Tema 3

3 Pote ot encias nc ias y raíces raíces 1. 2. 3. Expresa los producto s en forma de potencia. a) 6 · 6 · 6 · 6 · 6 c

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3 Pote ot encias nc ias y raíces raíces 1.

2.

3.

Expresa los producto s en forma de potencia. a) 6 · 6 · 6 · 6 · 6

c)  –1 · –1 · –1 · –1 · –1 · –1

b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

d)  –5 · –5 · –5

a) 65

c) ( –1)

b) 210

d) ( –5 )

a) 53

d)  –3

4

g)  –1

b) 28

e)  –2

5

h) 36

c) 35

f)

a) 125

d) 81

g)  –1

b) 256

e)  –32

h) 729

c) 243

f) 121

i) 343

2

i)

73

Potencia

Base

Exponente

Resultado

23

●●

●●

●●

●●

5

●●

●●

4 3

●●

–2

●●

–729 –128

Potencia

Base

Exponente

Resultado

23

2

3

8

54

5

4

625

3

 –9

3

–729

7

 –2

7

–128

●●

 

Sin realizar la operació n, indi ca el sig no que tendrá el result ado. a)  –2

15

a) Negativo

64

 –11

35

Copia en tu cuaderno y comp leta la tabla.

( –2 )

5.

3

Calcula el valor de las sig uientes potenc ias.

( –9 )

4.

6

Acti vidad resuelta.

Unidad 3| Potencias y raíces

b)  –8

32

b) Positivo

c)  –5

2017

c) Negativo

d)  –2135

315

d) Negativo

6.

Calcula las sig uientes potenc ias. d)  –5

b)  –37

e)  –5 4

h) 113

f)

i)

c)  –3

7.

7

g)  –113

54

 –1

a) 2187

d) 625

g)  –1

b)  –2187

e)  –625

h) 1

c)  –2187

f) 625

i)  –1

13

Copia y completa las siguientes expresiones. a) 3

c) 10

24 3

100000 10000000 00

b)  –4

d)

a) 35 = 243

0000000 c) 10 = 10000000

5

b) ( –4 ) = − 1024 8.

4

a) 37

6

216

3

d) ( –6 ) = –216 –21 6

e)  –4 f)

2

g)

48

512

128

h) 5

8

g) 29 = 512

e) ( –4 ) = 48 f)

9

27 = 1 2 8

3125

h) 55 = 3125

Al calcul ar una potenc ia de exponent e 4 se obti ene como resultado 81. 81. a) ¿Qué valor tiene la base? b) ¿De cuántas maneras puedes escr escr ibi r 81 en forma de potenc ia? a) 3 o (–3) 4 2 b) De cinco maneras: 34 , ( –3 ) , 92 , ( –9 ) , 811

9.

Un famoso cantant e ha col gado un video en en Internet. Internet. Se Se ha calcu calcu lado que, durant e la última hora, el número de visitas se multi plicaba por 2 cada minuto. a) Si al comi enzo de esa última hora, habían visto el vid eo 16 person as, ¿cuántas ¿cuántas vi sit as tenía pasados 5 minutos? ¿Y 10 10 minutos? ¿Y 15 15 minutos? b) Escribe la potencia que indica el el número de visitas qu e tiene el el video al finalizar la primera hora. por lo lo que que tenía tenía 16 · 25 = 512 512 visi visita tas. s. a)  A los 5 minutos se multiplicó por 25 , por  A los 10 minutos tenía 16 · 25 · 25 = 1638 16384 4 visi visita tas. s.  A los 15 minutos tenía 16 · 25 · 25 · 25 = 524 524 288 288 visit visitas. as.

b)  Al finalizar la primera hora tenía 16 · 260 = 24 · 260 = 264  visitas. 10. Acti vidad int eractiva. 11. 11. Escribe como una única potencia. a) 23 · 22 · 2 5

b)  – 4 · – 4

d) 312 · 335 · 388 4

50

e)  – 3

· –3

c) a 4 · a 3 · a 2 · a

f)

x 19 · x 80 · x

a) 26

d)

3

b) ( – 4 ) c) a10

9

42

· –3

39

135

131

e) ( – 3 ) f)

x

100

Potencias y raíces |  Unidad 3

65

6.

Calcula las sig uientes potenc ias. d)  –5

b)  –37

e)  –5 4

h) 113

f)

i)

c)  –3

7.

7

g)  –113

54

 –1

a) 2187

d) 625

g)  –1

b)  –2187

e)  –625

h) 1

c)  –2187

f) 625

i)  –1

13

Copia y completa las siguientes expresiones. a) 3

c) 10

24 3

100000 10000000 00

b)  –4

d)

a) 35 = 243

0000000 c) 10 = 10000000

5

b) ( –4 ) = − 1024 8.

4

a) 37

6

216

3

d) ( –6 ) = –216 –21 6

e)  –4 f)

2

g)

48

512

128

h) 5

8

g) 29 = 512

e) ( –4 ) = 48 f)

9

27 = 1 2 8

3125

h) 55 = 3125

Al calcul ar una potenc ia de exponent e 4 se obti ene como resultado 81. 81. a) ¿Qué valor tiene la base? b) ¿De cuántas maneras puedes escr escr ibi r 81 en forma de potenc ia? a) 3 o (–3) 4 2 b) De cinco maneras: 34 , ( –3 ) , 92 , ( –9 ) , 811

9.

Un famoso cantant e ha col gado un video en en Internet. Internet. Se Se ha calcu calcu lado que, durant e la última hora, el número de visitas se multi plicaba por 2 cada minuto. a) Si al comi enzo de esa última hora, habían visto el vid eo 16 person as, ¿cuántas ¿cuántas vi sit as tenía pasados 5 minutos? ¿Y 10 10 minutos? ¿Y 15 15 minutos? b) Escribe la potencia que indica el el número de visitas qu e tiene el el video al finalizar la primera hora. por lo lo que que tenía tenía 16 · 25 = 512 512 visi visita tas. s. a)  A los 5 minutos se multiplicó por 25 , por  A los 10 minutos tenía 16 · 25 · 25 = 1638 16384 4 visi visita tas. s.  A los 15 minutos tenía 16 · 25 · 25 · 25 = 524 524 288 288 visit visitas. as.

b)  Al finalizar la primera hora tenía 16 · 260 = 24 · 260 = 264  visitas. 10. Acti vidad int eractiva. 11. 11. Escribe como una única potencia. a) 23 · 22 · 2 5

b)  – 4 · – 4

d) 312 · 335 · 388 4

50

e)  – 3

· –3

c) a 4 · a 3 · a 2 · a

f)

x 19 · x 80 · x

a) 26

d)

3

b) ( – 4 ) c) a10

9

42

· –3

39

135

131

e) ( – 3 ) f)

x

100

Potencias y raíces |  Unidad 3

65

12. 12. Expresa los cocientes como una única potencia. potencia. 2

10

2

2

a) 220 : 24

b)

a) 216

b) ( – 2 )

c)

8

723 78

d)

6

50

:

6

10

d) (−6)40

c) 715

13. Expresa usando una únic a potenc ia. a)

10

5

3

b)

a) (−3)50

22

5

10

c)

b) 2100

c)

m

5

3

15

m

14. Acti vidad resuelta. 15. 15. Escribe las siguientes operaciones como una única potencia. a)

24 2 3 27 25 2 6

b)

x3

x4

2

c)

x6 x x2

3

5

3 4

5

2 5

5

0

b) x 2

c) ( −5 )

a) 26 56 76

c) 125 : 45 35

e)

27

b) 218 : 38

d) 4 36 736

f)

3 ·

a)

c) 310

e) ( −3 )

d) 28 36

f)

a) 23

5

16. Expresa como una úni ca potenc ia.

70

6

b) 78

12

4

( −3 )

:

12

3 3

6

:

24

5

17. Acti vidad resuelta. 18. 18. Escribe como una única potencia y calcula el el resultado. a) 98 : 39

d) 35 96 : 272

b) 83 25

e) 254 :125 5 6

2

c) (163 ) 82

f)

8

:

2

8

8

d) 35 ⋅ ( 32 ) : ( 33 ) = 311 = 177 147

6

3

e) ( 52 ) : 53 ⋅ 5 6 = 511 = 48 828 125

a) ( 32 ) : 39 = 3 7 = 2 187 b) ( 23 ) ⋅ 25 = 214 = 16 384 c)

4

2

(( 2 ) ) ⋅ ( 2 ) 3 3

4 2

= 226 = 67108864

2

4

f)

8

( −22 ) : ( −2)

8

= 28 = 256

19. 19. Expresa como producto de potencias de factores primos. a)

2 3 7

5

a) 25 ⋅ 35 ⋅ 75

66

Unidad 3| Potencias y raíces

3

b) 14 9

c)

b) 29 ·7 9

c) ( −3 · 22 ) = ( − 3 ) · 26

12

d) 3010 3

3

d) 210 · 310 · 510

3

5

20. Escribe como potencia de un producto o de un cociente. a) 3 4·252

b) 87

a) (3·5)

 24  b)    3 

4

c) x 100·y 50

d) ( 0,5·b)15

c) ( x ·y )

 −b  d)    2 

15

7

2

50

21. Acti vidad resuelta. 22. Calcula. a) a)

16 81 25 12 300

24 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 22· 3 ⋅ 3 ·22 · 52 4

( 3 2 ) ⋅ (3 3 ) b) 4 (34 ) c)

94 273

b)

3

=

24 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2

=

2 4 · 32 · 5 2

4 2

3020 495 (210 4 )

2

100 5 9 6

= 32 = 9

38 · 3 9 =3 316

20 ( 2· 3·5 ) ⋅ ( 72 )

(( 2· 3·5· 7 ) )

814

c)

5 5

⋅ ( 22 ·52 ) ⋅ ( 32 )

6

=

220 ·3 20 · 5 20 · 710 = 22 · 5 2 · 72 = 4900 218 · 320 · 518 · 78

23. Acti vidad resuelta.

24. Simplifica y opera la expresión (42 + 32 ) ⋅ 26 (5 − 1)3 ⋅ (4 + 1)

=

(16 + 9 ) · 26 43 ·5

=

(42 32 ) 26 . (5 1)3 (4 1)

5 2 ·2 6 26 ·5

=5

25. Calcula las sigu ientes potenc ias. a) 3 4

d)

1

b) 5

e)

2

2

c) 10

3

f)

3

g)

7

2

h)

6

40

a)

1 1 = 4 3 81

d)

b)

1 1 = 2 5 25

e)

c)

1 1 = 3 10 1000

f) 1

i)

1 (−1)

3

1

( −2 )

2

= −1

=

1 4

g)

2

3

0

8

1 (−7)

3

=−

1 343

h) 1

i)

1 1 = 8 2 256

Potencias y raíces |  Unidad 3

67

26. Resuelve las siguientes operaciones usando las propiedades de las potencias. a) 3

b)

2

c)

30 3 5 2

33

38 3

34 3

d)

2

2

c)

3 ⋅3

5

22 2

3 −6 ⋅ 38 ⋅ 3 8

2

2

5

=

−4

33 3

4

1

27. Compru eba que

1

= 3 −1 =

3

2

3

55 5 1 3

10

54

= 24 = 16

5 6 ⋅ 55 ⋅ 5 −10 5 ⋅5 −6

4

=

5

= 53 = 125

5 −2

25 .

5

2

d)

−2

24

20

52

a) 33 = 27 b)

23 2

Utiliza esta propiedad para escribir 

2

26

10

27

2

2

  usando solo potencias de exponente positivo, y calcula el

resultado. 1 1 1 = = 1: 5 = 25 −5 1 2 2 5 2 Como

−2

10

1 2 ⋅ 26 2 ⋅ 26 216 = 2 y 2 = 2 , entonces −10 = 2 = 9 = 27 = 128 . 7 7 2 2 2 ⋅2 2 ⋅2

1

−2

10

2 −10

28. Acti vidad resuelta. 29. Calcula. a)

3

2

5

72

7 3

a)

4

3

=

16

3

(( 2·5 ) ) −3 3 3

−5

6

3

5

b)

2

310 ·7 −10 ·712 ·318

3

b)

2

2

3 28 ·72 16

3

12

⋅ ( 25 )

−3 6 −2

((5 ) ) ⋅ ((2 ) )

=

= 312 ·7 2

2−15· 5−15 ·260 5

−27

·2

36

= 2−15 + 60 − 36 ·5−15 − ( −27) = 29 · 512

30. Expresa en notaci ón científica e ind ica el orden de magnit ud. a) Masa de una orca: 10 000 kg b) Masa de un caballo : 500 kg c) Masa de una hormig a: 0,000 002 kg a) Masa de una orca:

10

4

kg, orden 4

b) Masa de un caballo: 5·102 kg, orden 2 c) Masa de una hormiga: 2·10−6 kg, orden −6

68

Unidad 3| Potencias y raíces

12

1000 32 3 1253 64 2

3

31. Escribe en notación científica los siguientes números e indica el orden de magnitud. a) 1 020 000

d) 79 508 000 000 000 000

b) 0,000 005 59

e) 0,000 000 000 000 066 1

c) 0,000 113

f) 11 232 000 000 000 000 000

a) 1,02 · 106 , orden 6

d) 7,9508 · 1016 , orden 16

b) 5,59 · 10−6 , orden −6

e) 6,61 · 10−14 , orden −14

c) 1,13 · 10−4 , orden −4

f) 1,1232 · 1019 , orden 19

32. Escribe en notación decimal los siguientes números. a) 3, 552 · 107

d) 9, 99 · 1012

b) 8,81 · 10 –6

e) 2, 06 · 10 – 12

c) 5, 014 · 109

f)

a) 35 520 000

d) 9990 000 000 000

b) 0,000 008 81

e) 0,000 000 000 002 06

c) 5 014 000 000

f) 0,000 000 071 27

7, 127 · 10 – 8

33. Acti vidad resuelta. 34. Escrib e en not ación científi ca. a) 2600 · 1014

c) 490000 · 102

e) 0, 000 065 · 10 – 12

b) 0, 00035 · 1016

d) 925, 1· 10 – 8

f)

a) 2,6 · 1017

c) 4,9 · 10 7

e) 6,5 · 10 –17

b) 3,5 · 1012

d) 9,251 · 10 –6

f)

49000 · 10

2

4,9 · 10 2

35. Opera en not ación científi ca. a)

9, 2 1015

8, 9 107

b)

2, 5 1020

3, 6 10

c)

3, 2 1015 : 6, 4 103

15

d)

4,8 1011 : 3,6 105

e)

4 105

f)

2,5 10

4

4

2

a) ( 9, 2 ⋅ 8, 9 ) ⋅ (1015 ⋅10 7 ) = 81, 88 · 10 22 = 8,188 · 10 23 b) ( 2,5 ⋅ 3, 6) ⋅ (10 20 ⋅10 −15 ) = 9·10 5 c) ( 3, 2 : 6, 4 ) · (1015 : 10 3 ) = 0, 5·10 12 = 5 ·10 11 d) ( 4,8 : 3,6 ) · (1011 :105 ) = 1,3·106 

4

e) 44 ⋅ (105 ) = 256·10 20 = 2,56·10 22 f)

2,5−2 ⋅ (10 −4 )

−2

=

1 1 ·10 8 = ·10 8 = 0,16 ·10 8 = 1,6 ·10 7 2 2,5 6,25

Potencias y raíces |  Unidad 3

69

36. Opera y da el result ado en notaci ón científica. 3 1015 : 2 10 7

a)

4 103

b)

2 103

( 3 ⋅ 1015 ) : ( 2 ⋅ 107 )   1,5·10 8 = a) ( 4 ⋅ 103 ) ⋅ ( 2 ⋅ 103 ) 8·106 −2

2

2 10

( 2 ⋅ 10 −3 ) ⋅ ( 2 ⋅ 103 ) b) ( 5 ⋅ 103 ) : ( 3 ⋅ 105 )

=

3 2

2 103

2

5 103 : 3 105

= 0,1875·10 2 = 1,875·10

( 4 ·10 −6 ) · 

1  ·10 −6  4 

5 ·10 −2 3

3 5

= 10 −12 · ·102 = 0, 6 ·10 −10 = 6 ·10−11

37. El planeta Tierra tiene una masa de 5,9722 ·1021 t. La de Marte es de 6,39 ·1023 kg y la masa de Mercurio 3285 ·1020 kg. a) Ordena los planetas de mayor a menor masa. b) Júpi ter tiene una masa de 1 898000 · 1021 kg, Saturn o de 568 300 000 000 000 000 000 · 106 kg y Venus de 4,867 · 10 24 kg. Ordena los seis planetas de menor a mayor.

a) Se expresan todas las masas en la misma unidad (toneladas): Tierra: 5,9722 · 1021 t

Mercurio: 3,285 · 10 20 t

Marte: 6,39 · 10 20 t

Ordenados de mayor a menor: Tierra – Marte – Mercurio.

b) Se expresan todas las masas en la misma unidad (toneladas): Júpiter: 1, 898 · 10 24 t

Saturno: 5,683 · 10 23 t

Venus: 4,867 ·1021 t

Ordenados de menor a mayor: Mercurio – Marte – Venus – Tierra – Saturno – Júpiter.

38. Calcula los cuadrados de estos números. a) 7

d) 15

g) 21

b) 25

e) 40

h) 32

c) 30

f) 50

i) 200

a) 49

d) 225

g) 441

b) 625

e) 1600

h) 1024

c) 900

f) 2500

i) 40000

39. Indica que números se han elevado al cuadrado para obtener los sigui entes. 100

169

225

400

900

12 100

1 000 000

10

13

15

20

30

110

1 000

40. Si un número acaba en 3, ¿en qué cifra acaba su cuadrado? ¿Y si acaba en 5? Encu entra todos lo s valores que puede tener la última cif ra de un c uadrado perfecto. Si el número acaba en 3, su cuadrado acaba en 9. Si acaba en 5, su cuadrado acaba en 5.

70

Última cifra del número

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Última cifra del cuadrado

0

1

4

9

6

5

6

9

4

1

Unidad 3| Potencias y raíces

41. Escribe los cuadrados de los números de dos cifras que acaban en 0. a) El número 2025 es un cuadrado perfecto . ¿Entre qué números de los que has obtenido en el apartado anterior está? b) ¿Qué número elevado al cuadrado da 2025? a) 2025 está entre 40 y 50. Número

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Cuadrado

100

400

900

1600

2500

3600

4900

6400

8100

b) De los números naturales entre 40 y 50, el que tiene un cuadrado que acaba en 5 es 45: 45 2 = 2025 42. Acti vidad resuelta. 43. Compru eba gráfic amente si 19, 36 y 48 son cuadr ados perfectos . Indi ca en los que no lo sean cuántas unidades sobran y cuántas harían falta para completar el sig uiente cuadrado.

19 no es cuadrado perfecto, sobran 3 unidades o faltan 6. 2

36 es cuadrado perfecto, 6 . 48 no es cuadrado perfecto, sobran 12 unidades o falta 1.

44. Un cuadrado está form ado por 225 fic has. a) ¿Cuántas fic has hay que quitar para que quede un cuadrado con 3 fichas menos en cada lado? b) ¿Cuántas fich as hay que añadir para obt ener el siguient e cuadrado ? c) ¿Cuál es el número menor de fichas que hay que quitar para construi r un cuadrado más pequeño? 2

a) 225 = 15 2 . Para que quede (15 − 3 ) = 122 = 144 , hay que quitar 225 – 144 = 81 fichas. b) El siguiente cuadrado es 16 2 = 256 , faltan 256 – 225 = 31 fichas. c) El cuadrado anterior tiene 142 = 196 . Por tanto, hay que quitar 225 – 196 = 29 fichas. 45. Halla las raíces cuadradas de los sigui entes número s. a) 49

d) 100

g) 0

b) 169

e) 400

h) –16

c) 64

f) 225

i) –169

a) 7 y –7

d) 10 y –10

g) 0

b) 13 y –13

e) 20 y –20

h) No tiene raíces reales.

c) 8 y –8

f) 15 y –15

i) No tiene raíces reales.

46. Los alumnos del campeonato de kárate se han colocado sobre la superficie del pabellón formando u n cuadrado. a) Si hay entre 40 y 90 alumno s, ¿puedes decir exactamente cuánto s son? ¿Hay más de una posi bili dad? b) Cuando han vuelto a clase, iban por parejas y no sobraba ningun o. ¿Cuántos eran? a) Los cuadrados comprendidos entre 40 y 90 son 49, 64 y 81. Hay tres posibilidades. b) De las tres opciones, el único número par es 64. Eran 64 alumnos.

Potencias y raíces |  Unidad 3

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47. Los números 9 y 16 son cuadrados perfectos. a) Comprueba que su suma es un cuadrado perfecto. b) ¿Será cierto que la suma de dos cuadrados perfectos es si empre un cuadrado perfecto? Compruébalo cambiando el 9 por otro s cuadrados perfectos. a) 9 + 16=25 = 5 2 b) No siempre es cierto. Por ejemplo, 4 + 16 = 20, que no es cuadrado perfecto. 48. El número 3481 es un cuadrado perfecto. a) Encuentra el siguient e número más cercano acabado en 00 que sea cuadrado perfect o. b) Observa la terminació n. ¿En qué cifr as puede acabar la raíz de un cuadr ado perfecto qu e acaba en 1? c) Trata de encontr ar la raíz de 3481. a) 3600 = 60 2 b) Debe ser el cuadrado de un número acabado en 1 o en 9. c) 3481 = 592 . La raíz es 59. 49. Analiza y cont esta: Si dos números son cuadrados perfectos, su producto t ambién lo es. Usa esta propiedad p ara calcular l a raíz de 1764, sabiendo que 1764 36·49 , y co mprueba el resultado. Como

36 = 6  y

49 = 7 ,

1764 = 6 ·7 = 42 . En efecto, se cumple que 422 = 1764 .

50. Acti vidad int eractiva. 51. Comprueba si las siguientes raíces son correctas sin calcularlas.

Número

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Número 89 126 180 460 9081

Raíz entera 9 11 14 20 95

Raíz entera

Resto

Resto 9 5 16 60 56 Cuadrado de l a raíz más el resto

¿Correcta?

89

9

9

9 2 + 9 = 90

No

126

11

5

112 + 5 = 126



180

14

16

14 2 + 16 = 2 12

No

460

20

60

20 2 + 60 = 4 60



9081

95

56

95 2 + 56 = 9 081



Unidad 3| Potencias y raíces

52. Calcula las raíces cuadradas de los siguientes números utilizando el algoritm o. a) 480

c) 1000

e) 155 478

b) 600

d) 1348

f) 11 729

a)

d)

b)

4 80 −4 080 − 41 39

21 41·1= 41

6 00 −4 200 − 176 24

24 44· 4 = 176

13 48 −9 4 48 − 3 96 52

e)

36 66· 6 = 396

15 54 78

394

−9

69·9 = 621

6 54 − 6 21 33 78 − 31 36

 784· 4 = 3136

2 42

c)

10 00 −9 1 00 − 61

f)

31 61·1= 61

1 17 29

108

−1

20·0 = 0

0 17 − 0 17 29 − 16 64

208· 8 = 1664

39

65

53. Al util izar el algorit mo de la raíz cuadrada se separan las cifras del número en grup os de dos. a) ¿Cuántas cif ras podrá tener la raíz entera de un núm ero de 9 cifras? b) ¿Cuántas cif ras podrá tener la raíz entera de un núm ero de 12 cifr as? a) Si el número tiene 9 cifras habrá cinco grupos, la raíz tendrá 5 cifras. b) Si el número tiene 12, la raíz tiene 6 cifras. 54. Copia y comp leta en tu cuaderno. a)



c)