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TEMA , ,

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS: ANILLOS Y CUERPOS

6-1 Definic;ón de anillo. Teoremas

6-2 SubanUlo. Teorema 6-3 Dívisor~s de cero. Dominio de integración. Teorema 6-4 Elementos inversjbJes. Cuerpo

.c

DEFINICION DE ANILLO

ic

a1

6-1

om

6-5 H omofT)orfismos entre anillos 6-6 Ideales,de un anillo 6-7 Generación de ideales

at

Llamamos l anillo a la terna lA, •• 1) formada por un conjunto A y

w

.M

at

em

dos leyes ~e composición interna (*), (1), que cumplen los axiomas siguientes: ;

w

w

A.) El par (Al") es un grupo abeliano. A2

)

La l. eJ. (1) es asociativa .

A 3 ) La l.cJ. (1) es distributiva a derecha y a izquierda respecto a la ley 1-).

Todas estas condiciones las podemos establecer explícitamente del siguiente modo: 1) ( a . x + a . (- y) :::: O y por la distributiva: a' Ix

+ 1- yll

~

O - . Ix - yi ~ O

donde: a E A Y a #= O y x - y E A Y x - y ,¡:. O

que! y (x - vi sean divisores de cero en A, lo cual no es posible por hipótesis (anillo de integridad). Luego no puede ser x - y 9=- O, o sea, x - y o:; O z$. =- )( = y, como quedamos demostrar. =>

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6-4

ELE~ENTOS

INVERSIBLES. CUERPO

Dado un