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• Melissa Fonseca

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3° C S

Matemática II

Prof.: Martha Bertoni

TASAS DE INTERÉS En todos los problemas de interés compuesto vistos hasta el momento, coincidía el período de capitalización con el tiempo en que estaba expresada la tasa de interés. Por ejemplo si la tasa de interés era anual, el período de capitalización era el año, si la tasa de interés era trimestral, mensual, etc., la capitalización también era trimestral, mensual, etc.. Este tipo de capitalización, en la cual coincide el período de capitalización con el tiempo en que está expresada la tasa de interés, recibe el nombre de capitalización periódica y la tasa de interés i recibe el nombre de tasa nominal. A partir de ahora, veremos otra forma de capitalizar los intereses llamada capitalización subperiódica y que se presenta en los casos en que hay más de una capitalización en cada periodo de tiempo indicado para la tasa. Por ejemplo, puede tenerse una tasa de interés anual, capitalizada por semestres; una tasa trimestral capitalizada mensualmente, etc.. En la capitalización subperiódica suelen utilizarse dos tasas de interés diferentes: una, llamada tasa proporcional y otra llamada tasa equivalente. TASA PROPORCIONAL En la capitalización subperiódica, se dice que se utiliza la tasa proporcional de interés cuando en cada subperíodo se toma una tasa igual a la nominal dividida por el número de subperíodos. Por ejemplo, si tenemos una tasa anual del 24% que se capitaliza trimestralmente, la tasa proporcional trimestral es del 6% (en un año hay 4 trimestres por lo tanto la tasa proporcional trimestral se obtiene dividiendo 24 entre 4). Si indicamos con m a la cantidad de subperíodos, resulta que la tasa proporcional es, por definición, i/m . Por lo tanto la fórmula del monto a interés compuesto, cuando existe capitalización subperiódica con tasa proporcional, es la siguiente: M=C(1+i/m)mn . Ejemplo: A)Calcular el monto que produce un capital de $1000 en un año al 12% anual de interés compuesto. B) Calcular el monto si capitaliza semestralmente con tasa proporcional. A) M=1000.(1+0,12)1=1120 B)M=1000(1+0,06)2=1123,60 Tal como puede verse en el ejemplo, el monto que se obtiene con la capitalización subperiódica a tasa proporcional es mayor que el monto que se obtiene capitalizando una sola vez en el período con la tasa nominal. Ello se debe a la incidencia de los intereses en cada subperíodo de tiempo, ya que el monto de un subperíodo cualquiera tiene por capital al valor inicial de la operación más los intereses de los subperíodos anteriores. Ejercicio: Calcular el monto que produce un capital de $10000 colocado al 12% anual durante 8 años que capitaliza A) semestralmente B) trimestralmente C) bimestralmente. ($25403,52) ($25750,82) ($25870,70) Como se puede observar, los montos son cada vez mayores a medida que disminuye la duración del periodo de capitalización. TASA EFECTIVA Como se pudo observar si se capitaliza en forma subperiódica con tasa proporcional, el monto que se obtiene al final del plazo de colocación del capital es mayor que el monto que se obtiene con la tasa nominal periódica durante ese mismo plazo. Si deseamos capitalizar periódicamente y obtener un monto igual al que se obtiene con la tasa proporcional, tendremos que utilizar una tasa de interés periódica que resulta ser algo mayor que la nominal i. Esta tasa de interés, que capitalizada una sola vez en el periodo nos da un monto igual al que se obtiene capitalizando subperiódicamente con la tasa proporcional a la nominal, recibe el nombre de tasa efectiva. Ejemplo: Calcular el monto de $1 en 1 año al 6% anual capitalizando anualmente y capitalizando semestralmente con tasa proporcional. -Capitalizando anualmente: M=1.(1+0,06)1 =1,06 -Capitalizando semestralmente: M=1.(1+0,03)2 =1,0609 De acuerdo con el ejemplo, si se desea capitalizar una sola vez en el año, pero obteniendo el mismo monto que al capitalizar semestralmente, deberá usarse una tasa de interés algo mayor al 6%. Esa tasa, anual, recibe el nombre de tasa efectiva, y es aquella que capitalizada una sola vez en el año nos da un monto de $1,0609. Si indicamos con i’ a la tasa de interés efectiva, dado que el monto que la misma produce es igual al obtenido con la tasa nominal capitalizada proporcionalmente en forma subperiódica, resulta: C(1+i’)n = C(1+i/m)mn Suponiendo que C=$1 y que n=1 periodo, queda 1+i’=(1+i/m)m , por lo tanto si se quiere calcular el valor de i’ se obtiene la siguiente relación: i’=(1+i/m)m-1 Ejercicio: Calcular la tasa efectiva correspondiente a la nominal del 12% anual capitalizable por trimestres. (12,55%)

TASA EQUIVALENTE Si se capitaliza subperiódicamente con tasa proporcional, se obtiene un monto mayor que capitalizando periódicamente con tasa nominal; entonces, si se desea capitalizar supberiódicamente y obtener un monto igual que el producido por la tasa nominal periódica, es lógico que deba usarse una tasa subperiódica menor que la proporcional. Esa nueva tasa de interés recibe el nombre de tasa equivalente. O sea, la capitalización subperiódica se realiza con la tasa equivalente cuando en cada subperíodo se utiliza una tasa de interés tal que, al finalizar el plazo de colocación del capital, produce un monto igual que si se capitaliza periódicamente con la tasa nominal durante ese mismo plazo. Si indicamos con i(m) a la tasa equivalente, será por definición: C(1+i(m))mn=C(1+i)n. Suponiendo que C=$1 y n=1 período resulta (1+i(m))m=1+i. Si se desea calcular la tasa equivalente resulta i( m ) = m 1 + i − 1 Ejercicio: Calcular la tasa que capitalizando subperiódicamente (siendo el subperíodo el trimestre), permite obtener un monto igual que si se capitaliza al 8% anual. (1,94%) COMPARACIÓN ENTRE LAS DISTINTAS TASAS Tasa nominal. Calcular el monto que corresponde a un capital de $10000 que se depositó durante 12 años al 7% anual. Tasa proporcional. Calcular el monto que corresponde a un capital de $10000 que se depositó durante 12 años al 7% anual capitalizable trimestralmente. Tasa Equivalente. Calcular el monto que corresponde a un capital de $10000 sabiendo que se depositó durante 12 años al 7% anual capitalizable trimestralmente con tasa equivalente. Como se puede observar el monto producido por la tasa proporcional es mayor que el producido por la tasa nominal periódica, en cambio, el monto producido por la tasa equivalente fue igual al obtenido mediante el empleo de la tasa nominal. En los problemas de capitalización subperiódica, cuando no se hace mención al tipo de tasa que se utiliza, se entiende que es la tasa proporcional.

Ejercicios del tema 1) Averigua el monto de cada depósito utilizando tasa proporcional: a) $10000 durante 5 años al 14% anual con capitalización bimestral. b) $12500 durante 4 años y 8 meses al 12% anual con capitalización cuatrimestral. c) $9000 durante 6 años al 6% semestral con capitalización mensual. 2) En cada caso calcula el capital inicial sabiendo que el monto se obtuvo con tasa proporcional. a) en 5 años al 12% anual con capitalización bimestral se obtuvo un monto de $28.000 b) en 3 años y medio al 12% anual con capitalización semestral se obtuvo $12500 3) Calcula en cada caso la tasa efectiva: a) i=0,12 anual capitalizable bimestralmente. b) i= 0,08 cuatrimestral con capitalización bimestral. c) i=0,21 anual con capitalización cuatrimestral. 4) Averigua el monto de cada depósito utilizando tasa equivalente: a) $10000 en cuatro años al 12% anual con capitalización semestral. b) $12000 en 4 años y medio al 10% anual con capitalización trimestral. c) $9000 en 3 años y 8 meses al 8% cuatrimestral con capitalización mensual. 5) Calcula en cada caso la tasa equivalente: a) i=0,24 anual capitalizable bimestralmente. b) i=0,20 anual con capitalización trimestral. c) i=0,12 semestral con capitalización mensual. d) i=0,08 cuatrimestral con capitalización bimestral.