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Tarea semana 8 “Técnicas de muestreo y elección del tamaño de muestra” Estadística aplicada a la empresa Instituto IACC Cristina Sepúlveda Sandoval 04-12-2016

Desarrollo

1) Un concesionario de automóviles tiene unas existencias de 400 automóviles usados. Para estimar el número medio de kilómetros de estos vehículos, pretende tomar una muestra aleatoria simple de automóviles usados. Los estudios anteriores sugieren que la desviación típica poblacional es de 10.000 kilómetros. El intervalo de confianza al 90 por ciento de la media poblacional debe tener una amplitud de 2.000 kilómetros a cada lado de su estimación muestral. ¿De qué tamaño debe ser la muestra para satisfacer este requisito? X: kilómetros de los autos usados. N: 400 𝑃𝑥 : 10000 intervalo de confianza al 90% debe tener amplitud de 2000 kilómetros ∝= 0,1 𝑛 ≥ 𝑛𝑜 = (

𝑍 ∝/2 = 𝑍 0,05 = 1,65 𝑍 ∝ 2. 𝑃𝑥 2 1,65.10000 2 ) =( ) = 68,1 ∝ 68 𝑒 2000

𝑛𝑜 68 𝑛𝑜 68 = = 0,17 > 0,05 → 𝑛 ≥ 𝑛1 = = = 58,11 ∝ 58 𝑛 𝑁 400 1 + 𝑁𝑜 1 + 0,17 Con confianza del 90% para que la amplitud del intervalo para estimar la media S. De 2000 por lado se debe tomar una muestra de 58 autos.

2) Un profesor de una clase de 417 alumnos está considerando la posibilidad de hacer un exámen final que los alumnos puedan realizar en casa. Quiere tomar una muestra aleatoria de alumnos para estimar la proporción que prefiere este tipo de exámen. Si el intervalo de confianza al 90% de la proporción poblacional debe tener una amplitud máxima de 0,04 a cada lado de la proporción muestral, ¿de qué tamaño debe ser la muestra?. X: número de alumnos que prefieren exámen en casa. N = 417 Intervalo de confianza al 90% debe tener amplitud de 0,04 ∝= 0,1 𝑛 ≥ 𝑛𝑜 = (

𝑍 ∝/2 = 1,65

𝑍 ∝/2. √𝑝(1 − 𝑝) 2 1,65. √0,5(1 − 0,5) 2 ) =( ) = 415,4 = 425 𝑒 0,04

𝑛𝑜 425 𝑛𝑜 425 = = 1,01 > 0,05 → 𝑛 > 𝑛1 = = = 211 𝑛 𝑁 417 1 + 𝑁𝑜 1 + 1,01 Con confianza del 90% para que la amplitud del intervalo sea de a lo más 0,04 por la proporción de alumnos que prefieren exámen en casa, la muestra debe ser de 211 alumnos.

3) En la ciudad de Antofagasta se desea estimar la presión sistólica media de los pacientes atendidos en cuatro consultorios de los cuales se obtuvo la siguiente información: Consultorio

𝑁𝑖

𝑆𝑖2

1

1000

2410

2

3000

2938

3

2000

2047

4

1000

2214

X: presión sistólica de los pacientes: 𝑆𝑖2

Consultorio

Ni

Ni Si

1

1000

2410

49091,8

2

3000

2938

162609,9

3

2000

2047

90487,6

4

1000

2214

47053,2

Total

7000

349242,5

a) Determine el tamaño de muestra adecuado para estimar la presión sistólica media en la ciudad con una confianza de 95% y un error no superior a 5mm/Hg usando muestreo aleatorio estratificado con: i.

Asignación proporcional.

ii.

Asignación óptima. 95% de confianza

e=5 ∝= 0,05

𝑍0,05/2 = 𝑍0,025 = 1,96

b) Determine el número de pacientes a elegir por consultorio en cada caso.

i) Asignación proporcional 𝑛 ≥ 𝑛𝑜 = (

1,96 2 1000 3000 2000 1000 ) .( . 2410 + . 2938 + . 2047 + . 2214) = 384,9 ≈ 385 5 7000 7000 7000 7000

𝑛𝑜 385 𝑛𝑜 385 = = 0,06 > 0,05 → 𝑛 ≥ 𝑛1 = = = 363,2 ≈ 363 𝑛 𝑜 𝑁 7000 1 + 𝑁 1 + 0,06 1000

𝑛1 = 363. 7000 = 51,9 ≈ 52 3000

𝑛2 = 363. 7000 = 155,6 ≈ 156 𝑛3 = 363.

2000 7000

= 103,7 ≈ 104

1000

𝑛4 = 363. 7000 = 51,9 ≈ 52 ii) Asignación óptima 𝑛 > 𝑛𝑜 = (

1,96 2 1000 3000 2000 1000 ) ( . √2410 + . √2938 + . √2047 + . √2214)2 5 7000 7000 7000 7000 = 382,5 ≈ 383

𝑛𝑜 383 𝑛𝑜 383 = = 0,06 > 0,05 → 𝑛1 = = = 361,3 ≈ 361 𝑛 𝑁 7000 1 + 𝑁𝑜 1 + 0,06 b) ii) 𝑛1 = 361. 𝑛2 = 361.

1000.√2410 349242,5 3000.√2938 7000

= 50,7 ≈ 51 = 168,1 ≈ 168

𝑛3 = 361. 𝑛4 = 361.

2000.√2047 7000 1000.√2214 7000

= 93,5 ≈ 94 = 48,6 ≈ 49

Bibliografia (Iacc 2016), Inferencia Estadística, Contenidos semana 8 y Recursos adicionales