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• Jairo Manuel Saavedra Acosta

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MECANISMOS

MECANISMOS Y MÁQUINAS. CINEMÁTICA. Índice Introducción. Análisis de la posición y del desplazamiento.
Posición y desplazamiento de un sólido.
Análisis gráfico del desplazamiento.
Análisis de síntesis: Introducción. Análisis de velocidad.
Velocidad angular de un sólido.
Velocidad relativa entre dos puntos del mismo eslabón.
Método de las velocidades relativas. Aplicación al mecanismo de cuatro barras.
Polígono de velocidades.
Teoremas de Mehmke y Burmester.
Centros instantáneos de rotación. Teorema de Aronhold-Kennedy.
Análisis de la velocidad mediante centros instantáneos. Análisis de la aceleración.
Aceleración de un punto.
Aceleración angular de un sólido.
Aceleración relativa entre dos puntos.
Aceleración relativa entre dos puntos del mismo eslabón.
Polígono de aceleraciones de un mecanismo.
Aceleración de Coriolis.
Teoremas de Mehmke y Burmester.
Centro instantáneo de aceleración. Análisis cinemático mediante procedimientos analíticos.
Método vectorial.
Método trigonométrico.
Método de Raven.

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Introducción.


Un análisis cinemático de un mecanismo → estudiar las trayectorias de puntos de sus eslabones.




La mayoría de los mecanismos, en la práctica, tienen movimiento plano. Gran parte de las propiedades de éstos, los teoremas, desarrollos matemáticos, etc. pueden ser extrapolados al caso tridimensional.




Definición: un mecanismo tiene movimiento plano cuando sus velocidades son paralelas a un mismo plano.




Esto no implica que el mecanismo deba estar contenido en un plano, aunque se puede esquematizar como tal para su análisis cinemático (No aplicable al caso dinmámico.

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MECANISMOS

Análisis cinemático de la posición y desplazamiento El mecanismos de la figura está configurado como sigue: • • • •

Eslabón fijo alineado con el eje x, y unido al origen de coordenadas O. OA: manivela. Unido al fijo por medio de un par giratorio. AB: biela. Unido a la manivela y al pistón por un par giratorio. El pistón está unido al fijo por medio de un par prismático.

Y

Los datos geométricos para definir este mecanismo son: • • •

A3 A2

A4

Longitud de OA. Longitud de AB. Dirección de desplazamiento del pistón.

A1

M4

M2 M3

O

M1 B!

α B4

B3

X

B2

X4 X3 X2 X1

La variable de entrada puede ser: tanto la rotación de la manivela (compresor alternativo) como el desplazamiento del pistón (motor explosión). En la figura se muestra las posiciones en función de α.

Análisis cinemático de la posición y desplazamiento
La fig. muestra una representación de la posición X en función de la la variable de entrada (α).
Esta información permitirá conocer las distintas posiciones del pistón en cada momento. Indudablemente, a mayor precisión mayor número de posiciones.

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MECANISMOS

Análisis cinemático de la posición y desplazamiento Cadenas cerradas enlazadas en mecanismos: En tales casos habrá una variable de entrada para el primer bucle (ej. estabón 2) y otra en el segundo (ej. eslabón 4) En la fig. podemos observar, para el biela-manivela, que la relación vectorial de la cadena cerrada es:

Y

r r r r L1 + L2 + L3 = 0

α3

L3

Sus componentes rectangulares son:

L2 L1

α2 α1

L1 ⋅ cos α1 + L2 ⋅ cos α 2 + L3 ⋅ cos α 3 = 0 X

L1 ⋅ senα1 + L2 ⋅ senα 2 + L3 ⋅ senα 3 = 0

Donde α1 es conocido L1, L2 y α3 dependen de la geometría del mecanismo, y α2 y L3 son variables a determinar. 5

Análisis cinemático de la posición y desplazamiento Estudio de puntos muertos del biela-manivela:

L2 cos θ 2 + L3 cos θ 3 − L4 cos 0 = 0 L2 senθ 2 + L3 senθ 3 + L4 sen0 = 0 Siendo el determinante del sistema ecuaciones (considerando L3 variable primaria):

L2 cos θ 2 L2 senθ 2

L3 cos θ 3 L4 = L3 senθ 3 0

L2 L3 cos θ 2 senθ 3 − L3 L2 cos θ 3 senθ 2 = L2 L3 sen(θ 3 − θ 2 ) Que será nulo cuando: (θ2-θ1) = kπ para k = 1,2...., que se corresponderá con los puntos muertos del mecanismo.

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MECANISMOS

Análisis cinemático de la posición y desplazamiento Trayectorias descritas por puntos del mecanismo. 1º.- El eslabón que contiene el punto está unido al fijo.

r r r r rA = rO2 + rAO2 = L2 x A = xO2 + L2 cos θ 2 y A = yO2 + L2 senθ 2 2º.- El eslabón que contiene el punto no está unido al fijo.

r r r rB = rA + rBA

xB = x A + L3 cos θ 3 = x A + L2 cos θ 2 + L3 cos θ 3 y B = y A + L3 senθ 3 = y A + L2 senθ 2 + L3 senθ 3

3º.- Un punto C de coordenadas móviles rAC

 xC   x A  cos θ 3  y  =  y  +  senθ 3  C   A 

− senθ 3  rAC  . cosθ 3   0 

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Análisis de velocidad Velocidad relativa entre dos puntos del mismo eslabón

Para estudiar el mov. de un SLR en movimiento plano, basta con estudiar el segmento formado por dos puntos cuales quiera AB, ya que su distancia no varía.

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MECANISMOS

Análisis de velocidad Aplicación al mecanismos 4 barras Va: conocida en modulo y dirección. Vb: conocido sólo en dirección. Vab: ┴ AB O = polo de velocidades

Imagen de velocidades del SLR = triangulo abc

Análisis de velocidad Ejemplo: se conoce θ2 y ω2, y se desea calcular VF. Todas las barras son conocidas.

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MECANISMOS

Análisis de velocidad Ejemplo: se conoce θ2 y ω2 y se desea calcular VB5. Todas las barras son conocidas.

Análisis de velocidad Aplicación en pares superiores

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MECANISMOS

Análisis de velocidad El movimiento plano más general de SLR ≡ translación, o giro entorno al C.I.R.

r r r VB = VP12 + ω × P12 B Sea P12, punto del SLR ampliado y permanece en la misma posición durante el movimiento. Pto. P12 “centro o polo de rotación” ≡ intersección de mediatrices A1A2 y B1B2.

Desplazamiento de 1 a 2 es infinitesimal → P12 = CIR

El CIR puede ser permanente (ejemplo un pto. de articulación) o no (rodadura)

Análisis de velocidad Propiedades del CIR: 1.- Velocidad = 0. 2.- Los demás ptos. del SLR tienen vel. proporcionales al CIR. 3.- La cte. de proporcionalidad de las velocidades es ω. 4.- Vel. lineales ┴ al segmento que les une al CIR. 5.- Si Va ║ Vb el CIR está en el infinito. 6.- CIR ≡ intersección del E.I.R. con un plano perpendicular al mismo.

Teorema: las velocidades de los puntos de un eslabón, son proporcionales a sus radios de giro.

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MECANISMOS

Análisis de velocidad Casos particulares

Traslación

Indeterminación

Pares superiores: La recta perpendicular a la superficie en el punto de contacto se llama línea a de presión El CIR de un par superior se encuentra en la intersección de la línea de presión y la línea de centros.

Análisis de velocidad CIR de una pareja de eslabones

El CIR de 2 eslabones es el punto alrededor del cual gira uno respecto del otro o la pareja de punto con velocidad relativa nula.

N º CIR =

eslabones × (eslabones − 1) 2

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MECANISMOS

Análisis de velocidad Ejemplo: determinar los CIR de 4

Análisis de velocidad

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MECANISMOS

Análisis de velocidad Círculo de centros instantáneos 1º Se marcan todos los CIR conocidos sencillos. 2º Se dibuja una circunferencia y se divide en tantas partes como eslabones tiene el mecanismo. Las cuerdas entre puntos representa los CIR relativos entre eslabones. 3º El objetivo es enlazar todos los puntos entre si, empleando el teorema de los 3 centros.

N º CIR =

6 × (6 − 1) = 15 2

Análisis de velocidad

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MECANISMOS

Análisis de velocidad Ej. Teorema de los 3 centros.

Análisis de velocidad Teorema de Mehmke

La figura formada por los extremos de las velocidades ortogonales de un SLR es semejante a la figura original, cuya constante de semejanza es (1-ω), siendo ω la velocidad angular del elemento.

Aplicación cuando el CIR cae fuera del papel.

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MECANISMOS

Análisis de velocidad Teorema de Mehmke: método de las velocidades giradas.

Análisis de velocidad Ejemplo.

VB

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MECANISMOS

Análisis de velocidad Teorema de Burmester La figura formada por los extremos de las velocidades de un SLR, es semejante a la figura original y la constante de semejanza es (1+ω)0.5, y la misma estará girada un angulo arctan ω.

PAv = PA

PA2 + AAv2 = 1+ ω2 PA

PAv = PA 1 + ω 2 PBv = PB 1 + ω 2 PC v = PC 1 + ω 2 Consecuencia: Si 3 ptos. de un mismo eslabón están alineados sus extremos de velocidades están también alineados.

Análisis de velocidad Teorema de Burmester

Teorema: Las proyecciones de las velocidades de 2 puntos de un eslabón sobre la línea que los unen tienen que ser iguales, si no existe deformación.

α β β α

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MECANISMOS

Análisis de aceleración Escala de longitudes

X = longitud dibujo / longitud real

Escala velocidades

Y = longitud dibujo / velocidad real

Escala aceleraciones

Z = Y2/X

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MECANISMOS

Análisis de aceleración

Relaciones vectoriales de cinemática entre dos puntos de un eslabón. A y B € al SR.

r r r rB = rA + rB / A r r r r V B = V A + ω × B / A + Vrel r r r r r r AB = AA + α × B / A − ω 2 × B / A + A rel + Acoriolis

Análisis de aceleración El eslabón unido al fijo.

r r r rA = rAo + rAAo r r r r V A = V Ao + V AAo = ω × AoA r r AA = AAo + A AAo = α × AoA − ω 2 × AoA

tagγ =

ATAAo α × AAo = 2 = cte. N ω × AAo AAAo

Aceleración relativa entre 2 ptos. del mismo eslabón

r r r rB = rA + rBA r r r r r VB = V A + VBA = V A + ω × BA r r r r r r AB = AA + A BA = AA + α × BA − ω 2 × BA

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MECANISMOS

Análisis de aceleración Puntos de distintos eslabones Pto. A y B en el eslabón n Pto. C en eslabón n+1 SM en eslabón n que rota con ωn y αn respecto al SF r r r rB = rA + rBA r r r V B = V A + V BA r r r AB = AA + A BA r r r rC = rA + rCA r r r r VC = V A + ω n × CA + Vrel r r r r r r 2 AC = AA + α × CA − ω n × CA + A rel + Acoriolis

Análisis de aceleración

P.D.A.

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MECANISMOS

Análisis de aceleración Ejemplo

Coriolis

Determínese la aceleración angular del eslabón 4 del mecanismo de la figura con

Vp2 = 40 cm/s (velocidad angular constante).

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MECANISMOS

Análisis de aceleración Método analítico. Raven.

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MECANISMOS

Análisis de aceleración Método analítico. Raven. Paso 1. Establecer el modelo vectorial del mecanismo. Paco 2. Escribir la ecuación/es de cierre.

r r r z 4 = z1 + z 2 z 4 eiθ 4 = iz1 + z 2 e iθ 2 Teorema coseno: θ4 y θ2 Derivar: vel.

Derivar: Acelerac.

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MECANISMOS

Biela-manivela

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MECANISMOS

Mecanismos de + 4 barras

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