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• Anthony Encalada

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2.

Cuatro universidades, 1, 2, 3 y 4, están participando en un torneo de basquetbol. En la primera ronda, 1 jugara con 2 y 3 jugara con 4. Acto seguido los ganadores jugaran por el campeonato y los dos perdedores también jugaran. Un posible resultado puede ser denotado por 1324 (1 derrota a 2 y 3 derrota a 4 en los juegos de la primera ronda y luego 1 derrota a 3 y 2 derrota a 4).

a)

Enumere todos los resultados en S.

S= {1324, 3124, 1342, 3142, 1423, 1432, 4123, 4132, 2314, 2341, 3214, 3241, 2413, 2431,4213, 4231} b) Que A denote el evento en que 1 gana el torneo. Enumere los resultados en A. A= {1324, 1342, 1423, 1432}

c)

Que B denote el evento en que 2 gana el juego de campeonato. Enumere los resultados en B.

B= {2314, 2341, 3214, 3241, 2413, 2431, 4213, 4231} d) ¿Cuáles son los resultados en A ∪ B y en A ∩ B? ¿Cuáles son los resultados en A? A ∪ B= {1324, 1342, 1423, 1432, 2314, 2341, 3214, 3241, 2413, 2431, 4213, 4231} A ∩ B = {Ø} A ́= {3124, 3142, 4123, 4132, 2314, 2341, 3214, 3241, 2413, 2431, 4213, 4231}

4. Una firma consultora de computación presento propuestas en tres proyectos. Sea Ai ={proyecto otorgado i}, con i = 1, 2, 3 y suponga que P (A1) = 0,22, P (A2) = 0,25, P (A3) = 0,28, P (A1∩A2) = 0,11, P (A1 ∩ A3) = 0,05, P (A2 ∩ A3) = 0,07, P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0,01. Exprese en palabras cada uno de los siguientes eventos y calcule la probabilidad de cada uno:

CONJUNTO UNIVERSO=1 a) A1 ∩ A2 el proyecto 1 y el proyecto dos fueron otorgados 0.11 b) A'1 ∩ A'2 [Sugerencia: (A1 ∪ A2) ' = A '1 ∩ A ' 2] ni el proyecto 1 ni el proyecto dos fueron otorgados R=0.64 c) A1 ∪ A2 ∪ A3 al menos un proyecto fue aceptado 0.5 d) A'1 ∩ A '2 ∩ A' 3 ninguno de los proyectos fue aceptado 0.99 e) A'1 ∩ A'2 ∩ A3 el proyecto 1 fue otorgado pero no asi el 2 ni el 3 0.17 f) (A' 1 ∩ A'2 ) ∪ A3 0.75 6. Una caja contiene cuatro focos de 40 W, cinco de 60 W y seis de 75 W. Si los focos se eligen uno por uno en orden aleatorio, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos focos deban ser seleccionados para obtener uno de 75 W?

P (A’) = 1 – P (A) = 1 – 6/15 = 9/15 = 0.60 8. Un amigo mío va a ofrecer una fiesta. Sus existencias actuales de vino incluyen 8 botellas de zinfandel, 10 de merlot y 12 de cabernet (´el solo bebe vino tinto), todos de diferentes fabricas vinícolas. a) Si desea servir 3 botellas de zinfandel y el orden de servicio es importante, ¿cuántas formas existen de hacerlo?

8P3=8*7*6=336 b) Si 6 botellas de vino tienen que ser seleccionadas al azar de las 30 para servirse, ¿cuántas formas existen de hacerlo? 30C6=593.775 c) Si se seleccionan al azar 6 botellas, ¿cuántas formas existen de obtener dos botellas de cada variedad? 8C2=28 10C2=45 12C2=66 28*45*66=83160 d) Si se seleccionan 6 botellas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea dos botellas de cada variedad?

e) Si se eligen 6 botellas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas ellas sean de la misma variedad.

10. Una caja en un almacén contiene cuatro focos de 40 W, cinco de 60 W y seis de 75 W. Suponga que se eligen al azar tres focos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los focos seleccionados sean de 75 W?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres focos seleccionados sean de los mismos watts?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un foco de cada tipo?

d) Suponga ahora que los focos tienen que ser seleccionados uno por uno hasta encontrar uno de 75 W. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario examinar por lo menos seis focos?

12. Tres parejas de casados compraron boletos para el teatro y están sentados en una fila compuesta de solo seis asientos. Si ocupan sus asientos de un modo completamente al azar (orden aleatorio). ¿Cuál es la probabilidad de que Jim y Paula (esposo y esposa) se sienten en los dos asientos extremos del lado izquierdo? ¿Cuál es la probabilidad de que Jim y Paula terminen sentándose uno junto al otro? ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos de las esposas terminen sentándose al lado de su esposo?

14). Si se seleccionan al azar dos focos de la caja descrita en el ejercicio 38 (sección 2.3) y por lo menos uno de ellos es de 75 W. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean de 75 W? Dado que por lo menos uno de los dos seleccionados no es de 75 W. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos focos seleccionados sean de la misma clase?

16). En el ejercicio 4, Ai= {proyecto otorgado i}, con i = 1, 2, 3. Use las probabilidades dadas allí para calcular las siguientes probabilidades y explique en palabras el significado de cada una.

18. A partir de una hora fija, cada carro que entra a una intersección es observado para ver si da vuelta a la izquierda (L), la derecha (R) o si sigue de frente (A). El experimento termina en cuanto se observa que un carro da vuelta a la izquierda. Sea X = el número de carros observados. ¿Cuáles son los posibles valores de X ? De cinco resultados y sus valores X asociados.

Posibles Valores de X: 1, 2, 3, 4,…… etc. Resultados: L AL RAL RRRL AARRL X: 1 2 3 4 5

20. En un taller de servicio automotriz especializado en afinaciones se sabe que 45 % de todas las afinaciones se realizan en automóviles de cuatro cilindros, 40 % en automóviles de seis cilindros y 15 % en automóviles de ocho cilindros. Sea X = el número de cilindros en el siguiente carro que va a ser afinado. a) ¿Cuál es la función masa de probabilidad de X? a) ¿Cuál es la función masa de probabilidad de X?

b) Trace tanto una gráfica lineal como un histograma de probabilidad de la función masa de probabilidad del inciso a).

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente carro afinado sea de por lo menos seis cilindros? ¿Más de seis cilindros? (𝑥 ≤ 6) = (4) + 𝑃(6) = 0,45 + 0,4 = 0.85 (𝑥 ≤ 8) = (4) + 𝑃(6) + 𝑃(8) = 0,45 + 0,4 + 0,15 = 1 22 22. Una empresa de ventas en línea dispone de seis líneas telefónicas. Sea X el número de líneas en uso en un tiempo especificado. Suponga que la función masa de probabilidad de X es la que se da en la tabla adjunta.

X 0 1 2 3 4 5 6 P(x) 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.06 0.04

Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos. a) {cuando mucho tres líneas están en uso} (𝑋 ≤ 3) = (0,1,2 𝑂 3) (𝑋 ≤ 3) = (0) + 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) (𝑋 ≤ 3) = 0.10 + 0.15 + 0.20 + 0.25 (𝑋 ≤ 3) = 0.70 b) {menos de tres líneas están en uso} (𝑋 < 3) = (0,1 𝑂 2) (𝑋 < 3) = (0) + 𝑃(1) + 𝑃(2) (𝑋 < 3) = 0.10 + 0.15 + 0.20 (𝑋 ≥ 3) = 0.45 c) {por lo menos tres líneas están en uso} (𝑋 ≥ 3) = (3,4,5 𝑂 6) (𝑋 ≥ 3) = (3) + 𝑃(4) + 𝑃(5) + 𝑃(6) (𝑋 ≥ 3) = 0.25 + 0.20 + 0.06 + 0.04 (𝑋 ≥ 3) = 0.55 d) {entre dos y cinco líneas, inclusive, están en uso} (2 ≤ 𝑋 ≤ 5) = (2,3,4 𝑂 5 ) (2 ≤ 𝑋 ≤ 5) = (2) + 𝑃(3) + 𝑃(4) + 𝑃(5 ) (2 ≤ 𝑋 ≤ 5) = 0.20 + 0.25 + 0.20 + 0.06 (2 ≤ 𝑋 ≤ 5) = 0.71 e) {entre dos y cuatro líneas, inclusive, no están en uso} X=0 1 2 3 4 5 6 X’=6 5 4 3 2 1 0 X’=Líneas no en uso (2 ≤ 𝑋′ ≤ 4) = (4 ) + 𝑃(3) + 𝑃(2) (2 ≤ 𝑋 ≤ 4) = (2 ) + 𝑃(3) + 𝑃(4)

(2 ≤ 𝑋′ ≤ 4) = 0.20 + 0.25 + 0.20 (2 ≤ 𝑋′ ≤ 4) = 0.65 f) {por lo menos cuatro líneas no están en uso} (𝑋′ ≤ 4) = (6,5,4) (𝑋′ ≤ 4) = (6) + 𝑃(5) + 𝑃(4) (𝑋 ≤ 4) = (0) + 𝑃(1) + 𝑃(2) (𝑋′ ≤ 4) = 0.10 + 0.15 + 0.20 (𝑋′ ≤ 4) = 0.45 24.- La función masa de probabilidad de X = el número de defectos importantes en un aparato eléctrico de un tipo seleccionado al azar es.

Calcule lo siguiente a) E(x) E(x)= (0)(.08)+(1)(.15)+(2)(.45)+(3)(.27)+(4)(.05)= 2.06 b) V(X) directamente a partir de la definición V(x)= (0-2.06)2(.08)+ (1-2.06)2(.15)+ (2-2.06)2(.45)+ (3-2.06)2(.27)+ (4-2.06)2(.05) V(x)= 0.9364 26.-El peso de lectura real de una pastilla de estéreo ajustado a 3 gramos en un tocadiscos particular puede ser considerado como una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad. X P(x)

0 1 2 3 4 0.08 0.15 0.45 0.27 0,05

a) Trace la gráfica de f (x).

b) Determine el valor de k.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso real de lectura sea mayor que el peso prescrito?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso real de lectura esté dentro de 0.25 gramos del peso prescrito?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso real difiera del peso prescrito por más de 0.5 gramos?

28.- Tres máquinas de cierta planta de ensamble, 𝑩𝟏, 𝑩𝟐𝒚𝑩𝟑, montan 30%,45%y25%de los productos, respectivamente se sabe por experiencia que 2%,3%y2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente, tienen defectos. Ahora bien, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado. ¿Cuál es la probabilidad de que este defectuoso? A:”El producto esta defectuoso” B1:”El producto fue ensamblado con la maquina B1” B2:”El producto fue ensamblado con la maquina B2” B3:”El producto fue ensamblado con la maquina B3” P(A)=P(B1)*P(A/B1)+ P(B2)*P(A/B2)+ P(B3)*P(A/B3) P(B1)*P(A/B1)=(0.3)(0.02)=0.006 P(B2)*P(A/B2)=(0.45)(0.03)=0.0135 P(B3)*P(A/B3)=(0.25)(0.02)=0.005 P(A)=0.006+0.0135+0.005=0.0245 30. Una empresa de manufactura emplea tres planos analíticos para el diseño y desarrollo de un producto especifico. Por razones de costos los tres se utilizan en momentos diferentes. De hecho, los planos 1, 2 y 3 se utilizan para 30 %, 20 % y 50 % de los productos, respectivamente. La tasa de defectos difiere en los tres procedimientos de la siguiente manera, P (D|P1) = 0,01, P (D|P2) = 0,03, P (D|P3) = 0,02 En donde P (D|Pj) es la probabilidad de que un producto esté defectuoso, dado el Plano j. se observa un producto al azar y se descubre que está defectuoso, ¿cuál de los planos tienen más probabilidades de haberse utilizado y, por lo tanto, de ser el responsable? A partir del planteamiento del problema. P (P1) = 0.30, P (P2) = 0.20 y P (P3) = 0.50, Debemos calcular P (Pj|D) para j = 1, 2, 3. La regla de Bayes (teorema) muestra

32. En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5 % tiene cierta imperfección. Se eligenaleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección? X (0.95; 0.05) P=4¡/(0(4-0)¡= (((0.95)^0)*((0.005)^4))=0.00000625 b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una de las llantas tenga imperfección? X (0.95; 0.05) P=4¡/(1(4-1)¡= (((0.95)^1)*((0.05)^3))=0.000475 c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o más de las llantas tenga imperfección? X (0.95; 0.05)

P=4¡/(2(4-2)¡= (((0.95)^2)*((0.05)^2))=0.0135375 34. La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el número de partículas que son retiradas. Determine a) P(X = 5) P(X=5)= (e^-3)*(3^5 / 5¡)= 0.10081 b) P(X ≤ 2) P(X ≤ 2)= (e^-3)*(3^2 / 2¡)= 0.2240 c) P(X > 1) P(X > 1)= (e^-3)*(3^1 / 1¡)=0.1494 La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media de 10 gigapascales (GPa) y desviación estándar de 1.4 GPa. a) Cual es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a GPa?

b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.

c) Determine el 95 percentil de la resistencia de esta aleación.

38) Suponga que la estatura de mujeres en una población sigue la curva normal con media de 64.3 pulgadas y desviación estándar de 2.6 pulgadas. a) ¿Qué proporción de mujeres tiene estatura entre 60 y 66 pulgadas? P (60