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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA “TOMÁS FRÍAS” CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL ASIGNATURA: HIDROLOGÍA

FECHA: Abril 2020

DOCENTE: Ing. César Luis Viscarra Pinto TEMA: Probabilidad y Estadística en Hidrología

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS EJEMPLO Nº 1: Dados los valores de lluvias en milímetros (ver tabla), encontrar: a. b. c. d. e. f. g.

Promedio aritmético, Mediana Moda Promedio geométrico Rango Desviación estándar y Varianza

1

1980

Precipitación [mm] 371,10

2

1981

687,70

3

1982

512,60

4

1983

349,60

5

1984

786,90

6

1985

653,80

7

1986

756,10

8

1987

538,30

9

1988

370,00

10

1989

572,70

11

1990

450,10

12

1991

375,00

Nº

Año

SOLUCIÓN: a. Promedio aritmético: n

_

 xi

x  i 1 n



371,1  687,7  512,6  349,6  786,9  653,8  756,1  538,3  370  572,7  450,1  375 12

_

x  533,33mm

b. Mediana: se reordenan los datos en modo ascendente, como se muestra a continuación: Página 1 de 18

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1 1980

Nº

2 1983

3 1988

4 1991

5 1990

6 1982

7 1987

8 1989

9 1985

10 1981

11 1986

12 1984

Año Precipitación 349,60 370,00 371,10 375,00 450,10 512,60 538,30 572,70 653,80 687,70 756,10 786,90 [mm]

Como el número de datos es par, para calcular el valor de la mediana se determina el promedio de los dos valores centrales (se dejan 5 valores a cada lado), de la siguiente manera: 512,60  538,30 2 Mediana  525,45mm

Mediana 

c. Moda: No tiene, la serie de datos al no tener un valor que se repita o sea frecuente no tiene moda. d. Promedio geométrico: _

x g  12 371,1* 687,7 * 512,6 * 349,6 * 786,9 * 653,8 * 756,1* 538,3 * 370 * 572,7 * 450,1* 375 _

x g  514,31mm

e. Rango: El rango se calcula como la diferencia entre el máximo valor y mínimo de la serie de datos, de la siguiente manera: Rango  xmax  xmin  786,90  349,60 Rango  437,30mm

f. Desviación estándar:

1 1980

Precipitación [mm] 371,10

2 1981

Nº Año

(xi - x)

(xi - x)2

-164,23

26969,85

687,70

152,38

23218,14

3 1982

512,60

-22,73

516,43

4 1983

349,60

-185,73

34493,78

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5 1984

786,90

251,58

63289,98

6 1985

653,80

118,48

14036,33

7 1986

756,10

220,78

48741,60

8 1987

538,30

2,97

8,85

9 1988

370,00

-165,33

27332,36

10 1989

572,70

37,38

1396,89

11 1990

450,10

-85,23

7263,30

12 1991

375,00

-160,33

25704,11

 2

n 

_  x  x i    i 1   n

 S

272971,60

272971,60 12

S  150,82

g. Varianza: 2

n 

_  x  x i   272971,60   S 2  i 1  n 12



S  22747,63

EJEMPLO Nº 2: Calcular el promedio ponderado de los valores de lluvias observadas en las estaciones que se presentan en la tabla, para las áreas de influencia respectivas. Lluvias observadas que corresponden a áreas de influencia diferente Lluvia observada Área de influencia Punto P [mm] A [Km2] 1 10 0,22 2 20 4,02 3 30 1,35 4 40 1,60 5 50 1,95 9,14 

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SOLUCIÓN: Se calcula el producto de la precipitación observada y el área. Punto 1 2 3 4 5

Lluvia observada P [mm] 10 20 30 40 50 

Área de influencia A [Km2] 0,22 4,02 1,35 1,60 1,95 9,14

P*A [mmKm2] 2,20 80,40 40,50 64,00 97,50 284,60

Se evalúa la precipitación media ponderada. n

_

 xi fi

x p  i 1 n

 fi i 1

Adaptando a nuestra información la ecuación anterior se tiene: 5

_

 Pi Ai

P p  i 1 5



 Ai

284,60  mmKm 2    9,14  Km2   

i 1

_

P p  31,10mm

ANÁLISIS DE FRECUENCIA EJEMPLO Nº 3: Calcular el tiempo o periodo de retorno, con la fórmula de Weibull, para una serie anual de 43 años de caudales máximos medios diarios (ver tabla). SOLUCIÓN: La ecuación de Weibull es:

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P( x) 

m N 1

Para caudales máximos la probabilidad a tener en cuenta es la de excedencia: P( x) 

1 TR

El periodo de retorno es: TR 

1 P( x)

Sustituyendo el valor de P a partir de la formula empírica de Weibull se tiene: TR 

N 1 m

En este caso: N = 43 m = posición en la secuencia ordenada del valor del caudal, el cual se obtiene al ordenar la serie de mayor a menor. En el cuadro siguiente se detalla el cálculo del periodo de retorno. Años de registro 1987/88 1982/83 1984/85 1986/87 1972/73 1978/79 1963/64 1991/92 1983/84 1994/95 1977/78 1980/81 1965/66 1974/75

Caudal [m3/s] 402 398 338 243 225 218 214 201 195 195 184 182 157 148

m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

TR [años] 44,00 22,00 14,67 11,00 8,80 7,33 6,29 5,50 4,89 4,40 4,00 3,67 3,38 3,14 Página 5 de 18

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Años de registro 1990/91 1988/89 1954/55 1979/80 1969/70 1985/86 1994/94 1961/62 1973/74 1992/93 1957/58 1960/61 1981/82 1995/96 1959/60 1989/90 1975/76 1966/67 1968/69 1971/72 1956/57 1955/56 1958/59 1976/77 1996/97 1967/68 1962/63 1964/65 1970/71

Caudal [m3/s] 144 140 137 130 129 129 127 127 127 117 115 115 115 115 113 112 111 100 100 96 91 89 85 83 82 81 72 62 52

m 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

TR [años] 2,93 2,75 2,59 2,44 2,32 2,20 2,10 2,00 1,91 1,83 1,76 1,69 1,63 1,57 1,52 1,47 1,42 1,38 1,33 1,29 1,26 1,22 1,19 1,16 1,13 1,10 1,07 1,05 1,02

EJEMPLO Nº 4: ¿Cuál será el riesgo de falla de una presa, calculada con un TR de 1000 años con una vida útil de 100 años? SOLUCIÓN TR = 1000 años n = 100 años Página 6 de 18

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Evaluando la probabilidad de excedencia, se tiene: P( x) 

1 1  TR 1000

P( x)  0,001

Estimando la probabilidad de no excedencia: q  1  P  1  0,001 q  0,999

Aplicando la ecuación: j  1  1  P n

Se tiene: j  1  1  0,999100

j  0,095  9,5%

Existe una probabilidad de falla en su vida útil de 9,5% DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD VARIABLES DISCRETAS Distribución Binomial EJEMPLO Nº 5: ¿Cuál será la probabilidad de que una creciente anual de periodo de retorno, TR, de 50 igual o mayor a la especificada se produzca 1 vez en 50 años, si se supone que las crecientes anuales son eventos independientes? SOLUCIÓN  n P( x)    p x 1  p n  x  x

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P( x) 

1 TR

TR = 50 n = 50 años x = 1 vez 1

501

 50  1   1  P(1)     1    1  50   50 



50! 0,0211  0,0249 1!50  1!

P(1)  0,3716  37,16%

EJEMPLO Nº 6: En el norte del país se realizaron medidas con radar, de días tormenta con 1 ó más núcleos en la región de actividad convectiva, en un área de 49087 Km2 (radio de 125 Km). Los datos observados durante 13 años en esta región, entre octubre y marzo, indican los días con tormenta significativa mostrados en la tabla. En los 13 años de observaciones, se han monitoreado 2340 días de los cuales 478 han tenido tormenta. Se puede aplicar en la región la distribución de probabilidad binomial considerando que: p

m 478   0,20 ; n 2340

q  1  p   0,80

Días con tormenta significativa en el periodo de octubre a marzo (180 días) Año 89/90 90/91 91/92 92/93 93/94 94/95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/01

Nº de observaciones (casos posibles) 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180

Nº de días / tormenta (casos favorables) 37 17 39 53 37 42 49 35 25 36 49 30

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01/02

180 2340

29 478

a. Dado que un trabajo de desagües pluviales urbanos se llevará a cabo en 10 días en la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de no tener tormentas en 10 días? b. Se debe realizar un trabajo de pavimentación en el área que demandará 10 días, ¿Cuál es la probabilidad que el trabajo se alargue a 12 días debido a la ocurrencia de 2 días con tormentas? SOLUCIÓN. a. n = 10 p = 0,20 q = 0,80 x = 0 (no tormenta) n – x = 10 Aplicando la función binomial de densidad de probabilidad, se tiene:  n P( x)    p x 1  p n  x  x 10  P( x)   0,200 1  0,2010 0

P( x)  0,11  11%

Existe sólo un 11% de probabilidad de no lluvia en un mes cualquiera de la época de tormentas convectivas (de octubre a marzo) b. n = 12 p = 0,20 q = 0,80 x=2 n – x = 10 Aplicando la función binomial de densidad de probabilidad, se tiene:  n P( x)    p x 1  p n  x  x

12  P( x)   0,202 1  0,2010 2

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P( x)  0,29  29%

Existe sólo un 29% de probabilidad que el trabajo se alargue a 12 días. Distribución de Poisson EJEMPLO Nº 7: ¿Cuál es la probabilidad de que una tormenta de una tormenta de un periodo de retorno, TR, de 20 años pueda ocurrir una vez en 10 años? TR = 20 n = 10 años x = 1 vez

p( x ) 

m x e m x!

m  np m  10 * 0,05  5

p( x ) 

0,51 e 0,5 1!

P(1)  0,3032  30,32% VARIABLES CONTINUAS Distribución Normal EJEMPLO Nº 8: Dado el promedio y la desviación estándar de los datos de lluvia en enero en una localidad de: _

x  41,28mm

  6,49mm ,

Suponiendo que la distribución es aproximadamente normal, determinar: Página 10 de 18

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a) Probabilidad de tener menos de 45 mm en cualquier año en enero P(X < 45) b) Probabilidad de tener entre 43 y 45 mm de precipitación en cualquier mes de enero P(43 < x < 45) c) Probabilidad de tener menos de 35 mm P(X < 35) d) Probabilidad de tener exactamente 35 mm de precipitación en cualquier mes de enero P(X = 35 mm) SOLUCIÓN. a) P (X < 45) _

z45 

xx





45  41,28 6,49

z45  0,57

De la tabla de distribución Normal para z = 0,57 se obtiene el valor de 0,7157; es decir, un 71,57% de probabilidad de tener menos de 45 mm. Por otro lado, la probabilidad de tener más de 45 mm es: P  100  71,57%

P  28,43%

b) P (43 < X < 45) Calculando z de igual forma que en el inciso a) se tiene: z45  0,57 _

z43 

xx





43  41,28 6,49

z43  0,27

De la tabla de la distribución Normal se obtiene: z = 0,57 se obtiene el valor de 0,7157 z = 0,27 se obtiene el valor de 0,6064 El área neta es entonces:

P0,27  z  0,57  Pz  0,57  Pz  0,27  0,7157  0,6064 P0,27  z  0,57  0,1093

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La probabilidad que la precipitación de enero este entre 43 y 45 mm es de 10,93% c) P (X < 35) Calculando z tenemos: _

z35 

xx





35  41,28 6,49

z35  0,93

De la tabla de distribución Normal se tiene: Para z = -0,97 se tiene 0,1660. Por lo que la probabilidad de tener valores menores de 35 mm es de 16,60% d) P (X = 35) Como el valor superior e inferior es el mismo, P = 0. Distribución lognormal de dos parámetros EJEMPLO Nº 9: En el río San Juan calcular el valor del caudal medio anual que correspondería a un periodo de retorno (TR) de 100 años, para un promedio anual en el periodo 1956 – 1996 de 44,9 m3/s. Año Q [m3/s]

Año Q [m3/s]

Año Q [m3/s]

56 57

57 58

58 59

59 60

60 61

61 62

62 63

63 64

64 65

65 66

66 67

67 68

68 69

69 70

29,3

32,8

33,8

38,9

34,5

42,0

30,8

46,0

26,8

43,9

34,9

29,7

23,7

36,8

70 71

71 72

72 73

73 74

74 75

75 76

76 77

77 78

78 79

79 80

80 81

81 82

82 83

83 84

23,3

31,9

59,9

40,7

39,7

31,9

27,6

49,8

61,7

48,8

56,7

39,9

91,9

71,5

84 85

85 86

86 87

8788

88 89

89 90

90 91

91 92

92 93

93 94

94 95

95 96

96 97

60,7

50,5

73,2

94,0

51,9

44,4

38,0

59,0

49,0

45,3

49,9

38,3

27,6

SOLUCIÓN.

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Calculo de la desviación estándar Año

xi

x-x

(x - x)2

56 - 57 57 - 58 58 - 59 59 - 60 60 - 61 61 - 62 62 - 63 63 - 64 64 - 65 65 - 66 66 - 67 67 - 68 68 - 69 69 - 70 70 - 71 71 - 72 72 - 73 73 - 74 74 - 75 75 - 76 76 - 77 77 - 78 78 - 79 79 - 80 80 - 81 81 - 82 82 - 83 83 - 84 84 - 85 85 - 86 86 - 87 87- 88 88 - 89 89 - 90 90 - 91 91 - 92 92 - 93 93 - 94

29,3 32,8 33,8 38,9 34,5 42,0 30,8 46,0 26,8 43,9 34,9 29,7 23,7 36,8 23,3 31,9 59,9 40,7 39,7 31,9 27,6 49,8 61,7 48,8 56,7 39,9 91,9 71,5 60,7 50,5 73,2 94,0 51,9 44,4 38,0 59,0 49,0 45,3

-15,6 -12,1 -11,1 -6,0 -10,4 -2,9 -14,1 1,1 -18,1 -1,0 -10,0 -15,2 -21,2 -8,1 -21,6 -13,0 15,0 -4,2 -5,2 -13,0 -17,3 4,9 16,8 3,9 11,8 -5,0 47,0 26,6 15,8 5,6 28,3 49,1 7,0 -0,5 -6,9 14,1 4,1 0,4

243,44 146,47 123,26 36,03 108,21 8,42 198,88 1,20 327,70 1,00 100,05 231,11 449,54 65,65 466,67 169,06 224,93 17,66 27,07 169,06 299,37 23,99 282,16 15,19 139,18 25,02 2208,77 707,43 249,56 31,33 800,75 2410,57 48,97 0,25 47,64 198,74 16,79 0,16

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Año 94 - 95 95 - 96 96 - 97

(x - x)2

xi

x-x

49,9 38,3 27,6 44,9

5,0 24,98 -6,6 43,59 -17,3 299,37  10989,25

N = 41 años



2

_   x  x   10989,25    

Calculando los parámetros estadísticos de la muestra.

Desviación estándar:





_   x  x     N

2



10989,25 41

 m3    s 

  16,36

Coeficiente de variación:

Cv 

 16,36   44,9

Cv  0,364

Coeficiente de asimetría:

g  3Cv  Cv3  3 * 0,364  0,3643

g  1,14

En la tabla de factores de frecuencia para la distribución log normal para un periodo de retorno de 100 años; es decir, una probabilidad de excedencia de 0,01 y un coeficiente de asimetría de 1,14. El factor de frecuencia, k esta entre los valores del coeficiente de asimetría de 1,1 y 1,2, interpolando entre los valores de 3,09 y 3,15, se tiene: k = 3,12 _

sustituyendo los valores en la ecuación: y  y  k y y tenemos. Página 14 de 18

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA “TOMÁS FRÍAS” CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL ASIGNATURA: HIDROLOGÍA

FECHA: Abril 2020

DOCENTE: Ing. César Luis Viscarra Pinto TEMA: Probabilidad y Estadística en Hidrología

_

Q100  x  k  44,9  3,12 *16,36

Q100  95,94

m3 s

Distribución log Pearson III EJEMPLO Nº 10: Para los datos de caudal de un rio calcular el caudal máximo medio diario para un tiempo de retorno de 100 años. Caudales máximos medios diarios (1977 – 1997) Año Caudal [m3/s] (x)

77 - 78

78 - 79

79 - 80

80 - 81

184

218

130

182

Año Caudal [m3/s] (x)

87- 88 88 - 89 89 - 90 401 140 112

90 - 91 144

81 - 82 115

82 - 83

83 - 84

84 - 85

85 - 86

86 - 87

398

195

162

129

243

91 - 92 92 - 93 93 - 94 94 - 95 95 - 96 96 - 97 201 117 127 195 115 82

SOLUCIÓN. Año 77 - 78 78 - 79 79 - 80 80 - 81 81 - 82 82 - 83 83 - 84 84 - 85 85 - 86 86 - 87 87- 88 88 - 89 89 - 90 90 - 91 91 - 92 92 - 93 93 - 94

Caudal [m3/s] (x) 184 218 130 182 115 398 195 162 129 243 401 140 112 144 201 117 127

Log (x) 2,26482 2,33846 2,11394 2,26007 2,06070 2,59988 2,29003 2,20952 2,11059 2,38561 2,60314 2,14613 2,04922 2,15836 2,30320 2,06819 2,10380

Log (x) - x

(Log (x) - x)2

(Log (x) - x)3

0,04831 0,12195 -0,10257 0,04356 -0,15581 0,38337 0,07352 -0,00700 -0,10592 0,16910 0,38663 -0,07038 -0,16729 -0,05815 0,08669 -0,14832 -0,11271

0,00233 0,01487 0,01052 0,00190 0,02428 0,14697 0,00541 0,00005 0,01122 0,02859 0,14949 0,00495 0,02799 0,00338 0,00751 0,02200 0,01270

0,00011 0,00181 -0,00108 0,00008 -0,00378 0,05635 0,00040 0,00000 -0,00119 0,00484 0,05780 -0,00035 -0,00468 -0,00020 0,00065 -0,00326 -0,00143

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94 - 95 95 - 96 96 - 97

195 115 82

2,29003 2,06070 1,91381

0,07352 -0,15581 -0,30270

 44,33020

De la tabla anterior obtenemos: n = 20

 Log( x)  44,33020 2



_  logx   x   0,59547  



_  logx   x   0,07494  

3

Calculando los parámetros estadísticos de la distribución. Promedio: _

x

 Log( x)  44,33020 N

20

_

x    2,21651

Desviación estándar:

x 



_  logx   x    N 1

2



0,59547 20  1

 x  0,17703

Coeficiente de asimetría: Página 16 de 18

0,00541 0,02428 0,09162

0,00040 -0,00378 -0,02773

0,59547

0,07494

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3

_  N logx   x    20 * 0,07494 g  3 N  1N  2 x  19 *18 * 0,177033



g  0,78991

De la tabla correspondiente a la distribución Log Pearson III, entrando con un periodo de retorno de 100 años un coeficiente de asimetría de 0,78991 e interpolando se tiene un factor de frecuencia de: k  2,87 _

Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación: LogQ   x   x * k Tenemos: LogQ  2,21651  0,17703* 2,87 LogQ  2,72458

Q100  530,38

m3 s

Distribución Tipo I (Gumbel) EJEMPLO Nº 11: Calcular el máximo medio diario para un periodo de retorno de 100 años, considerando la muestra de la tabla de 20 años de registros. Año 1977 - 78 1978 - 79 1979 - 80 1980 - 81 1981 - 82 1982 - 83 1983 - 84 1984 - 85

Caudal [m3/s] 184 218 130 182 115 398 195 162

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1985 - 86 1986 - 87 1987- 88 1988 - 89 1989 - 90 1990 - 91 1991 - 92 1992 - 93 1993 - 94 1994 - 95 1995 - 96 1996 - 97

129 243 401 140 112 144 201 117 127 195 115 82

SOLUCIÓN. Calculando la media y la desviación estándar de la muestra de caudales se tiene: _

x  179,5

 x  87,89

De la tabla para la función de distribución de Gumbel, para un periodo de retorno, TR de 100 y años y una longitud de registro, N, de 20 años se obtiene un factor de frecuencia: k100  3,84 _

Reemplazando valores en la ecuación: x  x  k _

Q100  x  k  179,5  87,89 * 3,84

Q100  516

m3 s

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