práctico, se puede usar una simplificación de las expresiones anteriores, para hormigones de peso normal, tomando los valores α = 1.0, β = 1.0, λ = 1.0, de tal modo que se tiene: 3 fy ld = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ db ____ 5 √ f ´c

,o

9 fy ld = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ db ____ 10 √ f ´c

para varillas mayores, por ejemplo. Pero es necesario que se cumplan las condiciones establecidas para el recubrimiento, el espaciamiento y los estribos.

Factor de exceso de la armadura Cuando la armadura de un miembro flexionante está en exceso de la requerida por análisis, se permite la reducción de la longitud desarrollada, por el factor As requerido ( ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ) excepto cuando la armadura se diseña para efectos sísmicos. As provisto En todo caso, la longitud desarrollada mínima para varillas o malla, en tensión es 30 cm.

V−8

Tabla de Valores simplificados para la longitud desarrollada ld en función del diámetro db – fy = 420 MPa f‘c Varillas # 20 y Varillas # 22 y Aplicación menores mayores MPa 21

44 db

55 db

28

38 db

48 db

35

34 db

42 db

42

31 db

39 db

21

66 db

82 db

28

57 db

71 db

35

51 db

64 db

42

46 db

58 db

Para las condiciones indicadas en las ecuaciones respectivas

Para otros casos

Para el acero de fluencia menor que420, ajustar los valores para la relación fy ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 420

Desarrollo de varillas o mallas en Compresión Se determina con la siguiente expresión: _ ldc = (0.2 fy / √fc) db También

ldc = (0.03 fy) db

(Aplicable en resistencia)

Se adopta la de mayor valor.

V−9

hormigones

de

muy

alta

Se permite aplicar los siguientes factores de reducción: a) Relación de armaduras As requerida/As provista. b) Armadura encerrada en una espiral de diámetro no menor que 0.6 cm y de un paso no mayor de 10 cm, o en cercos # 12 espaciados a no más de 10 cm entre centros, el factor es 0.75. En todo caso la longitud desarrollada mínima no será menor que 20 cm.

Tabla de longitud desarrollada lc, cm Varillas en compresión – fy = 420 MPa f ’c – Resistencia del Hormigón, MPa

Varillas # 21

28

35

42

10

20

20

20

20

12

22

20

20

20

14

26

22

20

20

16

29

26

23

21

18

33

29

26

23

20

37

32

28

26

22

40

65

31

28

25

46

40

35

32

28

51

45

40

36

32

59

51

45

41

Para el acero de fluencia menor que 420 ajustar los valores para la relación fy / 420

V − 10

Desarrollo de varillas en atados La longitud desarrollada de varillas individuales contenidas en un atado, en tensión o compresión, será la dada para la varilla individual incrementada en un 20% para atados de tres varillas, y en un 33% para atados de cuatro varillas. Para determinar los factores apropiados, un atado de varillas será tratado como una sola varilla de un diámetro equivalente al área total.

5.05 DESARROLLO DE GANCHOS Cuando no existe el espacio necesario para proveer la longitud requerida para desarrollar por simple adherencia la tensión en las varillas, es necesario suministrar un anclaje especial en sus extremos, lo cual puede realizarse mediante ganchos. Estos se consideran efectivos sólo para varillas en tensión más no en compresión. Para que los ganchos se consideren efectivos es necesario que se conformen con las normas establecidas en el Código, las mismas que se describen a continuación. Para el refuerzo principal, los ganchos pueden ser a 90° o a 180°, con los valores mínimos que se indican: Diámetro interior del doblez a Para varillas #8 al #25

6db

Para varillas #28 y #32

8 db

V − 11

4 db > 6 cm

12 db

a

ldh

a

ldh

db

Para estribos y amarres: Diámetro interior del doblez, a Para varillas #8 al #16

4db

V − 12

6 db

° 135 6

d

b

a

a

db

La longitud desarrollada de un gancho es la distancia comprendida entre la sección crítica y el punto exterior del gancho, y vale: ldh

0.24 fy = ⎯⎯⎯⎯ db __ √fc

Factores de Modificación: Para recubrimiento lateral (normal al plano del gancho) no menor que 6 cm, y para ganchos a 90° con recubrimiento en la extensión de la varilla más allá del gancho, no menor que 5 cm el factor es 0.7. Para ganchos encerrados verticalmente u horizontalmente en amarres o cercos espaciados a no más de 3 db del gancho, en toda la longitud desarrollada ldh, el factor es 0.8. Cuando se tiene un refuerzo en exceso del requerido, el factor es As requerido / As provisto

V − 13

En extremos discontinuos de miembros con recubrimientos en todos los lados menores que 6 cm, se dispondrán amarres o cercos a lo largo de toda la longitud desarrollada ddh, con espaciamiento no mayor que 3 db, siendo db el diámetro de la barra con gancho. En este caso el factor de modificación 0.8 no es aplicable. Esta norma se ilustra a continuación:

ldh

< 6 cm A

ld (varillas A) PI

Varillas A

Varillas B

En vigas perimetrales, por lo menos 1/4 As+ de la armadura debe ser contínua en todo el perímetro V − 18

DESARROLLO DE LA ARMADURA PARA MOMENTO NEGATIVO Mumax Resistencia de varillas C, D, E

Sección crítica para varillas C

d, 12 db

Resistencia de varillas DyE Sección crítica para varillas E

Sección crítica para varillas D

d, db

> ld (varillas C)

d, 12 db, ln/16

Resistencia de varillas E

Inflexión PI > ld (varillas D) > ld (varillas E)

Varillas C

Varillas D

Varillas E

En vigas perimetrales, por lo menos 1/6 As- de la armadura debe ser continua en todo el perímetro Limitación del diámetro de varillas.- En apoyos simples y en los puntos de inflexión, el refuerzo de tensión para momentos positivos deberá limitarse a un diámetro de tal manera que:

ld ≤ (Mn / Vu) + la

V − 19

Mn es el momento resistente asumiendo que todo el refuerzo en la sección es esforzado a la fluencia específica fy. Vu es la fuerza cortante factorada, en la sección. la en los apoyos, es la longitud empotrada más allá del centro del apoyo. la en un punto de inflexión, está limitada a la altura útil del miembro d ó 12 db, lo que sea mayor. La relación Mn/Vu se puede incrementar en un 30% si los extremos del refuerzo son confinados por una reacción a compresión.

I

La

M

a Ld

Vu

Para explicar esta regulación, consideremos los diagramas de momentos y fuerzas de corte, para la carga última, en una viga continua uniformemente cargada. Desde el punto de inflexión, la distancia a, a la cual las varillas deben ser completamente esforzadas, está definida por la intersección de la línea para el momento calculado M con el diagrama actual de momentos.

V − 20

Como el cambio de momento, en la distancia a, es igual al área dentro del diagrama de cortante, también en esa distancia a, un estimativo conservador de a viene a ser M/Vu. De este modo, si las varillas deben ser efectivas, deben ser de un diámetro suficientemente pequeño de tal modo que su longitud desarrollada Ld esté contenida dentro de la distancia a, más una extensión La, pasando el punto de inflexión.

cL de apoyo la

Varillas A

1.3 Mn/Vu

Varillas B

Punto teórico de corte para varillas B

Max ld Empotramiento total

APOYOS SIMPLES PI la = d, ó 12 db

Max. ld PUNTOS DE INFLEXION

V − 21

Mn/Vu

Varillas A

Ejemplo 1.- Calcular la longitud desarrollada para las varillas #25 (varillas cortas alternadas) en una losa armada en un solo sentido, con los datos que se indican a continuación: f´c = 28 MPa

Fluencia del acero

fy = 4 20 MPa

20

Resistencia del hormigón

20

20 cm

20

20

PLANTA

A

ld

B

C Recubrimiento 2 cm 40 cm

Varillas de distribución

SECCION

Longitud desarrollada básica: 3 fy 3 x 420 ldb = ( ⎯⎯⎯⎯ ) db = ( ⎯⎯⎯⎯ ) 2.5 = 119 cm __ __ 5 √f ‘ c 5 √28 Modificación por refuerzo de capa superior: más de 30 cm de hormigón fresco será vertido por debajo de las varillas, entonces el factor de modificación es 1.3 = α ld = 1.3 x 119 = 155 cm

V − 22

Ejemplo 2.- Desarrollo del refuerzo por flexión. Consideremos una viga continua con los siguientes datos: b = 40 cm ; h = 56 cm ; d = 50 cm ; recubrimiento = 4 cm f ´c = 28 MPa ; fy = 4 20 MPa Carga uniformemente repartida. Del cálculo estructural se han encontrado los siguientes momentos y fuerza cortante máximos, para el tramo exterior: Mu- = 32 400 Kg m

Cara interior del apoyo exterior Tramo, positivo

Mu+ = 37 000 Kg m

Cara exterior del apoyo interior

Mu- = 52 000 Kg m

Vu en la cara del 1er apoyo interior

Vu = 39 150 Kg

Vud a la distancia d del apoyo

Vud = 34 700 Kg

Calculamos las armaduras

Mu

As requerido

Varillas

As adoptado

1

32 400 Kg m

18.80 cm2

4 #25

19.64 cm2

2

37 000 Kg m

21.80 cm2

2 #28 + 2 #25

22.13 cm2

3

52 000 Kg m

31.50 cm2

4 #32

32.17 cm2

V − 23

1

As = Mu / ?nd = 32 400 / 34.5 x 50 = 18.80 cm2

2’

As = 37 000 / 34 x 50 = 21.80 cm2

3“

As = 52 000 / 33 x 50 = 31.5 cm

Armadura para esfuerzo cortante: ___ ___ φ Vc = φ (1.6 √ f ´c bd) = 0.75 ( 1.6 √ 28 x 40 x 50) = 12 700 Kg Espaciamiento máximo S = d / 2 = 25 cm ; adoptamos S = 15 cm ; # = 12 mm 2 #12 = 2.26 cm2 Entonces φ Vs = φ Av fy d / S = 0.75 x 2.26 x 4 200 x 50 / 15 = 23 730 Kg φ Vn = φ Vc + φ Vs = 12 700 + 23 730 ≅ 36 430 Kg > 34 700 Kg ok. # 12 @ 15 cm en toda la longitud del tramo. A

B

4 #25

4 #32 2 #28

2 #25

A

7.60 m

B

Recubrimiento 4 cm 4 #25

#12 @ 15

4 #32

56

Ponemos

#25 2 #28 #25

#25 2 #28 #25

40 cm Sección B-B

Sección A-A

V − 24

#12 @ 15

Longitud de varillas de la cara inferior de la viga Carga distribuida = 8 950 Kg/m

32 400 Kg m

23 300 Kg m

7.60 m 35 200 Kg

26 250 Kg

Vu 32 400 Kg m 2.93 m

2.89 m

1.00

Mu

+ 37 000 Kg m

32 800 Kg 23 300 Kg m

0.78

Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores para causar el máximo momento positivo

Barras largas continuadas.- Por lo menos As/4 deben ser continuadas. Por otra parte se necesitan siquiera 2 varillas para armar los cercos; por esto disponemos 2 varillas #25 a todo lo largo de la viga, cuidando de entregar en los apoyos por lo menos 15 cm. Entonces cortamos las dos varillas #28.

V − 25

2.93 m

2.89 m

1.00

0.78

φ Mn para 2 #25

0.50

0.50

2

1

Mu = 37 000 Kg m

2.05

φ Mn para 2 #28 + 2 #25

3

2 #25

1.75 4

2 #28

0.15

0.15

1.40

5.10 7.60 m

V − 26

1.10

Momento resistente para todo el refuerzo 2 #28 + 2 #25 φ Mn = As an d = 22.13 x 34 x 50 = 37 620 Kg m Momento resistente para 2 #25 φ Mn = 9.82 x 34 x 50 = 16 700 Kg m Determinamos la posición tentativa de los puntos de corte, como sigue: Las dimensiones 1 y

2 deben ser la mayor de las siguientes:

d = 50 cm ; 12 db = 12 x 28 = 34 cm. Rige 50 cm. Las dimensiones 3 y 4 por lo menos deben ser la longitud desarrollada ld para las varillas #25 La longitud 3 vale: 0.15 + 1.40 + 0.50 = 2.05 m La longitud 4 vale: 0.15 + 1.10 + 0.50 = 1.75 m La longitud desarrollada para varillas #25 vale 48 db ld = 48 x 2.5 (1.0) = 120 cm Dimensión 3 > 120 cm ok. Dimensión

4 > 120 cm ok.

Las varillas #28 están desarrolladas dentro de la longitud 2.89 m, esto es en zona de tensión.

V − 27

Comprobemos el desarrollo para estas varillas; el espaciamiento neto entre estas dos varillas será: ancho de la viga

40.0 cm

- Recubrimiento

2x4

=

- 8.0 cm

- Cercos

2 x 1.2

=

- 2.4

- 2 varillas #25

=

- 5.0

- 2 varillas #28

=

- 5.6 ______ 19.0 / 3 = 6 cm = 2.4 db

Para varillas #28, ld = 48 db = 48 x 2.8 = 134 cm

Longitud de las varillas desde la sección crítica ~ 5.10 / 2 = 2.55 134 < 255

ok.

Comprobemos el desarrollo requerido para las varillas #25 en el punto de inflexión PI. Teníamos ld ≤ Mn / Vu + la Mn = 16 700 / 0.9 = 18 550 Kg m Vu = 26 250 Kg para PI del lado izquierdo la = 12 db ó d ; 12 x 2.5 = 30 cm ó 50 ; rige 50 cm Entonces:

ld ≤ 18 550 x 100 / 26 250 + 50 = 120

Para varillas #25 ld = 120 cm < 120 ok.

V − 28

Como los puntos propuestos de interrupción de varilla están localizados en una zona de tensión, se debe comprobar si se cumple la condición de que la fuerza cortante en el punto de interrupción no exceda de 2/3 del cortante permitido, incluyendo el refuerzo. En el punto izquierdo de corte, a 1.40 m desde el borde del apoyo, tenemos: Vu = 35 200 - 1.4 (8 950) = 22 670 Kg. Teníamos:

φ Vn = 36 430 Kg, para cercos #12 @ 15 cm 2/3 (36 430) = 24 290 Kg > 22 670

ok.

En resumen, los puntos tentativos de corte propuestos para el acero de la cara inferior de la viga cumplen con todos los requerimientos del Código. Las dos varillas #28 de 5.10 m de largo deben colocarse asimétricamente en el clavo. En la práctica sería prudente colocarlas simétricamente, para lo cual la longitud de las varillas deben aumentarse a 5.40 m dejando una distancia de 1.10 m a cada lado desde los apoyos.

V − 29

Desarrollo de varillas en la cara superior de la viga Wu = 8 950 Kg/m

32 400 Kg m

52 000 Kg m

7.60 m

31 400 Kg

Vu 36 500 Kg

32 400 Kg m 2.26 m

52 000 Kg m

2.24 m

-

1.85

+ 1.25

Mu

22 400 Kg m

Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores para causar el máximo momento negativo Momento resistente para 4 #25: As = 19.63 cm2 φ Mn = 19.63 x 34.5 x 50 = 33 860 Kg m Momento resistente para 4 #32: As = 32.17 cm2 φ Mn = 32.17 x 33 x 50 = 53 080 Kg m Momento resistente para 2 #32: As = 16.08 cm2 φ Mn = 16.08 x 33.5 x 50 = 26 930 Kg m

V − 30

φ Mn para 4 #32 52 000 Kg m

φ Mn para 4 #25

φ Mn para 2 #32

32 400 Kg m

I 1.25

I .50

.50

1.75

1.85 2.35

5

6

4 #25

4 #32

7.60 m

V − 31

Varillas en el apoyo exterior Requisito a) Por lo menos 1/3 As debe prolongarse más allá del punto de inflexión en una de las siguientes distancias, la que sea mayor: d = 50 cm ; 12 db = 12 (2.5) = 30 cm ; ln / 16 = 760 / 16 = 48. Rige 50 cm El punto de inflexión está bastante cerca del apoyo, por lo que tentativamente proponemos cortar las 4 varillas a 50 cm más allá del punto de inflexión, o sea a 1.75 m desde el apoyo. Esta dimensión 5

debe por lo menos contener la

longitud desarrollada ld. Para varillas #25; ld = 48 db = 120 cm Modificación por la posición de varillas superiores: ld = 1.3 x 120 = 156 cm < 1.75

ok.

Siendo la diferencia pequeña, confirmamos la conveniencia de cortar todas las varillas en el mismo punto. Requisito b) Anclaje en la columna exterior mediante un gancho a 90°. La longitud desarrollada del gancho para varillas #25 es lhb = 46 cm. Supongamos que se prevee un recubrimiento lateral de 6.5 cm. y un recubrimiento en el extremo final de 5 cm; en este caso es aplicable un factor de reducción de 0.7; entonces ldh = 0.7 x 46 = 32 cm. Entonces la altura total requerida para la sección de la columna será 32 + 5 = 37 cm. La longitud desarrollada del gancho se puede reducir considerando el exceso de armadura: As requerida / As adoptada = 18.80 / 19.64 = 0.95 ldh = 0.95 x 32 = 30 cm.

V − 32

Varillas en el apoyo interior Extensión requerida para por lo menos 1/3 As: d = 50 cm ; 12 db = 12 x 3.2 = 38 cm ; ln / 16 = 48 cm. Rige 50 cm más allá del punto de inflexión. El espaciamiento neto entre varillas es: S = [ 40 - 2 (4) - 2 (1.2) - 2 (3.2) ] 1/3 = 5.6 cm = 1.75 db > db

4 #32

S

Recubrimiento 4 cm

40 cm Para armadura transversal mínima de esfuerzo cortante y considerando el efecto de capa superior, la longitud desarrollada requerida será: 1.3 (48 db) = 1.3 (48 x 3.2) = 200 cm = 2.00 m La distancia – es 1.85 + 0.50 = 2.35 m > 2.00 m

V − 33

ok.

Resumen:

30 cm mín.

1.75 m

2.35 m

4 #25

4 #32 2 #28 x 5.40 2 #25 x 7.90 m

Cercos #12 @ 20 cm 15 cm

15 cm

7.60 m

5.07 EMPALME DE VARILLAS En la mayoría de los casos es inevitable la necesidad de empalmar unas varillas con otras, en vista de la continuidad que debe darse a una armadura, a la limitación de las varillas disponibles o a la dificultad de manejar varillas muy largas. Los empalmes pueden ser realizados principalmente por traslape o por soldadura. En este último caso el Código establece que la soldadura debe ser capaz de desarrollar un esfuerzo de tensión de por lo menos el 125% de la resistencia de fluencia. Hay varios factores que deben considerarse para determinar la longitud de un traslape, como son:

área de las barras, esfuerzo de fluencia, resistencia del

hormigón, localización relativa de las varillas en un miembro estructural, espaciamiento y recubrimiento de las varillas a empalmarse, refuerzo transversal de envoltura, número de varillas a empalmarse en una misma sección y otros. Por esta razón, el Código establece que el Ingeniero diseñador de una estructura de hormigón armado establezca en los planos claramente detalles completos de los traslapes.

V − 34

En miembros flexionantes, los traslapes pueden hacerse en varillas con contacto entre sí o separadas. En este caso, la máxima distancia entre varillas traslapadas es 1/5 de la longitud del traslape, ó 15 cm. la que sea menor. Son preferibles los traslapes con varillas en contacto.

Traslapes en tensión.-

El Código establece dos tipos de traslapes para la

armadura en tensión, clase A y clase B; su longitud está determinada en base a la longitud desarrollada ld. Esta clasificación está determinada para dar preferencia a los empalmes localizados en secciones de menores esfuerzos y a los empalmes escalonados. Para traslapes de la armadura en losas y tabiques, el espaciamiento efectivo de las varillas a ser traslapadas en la misma sección, se toma como el espaciamiento neto entre varillas menos el diámetro de una varilla: db

S

db S - db S - db S

EMPALMES EN LOSAS Y TABIQUES

Para empalmes en columnas y vigas el espaciamiento efectivo entre varillas empalmadas depende de la orientación de las mismas:

V − 35

S

S

S

EMPALMES EN COLUMNAS

S EMPALMES EN VIGAS

La clase de empalme depende de la magnitud del esfuerzo de tensión y del porcentaje del refuerzo total a ser empalmado dentro de la longitud del empalme. Si el área del refuerzo provisto en la sección de empalme es mayor que dos veces del requerido y la mitad o menos del área de acero es empalmado, se requiere un empalme clase A. Se deben cumplir ambas condiciones. De otra manera se requiere un empalme tipo B. Longitud del empalme clase A = 1.0 ld Longitud del empalme clase B = 1.3 ld La mínima longitud de un empalme es 30 cm.

V − 36

Traslapes en Compresión.-

La longitud de traslapes de varillas en compresión

debe ser 0.07 fy db para fluencia de acero de 420 MPa ó menos, pero no menor que 30 cm. Para resistencias del hormigón menores que 21 MPa dicha longitud se incrementará en 1/3. Los empalmes también pueden ser soldados al tope. En varillas sometidas a compresión solamente, se pueden empalmar por simple contacto entre sus secciones transversales, previo acondicionamiento de las mismas y usando dispositivos adecuados para mantener las varillas en posición correcta. Estos empalmes de contacto se usarán solamente en miembros con cercos cerrados o espirales.

Empalmes para Columnas.-

El tipo de empalmes traslapados en columnas

depende del esfuerzo en las varillas en la localización del empalme, compresión o tensión. Los requerimientos de diseño de empalmes traslapados en columnas, se ilustra a continuación mediante un típico diagrama de interacción de carga axial y momento flector.

V − 37

P

Todo el refuerzo en compresión 0 < fs < 0.5 fy en la cara de tensión

fs > 0.5 fy en la cara de tensión

M Cuando el esfuerzo requerido para el diseño es el de compresión en todas las varillas, la longitud de traslape será el indicado anteriormente para compresión. Cuando el esfuerzo de tensión no sobrepasa de 0.5 fy, la longitud del empalme será de clase B para varillas en tensión si es que más de la mitad del acero se empalman en la misma sección, o de clase A si la mitad o menos de la armadura es empalmada. Si el esfuerzo en las varillas de tensión es mayor que 0.5 fy, el traslape será de clase B. La longitud mínima de traslape es 30 cm. De una manera más simple, puede determinarse las longitudes de emplames traslapados como sigue:

V − 38

Varillas de grado 420

30 db

Encerradas en cercos

25 db

Encerradas en espiral

22.5 db

Para hormigones de resistencia menor que 21 MPa, se debe multiplicar por 1.33.

Empalmes de estribos.- Es posible empalmar entre sí estribos en forma de U, sin ganchos, para formar un cerco, observando las reglas siguientes: a) La longitud de traslape debe ser 1.3 ld (mínimo 30 cm) b) Alternativamente, supuesto que la altura mínima del miembro es 45 cm, la longitud de las ramas alcancen todo el espesor disponible del miembro y la fuerza en cada rama no exceda de 4 000 Kg.

V − 39

9.5 Ab fy ≤ 4 000Kg.

45 cm min

1.3 ld 30 cm min

(a)

(b) EMPALMES DE ESTRIBOS

_____________________________ Referencias: ACI – 218 – M – 02 PCA – NOTAS ON

V − 40

CAPÍTULO VI ANÁLISIS DE LA FLEXOCOMPRESIÓN

CAPITULO VI ANÁLISIS DE LA FLEXOCOMPRESIÓN 6.01 MECÁNICA DE LA FLEXOCOMPRESIÓN Rara vez se tiene el caso, en la práctica, de un miembro que esté cargado a la compresión concéntrica. Los miembros como columnas y arcos llevan principalmente cargas de compresión, pero

casi siempre están presentes momentos de flexión,

simultáneamente. Estos momentos son causados por continuidad, como en el caso de las columnas que son parte de pórticos monolíticos, por cargas transversales, tales como el viento o sismos, por cargas excéntricas, etc. Aún cuando en el diseño se considere a un miembro cargado con una carga puramente axial, habrá inevitables imperfecciones de construcción, que introducirán excentricidades de tales cargas. Por esta razón, los miembros cargados a la flexocompresión son los más frecuentes en las estructuras de hormigón estructural. Cuando un miembro está sometido a la acción combinada de una compresión axial P y de momento flector M, generalmente es conveniente reemplazar esta carga axial y momento, con una carga igual P aplicada a una excentricidad. M e = ⎯⎯ P Estas dos cargas son equivalentes, estáticamente:

VI − 1

P

CL

P

e

M

Todas las columnas deben ser clasificadas en términos de su excentricidad equivalente. Las que tienen pequeña excentricidad se caracterizan generalmente por estar sometidas a compresión en toda su sección, y en caso de sobrecarga fallarán por trituración del hormigón y fluencia del acero en compresión, en la cara más comprimida. Las columnas con grandes excentricidades están sujetas a tensión en una parte de la sección, y si ocurre una sobrecarga pueden fallar por fluencia en tensión del acero, en la cara más alejada de la carga. Consideremos un miembro cargado paralelamente a su eje longitudinal, con una fuerza de compresión Pn, a una excentricidad e.

Para esta carga se tendrá un

diagrama de deformaciones, en la sección transversal, en un estado de falla incipiente.

Asumiendo que las secciones planas permanecen planas, las

deformaciones del hormigón varían linealmente con respecto a la distancia al eje neutro, la cual es c desde el borde más comprimido. Para que exista compatibilidad de deformaciones, las deformaciones del acero serán las mismas que las del hormigón adyacente.

VI − 2

CL

e

e

Pn

ε ´s εu

Pn

h

e

(ancho = b)

Columna Cargada

Deformaciones

Llamemos:

ε´ s

εu

0.85 f ´c h/2 - d´

h/2 - a/2

C

As fs

c d

εs

d - h/2

d´

εs

Pn

a

A´s l ´s

CL

Fuerzas Internas

= deformación de falla de hormigón

= deformación de las varillas más cercanas a la carga = deformación de las varillas en tensión, en la cara más lejana de la carga

A´s = área del acero en compresión As = área del acero en tensión d´ = distancia del acero en compresión desde el borde comprimido d = distancia del acero en tensión desde el borde comprimido Como en el caso de la flexión pura, la distribución actual de los esfuerzos de compresión en el hormigón, lo reemplazamos por el bloque rectangular equivalente de una profundidad a =

β1c.

Las condiciones de equilibrio entre fuerzas axiales externas e internas requieren que:

VI − 3

Pn = 0.85 f ´c ab + A´s f ´s - As fs

(1)

h a h h Mn = Pn e = 0.85 f ´c ab ( ⎯⎯ - ⎯⎯ ) + A´s f ´s ( ⎯⎯ - d´ ) + As fs ( d - ⎯⎯ ) 2 2 2 2

(2)

Estas son las dos ecuaciones básicas relativas a los miembros de sección rectangular sometidos a compresión excéntrica. No se ha considerado el hecho de que área A ´s del acero en compresión desplaza una área equivalente de hormigón. Si se desea una mayor exactitud, especialmente en relaciones grandes de armadura, se puede tomar en cuenta este desplazamiento, multiplicando el área A ´s por ( f ´s - 0.85 f ´c ) en vez de solamente por f ´s, en las ecuaciones anteriores. Para grandes excentricidades, la falla se inicia por fluencia en el acero de tensión As; en este caso fs = fy. Cuando el hormigón alcanza su máxima deformación

εu,

el

acero en compresión puede o nó estar en fluencia, lo cual se determina en base a una compatibilidad de deformaciones. Para pequeñas excentricidades, el hormigón alcanzará su deformación límite

εu antes

que el acero en tensión llegue a su fluencia; aún más, las varillas en el lado opuesto de la columna podrían estar en compresión, no en tensión.

Para pequeñas

excentricidades también, el análisis debe basarse en la compatibilidad de las deformaciones entre el acero y el hormigón adyacente. Para una determinada excentricidad, deducida de un análisis estructural, se pueden resolver las ecuaciones básicas (1) y (2) por Pn y Mn, como sigue: f ´s, fs y a, se pueden expresar en términos de una sola incógnita c, que es la distancia del eje neutro, lo cual es fácil, tomando el diagrama de deformaciones, con

εu

= 0.003 y

usando el diagrama de esfuerzos-deformaciones para el acero. El resultado es que las dos ecuaciones contienen solamente dos incógnitas, Pn y c, y pueden resolverse simultáneamente para estos valores. Sin embargo, hacer esto en la práctica resulta algebraicamente complicado, especialmente al introducir el límite de fluencia fy en ambos esfuerzos fs y f ´s.

VI − 4

DIAGRAMA DE INTERACCIÓN Un mejor criterio de análisis, que provee una base para un diseño práctico de columnas, es considerar la correlación que existe entre las cargas axiales y los momentos flectores, y representar la superposición de efectos mediante un gráfico denominado diagrama de interacción, el cual define la carga axial de compresión y el momento flector simultáneo de falla, para una columna dada.

Para cualquier

excentricidad, hay un par de valores determinado Pn y Mn que producirán el estado incipiente de falla. Este par de valores pueden ser representados gráficamente. Una serie de cálculos correspondientes a diferentes grados de excentricidad, resulta en una curva típica como se muestra a continuación:

Pn Po

e pe queñ a

e=0

Rango de falla por compresión

Rango de falla por tensión

eb

0

e=

oo

e e grand

Mn

Mo

En este diagrama, cualquier línea radial representa una relación particular o grado de excentricidad. e = M/P Para una excentricidad e = o , se tiene que la capacidad de la columna está dada por

VI − 5

su carga concéntrica Po; a medida que se incrementa la excentricidad, la carga axial disminuye, hasta que la curva alcanza su límite, dentro de un rango de falla por compresiones. Para una excentricidad e = ∞ , la columna estará sometida a la flexión pura, con una capacidad flexionante Mo. Si se introducen gradualmente esfuerzos de compresión, mediante una carga axial, éstos neutralizarán los esfuerzos flexionantes de tensión, y para alcanzar nuevamente el estado límite de resistencia, habrá que aumentar el momento flector. Esto ocurre dentro de un rango de falla por tensión. Notemos que pequeñas excentricidades producirán fallas por compresión del hormigón, mientras que grandes excentricidades conducirán a una falla iniciada por fluencia del acero en tensión.

BALANCE: Para una sección transversal de dimensiones dadas y para resistencia de los materiales también dados, habrá una excentricidad específica o tal, que una fuerza aplicada provocará la falla simultáneamente por fluencia del acero sometido a tensión y por rompimiento del concreto sometido a compresión.

Esta condición se llama

balance, y llamamos eb y Pb a la excentricidad y cargas respectivas. En la condición de balance, tendremos que la deformación del concreto vale

εc

= 0.003, y la deformación del acero vale

εy

= fy / Es.

Por geometría, del diagrama de deformaciones deducimos la posición del eje neutro, y tendremos:

εc

cb

0.003 = ⎯⎯⎯⎯⎯ d = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ d

εy

+

εc

fy / Es + 0.003

Por otro lado, para secciones simétricas, el espesor del bloque de compresiones, valdrá, según la ecuación (1)

VI − 6

Pn a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0.85 f ´c b

También

ab =

β1 cb

Igualando estas ecuaciones y sustituyendo el valor de cb tendremos el valor de la carga para la condición balanceada: 0.003 Pb = 0.85 β1 f ´c bd ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ fy / Es + 0.003 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Particularmente, para concretos con f ´c ≤ 280 Kg/cm2, se tiene que

β1 = 0.85 y por

tanto:

Pb

0.003 = 0.72 f ´c bd ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ fy / Es + 0.003

La excentricidad eb correspondiente a la condición balanceada, se puede obtener de la ecuación (2), en la que se sustituye Pb por Pn, ab por a y se resuelve por e. Las cargas con excentricidades menores que eb causarán fallas primarias por compresión con valores últimos mayores que Pb. Las cargas con excentricidades mayores que eb provocarán fallas primarias por tensión, con valores menores que Pb.

DISEÑO POR FLEXOCOMPRENSION (COLUMNAS) 6.02 NORMAS GENERALES Los elementos más comunes sujetos a carga axial y a momentos flectores son las columnas, los arcos, miembros inclinados de pórticos, barras de armadura triangulares en compresión, cáscaras y otros.

VI − 7

Generalmente, el término columnas es el más usual al aplicar a miembros en compresión, el cual emplearemos para referirnos al análisis por flexocompresión. Se distinguen dos tipos de columnas: armadas con cercos laterales, o armadas con espirales de un espaciamiento cerrado, llamadas también columnas zunchadas. Pueden también haber columnas compuestas. El Código A.C.I. establece que la relación de armadura longitudinal de una columna no debe ser menor que 0.01 ni mayor de 0.08, con relación a la sección total de hormigón. Se usarán por lo menos seis varillas para columnas zunchadas, y por lo menos cuatro varillas para columnas con cercos. De manera general, en columnas con grandes fuerzas axiales y pequeños momentos, la armadura principal se dispone uniformemente en todo el perímetro de la sección. Cuando los momentos flectores son grandes, entonces la mayor parte de la armadura se concentra en las caras de mayor compresión o tensión.

x

x

x

A continuación ilustramos varias secciones usuales rectangulares.

VI − 8

ARMADURA TRANSVERSAL. Con respecto a la provisión y disposición de cercos, hay que tomar en cuenta las siguientes disposiciones del Código: El diámetro de los cercos será por lo menos # 10 mm. El espaciamiento entre cercos no excederá de 16 veces el diámetro de las varillas longitudinales ni de 48 veces el diámetro de los cercos, ni de la menor dimensión de la sección de la columna. Los cercos o amarres se dispondrán de tal manera que cada varilla de esquina y cada varilla alternada esté soportada por un amarre que tenga una inclinación no mayor de 135°, y ninguna barra estará a mayor distancia de 15 cm de otra barra lateralmente apoyada, esto es, si x > 15 cm hay que poner atadura transversal. Para el zuncho, el mínimo diámetro es así mismo # 10mm y el paso de la espiral, neto, no debe ser mayor que 8cm ni menor que 2.5cm. Según el Código, la relación de armadura para la espiral, mínima es: (Ag/Ac - 1) f´c ρz = 0.45 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ fy Ac = área del núcleo medio hasta el exterior del zuncho Ag = área total de la columna Siendo Az el área del zuncho, tendremos: Volumen del zuncho: Az π Dc

π Dc2 ;

Volumen del concreto: gz ⎯⎯⎯⎯ 4

Volumen zuncho 4 Az π Dc 4 Az ρz = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ Volumen núcleo gz π Dc2 gz Dc Dc = diámetro del núcleo gz = paso de la espiral Las columnas zunchadas tienen mayor capacidad de tomar cargas axiales y son más

VI − 9

efectivas que las de cercos simples. Esto se traduce en los diferentes valores de φ. Para miembros con cercos

φ = 0.65

Para miembros zunchados

φ = 0.70

Correspondientemente, los valores de resistencia última a emplearse en el diseño serán: Pu = φ Pn

Mu = φ Mn

;

Pn y Mn son la carga axial y el momento flector máximos nominales, que producirán la falla de un miembro ideal. Prácticamente no hay columnas que estén sometidas a carga axial pura. Aún si los cálculos estructurales consideran la ausencia de momentos flectores, hay otras razones, como ciertas imperfecciones inevitables de construcción, que causarán flexiones. De ahí que el Código establece, como medida de seguridad, una máxima carga axial de diseño para miembros sujetos a compresión axial, cuyo valor está dado por las siguientes expresiones: Columnas zunchadas:

φ Pn max = 0.85 φ Po

Columnas con cercos aislados:

φ Pn max = 0.80 φ Po

6.03 DIAGRAMA DE INTERACCIÓN Mencionamos ya anteriormente las propiedades de este diagrama. Los momentos y excentricidades están referidos al centroide plástico. Para compresión concéntrica, el diagrama comienza en d, correspondiente a la máxima carga axial Pon y con un valor nulo para el momento flector. A medida que introducimos un momento, las compresiones causadas por éste disminuirán la capacidad de carga axial ;

se tendrá en general la condición de que a mayor

momento corresponde menor carga axial. Esta interrelación rige en la porción db de la curva, hasta el punto de balance, mientras predominan las compresiones, y son

VI − 10

éstas las que causan la falla.

Pn Pon

d a

e=

M

n

/P

n

Pn

b

Pbn eb

= M bn

/ P bn

c 0

Mn

Mon

Mbn

Mn

En el otro extremo, una sección tendrá una capacidad flexionante Mon sin ninguna carga axial.

Si a las tensiones causadas por flexión contrarrestamos por

compresiones debido a cargas axiales, tendremos entonces el caso de que al aumentar estas cargas axiales podemos incrementar un momento flector, hasta obtener nuevamente la tensión de falla. Esta interrelación, que es reversa del caso anterior, prevalece mientras dominan las tensiones, o sea mientras el miembro falla por tensión, y corresponde a la porción cb del diagrama, así mismo teniendo como límite el punto de balance b. Cualquier línea inclinada a través del origen tiene una inclinación cuya recíproca representa la excentricidad centroidal, para una combinación particular de Pn y Mn. Como el valor del factor de reducción φ varía para carga axial solamente, el cual vale 0.70 o 0.65 y para momento flector solamente, vale 0.90, hay una zona de transición para esta variación, en el rango del régimen de tensiones. El Código estipula que para pequeños valores de la fuerza de compresión, comprendidos entre Pu = 0.10 f´c Ag y Pu = 0 se puede hacer una interpolación lineal para φ, entre los valores de φ = 0.70 o 0.65 y φ = 0.90 respectivamente.

VI − 11

Se tiene: 0.20 Pu φ = 0.90 - ⎯⎯⎯⎯⎯ 0.10 f´c Ag

Para miembros con cercos

0.15 Pu φ = 0.90 - ⎯⎯⎯⎯⎯ 0.10 f´c Ag

Para miembros zunchados

Si 0.10 f´c Ag > φ Pb se considerará este último valor. Se puede representar en este diagrama los efectos de las disposiciones del Código. La curva dabc es igual al diagrama anterior y representa la capacidad actual de carga que causará la falla.

La curva

DABC

representa la resistencia reducida,

debido al factor φ para columnas. La sección horizontal en D representa la máxima carga axial permisible y la parte recta en C representa la variación de φ.

P Po φ Po

d

α φ Po D

A

Pu = φ Pn

a P

n

M n M

P

u

(0

0)

u

b

0A

= φ

B

0.1 f´c Ag 0

Mu= φ Mn

φ Mon

C

c Mon

0.9Mon

VI − 12

M

6.04 PROCEDIMIENTO GENERAL DE DISEÑO Consideremos una columna con armadura en las 4 caras y sujeta a compresión y tensión en sus caras opuestas, respectivamente. Para una carga de compresión Pn y una excentricidad e, tendremos la posición del eje neutro a una distancia c desde el borde comprimido.

Como sabemos que la

deformación del hormigón a la falla vale εc = 0.003 podemos entonces trazar el RES respectivo diagrama de deformaciones.

h d

Pn

b

C L

5

4

3

2

1

E1

E2

E3

E4

E5

L.N

Ec=0.003

c

Pn

e

C L

0.85 f´c

Fs1

C Fs2

Fs3

Fs4

Fs5

a

En este diagrama y de conformidad con la posición relativa de las varillas en la sección de la columna, calculamos las deformaciones εs por simple relación de triángulos. Conociendo las deformaciones entonces podemos conocer los esfuerzos sabiendo que fs = εs Es.

VI − 13

Las fuerzas internas desarrolladas por el refuerzo será el producto del área de las varillas en cada fila por su esfuerzo. La fuerza de compresión del hormigón C estará representada por el bloque equivalente de compresiones cuya sección vale a x 0.85 f´c. Las fuerzas internas así determinadas nos permitirán plantear las dos ecuaciones básicas del equilibrio y encontrar los valores de la carga axial Pn y su excentricidad. En este procedimiento la gran incógnita es la distancia del eje neutro c; como este valor es indispensable para realizar el análisis descrito, es necesario proceder mediante iteraciones sucesivas asumiendo un valor tentativo de c y luego realizando otros ciclos de cálculo hasta obtener una excentricidad compatible con el problema propuesto. Obtenida esta excentricidad finalmente hay que comparar si la sección previamente asumida, que se sometió al análisis, tiene la capacidad de carga igual o muy semejante a las cargas de diseño requeridas.

De lo contrario hay que hacer los

ajustes convenientes y repetir el cálculo. Por lo expuesto, podríamos calificar a este procedimiento como el de la

compatibilidad de esfuerzos y deformaciones.

CONTRIBUCIÓN DE BARRAS INTERMEDIAS Cuando se tienen grandes momentos flectores, más económico resulta concentrar la mayor parte de la armadura de la columna, en las caras exteriores paralelas al eje de flexión.

Por otro lado, para excentricidades pequeñas, cuando prevalecen las

compresiones, es ventajoso más bien distribuir la armadura alrededor de todo el perímetro. En este caso, las varillas colocadas en las dos caras, según el sentido de la flexión, están más esforzadas que las varillas situadas en las caras laterales. A la máxima carga, estas varillas intermedias estarán sometidas a un esfuerzo menor que el punto de fluencia, aún cuando las varillas de las caras extremas estén fluyendo. Aceros de alto grado y concretos de alta resistencia, son por esta razón, más efectivos para reducir las secciones de columnas, en miembros con pequeñas excentricidades.

VI − 14

Para las condiciones dadas de unas cargas, podemos determinar la capacidad a la flexocompresión de una sección de columna propuesta, mediante el procedimiento iterativo antes descrito. Mediante

el

siguiente

ejemplo numérico, ilustramos el desarrollo de este

procedimiento. EJEMPLO.-

Determinar la magnitud de la carga y el momento de diseño para la siguiente columna: e = 43 cm ;

f´c = 210 Kg/cm2

VI − 15

;

fy = 4 200 Kg/cm2

9

27

VI − 16

0.85 f´c

9 18

43

2

30 a

17.6

27

0.003

0.00252

18

Fs1

3

C

4 0.00094

0.00056

18

Fs2

0.0021

5.5 5.5

Fs3

Fs4

0.00257

30

65 5.5

Pn

As = 10 #28

1

35

Pn

Como valor tentativo, asumamos para la posición del eje neutro, un valor de c = 35 cm. La deformación de fluencia para el acero será: ∈y = fy / Es ∈y = 4 200 / 2 039 000 = 0.00207

Cuando el concreto alcanza su deformación de falla, o sea 0.003, las varillas exteriores (1) y (4) se deformarán más allá del límite de fluencia. No así las varillas del grupo (2) y del (3), cuyos esfuerzos serán el producto de sus deformaciones por el módulo de elasticidad Es : fs2 = 0.00094 x 2 039 000 = 1 920 Kg/cm2 fs3 = 0.00056 x 2 039 000 = 1 140 Kg/cm2 Del valor asumido para c, se deduce que a = 0.85 x 35 = 29.8 3 #28 = 18.47 cm2

2 #28 = 12.31 cm2

Las fuerzas interiores valdrán : C

= 0.85 f´c ab

= 0.85 x 210 x 29.8 x 30 = 158 000 Kg

Fs1

= As1 fy

= 18.47 x 4 200

=

77 570 Kg

Fs2

= As2 fs2

= 12.31 x 1 920

=

23 630 Kg

Fs3

= As3 fs3

= 12.31 (- 1 140)

= - 14 030 Kg

Fs4

= As4 fy

= - 77 570 Kg ΣV

VI − 17

= 167 600 Kg

De la ecuación de equilibrio de fuerzas, tendremos que la fuerza exterior Pn será igual a la suma de estas fuerzas interiores. Pn = 167 600 Kg ∼ 168 000 El momento de estas fuerzas interiores con relación al eje central es : Mn

= (17.6 x 158 000) + (27 x 77 570 (2)) + (9 x 23 630) + (9 x 14 030)

Mn

= 7 308 520 Kg.cm

La excentricidad será e = 7 308 520 / 168 000 = 43.5 cm ≅ 43

ok.

Esto significa que el valor asumido para c = 35 es satisfactorio, sin que sea necesario hacer correcciones. Entonces, la capacidad de diseño será como sigue: Comprobamos el valor de 0.1 f´c Ag: 21 (30 x 65) = 40 950 Kg < 167 600. Pu = 0.65 x 167 600

= 108 940 Kg

Mu = 0.65 x 73 085

=

Por tanto φ = 0.65

47 500 Kg.m

Podemos sacar las siguientes conclusiones: Aún con moderadas excentricidades, solo las barras de las caras exteriores alcanzan su esfuerzo de fluencia; las demás barras se esfuerzan a mucho menos que su capacidad máxima. De esto deducimos que el empleo de acero de mayor costo y de más alto grado de resistencia, en secciones simétricamente armadas, sólo es económico para muy pequeñas excentricidades. Podemos también observar que las varillas de los grupos (2) y (3) han contribuido muy poco en los valores de Pu y Mu, lo que confirma lo dicho.

VI − 18

6.04.1 CASO PARTICULAR. FALLA POR COMPRESIÓN Basado en el diagrama de interacción, Whitney ha propuesto la siguiente ecuación aproximada, pero aplicable solamente a refuerzo simétrico y con solo dos filas de varillas en las caras extremas, para secciones rectangulares.

Pu

= φ

⎡ As fy b h f´c ⎤ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥ ⎢ e 3he ⎥ ⎢ ⎯⎯⎯ + 0.5 ⎯⎯⎯ + 1.18 ⎥ ⎣ d - d´ d2 ⎦

Alternativamente, uniendo los puntos Po y Pb del diagrama de interacción con una línea recta, se tiene también las siguientes ecuaciones : Po Pu = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 + (Po / Pb - 1) (e/eb) Pu = Po - (Po - Pb) Mu/Mb EJEMPLO.-

Analizar la columna de la sección dada, para establecer la carga que puede llevar a una excentricidad de 7.5 cm sobre el eje x ;

con relación al eje y, no se ha

considerado teóricamente excentricidad alguna. f´c = 210 Kg/cm2 ; fy = 4 200 Kg/cm2 ; Ast = 6 #28 = 36.95 cm2

VI − 19

45 y

3 #28 0.00207 cb=26

50

x

x E´s

3 #28=18.47 cm2

0.003

44

y

50

ab 0.85 f´c

Nt

Pb

Nc2 Nc1

Deformaciones y fuerzas de balance

d = 44 eb

Los cercos serán por lo menos #10, y el máximo espaciamiento será : 16

db = 16 x 2.8

= 45 cm

48

de = 48 x 1.0

= 48 cm

lado menor

= 45 cm

VI − 20

Entonces:

Cercos #10 @ 45 cm

Para determinar la capacidad con relación al eje x, usemos la 2a. de las dos últimas ecuaciones: La fuerza de compresión pura vale: Pon = 0.85 f´c (Ag - As) + fy Ast Pon = 0.85 x 210 (2 250 - 36.95) + 4 200 x 36.95 Pon = 550 220 Kg Para la condición balanceada ∈y = 0.00207 que calculamos anteriormente.

Cb

0.003 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x 44 = 26 cm 0.003 + 0.00207

ab

= 0.85 x 26 = 22.10 cm

Nc1

= 0.85 x 210 (22.1 x 45) - 0.85 x 210 x 18.47 = 174 220

Para Nc2 calculamos primero la deformación y el esfuerzo: 26 - 6 ∈´s = ⎯⎯⎯ x 0.003 = 0.0023 > ∈y 26 Por tanto: Nc2 = 18.47 (4 200) = 77 570 Kg

;

Estas fuerzas internas equilibran la fuerza exterior Pb. Pbn + Nt - Nc1 - Nc2 = 0 Pbn = 174 220 Pb = φ Pbn = 0.65 x 174 220 = 113 240 Kg

VI − 21

Nt = 77 570 Kg

Ahora, para el equilibrio de momentos: Tomando como referencia el centro de la columna, tendremos: Nt (25 - 6) + Nc1 (25 - 11) + Nc2 (25 - 6) - Pbn eb = 0 77 570 (19) + 174 220 (14) + 77 570 (19) = 174 220 eb eb = 5 386 740 / 174 220 = 31 cm El momento de balance será: Mbn = Pbn x eb = 174 220 x 0.31 = 54 000 Kg.m Mb = φ Mbn = 0.65 x 54 000 = 35 100 Kg.m Como e < eb , tendremos falla por compresión, con Pn > Pbn Entonces:

Pxn =

Pxn = Pxu

Pon 550 220 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎛ Pon ⎞ e ⎛550 220 ⎞ 7.5 1 + ⎜⎯⎯ - 1⎟ ⎯ 1 + ⎜⎯⎯⎯⎯ - 1⎟ ⎯⎯ ⎝ Pbn ⎠ eb ⎝174 220 ⎠ 31 361 500 Kg

= φ Pxn = 0.65 x 361 500 = 235 000 Kg

La ecuación de Whitney es aplicable a la excentricidad con relación al eje x, por cuanto el acero, en este caso, está colocado todo en las caras opuestas. Usando esta ecuación tendremos:

Pxn

Pu 18.47 x 4 200 45 x 50 x 210 = ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ φ 7.5 3 x 50 x 7.5 ⎯⎯⎯ + 0.5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 1.18 44 - 6 442

Pxn = 379 600 Kg

VI − 22

Pu = 0.65 x 379 600 = 246 740 Kg Comparado con el valor anterior tenemos una diferencia de solo un 5%. Con relación al eje y, no existiendo momento flector previsto, debemos considerar la capacidad máxima de carga a compresión axial, según la ecuación del Código dada al efecto: Pu max = 0.80 φ Po Pu max = 0.80 x 0.65 x 550 220 = 286 100 Kg La carga obtenida con relación al eje x es 235 000 Kg. Entonces, la capacidad de la columna será el menor valor de estos dos últimos, esto es : Pu = 235 000 Kg

6.05 COLUMNAS CIRCULARES ZUNCHADAS Se mencionó anteriormente que a estas columnas se les reconoce mayor eficiencia que a las de sección rectangular, con cercos simples, por eso el coeficiente φ vale 0.70.

Esta superioridad es cierta mientras prevalecen las compresiones, o sea

mientras las excentricidades sean lo más pequeñas posibles.

Cuando las

excentricidades aumentan, esta ventaja se va perdiendo. Consideremos una sección circular de una columna sometida a una carga excéntrica. Al momento de falla, las varillas de los grupos 2 y 3 estarán menos esforzadas que las de los grupos 1 y 4. Los esfuerzos en los diferentes grupos de varillas se encuentran fácilmente por simple geometría, según su posición relativa. La deformación de fluencia será: ∈y = fy / Es

Por tanto todas las varillas con una deformación igual o mayor a ésta, estarán en fluencia.

VI − 23

Los esfuerzos para varillas con deformaciones menores valdrán: fs = ∈s Es

a

4

1

3

2

Ec = 0.003

E3

E4

E2

E1

Ds

c 0.85f´c

Pn

As1fs1

As2fs2 Cc

As3fs3

As4fs4

a

Conociendo estos esfuerzos se calculan entonces las fuerzas interiores, las mismas que deben equilibrar la fuerza externa Pn. El caso es exactamente análogo al de columnas rectangulares. Solo hay que tener en cuenta que en columnas circulares, la zona de compresión del concreto, correspondiente al bloque equivalente de distribución rectangular de esfuerzos, tiene la forma de un segmento de círculo.

VI − 24

cia

1.0

Cu rv aC

0.6

oa

r

Área = Bh2

t ro

Ar

ea

en lC ed rav

Cu rva

B

G de

0.2

Propiedades _ del Segmento x = Ar I0 = Cr4

az Br

0.3

a A

0.5 0.4

I0

r va

Valores a / h

0.7

_ x

Cu

M om en to

0.8

h

de I

ne r

0.9

ad

0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Valores de A, B, C CONSTANTES PARA PROPIEDADES DE ELEMENTOS CIRCULARES

EJEMPLO. Analizar la siguiente columna, con los siguientes datos:

Excentricidad

30 cm

f´c = 210 Kg/cm2

Armadura total

As = 10 #22 = 38.01 cm2

fy = 2 800 Kg/cm2

VI − 25

C L

e = 30 c = 20

4 11

11

Pu

Deformaciones

50 3

21 19 16 a = 17

16

21 280

19

10 640 21 280

6

21 280

6

Cc

6

0.85 f ´c

4C L

Pn

e = 30

10 640

6 5

C L

0.003

Espiral #10

0.00165

*

Fuerzas

Ar = 15

Para determinar las propiedades del segmento circular de compresiones usamos el ábaco auxiliar adjunto, al mismo que hacemos referencia. Probemos un valor de c = 20 cm. Entonces a = 0.85 x 20 = 17 cm. Con los valores a/h = 17/50 = 0.34 se obtiene del ábaco : B = 0.24 ; A = 0.60. Entonces ⎯x del segmento, desde el centro de la columna es : ⎯x = A r = 0.60 x 25 = 15 cm

El área vale: B h2 = 0.24 x 502 = 600 cm2 Entonces la fuerza de compresión permisible es :

⎯Cc = 0.85 x 210 x 600 = 107 100 Kg La localización de las varillas están indicadas en el gráfico. No consideramos el par de varillas que están junto al eje neutro asumido, porque estarán muy ligeramente esforzadas.

VI − 26

La deformación de fluencia será:

∈y = fy / Es = 2 800 / 2 039 000 = 0.00137 Vemos que todas las demás varillas fluirán, puesto que ∈ > ∈y. La tensión para 1 #22 valdrá: As fy = 3.80 x 2 800 = 10 640 Kg. Tomando momentos al centro de la columna tendremos:

Cc :

2 x 10 640 x 19

=

404 320

2 x 21 280 x 16

=

680 960

21 280 x 6

=

127 680

107 100 x 15

= 1 606 500 2 819 460 = 30 Pn ; Pn = 94 000 Kg

Ahora para la suma de fuerzas tendremos: T = 10 640 + 21 280 + 21 280 = 53 200 Cs = 10 640 + 21 280

= 31 920 T – Cs = 21 280 Kg

La fuerza de compresión requerida será: Cc = P + 21 280 Cc = 94 000 + 21 280 = 115 280 Kg > 107 100 Como la compresión Cc requerida excede de la compresión Cc permisible, significa que el valor asumido para c de la línea neutra, no es suficiente. Para un segundo intento, tomemos c = 22 cm. Entonces: a = 0.85 x 22 = 18.7; a/h = 18.7/50 = 0.374 Del diagrama de propiedades de elementos circulares obtenemos: B = 0.27 ;

A = 0.56

⎯x = A r = 0.56 x 25 = 14 ;

B h2 = 0.27 x 2 500 = 675 cm2

VI − 27

Compresión permisible: Cc = 178.5 x 675 = 120 500 Kg Los esfuerzos serán: fs3 = 0.00041 x 2 039 000 =

836 Kg/cm2

fs4 = 0.00123 x 2 039 000 = 2 508 Kg/cm2 Las fuerzas de las armaduras serán: 2 #22 = 7.60 cm2 F3 = 7.60 x

836 = 6 350 Kg

F4 = 7.60 x 2 508 = 19 060 Kg Los demás aceros estarán en fluencia, como en el caso anterior.

22 c = 22

Deformaciones

0.003

3

0.00041

0.00123

9

C L 19 16

Cc Fuerzas

VI − 28

0.85 f ´c

6 350

19 060

21 280

10 640

21 280 10 640

a = 18.7

6

Equilibrio de momentos: 2 x 10 640 x 19 =

404 320

2 x 21 280 x 16 =

680 960

6 350 x 6 =

38 100

19 060 x 6 =

114 360

120 500 x 14 = 1 687 000 30 Pn = 2 924 740 Kg cm Pn =

97 500 Kg

T = 10 640 + 21 280 + 19 060 = 50 980 Kg Cs = 10 640 + 21 280 + 6 350 = 38 270 T – Cs = 12 710 Kg Compresión requerida del hormigón: 97 500 + 12 710 = 110 200 Kg < 120 500 disponible

Comparando este resultado con el obtenido en la primera tentativa, vemos que la carga axial nominal, de compresión, estará comprendida entre 94 000 y 97 500 Kg. Con suficiente aproximación práctica, podemos decir entonces que Pn = 95 000 Kg. La carga de diseño será: Pu = φ Pn = 0.70 x 95 000 = 66 500 Kg. 6.05.1 CASO PARTICULAR

Para columnas circulares fallando en compresión, se tiene la siguiente carga admisible, según Whitney :

Pu

= φ

⎡ Ast fy Ag f´c ⎢⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎢ 3e 9.6 h e ⎢ ⎯⎯⎯ + 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 1.18 ⎣ Ds (0.8h + 0.67 Ds)2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Es apropiado y más exacto, sea para falla por tensión o compresión, asumir una

VI − 29

posición para el eje neutro y seguir el procedimiento de las deformaciones ; luego hacer los ajustes necesarios hasta obtener resultados compatibles con las asunciones. EJEMPLO. Sea una columna circular zunchada, sometida a las siguientes cargas :

Pu = 115 000 Kg ;

Mu = 25 300 Kg.m

La resistencia de los materiales es: f´c = 210 Kg/cm2

;

fy = 2 800 Kg/cm2

Análisis: e = 25 300 x 100 / 115 000 = 22 cm Asumimos que e < eb Proponemos la siguiente sección: Ast = 10 #28 = 61.58 cm2 Empleando la ecuación de Whitney, tendremos: Ag = π h2 / 4 = 3.14 x 452 / 4 = 1 590cm2

ρ = 61.58 / 1 590 = 0.0387

VI − 30

33 45

Ast fy = 61.58 x 2 800 = 172 424 Ag f´c = 1 590 x 210 = 333 900 3e/Ds + 1 = 66/33 + 1 = 3 9.6 h e / (0.8h + 0.67 Ds)2 = 9.6 x 45 x 22 / (0.8 x 45 + 0.67 x 33)2 = 2.81 Pu = φ [172 424 / 3 + 333 900 / (2.81 + 1.18)] Pu = 0.70 (57 475 + 83 684) = 98 810 Kg Como 98 810 < 115 000 tenemos que incrementar la sección propuesta. Tomemos ahora Ast = 14 #28 = 86.21 cm2; ρ = 86.21 / 1 590 = 0.054 Ast fy = 86.21 x 2 800 = 241 390 Pu = 0.70 (241390 / 3 + 83 680) = 114 900 Kg ≅ 115 000 ok. Entonces la columna tendrá un diámetro de 45cm y una armadura de 14 #28 mm. Comprobamos la cabida de la armadura:

VI − 31

Perímetro disponible: 33 π = 104 cm La separación libre entre varillas longitudinales, según el Código, por lo menos debe ser 1.5 db ó 4 cm. 1.5 db = 1.5 x 2.8 = 4.2 cm Longitud requerida:

14 x 2.8 =

39 cm

Espaciamiento:

13 x 4.2 =

55

cm

94 cm < 104 cm Entonces las 14 varillas previstas sí caben en el diámetro escogido.

ANÁLISIS DEL ZUNCHO

Dc = 37 cm (diámetro del núcleo, medido hasta el exterior del zuncho) Ac = 3.14 x 372 / 4 = 1 075 cm2 ;

Ag / Ac = 1 590 / 1 075 = 1.48

La relación mínima de armadura para el zuncho será:

ρz = 0.45 (1.48 - 1) 210 / 2 800 = 0.016 Tomando el diámetro φ 10 mm, tendremos Az = 0.78 cm2 Por tanto, el paso de la espiral será: gz = 4 Az / ρz Dc = 4 x 0.78 / (0.016 x 37) = 5 cm ; 2.5 < 5 < 8 ok Si tomamos el diámetro φ 12, tendremos 4 Az = 4.52 cm2 gz = 4.52 / 0.592 = 7.6 cm Podemos entonces también emplear un zuncho φ 12 con gz = 7 cm alternativamente.

VI − 32

6.06 ESBELTEZ DE LAS COLUMNAS. GENERALIDADES. Se dice que una columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas comparadas con su longitud. Debemos diferenciar entre la longitud real de la columna y la longitud efectiva de la misma. La primera se define como la distancia que hay entre sus apoyos, mientras que la segunda se refiere a la longitud de la curvatura lateral que ocurre bajo la acción de una carga axial de compresión, curvatura conocida como el pandeo de la columna. Dicha longitud se mide entre los puntos de inflexión de tales curvas. La longitud efectiva mencionada depende de dos factores principales : a) La naturaleza de los apoyos de la columna, los mismos que pueden ser articulados, libres o fijos. b) La capacidad de un deslizamiento transversal de la columna en uno de sus extremos, o ladeo. Hay que tomar en cuenta que rara vez se tiene el caso de un solo miembro aislado, siendo lo común y corriente tener estructuras aporticadas, en cuyo caso el deslizamiento mencionado debe referirse al ladeo integral de todo el pórtico. En el gráfico adjunto se ilustran los diferentes casos posibles. Pcr

kl>2l

Desplazamiento de Pórticos No Apuntalados

VI − 33

Pcr

kl = l

kl = l/2 l

i

l/4

Pcr

i

a

b

k=1

l/4

y a

k = 1/2

Longitud Efectiva de Miembros Apuntalados contra Deslizamiento

l

i kl = l

kl = 2 l

l

i

i i d k=2

e k=1

Longitud Efectiva de Miembros No Apuntalados contra Deslizamiento VI − 34

Una columna puede fallar por la acción combinada de una carga axial y de un momento flector, si es que se excede la resistencia de su sección transversal, en cuyo caso se dice que es una falla del material. Consideremos una columna sometida a una carga, la misma que causará una deflexión Δ y por consiguiente un momento secundario adicional. En un diagrama de cuerpo libre, se puede ver que el máximo momento ocurre en una sección A-A, y es igual al momento aplicado más el momento debido a la deflexión, esto es M = P (e + Δ)

P

P M = Pe

M = Pe

P

Pe

P

Columna corta

A

A

Falla del Material

M = P (e + )

Falla de estabilidad

P

M

INTERACCIÓN RESISTENTE PARA COLUMNAS ESBELTAS La falla de una columna corta puede ocurrir en cualquier punto de la curva de la interacción resistente, dependiendo de la combinación del momento y de la carga axial aplicada.

Se producirá cierta deflexión y una falla del material cuando una

combinación particular de carga P y momento M, esto es M = P (e + Δ) intercepte la curva de interacción resistente. Si la columna es muy esbelta se puede alcanzar una deflexión debida a la carga axial P y al momento Pe de tal modo que las deflexiones se incrementarán indefinidamente con el incremento de la carga P. Este tipo de falta se conoce como falla de estabilidad.

VI − 35

Según Euler, un miembro fallará por pandeo bajo una carga crítica Pc = π EI / le ; 2

2

le = longitud efectiva = klu. El grado de esbeltez de una columna se determina por la relación klu / r ; _____ r = radio de giro de la sección transversal = √ Ι / A . Se toma en el sentido de menor valor. El radio de giro r para columnas rectangulares se puede tomar como 0.30 h, siendo h la dimensión total de la sección en la dirección considerada.

Para miembros

circulares, r se puede tomar como 0.25 veces el diámetro. Para otras secciones, r se puede calcular para la sección bruta del concreto. En miembros no apuntalados contra deslizamiento, los efectos de la esbeltez pueden despreciarse cuando klu / r < 22. Cuando un miembro individual de un pórtico tenga una relación de esbeltez klu / r < 100 se requiere un análisis de segundo orden P - Δ. En el siguiente cuadro se resumen las consideraciones para la esbeltez de columnas.

VI − 36

Límites. El Código ACI prescribe límites de esbeltez de columnas tanto en pórticos

no deslizantes como en pórticos deslizantes, dentro de los cuales se permiten determinados métodos de diseño. Se dan límites inferiores por debajo de los cuales los momentos secundarios se pueden despreciar y sólo se considerarán en el diseño la carga axial y el momento primarios. En marcos no deslizantes se pueden ignorar los efectos de esbeltez cuando se satisface la siguiente expresión : klu / r ≤ 34 - 12 (M1/M2) La relación M1/M2 no se toma menor que -0.5. M1 = El momento menor en los extremos de la columna ; positivo si el miembro se dobla en curvatura simple, negativo si se dobla en curvatura doble. M2 = El momento mayor, siempre positivo. Cm es un factor de corrección de momento equivalente y vale : Cm = 0.6 + 0.4 (M1/M2) ≥ 0.4

Sin cargas transversales.

Cm = 1.0

Con cargas transversales

Si el momento calculado M2 es muy pequeño o cero, el diseño de las columnas se basará en un momento mínimo, dado por la siguiente expresión : M2min = Pu (15 + 0.03 h) h en metros con relación a cada eje, separadamente. Si es que M2min > M2, el valor Cm puede tomarse = 1.0 Ec Ig/5 + Es Is E I = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 + βd

VI − 37

o la expresión más simple : Ec Ig/2.5 E I = ⎯⎯⎯⎯ 1 + βd Aquí Ec = módulo de elasticidad del concreto

Ig = momento de inercia de la sección bruta de la columna Es = módulo de elasticidad del acero

Is = momento de inercia del refuerzo con relación al eje centroidal de la sección transversal.

βd = relación de carga axial máximo de diseño, por carga muerta, sobre carga axial máximo total de diseño, siempre positivo : βd = 1.2PD / (1.2PD+1.6PL) El factor βd cuenta aproximadamente con los efectos de flujo plástico. La 1a. ecuación es preferible para relaciones ρ de armadura medias y altas ; la 2da. ecuación es mejor para valores de ρ pequeños.

Propiedades de las secciones para análisis de Pórticos.

Para tomar en cuenta las secciones fisuradas de un miembro en el análisis de un pórtico, pueden usarse los siguientes valores para el cómputo de las propiedades de las secciones.

Miembros

Vigas Columnas

Módulo de Elasticidad

Momento de Inercia

__ Ec = 15 000 √ f´c

0.35 Ig

(para peso normal de hormigón)

Paredes - No Fisuradas Paredes - Fisuradas Placas y Losas Planas

Ec = 4 270 Wc1.5 (W = t/m3)

__ √ f´c

0.70 Ig 0.70 Ig 0.35 Ig 0.25 Ig

Para análisis con cargas de servicio multiplicar por 1.0/0.70

VI − 38

Area

1.0 Ag

Longitud de columnas. La longitud libre de una columna se considera que es la

distancia neta entre las losas de piso, vigas, u otros miembros capaces de proveer un apoyo lateral en la dirección considerada. Si es que existen capiteles o cartelas, la longitud libre se medirá desde el filo inferior de estos elementos. Incremento de Momentos. Para tomar en cuenta el pandeo de columnas, el diseño

de las mismas se basa en un incremento del momento aplicado. Al efecto hay que distinguir entre estructuras no desplazables lateralmente y en estructuras desplazables. Para estructuras no desplazables se tiene la siguiente ecuación :

Mc = δns M2 ;

Pc = π E I / (klu) 2

δns

Cm = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≥ 1.0 Pu 1 - ⎯⎯⎯ 0.75 Pc

2

Para estructuras desplazables se tiene : M1 = M1ns + δs M1s ; M2 = M2ns + δs M2s Ms δs Ms = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≥ Ms Σ Pu 1 - ⎯⎯⎯⎯ 0.75 Σ Pc Σ Pu = Sumatorio de las cargas verticales en todas las columnas de un piso. Σ Pc = Sumatorio de las cargas críticas de pandeo de todas las columnas resistentes

al desplazamiento en un piso. Para cargas debido al viento o a un sismo βd = 0.

VI − 39

Efectos de Esbeltez :

Ejemplo de análisis por el método aproximado. Ref. Notas del ACI 318-89 (PCA)

EI/l = 156 x 106 kg cm

5.50

Piso 2 A

3.40

COLUMNAS SIN APUNTALAMIENTO CONTRA LADEO (Desplazables)

EI/l = 156 x 106 kg cm

3.40

Piso 1 B

Elevación f´c = 350 Kg/cm2

f´y = 4 200 Kg/cm2 1) Datos de Carga : Tipo de carga

Cargas Axiales de sevicio

Momentos servicio

Columnas Exteriores D = 100 t L = 20 E= 2 Tope - Ms D = 3.5 t m L = 2.0 t m E = 2.0 t m

Columnas Interiores D = 110 t L = 40 E= 0.0 Tope - Ms D = 1.5 t m L = 1.3 t m E = 3.5 t m

Base Mb D = 5.5 t m L = 3.0 t m E = 2.0 t m

Base Mb D = 3.5 t m L = 3.3 t m E = 3.5 t m

VI − 40

2) Para aplicar la ecuación de incremento de momentos debido a la esbeltez, es conveniente distinguir entre los momentos que no causan ladeo y que son debidos a las cargas de gravedad : M2b, y los momentos que sí causan ladeo, por cargas horizontales : M2s. Cargas de diseño a ser consideradas : I. Columnas interiores

a) Cargas de gravedad : U = 1.2 D + 1.6 L Pu = 1.2 (110) + 1.6 (40)

= 196 t

M2b = 1.2 (3.5) + 1.6 (3.3)

= 9.5 t m

b) Cargas de gravedad más cargas sísmicas U = (1.2 D + 1.0 L + 1.0 E) Pu = 1.2 (110) + 40

= 172 t

M2b = 1.2 (3.5) + (3.3) + (3.5)

= 11 t m

M2s = 1.2 (1.5 ) + (1.3) + (3.5)

=

También :

6.6 t m

U = 0.9 D + 1.0 E

Pu = 0.9 (110) + 0.0

= 9.9 t

M2b = 0.9 (3.5) + (3.5)

= 6.6 t m

M2s = 0.9 (1.5) + 3.5

= 4.8 t m

VI − 41

II. Columnas exteriores :

a) Cargas de gravedad : U = 1.2 D + 1.6 L Pu = 1.2 (100) + 1.6 (20)

= 152 t

M2b = 1.2 (5.5) + 1.6 (3.0)

=

11.4 t m

b) Cargas de gravedad más cargas sísmicas. U = 1.2 D + 1.0 L + 1.0 E Pu = 1.2 (100) + (20) + (2)

= 142 t

M2b = 1.2 (5.5) + (3.0) + (2)

= 11.6 t m

M2s = 1.2 (3.5) + (2) + (2)

= 8.2 t m

También :

U = 0.9 D + 1.0E

Pu = 0.9 (100) + (2)

= 92 t

M2b = 0.9 (5.5) + (2)

= 7tm

3) Dimensionamiento Preliminar : Cargas : Columnas interiores :

Pu = 196 t m Mu = 9.5 t m

VI − 42

45

33

Tentativamente escogemos la siguiente sección de columna :

45

Ast = 4 #28 = 24.63 cm2 ρ = 24.63/2 025 = 0.012 Estimamos la relación de esbeltez : klu / r = 1.20 x 550 / (0.3 x 45) = 49 22 < 49 < 100 Si se debe considerar la esbeltez, siendo aceptable un método aproximado. 4) Calculamos las propiedades de la sección para la evaluación de la esbeltez. El coeficiente k, para condiciones de apuntalamiento se debe tomar k = 1, a menos que se haga un análisis exacto para tomar k < 1.0. Para condiciones sin apuntalamiento, se deben tomar en cuenta los efectos de las fisuraciones y el refuerzo en la rigidez relativa de las vigas. k debe ser mayor que 1.0. Para una relación de esbeltez klu/r < 60 se puede emplear 0.5 EIg para vigas, y EIg para columnas.

___ 4

4

Ig = 45 /12 = 341 700 cm ; Ec = 15 000 √ 350 = 280 600 Kg/cm2 Para las columnas AB de 5.50 m :

VI − 43

6

EIg / lc = 280 600 x 341 700 / 550 = 174.3 x 10 Para las columnas de 3.40 m 6

EIg / lc = 280 600 x 341 700 / 340 = 282 x 10 Para columnas interiores

Σ EI / lc 174.3 + 282 (Cabeza y pie) ψa = ψb = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.46 Σ EI / lv 2 x 156

De los ábacos para el coeficiente k se obtiene k = 0.82

para columnas apuntaladas

k = 1.42

para columnas no apuntaladas

Para las columnas exteriores :

(Cabeza y pie) ψA = ψB

174.3 + 282 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.92 156

k = 0.88 (con Apuntalamiento) ; k = 1.81 ( sin Apuntalamiento) Carga crítica :

π2 EI Pc = ⎯⎯⎯ (k lu)2 (Ec Ig / 5) + Es Ise EI = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 + βd

Ise = 24.63 x 16.52 = 6.705 cm4 ; Es = 2 x 106 Kg/cm2 1.2 D βd = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1.2 D + 1.6 L

VI − 44

Interior : 1.2 (3.5) βd = ⎯⎯⎯⎯= 0.44 1.2 (3.5) + 1.6 (3.3) Exterior : 1.2 (5.5) βd = ⎯⎯⎯⎯ = 0.6 1.2 (5.5) + 1.6 (3.0) Interior : (280 600 x 341 700 / 5) + 2 x 106 x 6 705 EI = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1.0 + 0.44 32 585 x 106 EI = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 22 630 x 106 1.44 Exterior : 32 585 x 106 EI = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 20 360 x 106 1.60 Para calcular δs, βd = 0 32 585 x 106 EI = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 32 585 x 106 (Interior y Exterior) 1.0 Para columnas interiores :

π2 (22 630 x 106) Pc = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1 100 t (Apuntaladas) (0.82 x 550)2

π2 (32 585 x 106) Pc = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = (1.42 x 550)2

527 t (No Apuntaladas)

VI − 45

Para columnas exteriores :

π2 (20 110 x 106) Pc = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = (0.88 x 550)2

847 t (Apuntaladas)

π2 (32 585 x 106) Pc = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = (1.81 x 550)2

324 t (No Apuntaladas)

5) Consideración de los efectos de Esbeltez : I. Columnas Interiores

a) Para cargas de gravedad Pu = 196 t M2b = 9.5 t m M1b = 1.2 (1.5) + 1.6 (1.3) = 3.9 t m El valor de Cm se puede tomar = 1.0, a menos que se calcule como sigue : Cm = 0.6 + 0.4 (M1b/M2b) = 0.6 + 0.4 (3.9/9.5) = 0.76 Factor de Incremento : Cm 0.76 δb = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.04 Pu 196 1 - (⎯⎯⎯⎯⎯⎯) 1 - (⎯⎯) φ Pc 0.65 x 1100

Momento mínimo por efecto de Esbeltez : M2b ≥ Pu (0.015 + 0.03 h)

(excentricidad en m)

VI − 46

M2b min = 196 x (0.015 + 0.03 x 0.45) = 5.6 t m < 9.5

Entonces para el diseño tendremos : Mc = δb M2b = 1.04 x 9.5 = 9.9 t m Cargas Nominales de diseño : Pn = Pu/φ = 196/0.65 = 301 t Mn = Mu/φ = 9.9/0.65 = 15.2 t m b) Para cargas de gravedad más cargas sísmicas Pu =

172 t

M2b = 11 t m M2s =

6.6 t m

0.76 δb = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.0 172 1 - (⎯⎯⎯⎯⎯⎯) 0.65 x 1100

1.0 δs = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Σ Pu 1 - (⎯⎯⎯⎯) φ Σ Pc Asumamos que la disposición estructural de columnas corresponde a una planta de 7 x 3 claros. Las cargas axiales Pu y Pc se deben considerar entonces para 20

columnas exteriores y 12 columnas interiores. Supongamos que las columnas esquineras tienen la mitad de la carga de las columnas de borde, por lo que tomamos 18 para la suma de cargas Pu en columnas exteriores.

VI − 47

Planta Σ Pu = 18 (142) + 12 (172) =

4 620 t

Σ Pc = 20 (324) + 12 (527) = 12 804 t

1.0 δs = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.22 4 620 1 - (⎯⎯⎯⎯⎯) 0.65 x 12 804 Momento mínimo para considerar la esbeltez : M2s ≥ Pu (0.015 + 0.03 h) = 172 (0.0285) = 4.9 t m < 6.6 Para diseño : Mc = δb M2b + δs M2s = 1.0 (11.0) + 2.22 (6.6) = 25.6 t m Cargas nominales requeridas : Pn = 172/0.65 = 265 t Mn = 25.6/0.65 = 39.4 t m

VI − 48

II. Para columnas Exteriores

a) Cargas de gravedad Pu = 152 t ;

M2b = 11.4 t m M1b = 1.2 (3.5) + 1.6 (2.0 ) = 7.4 t m

Cm = 0.6 + 0.4 (7.4/11.4) = 0.86 Factor de Incremento : 0.86 δb = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.21 152 1 - (⎯⎯⎯⎯⎯) 0.65 x 847

Mínimo momento, para efecto de esbeltez : M2b ≥ Pu (0.015 + 0.03 h) = 152 (0.0285 ) = 4.3 t m < 11.4 Para el diseño : Pu = 152 t Mc = 1.21 (11.4) = 13.8 t m b) Cargas de gravedad más empujes sísmicos : Pu = 142 t ;

M2b = 11.6 t m

;

M2s = 8.2 t m

0.86 δb = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.16 142 1 - (⎯⎯⎯⎯⎯) 0.65 x 847

δs = 2.22 (Igual que para columnas interiores) VI − 49

Momento mínimo para efectos de esbeltez : M2s ≥ Pu (0.0285) = 142 (0.0285) = 4 t m > 8.2 Mc = 1.16 (11.6) + 2.22 (8.2) = 31.7 t m Requerido para el diseño : Pu = 142 t Mc = 31.7 t m a) Comprobación, usando ábacos. (Ábaco 7.12.3) f´c = 350

;

fy = 4 200

γ = 0.75

;

Columnas Interiores : 1) Pu = 196 t

;

Mu = 9.9 t m ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ρ = 0.01 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

196 000 Pu 2 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 97 Kg/cm Ag 45 x 45 Mu 9 900 2 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 11 Kg/cm 2 025 x 0.45 Ag h

2) Pu = 172 t

;

Mu = 25.6 t m

Pu 172 000 2 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 85 Kg/cm 2 025 Ag 25 600 Mu ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = Ag h 911

2

28 Kg/cm

VI − 50

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ρ = 0.01 ⎪ ⎪ ⎭

Columnas Exteriores : 3) Pu = 152 t

;

Mu = 13.8 t m

P 152 000 2 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 75 Kg/cm 2 025 Ag 13 800 Mu ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 911 Ag h 4) Pu = 142 t

;

2

15 Kg/cm

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ρ = 0.01 ⎪ ⎪ ⎭

Mu = 31.7t m

142 000 Pu 2 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 70 Kg/cm Ag 2 025

Mu 31 700 2 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 35 Kg/cm Ag h 911

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ρ = 0.012 Requerido ⎬ = 0.012 Propuesto ⎪ ⎪ ⎭

La sección propuesta es adecuada tanto para columnas interiores como para columnas exteriores.

_____________________________

Referencias: Diseño de Estructuras de Concreto – G. Winter y A. Nilson Código ACI – 318 M – 02 Manual de Diseño. Publicación SP - 17 (89). A.C.I.

VI − 51

GRÁFICOS DE AYUDA PARA DISEÑO POR FLEXOCOMPRESIÓN

CAPÍTULO VII LOSAS

CAPITULO VII LOSAS Las losas son tableros de hormigón armado, que pueden estar apoyadas sobre vigas de concreto, de acero, en muros, paredes, directamente sobre columnas o enteramente sobre el suelo. Las losas pueden estar apoyadas en dos lados opuestos solamente, en cuyo caso la acción estructural es en un sólo sentido.

Si la losa está apoyada en sus cuatro

bordes, entonces existe una acción en ambos sentidos, llamándose en este caso

Losas Cruzadas. Para estas losas hay que considerar una limitación de relación entre el largo y el ancho que no debe ser mayor de 2, de lo contrario la acción se desarrolla solo en un sentido. Puede también haber losas apoyadas en un solo borde, tratándose entonces de elementos en cantiliver. Hemos dicho que las losas pueden apoyarse directamente sobre columnas, sin el uso de vigas; a éstas se las conoce con el nombre de losas planas. En algunos casos, las losas planas pueden tener una zona de mayor espesor, alrededor de las columnas de apoyo, denominada ábaco; también pueden proveerse a la cabeza de la columna de un capitel. Las losas pueden ser macizas o nervadas.

En el caso de losas cruzadas, las

nervaduras serán en ambos sentidos, teniéndose una superficie reticular-celular. Las losas apoyadas en el suelo se usan como pavimento de carreteras, aeropuertos, etc., o como fundación de edificios.

VII − 1

TIPOS DE LOSAS

Losas apoyadas en sus bordes

a) En dos bordes opuestos

b) En sus cuatro bordes

Losas apoyadas en columnas

c) Losas Planas

d) Losas nervadas

VII − 2

7.01 LOSAS EN UN SOLO SENTIDO

Las losas armadas en un solo sentido son esencialmente una viga de sección rectangular, para cuyo ancho se toma la unidad, o sea 1.00 m. Se tiene así una sucesión de vigas dispuestas unas a continuación de otras, de ancho igual a 1.00, de altura h igual al espesor de la losa, y de luz igual a la distancia entre los apoyos de los dos bordes, y por consiguiente su diseño es exactamente como una viga. La carga unitaria, o sea por m2, en la losa, vendrá a ser la carga por metro lineal en esta viga. La Luz de una losa simplemente apoyada se toma como la luz libre mas el espesor de la losa, pero no mayor que la distancia entre los centros de apoyo. En losas continuas se toman como luces las distancias entre centros de apoyos. Para losas construidas monolíticamente con sus apoyos y para luces no mayores que 3.00 m., se pueden considerar las luces libres entre apoyos.

Arm adu r 1

0 .0

aP

rin

cip al

h

l

Los esfuerzos de compresión del concreto, rara vez controlan el diseño de estas losas. Su espesor se determina mas bien considerando una relación de armadura económica, baja, y por control de deflexiones excesivas. El espesor de las losas se aproxima generalmente al centímetro. La tensión diagonal y los esfuerzos de adherencia por lo general no son críticos en el diseño de estas

VII − 3

losas, pero habrá que comprobarlos para grandes cargas o luces no muy usuales. El espaciamiento lateral del refuerzo principal, no será mayor que 3 veces el espesor de la losa, ni mayor que 45 cm. Debido a retracciones de fraguado y a acortamientos por cambio de temperatura, los mismos que están restringidos por la vinculación con los apoyos, ocurren en las losas esfuerzos de tensión, en ambas direcciones.

Para absorber estos esfuerzos,

minimizar las contracciones de fraguado, así como también para distribuir los esfuerzos en la armadura principal, se provee en las losas una armadura adicional normal a la anterior, llamada armadura de repartición o de temperatura. El Código establece una cuantía mínima para esta armadura de repartición la cual vale 0.002 de la sección de hormigón, para aceros de grado 28 y 35, y 0.0018 para acero de grado 42. También establece que el máximo espaciamiento entre varillas será 5 veces el espesor de la losa, o 45 cm. Estas relaciones mínimas de armadura de repartición representan también la armadura mínima requerida en el sentido de la flexión, en losas armadas en un solo sentido. EJEMPLO DE DISEÑO Sea una losa armada en un solo sentido, monolítica con sus apoyos, y que consta de dos tramos, cada uno de una luz neta de 5.0 m. La sobrecarga viva es 500 Kg/m2. Resistencia del concreto 280 Kg/cm2; fluencia del acero 4 200 Kg/cm2. El mínimo espesor será: l / 28 = 500 / 28 =, 18 cm. Con este espesor, el peso propio valdrá: 0.18 x 2 400 = 432 Kg/m2 Sobre Carga muerta = 114 Total D = 546 kg/m2 Cargas de diseño Carga muerta:

WD

= 1.2 x 546 =

655

Kg/m2

Sobrecarga viva:

WL

= 1.6 x 500 =

800

Kg/m2

Carga total:

Wu

= 1.2 D + 1.6 L = 1 455 Kg/m2

VII − 4

Calculamos los momentos según los coeficientes dados en el Reglamento A.C.I. Wl2 = 1 455 x 52 = 36.375 Apoyo interior

M-u = 1/9 x 36.375

=

- 4 040 Kg.m

Centro del Claro

M+u = 1/14 x 36.375

=

2 600 Kg.m

Apoyo exterior

M-u = 1/24 x 36.375

=

- 1 520 Kg.m

Encontramos la altura mínima de la losa requerida por flexión: Relación máxima de armadura ρmx = 0.021 Usando la tabla F 1-4 para diseño por flexión, deducimos que para la relación indicada se lee Kn = 0.654 _________ ___________________ Altura útil d = √ Mu / Kn b = √ 4.040 / (0.654 x 100) = 8 cm Esta altura es menor que la disponible, la cual vale

d = 18 - 3 = 15 cm.

Calculamos las armaduras para las diferentes secciones: F = bd2 = 100 x 152 = 22 500

;

Kn = Mu / F = Mu / 22 500

Con los valores calculados de Kn, entramos en la tabla F 1-4 para leer los respectivos valores de an. Armadura

SECCIONES

Apoyo interior Claro Apoyo exterior

As = Mu / (an d) MOMENTOS Kg.m.

Kn

an

and

- 4 040

0.180

36.12

2 600

0.116

- 1 520

0.068

As

As

cm2

adoptado

542

7.45

#10 @ 10 cm.

36.74

551

4.72

#10 @ 16 (13)

(37.07)

556

2.73

#10 @ 28 (19.5)

VII − 5

El valor de an= 37.07 para el apoyo exterior está controlado por la relación mínima de

ρg = 0.0018

armadura establecida en el Código:

ρmin = h / d = 18 / 15 x 0.0018 = 0.0022

Para la flexión

La armadura en losas, desde un punto de vista práctico, se indica según el diámetro de las varillas y el espaciamiento entre sí.

Este espaciamiento se determina

directamente como sigue, teniendo en cuenta que la sección del acero calculada se refiere a 1.00 metro de ancho de losa: Número de varillas

N = As / Ab = Área requerida / Área de una barra

Espaciamiento entre varillas

@ = 100 / N = 100 Ab / As

La disposición de la armadura se hará con un sentido práctico tomando en cuenta la facilidad de construcción y la relación entre los requerimientos de un punto a otro, aún cuando esto signifique un aparente desperdicio de acero.

Se puede proveer la

armadura requerida, mediante muchas combinaciones, usando varillas dobladas o solamente barras rectas. En todo caso se procurará la mayor sencillez posible.

#10 @ 19.5 promedio

#10 @ 10 promedio 0.18

1.80

0.80

doblados 2 de c/3 #10 @ 13 0.80 l = 5.00

VII − 6

doblados 2 de c/3

l/3 ~ 1.80

0.75

#10 @ 20

#10 @ 10 alternados un corto y un largo 0.18

0.60

#10 @15 alternados un corto y un largo l/5 = 10 l = 5.00

Usando varillas dobladas, con un espaciamiento de 13 cm para el centro, y doblando 2 barras de cada 3, tendremos un espaciamiento promedio para estas barras dobladas de: (13+26)/2 = 19.5. Como igual armadura proviene del vano adyacente, tendremos en el apoyo interior, una armadura total espaciada a 19.5/2 = 10 cm promedio que es lo requerido. Con esta disposición, tendremos en el apoyo exterior, las barras dobladas con un espaciamiento promedio de 19.5 cm. Punto de doblado en el claro para el 67 % de las varillas:

0.19 l = 0.95

Punto de corte en el apoyo interior para el 100%:

0.33 l = 1.65

Punto de doblado en el apoyo interior para el 50%:

0.13 l = 0.65

Estos valores se han determinado según el diagrama auxiliar para determinar los puntos de interrupción de la armadura, cuando los momentos se calculan con los coeficientes del Código A.C.I. De estos valores hemos tomado una longitud adicional d = 15 cm. Usando barras rectas solamente, hemos propuesto disponer el 50% de barras largas y el 50% de barras cortas, colocadas alternadamente. Punto de corte en el apoyo exterior para el 100%: 0.09 l = 0.45. Adoptamos 0.60.

VII − 7

Normalmente a la armadura indicada, se colocará la armadura de repartición o temperatura. Esta armadura coincide con la mínima especificada para la flexión, por lo que constará de varillas #10 @ 25, tanto en la cara inferior como en la superior. Comprobación al esfuerzo Cortante. La mayor fuerza de corte ocurre al borde del apoyo interior y vale: Vu = 1.15 (1 455 x 5) / 2 = 4 183 Kg. A la distancia d del borde del apoyo tendremos: Vud = 4 183 - 0.15 (1 455) ≅ 3 970 Kg. vu

= Vu / φbd = 3 970 / (0.75 x 100 x 15) = 3.53 Kg/cm2

Resistencia del hormigón: ___ ____ vc = 0.5 √ f ´c = 0.5 √ 280 = 8.3 Kg/cm2 vu < vc

ok.

Para vigas continuas de tramos muy semejantes, uniformemente cargadas, en las que no se doblan más de la mitad de todo el acero en tensión, se puede usar satisfactoriamente la siguiente localización de los dobleces.

l 1/5

l

l 1/7

1/3

l 2/3

l 1/5

l 2/4

l1

l2

VII − 8

LOCALIZACIÓN DE LOS PUNTOS EN LOS QUE SE PUEDE INTERRUMPIR LA ARMADURA Según los coeficientes del Código A.C.I. para cálculo de Momentos

VII − 9

7.02 LOSAS NERVADAS PARA PISOS El Código define como tales a la combinación monolítica de nervaduras regularmente espaciadas, y una losa colocada en la parte superior. Las losas nervadas pueden ser en una sola dirección o cruzadas. Los nervios de estas losas serán de un ancho de por lo menos 10 cm espaciados a una distancia libre máxima de 75 cm y de un peralte no mayor de 3.5 veces su ancho mínimo. El espesor de la losa sobre rellenos permanentes será por lo menos de 4 cm, o por lo menos 1/12 de la distancia libre entre nervios. En losas nervadas en un solo sentido, se dispondrá normalmente a los nervios la armadura mínima específica para contracción y temperatura. Cuando no se usen los rellenos permanentes, sino formas removibles, el espesor mínimo de la losa será 5 cm, o 1/12 de la distancia libre entre nervios. El esfuerzo cortante vc para las nervaduras se pueden incrementar en un 10% sobre los valores resistentes dados anteriormente. EJEMPLO: Losa Nervada en un solo sentido Altura mínima para no comprobar deflexiones: l / 21 = 520 / 21

= 25 cm

Para fy = 4200 kg/cm2

0.4 + 2 800 / 7 000 = 0.8 hmin = 0.8 x 25 Datos:

= 20 cm

Para fy = 2800 kg/cm2

Sobrecarga viva

wL

=

200 Kg/cm2

Resistencia del concreto

f ´c

=

280 Kg/cm2

Resistencia del acero

fy

=

2 800 Kg/cm2

VII − 10

15

5

5.20

0.40

12

60 72 (73)

Sección Típica

8.50 PLANTA Peso propio:

60 / 72 = 0.833 (relación aligerada) 0.167 (relación maciza) 0.20 x 1 x 1 - 0.833 x 0.15

=

0.20

= - 0.124 ---------0.076 x 2 400 =

180 Kg/m2

Peso de bloques de relleno: 0.124 x 800

=

100 Kg/m2

Acabado de piso (Baldosas)

=

90 Kg/m2

Cielo raso

=

22 Kg/m2

Particiones secundarias

=

220 Kg/m2 -----612 Kg/m2

Total de carga permanente

VII − 11

wD

=

1.00

0.167

Cargas de diseño:

0.833

wD

=

1.2 x 612

=

734 Kg/m2

wL

=

1.6 x 200

=

wu

=

320 Kg/m2 -------1 054 Kg/m2

Total

Carga correspondiente a un nervio: wn = 0.72 x 1 054 = 760 Kg/m Asumiendo para las vigas principales de apoyo un ancho de 40 cm, tendremos para la losa una luz neta de 4.80 m. Momento máximo negativo en los apoyos: Mu = - 1 / 11 wu l2 = - 1 / 11 x 760 x 4.802 = 1 590 Kg.m Momento máximo positivo en el centro: Mu = 1 / 16 wu l2 = 1 / 16 x 760 x 4.802 = 1 100 Kg.m Fuerza cortante al borde del apoyo: Vu = wu l / 2 = 760 x 4.80 / 2 = 1 820 Kg

VII − 12

DISEÑO POR ESFUERZO CORTANTE:

Tomamos d = 17 cm

A una distancia d del borde del apoyo, la fuerza de corte será: Vu = 1 820 - 0.17 x 760 = 1 690 Kg Resistencia del concreto: ____ vc = 0.50 √ 280 = 8.4 Kg/cm2 Incrementando según el Código tendremos: vc = 1.1 x 8.4 = 9.2 Kg/cm2 Altura requerida: d = Vu / (φ bw vc) = 1 690 / (0.75 x 12 x 9.2) = 20 cm > 17 Aumentemos el ancho de nervios a 14 cm y el espaciamiento entre nervios será 74 cm. d = 1 690 / (0.75 x 14 x 9.2) = 17 cm = 17

ok.

ARMADURA PARA EL APOYO F = bd2 = 14 X 172 = 4 046

;

Kn = Mu / F

Kn = 1 590 / 4 406 = 0.393 De la tabla para flexión se obtiene an = 22.80 que corresponde a una relación

ρ = 0.017 As = Mu / (an d) = 1 590 / (22.80 x 17) = 4.10 cm2

(6 # 10)

Para el Centro tenemos que cada nervio es una pequeña viga T, con los siguientes datos:

b

= 73 cm

;

hf / d = 5 / 17 = 0.294

bw = 14

;

F = 74 x 172 = 21 386

hf = 5 d = 17

;

Kn = 1 100 / 21 386 = 0.051

VII − 13

De las tablas para flexión de secciones rectangulares, encontramos que para este valor de Kn, el valor de c/d está comprendido entre 0.028 y 0.042. En todo caso

hf/d

> c/d. Por consiguiente el diseño es como viga rectangular. Se tiene que an = 24.55 ; As = 1 100 / (24.55 x 17) = 2.63 cm2

(1#12 + 1#14)

En resumen, podemos optar por la siguiente armadura de nervios:

# 8 @ 25 cm A

15 cm

5

3 # 10 contínuos + 3 # 10 cortos-alternados

1 # 12 contínuo + 1 # 14 corto 0.40

A

4.80 m

0.40

ARMADURA PARA CADA NERVIO.- Vista longitudinal

# 8 @ 25 cm

15 cm

5

3 # 10 contínuos

1 # 12 contínuo + 1 # 14 corto 60 cm

14

Sección transversal A-A

Armadura de repartición de la losa, en sentido normal a los nervios:

VII − 14

As = 0.002 x 5 x 100 = 1 cm2

;

espaciamiento máximo 5 x 5 = 25 cm.

Dispondremos varillas #8 @ 25 cm.

VII − 15

7.03 LOSAS CRUZADAS Cuando una losa está apoyada en sus cuatro bordes y tiene una limitada proporción de largo a ancho, bajo la acción de las cargas que actúan sobre ella, se deforma en ambas direcciones, y siendo los momentos proporcionales a las deformaciones, se desarrollan entonces momentos flectores en ambas direcciones. El diseño de esta losa debe considerar por tanto la repartición de fuerzas en cada dirección. En el tipo de losas cruzadas se incluyen las apoyadas en muros o vigas, placas planas, losas planas y losas reticulares. LOSAS SOBRE APOYOS NO CEDENTES Estos apoyos son elementos suficientemente rígidos, como muros o vigas, por ejemplo. Consideremos a la losa como formada por dos juegos de fajas, en cada dirección, que se interceptan entre sí. Entonces podemos decir que una parte de las cargas es

B

llevada por un grupo de dichas fajas, y el resto por el otro grupo.

A

Consideremos por ejemplo una losa simplemente apoyada en sus bordes. Las dos fajas centrales actúan cada una como una viga de apoyos simples, que estarán sometidas a la carga proporcional que les corresponde de la carga total que actúa sobre la losa. Desde luego que estas dos fajas imaginarias forman parte de un solo conjunto, la deflexión en su punto de intersección es el mismo, luego podemos escribir

VII − 16

la siguiente ecuación de deflexiones: Δ = 5 wa A4 / (384 EI) = 5 wb B4 / (384 EI) Aquí hemos llamado wa la parte de carga actuante en el sentido corto, y wb el resto de la carga, que actúa en el sentido largo. Por lo tanto: wa / wb = B4 / A4 Observamos que la distribución de la carga es proporcional a la potencia 4a. de la relación de lados o luces, correspondiendo un mayor valor a la luz más corta. Por esto es que a un pequeño incremento de relación largo/ancho, la proporción de la carga en el sentido largo disminuye grandemente. Con referencia a una de estas fajas idealizadas anteriores, y relacionando los bordes de las mismas, observamos lo siguiente: Sea una faja m o p n; En el apoyo las deformaciones de los puntos m y n son iguales ya que son cero; pero a una misma distancia de este borde, en la línea m´ n´, podemos ver que el punto m´ situado en el borde de la faja más cercano al apoyo transversal se deforma menos que el punto n´ situado en el otro borde.

Estas deformaciones diferenciales significa que existe

torsión en la losa, cuya intensidad es variable para cada punto de la superficie, siendo mayor cerca de las esquinas.

m n

m´ n´

o p

VII − 17

Vemos entonces que la carga total de la losa no solo está equilibrada por fuerzas flexionantes, sino también por fuerzas torsionales. Esto explica por qué los momentos flectores reales que ocurren en una losa cruzada, son menores que los que se calcula considerando fajas aisladas con sus respectivas cargas distribuidas wa y wb. Así por ejemplo, en una losa cuadrada simplemente apoyada, tendremos:

wa = wb = w/2 ,

y el máximo momento será: M = (w/2) A2 / 8 = 0.062 w A2 tanto en el uno como en el otro sentido. Pero el análisis de las placas elásticas, más exactamente nos indica que este momento de flexión solo vale 0.048 w A2, indicando que los momentos de torsión alivian los de flexión en un 25% más o menos. Sabemos que a curvaturas más pronunciadas corresponden mayores momentos; por tanto en el sentido corto ocurrirán los momentos de mayor valor. Ahora considerando solo un sentido, es fácil observar que la curvatura en la faja central es mucho mayor que en las fajas cercanas a los bordes, y por tanto también los momentos flectores. Por tanto existe una variación longitudinal de los momentos de flexión en el sentido corto. De igual manera hay una variación transversal de los momentos en el sentido largo. Por lo expuesto, el análisis exacto de las losas cruzadas es bastante complicado, razón por la cual se emplean métodos aproximados, que en todo caso tienen una suficiente exactitud para los casos comunes y corrientes. El criterio general y las regulaciones del Código, establecen que existen realmente acciones estructurales significativas en ambos sentidos, cuando la relación del lado corto sobre el lado largo es igual a por lo menos 0.5. De lo contrario se considera que la acción estructural se desarrolla solamente en el sentido del lado menor.

VII − 18

ARMADURA ADICIONAL EN LAS ESQUINAS EXTERIORES. Debido a ciertos momentos torsionales, en las esquinas exteriores de las losas cruzadas existe la tendencia de fisuración a lo largo de la diagonal del panel, en la cara inferior, y en sentido perpendicular a esta diagonal, en la cara superior. Por esta razón debe proveerse de una armadura especial en estas esquinas, en ambas caras, dentro de una distancia a partir de la esquina, en ambas direcciones, igual a 1/5 de la luz mayor del panel. El refuerzo superior será paralelo a la diagonal y el refuerzo inferior será perpendicular a esta diagonal. La intensidad de estas armaduras será equivalente a la requerida para el máximo momento positivo del panel.

Refuerzo en la cara Superior

VII − 19

Refuerzo en la cara Inferior

7.04 METODO 3 A.C.I. PARA LOSAS CRUZADAS Es un método aproximado para el cálculo de losas en dos direcciones, soportadas por vigas. Es conveniente para losas de cargas y luces pequeñas o moderadas. Hay que tomar en cuenta las siguientes limitaciones: Se aplica a losas macizas o nervadas, aisladas o continuas, apoyadas en todos los 4 lados sobre muros o vigas, construidas en todo caso monolíticamente con las losas. Se considerarán fajas en cada dirección, como sigue: Una faja media, de ancho igual a la mitad del panel, simétrica con la línea central. Una faja de columnas, de ancho igual a las dos cuartas partes de los paneles adyacentes, fuera de la faja central. Cuando la relación del lado corto al lado largo, es menor que 0.5, la faja media en la dirección corta se toma con un ancho igual a la diferencia entre la luz larga y la luz corta; el resto del área se toma como el ancho de las fajas de columnas. El método consiste en aplicar coeficientes tabulados para calcular los momentos flectores y fuerzas cortantes. Tales coeficientes están consignados en cuatro tablas como sigue: TABLA 1

Coeficientes para momentos negativos en los apoyos, en función de la totalidad de la carga, esto es carga muerta más carga viva.

TABLA 2.

Coeficientes para momentos positivos en las fajas centrales, en función de la carga muerta.

TABLA 3

Coeficientes para momentos positivos en función de la sobrecarga viva.

TABLA 4

Coeficientes proporcionales de carga en las dos direcciones.

Los coeficientes están dados en términos de la relación de lados y la naturaleza de los apoyos de la losa.

VII − 20

TABLA 1.-

COEFICIENTES PARA MOMENTOS NEGATIVOS EN LOSAS CRUZADAS (W = CARGA MUERTA + SOBRECARGA VIVA )

Relación m = la/lb

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9

1.00

0.95

0.90

0.85

0.80

0.75

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

Ca.neg

0.045

Cb.neg

0.045

Ca.neg

0.050

Cb.neg

0.041

Ca.neg

0.055

Cb.neg

0.037

Ca.neg

0.060

Cb.neg

0.031

Ca.neg

0.065

Cb.neg

0.027

Ca.neg

0.069

Cb.neg

0.022

Ca.neg

0.074

Cb.neg

0.017

Ca.neg

0.077

Cb.neg

0.014

Ca.neg

0.081

Cb.neg

0.010

Ca.neg

0.084

Cb.neg

0.007

Ca.neg

0.086

Cb.neg

0.006

0.050 0.076

0.083 0.057

0.083

0.086 0.051

0.085

0.088 0.044

0.086

0.091 0.038

0.087

0.093 0.031

0.088

0.095 0.024

0.089

0.096

0.008 0.094

0.022

0.082

0.011 0.092

0.028

0.062

0.015 0.089

0.035

0.079

0.019 0.085

0.043

0.080

0.024 0.081

0.050

0.067

0.029 0.076

0.056

0.075

0.034 0.071

0.061

0.079

0.040 0.066

0.065

0.071

0.045 0.060

0.070

0.071

0.050 0.055

0.072

0.075

0.019 0.090

0.006

VII − 21

0.097 0.014

0.033

0.061

0.061

0.033

0.038

0.065

0.056

0.029

0.043

0.068

0.052

0.025

0.049

0.072

0.046

0.021

0.055

0.075

0.041

0.017

0.061

0.078

0.036

0.014

0.068

0.081

0.029

0.011

0.074

0.083

0.024

0.008

0.080

0.085

0.018

0.006

0.085

0.086

0.014

0.005

0.089

0.088

0.010

0.003

TABLA 2.-

COEFICIENTES PARA MOMENTOS POSITIVOS POR CARGA MUERTA, EN LOSAS CRUZADAS ( W = CARGA MUERTA )

Relación m = la/lb

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9

1.00

0.95

0.90

0.85

0.80

0.75

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

Ca.dl

0.036

0.018

0.018

0.027

0.027

0.033

0.027

0.020

0.023

Cb.dl

0.036

0.018

0.027

0.027

0.018

0.027

0.033

0.023

0.020

Ca.dl

0.040

0.020

0.021

0.030

0.028

0.036

0.031

0.022

0.024

Cb.dl

0.033

0.016

0.025

0.024

0.015

0.024

0.031

0.021

0.017

Ca.dl

0.045

0.022

0.025

0.033

0.029

0.039

0.035

0.025

0.026

Cb.dl

0.029

0.014

0.024

0.022

0.013

0.021

0.028

0.019

0.015

Ca.dl

0.050

0.024

0.029

0.036

0.031

0.042

0.040

0.029

0.028

Cb.dl

0.026

0.012

0.022

0.019

0.011

0.017

0.025

0.017

0.013

Ca.dl

0.056

0.026

0.034

0.039

0.032

0.045

0.045

0.032

0.029

Cb.dl

0.023

0.011

0.020

0.016

0.009

0.015

0.022

0.015

0.010

Ca.dl

0.061

0.028

0.040

0.043

0.033

0.048

0.051

0.036

0.031

Cb.dl

0.019

0.009

0.018

0.013

0.007

0.012

0.020

0.013

0.007

Ca.dl

0.068

0.030

0.046

0.046

0.035

0.051

0.058

0.040

0.033

Cb.dl

0.016

0.007

0.016

0.011

0.005

0.009

0.017

0.011

0.006

Ca.dl

0.074

0.032

0.054

0.050

0.036

0.054

0.065

0.044

0.034

Cb.dl

0.013

0.006

0.014

0.009

0.004

0.007

0.014

0.009

0.005

Ca.dl

0.081

0.034

0.062

0.053

0.037

0.056

0.073

0.048

0.036

Cb.dl

0.010

0.004

0.011

0.007

0.003

0.006

0.012

0.007

0.004

Ca.dl

0.088

0.035

0.071

0.056

0.038

0.058

0.081

0.052

0.037

Cb.dl

0.008

0.003

0.009

0.005

0.002

0.004

0.009

0.005

0.003

Ca.dl

0.095

0.037

0.080

0.059

0.039

0.061

0.089

0.056

0.038

Cb.dl

0.006

0.002

0.007

0.004

0.001

0.003

0.007

0.004

0.002

VII − 22

TABLA 3.-

COEFICIENTES PARA MOMENTOS POSITIVOS POR SOBRECARGA VIVA, EN LOSAS CRUZADAS ( W = SOBRECARGA VIVA )

Relación m = la/lb

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9

Relación m=la/lb

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9

1.00

0.95

0.90

0.85

0.80

0.75

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

9

9

9

9

9

9

9

9

9

Ca.ll

0.036

0.027

0.027

0.032

0.032

0.035

0.032

0.028

0.030

Cb.ll

0.036

0.027

0.032

0.032

0.027

0.032

0.035

0.030

0.028

Ca.ll

0.040

0.030

0.031

0.035

0.034

0.038

0.036

0.031

0.032

Cb.ll

0.033

0.025

0.029

0.029

0.024

0.029

0.032

0.027

0.025

Ca.ll

0.045

0.034

0.035

0.039

0.037

0.042

0.040

0.035

0.036

Cb.ll

0.029

0.022

0.027

0.026

0.021

0.025

0.029

0.024

0.022

Ca.ll

0.050

0.037

0.040

0.043

0.041

0.046

0.045

0.040

0.039

Cb.ll

0.026

0.019

0.024

0.023

0.019

0.022

0.026

0.022

0.020

Ca.ll

0.056

0.041

0.045

0.048

0.044

0.051

0.051

0.044

0.042

Cb.ll

0.023

0.017

0.022

0.020

0.016

0.019

0.023

0.019

0.017

Ca.ll

0.061

0.045

0.051

0.052

0.047

0.055

0.056

0.049

0.046

Cb.ll

0.019

0.014

0.019

0.016

0.013

0.016

0.020

0.016

0.013

Ca.ll

0.068

0.049

0.057

0.057

0.051

0.060

0.063

0.054

0.050

Cb.ll

0.016

0.012

0.016

0.014

0.011

0.013

0.017

0.014

0.011

Ca.ll

0.074

0.053

0.064

0.062

0.055

0.064

0.070

0.059

0.054

Cb.ll

0.013

0.010

0.014

0.011

0.009

0.010

0.014

0.011

0.009

Ca.ll

0.081

0.058

0.071

0.067

0.059

0.068

0.077

0.065

0.059

Cb.ll

0.010

0.007

0.011

0.009

0.007

0.008

0.011

0.009

0.007

Ca.ll

0.088

0.062

0.080

0.072

0.063

0.073

0.085

0.070

0.063

Cb.ll

0.008

0.006

0.009

0.007

0.005

0.006

0.009

0.007

0.006

Ca.ll

0.095

0.066

0.088

0.077

0.067

0.078

0.092

0.076

0.067

Cb.ll

0.006

0.004

0.007

0.005

0.004

0.005

0.007

0.005

0.004

VII − 23

TABLA 4.-

PROPORCION DE CARGA W EN LAS DIRECCIONES La Y Lb PARA CORTE, EN LOSAS CRUZADAS, Y CARGA EN LOS APOYOS

Relación m = la/lb

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9

Relación m=la/lb

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9

1.00

0.95

0.90

0.85

0.80

0.75

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

9

9

9

9

9

9

9

9

9

Wa

0.50

0.50

0.17

0.50

0.83

0.71

0.29

0.33

0.67

Wb

0.50

0.50

0.83

0.50

0.17

0.29

0.71

0.67

0.33

Wa

0.55

0.55

0.20

0.55

0.86

0.75

0.33

0.38

0.71

Wb

0.45

0.45

0.80

0.45

0.14

0.25

0.67

0.62

0.29

Wa

0.60

0.60

0.23

0.60

0.88

0.79

0.38

0.43

0.75

Wb

0.40

0.40

0.77

0.40

0.12

0.21

0.62

0.57

0.25

Wa

0.66

0.66

0.28

0.66

0.90

0.83

0.43

0.49

0.79

Wb

0.34

0.34

0.72

0.34

0.10

0.17

0.57

0.51

0.21

Wa

0.71

0.71

0.33

0.71

0.92

0.86

0.49

0.55

0.83

Wb

0.29

0.29

0.67

0.29

0.08

0.14

0.51

0.45

0.17

Wa

0.76

0.76

0.39

0.76

0.94

0.88

0.56

0.61

0.86

Wb

0.24

0.24

0.61

0.24

0.06

0.12

0.44

0.39

0.14

Wa

0.81

0.81

0.45

0.81

0.95

0.91

0.62

0.68

0.89

Wb

0.19

0.19

0.55

0.19

0.05

0.09

0.38

0.32

0.11

Wa

0.85

0.85

0.53

0.85

0.96

0.93

0.69

0.74

0.92

Wb

0.15

0.15

0.47

0.15

0.04

0.07

0.31

0.26

0.08

Wa

0.89

0.89

0.61

0.89

0.97

0.95

0.76

0.80

0.94

Wb

0.11

0.11

0.39

0.11

0.03

0.05

0.24

0.20

0.06

Wa

0.92

0.92

0.69

0.92

0.98

0.96

0.81

0.85

0.95

Wb

0.08

0.08

0.31

0.08

0.02

0.04

0.19

0.15

0.05

Wa

0.94

0.94

0.76

0.94

0.99

0.97

0.86

0.89

0.97

Wb

0.06

0.06

0.24

0.06

0.01

0.03

0.14

0.11

0.03

VII − 24

EJEMPLO: Método No.3 A.C.I Sea un sistema de piso de hormigón armado a ser construido monolíticamente entre losas y vigas de apoyo. Los paneles tienen como luces 6.50 x 8.00 m. Sección de vigas de apoyo 30 x 60 cm. Las luces netas de cada panel serán 6.20 x 7.70 m. 2

Sobrecarga de servicio 700 Kg/m

2

Resistencia del hormigón f´c = 210 Kg/cm Límite de fluencia del acero 4 200 Kg/cm

2

Diseñar un panel esquinero:

L 6.50 m la = 6.20

lb = 7.70

C

Panel Espquinero

Planta

L

.60

8.00 m

C

.30 Sección

VII − 25

.30

Altura mínima para control de deflexiones.- Según el Código tenemos: hmin = ln (800 + 0.07 fy) / (36 000 + 9 000β) ln = luz neta larga = 7.70

β = luz neta larga / luz neta corta = 7.70 / 6.20 = 1.24 Entonces: hmin = 770 (800 + 0.07 x 4 200) / ( 36 000 + 9 000 (1.24) ) = 18 cm Adoptamos h = 18 cm

;

d = 14 cm.

Peso propio: 0.18 x 2 400 x 1 = 430 Kg/m2 Carga permanente Cargas para el diseño:

D = 87 kg/m2 Wu = 1.2 D + 1.6 L Wu = 1.2 (430 + 87) + 1.6 (700) Wu = 620 + 1120 = 1740 kg/m2

Cálculo de momentos flectores para las fajas medias: relación de lados la / lb = 6.20 / 7.70 = 0.80 Momentos Negativos en bordes continuos: Coeficientes de la tabla 1. -

-

-

-

M a = C a Wu la2 = 0.071 x 1 740 x 6.202 = 4 750 Kg.m M b = C b Wu lb2 = 0.029 x 1 740 x 7.702 = 2 990 Kg.m Momentos Positivos: Coeficientes de las tablas 2 y 3.

VII − 26

M+a-D = 0.039 (620) x 6.202

=

930 Kg.m

M+a-L = 0.048 (1 120) x 6.202

=

2 067 Kg.m ----------------

Total M+a

2 997 Kg.m

M+b-D = 0.016 (620) x 7.702

=

588 Kg.m

M+b-L = 0.020 (1 120) x 7.702

=

1 328 Kg.m ----------------

Total M+b

1 916 Kg.m

Æ

3 000 Kg.m

Æ

1 920 Kg.m

Momentos Negativos en bordes discontinuos: 1/3 de los momentos positivos -

1 000 Kg.m

-

640 Kg.m

M a = 1/3 (3 000) M b = 1/3 (1 920) Cálculo de las armaduras: Sentido Corto Centro del tramo: F = 100 x 142 = 19 600 Kn = 3 000 / 19 600 = 0.153

Æ

ρ = 0.0042

As = 0.0042 x 100 x 14 = 5.88 cm2 ; #10 @ 12 cm Apoyos continuos: Kn = 4 750 / 19 600 = 0.242

Æ

ρ = 0.0067

As = 0.0067 x 100 x 14 = 9.38 cm2 ; #12 @ 12 cm Apoyos discontinuos: 1/3 del centro del tramo: 5.88/3 = 1.96 cm2 As mínimo = 0.0018 x 100 x 18 = 3.24 cm2 máximo espaciamiento entre varillas 2h = 36 cm

VII − 27

Doblando alternadamente las varillas de momento positivo tendremos: #10 @ 24 cm Sentido Largo

; d = 13 cm

Centro del tramo: F = 100 x 132 = 16 900 Kn = 1 920 / 16 900 = 0.114

Æ

ρ = 0.0030

As = 0.0030 x 100 x 13 = 3.90 cm2 ; #10 @ 20 cm Apoyos continuos: Kn = 2 990 / 19 600 = 0.153

Æ

ρ = 0.0042

As = 5.88 cm2 ; #10 @ 12 cm Apoyos discontinuos: As = 3.90/3 = 1.30 cm2 Armadura mínima: As mínimo = 3.24 cm2 ; #10 @ 24 cm Las armaduras indicadas se refieren a las fajas medias, en cada dirección. Para las fajas de columnas consideramos un momento reducido promedio igual a los 2/3, y por tanto, el espaciamiento de varillas será 3/2 que el de las fajas medias. Se tomará en cuenta el límite de espaciamiento. Entonces, para las fajas de columnas tendremos: Sentido corto: Centro del tramo

#10 @ 18

Apoyos continuos

#12 @ 18

Apoyos discontinuos

#10 @ 24

Sentido largo: Centro del tramo

#10 @ 30

Apoyos continuos

#10 @ 18

Apoyos discontinuos

#10 @ 24

VII − 28

ESFUERZO CORTANTE Las reacciones de la losa se calculan mediante la tabla 4, de la cual se deduce que el 71% de la carga se transmite en la dirección corta, y el 29% en la dirección larga: Sentido corto de la losa; carga en la viga larga: (1 740 x 6.20 x 0.71) / 2 = 3 830 Kg/m Sentido largo; carga en la viga corta: (1 740 x 7.70 x 0.29) / 2 = 1 940 Kg/m La fuerza cortante transmitido por la losa a estas vigas, es numéricamente igual a las cargas sobre las vigas, reducidas por las cargas en la distancia d, hasta la sección crítica. La resistencia al corte de la losa vale:

Punto de corte

____ φVc = 0.75 x 0.5 √ 210 x 100 x 13 = 7 065 Kg > 3 830 ok. 2.05 1.00 #10 @ 24 de repartición #12 @ 12. Alternados un largo y un corto

0.18

#10 @ 24

#10 @ 12. Alternados un recto y un doblado

Armadura en el Sentido Largo

6.20

Punto de corte

0.80 Punto de doblado

0.90

Sección C-C Sentido Corto

VII − 29

2.60

1.95

1.30 #10 @ 12. Alternados un largo y un corto

0.18

#10 @ 24

#10 @ 20. Alternados un largo y un corto

Armadura en el Sentido Corto

7.70

Punto de corte

0.95 Punto de corte

0.95

Sección L-L Sentido Largo

Ca

r io r e up s ra #10 a 8 C

8

ra i

nf #1 erio 0 r

As = 8 #10 = 6.28 cm2 7.70 / 5 = 1.55

Refuerzo especial de esquina - PLANTA

VII − 30

7.05 LOSAS APOYADAS EN COLUMNAS El sistema original convencional de una losa apoyada en sus cuatro bordes ha sido generalmente empleado como criterio de diseño de losas cruzadas, de tal manera que un sistema de piso consta de tres elementos estructurales independientes: las losas, las vigas de apoyo y las columnas que a la vez sustenten a las vigas. Actualmente, las vigas dispuestas en la línea de columnas tienden a evitarse, resultado un sistema de piso que consta de losas sólidas apoyadas directamente en columnas, llamadas losas planas. En el primer caso, el elemento estructural de referencia para el análisis es un panel rectangular.

En el caso de losas apoyadas directamente sobre columnas, la

estructura a ser analizada consta de una banda de la losa y de las columnas de apoyo, las cuales forman un pórtico. El sistema de piso puede ser de varios tipos: a) Losas con vigas en la línea de columnas, en ambos sentidos. b) Placas planas. c) Losas planas, con ábacos o capiteles. d) Losas nervadas en ambos sentidos (reticulares) La banda de diseño está definida por la mitad de la luz transversal al sentido del pórtico considerado, a cada lado del eje de columnas. A la vez, dentro de esta banda se considera una faja de columnas y fajas centrales (dos medias fajas, una a cada lado) El ancho de la faja de columnas se toma igual a la mitad de la luz transversal o longitudinal, la que sea menor. La faja media está delimitada por las dos fajas de columnas adyacentes. Desde luego que las líneas de apoyo están dispuestas en los dos sentidos, se analizarán los pórticos en ambos sentidos, tratándose por tanto de un sistema de losas cruzadas.

VII − 31

TIPOS DE LOSAS CRUZADAS

VII − 32

DEFINICIÓN DE FAJAS

VII − 33

7.05.1 LIMITACIONES DE ALTURA PARA LOSAS CRUZADAS Para evitar excesivas deflexiones, el Código A.C.I establece los siguientes espesores mínimos para losas cruzadas. I) Losas planas, sin vigas interiores a) Sin ábacos

12 cm

b) Con ábacos

10 cm

c) Sin ábacos

Fluencia del hierro

Paneles Exteriores

Kg/cm2

Sin Vigas de borde

Con vigas de borde

2 800

ln/33

ln/36

4 200

ln/30

ln/33

Con ábacos Paneles Interiores

Paneles Exteriores

Paneles Interiores

Sin Vigas de borde

Con vigas de borde

ln/36

ln/36

ln/40

ln/40

ln/33

ln/33

ln/36

ln/36

II) Losas con o sin vigas entre los apoyos, en todos los lados, y con una relación de la luz larga a la luz corta, no mayor que 2. hmin = ln (800 + 0.07 fy) / ((36 000 + 5 000 β (αm - 0.2)) ; para 0.2 < αm < 2.0 Pero no menor que: h = ln (800 + 0.07 fy) / (36 000 + 9 000 β) ; para αm > 2

β = luz neta larga/luz neta corta ; αm = promedio de α en todos los bordes α = E Ir / (E I l1) = Rigidez de la viga / Rigidez de la losa

VII − 34

36 34

Placas Planas

32

Placas Planas con vigas de borde * y Losas Planas

30 28

Losas Planas con vigas de borde *

26 24 22 20 18 16 Losas con vigas en ambos sentidos (β = 1) * **

14 12

Losas con vigas en ambos sentidos (β = 2) * **

10 8 3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

LUZ LIBRE MAYOR ln - Metros ** αm > 2.0 * Relación de rigideces: Viga de Borde/losa ≥ 0.8 = α

GRAFICO PARA CALCULAR LA ALTURA MINIMA DE LOSAS CRUZADAS

Para losas sin vigas, pero con ábacos que se extiendan en cada dirección, desde el centro de los apoyos, una distancia no menor que 1/6 de la luz entre centros de apoyos, y con una proyección por debajo de la losa de por lo menos ¼ del espesor de la losa, los espesores requeridos en las ecuaciones anteriores se pueden reducir en un 10%. En los bordes discontinuos, se debe proveer de una viga de borde con una relación de

VII − 35

rigideces α no menor que 0.80, o sino el espesor mínimo requerido por las ecuaciones anteriores se incrementará en por lo menos un 10%, en el panel con borde discontinuo. C L l/6

l/6

en c/dirección _ 1.25 h h1 > 2

h2

d2/2

d1/2

Secciones críticas para punzonamiento DETALLES DEL ABACO

l2

C L

C L Losa Is hf

h

Viga Ib b _ b + 8 hf b + 2 (h-hf) < l2

C L

_ b + 4 hf b + (h-hf) < Losa Is hf h Viga Ib b

SECCIONES EFECTIVAS DE LOSAS Y VIGAS PARA EL CÁLCULO DE LA RELACIÓN α

VII − 36

RIGIDECES DE VIGAS INTERIORES

VII − 37

RIGIDECES DE VIGAS DE BORDE

VII − 38

7.05.2 PROVISIONES PARA EL ESFUERZO CORTANTE EN LOSAS En las losas armadas en una sola dirección, se aplican los requerimientos establecidos para miembros en flexión, ya que la acción flexionante es principalmente en una dirección; esto es, las losas se tratan análogamente a las vigas. Cuando la acción cruzada es el principal comportamiento de las losas, como en el caso de losas planas, entonces el mecanismo de falla cambia al “punzonamiento”, por lo que es necesario un análisis de diseño diferente. Aún cuando se considera una viga ancha para el cortante, debe asegurarse que las limitaciones establecidas en el Código no se exceden. Las áreas tributarias y las secciones críticas correspondientes al esfuerzo cortante perimetral y al esfuerzo cortante flexionante de una viga ancha, se indican en el gráfico siguiente. El esfuerzo cortante en losas cruzadas está afectado por las siguientes variables principales: 1) Resistencia del concreto 2) La relación entre las dimensiones del área cargada y el espesor de la losa 3) Relación de área cargada (forma del área) 4) Relación del área en el perímetro crítico 5) Relación de la fuerza cortante al momento flector en la conexión losa-columna Estas variables son tomadas en cuenta para formular la resistencia del hormigón al esfuerzo cortante de punzonamiento Las condiciones de diseño establecen que: Vu ≤ φ Vc

;

___ Vc = 0.5 √ f ’c l2d

para cortante flexionante.

VII − 39

Para punzonamiento:

Vc = el menor valor de

___ (0.5 + 1/βc) √ f ´c b0 d

⎧ ⎟ ⎨ ⎟ ⎩

___ ((0.25 αs d / b0) + 0.5) √ f ´c b0 d ___ √ f´c b0 d

Vu = Carga total factorada en toda el área correspondiente b0 = Perímetro de la sección crítica

βc = lado largo / lado corto del área de la reacción (apoyo) ⎧ 40 para columnas interiores

αs = ⎨ 30 para columnas de bordes ⎩ 20 para columnas esquineras El incremento de la resistencia al corte se puede alcanzar por una o varias de los siguientes procedimientos: a) Aumentando la resistencia f ´c del hormigón b) Aumentando el espesor de la losa c) Introduciendo capiteles en las columnas d) Introduciendo ábacos en la losa e) Usando armadura de refuerzo Para el diseño de la armadura para cortante en losas, debe tenerse en cuenta las siguientes expresiones: La fuerza cortante nominal vale: Vn = Vc + Vs ___ El máximo valor de Vc = 0.5 √ f ´c b0 d ___ El máximo valor de Vn ≤ 1.5 √ f ´c b0 d Vs = Av fy d / S

VII − 40

O en términos del esfuerzo unitario, para losas armadas al esfuerzo cortante mediante varillas o mallas, se tendrá: ___ ___ vu ≤ φ (vc + vs) = φ (0.5 √ f ´c + (Av fy / b0 S)) ≤ 1.5 √ f ´c La armadura Av correspondiente a un lado de la columna se puede determinar separadamente usando un ancho efectivo = c + d : Av (c/lado) = (vu - φ vc) b0 S / (φ fy) El refuerzo para cortante puede terminarse en un perímetro donde ___ φ vc = φ 0.5 √ f´c ≥ vu En un sistema de losas con vigas, cuando se tenga la condición α1 l2 / l1 ≥ 1.0 las vigas deben ser capaces de resistir las fuerzas de corte provocadas por las cargas en una área tributaria definida por diagonales a 45°, trazados desde los extremos. Para valores α1 l2 / l1 comprendidos entre 1.0 y 0, la proporción de carga llevada por la viga se encuentra por interpolación lineal.

El resto de la carga se asume que es

transmitida directamente por la losa a las columnas, en las 4 esquinas del panel.

A

C

l2

45°

B

D

l1

VII − 41

C L

l1

c+d C L

Sección crítica para punzonamiento

l2 Sección crítica para cortante flexionante Viga ancha

C L

d c

Area tributaria para punzonamiento Area tributaria para cortante flexionante (Viga ancha)

columna esquinera

C L panel

columna de borde

columna interior

perímetro crítico para corte

área efectiva para corte directo

SECCIONES CRÍTICAS PARA RESISTENCIA AL CORTE DE LOSAS VII − 42

EJEMPLO DE APLICACIÓN: Esfuerzo cortante de losas Sea un panel interior de una placa plana, apoyada en columnas cuadradas de 25 x 25 cm. Analizar esta losa por esfuerzo cortante. Datos:

L1 = 4.50 m ; L2 = 5.50 m Carga de diseño

Wu = 1 900 Kg/m2

Altura útil de la losa

d = 16 cm

Resistencia del Hormigón

f ´c = 210 Kg/cm2

Fluencia del Acero

fy = 4 200 Kg/cm2

I) Cortante Flexionante: Área: [2.25 - (0.16 + 0.125)] 5.50 = 10.81 Fuerza Cortante: Vu = 10.81 x 1 900 = 20 539 Kg Esfuerzo Nominal: vu = V / (φ bd) = 20 539 / (0.85 x 550 x 16) = 2.75 Kg/cm2 ___ Esfuerzo permisible: ve = 0.5 √210 = 7.24 Kg/cm2 > 2.75

o.k.

El esfuerzo cortante flexionante no es crítico. II) Esfuerzo Cortante de punzonamiento: Área: (4.50 x 5.50) - (0.41)2 = 24.59 Corte: Vu = 24.59 x 1 900 = 46 720 Kg Comprobamos la resistencia: b0 = 4 x 41 = 164 cm Fuerza permisible Vc: ___ 1) βc = 25 / 25 = 1.0 ; Vc = (0.5 + 1/1) √210 x 164 x 16

=

57 038 Kg

2) Vc = ((0.25 x 40 x 16 / 164) + 0.5) 38 025

=

56 110 Kg

VII − 43

___ 3) Vc = √210 x 164 x 16

=

38 025 Kg

38 025 < 46 720 Por tanto debemos incrementar la resistencia al corte por punzonamiento de la losa. Consideremos una armadura mediante cercos. Resistencia nominal: Vn = Vu / φ = 46 720 / 0.85 = 55 000 Kg ___ Resistencia del hormigón: Vc = 0.5 √ f ´c b0 d = 0.5 x 38 000 = 19 000 Kg Fuerza cortante para la armadura: Vs = Vn - Vc = 55 000 - 19 000 = 36 000 Kg Comprobación del máximo valor de Vn: ___ Vn ≤ 1.5 √ f ´c b0 d = 1.5 x 38 000 = 57 000 Kg > 55 000 o.k. Armadura: Av = Vs S / (fy d) ; espaciamiento máximo S = d / 2 = 8 cm Av = 36 000 x 8 / (4 200 x 16) = 4.28 cm2 Como la columna interior tiene 4 caras, la armadura en la línea normal a cada cara será Av = 4.28 / 4 = 1.07 cm2 cada cara. Adoptamos cercos #8 @ 8 cm (2 #8 = 1.00 cm2) Calculemos ahora la longitud en la cual se deben colocar los estribos. vc = vu / (φ b0 d)

_

_

vc = vu / (4φ (25 + a√2) d) ; b0 = 4 (25 + a√2) _ _ a = vu / (4φ √2 vc d) - 25 / √2 _ _ a = 46 720 / (4 x 0.85 √2 x 7.24 x 16) - 25 / √2 a = 66.17 cm

VII − 44

_

aV

2

25

a

Extendemos una distancia de d = 16 más allá del punto teórico; tendremos entonces 11 #8

@8

Se usarán cercos cerrados

13 cm

25 cm

VII − 45

7.05.3 ABERTURAS EN LAS LOSAS Es inevitable que en un sistema de losas ocurran aberturas mayores o menores, para alojar circulaciones verticales tales como escaleras y ascensores, o ductos, drenajes, ventilación, etc. En todo caso, se deben cumplir con todos los requerimientos de resistencia y funcionalismo. El Código permite aberturas sin necesidad de hacer análisis especiales, siempre que se cumplan las siguientes limitaciones: 1) Un octavo del ancho de cada faja de columnas, dentro del área común a dos fajas de columnas. 2) Un cuarto del ancho de cada una de las fajas, en el área común a una faja de columna y a una faja media. 3) Cualquier dimensión de abertura situada en el área común a dos fajas medias. La condición de resistencia a la flexión establece que el área de acero en tensión que debe ser interrumpida por la abertura, tiene que ser mantenida, mediante la provisión de una armadura adicional en todos los lados del hueco. Se puede ejecutar aberturas más grandes que las mostradas, pero es necesario realizar un análisis estructural adecuado. Generalmente las aberturas grandes se enmarcan en vigas soportantes.

VII − 46

faja de columnas

Barras interrumpidas Barras sustitutivas faja de faja de faja columnas columnas media C4

faja media

3

b

faja de columnas

a

b

D=a=b

m2

1 2

a

C3

b

a

C1

m1

C2

ABERTURAS EN SISTEMAS DE LOSAS SIN VIGAS

HUECO 1

DIMENSIONES a ≤ 1/8 C1 b ≤ 1/8 C3

2

a ≤ 1/4 m1 b ≤ 1/4 C3

3

a ≤ m1 b ≤ m2

VII − 47

El efecto de las aberturas en la capacidad del esfuerzo cortante, se debe investigar bajo las siguientes circunstancias: a) Cuando el hueco está localizado a una distancia menor que 10 veces el espesor de la losa, desde una carga concentrada o reacción. b) Cuando el hueco está localizado dentro de una faja de columnas de una losa plana. En estos casos, la parte de la periferia de la sección crítica para corte, que está comprendida entre proyecciones radiales del hueco hacia el centroide del área cargada, se considerarán inefectivas para el equilibrio de las fuerzas de corte.

inefectivo inefectivo

d/2

inefectivo

d/2

d/2

inefectivo

Secciones críticas para corte, reducidas por aberturas

VII − 48

7.05.4 TRANSFERENCIA DE MOMENTOS EN LAS CONEXIONES LOSA-COLUMNAS Las cargas transferidas directamente entre una losa y una columna, en un sistema de losa plana, esto es sin vigas, constituyen una de las condiciones más críticas para el diseño, en especial la resistencia al corte en las zonas de las columnas exteriores, debido a que el momento negativo total de la losa debe ser transferido directamente a la columna.

Cuando existen vigas, la transferencia de cargas de la losa a las

columnas es mucho menos crítica. El Código especifica que el momento no balanceado en un apoyo de losa sobre columna, sin vigas, debe ser transferido de la losa a la columna por excentricidad del corte y por flexión. Se asume que la transferencia del cortante ocurre en la sección crítica distante d/2 de la cara de la columna, mientras que la fracción del momento no balanceado transferido por flexión es resistido por un ancho de la losa igual al ancho transversal de la columna c2 más 1.5 la altura de la losa a cada lado de la columna: ancho de transferencia = c2 + 2 (1.5h) La fracción del momento no balanceado transferido por excentricidad del corte es:

γv = 1 - γ γf es la fracción transferida por flexión y vale: ____ γf = 1 / ((1 + (2/3)) √b1/b2) b1 y b2 son las longitudes del perímetro crítico de punzonamiento, para transferencia de momento. Cuando se calcula el momento no balanceado con relación a un eje paralelo al borde de un apoyo exterior, esto es la flexión perpendicular al borde, se permite tomar

γv

= 0, o lo que es lo mismo γf = 1.0 supuesto que Vu ≤ 0.75 φVc, en un apoyo de borde, o Vu ≤ 0.50 φVc en un apoyo de esquina. En un apoyo interior y para momentos no balanceados con relación a un eje

VII − 49

transversal al borde de un apoyo exterior, el valor de γf puede ser incrementado en un 25% siempre que Vu no exceda el 40% de φVc. Las modificaciones anteriores se permiten solamente cuando la relación de refuerzo dentro del ancho efectivo requerido para desarrollar el momento γf Mu no pase de 0.375 ρb. El esfuerzo cortante factorado en la sección crítica de transferencia es igual a la suma de los esfuerzos causado por el esfuerzo cortante y por la transferencia del momento no balanceado, como sigue: vu1 = (Vu / Ac) + (γv Mu c / U) vu2 = (Vu / Ac) - (γv Mu c´ / U)

b2

b2

b1

b1

b2

b2

b1

b1

Dirección de transferencia de Momentos

PARÁMETROS b1 y b2

VII − 50

Fa ja de co lu m na s

γf

(0 .

26

M

0)

An ch m pa o e om ra fe en tra ctiv to ns o po fer de r f ir Lo lex el sa ió n

(0 .

26

M

0)

c

Transferencia por Flexión (1-γf) (0.30M0) Transferido por excentricidad de corte h

TRANSFERENCIA DEL MOMENTO NEGATIVO EN EL APOYO EXTERIOR LOSAS SIN VIGAS

Vu

Vu

γvMu

γvMu

b2

b2

b1

b1 c´

c´

c

c

c = c´

Vu2

Vu2 Vu1 (a) Columna de borde

Vu1 (b) Columna interior

DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZO CORTANTE EN LA TRANSFERENCIA LOSA-COLUMNA

VII − 51

Columna de borde {Momento paralelo al borde}

Columna interior

c

b

b

1

c

= c c´ 1 + d

γvMu

1

c

γvMu

= c c´ 1 + d

c

1

c2

1

c2

b2 = c2 + d/2

b2 = c2 + d

Caso A

Caso B

Columna de borde {Momento perpendicular al borde}

Columna de esquina

c

c

1

c2

1

c2

c´ +d /2

γvMu

1

1

b

b

b2 = c2 + d

=c

c

=c 1

c

1

c´ +d /2

γvMu

b2 = c2 + d/2

Caso C

Caso D

VII − 52

Caso

A

B

C

D

Área de la Sección, Ac

Módulos de la Sección crítica

J/c

J/c´

c

c´

(b1+2b2)d

b1d(b1+6b2)+d3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6

b1d(b1+6b2)+d3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6

b1 ⎯⎯ 2

b1 ⎯⎯ 2

2(b1+b2)d

b1d(b1+3b2)+d3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3

b1d(b1+3b2)+d3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3

b1 ⎯⎯ 2

b1 ⎯⎯ 2

(2b1+b2)d

2b21d(b1+2b2)+d3(2b1+b2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6b1

2b21d(b1+2b2)+d3(2b1+b2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6(b1+b2)

b21 ⎯⎯⎯ 2b1+b2

b1(b1+b2) ⎯⎯⎯⎯ 2b1+b2

(b1+b2)d

b21d(b1+4b2)+d3(b1+b2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6b1

b21d(b1+4b2)+d3(b1+b2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6(b1+2b2)

b21 ⎯⎯⎯⎯ 2(b1+b2)

b1(b1+2b2) ⎯⎯⎯⎯⎯ 2(b1+b2)

PROPIEDADES DE LAS SECCIONES PARA EL CALCULO DE ESFUERZOS CORTANTES

VII − 53

D

c

D

+d

c´

γvMu

d Ac = π (D+d) d c = c ´= (D+d)/2 J/c = πd ((D+d)/2)2 + d3/3

PROPIEDADES DE LA SECCIÓN CIRCULAR PARA COLUMNA INTERIOR

b2 / b1 0

100

10

80

γv - % por cortante

γf - % por flexión

0

40 60

0.2

60

0.4

0.6

0.8

1.0

0.6

0.8

1.0

for b1 _ > b2

40

80

20

100

0

for b1 _ < b2

0

0.2

0.4

b1 / b2 SOLUCIÓN GRÁFICA PARA COEFICIENTES γ

VII − 54

7.06 MÉTODO DIRECTO PARA LOSAS CRUZADAS Es un método aproximado para analizar sistemas de pisos con losas cruzadas, con o sin vigas, sujeto a cargas de gravedad solamente. Si la estructura está sometida también a cargas horizontales, sus efectos deben ser calculados por otro método adecuado, efectos que pueden ser superpuestos con los obtenidos por el método Directo para el diseño final. Como primer paso en el análisis estructural, es necesario determinar el espesor mínimo de la losa para control de deflexiones. En sistemas de losas planas, conviene luego comprobar la resistencia al esfuerzo cortante de la losa en las vencidades de las columnas u otros apoyos. El método Directo consiste principalmente en dar tres pasos: 1) Calcular el momento estático total en cada panel; 2) Dividir este momento estático en momentos negativos y positivos, en cada panel; 3) Distribuir a la vez estos momentos entre las fajas de columnas y las fajas medias, en la dirección transversal. Siendo éste un método aproximado, es válido dentro de ciertas limitaciones: a) Deben haber por lo menos 3 claros continuos, en cada dirección. b) Los paneles deben ser rectangulares, con una relación del lado mayor al lado menor, no mayor que 2. c) Las longitudes de tableros sucesivos, en una dirección no deben variar en más de un tercio de la longitud del tablero mayor. d) Las columnas pueden estar desalineadas en un máximo del 10% del claro desde el eje de columnas. e) La carga viva no debe exceder 2 veces la carga muerta.

f) Cuando un tablero está apoyado sobre vigas, en todos sus lados, la rigidez

VII − 55

relativa de las vigas, en dos direcciones perpendiculares, debe cumplir con: 0.2 ≤ α1 l22 / α2 l21 ≤ 5.0 l1 = luz del claro en la dirección que se consideran los momentos. l2 = luz del claro transversal a L1.

α = E Iv / E I1 = relación de la rigidez flexionante de la viga, a la rigidez flexionante de la losa.

La losa se toma de un ancho

limitado por los ejes centrales de los tableros adyacentes. Para calcular el momento estático total, se toma la luz neta ln, que es la distancia entre caras de columnas, bordes de capiteles, caras de muros, etc., pero que no será menor que 0.65 l1. El momento estático total de un claro, para una faja comprendida entre líneas centrales de paneles adyacentes, vale: M0 = wu l2 l2n / 8 Este momento debe ser dividido entre momentos positivos y negativos, para las secciones críticas. La sección crítica de apoyos se toma al borde de las caras de los apoyos rectangulares; si se tienen columnas redondas, se considera para este propósito, una columna de sección cuadrada de igual sección. Para tramos interiores, esta división se hace como sigue: -

Momento negativo de diseño

M = 0.65 M0

Momento positivo de diseño

M+ = 0.35 M0

VII − 56

Distribución de M0 en un Panel Exterior:

‘

’

con Momento Losas simple- Losas Factorado mente apoya- vigas das en muros c/sentido

“

”

Losas Planas

•

Sin viga de Borde

Con viga de Borde

Losa monolítica con muro de concreto

Negativo Interior

0.75

0.70

0.70

0.70

0.65

Positivo

0.63

0.57

0.52

0.50

0.35

Negativo Exterior

0

0.16

0.26

0.30

0.65

Para losas planas, que se apoyan sobre columnas directamente sin vigas, la transferencia de carga entre losa y columna es una de las condiciones más críticas en el diseño del sistema. Para determinar la fracción del momento no balanceado y transferido por excentricidad del corte, se considera un momento igual a 0.3 M0. El refuerzo total provisto en la faja de columnas incluye el refuerzo adicional concentrado sobre la columna para resistir la fracción del momento no balanceado transferido por flexión,

γf = γf (0.26 M0). MOMENTOS EN LAS FAJAS DE COLUMNAS. Las intensidades de los momentos a ser resistidos por las fajas de columnas dependen de la relación relativa de las rigideces de viga a losa y de la relación del ancho del panel a la longitud en la dirección del análisis. Una excepción es cuando el apoyo tiene un amplio ancho transversal. Cuando el ancho transversal de un apoyo es igual o mayor que ¾ del ancho de la faja de diseño, se requiere que el momento negativo se distribuya uniformemente en la faja de diseño.

VII − 57

Porcentajes del momento de diseño, para la Faja de columnas 0.5

1.0

2.0

α1 l2/l1 = 0

75

75

75

α1 l2/l1 ≥ 1.0

90

75

45

⎧β t = 0 ⎨ ⎩βt ≥ 2.5

100

100

100

75

75

75

⎧β t = 0 ⎨ ⎩βt ≥ 2.5

100

100

100

90

75

45

α1 l2/l1 = 0

60

60

60

α1 l2/l1 ≥ 1.0

90

75

45

l2 / l 1 Momento Negativo Interior:

Momento Negativo Exterior:

α1 l2/l1 = 0

α1 l2/l1 ≥ 1.0

Momento Positivo:

La capacidad torsional de las vigas de bordes está dada por el siguiente parámetro βt:

βt = Ev C / (2 El Il) = Rigidez torsional de viga / Rigidez flexionante de losa Il = l2 h3 / 12 ;

C = Σ (1 - 0.63x / y) (x3 y / 3)

x = la menor dimensión ; y = la mayor dimensión MOMENTOS EN LAS VIGAS. Cuando existen vigas apoyadas en las columnas, el momento asignado a la faja de columnas debe distribuirse entre la losa y la viga proporcionalmente a la relación

α1 l2 / l1, entre los valores cero (0) y uno (1.0), siendo la variación del porcentaje para viga de 0% hasta 85%: si α1 l2 / l1 > 1.0 el porcentaje para la viga sigue siendo 85%. Además, la viga debe resistir los esfuerzos causados por las cargas aplicadas

VII − 58

directamente sobre ella, incluyendo su peso propio. MOMENTOS EN LAS FAJAS MEDIAS. Los momentos no asignados a las fajas de columnas deben ser resistidos por las dos medias fajas comprendidas en la faja de diseño.

Se exceptúa una faja media

adyacente y paralela a un apoyo exterior constituido por un muro o tabique, caso en el cual el momento a ser resistido es el doble del momento asignado a la media faja correspondiente a la primera fila interior de los apoyos. MOMENTOS EN COLUMNAS Y MUROS. En las construcciones cruzadas, el diseño de columnas debe incluir los momentos encontrados en el sistema de viga-losa. La columna que soporta una viga de bordes debe desarrollar un momento resistente igual al momento aplicado desde el borde de la losa. Según el Código, las columnas interiores deben resistir un momento de: M = 0.07 [ (wd + 0.5 wl) l2 l2n – w’d l’2 (l’n)2 ] w’d, l’2, l’n (‘) se refieren al tramo más corto de dos tramos adyacentes. wd = carga muerta factorada

;

wl = carga viva factorada

Este momento se distribuye entre la columna superior e inferior.

VII − 59

Ubicación

FAJA

EXTENCIÓN MÍNIMA DE LA ARMADURA EN LOSAS PLANAS

MINIMO % As

SIN ÁBACOS

TOPE

50 % El Resto

0.30 ln

0.20 ln

0.20 ln

50 % El Resto

Por lo menos 2 barras continuas o ancladas

100 % 50 % El Resto

0.33 ln

0.33 ln

0.20 ln

0.20 ln

Max 0.125 l1

24 db o 30 cm todas

15 cm

15 cm

TOPE

BASE

8 cm max

BASE

FAJA MEDIA

FAJA COLUMNAS

0.30 ln

CON ÁBACOS

Filo de ábaco

Max 0.125 l1 0.22 ln

0.22 ln

Max 0.15 l

0.22 ln

15 cm

0.22 ln

Max 0.15 l

15 cm

C1

15 cm

C1 Luz neta - ln Filo de Apoyo Centro a centro - l

C1 Luz neta - ln Filo de Apoyo Centro a centro - l C L Interior (apoyo)

C L Exterior (apoyo)

Losa continua

Losa discontinua

VII − 60

L Exterior (apoyo) C Losa discontinua

7.06.1 EJEMPLO 1. MÉTODO DIRECTO PARA LOSAS PLANAS

5.50 5.50 5.50

4.30

4.30

4.30

4.30 Banda de diseño PLANTA TÍPICA DE UN EDIFICIO RESIDENCIAL

Datos:

Altura entre pisos

2.75 m

Sección de columnas

40 x 40 cm

Empujes laterales serán resistidos por muros de cortante Peso de particiones

180 Kg/m2

Carga viva de servicio

220 Kg/m2

f´c =

210 Kg/cm2 para la losa

f´c =

350 Kg/cm2 para las columnas

f y = 4 200 Kg/cm2

VII − 61

1) Calculamos la altura mínima de la losa: a) Para control de deflexiones hmin = ln / 30 = 510 / 30 = 17 cm Tomemos h = 18 cm para todos los paneles Mínimo para losas planas 12 cm

; d = 14 cm

ok. (sin ábacos)

Peso propio: 0.18 x 2 400 = 430 Kg/m2 Cargas de diseño:

Muerta

WD = (430 + 180) 1.2

=

730 Kg/m2

Viva

WL = 220 x 1.6

=

360 Kg/m2

Wu =

= 1 080 Kg/m2

⎯⎯⎯⎯

b) Resistencia la corte. Considerando una acción de viga ancha, y tomando la mitad de ancho, tendremos, a la distancia d del borde de la columna: vu = Vu / (φ bd) = 1 080 x 2.41 / (0.75 x 100 x 14) = 2.5 kg/cm2 ___ 2.5 < 0.5 √210 ok. 5.50

4.30

.54

.40

cL Panel

d cL

2.41

Considerando una acción cruzada o de punzonamiento, tendremos que a una distancia d/2 alrededor de la columna, el punzonamiento vale: Vu = 1 080 [ (4.30 x 5.50) - 0.542 ] = 25 230 Kg

___ vu = Vu / (φ b0 d) = 25 230 / (0.85 x 4 x 54 x 14) = 11 Kg/cm < √210 ok. 2

Este diseño preliminar nos muestra que una altura total de la losa de 18 cm es

VII − 62

adecuada para el control de deflexiones y resistencia al corte. 2) Comprobamos las limitaciones para usar el Método Directo: Hay por lo menos tres tramos continuos en cada dirección. La relación de la luz larga a la luz corta es 1.28 < 2.0. Las luces de tramos sucesivos son iguales. Las columnas no están desviadas de la línea de Apoyo. Las cargas son uniformemente distribuidas, con una relación de carga viva sobre carga muerta: 220 / 610 = 0.36 < 2.0. El sistema es de losa plana (sin vigas). 3) Momentos flectores Momento estático total, por panel: M0 = Wu l2 ln2 / 8 = 1 080 x 4.30 x 5.102 / 8 = 15 100 Kg m Para tramos interiores: -

Momentos de Apoyo (Negativos):

M A = 0.65 M0

=

- 9 815 Kg m

Momento al Centro (Positivo):

M⊄ = 0.35 M0

=

5 285 Kg m

Para tramos exteriores: -

Apoyo exterior (Negativo):

M A-e = 0.26 M0

=

- 3 926 Kg m

Centro (Positivo):

M⊄ = 0.52 M0

=

7 850 Kg m

Apoyo interior (Negativo):

M A-i = 0.70 M0

l1 / l2 = 5.50 / 4.30 = 1.28

;

-

l2 / l1 = 4.30 / 5.50 = 0.78

VII − 63

= - 10 570 Kg m

4) Distribución de Momentos, en fajas

Sección

Momentos

Faja de Columnas %

Momento

Faja Media (Dos medias fajas)

Tramo Exterior - Apoyo Exterior

3 926

100 %

3 926

---

+ ⊄ Tramo

7 850

60 %

4 710

3 140

- Apoyo Interior

10 570

75 %

7 927

2 643

- Apoyo

9 815

75 %

7 361

2 454

+ ⊄ Tramo

5 285

60 %

3 171

2 114

Tramo Interior

5)

Medias Fajas Centrales 2 x 1.075

Faja de Columnas

2.15 4.30

ANCHO DE FAJAS 6) Momentos en Columnas Columnas Interiores: (Tramos adyacentes iguales) M = 0.07 (0.5 WL l2 ln2) M = 0.07 (0.5 x 340 x 4.30 x 5.102) = 1 330 Kg m

VII − 64

En el supuesto que las dimensiones de las columnas son iguales por encima y por debajo del piso considerado, el momento en cada columna será: Mc = 1 330 / 2 = 665 Kg m Este momento, combinado con la carga axial del respectivo piso, servirá para diseñar las columnas interiores. Columnas Exteriores: El momento total del apoyo exterior debe ser transferido a las columnas: M = 3 926 Para columnas iguales hacia arriba y hacia abajo, tendremos: Mc = 3 926 / 2 = 1 963 Kg m Este momento se combinará con la correspondiente carga axial. 7) TRANSFERENCIA DE ESFUERZOS ENTRE LOSA Y COLUMNAS EXTERIORES a) Fuerza cortante transferida a la columna exterior: Vu = wu l1 l2 / 2 = 1 080 x 5.50 x 4.30 / 2 = 12 770 Kg b) La fracción del momento no balanceado, transferido por excentricidad del Corte, debe basarse en el valor 0.3 M0. El refuerzo total colocado en la faja de columnas incluye el refuerzo adicional concentrado sobre la columna, para resistir la fracción del momento no balanceado transferido por flexión, γf Mu. Armadura mínima para la faja media: As-min = 0.0018 b h = 0.0018 x 215 x 18 = 7.02 cm2 Ancho de la faja media: 4.30 / 2 = 2.15 m Espaciamiento máximo de varillas Smx = 2 h = 36 cm Número de varillas requeridas = 215 / 36 = 6 Armadura por flexión: F = bd2 = 215 x 142 = 42 140 ; Mu = 3 926 Kg m

VII − 65

Kn = Mu / F = 3 926 / 42 140 = 0.0932 → ρ = 0.0025 As = ρ bd = 0.0025 x 215 x 14 = 7.56 cm2 No. de varillas: 7.56 / 1.13 = 6.7 ∼ 7 varillas Espaciamiento máximo 36 cm Adoptamos 7 #12 mm @ 36 cm Para la faja media empleamos 6 #12 @ 36, que corresponde a la armadura mínima. Ancho de la sección de transferencia: c + 2 (1.5h) 40 + 2 (1.5 x 18) = 94 cm Se requiere un refuerzo adicional sobre la columna, dentro de este ancho efectivo de transferencia, para resistir una fracción del momento no balanceado, transferido por flexión. Esta fracción vale: _____ γf = 1 / [ 1 + 2/3 √ b1/b2 ] b1 = c1 + d/2 = 40 + 14/2 = 47 cm b2 = c2 + d

= 40 + 14

b1/b2 = 47/54

= 54 cm = 0.87

____ γf = 1 / [ 1 + 2/3 √ 0.87 ] = 0.62 El momento γf Mu = 0.62 x 3 926 = 2 434 Kg m debe ser transferido por flexión dentro del ancho efectivo de transferencia de 94 cm.

VII − 66

9 #12

Faja de Columnas (2.15)

(0.94)

Dos varillas adicionales Ancho efectivo de la losa para transferencia de momento, por flexióm

Banda de Diseño (4.30)

Comprobamos el momento resistente para 5 varillas φ12 mm, en un ancho de 0.94 m: As = 5 #12 = 5.65 cm2

;

ρ = 5.65 / (94 x 14) = 0.00429

Con este valor, se lee en las tablas de Flexión Simple Kn = 0.154 F = 94 x 142 = 18 420 Mu = Kn F = 0.154 x 18 420 = 2 840 Kg m > 2 434 ok. La fracción del momento no balanceado y transferido por excentricidad del cortante, se debe basar en el momento: Mu = 0.3 M0 = 0.3 x 15 100 = 4 530 Kg m c) Esfuerzo cortante combinado en la cara interior de la sección crítica de transferencia vu = (Vu / Ac) + [ γvMu / (V/c) ]

VII − 67

Vu = 12 770 Kg Ac = (2a + b) d ; a = c1 + d/2

; b = c2 + 2 d/2

a = 40 +7 = 47 cm ; b = 40 + 14 = 54 cm Ac = (94 + 54) 14 = 2 072 cm2

γv = 1 - γf = 1 - 0.60 = 0.40 J/c = [2ad (a + 2b) + (d3 (2a + b) / a) ] / 6 J/c = [2 x 47 x 14 (47 + 108) + (143 (94 + 54) / 47) ] / 6 = 35 437 cm3 vu = (12 770 / 2 072) + 0.40 (4 530 x 100 / 35 437) = 6.16 + 5.11 vu = 11.27 Kg/cm2 d) Esfuerzo cortante combinado en la cara exterior de la sección crítica de transferencia vu = (Vu / Ac) - [ γvMu / (J/c´) ] c = a2 / (2a + b) = 472 / (2 x 47 + 54) = 14.9 cm c´ = a - c c´ = 47 - 14.9 = 32.10 cm J/c´ = J/c x c/c’ = 35 437 x 14.9/32.1 = 16 449 cm3 vu = (12 770 / 2072) - 0.40 (4 530 x 100 / 16 449) = 6.16 - 11.02 vu = 4.86 Kg/cm2 e) Esfuerzo cortante permisible:

___

___

φ vu = φ 1.1 √ f ´c = 0.75 x 1.1 √ 210 = 13.55 Kg/cm2 12 > 11.27 ok.

VII − 68

Ejemplo 2. MÉTODO DIRECTO PARA LOSAS CON VIGAS

N O

E

5.30 m

5.30 m

5.30 m

S

Banda de diseño 6.70 m

Datos:

6.70 m

Altura de entrepisos:

3.70 m

Sección de vigas de borde:

35 x 70 cm

Sección de vigas interiores:

35 x 50 cm

Sección de columnas:

45 x 45 cm

Espesor de la losa:

15 cm

Resistencia del hormigón:

f´c

= 280 Kg/cm2

Fluencia del acero:

fy

= 4 200 Kg/cm2

Sobrecarga viva de servicio:

VII − 69

= 500 Kg/m2

1. Diseño preliminar del espesor de la losa para control de deflexiones. Calculamos la relación de rigideces α. Vigas de borde NS: l2 = 670/2 + 45/2 = 358 cm ; h/hf = 70/15 = 4.67 ; b/hf = 35/15 = 2.33 Del ábaco respectivo se obtiene f = 1.47

α = (b/l2) (h/hf)3 f = (35/358) (4.67)3 1.47 = 14.64 Vigas de borde EO: l2 = 530/2 + 45/2 = 290 cm

α = (35/290) (4.67)3 1.47 = 18.07 Vigas interiores NS: l2 = 670

;

h/hf = 50/15 = 3.33

;

b/hf = 35/15 = 2.33

En el ábaco respectivo se lee f = 1.61

α = (35/670) (3.33)3 1.61 = 3.10 Vigas interiores EO: l2 = 530 Como

; α = (35/530) (3.33)3 1.61 = 3.93

α > 2.0 para todas las vigas, la altura mínima de losa se determina

mediante la ecuación siguiente: ln (800 + 0.07 fy) h = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 36 000 + 9 000 β

6.25 β = ⎯⎯⎯ = 1.29 4.85

625 (800 + 0.07 x 4 200) ln = 6.25 cm h = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 14 cm 36 000 + 9 000 x 1.29 Confirmamos h = 15 cm

VII − 70

2. Comprobamos las condiciones para aplicar el Método Directo: Hay por lo menos tres tramos continuos en cada dirección. La relación del lado largo al lado corto es 6.70 / 3.50 = 1.26 < 2.0 Los tramos adyacentes son de luces iguales. Las columnas no están desalineadas. Las cargas son uniformemente distribuidas, con una relación de carga viva a carga muerta L / D = 500 / 520 = 0.96 < 2.0 Para el panel interior:

α1 = 3.10

;

α2 = 3.92

;

l1 = 5.30 m

;

l2 = 6.70 m

α1 l22

3.10 x 6.702 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.26 ; α2 l12 3.92 x 5.302

0.2 < 1.26 < 5.0

ok.

Para el panel exterior:

α1 = 3.10

;

α2 = 18.07

;

l1 = 5.30 m

;

l2 = 6.70 m

α1 l22

3.10 x 6.702 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.27 ; α2 l12 18.07 x 5.302

0.2 < 0.27 < 5.0

ok.

3. Momentos. Peso propio: Losa: 0.15 x 2 400

=

360 Kg/m2

Viga: 0.35 x 0.35 x 2 400/6.70

=

44 Kg/m2

=

116 Kg/m2

=

520 Kg/m2

Carga muerta adicional: Total:

WD

VII − 71

Carga de diseño: WU = 1.2 (520) + 1.6 (500) ≅ 1 420 Kg/m2 Momento Estático: M0 = WU l2 ln2 / 8 M0 = 1 420 x 6.70 x 4.852 / 8 = 28 000 Kg.m

ok.

Momentos positivos y negativos Tramo interior: -

Apoyos

M = 0.65 M0

= 18 200 Kg.m

⊄ Claro

M+ = 0.35 M0

=

9 800 Kg.m

4 480 Kg.m

Tramo exterior: -

Apoyo Exterior

M = 0.16 M0

=

⊄ Claro

M+ = 0.57 M0

= 15 960 Kg.m

Apoyo Interior

M = 0.70 M0

-

= 19 600 Kg.m

Estos momentos se pueden cambiar hasta en un 10%, siempre que la suma de momentos positivos y negativos (momento estático) no sea menor que el momento M0 calculado. (No cambiamos) 4. Distribución de momentos en fajas de columnas y en fajas medias. Fajas de columnas. (Porcentaje) Apoyo interior

75 + 30 (α1 l2 / l1) (1 - l2 / l1)

α1 = 3.1 (viga interior N-S)

;

l2 / l1 = 1.26

α1 l2 / l1 = 3.1 x 1.26 = 3.90 > 1.0 Tomamos 1.0 VII − 72

% = 75 + 30 (1) (1-1.26) = 75 - 8 = 67 % 100 - 10 βt + 12 βt (α1 l2 / l1) (1 - l2 / l1)

Apoyo exterior

βt = C / 2 IL

;

l2 h3 670 X 153 IL = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.9 x 105 cm4 12 12

55

15

C se toma como el mayor valor posible de C = Σ (1 - 0.63 x/y) x3y/3

35

55 < 4 hf

a)

x1 = 35

x2 = 15

y1 = 55

y2 = 90

C1 = 4.72 x 105

C2 = 0.91 x 105

Σ C = 5.63 x 105 cm4 b)

x1 = 35

x2 = 15

y1 = 70

y2 = 55

C1 = 6.85 x 105

C2 = 0.51 x 105

Σ C = 7.36 x 105 cm4

VII − 73

βt = 7.36 x 105 / (2 x 1.9 x 105) = 1.93 Reemplazamos valores: % = (100 - 10 x 1.93) + 12 x 1.93 (1) (1 - 0.26)

⊄ Claro, M+

=

75 %

60 + 30 (α1 l2 / l1) (1.5 - l2 / l1) = 60 + 30 (1.5 - 1.26)

= 67 %

Como (α1 l2 / l1) > 1.0, las vigas deben llevar el 85% del momento de las fajas de columnas. Las partes de momentos no resistidas por la faja de columnas, se asignan a las dos medias fajas centrales. Resumen de Momentos Faja de Columna

Faja Central

Ubicación de Momentos

Momentos Totales

%

Total Faja

Losa 15%

Viga 85%

Tramo Exterior Exterior Negativo Momento Positivo Interior Negativo

4 480 15 960 19 600

75 67 67

3 360 10 690 13 130

500 1 600 1 970

2 860 9 090 11 160

1 120 5 270 6 470

Tramo Interior Negativo Positivo

18 200 9 800

67 67

12 200 6 570

1 830 990

10 370 5 580

6 000 3 230

(2 medias fajas)

↑

↑

Ancho faja de columnas:

530/2 = 265 cm

⏐

⏐

Ancho neto de losa:

265 - 35 = 230 cm ⎦

⏐

Ancho faja central:

670 - 265 = 405 cm (dos medias fajas) ⎦

5. Comprobación de los efectos de patrones de carga Relación de carga muerta a carga viva βa = 520 / 500 = 1.04 < 2.0 Como α1 > 2.0, el valor requerido de αmínimo es cero. Por tanto, los efectos de patrón de carga se desprecian. 6. Momentos de diseño en las columnas a) Columnas interiores.

En este caso los tramos transversales adyacentes son

VII − 74

iguales : M = 0.07 (0.5 WL l2 ln2) = 0.07 (0.5 x 800 x 6.70 x 4.852) ≅ 4 420 Kg.m Para cada columna, por arriba y por abajo del piso, por ser columnas iguales: Mc = 4 420 / 2 = 2 210 Kg.m Este momento, combinado con la carga axial para el piso correspondiente, serán las cargas para el diseño de las columnas interiores. b) Columnas exteriores. El momento total exterior negativo del miembro viga-losa se transfiere a las columnas exteriores. Para columnas iguales sobre y debajo del piso Mc = 4 480 / 2 = 2 240 Kg.m Este momento con la respectiva carga axial, según el piso, servirá para el diseño de las columnas exteriores. 7. Resistencia al Corte a) Vigas. Por cuanto α1 l2 / l1 > 1.0, las vigas deben resistir todo el esfuerzo cortante. Vigas N-S:

Vu = Wu l12 / 4 = 1 420 x 5.302 / 4 = 9 970 Kg

__ φ Vc = φ 0.5 √ f´c bw d

bw = 35 cm

d = 44 cm

____ φ Vc = 0.75 x 0.5 √ 280 x 35 x 44 = 9 660 Kg Vu

φ Vc

ok.

Se dispondrá la armadura mínima para cortante. Vigas E-W :

Vu = Wu l1 / 4 (2 l2 - l1) = 1 420 x 5.30 / 4 (2 x 6.70 - 5.30) Vu = 15 240 Kg > φ Vc

VII − 75

Por tanto es necesario armar a estas vigas para esfuerzo cortante. El corte para la armadura será: Vs = (Vu - φ Vc) / φ = (15 240 - 10 950) / 0.75 = 5 720 Kg Las vigas de borde se diseñarán para resistir los momentos no transferidos a las columnas exteriores por las vigas interiores. N

l2 = 6.70 m

l2-l1

l1/2

l1 = 5.30 m

l1/2

Vu = Wu l12 / 4 Vu = Wu l1 / 4 (2 l2 - l1) bw = 100 cm

b) Losa.

d = 12 cm

Vu = Wu l1 / 2 = 1 282 x 5.30 / 2 = 3 400 Kg __ φ Vc = φ 0.5 √ f´c bw d = 6.27 x 100 x 12 = 7 530 Kg

Wu = 360 x 1.2 = 432 + 850 1 282

Vu < φ Vc El esfuerzo cortante en la losa no es crítico. _____________________________ Referencias: Reglamento de las Construcciones de Concreto Armado. A.C.I. 318-02. PCA – NOTAS ON

VII − 76

CAPÍTULO VIII FUNCIONALISMO DE LOS ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO

CAPITULO VIII FUNCIONALISMO DE LAS OBRAS DE HORMIGÓN ARMADO Una estructura no solamente debe ser segura desde el punto de vista de la resistencia de los materiales, sino también funcional; esto quiere decir que debe poseer ciertas cualidades mecánicas que le permitan cumplir a satisfacción con el propósito para el cual fue diseñada. Si bien estas propiedades pueden ser numerosas, nosotros nos referimos particularmente a dos aspectos: Las deflexiones que ocurren bajo cargas de servicio, y el fisuramiento del concreto.

8.01 CONTROL DE FISURAMIENTO Con la introducción de varillas de refuerzo de alto grado de resistencia, el fisuramiento del concreto en las zonas sujetas a tensión merece más atención que en épocas pasadas. Lo más importante no es el número de fisura que se formen, sino el ancho de las mismas. Es necesario que este ancho sea lo más pequeño posible, tal que no afecte a la apariencia del miembro, ni exponga a la corrosión a las varillas de refuerzo. La manera de controlar la magnitud de las fisuras, está basada en investigaciones experimentales, las mismas que han demostrado lo siguiente: 1) El ancho de las fisuras se reducen usando varillas corrugadas. 2) El ancho máximo de las fisuras debidas a una carga, es más o menos proporcional a los esfuerzos del acero. 3) El ancho de las fisuras son mínimas si el acero de refuerzo está bien distribuido en el concreto de la zona de tensión. 4) El ancho de las fisuras en la superficie del concreto, es proporcional al recubrimiento que se da a las varillas de refuerzo. De aquí se desprende que un mayor número de varillas más delgadas, que estén bien distribuidas en la zona de tensión de la sección transversal, es más efectivo en minimizar el ancho de fisuras que un número menor de varillas más gruesas, para una misma área total.

VIII − 1

Gergely y Lutz han propuesto la siguiente ecuación para predecir el ancho máximo de las fisuras, en la cara extendida de una viga: 3 ____

w = 0.011 β fs √ dc A

w = milésimos de milímetro fs = Kg/cm2 dc = recubrimiento de concreto, entre la fibra en tensión más alejada y el centro de la varilla más cercana.

β = relación de distancia al eje neutro de la fibra extrema en tensión y del centroide del refuerzo principal, igual a h2/h1 A = área de concreto que recubre una varilla, igual al área total efectiva de tensión que rodea al refuerzo, y que tiene el mismo centroide, dividida para el número de varillas, en cm2.

h1 h2 2y y

dc

En vista de la naturaleza indefinida del proceso de fisuración y de la amplia dispersión de las mediciones de las fisuras máximas, no se justifica una precisión grande en el cálculo del ancho de fisuras.

Por tanto, la ecuación anterior se puede simplificar

adoptando un valor representativo para β, igual a 1.2. Entonces se puede definir z: 3 ____

z = fs √ dc A

,

en el que

z = w / 0.11 x 1.2 = w / 0.0132

VIII − 2

Luego el control del ancho máximo de las fisuras se puede obtener estableciendo un límite superior para el parámetro z. Cuando el esfuerzo de fluencia del acero excede de 2 800 Kg/cm2, el Código A.C.I. especifica que z no deberá exceder de 31 000 Kg/cm para condiciones de exposición interiores, ni de 26 000 Kg/cm para condiciones de exposición exteriores.

Estos

límites corresponden a un ancho máximo de fisuras de 0.40 mm y 0.33 mm respectivamente.

Además, el Código establece que se usarán solamente barras

corrugadas, y que el refuerzo de tensión será bien distribuido en la zona de tensión máxima. En vigas T, cuando el ala está sujeta a tensión, el acero se distribuirá en el ancho efectivo del ala o en un ancho igual a 0.1 la longitud del claro, el que sea menor.

Si el ancho efectivo excede de 0.1 de la luz, se debe proveer de cierta

armadura longitudinal adicional, en las partes exteriores del ala; esta armadura se toma con frecuencia el doble de la armadura de temperatura para la losa. Si la altura de una viga excede de 1.00 m, se debe colocar una armadura longitudinal en ambas caras laterales, uniformemente distribuida en una distancia d/2 desde el refuerzo principal de tensión. El área de este refuerzo adicional será: Ask ≥ 0.10 (d - 75) cm2/m. Ask es el área en cada cara de la viga, por metro lineal; d está en centímetros. El espaciamiento máximo de dicho refuerzo no será mayor que d/6 ó 30 cm, el valor que sea menor.

Esta armadura correspondiente a ambas caras, no necesita ser

mayor que la mitad de la requerida para la tensión por flexión. El esfuerzo de trabajo del acero fs, para cargas de servicio, se calculará con el momento dividido para el producto del área del acero por el brazo de palanca del momento interior de la viga. En vez de este cálculo, se permite tomar fs = 0.60 fy Ejemplo 1.- Sea una viga de sección T, con una armadura de tensión igual a 6 #32 dispuesta en dos filas. Esta viga está sometida a un momento flector, debido a cargas de servicio igual a 67 000 Kg/m. Estimar el ancho máximo de las fisuras en la cara inferior, bajo toda la carga de servicio y determinar si los detalles del refuerzo son satisfactorios, con respecto al fisuramiento, para exposición exterior.

VIII − 3

70

15

65 75 3

6 #32

3 7

10

25 Tenemos As = 6 #32 = 48.26 cm2

;

fy = 4 200 Kg/cm2

Para determinar el refuerzo fs del acero, podemos considerar con suficiente aproximación, como brazo de palanca la distancia d - hf/2 fs = M / As (d - hf/2) = 67 000 x 100 / 48.26 (65 - 7.5) = 2 400 Kg/cm2 Alternativamente, el Código permite tomar fs = 0.60 fy, lo que daría 0.60 x 4 200 = 2 520 Kg/cm2 Siendo 10 cm la distancia entre el centroide del refuerzo y el borde extendido, el área efectiva total del concreto, para efectos de fisuramiento será: 10 x 2 x 25 = 500 cm2 A = 500 / 6 = 83.33 cm2 ; dc = 7 cm

Tenemos: 3 _________ z = 2 400 √ 7 x 83.33 = 20 040 Kg/cm < 26 000 ok.

VIII − 4

Si los resultados hubieran sido desfavorables, entonces era necesario disminuir el valor de A, usando un mayor número de varillas más pequeñas. Ejemplo 2.- Analizar la disposición de la armadura en la siguiente viga. El valor de z se limita a 26 000 Kg/cm para exposición exterior; fy = 4 200 Kg/cm2 Encontremos el centro de gravedad de la armadura. 3 #32 = 24.13 cm2 2 #28 = 12.31 cm2 As = 36.44 cm2 y = (24.13 x 8 + 12.31 x 14) / 36.44 = 10 cm

2 #28 6

20 C.G. 10

3 #32

8 = dc 35

Área total efectiva de tensión: 20 x 35 = 700 cm2 Número equivalente de barras #32 (1 #32 = 8.04 cm2) n = 36.44 / 8.04 = 4.53

VIII − 5

Área de recubrimiento por varilla: A = 700 / 4.53 = 154 cm2 3 _____

z = fs √ dc A

; fs = 0.6 x 4 200 = 2 520 Kg/cm2

3 _______ z = 2 520 √ 8 x 154 = 26 960 > 26 000

Por consiguiente es necesario cambiar la disposición de la armadura: 4 #32 = 32.17 cm2 (1a.fila) 2 #18 = 5.09 cm2 (2a. fila) As = 37.26 cm2

Adoptemos

Centro de gravedad: y = (32.17 x 8 + 5.09 x 14) / 37.26 = 8.8 Area efectiva de tensión: 2 x 8.8 x 35 = 616 cm2 Número equivalente de barras #32 n = 37.26 / 8.04 = 4.6 Area de recubrimiento por varilla: As = 616 / 4.6 = 134 cm2 _______ z = 2 520 √ 8 x 131 = 25 660 ∼ 26 000 3

ok

Ejemplo 3.- Analizar los detalles de la armadura para la sección dada: Exposición exterior Luz: 15 m viga continúa Momentos por carga de servicio Carga muerta:

Centro =

35 000 Kg.m

Apoyo =

- 45 000 Kg.m

Carga viva:

Centro = 92 000 Kg.m Apoyo = - 110 000 Kg.m

f ´c = 280 Kg/cm2

;

fy = 4 200 Kg/cm2

VIII − 6

cL

cL

3.00 m. entre vigas

φ 12 @ 25 13 #25 @ 11 cm. 6

4 #12 c/cara

.13

1.20

6 #32

6 7 .30

CENTRO: Supongamos que para momento positivo se requiere una sección de acero As = 48 cm2 Escogemos 6 #32 = 48.26 dispuestas 3 en dos filas. La posición del centro de gravedad será: y = 10 cm Area del concreto alrededor de las barras: 2 x 10 x 30 = 600 cm2 A = 600 / 6 = 100 cm2/varilla El esfuerzo de tensión flexionante en la armadura, bajo cargas de servicio será: fs = M / j d As 3 _____

= (35 000 + 92 000) / 0.98 x 1.1 x 48.26 = 2 440 Kg/cm2 3 _______

z = fs √ dc A = 2 440 √ 7 x 100 = 21 716 < 26 000

VIII − 7

ok

Armadura lateral.

Como

h > 1.00 m

se requiere de una armadura adicional

longitudinal en cada cara de la viga: Ask ≥ 0.10 (110 - 75) ≥ 3.5 cm2 Asumimos 4 #12 = 4.52 cm2 c/cara, distribuidos en una altura d/2 = 110/2 = 55 cm a partir del acero principal inferior. Adoptamos 4 #12 @ 12 cm. Espaciamiento máximo d/6 = 110/6 = 18 cm > 12

ok.

APOYOS: Supongamos que la armadura requerida para momentos negativos es 63.80 cm2 Ancho efectivo del ala: b = 2 x 8 x 13 + 30 = 2.38 m Ancho efectivo para alojar la armadura: b = 0.10 luz = 0.10 x 15 = 1.50 m Asumamos: As = 8 #32 = 64.34 cm2 @ 18 cm Area efectiva de recubrimiento: 2 x 6 x 150 = 1 800 cm2 A = 1 800 / 8 = 225 cm2/barra Tomamos fs = 0.60 fy = 2 520 Kg/cm2 3 _______ z = 2 520 √ 6 x 225 = 27 850 > 26 000

Cambiamos a varillas más delgadas. Tenemos 13 #25 @ 11 cm = 63.83 cm2 A = 1 800 / 13 = 138.5 3 _________ z = 2 520 √ 6 x 138.5 = 23 690 < 26 000

VIII − 8

ok.

En el resto del ala, fuera del ancho de 1.50 m hay que disponer una armadura igual al doble de la requerida por retracción y temperatura. As = 2 x 0.0018 x 13 x 100 = 4.68 cm2/m #12 @ 25 cm Ejemplo 4.- Control de fisuramiento en una losa. Una losa armada en un sentido, tiene un espesor de 18 cm está armada con varillas #25 @ 38 cm y está expuesta interiormente. Comprobar los requisitos de control de fisuras. Fy = 4 200 Kg/cm2 ; f ´c = 280 Kg/cm2

38 d 18 dc

#25 @ 38 dc = 4 cm

;

d = 14 cm

Espaciamiento máximo:

3 h = 54 cm ó

45 cm

38 < 45

ok.

Control de fisuración: El valor de β = 1.2 es aplicable a vigas, pero para losas se toma β = 1.35. Por consiguiente el valor máximo para el parámetro z debe ser corregido: Para exposición interior

z = 1.20 / 1.35 x 31 200 = 27 700

Para exposición exterior

z = 1.20 / 1.35 x 26 000 = 23 100

VIII − 9

Entonces: ____ 27 700 = 0.6 x 4 200 √ 4 A 3

(27 700 / 2 520)3 = 4 A

A = 1.328 / 4 = 332 cm2

;

Espaciamiento permisible: s = A / 2dc = 332 / 8 = 41 > 38

ok.

VIII − 10

8.02 DEFLEXIONES Las deflexiones excesivas que podrían ocurrir principalmente en vigas y losas tendrían como consecuencia agrietamientos de tabiques, desajustes de puertas y ventanas, mal drenaje, vibraciones excesivas y muchos otros inconvenientes, por lo cual es necesario dimensionar los miembros de una estructura, de tal manera que las deflexiones se mantengan dentro de límites apropiados. Las deflexiones que ocurren inmediatamente después de la aplicación de una carga se denominan deflexiones instantáneas, las mismas que pueden ser calculadas por métodos basados en un comportamiento elástico de los miembros sometidos a flexión. Pero además de estas deflexiones ocurren otras deformaciones graduales a través de largos intervalos de tiempo. Estas deformaciones se deben principalmente al flujo plástico y a la retracción de fraguado, por lo que las deflexiones de los miembros de hormigón armado continúan incrementándose por algún tiempo después de ser cargados, teniéndose otras deformaciones a largo plazo, las cuales pueden ser mucho más grandes que las deformaciones instantáneas. Para cargas altas, cuando existen fisuras de tensión, el momento de inercia varía en aquellas secciones de la viga en las cuales el momento flector excede el momento de fisuración de la sección:

Mcr = fr Iut / yt

yt = distancia del eje neutro a la fibra de tensión. ____ fr = módulo de ruptura del concreto = 2 √ f ´c La variación exacta de I es muy difícil, sino imposible de establecer. La deflexión δic que ocurre en una viga bajo el máximo momento, y cuando se ha excedido el momento Mcr de fisuración, se puede calcular usando un momento de inercia efectiva Ief:

δic = F / Ec Ief aquí: Ief = (Mcr / Mmx)3 Iut + [ 1 - (Mcr / Mmx)3 ] Ict Ict = momento de inercia de la sección trasformada, agrietada.

VIII − 11

Se ha visto que Iut > Ief > Ict, que Ief se aproxima más a Ict mientras mayormente Mmx excede de Mcr.

M Icr

Momentos

Mcr Ig Ie e

cr

Deflexiones

Relación bilineal Momento - Deflexión

M

ediante un gráfico podemos ilustrar el cálculo de deflexiones instantáneas. Para momentos menores que Mcr las deflexiones son prácticamente proporcionales a las cargas, y las deflexiones a las que comienzan las fisuras se obtienen de la ecuación para δiu, con M = Mcr. A mayores cargas, el momento efectivo de inercia Ief es progresivamente menor, y se obtiene una curva para la relación momentos-deflexiones. DEFLEXIONES A LARGO PLAZO. Estas se deben, como ya se mencionó, a la retracción de fraguado y al flujo plástico. Las deformaciones plásticas del concreto son directamente proporcionales a los esfuerzos de compresión, y crecen asimtóticamente con el tiempo, y para un mismo esfuerzo, son más grandes para concretos de menor resistencia que para concretos de mayor resistencia.

VIII − 12

Por tanto, deformaciones a largo plazo causadas por cargas sostenidas, se pueden estimar reemplazando Ec con un módulo equivalente sostenido.

Este módulo se

puede usar también en la determinación de n para el cálculo de Iut ó Ict. Se usan métodos simplificados para el cálculo de estas deflexiones, incluyendo los efectos de la retracción normal: 1) Se calcula la deflexión instantánea debido a la carga sostenida; 2) Se multiplica esta deflexión por un coeficientes λ Este resultado es la deflexión adicional a largo plazo.

El coeficiente λ depende de la duración de la carga

sostenida, y de la presencia o ausencia de refuerzo de compresión A ´s. El reglamento de la A.C.I. da la siguiente expresión para estimar este factor:

λ = ξ / (1 + 50 ρ´) Valores de ξ se dan la siguiente tabla para diferentes tiempos de carga sostenida. La relación de armadura ρ´ = A´s / db se calcula en la sección de apoyo para los cantilívers y al centro de la luz para tramos simples y continuos.

DURACION DE LA CARGA

ξ

5 años o más

2.0

12 meses

1.4

6 meses

1.2

3 meses

1.0

CONTROL DE DEFLEXIONES. Para calcular el momento de fisuración de una viga, se puede usar el momento de inercia de la sección gruesa del concreto, sin mucho error. Tendremos: Mcr = fr Ig / yt

VIII − 13

El momento efectivo de inercia para una viga parcialmente fisurada, se toma: Ie = (Mcr / Mmx)3 Ig + [ 1 - (Mcr / Mmx)3 ] Icr ≤ Ig. Para tramos continuos, es suficiente usar el promedio de los valores obtenidos para los puntos de momento positivo y momento negativo. A fin de tener condiciones satisfactorias, desde el punto de vista de las deflexiones, el Código A.C.I. da ciertos límites de deflexión, calculados según los procedimientos indicados; estos límites están tabulados a continuación. Para miembros de menor importancia, es suficiente controlar las deflexiones de una manera indirecta, limitando la relación luz/altura. Según el Código A.C.I. las vigas y losas en una dirección, no deben ser de una altura menor que la indicada en la tabla, a menos que se calculen las deflexiones.

VIII − 14

DEFLEXIONES MAXIMAS PERMISIBLES

TIPO DE MIEMBRO

DEFLEXION A CONSIDERARSE

Techos planos que no soporten o estén vinculados Deflexión inmediata debido a la a elementos no carga viva L estructurales que pueden ser dañados por grandes deflexiones. Pisos que no soporten o estén vinculados a Idem.

Deflexión inmediata debido a la carga viva L

La parte de la deflexión total que Construcciones de techos o ocurre después del aditamento de pisos soportantes de/o que los elementos no estructurales, la suma de la deflexión a largo plazo estén agregados a elementos no estructurales debido a todas las cargas sostenidas, y la deflexión que pueden dañarse por inmediata debido a cualquier deflexiones grandes carga viva adicional.

Construcciones de techos o pisos soportantes de/o que estén agregados a elementos no estructurales que no pueden dañarse por deflexiones grandes

La parte de la deflexión total que ocurre después del aditamento de los elementos no estructurales, la suma de la deflexión a largo plazo debido a todas las cargas sostenidas, y la deflexión inmediata debido a cualquier carga viva adicional.

VIII − 15

LIMITE DE DEFLEXION

l / 180

l / 360

l / 480

l / 240

ALTURA MINIMA DE VIGAS O LOSAS EN UNA DIRECCION, CUANDO NO SE CALCULAN DEFLEXIONES

Altura mínima h Apoyos libres Miembros

Un extremo continuo

Ambos extremos continuos

En Cantiliver

Miembros que no soportan o están ligados a divisiones u otro tipo de construcción susceptible de daño por grandes deflexiones Losas macizas en una dirección

l / 20

l / 24

l / 28

l / 10

Vigas o losas nervadas en una dirección

l / 16

l / 18.5

l / 21

l/8

Estos valores son para acero de grado 42. Para otros valores de fy, los valores de esta tabla se deben multiplicar por (0.4 + f y / 7 000) EJEMPLOS DE CALCULOS DE DEFLEXIONES. Ejemplo 1.- Analizar las deflexiones que ocurrirán en la viga dada, asumiendo que la mitad de la carga viva será aplicada continuamente por un año. f ´c

=

210 Kg/cm2

fy

=

2 800 Kg/cm2

=

___ 2 √ 210 = 29 Kg/cm2

Ec

=

___ 15 330 √ f ´c

Ec

=

222 000 Kg/cm2

Es

=

2’030 000 Kg/cm2

n

=

Es / Ec = 9

fr

VIII − 16

h = 40

d = 35

kd 4 #16

25

Luz de la viga: 9 m simplemente apoyada Momento por carga muerta, de servicio

2 500 Kg.m

Momento por sobrecarga viva, de servicio

2 000 Kg.m

1)

Comprobamos la altura mínima requerida por el Código, para no calcular las deflexiones: hmin = L x 0.8 / 16 = 900 / 20 = 45 cm > 40 cm Por consiguiente las deflexiones deben calcularse.

2) Encontramos el momento de inercia efectivo, para lo cual tenemos: Ig = b h3 / 12 = 25 x 403 / 12 = 133 300 cm4

Sección gruesa

_____________ (kd) b / n As = √ 1 + 2 bd / n As - 1 _______________________ (kd) 25 / 9 x 8.82 = √ 1 + 2 x 25 x 35 / 9 x 8.04 - 1 0.34 (kd) = 4.02 ; kd = 12 cm Icr = b (kd)3 / 3 + n As (d - kd)2 Icr = 25 x 123 / 3 + 9 x 8.04 (35 - 12)2 = 55 000 cm4 Sección fisurada

VIII − 17

El momento de fisuramiento será: Mcr = fr Ig / yt = 29 x 133 300 / 20 = 193 285 Kg.cm Mcr = 1 930 Kg.m Encontramos los valores (Mcr / Ma)3

y

1 - (Mcr / Ma)3

a) Para carga muerta: (1 930 / 2 500)3 = 0.46 ; 1 - 0.46 = 0.54 b) Para carga muerta, más la mitad de la carga viva: (1 930 / 3 500)3 = 0.17

; 1 - 0.17 = 0.83

c) Para carga muerta, más toda la sobrecarga viva: (1 930 / 4 500)3 = 0.08

; 1 - 0.08 = 0.92

El momento efectivo de inercia vale: Ie ( Mcr / Ma)3 Ig + [ 1 - (Mcr / Ma)3 ] Icr Por tanto tendremos: a) Ie = 0.46 x 133 300 + 0.54 x 55 000 = 91 000 cm4 b) Ie = 0.17 x 133 300 + 0.83 x 55 000 = 68 300 cm4 c) Ie = 0.08 x 133 300 + 0.92 x 55 000 = 61 260 cm4 3) Calculamos las deflexiones, para viga simplemente apoyada:

Δ = 5 l2 M / 48 E I Δ = 5 x 9002 / 48 x 222 000 x M / I = 0.38 M / I a) La deflexión inmediata por carga muerta es:

Δ D = 0.38 x 2 500 x 100 / 91 000 = 1.04 cm

VIII − 18

b) La deflexión inmediata para la mitad de la sobrecarga sostenida es:

ΔLS = 0.38 x 1 000 x 100 / 68 300 = 0.56 cm c) La deflexión inmediata para toda la sobrecarga viva es:

ΔL = 0.38 x 2.000 x 100 / 61 260 = 1.24 cm La deflexión a largo plazo será:

ΔLP = λ∞ ΔD + λ ΔLS + ΔL ΔLP = 2 x 1.04 + 1.4 x 0.56 + 1.24 = 4.1 cm 4) Comparemos estas deflexiones con las máximas permisibles por el Código. Deflexión inmediata por Carga viva: L / 360 = 2.5 > 1.24 ok. Deflexión a largo plazo: L / 240 = 3.75 < 4.1 (?) Es una deflexión algo excesiva. La inclusión de una armadura de compresión puede reducir la deflexión diferida. Se ha considerado que esta viga no está vinculada a elementos que pueden dañarse por deflexiones excesivas.

VIII − 19

Ejemplo 2.-

7.90 2 #28 2 #32

1 #28

2 #25 7.60 (a)

13 31

14.920

19.2

I (rect.)

20.600

I (T) 62

35.520

1.90

7.60

(b)

(c)

35 35

1.90 _ y

13

(n-1) A ´s = 144

56

(n-1) A´s = 88

n As = 221

(d)

n As = 345

_ y

56

6

35

(e)

Centro

Apoyos

VIII − 20

Sea una viga que es parte de un piso, y está diseñada para una carga muerta D = 1 640 Kg/m

; carga viva de servicio L = 3 280 Kg/m.

De esta carga viva el 20% es sostenida, y el 80% es intermitente. Se tiene el diagrama de momentos para la carga total (c) La viga soportará particiones no estructurales que se dañarían con grandes deflexiones. Se quiere calcular las deflexiones a largo plazo debido a la carga muerta y a la parte de la carga viva, y la deflexión inmediata debido a la carga viva no sostenida. Se usarán f ´c = 175 Kg/cm2

; fy = 2 800 Kg/cm2

Momento total estático: w l2 / 8 = 4.920 x 7.62 / 8 = 35 520 Kg.m Para el Centro:

As: 2 #28 + 2 #25 = 22.13 cm2

Para el Apoyo:

As: 2 #32 + 3 #28 = 34.55 cm2

Tenemos para el hormigón: ___ ____ Ec = 15 330 √ f ´c = 15 330 √ 175 = 15 330 x 13.20 = 202 000 Kg/cm2 Para el acero: Ec = 2’000 000 Kg/cm2 n = 10 ____ Módulo de ruptura fr = 2 √ 175 = 26 Kg/cm2 El momento de inercia efectivo se calculará para el diagrama de momentos correspondiente a toda carga de servicio. En la región de momentos + el eje centroide de la sección T no fisurada se encuentra a 19.2 cm desde el tope. Ig = 1’350 000 cm4

VIII − 21

Análogamente, el eje centroide de la sección T fisurada (d) se encuentra que está a 10.5 cm bajo el tope de la losa, y Icr = 536 000 cm4 Entonces el momento de fisuramiento será: yt = 62 - 19.2 = 42.8 Mcr = 26 x 1’350 000 / 42.8 = 8 200 Kg.m Con relación Mcr / Mmx = 8 200 / 14 920 = 0.55, el momento efectivo de inercia, en la región de momentos + será: Ie = (0.55)3 1’350 000 + (1 - 0.553) 536 000 Ie = 224 600 + 447 000 = 671 600 cm4 En la zona de momentos negativos, el momento de inercia bruta se basará en la sección rectangular del nervio (con losa). Para esta área, el centroide está a 31 cm desde el borde superior, y Ig = 35 x 623 / 12 = 695 100 cm4 Para la sección transformada fisurada (e), el eje centroidal se encuentra tomando momentos a la base, y vale 23.7 cm, y Icr = 556 000 cm4 Por tanto: Mcr = 26 x 695 100 / 31 = 5 830 Kg.m Se tiene: Mcr / Mmx = 5 830 / 20 600 = 0.283

VIII − 22

Entonces para las regiones de momentos negativos, resulta: Ie = 0.2833 x 695 100 + (1 - 0.2833) 556 000 Ie = 15 800 + 543 200 = 559 000 cm4 Para calcular la deflexión tomamos el promedio: Ie prom = ½ (671 600 + 559 000) = 615 300 cm4 Ahora computamos el factor para calcular deflexiones por carga sostenida. Para zona de momento positivo, sin acero de compresión λ+ = 2.0 Para zona de momento negativo: A ´s = 2 #25 = 9.82 cm2

ρ´ = 9.82 / 35 x 56 = 0.005

; ξ = 2.0

El factor es: λneg = 2.00 / [1 + 50 (0.005)] = 1.6 Promedio:

λprom = ½ (2.00 + 1.6) = 1.8 Para referencia, encontramos la deflexión del miembro bajo la carga completa de 1 640 + 3 280 = 4 920 Kg/m y que corresponde al diagrama de momento (c). Según el principio de área-momentos, tendremos:

ΔD+L = 1 / EI [ (2/3 x 35 520 x 3.80 x 5/8 x 3.80) - (20 600 x 3.80 x 1.90) ] ΔD+L = (213 700 - 148 700) / EI = 65 000 / EI = 65 000 x 100 x 100 x 100 / 202 00 x 615 300 = 65 00 / 124 290 = 0.52 cm Con esta base, la deflexión por carga muerta que depende del tiempo es:

ΔD = 0.52 x 1 640 / 4 920 x 1.8 = 0.31 cm VIII − 23

La suma de la deflexión inmediata y la dependiente del tiempo debido a la carga sostenida viva, parcial es:

Δ0.20 L = 0.52 x 3 280 / 4 920 x 0.20 x 2.8 = 0.20 cm La deflexión instantánea debido a la porción de la carga viva es:

Δ0.80 L = 0.52 x 3 280 / 4 920 x 0.80 = 0.28 cm Por tanto, la deflexión total que afectará a las particiones, a largo plazo, será:

Δ = 0.31 + 0.20 + 0.28 = 0.79 cm ∼ 8 mm La limitación impuesta por el Código, para estas circunstancias es: 1 / 480 = 790 / 480 = 1.65 cm > Δ

ok.

Método alternativo para calcular la deflexión inicial La deflexión inicial a corto plazo Δi, para vigas en cantiliver, simplemente apoyada y continúa, se pueden calcular por medio de la siguiente ecuación elástica:

Δi = K (5 / 48) Ma l2 / Ec Ie Ma = Momento en el apoyo para cantilivers, o el momento en el medio de la luz para vigas simples o continuas. Para vigas continuas, la deflexión al medio de la luz se puede generalmente aproximarse como la máxima deflexión. Para carga uniformemente distribuida, los valores de K se consignan en la siguiente tabla.

VIII − 24

TIPOS DE VIGA

K

1. En cantiviler

2.40

1. Simplemente apoyadas

1.00

1. Continuas

1.2 - 0.2 Mo / Ma

1. Apoyos articulados

0.80

1. Empotradas

0.60

Coeficientes de deflexión / Carga Distribuida Mo = Momento estático = w l2 / 8 Ma = Momento neto en la mitad del tramo

VIII − 25

MOMENTOS DE INERCIA DE SECCIONES LLENAS Y FISURADAS

Sección Gruesa

Sección Transformada

n = Es / Ec

b

b

Inercia para Sección Gruesa y Fisurada

kd

B = b / (nAs)

d

n.a.

h

Ig = bh3 / 12 Sin acero de compresión _______ kd = (√2dB + 1 - 1)/B

nAs

As

Sin hierro de compresión

b

Con acero de compresión

kd

d´

b

d

As

r = (n-1)A’s/(nAs) __________________ kd = [(√2dB(1+rd’/d) + (1+r)2 - (1+r)]/B

A´s h

Icr = bk3d3/3 + nAs (d-kd)2

n.a. (n-1)A´s

Icr = bk3d3/3 + nAs(d-kd)2 + (n-1)A’s(kd-d’)2

nAs Con hierro de compresión

VIII − 26

MOMENTOS DE INERCIA DE SECCIONES LLENAS Y FISURADAS

Sección Gruesa

Sección Transformada

b

b

n = Es / Ec

kd

hf

C = bw/(nAs), f = hf(b-bw)/(nAs),

n.a. d

h

yt = h - ½[(b-bw)hf2 + bwh2]/[(b-bw)hf + bwh] Ig = (b-bw)hf3/12 + bwh3/12 + (b-bw)hf(h-hf/2-yt)2 + bwh(yt-h/2)2

nAs Sin hierro de compresión

bw

Inercia para Sección Gruesa y Fisurada

Sin acero de compresión ________________ kd = [√C(2d+hff) + (1+f)2 - (1+f)]/C Icr = (b-bw)hf3/12 + bwk3d3/3 + (b-bw)hf(kd-hf/2)2 + nAs(d-kd)2

b d´

b

kd

hf A´s

d

h

n.a.

(n-1)A´s

yt As bw

nAs

Con acero de compresión ______________________ kd = [√C(2d+hff+2rd’) + (f+r+1)2 - (f+r+1)]/C Icr = (b-bw)hf3/12 + bwk3d3/3 + (b-bw)hf(kd-hf/2)2 + nAs(d-kd)2 + (n-1)A’s(kd-d’)2

Con hierro de compresión

Referencias: Diseño de Estructuras de Concreto: Por G.Winter y A.Nilson.- 11a Edición. Reglamento de las Construcciones de Concreto Estructural, A.C.I 318-02 Manual de diseño.- Publicación SP-17 (89) A.C.I. Notas sobre el Código A.C.I. 318-02 con diseños de Aplicación.- P.C.A

VIII − 27

CAPÍTULO IX PROVISIONES ESPECIALES PARA DISEÑO SÍSMICO

CAPÍTULO IX GENERALIDADES Los niveles de riesgo sísmico se designan como sigues Zona O Sin daños

Bajo

Zona 1 Daños menores Zona 2 Daños moderados

Moderado — Intermedio

Zona 3 Daños grandes Zona 4 Áreas cercanas a grandes fallas geológicas

Alto

Para edificios localizados en regiones de bajo riesgo sísmico, no se requiere un diseño especial, siendo suficientes los requerimientos generales del Código. Para edificios localizados en zonas de moderado riesgo, las estructuras de hormigón armado requieren ciertos detalles especiales del refuerzo. Estos detalles especiales se aplican solamente a los entramados en los cuales se ha considerado que se inducen fuerzas sísmicas, esto es a vigas, columnas y losas. No hay requerimientos especiales para paredes estructurales ni para componentes no estructurales, siendo suficientes las regulaciones generales. Para edificaciones situadas en regiones de alto riesgo sísmico, todos les componentes, estructurales y no estructurales, deben satisfacer los requerimientos especiales consignados para el efecto. En algunas estructuras, tales como torres esbeltas, libremente apoyadas, o chimeneas, cuya estabilidad depende de la rigidez de un solo miembro, el cual constituye la estructura principal, la fluencia del elemento principal no se puede tolerar. En estos casos es necesario que el diseño se base en una respuesta esencialmente elástica bajo la acción de sismos moderados a fuertes, con esfuerzos críticos limitados a un rango inferior a la fluencia. Sin embargo, en la mayoría de edificaciones, particularmente en aquellas consistentes de pórticos y otros sistemas múltiples redundantes, se puedo hacer un diseño económico permitiendo la fluencia en ciertos miembros, bajo movimientos sísmicos moderados- fuertes.

IX − 1

El criterio de diseño se basa en que una estructura debe ser capaz de: a) b) c)

Resistir sismo de pequeña intensidad, sin que ocurra daño alguno. Resistir sismos moderados con daños estructurales pequeños y ciertos daños estructurales. Resistir terremotos catastróficos sin llegar al colapso.

Además, como un segundo criterio se puede mencionar la necesidad de que cierto tipo de facilidades esenciales sigan funcionando aún después de un sismo severo, tales como los hospitales, plantas de energía eléctrica, centros de comunicación, estaciones de bomberos plantas de bombeo de agua potable, etc. Los principales pasos a seguir en el diseño antisísmico de una estructura típica de hormigón armado, de acuerdo con las regulaciones del código A. C. I, son las siguientes: 1. a) Cálculo de la fuerza cortante en la base del edificio, correspondiente al periodo fundamental de vibración de la estructura, para la cual se asume un diseño preliminar 1. b) Distribución de la fuerza cortante total a través de la altura del edificio. 2.- Análisis de la estructura bajo la acción de las fuerzas laterales estáticas, así como también bajo la acción de las cargas de gravedad, a fin de obtener las fuerzas de diseño. 3.- Diseño de los miembros y juntas para la combinación más desfavorables de las cargas y detallamiento de las mismas para obtener un comportamiento dúctil. La Fuerza cortante en la base, de diseño, representa toda la fuerza sísmica a nivel de servicio, la que se puede asumir actuando paralelamente al eje de la estructura considerada. La fuerza en la otra dirección horizontal se asume que actúa en forma no concurrente. No se consideran las fuerzas componentes verticales del sismo, porque el edificio está diseñado ya para la aceleración vertical de la gravedad, la aceleración vertical adicional debido a un temblor es generalmente menor que la aceleración de la gravedad g, y puede ser introducida en el factor de seguridad para cargas de gravedad. La capacidad de una estructura de deformarse dúctilmente, esto es de deformarse más allá del límite de fluencia sin pérdida significativa de su resistencia, permite que dicha estructura absorba la mayor parte de la energía proveniente de un sismo, sin sufrir daños serios. Debido a las relativamente grandes deformaciones inelásticas que pueden ocurrir en un edificio durante un terremoto, se deben tomar las máximas precauciones para asegurar que la estructura no se torne inestable bajo cargas verticales. Por esto el Código prescribe el diseño llamado columna fuerte-viga débil, con la intención de confinar la fluencia a las vigas, mientras las columnas permanecen elásticas durante un sismo. Se requiere que la suma de los momentos resistentes de las columnas

IX − 2

concurrentes a un nudo, bajo las cargas axiales de diseño, sea mayor que la suma de los momentos resistentes de las vigas enmarcadas en tales nudos, en el mismo plano.

Requerimientos Generales Del Código-Alcance El código contiene especificaciones que comúnmente se consideran como requisitos mínimos para obtener una estructura monolítica, con adecuadas dimensiones y detalles para que sea capaz de soportar una serie de oscilaciones dentro del rango inelástico, sin detrimento crítico de su resistencia. Una estructura de hormigón armado detallada adecuadamente, responde a un fuerte sismo, en tanto su rigidez efectiva decrezca y su capacidad de disipar energía aumente. Así, las fuerzas de diseño que representan los efectos de un sismo, requieren que el edificio esté provisto con un sistema de resistencia a fuerzas laterales, el cual retendrá una porción sustancial de su resistencia tanto como sus desplazamientos reversibles correspondan al rango inelástico. La tenacidad de una estructura es una propiedad esencial para la resistencia antisísmica. El grado de tenacidad requerida y por lo tanto la necesidad de detalles especiales, para una estructura dada, depende de la relación cuantitativa entre la intensidad del sismo y la resistencia estructural. Hay que reconocer que el desarrollo de detalles especiales para elementos de hormigón armado han sido formulados por experiencias en eventos de muy fuertes movimientos terrestres, por lo cual, para una intensidad de sismo dada, es posible suavizar o modificar algunos detalles, si es que la resistencia de diseño se incrementa con relación a los requerimientos mínimos del Código.

Disposiciones Relevantes Materiales.- Para el hormigón, mínimo f’c = 210 Kg / cm2 Acero, máximo fy = 4 200 Kg / cm2 El empleo de un refuerzo longitudinal con una resistencia sustancialmente mayor que la asumida en el diseño, conducirá a esfuerzos más grande de corte y adherencia al desarrollarse los momentos de fluencia. Esta condición puede conducir a rupturas frágiles, las que deben ser evitadas. Por esto se establece un tope en la actual fluencia del acero. Los empalmes de varillas se permiten siempre que se realicen alternadamente en cada capa de varillas longitudinales, y espaciados a por lo menos 60 cm.

IX − 3

Miembros flexionantes Relación de armadura: En cualquier sección dc un miembro flexionante, tanto en la cara superior como en la inferior, debe proveerse de la armadura mínima. La relación máxima será 0.025. Por lo menos dos varillas serán continuas. Empalmes traslapados no se permiten en a) dentro de las juntas; b) en una distancia cercana a las caras de juntas, c) en secciones donde el análisis determina formación de flexión en fluencia. Refuerzo transversal Es mucho más exigente que los Códigos anteriores. (Corte y Confinamiento). Se asume que Vc = 0. Empalmes Soldados: Los requisitos para empalmes soldados constan en la sección 21.1.1.7. Se conformarán con las previsiones del numeral 12.14.3.3; por ejemplo, el será capaz de desarrollar una resistencia de por lo menos 125 % de la fluencia fy especificada para las varillas de refuerzo. Similarmente al tipo I de empalmes mecánicos, los empalmes soldados no se permiten dentro de una distancia igual a dos veces el espesor del miembro desde la cara de la columna o viga, o desde la sección donde la fluencia del esfuerzo podría ocurrir debido a desplazamientos laterales inelásticos. En regiones de fluencia de los miembros, los esfuerzos de tensión del acero pueden exceder los requisitos de resistencia según el numeral 12.14.3.3. Según el numeral 21.2.7.2, no se permiten soldaduras de estribos, amarres, inserciones u otros elementos similares, al refuerzo longitudinal que se requiere por diseño. La soldadura del refuerzo cruzado puede conducir a una fragilidad local del acero. Si dicha soldadura facilita la fabricación o instalación en obra, debe realizarse solamente en varillas añadidas expresamente para la construcción. Debe anotarse que estas previsiones no son aplicables a varillas que se sueldan mediante operaciones bajo control competente y continuo, como en el caso de las fábricas de alambre soldado.

Miembros flexionantes de pórticos especiales En el cuadro correspondiente se consignan los requisitos para miembros flexionantes de pórticos especiales. Estos pórticos especiales se requieren en regiones de alto riesgo sísmico o en estructuras asignadas a satisfacer una alta resistencia sísmica o una alta categoría de diseño. Estos requisitos se aplican típicamente a vigas o pórticos y otros miembros flexionantes con una negligible carga axial. Con fines de comparación, dicho cuadro contiene los requisitos correspondientes a miembros de momentos intermedios u ordinarios de un pórtico. Los miembros flexionantes de pórticos con momentos especiales deben satisfacer los requisitos generales de los numerales. 21.3.1.1 al 21.3.1.4; estas limitaciones

IX − 4

han sido guiadas por evidencias experimentales y observaciones de estructuras de hormigón armado que se han comportado bien en el pasado. Los miembros deben tener suficiente ductilidad y proveer una eficiente transferencia de momentos a las columnas soportantes. Debe anotarse que las columnas sujetas a flexión y que tiene una carga axial facturada Pu ≤ Ag fc /10 pueden ser diseñados como miembros flexionantes.

IX − 5

REQUERIMIENTOS Miembros Flexionantes. Pórticos especiales Pórticos Intermedios y Ordinarios Los miembros flexionantes de pórticos deben satisfacer las siguientes condiciones:

Generalidades

Fuerza axial de comprensión, factorada, ≤ Ag f’c /10. Luz neta ≥ 4 x altura útil.

Intermedios: Fuerza axial factorada de comprensión ≤ Ag f’c /10.

Relación ancho / altura ≥ 0.3

21.10.2

Ancho ≥ 25 cm.

Ordinarios: similares.

Ancho ≤ ancho del miembro de apoyo + una distancia a cada lado del miembro soporte no mayor que 0.75 la altura del miembro.

Sin

requerimientos

Requisitos para Flexión

21.3.1 El refuerzo mínimo no será menor que El mismo requerimiento, excepto ___ cuando el esfuerzo mínimo se 0.80 √(f’c)bwb/fy ni de 14/fybwb en necesita solamente en secciones cualquier sección superior o inferior, a donde se requiere refuerzo de tensión menos que se satisfagan la regulación por análisis. Se exceptúa según lo dispuesto en 10.5.2, 10.5.3 y 10.5.4. 10.5.3 21.3.21 La relación de refuerzo ρ no excederá de 0.025. 21.3.21 Por lo menos dos varillas se proveerán en forma continuada tanto en la base como en el tope de una sección. 21.3.2.1 La resistencia para momento positivo en la cara de una junta, será ≥ ½ que la resistencia para cada momento negativo de dicha cara.

La relación de refuerzo ρ no excederá de 0.75 ρb. 10.3.3 Se proveerá el refuerzo mínimo para la integridad estructural. 7.13 Intermedios: La resistencia para cada momento positivo en la cara de una junta será ≥ 1/3 que la resistencia para cada momento negativo de dicha cara. 21.10.41

21.3.2 Ordinarios: similares.

IX − 6

Sin

requerimientos

Requisitos para Flexión Empalmes Refuerzo Transversal

Ni el momento negativo ni el positivo será de una capacidad menor que ¼ de la capacidad flexionante provista en las caras de una u otra junta.

Intermedios: El mismo requerimiento excepto cuando es necesario proveer 1/5 de la resistencia a la flexión de la cara de cualquier junta en cualquier sección a lo largo del miembro. 21.10.4.1

21.3.2.3 Ordinarios: similares Empalmes traslapados en el refuerzo flexionante se permiten solamente si se provee de cercos o espirales en toda la longitud del empalme. El espaciamiento de los cercos o espirales no excederá de d/4 0 de 10 cm. Los empalmes mecánicos se conformarán con la regulación 21.2.6 y los empalmes soldados con la regulación 21.2.7.1. 21.3.2.3 – 21.3.2.4 No se emplearán empalmes traslapados: Dentro de las juntas. Dentro de una distancia igual a dos veces la altura del miembro, desde la cara de la junta. En lugares donde el análisis indica fluencia flexionante causada por desplazamientos laterales inelásticos del pórtico. 21.3.2.3 Se requieren cercos en una longitud igual a dos veces la altura del miembro desde la cara del miembro soportante hacia el medio de la luz, en ambos extremos del miembro flexionante. 21.3.3.1

requerimientos

No hay requerimientos para que los empalmes se encierren en cercos. Sin embargo si se colocan cercos # 12 estrechamente espaciados la longitud del empalme traslapado se puede reducir en 25%.

12.3.3.2

No hay requerimientos similares

Intermedios: El mismo requerimiento, excepto que se pueden usar estribos en vez de cercos. 21.10.4.2 Ordinarios: similares.

IX − 7

Sin

Sin

requerimientos

Se requieren cercos en una longitud igual a dos veces la altura del miembro, en ambos lados de una sección donde puede ocurrir una fluencia flexionante en conexión con el desplazamiento lateral del pórtico.

Refuerzo Transversal

21.3.3.1 Donde se requieren cercos, su espaciamiento no excederá de: d/4 8 x diámetro de la varilla longitudinal más delgada. 24 x diámetro de los cercos. 30 cm. El primer cerco estará localizado a no más de 5 cm, desde la cara del miembro soportante. 21.3.3.2 Donde se requieran cercos, las varillas longitudinales perimetrales tendrán soportes laterales conformen el numeral 7.10.5.3 21.3.3.2 Donde no se requieren cercos, se colocarán estribos con ganchos sísmicos en ambos extremos, espaciados a una distancia no mayor que d/2 en toda la longitud del miembro. El refuerzo transversal se proporcionará para resistir también la fuerza cortante de diseño.

La armadura de los miembros flexionantes sujetos a esfuerzo reversibles consistirá en cercos que se extiendan alrededor el refuerzo flexionante. Además proveer del refuerzo mínimo para la integridad estructural. 7.11.2 – 7.13 Intermedios: El espaciamiento máximo entre cercos no excederá de: d/4 8 x diámetro de la varilla longitudinal más delgada. 24 x diámetro de los cercos. 30 cm. 21.10.4.2 Ordinarios: No hay requerimientos similares. Se proveerá el espaciamiento de cercos cercanos en los lugares de esfuerzo reversibles o torsión. Sin requerimientos similares Intermedios: Requerimientos similares, excepto que no se requieren ganchos sísmicos. 21.10.4.3 Intermedios: Se debe proporcionar refuerzo transversal para resistir la fuerza cortante de diseño. 21.10.3 Ordinarios: Proveer refuerzo transversal suficiente para corte y torsión. 11.5 – 11.6

IX − 8

IX − 9

Requisitos Para La Resistencia Al Corte Típicamente, fuerzas más grandes que aquellas prescritas por el Código de Construcciones se inducen en miembros estructurales durante un terremoto. El diseño para fuerzas cortantes determinadas por un análisis de cargas de gravedad y laterales combinadas, usando las combinaciones de carga prescritas por el Código, no es conservador, debido a que el refuerzo puede esforzarse más allá de su fluencia, dando como resultado fuerzas cortantes más grandes que las anticipadas. Un refuerzo adecuado para corte se debe proveer de tal manera de anticipar fallas por cortante antes que el desarrollo de articulaciones plásticas en los extremos de la viga. De esta manera, los miembros flexionantes de pórticos especiales deben ser diseñados para las fuerzas cortantes asociadas con el máximo momento resistente probable Mpr, a la carga de gravedad factorada tributaria a lo largo de su luz (21.3.4.1). El momento probable máximo resistente está asociado con las articulaciones plásticas en los miembros flexionantes, y se define como la capacidad de la viga con un esfuerzo en el acero igual a 1.25 fy y un factor de reducción de resistencia igual a 1.0 Mpr = As (1.25 fy) (d - a/2) (Para vigas rectangulares con armadura de tensión solamente). As (1.25 fy) d = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0.85 f’cb Nótese que ambos desplazamiento s, a la derecha y a la izquierda, se deben considerar para obtener la máxima fuerza cortante. El uso del esfuerzo 1.25 fy, para el acero refleja la grande probabilidad de que la deformación en el refuerzo de tensión estará en el rango de la deformación de endurecimiento. La posibilidad de una falla por cortante antes de la fluencia flexionante se reduce tomando 1.25 fy como esfuerzo del refuerzo y 1.0 como factor de reducción de la resistencia. En la determinación del refuerzo requerido por cortante sobre las longitudes especificadas, la contribución de la capacidad del hormigón Vc se toma como 0.0 si es que la fuerza cortante proveniente de la carga sísmica es la mitad o mayor que la resistencia máxima requerida y la fuerza cortante factorada de compresión, incluyendo los efectos del temblor, es menor que Ag f’c /20 El propósito de este requerimiento no es el de establecer que el concreto no contribuye a la capacidad portante de corte, sino más bien proveer un refuerzo adecuado para el corte a fin de asegurar una falla por flexión. Nótese que el factor de reducción de resistencia debe ser de 0.85=0. La armadura para corte debe ser mediante cercos, en toda la longitud especificada. En regiones de fluencia flexionante o cercanas a ellas, es muy posible que la capa de hormigón de recubrimiento se desprenda. Donde no se requieran cercos, se pueden emplear estribos con ganchos sísmicos en ambos extremos. Una cantidad mínima de armadura transversal se requiere a través de toda la longitud de los

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miembros flexionantes útiles, a fin de salvaguardar los casos de cualquier carga que no haya sido considerada en el diseño. La armadura transversal que se provea dentro de las longitudes correspondientes, deben satisfacer los requisitos para confinamiento o corte, el que sea mayor. Un análisis similar se requiere para miembros de pórticos intermedios, con excepción de que los momentos nominales resistentes Mn se emplean en vez de la resistencia probable flexionante. Se tiene también un procedimiento alternativo por el cual los efectos de los sismos se doblan, en lugar de usar la resistencia nominal de momentos.

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Flexión

General

Miembros sujetos a flexión y cargas axiales. Pórticos Especiales Los miembros de pórticos de esta clasificación deben cumplir los siguientes requisitos: Fuerza axial de comprensión, factorada > Ag f’c /10. Dimensión más corta de la sección transversales ≥ 30 cm. Relación de la dimensión más corta de la sección transversal a la dimensión perpendicular ≥ 0.4. 21.4.1 La resistencia flexionante de columnas deben satisfacer lo siguiente: ∑ Mc ≥ (6/5) ∑ Mg ∑ Mc = Suma de los momentos en las caras de las juntas, correspondientes a la resistencia flexionante nominal de las columnas. ∑ Mg = Suma de los momentos en la caras de la junta, correspondientes a la resistencia flexionante de las vigas. En construcción de vigas T, el refuerzo de los contenidos en su ancho efectivo, definido en 8.10, contribuirá a la resistencia de flexión. Si no se satisface este requisito, la resistencia lateral y la rigidez de la columna no será considerada al determinarse la resistencia y rigidez de la estructura y la columna debe conformarse con el numeral, 21.9. Además la columna debe tener un refuerzo transversal en toda su altura, conforme lo especificado en 21.4.4.1 al 21.4.4.3. 21.4.2 La relación de refuerzo ρg no será menor que 0.01 y no excederá de 0.06. 21.4.3.1

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Pórticos Intermedios y Ordinarios Intermedios: Fuerza axial de comprensión factorada > Ag f’c /10. Ordinarios: Sin requisitos similares

Sin requisitos similares

La relación de refuerzo ρg no será menor que 0.01 y no excederá de 0.08 10.9

Empalmes Armadura Transversal

Pórticos Especiales Empalmes mecánicos se conformarán con 21.2.6 y empalmes soldados se conformarán con 21.27.7.1. Empalmes traslapados se permiten solamente en la mitad central de la longitud del miembro, deben ser empalmes de tensión y estarán encerrados dentro de un refuerzo transversal conforme a los números 21.4.4.2 y 21.4.4.3 21.4.3.2 La armadura transversal requerida en los siguientes ítems, se necesita que se provea solamente en una longitud (Lo) desde la cara de cada junta y en ambos lados de cualquier sección donde podría ocurrir k¡la fluencia flexionante. La longitud (Lo) no será menor que: La profundidad del miembro 1/6 de la luz neta. 45 cm. 21.4.4.4

Pórticos Intermedios y Ordinarios No hay restricciones en la localización de los empalmes, los cuales se colocan típicamente justo por encima del piso para facilidad de construcción. Sin embargo, para pórticos intermedios los empalmes se pueden localizar en la mitad central del miembro. Los empalmes pueden ser de clase A o B y tendrán refuerzo transversal donde se anticipan esfuerzos flexionantes o reversibles. Intermedios: La longitud (Lo) es la misma que para pórticos especiales, excepto que el máximo espaciamiento (Lo) dentro de esta longitud, con el primer amarre localizado a S0 /2 desde la cara d la junta, no excederá del menor d estos valores: 8 x diámetro de la varilla longitudinal más delgada. 24 x diámetro de la varilla transversal, h/2 30 cm 21.10.5.1

Ordinarios: Sin requisitos similares. La relación del refuerzo circular o espirar La relación de refuerzo espiral ρs no (ρs) no será menor que el siguiente valor: será menor que el siguiente valor: ρs = 0.12 f’c fyh ≥ (0.45 (Ag / Ac – 1) f’c / fyh) ρs =0.45 (Ag /Ac – 1 ) f’c fyh Y se conformará con las previsiones 21.4.4.1 del numeral 7.10.4. 10.9.3 El área total transversal del refuerzo de El refuerzo transversal se debe cercos rectangulares, para confinamiento proveer para satisfacer tanto el (Ash) no será menor que los valores esfuerzo cortante como el apoyo dados por las siguientes ecuaciones: lateral de las varillas longitudinales. (Ash) = 0.3 (Shcf’c / fyh) [(Ag/Ach) -1] 7.10.5.11.1 (Ash) = 0.09 (Shcf’c / fyh) 21.4.4.1

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Pórticos Especiales Pórticos Intermedios y Ordinarios Si el espesor del concreto por fuera de la armadura transversal de confinamiento excede de 10cm, se debe proveer un refuerzo transversal adicional, a un Sin requerimientos similares. espaciamiento < 30com. El recubrimiento sobre el refuerzo adicional no excederá de 10cm. 21.4.4.1 La armadura transversal será espaciada a distancias no mayores que:

Armadura Transversal

h/4, 6 x diámetro de las varillas longitudinales, 10cm < sx = 10 + ((35 - hx) / 3) 15 < cm 21.4.4.1 Crucetas o ramas de cercos traslapados, no se espaciarán más de 35cm en la dirección perpendicular al eje longitudinal del miembro. Varillas verticales no estarán a más de 15cm netos desde una varilla soportada lateralmente. 21.4.4.3 – 7.10.5.3 Donde ya no se requiere la armadura transversal según lo indicado anteriormente, el resto de la columna tendrá una armadura espiral o de cercos con un espaciamiento no mayor que: 6 x el diámetro de la varilla longitudinal. 15cm 21.4.4.6

Sin requerimientos similares.

Las varillas vercales no estarán a más de 15cm netos desde una varilla soportada lateralmente. 7.10.5.3 Intermedios.- El espaciamiento no será mayor que el doble del espaciamiento s0 indicado en 21.10.5.1 – 21.10.5.4 Ordinarios.- Requerimiento similar, excepto que el espaciamiento máximo no excederá de : 16 x diámetro longitudinal

de

la

varilla

48 x diámetro transversal

de

la

varilla

La dimensión más pequeña de la sección transversal. 7.10.5.2

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Pórticos Especiales La armadura transversal debe proporcionarse para resistir también la fuerza cortante de diseño Ve 21.4.5

Pórticos Intermedios y Ordinarios Intermedios.La armadura transversal debe proporcionarse también para resistir las fuerzas cortantes de diseño especificados en 21.10.3 Ordinarios.Proveer suficiente armadura transversal para el corte.

Armadura Transversal

11.5.4 – 11.5.6 Las columnas soportantes de las reacciones de miembros de rigidez discontinua, tales como muros, tendrán una armadura transversal según lo especificado en 21.4.4.1 al 21.4.4.3 21.4.4.3 en toda su altura total, si la carga de comprensión axial factorada, incluyendo los efectos de un temblor es mayor que Ag fc /10. Esta armadura transversal se extenderá dentro del miembro discontinuo por lo menos la longitud desarrollada de la mayor armadura longitudinal de la columna, en concordancia con 21.5.4. Si la columna termina en un plinto o losa de fundación, la armadura transversal se extenderá por lo menos 30 cm dentro del plinto o losa. 21.4.4.5

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Sin requerimientos similares.

Resistencia Flexionante Mínima de Columnas Las columnas se deben proveer con suficiente resistencia de tal manera que no fluyan antes que las vigas. Un desplazamiento lateral causado por la articulación de columnas puede resultar en un gran peligro o en el colapso total de la estructura. Por esta razón, las columnas se diseñan con una resistencia flexionante 20 % mayor que la de las vigas, en una misma junta. La resistencia nominal de columnas y vigas se calculan en las caras de las juntas. La resistencia fiexionante de una columna se calcula para la carga axial factorada consistente con la dirección de las fuerzas laterales consideradas, que resulte en la menor resistencia.

Columnas: Dimensión mínima de la sección 30 cm Relación dc lados no menor que 0.4 La resistencia flexionante de las columnas debe satisfacer el principio de “columna fuerte-viga débil”. Refuerzo longitudinal no mayor que 0.06 Juntas traslapadas sé permiten sólo en la parte central de la longitud de columnas. Cercos más cercanos entre sí, Smx = l0 cm, en una longitud desde las caras de juntas.

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Requisitos para la resistencia al Corte Además de satisfacer los requerimientos de confinamiento, la armadura transversal en columnas debe resistir la fuerza cortante máxima asociada con la formación de articulaciones plásticas en el pórtico. Aun cuando la regulación 21.4.2 intenta tener la mayor parte de la deformación inelástica en las vigas, la regulación 21.4.5.1 reconoce que puede ocurrir una articulación en la columna. De este modo, similarmente a las vigas, la armadura por cortante en las columnas se basa en el momento resistente probable Mpr que se puede desarrollar en los extremos de la columna. El momento resistente probable viene a ser cl máximo consistente con el rango de cargas axiales factoradas en la columna. Se deben considerar los desplazamientos tanto hacia la derecha como hacia la izquierda.

Juntas de Pórticos Especiales La total integridad de una estructura depende del comportamiento de las uniones viga columna. La degradación dc las juntas puede resultar en grandes deformaciones laterales que pueden causar daños considerables y aún la falta. El deslizamiento del refuerzo longitudinal en una unión viga-columna, puede conducir a un incremento de la rotación de la junta. Las varillas longitudinales deben ser continuas a través de la junta o deben desarrollarse adecuadamente para tensión y compresión en el núcleo confinado de la columna. Las dimensiones mínimas requeridas para columnas reducen las posibilidades de falla de adherencia durante las cargas reversibles más allá del punto de fluencia del acero. El desarrollo de rotaciones inelásticas en las caras de las juntas está asociado con las deformaciones en el refuerzo flexionante, mucho mayor que la deformación de la fluencia. (La dimensión de la columna en el sentido paralelo al refuerzo de las vigas debe tener una dimensión mínima. El factor dc reducción para cortante será 0.6 ). Las juntas o nudos deben ser analizados específicamente: Los nudos entre columnas y vigas representan regiones de discontinuidad geométrica y de rigidez de un pórtico, y están sujetos a concentraciones relativamente grandes dc esfuerzos. Una buena Porción de los daños debido a sismos ocurren en tales nudos Al dimensionar las vigas y columnas hay que tomar en cuenta el congestionamiento de la armadura que ocurre en los nudos. Se recomienda diseñar con relaciones moderadas de armadura. Es muy útil realizar dibujos mostrando el arreglo de las varillas. Las previsiones del Código con relación a las conexiones vigas-columnas, se refieren principalmente a los siguientes aspectos: Armadura transversal de confinamiento Diseño por esfuerzo cortante. Anclaje de la armadura longitudinal de las vigas dentro del núcleo de las columnas. Desarrollo de la armadura en tensión.

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Juntas de Pórticos

Armadura Transversal

Armadura longitudinal de vigas

Pórticos Especiales El refuerzo longitudinal de las vigas que terminan en una columna, se extenderá hasta la cara opuesta, del núcleo confinado de la columna y será anclado en tensión, de acuerdo al numeral 21.5.4 y en comprensión de acuerdo al capítulo 12 21.5.1.3 Donde la armadura longitudinal de una viga se extiende a través de una junta, la dimensión columna paralela al refuerzo de la viga, no será menor que 20 veces el diámetro de la varilla longitudinal mayor, para concreto de peso normal 21.5.1.4 El refuerzo transversal mediante cercos, requerido para los extremos de las columnas, se proveerán dentro de las juntas, a menos que éstas estén confinadas por miembros estructurales, según 21.5.2.2 Si los miembros se enmarcan en los cuatro lados de la junta y el ancho del miembro, en la cara de la columna, es por lo menos ¾ del ancho de la columna transversal puede ser reducido a un 50% de lo requerido en 21.4.4.1., dentro del espesor del miembro más bajo. El espaciamiento no excederá de 15 cm en los lugares. 21.5.2.1-21.5.2.2

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Pórticos Intermedios y Ordinarios

Sin requisitos similares

Sin requisitos similares.

Intermedios.- Sería prudente continuar la armadura transversal de los extremos de la columna, a través de la junta, como en el caso de pórticos especiales.

Pórticos Especiales

Pórticos Intermedios y Ordinarios

La resistencia nominal al corte de una junta, no excederá las fuerzas especificadas siguientes: Para juntas confinadas en sus cuatro caras 5.4 __ √fc Aj

Aún cuando no es requerido, sería prudente comprobar la resistencia cortante de la junta e pórticos intermedios. La fuerza en la armadura longitudinal de la viga se Para adjuntar confinadas en tres caras o en dos puede tomar como 1.0 fy en caras opuestas vez de 1.25 fy que se requiere para pórticos __ 4 √fc Aj especiales.

Resistencia al Corte

Para otras juntas __ 3.2 √ fc Aj Aj= Área efectiva de la sección transversal dentro de una junta, en un plano paralelo al plano del refuerzo que genera corte en la junta. La profundidad de la junta será la profundidad total de la columna Cuando una viga se enmarca en un apoyo de ancho mayor, el ancho efectivo de la junta no excederá del menor valor, como sigue: 1.- Ancho de la viga más la profundidad de la junta. 2.- El doble de la distancia perpendicular más pequeña desde el eje longitudinal de la viga al lado de la columna. Se considera que una junta es confinada si los miembros de confinamiento se enmarcan en todas las caras de la junta. Se considera que un miembro que se enmarca en una cara provee confinamiento a la junta, si por lo menos los ¾ de la cara de la junta está cubierta por el miembro enmarcado. 21.5.3 Al determinar las fuerzas constantes en las juntas, las fuerzas en el refuerzo longitudinal de las vigas, en la cara de la junta, se calculará asumiendo flexionante es 1.25 fy 21.5.1.1

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Sin requisitos especiales

Armadura Transversal Esta armadura en una conexión viga-columna tiene el propósito de proveer un confinamiento adecuado al hormigón, a fin de asegurar su ductilidad y permitir la mantención de su capacidad portante para cargas verticales aún después del desprendimiento de la capa exterior. Se debe colocar un mínimo refuerzo de confinamiento, según lo especificado para regiones de articulaciones potenciales, dentro de la conexión viga-columna, alrededor del refuerzo de la columna, a menos que la junta esté confinada’ por miembros estructurales. Para juntas confinadas en sus cuatro caras se permite una reducción del 50 % del refuerzo de confinamiento. En este caso el espaciamiento se puede incrementar a 15 cm. La armadura mínima para confinamiento, según lo anotado, se debe colocar a través de la junta sin considerar la magnitud de la fuerza cortante calculada en la junta.

Resistencia al Corte. Lo más significativo en la determinación de la capacidad de una junta viga-columna es el área efectiva Aj, el grado de confinamiento y la resistencia del hormigón. Los resultados de pruebas realizadas han demostrado que la resistencia al corte no se altera significativamente con el cambio del refuerzo transversal, provisto que se coloca la armadura mínima. Por tanto, solamente la resistencia del hormigón o las dimensiones del miembro pueden modificar la capacidad cortante, en caso de ser inadecuada. El factor de reducción de resistencia vale φ = 0.85 para el cortante en juntas. Mientras mayor es la fuerza de tensión en el acero mayor es la fuerza cortante en la junta. Por tanto, la fuerza de tensión en el refuerzo se toma conservadoramente como 1.25 fy Ag. El factor 1.25 considera la posibilidad de que, debido a la deformación de endurecimiento y resistencias actuales más altas que la fluencia especificada, se puede desarrollar una mayor fuerza de tensión en las varillas, dando como resultado una mayor fuerza cortante.

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Longitud desarrollada para armadura en tensión Para varilla desde el diámetro # 10mm, hasta # 35mm, con gancho estándar a 90° en hormigones de densidad normal, la longitud desarrollada será:

ldh ≥

fy dh ⎯⎯⎯⎯ __ 17 √ f’c

ldh = longitud desarrollada, con gancho

dh = diámetro de la varilla

8 dh 15cm Para hormigones livianos, la longitud desarrollada debe ser por lo menos 1.25 los valores dados. El gancho a 90° debe estar localizado dentro del núcleo confinado de una columna o de otro elemento de borde. Para varillas rectas de medidas 10mm, hasta # 35 mm. ld = 2.5 ldh Cuando el espesor del hormigón vertido en una vez cubre la varilla por debajo un espesor en º = 3.5 ldh por

Cuando el espesor del hormigón vertido en una vez cubre la varilla debajo en más de 30 cm.

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12 d b

db

ldb

NOTA: El gancho debe estar dentro de un nucleo confinado

GANCHO ESTANDAR A 90° Si la varilla no esta anclada por medio de un gancho a 90°, dentro del núcleo confinado de la columna, pero esta extendida dentro de un elemento e borde, la parte de la longitud desarrollada requerida no localizada dentro del núcleo confinado, deberá ser incrementada por un factor 1.6. Las expresiones dadas para la longitud desarrollada, ya incluyen los coeficientes 0.7 y 0.8 que normalmente se aplican a la longitud desarrollada, básica, Ihb. También incluye un factor de 1.4 sobre la longitud desarrollada requerida para estructuras convencionales, para prevenir los efectos de cargas reversibles.

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PAREDES ESTRUCTURALES PAREDES ESPECIALES La armadura distribuida de nervio ρv y ρn no será menor que 0.0025. Si la fuerza cortante de diseño __ Vu ≤ 0.26 Acv √ f’c, se debe colocar la armadura mínima (14.3).

PAREDES ORDINARIAS Relación mínima de refuerzo vertical: 0.0012 para varillas # 16 o menos 0.0015 para varillas # 18 o más Relación mínima de refuerzo horizontal: 0.0020 para varillas # 16 o meno 0.0025 para varilla # 18 o más.

14.3 Por lo menos dos capas de refuerzo se Muro con un espesor mayor que 25 cm deben emplear en un muro si la fuerza requieren dos capas de refuerzo cortante Vu, en el plano del muro, es (excepto muros de fundación). __ mayor que 0.53 Acg √ f’c. 14.3.4 21.6.22 El esparcimiento de la armadura, en Las longitudes desarrolladas, cada sentido, no será anclado o esparcimientos y anclajes del refuerzo empalmado de acuerdo a las se conformarán con lo estipulado en estipulaciones para refuerzo en los capítulos 12, 14 y 15. tensión, según 21.5.4. 21.6.3 La fuerza cortante nominal Vn, para paredes estructurales, no excederá de __ Vn = Acv (0.26 αc √ f’c + ρn fy) ∝c = 0.25, para hw / lw ≤ 1.5 ∝c = 0.17, para hw / lw ≥ 2.0

La resistencia nominal del corte Vn, para paredes se puede calcular mediante los siguientes métodos: __ Vc = 0.80 √ f’c hd + Nud / 4 lw

para valores intermedios varía linealmente.

__ __ lw(3.13 √f’c+ 2 Nu / lwh) Vc = (1.6 √f’c + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ) hd/10

Ó

21.6.4.1

Mu / Vu – lw / 2

Donde Mu / Vu – lw / 2 ≥ 0 Vs = Av fy d / S2 ; Vn = Vc + Vs

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PAREDES ESPECIALES Las paredes tendrán armadura para cortante en dos direcciones ortogonales en el plano de la pared. Si la relación hw / lw no excede de 2.0, la relación de refuerzo no será menor que la relación ρn 21.6.4.3

PAREDES ORDINARIAS La relación ρn del área del refuerzo cortante horizontal al área gruesa de hormigón de la sección vertical, no será menor que 0.0025. 11.10.9.2 El espaciamiento del refuerzo cortante horizontal S2, no execerá de lw / 5.3 h, ni de 45cm. 11.10.9.3 la relación mínima del refuerzo vertical, es función de hw / lw y del refuerzo horizontal como sigue: ρn = 0.0025 + 0.5 (2.5 – hw / lw) x (ρn – 0.0025) ≥ 0.0025 Además, el refuerzo cortante vertical no necesita ser mayor que el refuerzo horizontal requerido. 11.10.9.4 El espaciamiento del refuerzo vertical cortante S no será mayor que lw / 3.3 h, ni de 45 cm. 11.10.9.5

La resistencia nominal al corte de muros de pilas que comparten una fuerza lateral común, se asumirá que __ no exceda de 2 Acv √ f’c, siendo Acv el área de la sección transversal total y la resistencia nominal al corte cualquiera Sin requisitos similares de los muros de pila individuales, no __ excederá de 2.6 Acp √ f’c, siendo Acp el área de la sección transversal de la pila considerada. 21.6.4.4 La resistencia nominal al corte de Este límite existe también para muros segmentos horizontales de muro y ordinarios, excepto que Acp se vigas de acoplamiento, se asume que reemplaza por hd. __ 11.10.3 no excederán de 2.6 Acp √ f’c, siendo Acp el área de la sección transversal del segmento horizontal del muro o de la viga de acoplamiento. 21.6.4.5

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ARMADURA Los muros estructurales especiales deben ser provistos de armadura en dos direcciones ortogonales, en el plano del muro. La relación mínima de refuerzo, tanto en sentido longitudinal como transversal, es 0.0025, a menos que la fuerza cortante __ de diseño no exceda de 0.26 Acv √ f’c, donde Acv es el área neta de hormigón limitado por el espesor del nervio y la longitud del muro en la dirección del análisis; en este caso el refuerzo mínimo no será menor que lo indicado en 14.3. El refuerzo para la resistencia al corte debe ser continuo y distribuido uniformemente a través del plano de corte, con un espaciamiento máximo de 45cm. Por lo menos dos capas de refuerzo se requieren si la fuerza cortante plana asignada al muro __ excede de 0.26 Acv √ f’c. Esto tiene por objeto reducir la fragmentación y deterioración prematura del concreto bajo cargas reversibles en el rango elástico. La distribución uniforme de la armadura a través de las longitudes horizontal y vertical del muro, ayuda a controlar el ancho de las fisuras inclinadas. FUERZAS DE DISEÑO No se ha establecido realmente una condición similar a la empleada para vigas y columnas para el diseño de esfuerzo cortante en muros estructurales, debido principalmente a que la fuerza cortante en cualquier sección esta significativamente influenciada por las fuerzas y deformaciones en otras secciones fuera de la sección considerada. Por tanto, para muros estructurales, la fuerza cortante de diseño se determina del análisis de la carga lateral, de acuerdo con la combinación de cargas factoradas. La posibilidad de fluencias local, como en la parte del muro comprendida entre dos boquetes de ventanas, debe también ser considerada. Las fuerzas cortantes actuales pueden ser mucho más grandes que las indicadas por el análisis de cargas laterales basadas en las fuerzas de diseño factoradas.

RESISTENCIA AL CORTE. Como se indica en el cuadro adjunto. DISEÑO POR FLEXIÓN Y CARGAS AXIALES Los muros estructurales sujetos a cargas combinadas de flexión y axiales, deben ser diseñados de acuerdo con los numerales 10.2 y 10.3. El procedimiento es esencialmente el mismo que el usado generalmente para columnas. En el análisis de compatibilidad de deformaciones se debe incluir las armaduras en elementos de borde y la distribuida en alas y nervios. También se deben considerar las aberturas en los muros. Provisiones para la influencia de las alas en secciones de muros formando L – T – C o cualquiera otra sección constan en el numeral 21.6.5.2. Los anchos efectivos de las alas se consideran que se extienden desde la cara del nervio, una distancia igual al menor valor de la mitad de la distancia a un nervio adyacente o del 25% de la altura total de la pared.

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ELEMENTOS DE BORDE DE MUROS ESTRUCTURALES ESPECIALES Se disponen de dos criterios de diseño para evaluar la necesidad de elemento de borde en paredes estructurales. Se permite un análisis basado en desplazamiento en el cual el muro se desplaza una cantidad igual al desplazamiento de diseño esperado, y se requieren elementos de borde para confinar el hormigón cuando la deformación en la fibra externa de comprensión del muro excede de un valor crítico. El confinamiento debe proveerse sobre una longitud horizontal de por lo menos igual a aquella donde la deformación de comprensión exceda del valor crítico. Este procedimiento se aplica a muros o muros –pilas que son esencialmente continuos en su sección transversal en toda su altura, y son diseñados para tener una sección crítica de deflexión y carga axial, esto es que la respuesta inelástica del muro esta determinada por deflexión en la sección critica de fluencia. Las zonas de compresión deberán reforzarse con elementos de borde cuando: c ≥ lw / 600 (δu / hw) : δu / hw ≥ 0.007 c = distancia desde la fibra extrema de compresión al eje neutro, calculada para la carga axial factorada y el momento resistente nominal, consistente con el desplazamiento de diseño δu, resultante en la mayor profundidad del eje neutro. lw = longitud de todo el muro o segmento considerado en la dirección de la fuerza cortante. δu = desplazamiento de diseño. hw = Altura de todo el muro segmento considerado. El desplazamiento de diseño δu es el desplazamiento lateral total que se espera para el sismo de diseño. Típicamente la armadura para una sección de muro estructural se calcula primero para los efectos combinados de flexión, de carga axial y de fuerza cortantes, para todas las combinaciones de cargas aplicables. La distancia c entonces se puede obtener de un análisis de compatibilidad de deformaciones para cada combinación de cargas, incluyendo los efectos sísmicos, considerando desplazamientos hacia la izquierda y hacia la derecha. El mayor valor de c se usa en la ecuación anterior, para determinar la necesidad o no de los elementos de borde. Cuando se requieren elementos de borde, estos deben extenderse horizontalmente desde la fibra extrema de comprensión, una distancia no menor que c – 0.1 lw c/2, la que sea mayor. En la dirección vertical, los elementos se deben extender desde la sección critica, una distancia igual o mayor que el mayor valor de lw o Mu / 4 Vu. Esta distancia se basa en el límite superior estimado de la longitud de la articulación plástica, y esta más allá de la zona en el cual probablemente ocurra el desprendimiento del concreto. El segundo procedimiento para evaluar la necesidad de los elementos de borde es similar al establecido en el código 1995. Se diseñan para llevar la carga de gravedad tributaria más la resultante de comprensión asociada con el momento flector causado por las cargas sísmicas factoradas. Las zonas de compresión se reforzarán con elementos de borde donde el máximo esfuerzo de las fibras externas debido a las fuerzas factoradas, incluyendo los efectos sísmicos, sobrepasan de 0.2 f’c. Los elementos de borde se pueden discontinuar donde el esfuerzo de comprensión es menor que 0.15 f’c. Nótese que los esfuerzos son calculados asumiendo una respuesta lineal de la sección bruta de concreto. En el numeral 21.6.6.4 constan los detalles para la armadura de elementos de borde. La armadura transversal debe satisfacer los mismos requisitos establecidos para miembros de pórticos especiales sujetos a flexión y a carga axial. Además, la armadura transversal se extenderá dentro del apoyo, una distancia no menor que la

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longitud desarrollada de la varilla longitudinal más gruesa del elemento de borde. Para plintos o losas de fundación. La armadura transversal se extenderá por lo menos 30cm dentro de los mismos. La armadura horizontal en el alma del muro será anclada dentro del núcleo confinado del elemento del borde, para desarrollar su resistencia especificada a la fluencia. Para alcanzar este anclaje, se recomienda el uso de ganchos a 90° o dispositivos mecánicos. Cuando no se requieren elementos de borde, se deben satisfacer lo previsto en el numeral 21.6.6.5. En el caso de que la relación de armadura longitudinal en el borde del muro sea mayor que 28 / fy se proveerá de una armadura transversal espaciada a no más de 20cm. Esta armadura debe conformarse con los requisitos de los numerales 21.4.4.1 – 21.4.4.3 – 21.6.6.4 – 21.6.6.5 y sirve para ayudar en la prevención de pandeo de la armadura longitudinal. La relación de refuerzo longitudinal a ser usada incluye solamente la armadura en el final del muro. Las armaduras horizontales que termina en los filos de las paredes estructurales deben ser apropiadamente ancladas, a fin de que sea efectiva para resistir esfuerzos cortantes y contribuyan a evitar el pandeo de la armadura vertical del borde. Las provisiones indicadas en el numeral 21.6.6.5(b) no se requieren cuando la __ fuerza cortante Vu es menor que Acv 0.26 √ f’c.

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VIGAS DE ACOPLAMIENTO. Las vigas de acoplamiento entre muros estructurales. Cuando son proporcionadas y bien detalladas pueden constituir un medio eficiente de disipación de energía debido a fuerzas sísmicas, y pueden proporcionar un alto grado de rigidez total, a la estructura. Debido a la relación relativamente grande entre la altura y la luz libre, los extremos de las vigas de acoplamiento usualmente están sujetos a grandes rotaciones inelásticas. Un detalle adecuado y una armadura para corte son necesarios para prevenir fallas por corte y asegurar ductilidad y disipación de energía. Las vigas de acoplamiento con una relación ln / d ≥ 4 se conformarán con los requisitos del numeral 21.3 para miembros flexionantes de pórticos especiales. Se pueden excluir las disposiciones dc los numerales 21.3.1.3 y 21.3.1.4 si se demuestra que las vigas tienen una estabilidad adecuada. Cuando ln / d < 4 se permiten vigas de acoplamiento con dos grupos de varillas que se intercepten y se coloquen diagonalmente simétricamente con relación a la mitad de la luz. Para vigas de acoplamiento profundas, 1n / d < 2 se requieren varillas diagonales con una

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__ fuerza cortante factorada < √f’c, bd, a menos que se demuestre que no se comprometen la seguridad y la estabilidad. Experimentalmente se ha demostrado que el refuerzo orientado diagonalmente es efectivo solamente si las varillas se pueden colocar a una gran inclinación. En la figura siguiente se ilustran detalles principales para dos grupos de varillas que se interceptan diagonalmente. Los requisitos dc las dimensiones de los lados de la caja y su núcleo, sirven para proporcionar una adecuada tenacidad y estabilidad cuando las varillas son esforzadas más allá de su fluencia. La resistencia nominal al corte de una viga dc acoplamiento se calcula con la siguiente expresión: __ Vn =2 Avd fy s e n ∝ ≤ 2.7 √f’c bwd El refuerzo adicional especificado se emplea para confinar el hormigón afuera de los núcleos diagonales.

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DIAFRAGMAS ESTRUCTURALES Y ARMADURAS En la construcción de edificios, los diafragmas son elementos estructurales, tales como losas de pisos o de cubiertas, que sirven para algunas o todas las siguientes funciones: a) Proveer apoyo a ciertos elementos dc la construcción, tales como muros. tabiques o revestimientos, y resistir fuerzas horizontales, pero no formar parte del sistema resistente de fuerzas vertical - lateral.

b) Transferir fuerzas laterales al sistema resistente de fuerzas vertical - lateral. c) Interconectar varios componentes del sistema resistente de fuerzas laterales, con la apropiada resistencia. rigidez y tenacidad a fin de permitir la deformación y rotación del, edificio como una unidad. La sección 21.7.4 prescribe un espesor mínimo de 5 cm para losas de concreto y losas de tope compuestas, que sirven como diafragmas empleados para transmitir fuerzas sísmicas. El espesor mínimo se basa en lo que comúnmente se usa en juntas y sistemas de losas chicas en losas compuestas dc tope en pisos y sistemas dc cubiertas prefabricadas. Se requiere un mínimo de 6 cm para losas de tope colocadas sobre pisos o sistemas de cubiertas pre-fabricadas. que no actúan en conjunto con el sistema prefabricado para resistir las fuerzas sísmicas. Las secciones 21 .7.2 y 21 .7.3 proveen criterios de diseño para diafragmas vertidos en obra. Para el caso de losas compuestas de tope, vertidas en obra sobre un piso o sistema de cubierta pre-fabricados, se requiere una adherencia tal que el sistema de piso o cubierta pueda proporcionar restricción contra pandeo de la losa. También se requiere refuerzo para asegurar la transferencia de fuerza cortante a través de las juntas prefabricadas. No se requiere acción conjunta para losas de tope vertidas en sitio sobre un sistema pre-fabricado de piso o de cubierta, si es que la losa se diseña para resistir fuerzas sísmicas. ARMADURA.- La relación mínima dc refuerzo para diafragmas estructurales es la misma que la requerida para temperatura y retracción. El espaciamiento máximo de 45cm para las varillas tiene por objeto controlar el ancho de las fisuras inclinadas. Los elementos estructurales de armaduras, puntales, amarres, cuerdas-diafragmas y elementos colectores, tendrán una armadura transversal según se especifica en los numerales 2 1.4.4.1 al 21.4.4.3 cuando el esfuerzo de compresión en cualquier sección excede de 0.2 f’c. El refuerzo transversal especial ya no es necesario cuando el esfuerzo de compresión es menos que 0. 1 5 f’c. RESISTENCIA AL CORTE.- Los requisitos de resistencia al corte para diafragmas estructurales monolíticos son similares para los de muros estructurales, En particular, la resistencia cortante nominal se calcula con la siguiente expresión: __ __ Vn = Acv (0.5 √ f’c + ρn fy) ≤ 2 Acv √ f’c Acv = espesor x ancho del diafragma. La armadura cortante se colocará perpendicularmente a la luz del diafragma. La resistencia nominal al corte para diafragmas de losas de tope. Se basa en un modelo de corte por fricción, y no incluye la contribución del hormigón:

Vn = Acv ρn fy ≤ 2 Acv

__ √ f’c

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Típicamente, las secciones críticas de los diafragmas se fisuran bajo cargas de servicio, por lo que la contribución del hormigón a la completa capacidad de corte del diafragma puede haber sido ya reducida antes de que ocurra el sismo de diseño. Por esta razón. La contribución del concreto se toma como cero. El refuerzo requerido de alma se distribuirá uniformemente en ambas direcciones. ELEMENTOS DE BORDE DE DIAFRAGMAS ESTRUCTURALES.- Estos deben ser dimensionados para resistir la suma de las fuerzas axiales factoradas que actúan en el plano del diafragma y las fuerzas obtenidas de la división del momento factorado en la sección por la distancia entre los elementos de borde del diafragma a esa sección. Se asume que el momento flexionante es resistido completamente por las fuerzas de cuerda que actúan en los filos opuestos del diafragma. Es indispensable que los empalmes del refuerzo de tensión ubicados en los elementos de cuerdas y colectores, sean completamente desarrollados y confinados adecuadamente. Una resistencia al corte adecuado para transferir las fuerzas cortantes se debe proveer entre el diafragma y el muro, cuando el refuerzo de cuerda está colocado dentro del muro.

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FUNDACIONES En la sección 21.8 del Código ACI constan los requisitos que deben cumplir las fundaciones de edificios ubicados en zonas de alto riesgo sísmico, o asignarlos a una alta categoría de riesgo según su funcionalismo. Hay que notar que las fundaciones deben también cumplir con las otras provisiones aplicables del Código. Detalles requeridos para plintos, losas de fundación y cabezales de pilotes se ilustran en la siguiente figura. VIGAS Y LOSAS SOBRE El. SUELO.- Las vigas que son diseñadas como riostras entre cabezales de pilotes o plintos tendrán una armadura continua que se desarrollara dentro o más allá de la columna soportada. o será anclada dentro del cabezal o plinto, en los extremos discontinuos. En el numeral 21.8.3.2 constan los requerimientos geométricos y de refuerzo. La dimensión más pequeña dc la sección transversal de una viga sobre el suelo será mayor o igual a la distancia neta entre las columnas conectadas dividida para 20. pero no necesita ser mayor que 45cm. Cercos cerrados deben colocarse en toda la longitud de la viga con un espaciamiento máximo igual a la mitad de la menor dimensión de la sección ortogonal de la viga o a 30 cm . el que sea menor. Las vigas que son parte de una losa de fundación que esta sujeta a flexión entre columnas que son parte del sistema resistente a fuerzas laterales, tendrán un refuerzo detallado requerido para miembros flexionantes de pórticos especiales. Las losas sobre el suelo serán diseñadas como diafragmas cuando están sujetas a fuerzas sísmicas entre muros o columnas que son partes del sistema resistente a fuerzas laterales. Dichas losas serán designadas como miembros estructurales en los planos de diseño. PILOTES, PILAS Y CAJONES.- Cuando estos elementos están sujetos a fuerzas de tensión inducidas por un sismo, se requiere un medio apropiada para transferir las fuerzas desde la armadura longitudinal de las columnas o elementos de borde, a través del cabezal de los pilotes, a la armadura del pilote o cajón. De esta manera se proporciona una armadura longitudinal continua en toda la longitud donde se requiere resistencia a la tensión. y debe ser detallada apropiadamente para transferir las fuerzas a través de los elementos. En el tope de los pilotes, pilas y cajones se requiere una armadura transversal en una longitud igual o por lo menos 5 veces la dimensión de la sección transversal del miembro, pero no menor que 1.80m por debajo de la base del cabezal del pilote. Para tramos de pilotes en suelos que no son capaces de proporcionar apoyo lateral. que están al aire o en agua. Toda la longitud no apoyada más la indicada anteriormente debe ser confinada con refuerzo transversal. Requisitos adicionales están contenidos en los numerales 21.8.4.5 al 21.8.4.7.

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MIEMBROS DE PÓRTICOS NO PROPORCIONADOS PARA RESISTIR FUERZAS SÍSMICAS En las regiones de alto riesgo sísmico o en estructuras asignadas a satisfacer un alto rendimiento sísmico o categoría de diseño, los miembros que de una estructura que se asume que no contribuyen a la resistencia lateral deben cumplir con ciertos requisitos especiales (21.9). Específicamente. Estos miembros deben ser detallados según la magnitud dc los momentos que se inducen cuando se someten a los desplazamientos de diseño. Con esto se intenta mantener al sistema soportante de cargas de gravedad su capacidad de carga soportante cuando ocurren los desplazamientos laterales máximos esperados. Aun cuando no se considera necesario que estos elementos del sistema de carga de gravedad sean diseñados para momentos y cortantes relacionados a las fuerzas laterales, se reconoce la necesidad de que sean diseñados para soportar a más de las cargas verticales los momentos inducidos por los desplazamientos. A continuación se indica un resumen de tales requerimientos: 1) Calcular momentos y cortantes (E) en todos los elementos que no forman parte del sistema resistente dc fuerzas laterales, debido al desplazamiento de diseño δu, el mismo que es determinado en base al sismo de diseño considerando los efectos en las secciones fisuradas, torsión, efectos P - Δ y los factores de modificación para tener en cuenta las respuestas inelásticas esperadas. 2) Determinar el momento factorado Mn y la fuerza cortante Vu en cada elemento que resulten críticos según las siguientes combinaciones de carga: U=1.051D+ 1.28 L+ E U = 0.9 D + E 3 En el caso en que Mu ≤ φ Mn y Vu ≤ φ Vn, y si es que el elemento esta sujeto a una carga factorada axial de gravedad Pu ≤ Ag f’c / 10, se debe satisfacer el requisito de refuerzo longitudinal establecido en el numeral 26.3.2.1. Además se deben proveer cercos a todo lo largo del miembro con un espaciamiento no mayor que d / 2. Si el elemento está sujeto a una carga axial Pu > Ag f’c /10 donde Pu < 0.35 P0, debe conformarse con las regulaciones 21.4. Además se deben proveer de amarres en toda la altura de la columna con un espaciamiento máximo So, espaciamiento que no excederá del valor menor de 6 veces el diámetro de la varilla longitudinal más delgada o de 1 5 cm. Si la carga axial dc gravedad Pu > 0.35 Po, se deben cumplir con los requisitos del numeral 21.9.2.2 y la cantidad de la armadura transversal será la mitad de lo requerido en 21 .4.4.1 sin exceder el espaciamiento So para toda la altura de la columna. 4 Sí Mu o Vu exceden de φ Mn, o φ Vn, o si no se calculan los momentos y las fuerzas cortantes inducidas por los desplazamientos de diseño, entonces los materiales estructurales deben satisfacer con lo especificado en los numerales 21.2.4 y 21.2.5. y los empalmes de la armadura deben satisfacer los numerales 21.2.6 y 21.2.7. Si tales elementos están sujetos a una carga Pu < Ag f’c / 10, deben conformarse con lo establecido 2 1.3.2.1 y 2l.3.4~ además se debe colocar en toda la longitud del miembro cercos espaciados a no más de d / 2. Si tales elementos están sujetos a una carga Pu, > Ag f’c / l0, se debe proporcionar un completo detalle de ductilidad. Conforme con los numerales 21.4.4 —21.4.5 — 21.5.2.1.

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REQUISITOS PARA PÓRTICOS INTERMEDIOS Con el propósito dc comparación con los pórticos especiales, las provisiones para pórticos intermedios se presentan en el mismo cuadro que para pórticos especiales. LOSAS PLANAS. Las losas cruzadas planas. Esto es sin vigas, se aceptan como sistema resistente a sismos en regiones de bajo o moderado riesgo sísmico, o para estructuras asignadas a una categoría de diseño baja o moderada. Estas estructuras no se permiten en regiones de alto riesgo sísmico o asignado a una categoría de alta resistencia. C1 = Dimensión de la sección de la columna en la dirección del tramo para el cual se han calculado los momentos. C2 = Dimensión de la sección de la columna, transversalmente a la dirección del tramo de la losa. d = Altura efectiva de la losa h = Espesor total de la losa

1 / 2 Faja Media

C1

Faja de Columnas

C2

Toda la armadura As para resistir Ms se debe colocar en esta faja

C2 + 3h

As ≥

1 / 2 Faja Media

( Aplicable a las armadura de cara superior y de la cara inferior) colocar en esta faja

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Necesario para resistir γsM s 1/2 As de la de columnas

REQUERIMIENTOS PARA LOSAS CRUZADAS SIN VIGA Intermedia. Toda la armadura prevista para resistir Ms, la parte del momento de la losa balanceado por el momento de apoyo. debe colocarse dentro de la faja de columnas 21.10.6.1. Ordinaria. Se permite que la faja media lleve una parte del momento no balanceado.

Intermedia. La fracción del momento Ms, definida por la ecuación 13- 1 , debe ser resistida por la armadura colocada dentro del ancho efectivo especificado en el numeral 13.5.3.2 21. 10.6.2 Ordinaria. Requerimiento similar. Intermedia.- No menos de la mitad de la armadura en la faja de columnas, en los apoyos. Se colocará dentro del ancho efectivo de la losa 21.10.6.3 Ordinaria. Sin requerimiento similar. Intermedia. No menos que una cuarta parte de la armadura de la cara superior en los apoyos, en la faja dc columnas, será continua en toda la luz. 21.10.6.4 Ordinaria. Sin requerimiento similar. Intermedia / Ordinaria.- Todas las varillas de la cara interior, en la faja de columnas, serán continuas o empalmadas con empalmes A. Por lo menos dos varillas inferiores de la faja de columnas pasarán por el núcleo de la columna y serán ancladas en el apoyo exterior 13.3.8.5

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Intermedia. No menos de la mitad de todo el refuerzo inferior en la mitad de la luz será continua y desarrollará su resistencia de fluencia en la cara del apoyo ( 13.6.2.5 ) 21.10.6.6 Ordinaria. Sin requerimiento similar.

Intermedia. En los bordes discontinuos de la losa, todo el refuerzo superior e inferior en el apoyo será desarrollado en la cara del apoyo según se define en el numeral 1 3.6.2.5 21.10.6.7 Ordinaria. El refuerzo para momento positivo, perpendicular a un borde discontinuo. se extenderá hasta el filo de la losa y tendrá una entrega de por lo menos 15 cm en vigas de antepecho, columnas o muros. El refuerzo para momento negativo, perpendicular a un borde discontinuo, debe ser anclado y desarrollado en la cara del apoyo de acuerdo según lo previsto en el Capítulo 12. 13.3.3 — 13.3.4

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_____________________________ Referencias: Código ACI – 3 / BM – 02 P.C.A. Notas sobre el Código

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EJEMPLO DE DISEÑO SÍSMICO Consideremos un edificio de 12 pisos, cuya estructura consta de pórticos y muros de cortante. Se ilustran los cálculos de las fuerzas sísmicas de diseño y la combinación de cargas para miembros típicos. Las cargas de diseño están calculadas de acuerdo al código UBC – 1997 (Código Uniforme para edificios). Las columnas y los muros estructurales tienen una sección transversal constante en toda la altura del edificio. La base de fundación se asume como empotrada. Las vigas y losas tienen también las mismas dimensiones en todos los pisos.

DATOS PERTINENTES Resistencia

del : f’c = 280 kg / cm2

hormigón : fy = 4200 kg / cm2

Fluencia del acero Peso

unitario

del : Wc = 2320 kg / m3

concreto

CARGAS DE SERVICIO Sobre carga viva Pisos

: 240 kg / m2

Adicional en corredores

: 120 kg / m2

Total en pisos

: 360 kg / m2

Cubierta

: 95 kg / m2

SOBRECARGA MUERTA Promedio

por : 92 kg / m2

particiones Cielo raso, instalaciones : 50 kg / m2 Total

promedio en : 140 kg / m2

pisos Techo

: 50 kg / m2

Se consignan valores de las cargas que supuestamente fueron determinadas por un cálculo estructural.

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DISEÑO DE VIGA El propósito es determinar la armadura requerida por flexión y esfuerzo cortante, en la viga AB, del 6º piso, de un pórtico interior transversal típico. La viga lleva una carga muerta de 2700 kg/m, y una sobrecarga viva de 1230 kg/m. Los momentos de diseño son los indicados en el gráfico siguiente: La sección de la viga es b = 50 cm, h = 60 cm d = 55 cm El espesor de la losa es 20 cm Resistencia del hormigón f’c = 280 kg/cm2 Fluencia el acero fy = 4200 kg/cm2

+15490

A

-36930

+33280 kgm

B

-44670

6.70

-43290

+15490

C

-44670

-43290

6.70 m

D

-36930

6.70

a) Comprobamos las limitaciones de las dimensiones de la sección de la viga: (21.3.1.3) la relación del ancho a la altura no debe ser menor que 0.3 50/55 = 0.91 > 0.3

ok

(21.3.1.4) el ancho no debe ser menor que 25 cm, ni mayor que el ancho de la columna de apoyo, más la distancia a cada lado que no excedan ¾ de la profundidad del miembro en flexión:

≥ b = 50 cm

≤

25 cm 65 + 1.5(55) = 47.5 cm

b) Calculo de la armadura requerida por flexión.

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ok ok

1. Armadura para el momento negativo en el apoyo B. Usamos el mayor de los momentos, esto es Mu = 44670 kgm. No tomamos en cuenta los efectos de cualquier armadura de comprensión que puede haber: F = bd2 = 0.50 x 552 = 151200 Kn = Mu/F = 44670 / 151200 = 0.205 De la tabla de flexión F 1 –4 entrando con este valor de Kn Se lee ρ = 0.0082; an = 35.20 Armadura: As = Mu/and = 44670/35.20x55 = 23.07 cm2 Adoptamos: 4#28 = 24.63 cm2 Calculamos el momento resistente, en el apoyo B: A= As fy/0.85 f’c b = 24.63 x 4200 / 0.85 x 280 x 50 = 8.7 cm Mu = Asfy (d- a/2) φ = 24.63 x 4200 (55 – 4.3) 0.90 = 47200 kgm. Comprobamos los límites de relación de refuerzo ρ = 24.63 / 50 x 55 = 0.00896 ρmin = 14 / 4200 = 0.0033 ρmax = 0.025 21.3.2.1

2. Armadura en el apoyo A, para momento negativo Mu = 36930 kgm. Kn = 36930 / 151200 = 0.244

En la tabla F1 – 4 se lee ρ = 0.0068

an = 35.67

Armadura: As = 36930 / 35.67 x 55 = 18.82cm2

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Adoptamos: 4 # 25 = 19.64 cm2 Esto nos da el siguiente momento resistente negativo, en el apoyo A: a = (198.64 x 4200) / (0.85 x 280 x 50) = 6.92 cm Mu = 19.64 x 4200 (55-3.46) 0.90 = 38 300 kgm.

3. Armadura para el momento positivo en los apoyos. 4. Armadura para el momento positivo en el centro del claro, tanto la resistencia para momento negativo como para momento positivo en cualquier sección a lo largo del miembro, no será menor que una cuarta parte del momento resistente provisto en la cara de cualquier junta (21.3.2.2); por lo tanto el mínimo valor del momento positivo de diseño es = 47200 / 4 = 11800 kgm, el cual es menor que el máximo momento positivo en la mitad de la luz, 15490 kgm. Colocamos varillas continuas en la cara inferior a través de ambos claros. Determinamos el refuerzo requerido en base a la resistencia flexionante positiva del apoyo: ApoyoB = 23600 kgm Armadura requerida As = 24.63 / 2 = 12.32 cm2 Escogemos 3 # 25 (As 14.73 cm2) / 10 cual nos da una resistencia de flexión de diseño = ¾ x 38300 = 28125 kgm Comprobamos ρ ρ = 14.73 / 50 x 55 = 0.0054 > ρmin = 0.003 ok c) Calculo de la longitud requerida de anclaje d la armadura flexionante, en las columnas exteriores. La longitud desarrollada para una varilla con ganchos de 90º debe ser por lo menos: (21.5.4.1) ___ ____ ldh = fy db / 17.2 √ f’c = 4200 x 25 / 17.2 √ 280 = 36 cm ó

8 db = 8x2.5 = 20 cm ; 0.15 cm

diámetro de doblado > 6 db

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Columna

40cm

Viga 4 # 25

60cm

30cm

20cm

db

36cm 55cm

3 # 25

DETALLE DE ANCLAJE DE ARMADURA EN COLUMNAS EXTERIORES d) Análisis por esfuerzo cortante Este diseño corresponde a los momentos de extremo obtenidos de la suposición que los esfuerzos en el acero en tensión es 1.25 fy, sin factor de reducción de resistencia, esto es φ = 1,0 (resistencia probable) más las cargas tributarias de gravedad factorada, o las cargas tributarias factoradas de acuerdo al código VCB – 94, sección 1921.3.4.1. Los cálculos a continuación se basan en las cargas no factoradas, conforme al VBC – 94 Mpr = 1.25 As fy [d – a/2]; a = 1.25 As fy / 0.85 f’c b = 0.44 As Calculamos los valores de las fuerzas cortantes extremas correspondientes a los casos de carga que deben considerarse. Wu = WD + WL = 2700 + 1230 = 3930 kg /m La contribución del hormigón a la resistencia al corte Vc, no se tomará en cuenta si la fuerza cortante inducida por el sismo (correspondiente a la resistencia flexionante probable en los extremos de las vigas, calculada con fs = 1.25 fy y φ = 1.0), es mayor que la mitad de la fuerza cortante total del diseño y si la fuerza de comprensión, axial, incluyendo los efectos del sismo, es menor que Ag f’c/20. Para desplazamiento a la derecha, la fuerza cortante en el borden B, debido a la resistencia flexionante “probable” en los extremos de la viga, calculamos como sigue:

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Momento positivo Apoyo A M+prs = 14.73 x 5250 (55 – (0.44 / 2) x 14.73) = 40030 kgm Apoyo B M-prB = 24.63 x 5250 (55 – 0.22 x 24.63) = 64110 kgm Apoyo A Momento negativo M-prA = 19.63 x 5250 (55 – 0.22 x 19.63 ) = 52230 kgm Fuerza cortante en B 1. = 40030 + 64110 / 6.10 = 17070 kg 2. = 52230 + 40030 / 6.10 = 15120 kg Wln / 2 = 3930 x 6.10 / 2 = 11990 kg

+

W = 3930 Kg/m

B

40030

64110

A

-

Ve=(M -prA + M+prB)/ ln± Wln / 2

CARGAS

-5080

29060

27110

-3130

6.10

A

W = 3930 Kg/m

6.10

Desplazamiento a la izquierda

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B

40030

52230

Desplazamiento a la derecha

e) La fuerza cortante VB = 17070 kg, es mayor que el 50% del cortante total de diseño Vu = 29060 kg, esto es 29060/2 = 14530 kg. Por consiguiente no se puede tomar en cuneta la contribución del hormigón a la resistencia al corte para determinar la armadura: Tendremos: φ Vs = Vu – 0; Vs = 29060 / 0.75 = 38740 kg (11.1.1) __ 38740 < √f’c db = 16.7 x 50 x 55 = 45920 kg (11.5.4.3) Calculamos el espaciamiento para armadura que consta de cercos # 10 más una cruceta # 10; As = 3 # 10 = 2.36 cm2 S = As fy d/ Vs = 2.36 x 4200 x 55 / 34190 = 14 cm El espaciamiento máximo permisible para cercos, dentro de una distancia 2h = 2 x 60 = 120 cm, a partir de la cara del apoyo, vale el menor de los siguientes valores:

Smax ≤

d/4 = 55 / 4 = 8 x diámetro de la varilla más pequeña = 8 (2.5) = 20 cm 24 x diámetro de los cercos = 24 (1.0) = 24 cm 30 cm = 30 cm

rige S = 14 cm (12.0) Más allá de la distancia 2h desde la cara de los apoyos, el máximo esparcimiento de cercos es Smax = d/2 = 27 cm (25). El primer cerco se colocara a no más de 5 cm desde la cara de la columna. Se tomará en cuenta las siguientes normas del código ACI: Los amarres laterales se dispondrán de tal manera que cada varilla longitudinal, y la alternada, tengan apoyo lateral provisto por el estribo exterior o por un amarre con un ángulo no mayor de 135º, ninguna varilla estará separada más de 15 cm netos a cada lado desde una varilla apoyada lateralmente. Donde la carga es tal que pueden ocurrir deformaciones inelásticas en puntos intermedios dentro del tramo, por ejemplo debido a cargas concentradas cerca la mitad de la luz, el espaciamiento de los cercos se determinarán de un modo similar al empleado anteriormente para regiones cercanas a los apoyos.

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Nótese que empalmes traslapados de la armadura longitudinal, no se deben usar dentro de los muros o dentro de una distancia 2d desde la cara de los apoyos. Cuando se usan fuera de estas zonas, tales empalmes debe ser confinados en la longitud del traslape mediante cercos o zunchos, con un espaciamiento máximo o paso d/4 ó 10 cm. f) Interrupción de la armadura negativa Con el propósito de determinar los puntos de corte de la armadura negativa, usaremos un diagrama de momentos correspondientes a los momentos plásticos de los extremos de una carga muerta igual a 0.9 D, se determinará el punto de corte para dos de las cuatro varilla # 28 de la cara superior, cerca del apoyo interior B de la viga AB. Determinados la capacidad flexionante de la sección, con dos aceros # 28

;

2# 28 = 12.31 cm2.

A = 12.31 x 4200 / 0.75 x 280 x 50 = 4.9 cm Mu = 0.90 x 12.31 x 4200 (55 – 2.45) = 24500 kgm. Ahora encontraremos la distancia, desde el borde del apoyo B, en la cual se tiene este valor de momento:

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B

A

64110 Kg-m

40030 Kg-m

W = 0.9 x 2700 = 2430 Kg/m

6.10

CARGAS

40030

x = 1.77m

24500

64110

MOMENTOS Calculamos las reacciones

RB= 2430 x 6.10 / 2 + 40030 + 64110 / 6.10 = 7410 + 17070 = 24480 kg RA = 7410 – 17070 = - 9660 Kg Tendremos: 2430 x2 / 2 - 24480x + 64110 = 24500 1215x2 – 24480x + 39610 = 0 la solución de esta ecuación nos da x = 1.77 m entonces las dos varillas # 28 de la cara superior, cerca del apoyo B se pueden cortar a una distancia, desde el borde del apoyo x + d = 1.77 + 0.55 = 2.32 m. Sea 2.35m (nótese que d > 12 db) Longitud desarrollada requerida ldb = 47 db = 47 x 2.8 = 132 cm Por capa superior ld = 1.30 x 132 = 172 cm < 235 ok En el apoyo exterior, de las 4 varilla # 25, podemos cortar las dos. El cálculo es similar a la anterior y el punto de corte a partir de la cara del apoyo A será x + d = 1.55 + 0.55=2.10 m.

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g) Empalmes del reesfuerzo en flexión. Los empalmes traslapados de la armadura de flexión no se deben colocar dentro de un nudo, en una distancia 2 d desde la cara de apoyo, o en los lugares de una articulación plástica potencial. Nótese que todos los empalmes deben estar confinados por cercos o zunchos, con un máximo espaciamiento o paso de d/4 o 10 cm, en toda la longitud del empalme. 1.) Varillas inferiores, # 25._Estas varillas estarán sujetas al máximo esfuerzo en la mayoría de la longitud de la viga. Úsese empalmes clase C. Longitud requerida del empalme 1.7 ld. ld = 74 cm. Longitud del empalme 1.7 x 0.74 = 1.26 m. 2.) VARILLAS SUPERIORES.-Por cuanto la parte central del vano está sometida siempre a momento positivo (tabla 4), los empalmes de las varillas superiores se deben localizar en o cerca del centro del tramo. Se requieren empalmes clase A. Longitud del empalmes requerido 1.4 ld =1.4 x 0.96 = 1.35 cm.

IX − 59

IX − 60

DISEÑO DE COLUMNAS Las dimensiones de la columnas exteriores se ha establecido como 55 x 55 cm. con una armadura de 8 varillas # 28 repartidas simétricamente, f’c = 280 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 De la tabla de cargas tenemos que Pumax = 531 620 kg. Comprobamos: Ag f’c/10 = (3025 x 280) / 10 = 84700 kg. Pu > 84700 por lo cual las regulaciones de diseño antisísmico son aplicables para miembros en flexo – compresión. a)

Comprobamos las limitaciones del refuerzo, los requisitos de la capacidad de momentos: 1. Relación de armadura : 0.01 ≤ ρ ≤ 0.06 Ayt = 8 # 28 =49.26 cm2

ρ = 49.26 / 3025 = 0.0163.

2. La resistencia a la flexión de las columnas relacionada con la resistencia a la flexión de las vigas, que marcan en la junta, debe satisfacer la siguiente expresión. Σ Mc ≥ 6 / 5

Σ Mg

Mc = momentos de la columnas; Mg = momentos de vigas Tenemos calculado anteriormente, la capacidad flexionante de la viga, en el apoyo A: Mu = 38300 kgm. Correspondiente a un desplazamiento a la izquierda. La máxima carga axial en la columna A, en el 2º piso, para ladeo hacia la izquierda vale Pu = 531620 kg. Pu = φ Pn = 53 1620; f’c = 280 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 ρ = 0.016; obtenemos (ábaco 7.4.3) φ Pn / Ag = 531620 / 3025 = 116 φ Mn = 16 x 3025 x 0.55 = 26620 Kg m

IX − 61

φ Mn / Agh = 16

como las columnas tienen las mismas dimensiones hacia arriba y hacia abajo del piso considerado, el momento total que da la capacidad de las columnas será: φ Mn = 2 x 26620 = 53240 kgm. 6/5 Mg = (6 x 38300) / 5 = 45960 kgm. Σ Me > 45960.

Mc = 26620

Viga 50x60

Columna 55x55

M g = 38300

Mc = 26620

3. Resistencia flexionante de las columnas con relación a la resistencia de las vigas enmarcadas en el sentido longitudinal del edificio. Por cuanto las columnas que estamos analizando están localizadas en la parte central del pórtico longitudinal exterior, la carga axial debida a los empujes sísmicos, en esta dirección es despreciable. Bajo una carga axial de (1.2 D + 1.66 L) = 477 / 90 kg calculamos el momento flector correspondiente: (Ábaco 7.4.3). φ Pn / Ag = 477190 / 3025 = 158

φ Mn / Agh = 22.

φ Mn = 22 x 3025 x 0.55 = 36600 Kgm. φ Mn = Mc = 36600 Kg m Asumimos que el refuerzo para momento negativo en las vigas longitudinales es igual al de las vigas transversales

IX − 62

Supongamos que la capacidad flexionante de la viga, en el lado opuesto de la columna, para momento positivo es igual a la mitad de la capacidad para momento negativo ya calculado, esto es 19150 Kg m

Mc = 36600

Viga 50x60

+ M g = 19150

- M g = 38300

Columna 55x55

Dirección longitudinal Mc = 36600

La capacidad flexionante total de las vigas enmarcadas en el nudo, en la dirección longitudinal, para ladeo en cualquier dirección será: Mg = 38300 + 19150 = 57450 Kg m Para columnas: ∑ Mc = 2 (36600) = 73200 Kg m 6 / 5 φ Mg = (6 x 57450) / 5 = 68940 Kg m φ Mc = > 68940 ok b)

Requerimientos de la armadura transversal. 1.

Un refuerzo transversal de confinamiento se requiere en una distancia Lo, desde los bordes de la columna, donde:

l0 ≥

Altura del miembro

= 55 cm. (viga)

1 / 6 de la altura neta: 305 / 6

= 51 cm.

45 cm.

= 45 cm.

IX − 63

Espaciamiento máximo permisible para cercos rectangulares: 1 / 4 la menor dimensión de la columna: 55 / 4 = 14 cm. 10 cm. (rige) Área transversal requerida como refuerzo de confinamiento, en forma de cercos: (área seccional).

0.12 S hc f’c / fy Ash

≥

0.3 S hc (Ag / Ach – 1) f’c / fy

hc = dimensión del núcleo de la columna, centro a centro del refuerzo de confinamiento. Ach = área del núcleo de una columna, medida de extremo a extremo del refuerzo transversal. Para cercos espaciados a 10 cm. fy = 4200 kg/cm2 y asumiendo tentativamente un diámetro # 12 mm. El área seccional requerida será: 0.12 x 10 x 46 280 / 4200 = 3.68 cm2 Ash ≥

(rige)

0.3 x 10 x 46 (3025/2209 – 1) 280 / 4200 = 3.40 cm2

Cercos mas una cruceta de # 12 nos da 3 # 12 = 3.39 cm2 Tenemos un espaciamiento de 9 cm y el área requerida será: Ash = 9 / 10 x 3.68 = 3.31 cm2 Entonces cercos # 12 @ 9 cm

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#

crusetas # 12 mm

55 cm

hc = 46

cercos # 12

Ag = 3025 cm2 Ach = 2209 cm2

55 cm 2. Armadura lateral para esfuerzo cortante. Como en el caso de las vigas, el diseño por esfuerzo cortante en las columnas no se basa en las fuerzas factoradas obtenida de las cargas laterales, sino más bien en la resistencia nominal flexionante de las columnas. Las normas antisísmicas del código requieren que el esfuerzo cortante se determine en base al momento nominal resistente más grande, consistente con la carga axial esperada sobre la columna. φ Mn / Agh = φ Mn / 3025 x 55 = 31 Mn = 51576 / 0.65 = 79348 Asumamos que puede ocurrir una carga axial semejante a la carga de balance, que corresponda a la máxima resistencia flexiónate: Entonces Mu = Mb = 13680 kgm. > al mayor momento resistente = 52230. Tendremos Vu = 2 Mu / l = 2 x 52230 / 3.05 = 34250 kg. __ Tomemos Vc = 0.5 √ f’c b d, conservadoramente ____ Vc = 0.5 √ 280 x 55 x 48.5 = 22300 kg. De ser necesario, se puede incrementar esta capacidad de corte del hormigón, considerando la carga axial de compresión).

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Cortante para la armadura: Vs = (Vu – Vc) = 34250 – 22300 Vs = 12000 kg. Tomamos cercos # 12; Av = 2 # 12 = 2.26 cm2 depreciando las crucetas, el espaciamiento será: S = Av fy d / Vs = 2.26 x 4200 x 48.5 / 12000 = 38 cm. Por consiguiente, el espaciamiento de la armadura transversal, en la distancia l0 = 55 cm. cerca de los extremos de la columna, esta gobernado por los requisitos de confinamiento antes que por los de esfuerzo cortante. Espaciamiento máximo permitido para el refuerzo de cortante: d / 2 = 24 cm. (rige) En resumen: Adoptamos estribos y crucetas # 12 @ 9 cm, dentro de una distancia de 55 cm. ( o más) desde el extremo de la columna, y cercos # 12 @ 24 cm. (o menos) en el resto de la longitud de columna. c)

Longitud mínima de empalmes traslapados para las varillas longitudinales. Las regulaciones A.C.I limitan la localización de juntas o empalmes traslapados, a la parte media central del miembro, debiendo ser diseñados como de tensión. Generalmente todas las varillas de la columna serán empalmadas en la misma ubicación, por lo cual se necesitaran empalmes clase B: Longitud de empalme: 1.3 ld = 1.3 x 0.80 = 1.05 m

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IX − 67

DISEÑO Y DETALLES DE MURO CORTANTE Un cálculo preliminar indica que la sección transversal del muro cortante propuesto en el anteproyecto, en el nivel de los pisos más bajos, debe ser incrementada. A continuación consideramos un muro d 50 cm, de espesor con elementos de borde de 80 x 30 cm de sección, armado con 38 # 32 varillas. Las cargas de diseño en el muro de cortante, a nivel del primer piso están consignadas en la tabla VI. Se debe notar que los ejes de los muros de cortante coinciden con las líneas centrales de las marcas transversales, de los cuales forman parte, por lo cual no se induce ninguna fuerza vertical, o sea fuerza axial, en los muros, debidos a cargas laterales. Del cálculo de las máximas cargas axiales en los elementos de borde se obtiene los siguientes valores: Carga axial factorada en el tabique:

Pu = 2073 t

Momento factorado

Mu = 6684 tm

para los elementos de borde : Pu = Pu – tabique / 2 + Mu / lw = 2073 / 2 + 6684 / 6.70 = 2034 t a. Comprobación de los requisitos para elementos de borde. Se proveerán de elementos de borde cuando el esfuerzo máximo de comprensión en las fibras extremas, debido a las cargas factoradas, se mayor que 0.2 f’c, a menos que todo el tabique se refuerce con todas las regulaciones relativas al refuerzo de confinamiento (21.4.4.3). Asumimos que no se proveerá al tabique de refuerzo de confinamiento en toda su sección: Para una pared rectangular homogénea de la siguiente sección: longitud 6.70 + 1.30 = 8.00 m Espesor = 0.50 m Se tiene: Tenemos

Ig Ag Mu Pu

= 50 x 8.003 / 12 = 21.33 x 108 cm4 = 50 x 8.00 = 40000 cm2 = 6’685258 kgm = 2’ 074770 kg.

El esfuerzo de compresión en las fibras extremas será: f’c = Pu / Ag + ( Mu lw / 2) / Ig = 2074770 / 40000 + (6’685280 x 100 x 800/2) / 21.33 x 108

f’c = 177 kg / cm2 > 0.2 f’c = 56 kg / cm2.

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Por consiguiente se necesitan de elementos de borde sujetos a los requisitos de confinamiento y cargas especificadas. b. Determinación del refuerzo mínimo longitudinal y transversal necesario en el tabique. 1. Veamos si se requieren dos capas de refuerzo. Dos capas de refuerzo se colocaran en un muro, si la fuerza cortante __ factorizado en un plano, asignado al muro, excede de 0.5 Acv √f’c; donde Acv es el área de la sección transversal limitada por el espesor del alma y por la longitud en la dirección de la fuerza cortante considerada. E valor de la máxima fuerza factorada de corte del muro, a nivel del primer piso es: Vu = 405970 Kg. __ ____ 0.5 Acv √f’c = 0.5 x 40000 √ 280 = 334670 kg < 405970 Por lo tanto se necesitan dos capas de refuerzo. 2. Refuerzo requerido en un sentido longitudinal y transversal. Relación mínima de refuerzo. ρv = Asv / Acv = ρn ≥ 0.0025 . Máximo espaciamiento 45 cm Para Acv = 100 x 50 = 5000 cm2 (por metro de muro) Área de acero requerido en cada dirección 0.0025 x 5000 = 12.5 cm El espaciamiento necesario es S = (Ab (100))/ 12.5 Adoptamos varillas # 16; Ab = 2 # 16 = 4.02 cm2 S = (4.02 / 12.5) (100) = 32 cm < 45 max

ok

Adoptamos s = 30 cm c. Determinamos el refuerzo requerido por cortante. Asumimos 2 capas de varillas # 16 @ 30 cm en cada dirección As = 402 / 30 = 13.4 cm2 La resistencia al cortante del muro será: Hw / lw = 45.0 / 8.00 = 5.63 > 2 __ φ Vn = φ Acv (0.25 √ f’c + ρn fy)

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El factor φ = 0.6 si la resistencia nominal al corte es menor que el cortante correspondiente al desarrollo de la resistencia nominal flexionante del miembro (9.3.4.1). Conservadoramente adoptamos este valor φ = 0.6 en este diseño . Acv = 50 x 800 = 40000 cm2; ρn = (13.4) / (50 x 100) = 0.00268. ____ φ Vn = 0.60 (40000) 0.5 √ 280 + 0.00268 (4200) = 471000 kg > 405970 kg. Por consiguiente usamos dos capas de acero # 16 @ 30 cm, tanto en sentido horizontal como en vertical. d. Comprobación de los elementos de borde actuando como columnas cortas, bajo cargas verticales factoradas debido a cargas tanto de gravedad como laterales Se tiene Pu = 2.033940 kg Sección de los elementos: 80 x 130 cm; armadura 38 # 32. Ag = 80 x 130 = 10400 cm2; Ast = 305.60 cm2 ρg = 305.60 / 10400 = 0.0294 ; ρmin = 0.01 < ρg < ρmax = 0.06 ok. Pu

Se requiere que los elementos de borde lleven toda la carga Pu y Mu

( Pu / Ag ) + ( Mu / Ig ) x ( I´w / 2 ) ≥ 0.2 f´c Elementos de borde requerido para llevar todo Pu y Mu

Pu / 2

Pu / 2

Mu / I´w

Mu / I´w Mu

REQUISITOS PARA LEMENTOS DE BORDE MUROS CORTANTES

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Capacidad de carga axial

φ Pn = 0.80 φ

= 0.80 x 0.70

0.85 f’c (Ag – Ast) + Ast fy

0.85 x 280 (10400 – 305.6) + 305.6 x 4200

= 20644153 kg. > 2033940 kg. ok

e. Comprobación de la sección en la base bajo la acción de la flexocompresión, referencia; cálculo estructural Área: (1.30 x 0.80) 2 + 5.40 x 0.50 = 4.78m2 = 47800cm2 γ h = 8.00 – 1.30 = 6.70 ; γ= 6.70 / 8 =0.83 As en dos caras laterales 64#32 = 514 cm2 As es tabique 21 x 2 = 44 #16 = 84 cm2 Total As = 598 cm2 ρg = 598 / 47800 = 0.0125 Consideramos los diferentes estados de carga. 1) φ Pn = 2133280 kg ; φ Mn = 0.0 φ Pn / Ag = 2133280 / 47800 = 45 Interpolamos entre los diagramas de interacción para columnas 7.1.8.3 - 7.1.8.4 Se requiere ρmin = 0.01 < 0.0125 ok 2 φ Pn = 2074770; φ Mn = 6685280 Kg m φ Pn / Ag =2074770 / 41800 = 43; φ Mn / Ag h = 6685280 / (47800 x 8) = 17

3

Se requiere ρ < 0.0125 ok Pn = 1158490 kg; φ Mn = 6685280 φ Pn / Ag =1158490 / 47800 = 24 ; φ Mn / Agh = 17 De los diagramas se obtiene: ρ requerido < 0.0125 ok

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IX − 72

IX − 73

El recubrimiento neto al borde ce los cercos será: 7.5 = 1.6 / 2 = 6.7 cada cara (para ambas caras ≅ 13 cm) área Ach =(130 – 13) (80 – 13) = 7839 cm2 Adoptamos cercos y crucetas espaciadas a 10 cm # 16 1. Ash ≥ 0.3 (10) 115 ((10400 / 7839) -1) 280 / 4200 = 7.51 cm2 (rige)

2. Ash ≥ 0.09 x 10 x 115 (280 / 4200) = 6.9 cm2 Colocando 3 crucetas, más 2 ramas de los cercos tendremos: Ash provisto: 5 # 16 = 10.03 cm2 2. Área de refuerzo de confinamiento requerida en la dirección larga: hc = (dirección larga) = 80 – 2(7.5) = 65 cm Ach= 7839 cm2 1. Ash ≥ 0.3(10) 65 ((10400 / 7839) - 1) 280 / 4200 = 4.26 cm2 (rige) 2. Ash = 0.09 (10) 65 (280 / 4200) = 390 cm2 Colocamos una cruceta y más los cercos tendremos: Ash provisto 3 # 16 = 6.03 cm2 > 4.26 ok

f. Análisis del desarrollo y los empalmes de la armadura. 1. Empalmes traslapados para las varillas verticales # 32 en los elementos de borde. Empalmes clase B Asumimos que el 50% de las varillas se empalmen en cualquier sección, alternadas una a una. ___ La longitud básica es desarrollada ld = (0.06 Abfy ) / √ f’c

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____ ld = (0.06 x 8.04 x 4200 ) / √ 280 = 1.21 m Para empalmes clase B, longitud = 1.3 ld ld = 1.3 x 1.21 = 1.57 m Los empalmes deben estar dispuestos al tresbolillo. 2. Empalmes traslapados para varillas verticales de # 16 en el alma del muro. ____ Longitud básica ld = (0.06 x 2.01 x 4200) / √ 280 = 30 cm Empalmes clase B, longitud = 1.3 x 30 = 40 cm 3. Longitud desarrollada para varillas horizontales # 16 del muro, asumiendo que no se emplearán ganchos dentro de los elementos de borde. La longitud requerida será ≥ 3.5 ldh __ ____ ldh = (fy db ) / 17 √ f’c = (4200 x 1.6) / (17 √ 280) = 2.3 > 8 db = 13 cm Longitud desarrolla: 3.5 x 23 = 80 cm No se pondrán empalmes para las varillas horizontales.

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