• Author / Uploaded
• Yuki

Citation preview

´ UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CHIAPAS FCFM ´ LICENCIATURA EN MATEMATICAS agosto-diciembre de 2016 ´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES INTRODUCCION ORDINARIAS I Tarea 5

1. Un recipiente con agua hirviendo a 1000 C se retira de la estufa en el instante t = 0 y se deja enfriar en la cocina. Despu´es de 5 minutos, la temperatura de agua ha descendido a 800 C y otros 5 minutos despu´es ha bajado 650 C. Suponga que se aplica la ley de enfriamiento de Newton, determine la temperatura de la cocina. 2. Suponga que una soluci´on salina con 0,3 kg de sal por litro se introduce en un tanque que contiene originalmente 400 lts de agua y 2 Kg de sal. Si la soluci´on entra a raz´on de 10 lts/min, la mezcla se mantiene uniforme revolvi´endola y la mezcla sale con la misma raz´on, determine la masa de sal en el tanque desp´ ues de 10 minutos. ¿Hac´ıa donde tiende la cantidad de sal en el tanque cuando t → ∞ ? 3. Un estanque contaminado. Consideremos un estanque que tiene un volumen inicial de 10, 000 m3 . Suponga que en el tiempo t = 0 el agua es est´a limpia y que el estanque tiene dos corrientes que fluyen hacia ´el, la corriente A y la B, y otra m´as de salida, la corriente C. Supongamos que desde la corriente A fluye 500 m3 por d´ıa hacia ´el y desde la B corren 750 m3 por d´ıa y que a trav´es dela corriente C salen 1250 m3 del estanque. En el tiempo t = 0, el agua que llega al estanque por la corriente A se contamina por la sal del cauce a una concentraci´on de 5 kg por cada 1000 m3 . Supongamos que el agua en el estanque est´a bien mezclada, por lo que la concentraci´on de sal en cualquier tiempo dado es constante. Para empeorar las cosas, tome en cuenta tambi´en que el tiempo t = 0 alguien empieza a arrojar basura a raz´on de 50 m3 por d´ıa. La Basura se asienta en el fondo del estanque, reduciendo el volumen en 1

50 m3 por d´ıa. Para ajustar la basura que llega, se incrementa la raz´on de agua que que sale por la corriente C a 1300 m3 por d´ıa, y los bordes del estanque no se desborda.Determine la cantidad de sal en el estanque como una funci´on del tiempo t. 4. Muestre que los c´ırculos x2 + y 2 − ky = 0 son trayectorias ortogonales de la familia de c´ırculos x2 + y 2 − cx = 0. ( ) 5. Muestra que la familia de curvas y 2 = 2λ x + λ2 es auto-ortogonal. 6. Encuentre una ecuaci´on diferencial para las trayectorias ortogonales de y 2 = cx3 . Muestre que las elipses 2x2 + 3y 2 = k 2 satisafce la ecuaci´on diferencial y son por lo tanto las trayecorias ortogonales. 7. Encuentre la trayectoria ortogonal de la familia y 2 = kx lo cual pasa por el punto (−1, 2). 8. Determine las curvas para los cuales la normal en (x, y) tiene una intersecci´on con el eje x igual a 2x. 9. Encontrar la ecuaci´on de las curvas que en cada punto la normal determina un segmento con los ejes coordenados, cuyo punto medio es el dado. 10. Un esquiador acu´atico P est´a localizado en el punto (a, 0) es remolcado por un bote de motor Q situado en el origen y viaja hacia arriba a lo largo del eje y. Hallar la trayectoria del esquiador s´ı este se dirige en todo momento hacia el bote. 11. Consideremos un tanque en forma de un cilindtro c´ırcular recto de altura H y radio ρ lleno de agua, que tiene en el fondo un agujero de ´area a. Sea y(t) la profundidad y V (t) el volumen de agua en ele tanque en el instante t. Suponiendo que que en el instante inicial t = 0 se abre el agujero del fondo, determinar el tiempo que el tanque tardar´a en vaciarse. (Ve´ase el ejemplo de la Ley de Torricelli dado en clases). 12. En el problema anterior considere un cono circular recto invertido de altura H y radio r.

2

13. Encuentre un cambio de variable que transforme la ecuaci´on en aut´onoma. Esboce la linea de face para la nueva ecuaci´on y u ´sese para esbozar las gr´aficas de soluciones de la original. (a)

dy y = y cos(ty) − , dt t

(b)

dy y2 y = + 2y − 4t + dt t t

14. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante un cambio de variable. 2

dy ty et /2 (a) = + , dt 2 2y

dy y y = − + t2 (1 + t) dt 1+t t √ y . Sugerencia: para (a) considere y = n u y para (b), u = 1+t (b)

3