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Jorge Mendoza Dueñas

120

TEST 1.-

Los cuerpos al caer lo hacen: a) b) c) d) e)

2.-

a) b) c)

Con aceleración constante. En una recta vertical. De diferentes maneras. Sin fricción del aire. Con velocidad uniforme.

6.-

a)

1.2.3.4.5.-

c)

a) b) c) 3.-

b)

1y2 1y3 2y3

d) e) 7.-

Son ciertas: d) e)

3y4 2y5

Un ascensor sube con aceleración “a”. El pasajero que se encuentra en el ascensor deja caer un libro. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo respecto al pasajero?

a)

c)

g+a g–a g a cero

d) e) 8.-

4.-

Marcar la proposición correcta. a) b) c) d) e)

5.-

Para la aceleración de una partícula en un plano inclinado sin fricción, podemos afirmar que es:

− − −

a) b) c) 9.-

2v o g v2 Hmáxima = o 2g Tvuelo =

La velocidad en subida es igual a la velocidad en bajada. En el punto de altura máxima, la gravedad se hace cero al igual que la velocidad. Tiempo en subida es igual al tiempo en bajada.

Todos los cuerpos llegan con la misma velocidad al mismo nivel. Para todos los casos la aceleración sobre ellos es función del seno del ángulo de inclinación. A mayor ángulo de inclinación menor será el tiempo de recorrido. La velocidad de llegada al mismo nivel depende del ángulo de inclinación. N.A.

Respecto a la caída de los cuerpos en el vacío marcar verdadero (V) o falso (F): −

En las noches la aceleración de la gravedad es mayor que en el día. La aceleración de la gravedad es el mismo en todos los planetas. Los cuerpos no necesariamente caen hacia el centro de la tierra. Cuando un cuerpo sube, la aceleración de la gravedad está dirigida hacia arriba. La aceleración de la gravedad siempre es vertical y apuntando hacia el centro de la Tierra.

gtan α g

Galileo realizó experiencias con planos inclinados para llegar a demostrar las leyes de los cuerpos en caída. Si consideramos que se tienen planos inclinados de diferente inclinación y cuerpos sobre ellos que se sueltan de la misma altura sin fricción ¿Qué alternativa no se cumple?

b) a) b) c) d) e)

d) e)

En un lanzamiento hacia arriba en el vacío ¿Qué alternativa no se cumple cuando la velocidad de lanzamiento es vo?

Si desde un avión que vuela horizontalmente con velocidad “v” se deja caer un proyectil, éste tendrá, después de un tiempo “t”, una velocidad: Horizontal igual a “v”. Total en cualquier punto igual a “gt”. Vertical igual a “gt”. Horizontal distinta de “v”. Vertical igual “1/2 gt2”.

0 gsen α gcos α

Todos los cuerpos soltados desde un mismo nivel pesados y livianos llegan al mismo tiempo. Dos cuerpos soltados uno sobre el otro provocan una reacción nula entre ellos. El camino recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo. La velocidad es proporcional al cuadrado de la distancia. VVVF VVFF FVVF

d) e)

FFVF FVVV

Si la gravedad en un planeta fuera el doble de la terrestre y se lanzara hacia arriba un cuerpo con la misma velocidad, con la que se lanzó en la tierra, no se cumpliría, ¿cuál de las alternativas?

Cinemática a) b) c) d) e)

121

La altura alcanzada en dicho planeta sería la mitad de la alcanzada en la Tierra. El tiempo de vuelo sería la mitad del empleado en la Tierra. La altura alcanzada en dicho planeta sería el doble del alcanzado en la Tierra. La velocidad de retorno sería igual a la de lanzamiento que tuvo en la Tierra. En este caso en el punto de altura máxima la gravedad tampoco desaparece.

10.-

Si soltamos una piedra en el vacío, marcar verdadero o falso para las siguientes proposiciones. − − − a) b) c)

En cada segundo recorrería 10 m en caso la gravedad sea 10 m/s2. En cada segundo su velocidad aumentaría en 10 m/s en caso la gravedad sea 10 m/s2. Para grandes alturas de caída en el vacío la piedra iría aumentando su peso. FVF FVV FFF

d) e)

VFV FFV

PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A 1.-

problemas de aplicación Se dispara un cuerpo verticalmente hacía arriba con velocidad de 80 m/s. Calcular el tiempo que demora en alcanzar su máxima altura (g = 10 m/s2).

02 = 10 − 2 10 h

Solución:

h= 5 m

o Entre A y B

2

b g b g

20h = 100

b) Entre A y B

v o = 80 m / s

v F = v o − gt

vF = 0

0 = 10 − 10t

g = 10 m / s2

t =1s

t AB = t = ? c)

vF = v o ± gt vF = v o − gt

2.-

a) b) c) d) e)

Calcular la altura que subirá. El tiempo que demora en subir. El tiempo que demora en bajar. El tiempo que demora en regresar al lugar de partida. La velocidad de llegada.

bg b g

t =1s

Nótese que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. d)

Solución: a)

t total = 2 s Entre B y C vF = v o + gt (Mov. acelerado)

bg

v c = 0 + 10 1 ⇒ v c = 10 m / s

Entre A y B vF2 = v 2o − 2gh

Tiempo total = t subida + tbajada t total = 1 + 1

e) (Considerar g = 10 m/s2).

(Mov. acelerado)

1 5 = 0 t + 10 t 2 2

⇒ t=8s

Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Se pide:

Entre B y C 1 h = v ot + gt 2 2

El cuerpo sube:

0 = 80 −10t

(Mov. retardado)

(Mov. retardado)

Nótese que la velocidad de subida es igual a la velocidad de llegada al mismo nivel.

Jorge Mendoza Dueñas

122 3.-

Se dispara un proyectil verticalmente hacía arriba con una velocidad de 50 m/s. Al cabo de que tiempo la velocidad es de 10 m/s por primera vez y a que altura se encuentra (g = 10 m/s2).

Solución: o Entre A y B

Solución:

1 h = v ot + gt 2 2

o Entre A y B

125 = 0 +

v o = 50 m / s

b g

t 2 = 25

vF = 10 m / s

t = 5s

g = 10 m / s2

o Calculando la velocidad final vF = v o + gt

t=? v F = v o − gt

1 10 t 2 2

(sube)

10 = 50 − 10t

bg

vF = 0 + 10 5

⇒

vF = 50 m / s

t=4s

o Calculando la altura entre A y B

FG v + v IJ t H 2 K F 10 + 50 IJ 4 h=G H 2 K h=

F

o

B 1.-

o Entre B y C 1 h = v ot + gt 2 2 1 2 25 = vB 1 + 10 1 2

¿Qué velocidad inicial debe dársele a un cuerpo para que caiga 980 m en 10 s; y cual será su velocidad al cabo de 10 s.

b g b gb g

Solución:

25 = vB + 5

o Entre A y B

vB = 20 m / s

vo = ?

o Entre A y B

h = 980 m

vF2 = v o2 + 2gh

t = 10 s

b gb g b20g = 20bH − 25g vB2 = 0 + 2 10 H − 25

g = 9, 8 m / s

2

1 h = v ot + gt 2 2

2

H − 25 = 20

(baja)

b g 21 b9, 8gb10g

980 = v o 10 +

2

v o = 49 m / s o Calculando la velocidad final vF = v o + gt

(baja)

b g

vF = 49 + 9 , 8 10 vF = 147 m / s 5.-

Un cuerpo es dejado caer en el vacío sin velocidad inicial. Si en el último segundo recorre 25 m; calcular la altura desde el cual fue abandonado. Solución:

h = 120 m 4.-

problemas complementarios

Una bola se deja caer desde lo alto de un edificio de 125 m de altura. Calcular cuánto tardará en caer y con que velocidad llegará al suelo (g = 10 m/s2).

2.-

⇒

H = 45 m

Un cuerpo cae libremente desde el reposo. La mitad de su caída se realiza en el último segundo, calcular el tiempo total en segundos (g = 10 m/s2). Solución: o Entre A y B 1 2 h = v o t −1 + g t − 1 2 1 2 h= 0 + g t −1 2 1 2 h = g t − 1 ............ (1) 2

b g b g b g b g

Cinemática

123

o Entre A y C

Solución: o Dato:

1 2h = gt 2 ............ (2) 2

2t1 + t 2 = 4 s ....... (1)

o Reemplazando (1) en (2)

o Entre A y B

1 1 2 2 ⋅ g t − 1 = gt 2 2 2

v F = v o − gt

b g 2bt − 1g = t t = d2 + 2 i s 2

(sube)

0 = v − 10t1

2

t1 =

v ................ (2) 10

o Entre C y D 3.-

vF = v o + gt

Un globo se eleva desde la superficie terrestre a una velocidad constante de 5 m/s; cuando se encuentra a una altura de 360 m, se deja una piedra, calcular el tiempo que tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre (g = 10 m/s2).

3v = v + 10t 2 t2 =

v ................ (3) 5

o (2) y (3) en (1)

Solución:

FG v IJ + v = 4 H 10 K 5

o Entre A y B v F = v o − gt

2 (sube)

2v =4 5

0 = 5 − 10t

⇒ v = 10 m / s

o Nuevamente entre A y B

t = 0 ,5 s

FG v + v IJ t H 2 K F 0 + 10 IJ FG 10 IJ h=G H 2 K H 10 K h=

o Entre B y C t = 0 ,5 s

(Ya que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada) 5.-

o Entre C y D 1 h = v ot + gt 2 2

(baja)

1 10 t 2 2

b g

o

1

Una esfera se deja caer desde 80 m de altura y al rebotar en el piso se eleva siempre la cuarta parte de la altura anterior. ¿Qué tiempo ha transcurrido hasta que se produce el tercer impacto? (g = 10 m/s2). Solución:

b g b g

T = tAB + 2 tBC + 2 tDE

360 = 5t + 5t2 t 2 + t − 72 = 0 ⇒

F

h= 5 m

v c = 5 m / s (A y C tiene el mismo nivel).

360 = 5t +

(baja)

................ (1)

bt + 9gbt − 8g = 0

t=8s

o Finalmente: Ttotal = t AB + tBC + t CD Ttotal = 0 , 5 + 0 , 5 + 8

Ttotal = 9 s 4.-

Un cuerpo se lanza verticalmente hacía arriba desde una ventana y luego de 4 segundos triplica su velocidad. Hallar la máxima altura alcanzada por el cuerpo respecto al lugar de lanzamiento (g = 10 m/s2).

o Entre A y B 1 h = gt 2AB 2 80 = 5t 2AB

⇒

t AB = 4 s

Jorge Mendoza Dueñas

124 o Entre C y D

o (3) en (4):

1 2 h = v ot CD + gt CD 2 1 20 = 0 t CD + 10 t 2CD 2

b

t1 = 34 s

b g b g

t CD = 2 s

⇒

Luego:

t BC = 2 s

b gb g

h = 340 17

1 2 h = v otEF + gtEF 2

b g 21 b10gt

5 = 0 tEF +

⇒

7.2 EF

t DE = 1 s

⇒

h = 5 780 m

Un ingeniero situado a 105 pies de altura, en la ventana del décimo octavo piso ve pasar un objeto raro hacia arriba y 4 s después lo ve de regreso, hallar con qué velocidad fue lanzado el objeto desde el piso. (g = 32 pies/s2). Solución:

o En (1):

o Datos:

b g bg

T = 4 + 2 2 + 2 1 = 10

tBC + t CD = 4 s

T = 10 s 6.-

t 2 = 17 s

o En (2):

o Entre E y F

t EF = 1 s

g

5t12 = 340 51 − t1

tBC = t CD = 2 s

En la boca de un pozo se deja caer un cuerpo y una persona ubicada en el borde de ésta escucha el sonido del impacto luego de 51 segundos. ¿Cuál es la profundidad del pozo? (vsonido = 340 m/s ; g = 10 m/s2).

o Entre B y C vF = v o − gtBC

bg

0 = vB − 32 2

Solución:

vB = 64 pies / s o Entre A y B vF2 = v o2 − 2gh

b g − 2b32gb105g

vB2 = v A2 − 2g 105

b64g

2

= v A2

v A = 104 pies / s

o Con el cuerpo: 1 1 h = gt12 = 10 t12 2 2

b g

h = 5t12 ............... (1) o Con el sonido:

8.-

Se suelta una piedra de un edificio llegando al piso en 2 segundos. ¿Con qué velocidad mínima se debe arrojar la piedra hacia arriba para alcanzar la altura del edificio? (g = 10 m/s2). Solución: er

h = vt 2 = 340t 2

1 Caso:

h = 340t 2 ............ (2)

1 H = v ot + gt 2 2 t = 2s

o Dato: t1 + t 2 = 51

t 2 = 51− t1 ............ (3) o (1) = (2) 5t12 = 340t 2 ......... (4)

Reemplazando:

1 H = 0 × t + × 10 2 2

2

bg

H = 20 m

Cinemática do

2

125 10.-

Caso:

La velocidad de partida será mínima siempre y cuando la piedra llegue a la cima del edificio con velocidad cero. vF2 = v o2 − 2gH

Desde el borde de la azotea de un edificio se suelta una esferita y en ese mismo instante un muchacho de 1,70 m de estatura, parado a 10 m del punto de impacto de la esferita, parte acelerado con 1,25 m/s2. Si al llegar a dicho punto, la esferita da en la cabeza del muchacho. ¿Qué altura tiene el edificio? (g = 10 m/s2). Solución:

2 − 2 × 10 × 20 0 = vmin

vmin = 20 m / s

9.-

Un trozo de madera se suelta a un metro de distancia de la superficie libre de un estanque lleno de agua, si el agua produce una desaceleración de 4 m/s2 sobre la madera. ¿Qué profundidad máxima alcanza la madera en el estanque? (g = 10 m/s2). o Con el muchacho (M.R.U.V.) 1 e = v ot + at 2 2

Solución: o En el aire: (mov. acelerado)

10 = 0t +

vF2 = v 2o + 2gH

1 1, 25 t 2 ⇒ 2

b g

t=4s

o Con la esferita

bg

v 2 = 0 + 2 × 10 1

1 x = v ot + gt 2 2

v = 20 2

1 x = 0 × 4 + 10 4 2

o En el agua: (mov. retardado)

bg

o Finalmente:

vF2 = v 2o − 2ah 0 = v 2 − 2ah

H = 80 + 170 ,

0 = 20 − 2 × 4h ⇒ h = 2, 5 m

H = 81,70 m

2

⇒

x = 80 m

H = x + 170 ,

PROBLEMAS PROPUESTOS A 1.-

problemas de aplicación Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo con una velocidad de 20 m/s. Luego de que tiempo su velocidad será de 80 m/s (g = 10 m/s2). Rpta.

2.-

6s

Se deja caer un objeto desde una altura de 45 m, calcular con que velocidad impactará en el piso (g = 10 m/s2). Rpta.

3.-

30 m/s

Se lanzó un cuerpo verticalmente hacia abajo comprobándose que desciende 120 m en 4 s. ¿Cuál fue la velocidad inicial del lanzamiento? Rpta.

4.-

10 m/s

Un cuerpo se lanza desde el piso y permanece en el aire 10 s. Hallar su altura máxima (g = 10 m/s2). Rpta.

125 m

Jorge Mendoza Dueñas

126 5.-

Se suelta un cuerpo desde 125 m de altura. Hallar el tiempo que tarda en llegar al piso (g = 10 m/s2). Rpta.

3.-

Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba y vuelve a tierra al cabo de 5 s. ¿Qué altura habrá recorrido en el último segundo de su movimiento? (g = 10 m/s2).

5s Rpta.

6.-

Hallar la velocidad adquirida y la altura recorrida por un móvil que tarda 10 s en caer libremente. Rpta.

7.-

8.-

Rpta.

5.-

6.-

6s

Se tiene un pozo vacío cuya profundidad es de 170 m. Una persona en la parte superior lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de (125/3) m/s. ¿Luego de que tiempo escucha el eco? (vsonido = 340 m/s ; g = 10 m/s2). Rpta.

8.-

3,5 s 9.-

1.-

2.-

–25 m

Una plataforma se desplaza en línea recta y manteniendo una velocidad de 7 m/s. Si de ésta se tira una piedra verticalmente hacia arriba y retorna luego de haber recorrido 70 m la plataforma. ¿Con qué velocidad se lanzó la piedra? (g = 10 m/s2). Rpta.

B

30 m/s

Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento dicho cuerpo tendrá una velocidad de 30 m/s? (g = 10 m/s2). Rpta.

10.-

8s

Un objeto se lanza verticalmente desde la azotea de un edificio. Después de 4 s otro objeto se deja caer libremente y 4 s después choca con el primero. ¿Con qué velocidad se lanzó el primero? (g = 10 m/s2). Rpta.

7.-

2 2 m/ s

Un globo aerostático sube verticalmente con una velocidad de 30 m/s. El piloto del globo al encontrarse a una altura 240 m con respecto al suelo, lanza verticalmente hacia abajo un tomate, con una velocidad respecto a su mano de 20 m/s. Al cabo de que tiempo el tomate tocará el suelo? (g = 10 m/s2). Rpta.

80 m

Un globo aerostático asciende verticalmente con una velocidad cte. de 10 m/s. Una persona situada en el globo suelta una pelotita justo cuando el globo se encuentra a 120 m de altura respecto al suelo. ¿Luego de qué tiempo la pelotita impacta en el suelo? (g = 10 m/s2).

Un arbitro de fútbol lanza una moneda hacía arriba con velocidad “v” la cual toca el césped con velocidad 2v, considerando que la mano del árbitro suelta la moneda a 1,2 m sobre le césped halle v en m/s (g = 10 m/s2). Rpta.

45 m

Dos esferitas macizas se lanzan verticalmente y simultáneamente desde A y B tal como se muestra. ¿Qué distancia las separa 2 s antes de cruzarse, si inicialmente estaban separadas 160 m? (g = 10 m/s2). Rpta.

9.-

v = 100 m/s h = 500 m

Una piedra es abandonada y cae libremente ¿Qué distancia logra descender en el 5° segundo de su movimiento? (g = 10 m/s2). Rpta.

4.-

20 m

50 m/s

Halle la velocidad con que fue lanzado un proyectil hacia arriba si ésta se reduce a la tercera parte cuando a subido 40 m (g = 10 m/s2).

Una alumna desea comprobar las leyes de caída libre, para lo cual se deja caer desde la parte superior de un edificio de 256 pies de altura. Un segundo más tarde aparece superman para lanzarse inmediatamente y salvar a la alumna justo cuando está por chocar al suelo. Hallar la velocidad con que se lanza superman en caída libre (g = 32 pies /s2).

Rpta.

Rpta.

problemas complementarios

30 m/s

Desde lo alto de un edificio se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s llegando al piso luego de 8 s. Hallar la altura del edificio (g = 10 m/s2). Rpta.

80 m

10.-

37,3 pies/s

Un ascensor presenta una v = cte de –10 m/s, en cierto instante del techo del mismo se desprende un perno; e impacta en el piso luego de (4/7) s. ¿Qué altura tiene la cabina del ascensor? (considere g = 9,8 m/s2). Rpta.

1,6 m