• Author / Uploaded
• Simón Delgado

Citation preview

UNIDAD I: Fuerza Cortante y Torsión en Vigas de concreto reforzado Tema I: Diseño de vigas sometidas a fuerza cortante por capacidad. Estudio de normas vigentes sobre el particular. 1.-Introducción. El diseño por fuerza cortante se hará comparando las normas COVENIN venezolanas 1753-06 con las normas ACI 318-14. Se usará la disposición más conservadora. El diseño por fuerza cortante debe ser tal que los miembros resultantes de dicho diseño, se comporten de forma dúctil permitiendo a la viga avisar las fallas. incipientes, es decir se busca que sea más probable la falla por flexión que la falla por corte. Esto se debe a que las fallas por corte ocurren de manera repentina, sin previo aviso. Es bueno recordar conceptos elementales de Resistencia de Materiales, ya que el concreto antes de la aparición de las grietas que se generan por flexión, tiene un comportamiento semejante al de un material homogéneo y elástico. La combinación de tensiones generadas por la flexión (= M*y/I) que son normales a

Figura N° 1 la sección transversal de la viga, y las generadas por corte (=Q*V/(Ib), que son tangenciales a la sección transversal, da lugar a una trayectoria de tensiones principales como la mostrada en la Figura N° 1. En la Figura N° 1(a) se muestran las trayectorias de las líneas de tracción y de compresión que tienen valor constante. El valor de  de tracción más elevado está más cercano al borde inferior de la viga. Si se llega a superar este valor (La

resistencia del concreto a la tracción es baja 2√f´c), la fibra se agrietaría perpendicular a la dirección del t Una línea de tensiones, con un valor t determinado (constante a lo largo de la longitud de la viga) forma su valor con el aporte del momento y de la fuerza cortante. En el centro, por ejemplo, cuando la fuerza cortante es cero, el valor t, se debe en su totalidad al momento actuante. Mientras que en los apoyos donde la fuerza cortante es máxima, y el momento cero o casi cero, el valor de t depende principalmente de la fuerza cortante. Si la falla es en la zona central, aún cuando ocurre por falla de tracción del concreto, la misma es consecuencia del efecto del momento y se habla de grietas producidas por la flexión. (Véase Figura n° 2)

Figura N° 2 Si la falla ocurre en el apoyo, como el mayor aporte lo hace la fuerza cortante, se habla de falla por corte y a esas grietas se les llama grietas de tracción diagonal. Este comportamiento ocurre en una viga de concreto sin refuerzo de acero, y una vez que aparecen las grietas colapsa. Pero si se habla de una viga de concreto reforzado a la flexión, al comenzar a aparecer las primeras grietas, el comportamiento cambia totalmente y se hace más complejo. Aunque nadie ha podido determinar la resistencia del concreto a la fuerza cortante pura, esto no tiene gran relevancia, porque no existen casos como este en la vida real. Las fórmulas obtenidas para el diseño por corte se basan en el conocimiento de diversos trabajos de investigación sobre fuerza cortante y tracción diagonal, que han permitido elaborar diversas teorías aunque no se tenga

aún una explicación definitiva sobre el mecanismo de falla. (Mc Cormack & Rusell,2011) Estos trabajos permitieron determinar que las grietas de tracción diagonal generadas con grandes fuerzas cortantes y momentos pequeños, se producían con valores de fuerza cortante cercanos a 0,93*√f´c *bd y con un ángulo de más o menos 45°. Cuando hay presencia de momento flector, se producen primero grietas por flexión que se mantienen pequeñas gracias al refuerzo longitudinal, y cuando en la parte superior de estas grietas se sobrepasa la resistencia de tracción del concreto, la grieta se inclina hacia la de la tracción diagonal y continúa abriéndose, llamando a estas grietas de cortante y flexión. (Nilson Darwin, 2011). A partir de evaluaciones con muchos ensayos, se encuentra que la fuerza cortante nominal necesaria para que se desarrollen grietas de tracción diagonal por corte y flexión se puede determinar conservadoramente como:

Vc = (0,50 ∗  ∗ √f´c + 176 ∗ ρ ∗

Vu ∗ d )∗b∗d Mu

COVENIN 11.3 ACI 22.5.5.1

Pero menor o igual a

Vc = (0,93 ∗  ∗ √f´c ) ∗ b ∗ d

COVENIN 11.3 ACI 22.5.5.1

NOTA: las fórmulas según normas COVENIN son las mismas sin el término , siendo este término el que depende del tipo de concreto. Si es agregado normal  =1 y si es ligero varía según el tipo. (ACI 19.2.4.2) Las Normas sugieren como valor resistente de la fuerza cortante para el concreto si se quiere una fórmula más simplificada que la anterior

igual a

0,53√f´c*b*d. (COVENIN 11.3 Y ACI 22.5.5) Si sobre la viga actúa un cortante mayor se requiere refuerzo de acero para resistir el corte excedente.

2.-Efecto de las fuerzas axiales. La resistencia a cortante de la viga puede verse modificada por la presencia de fuerzas axiales en su sección transversal. La tracción diagonal ocurre cuando se combinan fuerza cortante y momento y se generan

tensiones principales de

tracción y compresión. En el caso de la tracción, el concreto alcanza su valor

máximo que es igual a 2√f´c bod Al introducir una fuerza axial se modifican estas tensiones principales. Si es de compresión anula los esfuerzos de tracción, siendo necesaria una fuerza cortante más grande para hacerla fallar, es decir aumenta la resistencia al corte de la viga. Al contrario si es una fuerza axial de tracción, disminuye su resistencia. Por eso las normas sugieren que el valor de Vc cuando hay fuerza axial de compresión se tome como: Vc = (0,53 ∗  ∗ √f´c ) ∗ (1 + 0,007 ∗

Nu A

)∗b∗d

(COVENIN 11.3 Y ACI 22.5.6.1)

Para un cálculo más detallado, se puede ver: COVENIN 11.3 y ACI 22..5.6.1 En el caso de que se trate de Tracción axial se tomará Vc=0 .

3.-Aporte del acero para resistir la Fuerza cortante en la viga. Se usará acero de refuerzo para absorber el corte que exceda la resistencia del concreto. Este acero se dispondrá en forma de estribos que pueden ser verticales, inclinados o también aprovecharse del acero longitudinal doblado. En este curso se usarán estribos verticales cerrados (Ver figura 3)

Figura N° 3

Si se supone la condición extrema en la que la grieta de tracción diagonal forma aproximadamente 45° como se observa en la Figura n° 4, y la altura útil de la viga es “d”, la proyección horizontal de la grieta también es “d”. ¿Cuántos estribos a una separación constante “s” se pueden colocar en ese ancho?.

Figura N° 4 Si se llama n al número de estribos. n =d/s Por otra parte el área total de las barras verticales (Av) por fy daría la capacidad que tiene el acero para absorber corte. A esta se le llamará Vs. Luego, nAv*fy = Vs en donde Av es el número de ramas verticales por el área del estribo. Como n= d/s. Entonces

d*Av*fy/s = Vs.

Y lo que resistiría la sección al corte en ese espacio es : Vn= Vc+Vs

(COVENIN 11.2 Y ACI 22.5)

Esto funciona si cada grieta de tracción diagonal está atravesado por al menos un estribo. Por otra parte se debe cumplir que Vu ≤ Vn En donde  dependerá del tipo de elemento a diseñar (ver las especificaciones indicadas en las Normas). (COVENIN 9.4 Y ACI 22.5.21.2)

4.- Separación de estribos. La separación de los estribos va a depender de la cantidad de fuerza cortante que tenga que absorber el acero (Vs). A mayor Vs, la separación obtenida será menor. Las normas limitan la separación máxima para garantizar que las grietas estén atravesadas por uno o más estribos. Ver Tabla n° 2.

5.- Losas y Vigas ND1. La gran mayoría de normas del mundo siguen los siguientes principios: 1.-Prevenir daños no estructurales para temblores o terremotos pequeños, que pueden ocurrir frecuentemente durante la vida útil (de servicio) de una estructura

2.-Prevenir daños estructurales y hacer que los no estructurales sean mínimos, para terremotos moderados que pueden ocurrir de vez en cuando. (Usualmente se señala expresamente que la estructura sufrirá varios de éstos) 3.-Evitar el colapso o daños graves en terremotos intensos y larga duración que pueden ocurrir raras veces. (Usualmente uno durante la vida útil de la estructura) Las Normas COVENIN catalogan a la estructuras en tres niveles de diseño, ND1, ND2 y ND3 (para las normas ACI estas son los elementos de pórticos ordinarios, las de nivel intermedio y los pórticos especiales respectivamente). Para el ND1, puede estar la estructura en capacidad de resistir grandes fuerzas pero la respuesta se espera que esté en el dominio elástico. Las cargas son estáticas y no se contempla la ocurrencia de la cedencia bajo cargas reversibles. En esta situación se encuentran los elementos catalogados como nivel de diseño ND1. Los elementos a flexión no resistentes a sismos como las losas, y las vigas auxiliares dentro de un envigado, o aquellas vigas que pueden resistir sismos pequeños, entran dentro de esta clasificación. Para el diseño por corte se usarán los criterios del capítulo 11 de la norma COVENIN (su equivalente en la norma ACI, es el capítulo 22). La fuerza cortante de diseño Vu, es el valor máximo en la cara si es la estructura monolítica, pero para ND1, la Norma permite diseñar para un corte igual al que se encuentra a esta distancia “d”, cuando la carga esté aplicada sobre la cara superior de la viga, además de ello no debe existir una fuerza puntual aplicada dentro de esta distancia “d” y las reacciones en el apoyo deben ser de compresión. (COVENIN 11.2 Y ACI 9.4.3.2). Las losas, placas, zapatas se diseñan para que el concreto resista todo el corte (COVENIN 11.4.3). En el caso de losas nervadas en una dirección puede incrementarse en un 10% el valor obtenido por las fórmulas de Vc. ( COVENIN 8.10.1)

6.- Vigas de nivel de diseño ND2. Las Normas establecen que Vu ≤ Vn, siendo Vn la resistencia nominal de cálculo que se usa con las fórmulas ya conocidas. Luego se reduce su valor calculado con el factor correspondiente .

Por ejemplo en la viga de la Figura N° 5, se muestra para las acciones Mu, wu aplicadas los diagramas de corte y momento que se corresponden con ellas. Con esas solicitaciones se hace el diseño de acero necesario por flexión. Y se coloca de acuerdo a lo indicado en las Normas.

Figura N° 5 Luego, para ese acero se calculan los momentos teóricos que resiste la viga en cada sección de la misma. Se grafican con el de diseño que dio origen al cálculo de los

aceros, y se observa que la viga tiene una CAPACIDAD de momento superior a la que teóricamente se esperaba. En conclusión el momento resistente Mn de esa viga con el acero colocado, da mayor a la envolvente de momentos que sirvió de cálculo.

En caso de un sismo, si las fuerzas llegan a producir estos momentos topes que la viga puede aguantar (superiores a las supuestas como actuantes, Mu y wu), ésta resiste la flexión perfectamente sin problemas, PERO, si actúan momentos superiores a los esperados, es lógico suponer que actúen cortes también superiores a los esperados, para equilibrar estos momentos. El miembro incursionará en rango inelástico, llegando en los puntos de máximo momento a la cedencia. Si se quiere que la estructura esté en capacidad de incursionar en rango inelástico sin menoscabo de su resistencia: (i) se deberá incrementar su capacidad de deformación, (ii) se deberá evitar fallas frágiles por compresión, corte y torsión, pérdida o degradación de la adherencia entre cabillas y concreto, y para ello debe cumplir una serie de requisitos que garanticen estas condiciones. Por eso la filosofía es diseñar el corte (en estructuras sometidas a sismos fuertes y moderados) por capacidad. El objetivo del diseño por capacidad es lograr una estructura extremadamente tolerante a los desplazamientos impuestos por el sismo, lo que se orienta a evitar el colapso, a pesar de haberse excedido su resistencia. Evitar fallas frágiles por corte, torsión o compresión, haciendo estos elementos mucho más resistentes que lo que se requiere para equilibrar la flexión. Por esta razón el diseño del corte para ND2 y ND3, las fuerzas de diseño no pueden obtenerse en forma directa a partir del análisis que se usó para diseñar la flexión. Las demandas del corte surgen de un análisis estructural que contemple la máxima capacidad a flexión que resulta de su diseño y la variación a lo largo del miembro. Al respecto la norma nos dice, que la fuerza cortante de diseño podría ser superior para ND2 difiere de lo que se hace con ND1, y es igual a:

Vu= Vh +Vo En donde Vo es el corte que se obtiene del tramo cargado por carga vertical igual al más desfavorable de 1.2*CP+ CV

ó 0,9CP, suponiendo el tramo

simplemente apoyado. Y Vh es el corte que equilibra los momentos teóricos que puede resistir la viga en sus extremos con los aceros colocados. (COVENIN 18.7.5 y ACI 18.4.2.3).

Mni+Mnd VH = Ln

(ver Figura N° 6)

En donde Mn es el momento teórico calculado con =1 En el diseño el aporte Vc del concreto NO se tomará en cuenta si se cumple simultáneamente que : (i) la fuerza axial mayorada del tramo dela viga incluyendo el efecto del sismo es menor

0,05*A*f´c y (ii) cuando en alguna de las dos

secciones extremas se cumpla que Vh ≥ 0,5Vu. Adicionalmente con esto hay otra exigencia en ND2 y es una zona de confinamiento en los apoyos a fin de reforzar la zona donde se van a producir la rótulas. (COVENIN 18.7.4) y es igual a Lcf que se calcula para ND3. En esta zona de confinamiento hay

unas separaciones máximas de estribos (COVENIN 18.3.4 Y ACI)

Figura N° 6

7.- Vigas ND3 Para ND3, se está hablando de vigas que pueden estar sometidas a sismos fuertes. Y el momento que puede actuar sobre una viga es mucho mayor que la calculada para diseño. En el caso ND2 se suponía que el momento máximo que puede soportar la viga era el teórico, sin usar el factor de reducción. Y se supone en el cálculo de ese momento que una vez que el acero llega a la cedencia, este valor permanece constante, cosa que en la realidad no es así, pues se está despreciando la sobreresistencia que tiene. Véase Figura N° 7. El acero puede alcanzar mayor resistencia por lo que el momento real que puede absorber la viga será aún mayor. En ND3, para el acero colocado se calculan los momentos que puede resistir la misma. Este cálculo se realiza tomando en cuenta la sobre-resistencia del acero. En Venezuela para aceros tipo W se estima en un 25% y para aceros tipo S en 40%. Por tanto se usará para determinar los momentos por capacidad en los nodos extremos los valores 1.25fy o 1,40fy según sea el caso en vez de fy.

Figura N° 7 Se puede usar el gráfico de la Figura N° 6, solo que en vez de los momentos teóricos Mn, se usaría los momentos máximos probables. Mpr, calculados con 1,25fy o 1,40fy según sea el caso. (COVENIN 18.3.5).

Es de suponer que si la viga puede absorber mayor momento porque su capacidad es mucho mayor que la calculada, los momentos sísmicos que actúen necesitan una fuerza cortante que los equilibre. Por esa razón las fuerzas Vu de diseño se calculan tomando en cuenta el máximo momento probable que pueda ocurrir. Y la norma indica que el valor será Vo+VH. En donde Vo es el corte que se obtiene del tramo cargado por carga vertical igual al más desfavorable entre 1.2*CP+ CV ó 0,9CP, suponiendo el tramo simplemente apoyado, y Vh es el corte que equilibra los momentos máximos probables calculados tomando en cuenta la sobre-resistencia del acero usando además  = 1. (COVENIN 18.7.5 y ACI 18.4.2.3).

Mpri+Mprd VH = Ln Luego de obtenido Vu se diseña de acurdo a las normas. Vu ≤ Vn ≤ ( Vc + Vs) en donde Vc se toma como cero si la fuerza axial mayorada en el vano, incluyendo el efecto de sismo, es menor que 0,05Afc′. (ACI incluye también el requisito de que VH sea mayor o igual a 0.5Vu calculado como Vo+VH de manera simultánea) según COVENIN es la tabla 18.3.4, según ACI 18.6.4.1es 2h. (Ver tabla n° 1)

TABLA N° 1

TABLA N° 2

8.- RESUMEN DE LOS REQUERIMIENTOS DE LAS NORMAS PARA DISEÑO POR CORTE EN LOSAS Y VIGAS NORMA COVENIN ACI-318

1.-Se debe cumplir Vu≤Vn ≤(Vc+Vs) En donde: Vu es la fuerza mayorada y Vn la resistencia nominal o teórica Vu si las vigas o losas son construidas monolíticamente con los apoyos, puede usarse el corte Vu en la cara. Si se trata de ND1, puede usarse el corte a una distancia “d” de la cara si, la reacción produce compresión en los apoyos, si además las cargas se aplican en la cara superior del miembro y si no hay una carga puntual aplicada dentro de esa distancia “d”

COVENIN

 factor de reducción. Para losas y vigas = 0.75

COVENIN ACI 318 COVENIN

Para ND2 (intermedio) Vu= Vh +Vo en donde VH es el corte resultante para equilibrar los momentos nominales calculados en los extremos del tramo con el acero longitudinal colocado para resistir momentos. Y Vo es el corte para carga vertical mayorada suponiendo el tramo simplemente apoyado. Para ND3 (especiales) Vu= VH + Vo. En donde VH es el corte que equilibra los momentos máximos probables calculados en los extremos del tramo con el acero longitudinal colocado. Y Vo es el corte para carga vertical mayorada suponiendo el tramo simplemente apoyado.

ACI 318 COVENIN

ACI 318

ACI 318

COVENIN

2.-Debe cumplirse que Vu≤*(Vc+2,1*√fc´ *b*d)

ACI 318

ARTÍCULO 11.2 22.5 22.5.1.1 11.2 7.4.3; 8.4.3; 9.4.3 11.2

9.4.3.2 Tabla 9.4 Tabla 21.2.1 18.7.5 (ND2) 18.3.5 (ND3)

18.4.2.3 (intermedio) 18.6.5.1 (especiales) 11.2 22.5.1.2

Para miembros NO pre-esforzados y sin fuerza axial Fórmula sencilla

Vc = 0,53 ∗  ∗ √f´c ∗ bd

COVENIN ACI 318

Fórmula más exacta: Vc = (0,50 ∗  ∗ √f´c + 176 ∗ ρ ∗ En todos los casos : √fc′ ≤ 27 kg/cm2 mínimo

Vu ∗ d )∗b∗d Mu

salvo que la sección tenga refuerzo transversal

Pero el valor será menor de: Vc = (0,93 ∗  ∗ √f´c ) ∗ b ∗ d Y Vc = (0,5 ∗  ∗ √f´c ) + 176 ∗ ρ) ∗ b ∗ d Valor de  Para miembros NO pre-esforzados y con fuerza axial de compresión

COVENIN ACI 318

Tabla 11.3 (no lleva ) 22.5.5 Tabla 11.3 Tabla 22.5.5.1

COVENIN

11.2 (dice ≤ 26 kg/cm2)

ACI 318

9.6.3.3 y 9.6.4.2

COVENIN ACI 318 COVENIN ACI 318

Tabla 11.3

22.5.5.1 No lo contempla Tabla 19.2.4.2

Vc = (0,53 ∗  ∗ √f´c ) ∗ (1 + 0,007 ∗

Nu )∗b∗d A

COVENIN ACI 318 COVENIN ACI 318

O con la fórmula completa véase los artículos

Tabla 11.3 sin  22.5.6.1 Tabla 11.3 sin  22.5.6.1

Para miembros no preesforzados con tracción axial significativa Se tomará Vc=0 Véase la tabla 11.3 de COVENIN Y el art 22.5.7.1 del ACI 318-14

NORMA

ARTÍCULO

3.-Cálculo de refuerzo transversal: Resistencia de los materiales: Acero de refuerzo fy ≤ 4200 kg/cm2 ; malla electrosoldada ≤ 5600

COVENIN

11.4.2

ACI 318 COVENIN ACI-318

22.2.2.5 11.2 22.5 ; 22.5.1.1

Vc=0 en vigas ND2 si simultáneamente ocurre(i) fuerza axial del tramo < 0,05Af´c y (ii) si en alguno de sus extremos VH ≥ 0,5Vu (SOLO COVENIN)

COVENIN

18.7.5

Vc= 0 en vigas ND3 si la fuerza axial mayorada < 0,05Af´c (COVENIN) En ACI son los dos requisitos (i) y (ii) para ND3

ACI

Diseño

COVENIN

Tabla 11.4

ACI 318 COVENIN ACI 318

22.5.10.5.3

COVENIN

Tabla 11.4

Valor de Vs = =

𝐕𝐮 𝛟

del

− 𝐕𝐜

refuerzo por Av ∗ fy ∗ d s= Vs

corte

(estribos)

Diámetro mínimo de estribos  ≥ 3/8” Acero mínimo de estribos: Av ≥ 3.5.bo*s/fy Separación máxima de estribos s max: Si Vs ≤ 1,06 ∗ √f´c ∗ b ∗ d smax= d/2 o 60 cm (el menor) (ND1) En caso contrario smax = d/4 ó 30 cm el menor (ND1) Zona confinada Lcf Covenin 18.3.4 (Ver Tabla 1) Para ND2 y ND3 en las zonas confinadas, el menor de: s ≤ d/4 s ≤ 8 veces la barra longitudinal de menor diámetro s ≤ 24 veces el diámetro del estribo s ≤ 30 cm. EN EL RESTO DE LA VIGA EN CUALQUIER PARTE s ≤ d/2 Separación máxima de estribos s max: PARA PÓRTICOS INTERMEDIOS (ND2) en la longitud Lcf que es igual a 2h las separación es la menor de : s ≤ d/4 s ≤ 30 cm s ≤ 8 veces la barra longitudinal de menor diámetro s ≤ 24 veces el diámetro del estribo PARA PÓRTICOS ESPECIALES: Lcf=2h s ≤ d/4 s ≤ 15 cm. s ≤ 6 veces el menor diámetro longitudinal

18.3.5 18.6.5.2

Y 18.3.4

ACI 318

18.6.4.1 18.6.4.4.

4.-Debe cumplirse que Las vigas de ND1 (pórticos ordinarios de ACI 318) se diseñan para la condición más desfavorable de las combinaciones de carga tal como se indica en los diferentes artículos ya vistos. Las vigas de ND2 y ND3 (pórticos intermedios y especiales respectivamente) se diseñaran por capacidad en donde VU= VH+ Vo

COVENIN ACI 318

El primer estibo en el apoyo se colocará a máximo 5 cm de la cara de ese apoyo COVENIN 18.6.4.4

Cap 11 (ND1) 18.3.4 (ND3) 18.7.5 (ND2) 18.6.5.1 18.4.2.3

22.5.1.2

Vigas con Fuerza cortante y flexión

8.1.-EJEMPLO DE APLICACIÓN PARA VIGAS DE ND1 Para la viga mostrada en la Figura N° 8 diseñar por fuerza cortante si se clasifica como nivel de diseño ND1. f’c=240 kg/cm2 y fy=4200 kg/cm2 .Re=6 cm. (Las referencias a COVENIN y ACI, se corresponden con artículos de las Normas 1753-06 y 318-14 respectivamente). La carga de 7500 kg/m resulta del caso de carga de 1.2CP+1.6CV. y está aplicada en el eje de simetría longitudinal en la cara superior. NOTA: Aún cuando no se necesita para resolver este problema, se da la colocación de acero necesaria para el momento actuante, se deja al alumno la comprobación del mismo.

.

Figura N° 8

Solución: 1.-Si tiene la carga aplicada en la cara superior de la viga, y no hay cargas puntuales cerca de la cara de ninguno de los dos apoyos (hasta una distancia “d” medida desde la cara 0.15+0.39=0.54 cm en este caso desde el eje), y se produce además compresión en los apoyos, todo simultáneamente), la Norma permite diseñar para un corte igual al que se encuentra a esta distancia “d”, cuando se cumplen estas condiciones. (COVENIN 11.2 Y ACI 9.4.3.2).

Figura N° 9 2.-Se usarán para el diseño los valores de Vu= 12898 kg y Vu= 16502 kg. que están a una distancia “d” de la cara de cada apoyo. 3.-Para Vu= 12898 kg se debe cumplir que Vu ≤ *(Vc+Vs) (COVENIN 11.2 y ACI 22.5.1.1) Usando la fórmula simplificada Vc=0.53 ∗ √f ′ c*b*d = 9607 kg (COVENIN 11.3 y ACI 22.5.5) Con  = 0.75 Luego Vs =

Vu ∅

(COVENIN 9.4 y ACI 21.2.1)

− Vc = 12898/0.75 - 9607 = 7590

Este valor deberá ser ≤ 2.1 ∗ √f ′ c*b*d 7590 < 38065 ok (COVENIN 11.2 y ACI 25.5.1.2) Se eligen los estribos a usar. Si se usan estribos de 2R  de 3/8” . s=

Av∗fy∗d Vs

=

1.42∗4200∗39 = 30.65 cm 7590

(COVENIN 11.4 y ACI 22.5.10.5.3)

Acero mínimo de estribos 3.5*b*s/fy = 0.475 cm2 y se tiene 1.42 OK. La separación necesaria por cálculo es de 30 cm. Sin embargo no pueden sobrepasar los valores máximos que se dan a continuación: Si Vs ≤ 1.06*√f ′ c b*d smax ≤ 60 cm ó d/2 (COVENIN 11.4 y ACI 18.3.4) Se obtiene d/2 = 19.5  19 cm. < 30 cm.(Si fuese el caso contrario sería d/4) Para Vu= 16502 Se repite el procedimiento:  Vc=0.53 ∗ √f ′ c*b*d = 9607 kg   = 0.75  Luego Vs =

Vu ∅

− Vc = 16502/0.75 - 9607 = 12396 kg

 12396 < 2.1 ∗ √f ′ c*b*d < 38065 kg 12396 < 1.06*√f ′ c b*d por tanto smax= d/2 =19 cm. ¿Cuál es la separación necesaria? s=

Av∗fy∗d Vs

= 1,42*4200*39/12396 = 18 cm.

Entonces en este apoyo se colocarán @18cm, hasta el punto en el que el necesario sea 19 cm. 4.-El primer estribo: en los apoyos se coloca a 5 cm de la cara del mismo (COVENIN 18.6.4.4 ). Y los siguientes en el nodo izquierdo, se colocan cada 19cm. En el nodo derecho se colocan cada 18 hasta el punto en donde se necesita una separación de 19 cm (cada d/2). En los puntos en los que teóricamente no se necesitan estribos porque Vu ≤ Vc, igual hay que colocar un mínimo a separación máxima de d/2. Por esa razón se calcula donde se necesita exactamente d/2: Vs

=

Av∗fy∗d s

= 1.42*4200*39/19 = 12242 kg 

Vu= ɸ(Vc + Vs) = 0.75*(9607 + 12242) = 16387 kg Ubicando esta fuerza cortante en el diagrama (Figura N° 10), se obtiene el punto B.: De esto resulta que entre A y B la separación a colocar de los estribos es cada 19 cm. Ya que para un corte menor o igual a 16387, se coloca d/2, y en A, aunque es mayor, se diseña para el corte a una distancia “d” de la cara.

Figura N° 10 Entre B y C se colocarán cada 18 cm. que fue lo calculado a una distancia “d” de la cara “C”, y se lleva hasta donde deja de necesitarse d/2. En el volado el cálculo para 11625, da mayor separación a 19 que es la máxima, por tanto manda 19 cm. Sin embargo para los volados se va a colocar como máxima d/4 es decir cada 9 cm. Ya que si hay vibraciones pueden haber momentos alternantes Al final el detalle de la colocación quedaría así:

SECCIÓN A-A Figura N° 11

8.2.-EJEMPLO DE APLICACIÓN PARA VIGAS DE ND2 En el ejemplo anterior (Figura N° 8) supóngase que se trata de una viga de nivel de diseño ND2, y se sabe que la relación CP/CV = 2,85. Se pide el diseño del acero transversal mostrando el detallado. Se trata de una vivienda.

Solución: 1.-Para este caso la fuerza cortante de diseño sería la máxima posible que puede actuar en el caso de un sismo fuerte. Las Normas indican : Vu = VH +Vo

(COVENIN 18.75 y

ACI 18.4.2.3 ) Se deben analizar los dos casos

posibles indicados en la Figura N° 12

Figura N° 12 a) Para calcular Vo, se tiene que encontrar la carga correspondiente. En el ejemplo anterior wu= 7500 kg/m pero ese valor proviene del caso 1,2CP+1,6CV. Luego si se sabe que CP = 2,85CV se puede descomponer este valor en CP y CV: 7500 kg/m = 1.2*2.85*w CV +1.6*w CV = 5.02w CV  w CV= 1494 kg/m

wCP =2,85*1494= 4258 kg/m

wu = 1,2wCP + wCV Como es vivienda = 0.5  wu= 1.2*4258 +0.5*1494 = 5857 kg/m Luego Vo = 5857*5/2 = 14643 kg., pero como se necesita el de la cara Vo = 14643*2.35/2.5 = 13765 kg b) Para hallar VH, se deben calcular los momentos nominales resistentes (Mn) con el acero que está colocado, tanto el positivo como el negativo. (Ver Figura N° 8)

Figura N° 13 Momento nominal positivo y negativo resistente del nodo izquierdo : As = 2*2.84 = 5.68 cm2 A´s = 5.68 cm2

a =4.572 cm ´s= -728 kg/cm2

Mn+ = Mn- = (0.85*240*4,572*30*(39-4,572/2)-5.68*728*(39-6))/100= Mn+ = Mn- = 8909 kgm.

Momento nominal negativo resistente del nodo derecho : As = 2*2.84 +1.27= 6.95 cm2 A´s = 5.68 cm2 Mn- = 10698 kgm

a =4,948 cm ´s=-193 kg/cm2

Momento nominal positivo resistente del nodo derecho

As = 5.68 cm2 A´s = 6.95 cm2 Mn- = 8917 kgm

a = 4,628 cm s´s= -643 kg/cm2

MnI - = 8909 MnD+= 8917

VH = (8909+8917)/4.7 = 3793

MnI + = 8909 MnD - = 10698

VH = (8909+10698)/4.7 = 4172

Figura N° 14 2.-Diseño por fuerza cortante Una vez determinados los diagramas de fuerza cortante actuante, se diseña la viga con las mismas fórmulas que se usan para nivel ND1 con las restricciones propias del nivel. Se elige para cada extremo el caso de mayor fuerza cortante: 17558 para el izquierdo y 17937 para el derecho.

Nodo izquierdo Vu= 17558 kg Vu= ɸ(Vc+Vs) No se tienen datos para saber si hay fuerza axial, se puede suponer que es cero. La segunda condición de que VH>0.5Vu no se cumple; por tanto en este caso se tendrá en cuenta el aporte del concreto, (según normas COVENIN, ACI no lo considera) Vc = 0.53*√f´cbd = 0.53*15.49*30*39 = 9607 kg

Vs = Vu⁄∅ − Vc = 17558/0,75 – 9607 = 13804 kg Se compara con 2.1*√f´cbd =38059 Se cumple Se compara con 1.06*√f´cbd =19211 kg. Separación s máxima d/2. Se calcula la separación necesaria si se va a usar estribos de (2R de 3/8”

s=

Av∗fy∗d Vs

= 1.42*4200*39/15733 = 16.85 cm. 16 cm.

A medida que la sección se desplaza hacia el centro, el cortante disminuye y la separación para el mismo tipo de estribo será mayor. Pero debe existir una zona de confinamiento con separaciones máximas. Lcf  2h  90 cm desde la cara del apoyo (véase tabla 1). La separación máxima de los estribos en esta zona es: s≤ s≤ s≤ s≤

d/4 (9.75) 8 veces la barra longitudinal de menor diámetro (8*1.27 = 10.16) 24 veces el diámetro del estribo (24*0,95 = 22.8) 30 cm

se elige el menor 9 cm . El primer estribo se coloca a 5 cm de la cara del apoyo izquierdo y los siguientes se colocan cada 9 cm. Nodo derecho Vu= 17937 kg Se repite todo el procedimiento Vc= 9607 Vs= 14309 s = 16 cm (calculada como necesaria) s = 9 cm (por confinamiento). Se debe usar el menor de los valores obtendios. ¿Cómo quedan ahora los estribos? En la zona confinada se colocan el número de estribos necesarios separados cada 9 cm hasta la distancia 2h o más (2h = 90 cm) tal como se muestra en la figura N° 15

Figura N° 15 Qué se hace en la zona central? La norma establece que en el resto de la viga la separación máxima es d/2, salvo que se necesite menos. Se calcula el corte al finalizar la zona de confinamiento (a 95 cm desde la cara o 110 desde el eje) a fin de verificar si se cubre con la separación máxima igual a d/2.

Figura N° 16 Se calcula el cortante a 1,10 del eje (Vu=11998 kg a la izquierda y Vu= 12368 kg a la derecha) y la separación necesaria para ese corte de 11998. Vs= Vu/ɸ -Vc = 6390 y se obtiene s = 36. Pero el máximo es d/2 = 19 cm. Para Vu= 12368 kg se obtiene s=33 cm > 19 cm. En ambos casos manda 19 cm.

3.- Detallado final La viga con su refuerzo transversal quedaría como se muestra en la figura N° 17.

Figura N° 17

8.3.-EJEMPLO DE APLICACIÓN PARA VIGAS DE ND3 Se sigue con el mismo ejemplo de los casos anteriores (Figura N° 8), solo que ahora se supondrá que la viga está catalogada como ND3. Se mantiene la relación CP/CV = 2,85 se mantiene. Se pide el diseño del acero transversal mostrando el detallado. Se trata de una vivienda. Y el acero de refuerzo es tipo W Solución: 1.- Al igual que en el caso anterior se busca el cortante de diseño por CAPACIDAD, solo que en este caso se tomará en cuenta la sobre-resistencia del acero. Se usará en tracción en vez de fy, el valor de 1.25fy, por tratarse de acero tipo W. Igual se busca el corte Vu= Vo ±VH pero para VH se buscan los Momentos máximos probables.

Figura N° 18

Momentos Mpr en el nodo izquierdo tanto positivo como negativo (ver figura N° 13) As = 5.68 A´s =5.68

a= 4,495 cm ’s = -132 kg/cm2.

a = (5,68*1,25*4200-5,68*’s)/(0,85*f’c*b) y ’s = 6300*(c-Re)/c Mpr (+) y Mpr(-) = 10911 kgm (Resuelva el problema sin considerar el aporte de A’s y compare) Momentos Mpr negativo en el nodo derecho As = 6.95 A´s =5.68 Mpr(-) = 13136 kgm.

a= 5.45 cm ’s = 552 kg/cm2. 

Momentos Mpr positivo en el nodo derecho As = 5.68 A´s =6.95 Mpr(-) = 10912 kgm

a= 5.023 cm ’s = -134 kg/cm2. 

Vo= 13765 kg igual que para el problema anterior pues son las mismas cargas. VH (caso 1) = (10911+10912)/4.7 = 4643 kg VH (caso 2) = (10911+13136)/4,7 = 5116 kg

Figura N° 19

2.-Diseño por fuerza cortante Una vez determinados los diagramas de fuerza cortante actuante, se diseña la viga con las mismas fórmulas que se usan para nivel ND1 con las restricciones propias del nivel. Se elige para cada extremo el caso de mayor fuerza cortante: 18408 para el izquierdo y 18881 para el derecho.

Nodo izquierdo Vu= 18408 kg Vu= (Vc+Vs) No se tienen datos para saber si hay fuerza axial, en el peor de los casos se puede suponer que es cero, por tanto en este caso no se tendrá en cuenta el aporte del concreto. (Según COVENIN) Vs = Vu⁄∅ − Vc = 18408/0,75 – 0 = 24544 kg Se compara con 2.1*√f´cbd =38059 Se cumple Se compara con 1.06*√f´cbd =19211 kg. Separación s máxima d/4. Se calcula la separación necesaria si se va a usar estribos de (2R de 3/8”

s=

Av∗fy∗d Vs

= 1.42*4200*39/24544 = 9.48 cm.  9 cm.

A medida que la sección se desplaza hacia el centro, el cortante disminuye y la separación para el mismo tipo de estribo será mayor. Pero a su vez hay que revisar la separación de la zona de confinamiento. Lcf  2h  90 cm desde la cara del apoyo La separación máxima de los estribos en esta zona es : Según normas COVENIN las limitaciones son iguales que las del ND2, pero para el ACI cambian: s ≤ d/4 (9.75) s ≤ 15 cm s ≤ 6 veces el diámetro de la menor cabilla longitudinal  6*1.27 = 7,62  7 cm. se elige el menor de todos 7 cm Nodo derecho Vu= 18801 kg Se repite todo el procedimiento Vs= 18801/0.75 = 25068 kg s = 9.27 (calculada como necesaria)

s = 7 cm (por confinamiento) ¿Cómo quedan ahora los estribos en la zona confinada? En la zona confinada se colocan el número de estribos necesarios separados cada 7 cm hasta la distancia 2h o más (2h = 90 cm) tal como se muestra en la figura N° 20

Figura N° 20 ¿Qué se coloca en la zona confinada? ¿Al terminar la zona de confinamiento se colocará la separación máxima d/2? Depende de cual sea la fuerza cortante que actúe en ese punto, si la separación necesaria calculada es mayor a la máxima, se coloca la máxima, sino deberá colocarse la menor separación obtenida. Se busca entonces el corte actuante al finalizar la zona confinada. Para ver la separación necesaria.

Figura N° 21

Nodo Izquierdo Vu = 12780 kg Vs = Vu/ – Vc = 12780/0.75-9607 = 7433 kg La separación para Vs = 7433 es s = 31.29  31 cm. Es decir que después de la zona de confinamiento se coloca la separación máxima de d/2 = 19. Nodo derecho Vu= 13252 kg Vs= 13252/0.75-9607 = 8062 kg  s = 28.86  28 > 19, manda 19 cm En conclusión el detalle es :

Figura 22

9.-REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Nilson, A y Darwin,D, (2011), Diseño de estructuras de concreto. Ed Mc Graw Hill. Edición 12. COVENIN 1753-06 (2006) Proyecto y Construcción de Obras de Concreto Estructural

Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural (ACI 318SUS-14) y Comentario (ACI 318SUSR)