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Universidad TÉCNICA de BABAHOYO.

Métodos Numéricos. Tema I. Series.

Gilma Tablada Martínez. Ingeniera en Matemáticas.

Tema I: Interpolación. 1. CAUSAS PRINCIPALES DE ERRORES EN LOS MÉTODOS NUMÉRICOS. 1.1. Números en la computadora. Al usar calculadoras para resolver un problema estamos introduciendo errores, aun cuando tomemos todos los dígitos decimales del resultado obtenido puesto que las calculadoras tienen capacidad para un limitado de dígitos en el panel. En las computadoras sucede lo mismo, pero la aproximación es mejor. En las computadoras se usan diferentes lenguajes numéricos. Algunos de ellos son: Binario: base 2. Octal: base 8. Hexadecimal: base 16, etc. Un número representado en cualquier sistema numérico que no sea decimal puede ser llevado a decimal: Sea el número abcd.efg representado en base r, se lleva a binario a través de la siguiente expresión:

EJEMPLO 1: El número 110101 en base 2 es el binario: = 32+16+4+1 = 53 Otra limitación en las computadoras es el rango de valores que pueden tener las constantes y variables, que limita también el número de bits para la representación interna de los datos. Esto puede ocasionar errores de redondeo. El error de redondeo puede acarrear efectos negativos en los cálculos realizados. EJEMPLO 2: 1.- Sumemos a 1 la cantidad 0.00001 diez mil veces. La respuesta exacta es 1+ (0.00001)10 000 = 1.1 Si hacemos un programita para dicho cálculo usando el algoritmo: suma = 1 para i = 1 hasta 10 000 suma = suma + 0.00001 imprimir suma. En este caso la respuesta sería 1. 100136 2.- En la secuencia: y w=y*b z = a –b Ing. Gilma Tablada Martínez.

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Tema I: Interpolación. donde a y b son constantes. Debíamos obtener un valor de z = 0 ya que a y w son iguales. Computacionalmente esto no sucede, dependiendo del valor de a y b. Se deben seguir algunas estrategias útiles para disminuir los errores de redondeo, entre ellas: - Usar doble precisión. - Agrupamiento. - Usar desarrollo de Taylor. - Hacer cambios de variables. - Evitar las restas. La mejor estrategia depende del problema a resolver. Algunos errores cometidos al utilizar métodos numéricos para resolver un problema matemático son: - Inherente o heredado: errores en los datos con los que se va a operar. A su vez pueden ser: . Sistemático: mala precisión en el equipo de medición. . Accidental: por mala apreciación del observador. - Truncamiento: cuando se interrumpe el proceso de cálculo. - Redondeo: por exceso y por defecto. - Absoluto: diferencia entre el valor real y el aproximado. - Relativo: razón entre el error absoluto y el valor real. - Overflow: desbordamiento al representar un número muy grande. - Underflow: Imposibilidad de representar un número muy pequeño.

1.2. Problema numérico bien condicionado. Es aquél que produce pequeños cambios en la información de salida a pequeños cambios en la información de entrada. EJEMPLO 3: Considere el sistema: } Su solución es Si cambiamos el coeficiente de x en la segunda ecuación por 1.05 tenemos: } Su solución es Este problema es no condicionado porque un cambio de un 5% en un coeficiente de una ecuación del sistema, genera un cambio de un 100% en la solución. Problema numérico probablemente condicionado. Si un problema no es bien condicionado se dice que es probablemente condicionado. Ing. Gilma Tablada Martínez.

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Tema I: Interpolación. 1.3 Algoritmo estable. Es aquél, en que se limita el efecto de los errores que se pueden cometer al ejecutarlo para que no afecten considerablemente en la salida. Los errores pueden estimarse por varios métodos. EJEMPLO 4: Estimar el error en el cálculo de la expresión A (B + C) usando sus aproximaciones a, b y c con sus respectivos errores (

)

( )(

),( (

)

),(

(

)-

)-

)(

)

Simplificando los términos semejantes: Consideremos que todos los errores se pueden acotar con un error e y que el producto de dos errores es despreciable, o sea, Entonces nos queda: (

) (

|

|

)

( | |

| |

| |)

1.4. Sucesiones y series. Sucesión. Es un conjunto indexado ó numerado. Si los elementos son números es una sucesión numérica, si son funciones es una sucesión de funciones, etc. Formalmente se define una sucesión como una función f definida en el conjunto (enteros positivos). Si f (n) = la sucesión de f se denota por: *

+

A cada elemento de la sucesión se llama término. Si A es un conjunto y , entonces se dice que * A ó una sucesión de elementos de A.

+ es una sucesión de

Una sucesión se caracteriza por tres aspectos: - Un conjunto de índices N, tal que N - Un conjunto de valores A, tal que A

.

- Una función de N en A, tal que para cada valor i N corresponde un elemento de A, denotado por . Si el rango del conjunto N es finito la sucesión es finita, de lo contrario es infinita. Ing. Gilma Tablada Martínez.

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Tema I: Interpolación. Sucesiones numéricas. Los términos de una sucesión numérica son números. EJEMPLO 5: a) Sucesión de los naturales impares. *

+

b) Sucesión de los naturales pares. *

+

c) Sucesión aritmética.

(

)

. . . . . . . . . . ,

. . . . . . . . . .

(

)-

d) Sucesión geométrica.

(

)

. . . . . . . . . . [

(

)

. . . . . . . . . . ]

Series. Es la sucesión de las sumas parciales de los términos de una sucesión. Se denota: *

+=

. . . . ∑

S es la serie correspondiente a la sucesión *

+

∑ es la suma parcial k-ésima de la serie infinita S. Si la sucesión es finita la serie será finita. Si la sucesión converge la serie será convergente. 1.5. Aplicaciones de las series. Gran parte de los métodos numéricos se basan en aproximaciones de funciones por medio de polinomios. Las soluciones numéricas de estos polinomios son Ing. Gilma Tablada Martínez.

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Tema I: Interpolación. aproximaciones de las soluciones exactas de dichas funciones. Para encontrar estas soluciones aproximadas se construyen algoritmos avanzados basados en algoritmos básicos. El error cometido al usar un método numérico depende de la precisión con que el polinomio aproxime a la función escogida. 1.5.1. Series de Taylor. El desarrollo de Taylor es una serie infinita de potencias, que puede representar de manera exacta a una función dentro de un cierto radio alrededor de un punto dado, donde la función debe estar definida y ser continua. Dada una función ( ) que tiene sus derivadas contínuas en un punto y en una vecindad de dicho punto, se dice que es analítica en y se puede representar por medio de una serie de potencias en términos de h = x – a dentro de | un radio de convergencia D | Si una función ( ) no es analítica en un punto , entonces ese punto es un punto singular. Si ( ) es diferenciable en un entorno de un punto , excepto en ese punto, también se dice que es un punto singular. EJEMPLO 6: 1.- La función ( )

( )es analítica excepto en los puntos .

/

; tal que

n = 0, 1, 2, 3 , . . . 2.- Los polinomios son funciones analíticas en todos los puntos del eje real, o sea, no tienen puntos singulares. Si ( ) es una función analítica (que no tiene puntos singulares) alrededor de x = a, se puede representar de manera exacta en la vecindad x = a por medio de una serie de potencias de Taylor, que es una serie de potencias dada por la siguiente expresión: ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

donde EJEMPLO 7: Hallar el desarrollo en serie de Taylor para la función ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) en el punto ( )

( )

( )

( )

donde

Ing. Gilma Tablada Martínez.

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Tema I: Interpolación. ( )

( )

( (

) )

( )

(

)

( )

(

para representar a una función ( ).

1.5.2. Series de McLauring. El desarrollo de la serie de Taylor alrededor del punto Serie de McLauring.

EJEMPLO 8: El desarrollo de la serie de McLauring para la función ( )

( (

( )

( )

) ) ( )

( )

( )

El desarrollo de Taylor es único en

( )

)

( )

(

)

recibe el nombre de

( ) es: ( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

DEBER #1: 1.- Obtenga el desarrollo en serie de Taylor en el punto ( )y .

( )

para las funciones

2.- Para las mismas funciones del ejercicio 1 obtenga el desarrollo en serie de McLauring. 1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Desarrolle las funciones de Taylor para las funciones punto 2.- Use el desarrollo encontrado para evaluar mínimo tres términos del desarrollo de .

para

y

en el Use como

3.- Desarrolle las funciones de McLauring para las funciones: a) b)

( )

c) d)

(

)

Ing. Gilma Tablada Martínez.

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Tema I: Interpolación. 4.- Por medio del desarrollo de McLauring de desarrollo de McLauring para las siguientes funciones: a)

( )=

b)

( )=

5.- Hallar el desarrollo de Taylor en el punto

y

obtenga el

para las funciones:

a) b)

.

/

Ing. Gilma Tablada Martínez.

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