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APÉNDICE 1 TASAS Y TRANSFORMACIÓN DE TASAS

Conceptos y aplicaciones Ing. Alfredo Dietter Kolb Alvarado M.B.A. Tasas de interés Dentro del campo financiero algunas de las tasas que son de uso común se puede mencionar las siguientes: •

Tasa Activa

•

Tasa Efectiva y efectiva periódica

•

Tasa Pasiva

•

Tasa Flat

•

Tasa Referencial

•

Tasa Nominal

TASAS INTERNACIONALES •

Tasa Libor

•

Tasa Prime

•

Tasa E.U.R.I.B.O.R

Tasa Activa Es la tasa que las entidades financieras cobran en sus actividades crediticias, conocidas también como de colocación de sus recursos. Tasa Pasiva Es la tasa que las entidades pagan a los depositarios o inversionistas que colocan sus recursos en dichas entidades. Tasa Referenciales Son las tasas que da Banco Central y que sirven de referencia para que las entidades financieras fijen sus tasas activas y pasivas en sus operaciones. Estas son presentadas semanalmente.

Tasa Nominal (j) Esta tasa es considerada como una tasa contractual pues es la que generalmente aparece en los contratos. Expresa la forma en que se va ha capitalizar los intereses (interés compuesto), presentándose como: xx% Anual convertible(periodo de tiempo de capitalización) = a.c.”periodo de tiempo”. xx% Anual capitalizable(periodo de tiempo de capitalización) xx% Anual compuesto(periodo de tiempo de capitalización) Periodo de tiempo de capitalización = Fracción del año También se puede decir, que la tasa nominal es la que presenta de manera anual la tasa que efectivamente (tasa efectiva periódica) se gana o paga en el periodo de capitalización multiplicada por su frecuencia de conversión. Frecuencia de conversión (m).- Es el número de veces que los intereses se convierten en capital en el año, dependiendo del periodo de tiempo que se considere para su capitalización, así tendríamos que si la capitalización es mensual m sería igual a 12. Ejemplo: j = 24% anual capitalizable mensualmente, entonces m = 12 capitalizaciones mensuales en el año. De donde se podría encontrar la tasa efectiva periódica, que para el caso del ejemplo sería la tasa mensual (i) que se esta ganando o pagando; cuyo valor se calcularía aplicando la fórmula i = j/m; dando como resultado: i = 0,24/12; i = 0,02 i = 2,0% mensual En interés simple, la tasa de interés con la que se trabaja se considera como nominal sin que esto signifique que se den capitalizaciones; como ejemplo podemos decir si un capital de $1.000, se presta a 180 días a una tasa: a) 12% anual, tenemos que calcular la tasa diaria i = 0,12/360; i =0,00033 diario o 0,033% diarios b) 5% semestral; podría considerarse el tiempo como un semestre y utilizar la tasa del 5% semestral o calcular la tasa diaria i = 0,05/180; i = 0.0278% diario. Fórmula para transformación de tasas: Para pasar de una tasa nominal con una frecuencia de conversión a otra con diferente frecuencia de conversión aplicamos la fórmula:

(1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2 Ejemplo: Se desea conocer la tasa equivalente a.c.m (anual capitalizable mensualmente) de una tasa del 10% a.c.s. (anual capitalizable semestralmente) j1 = 10% a.c.s. m1 = 2 (capitalizaciones al año) j2 = ? a.c.m m2 = 12 (capitalizaciones al año) Entonces aplico la fórmula y despejo j2 : (1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2 (1+ 0,10/2)2 = (1+j2/12)12 (1+ 0,10/2)1/6 = (1+j2/12) ((1,05)1/6-1) (12) = j2 j2 = 9.80% a.c.m Tasa Efectiva y Efectiva Periódica (i) Es la tasa que realmente se esta ganando o pagando durante un determinado periodo de tiempo. Cuando se considera que el periodo de tiempo es un año se denomina tasa anual o tasa efectiva anual; de lo contrario si el periodo es menor a un año se considera como una tasa efectiva periódica. (Esta tasa es la que se usa en las fórmulas de Interés Compuesto, Anualidades, TIR, Bonos) Fórmulas para transformación de tasas: Como se vio anteriormente si se tiene la tasa nominal a un periodo de capitalización para pasar a la tasa efectiva periódica del periodo de tiempo en el que se capitaliza se utiliza la fórmula: i = j/m Ejemplo: Se desea conocer la tasa semestral de una tasa del 10% a.c.s (anual capitalizable semestralmente).

j = 10% a.c.s. m = 2 (capitalizaciones al año) i = ? semestral Entonces aplico la fórmula i = j/m i = 0,10/2 = 5% semestral Si tuviese la tasa efectiva periódica y desea conocer la tasa nominal del mismo periodo de de tiempo indicada en la tasa efectiva únicamente despejo j de la f’ormula anteriormente vista. Ejemplo: Encontrar la tasa nominal a.c.t. equivalente a la tasa efectiva periódica del trimestral j = ? a.c.t. m = 4 (capitalizaciones al año) i = 2,5% trimestral Entonces aplico la fórmula

2,5%

i = j/m j = 0,025 (4) = 10% a.c.t. Para pasar de tasa efectiva anual a tasa nominal o a la inversa: (1+i) = (1+j/m)m Ejemplo: Se desea conocer la tasa equivalente a.c.s (anual capitalizable semestralmente) de una tasa del 10,25% efectiva anual. j = ? a.c.s. m = 2 (capitalizaciones al año) i = 10,25% efectiva anual Entonces aplico la fórmula y despejo i: (1+i) = (1+j/m)m (1+0,1025) = (1+j/2)2 ((1,1025)1/2 -1) (2)= j j = 10,0% a.c.s.

Al necesitar una tasa efectiva periódica en base a otra tasa efectiva periódica incluida la tasa efectiva anual: (1+i1)p1 = (1+i2)p2 Donde: i1 = i2 =

Tasa efec. periódica 1 Tasa efec. periódica 2

; p1 = periodo1 ; p2 = periodo 2

Ejemplo: Se desea saber cual es la tasa equivalente mensual de una tasa del 5% semestral Donde: i1 = i2 =

5% semestral ; p1 = periodo1 ? mensual ; p2 = periodo 2

para conocer los valores de p1 y p2 se toma en consideración el periodo mayor que para el ejemplo es semestre, y para calcular p1 decimos cuantos semestres hay en un semestre entonces p1 =1 igual hacemos para p2 cuantos meses hay en un semestre y obtenemos que p2 = 6, finalmente aplico la fórmula y despejo i2. (1+i1)p1 = (1+i2)p2 (1+0,05)1 = (1+ i2)6 i2 = (1+0,05)1/6-1

i2 = 0.82% mensual

*** (Tenga en cuenta que siempre la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal, pues en esta se consideran los valores capitalizados.) Un caso en el que se tienen que utilizar dos fórmulas y que puede darse solución por dos métodos es: Ejemplo: Transforme 1.2% mensual a tasa nominal a.c.s. • i1 = i2 =

Método 1: Tranforme a tasa semestral, luego a tasa nominal a.c.s. 1.2% mensual ; p1 = 6 ? semestral ; p2 = 1 (1+0,012)6 = (1+ i2)1

i2 = (1+0,012)6-1 i = j/m •

m=2

i2 = 7,42% semestral

i = 7,42% semestral

j = 2 (0,0742) = 0,1483 =14,84% a.c.s.

Método 2: Tranforme a tasa a.c.m, luego a tasa nominal a.c.s.

i = j/m

m = 12

i = 1,2 mensual

j = 12 (0,012) = 0,144 =14,4% a.c.m.

(1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2 (1+ 0,144/12)12 = (1+j2/2)2 (1+ 0,144/12)6 = (1+j2/2) ((1,012)6-1) (2) = j2 j2 = 14,84% a.c.s.

Tasas efectivas Vencidas y Tasas efectivas Anticipadas Cuando hablamos de interés por anticipado, el monto de los intereses se paga o se capitaliza al inicio del periodo. Con el fin de encontrar su equivalencia con el interés vencido se emplea una ecuación de valor entre el flujo presente y el flujo futuro para un periodo, como sigue: A = X- iaX

A= X (1-ia)

(1)

A

F=X

La tasa anticipada se presenta como un descuento al monto del flujo presente, y por lo tanto no aparece al final. Por otro lado aplicando el principio de equivalencia tenemos que: F = A(1+i)

considerando que F = X

Reemplazando con (1) tenemos

X = X(1-ia)(1+i) y simplificando tenemos: 1 = (1-ia)(1+i); (2)

(1-ia) = 1/ (1+i);

1-1/ (1+i) = ia;

(1+i-1)/(1+i) = ia:

i/(1+i) = ia Se considera: i ia

= =

Tasa de interés efectiva periódica vencida Tasa de interés efectiva periódica anticipada

Partiendo de la ecuación (2) también podemos despejar la tasa vencida en función de la anticipada, como sigue: (1+i) = 1/ (1-ia);

1/ (1-ia)-1 = i;

(1-1+ ia)/ (1-ia) = i;

ia /(1-ia) = i Ejemplos: 1.- Encuentre la tasa efectiva periódica vencida equivalente a una tasa del 4% anual anticipada.

i = ? anual ia = 4% annual i = 0,04/(1-0,04) = 0.0417;

i = 4,17% anual vencida

2.- Encuentre la tasa efectiva anticipada equivalente a una tasa efectiva anual vencida del 9%. ia = ? anual i = 9%anual i = 0,09/(1+0,09) = 0,0826;

i = 8,26% anual anticipada

Tasas efectivas Anticipadas y Tasas Nominales Anticipadas Similar a lo visto ya con las tasas vencidas efectivas y nominales, para la transformación tenemos la formula i = j/m; donde en este caso i se convierte en ia y j en ja; manteniéndose m como frecuencia de conversión y la condición de que sea la tasa sea del mismo periodo de capitalización.

ia = ja/m Ejemplos: 1.- Encuentre la tasa efectiva periódica equivalente a una tasa del 4% a.c.t. anticipada. ja = 4% a.c.t. m=4 ia = ? trimestral ia = 0,04/4 = 0,01;

ia = 1% trimestral anticipada.

2.- Encuentre la tasa nominal a.c.s. anticipada equivalente a una tasa efectiva periódica 2,3% semestral anticipada. ia = 2,3% semestral ja = ? a.c.s.. m=2 ja = 0,023 x 2 = 0,046;

ja = 4,6% a.c.s. anticipada.

Para efectuar transformaciones más complejas usted puede utilizar el Esquema para transformación de tasas de interés efectivas y nominales (vencidas y anticipadas).

En resumen llegamos a tener el siguiente esquema o metodología que nos ayuda a visualizar los diferentes caminos para efectuar las transformaciones aplicando los conceptos vistos anteriormente

Esquema para transformación de tasas de interés efectivas y nominales (vencidas y anticipadas) i = j/m (Mismo periodo de capitalización)

Tasa Nominal

Tasa Efectiva

j

i

ia = ja/m ia = i/(1+i)

(1+i1) p1 = (1+i2)p2

(1+j1/m1) m1 = (1+j2/m2)m2

(Incluye tasa efectiva anual)

(Diferente frecuencia de conversion)

(Mismo periodo de capitalización)

Tasa Efectiva Anticipada

Tasa Nominal

ia

ja Simbología

i = ia/(1-ia)

Tasa Nominal

j

Tasa Efectiva

i

(1+i) = (1+j/m)m (Tasa efectiva anual)

Ing Dieter Kolb

i = ia = j = ja = m=

Tasa efectiva Vencida Tasa efectiva Anticipada Tasa Nominal Vencida Tasa Nominal A nticipada Frecuencia de conversión

Para la utilización de este esquema, usted debe ubicarse en el tipo de tasa que tiene como dato y seguir las fechas hasta llegar al tipo de tasa al que desea tener su equivalencia, pueden existir varios caminos para hacerlo, lo importante es que una vez determinado el camino utilice la o las formula(s) que le permiten pasar de un nodo (tipo de tasa) a otro nodo y vaya identificando las tasas encontradas con todos los detalles Ejemplo: 8% a.c.m.; 3% trimestral, 15% anual, etc. Esto es necesario para que sepa que tipo de tasa encontró. Si numeramos las fórmulas en sentido horario tenemos: Esquema para transformación de tasas de interés efectivas y nominales i = j/m (Mismo periodo de capitalización)

Tasa Efectiva

Tasa Nominal

j

(1+j1/m1) m1 = (1+j2/m2)m2

4

(Diferente frecuencia de conversión)

Tasa Nominal

j

i

1

2

3

(1+i) = (1+j/m)m

(1+i1) p1 = (1+i2)p2 (Incluye tasa efectiva anual)

Tasa Efectiva

i

(Tasa efectiva anual) Ing Dieter Kolb A.

•

Algunos ejercicios se resuelven con más de una fórmula

Por ejemplo: Si deseo transformar j = 10% a.c.s. (Tasa nominal) a i = mensual (Tasa efectiva periódica mensual): primeramente me ubico en uno de los 2 nodos de la tasa nominal, para indicar el camino que se va a tomar indicamos las fórmulas a utilizar hasta llegar a la tasa efectiva periódica mensual; en este ejemplo hay dos caminos como lo veremos a continuación: Primer Camino: 10% a.c.s.

5% semestral

1 tn

te tn

4

2

tn

te 3

0,82% mensual

F12: Esto quiere decir que partimos de una tasa nominal j = 10% a.c.s, aplicamos la fórmula 1: i = j/m y pasamos a tasa efectiva semestral i = 5% semestral y finalmente con la fórmula 2: (1+i1)p1 = (1+i2)p2 transformo de tasa efectiva semestral a tasa efectiva mensual i = 0,82% mensual. Segundo Camino: 5% semestral

1 tn

te tn

4

2

tn 10% a.c.s.

te 3

10,25% anual

F32: Esto quiere decir que partimos de una tasa nominal j = 10% a.c.s, aplicamos la fórmula 3: (1+i) = (1+j/m)m y pasamos a tasa efectiva anual i = 10,25% anual y finalmente con la fórmula 2: (1+i1)p1 = (1+i2)p2 transformo de tasa efectiva anual a tasa efectiva mensual i = 0,82% mensual.

Nota: “No es lo mismo F12 que F21” En los siguientes ejemplos podemos aplicar la metodología de transformación de tasas vista anteriormente:

• Tasa Nominal (j) a Efectiva (i) o viceversa: Aplico F3 (1+j/m)m = (1+i) Donde m es el número de capitalizaciones de la tasa nominal al año. Ejemplo:

j = 10% a.c.s (anual convertible semestralmente),

m=2 i=? (1+0.10/2)2 = (1+i)

i = 10.25% anual

Siempre la tasa efectiva es mayor que la tasa nomina puesto que considera la capitalización de intereses.

• Tasa Nominal (j1) a Tasa Nominal (j2): Aplico F4 (1+j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2 Donde m1 es el número de capitalizaciones de la tasa nominal j1 al año y m2 es el número de capitalizaciones de la tasa nominal j2. Ejemplo:

j1 = 10% a.c.s (anual convertible semestralmente), m1 = 2 j2 = ? a.c.t (anual convertible trimestralmente), m2 = 4

(1+0.10/2)2 = (1+j2/4)4 j2 = 9.88% a.c.t.

• Tasa Nominal (j) a Tasa Efectiva Periódica (i): Aplico F1 i = j/m Ejemplo:

j = 10% a.c.s (anual convertible semestralmente),

m=2 i = ? semestral i = 0.10/2 = 0.05, entonces 5% semestral

• Tasa Efectiva Periódica (i1) a Tasa Efectiva Periódica (i2): Aplico F2 (1+i1)p1 = (1+i2)p2

Ejemplo:

i1= 10,25% anual

p1= 1,

i2= ? % mensual

p2= 12,

1

(1 + 0,1025) = (1 + i2)12 i2 = 0,0082 mensual, entonces 0,82% mensual

Tasa Flat (f) Es muy utilizada en el sistema comercial, que financian ventas a plazos, no se aplica el principio de equivalencia financiera, por lo tanto la tasa que se presenta como costo financiero del crédito no es el verdadero costo del financiamiento, debido a que los intereses no son a rebatir (sobre los saldos insolutos). La cuota uniforme (R) en un sistema de préstamo flat se calcula dividiendo el valor de préstamo y los intereses simples calculados para todo el horizonte de tiempo, entre el número de cuotas. R = P(1+fn) n por ejemplo una tasa flat del 2%, origina una tasa i = 3,337% que es el verdadero costo sobre los saldos deudores del préstamo. Tasa Libor (London Interbank Offered Rate) Tasa de interés interbancaria de colocación del Mercado de Londres. Tasa de interés base promedio para la Unión Europea y Japón. A esta tasa los bancos del mercado de eurodivisas se prestan dinero entre sí. Por lo general, el costo del crédito en euros se establece con un margen por arriba de la LIBOR. En términos generales, las tasas de los créditos en eurodólares están entre el 0,5% y 3% sobre LIBOR, con una media aproximada del 1,5%. Tasa Prime Tasa preferencial de colocación en el mercado de Estados Unidos (Nueva York); es decir, la tasa que cobran los bancos a sus mejores clientes. Cabe señalar que esta tasa generalmente se utiliza para plazos inferiores a u n año. Tanto la tasa LIBOR como la Prime son utilizadas para préstamos internacionales sea para el Estado o para empresas privadas que necesitan financiar programas de desarrollo e inversiones.

E.U.R.I.B.O.R. Es el costo del dinero en el mercado interbancario europeo a un plazo determinado, es decir, el costo al que los bancos y cajas se prestan mutuamente.