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Geometría Analítica, Sumatoria y Productoria Tarea 4

Presentado por: Luis David Daza Narváez 87575168 Curso 3013

Entregado a tutora: Luz Dary Agalimpia

Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica Universidad Nacional Y a Distancia UNAD SANDONA 2018

INTRODUCCION En el desarrollo del presente trabajo, se han desarrollado ejercicios con respecto a la unidad 3, sobre Geometría Analítica, Sumatoria y Productorias, los ejercicios se han realizado de forma individual sin embargo se han dado espacios en el foro para despejar inquietudes de la actividad, se dispone de todo el interés para las que las actividades queden bien realizado. En el documento presentado después del desarrollo de los ejercicios.

El administrador de una planta encuentra que el costo total necesario para manufacturar 50 unidades de cierto producto es de $500 y de 100 unidades es de $900. Suponiendo que la relación entre ambas variables es lineal, encontrar la ecuación que relaciona el costo y la producción. Para resolver el ejercicio se procede calcula la pendiente, debido a que la ecuación que se requiere es lineal, lo especifica el enunciado y luego se aplica la ecuación de la recta punto pendiente, de la siguiente manera: 𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1/𝑥2 − 𝑥1 𝑚 = ( 900 − 500)/(100 − 50) = 8/3 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 ∗ (𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 500 = 8/3 ∗ ( 𝑥 − 50) 3𝑦 − 1500 = 8𝑥 − 400 3𝑦 = 8𝑥 − 400 + 1500 𝑦 = 8/3𝑥 + 1100/3 8𝑥 − 3𝑦 − 1100 = 0

Supongamos que para vender $10,000 el costo total de una empresa es de $14,200 y para vender $40,000 es de $23,200. Suponiendo que la relación es lineal, encontrar la ecuación que relaciona ambas variables. 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎 = 10 000 −> 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 = 14200 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎 = 40 000 −> 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 = 23200 El enunciado nos dice que debemos asumir que la relación es lineal por lo cual tendrá la forma de: 𝑌 = 𝑚𝑋 + 𝑏 Dónde

𝑌 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑒 𝑋 = 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠. 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 = 𝑚 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 + 𝑏 𝑚 = 𝛥𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜/𝛥𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑚 = 23200 − 14200/40000 − 10000 𝑚 = 9000/30 000 = 0.3

Entonces: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 = 0.3 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 + 𝑏 Sustituyendo uno de los pares de datos para obtener el valor de b: 23 200 = 0.3(40 000) + 𝑏 𝑏 = 11200 Entonces: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 = 0.3 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 + 11200 .Un servicio sismológico de Cali detectó un sismo con origen en el municipio de Pradera a 5km este y 3km sur del centro de la ciudad, con un radio de 4km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del área afectada? ¿Utilizando esta ecuación, indica si afectó al municipio de Pradera? (𝑥 − ℎ)² + (𝑦 − 𝑘)² = 𝑟² 𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛: ℎ = 5 𝑘𝑚 𝑘 = − 3 𝑘𝑚 𝑟 = 4 𝑘𝑚 Sustituyendo los datos se tiene que la ecuación de la circunferencia es: (𝑥 − 5)² + (𝑦 + 3)² = 4² (𝑥 − 5)² + (𝑦 + 3)² = 16 Finalmente se sustituye el punto O (0, 0) y se determina si fue afectado: 𝑑 = √(5 − 0)² + (−3 − 0)² 𝑑 = 5.83 𝑘𝑚 Como d > r, entonces se concluye que no fue afectado.

En ciertas construcciones antiguas, y en otras recientes, el diseño del espacio en algunos salones permite escuchar en un sitio especial lo que se habla en otro lugar del mismo recinto, sin que en otros puntos se escuche la plática. Debido a esta peculiaridad, estas salas son conocidas como cámara de los secretos. Cerca de la ciudad de México, en uno de los patios del antiguo Convento del Desierto de los Leones, podemos apreciar una de estas cámaras construida en el siglo XVII. Aprovechando una particularidad de las elipses, tales construcciones poseen una bóveda elíptica y sitúan los focos justamente en los puntos desde los cuales se transmite o escucha el mensaje. La ecuación 16𝑥2 + 41𝑦2 – 131,20𝑦 – 551,04 = 0 elíptica de un salón con cámara de los secretos.

describe

la

sección

a) ¿A qué distancia del centro deben estar situadas dos personas para que una escuche lo que habla la otra? b) ¿Cuál es, desde el piso, la máxima altura que alcanza la bóveda del salón? Adjunto podemos sacar la gráfica de la ecuación, por tanto, tenemos que: C(0,1.6) → CENTRO Los ejes mayor y menor viendo siendo: 𝑎 = 6.40 𝑏 = 4 Ahora, teniendo estos datos podemos calcular el foco, tenemos que: 𝑓 = √(6.40² − 4²) 𝑓 = ±5 𝐹𝑂𝐶𝑂 (0, −5) 𝑦 ( 0, +5)

Por tanto, dentro de la distancia del foco tenemos que se escuchará lo que se dice, alejando las 5 unidades fuera del foco no se escuchará. La altura máxima viene dada por el valor del eje menor.

.Un túnel con arco parabólico en la carretera Cali – Buenaventura, tiene una altura máxima en su centro de 6,4 metros en su centro y su anchura al nivel del suelo es de 5,6 metros.

a) ¿A qué distancia del punto más bajo del cable se ubica el foco? (Distancia Focal)

b) Escriba la ecuación del perfil parabólico de acuerdo con el bosquejo realizado c) ¿A qué distancia del centro la altura del túnel es de 4 metros? (𝑥 − ℎ)² = 4 ∗ 𝑃 ∗ (𝑦 − 𝑘)

Los datos son los siguientes:

𝑉 (ℎ, 𝑘) = (0, 6.4) 𝑃 (𝑥, 𝑦) = (2.8, 0) Sustituyendo: (2.8 − 0)² = 4 ∗ 𝑃 ∗ (0 − 6.4) 𝑃 = −0.3063 a) La distancia focal es de 0.3063 𝑚. b) La ecuación de la parábola es: 𝑥² = −4 ∗ 0.3063 ∗ (𝑦 − 6.4) 𝑐) 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 4, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝑥² = −4 ∗ 0.3063 ∗ (4 − 6.4) 𝑥 = 1.714 𝑚 . La estación guardacostas B se encuentra situada 400 km, al este de la estación A. Un barco navega 100 km al norte de la línea que une A y B. Desde ambas estaciones se envían señales de radio simultáneamente a una velocidad de 290.000 km/seg. Si la señal enviada desde A llega al barco 0’001 segundo antes que la enviada desde B, localiza la posición del barco. ¿A qué distancia está de cada una de las estaciones? Para resolver este problema se debe tener en cuenta que la velocidad de la señal es constante, por lo tanto debe cumplir con la condición del movimiento rectilíneo uniforma con la siguiente ecuación: 𝑉 = 𝑋/𝑡 𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛: 𝑉 = 290000 𝑘𝑚/𝑠 𝑡2 = 𝑡1 + 0.001 𝑠 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒: 290000 = 𝑋1/𝑡1 290000 = 𝑋2/(𝑡1 + 0.001) 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡1: 𝑡1 = 𝑋1/290000 290000 = 𝑋2/(𝑋1/290000 + 0.001) 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝑋1 = √100² + (400 − 𝑋2)²

Sustituyendo y despejando se tiene que:

290000 = 𝑋2/(√100² + (400 − 𝑋2)²/290000 + 0.001) 𝑋2 = 269.258 𝑘𝑚 𝑋1 = 180.28 𝑘𝑚 . Una empresa tiene 6 sedes en cada una de 5 ciudades, la producción se realiza en una única ciudad y todas las sedes piden su producto estrella desde esta ciudad. En la tabla se muestran los productos pedidos por cada sede para un mes. 1

2

3

4

5

6

1

63

56

65

43

69

90

2

50

51

58

57

90

86

3

111

80

70

91

66

106

4

62

72

52

82

62

51

5

115

102

44

45

70

78

ciudad(i)\Sede (j)

a) El número total de productos solicitados en la ciudad 4, se representa por: 6

D j 1

4j

Utilice la definicion de sumatoria para calcular este número de productos. b) Según los resultados de un estudio, las sedes número 1 son las que más venden entre todas las ciudades. Represente en notación de sumatorias, el número de productos solicitados por todas las sucursales número 1 Para resolver este problema se tiene que la sumatoria es:

6

∑ 𝐷4 ∗ 𝑗 = 62 + 72 + 52 + 82 + 62 + 51 = 381 𝑗=1 La cantidad total de productos solicitados por la ciudad 4 es de 381 productos. La notación para la sumatoria de los productos de la ciudad 1 es: 6 ∑ (𝐷1 ∗ 𝑗) = 63 + 56 + 65 + 43 + 69 + 90 = 386 𝑗 = 1 . En una institución educativa hay 6 cursos, denominados del 1 al 6. Para cada uno de los cuales hay 5 secciones de estudiantes.

Curso (i) /sección (j)

1

2

3

4

5

1

30

25

22

42

31

2

31

23

36

20

37

3

34

30

34

31

27

4

25

34

28

20

31

5

23

20

35

36

26

6

23

25

29

39

33

a) Usando la notación de sumatorias, el número total de estudiantes del curso 2 es:

5

n j 1

2j

Encuentre el número total de estudiantes para este curso, aplicando la definición de sumatoria.

b) Identifique la notación de sumatorias que representa al número total de estudiantes que pertenecen a la sección 4. a) Usando la notación de sumatorias, el número total de estudiantes del curso 2 es: Sumatorias: es una notación matemática que permite representar sumas de varios sumandos. 𝐶𝑢𝑟𝑠𝑜 2: ∑ ∧ 5 𝑛 2𝑗 = 31 + 23 + 36 + 20 + 37 = 147 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑗=1 b) Identifique la notación de sumatorias que representa al número total de estudiantes que pertenecen a la sección 4. ∑ ∧ 5 𝑛 2𝑖 = 42 + 20 + 31 + 20 + 36 + 39 = 188 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖=1 . Una fábrica de juguetes, la cual es responsable de producir la muñeca de moda, ha diseñado un kit de guardarropa para esta muñeca, el cual está compuesto de tres vestidos: un azul, un gris y un negro; así como también de dos pares de zapatos: un par de color rojo y un par de color amarillo. ¿Cuántas formas de organizar la ropa para esta muñeca se puede lograr con este kit de guardarropa? ⭐ Solución: 6 formas diferentes En el presente caso nos piden determinar el número de combinaciones posibles del guardarropa de la muñeca, teniendo un total de: Vestidos: 3 Zapatos: 2 pares Esto quiere que por cada vestido, la muñeca tendrá una combinación diferente para cada par de zapatos. Por lo tanto:

𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝐶𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑑𝑜 × 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑧𝑎𝑝𝑎𝑡𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 3 × 2 Combinaciones = 6 formas diferentes de organizar la ropa de la muñeca

5.0 . Una permutación es un arreglo donde los elementos que lo integran y su orden no importa. Considere el siguiente conjunto: {a,b,c,d}. ¿Cuántas permutaciones de tres elementos pueden obtenerse de este conjunto? Para resolver simplemente debemos aplicar el concepto de combinaciones, donde el orden no importa, y solo se toman 3 de los 4 elementos.

𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} → 𝑛: 𝑑𝑒 4 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜: 𝑘 → 3 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑃 = 𝑛!/𝑘! · (𝑛 − 𝑘)! 𝑃 = 4!/3! · (4 − 3)!

𝑃 = (4 · 3 · 2 · 1)/(3 · 2 · 1) · 1

𝑃 = 24/6 𝑃 = 4 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

CONCLUSIONES

El presente trabajo por cuestiones de tiempo limito mi participación en el foro, el último trabajo donde se ha estado expectante del desarrollo pleno del mismo, me parece muy interesante haber aprendido y reforzar nuestros conocimientos con respecto a esta área tan importante como son las matemáticas. Definitivamente se marca la dificultad encontrada con el programa de geogebra. Finalizando este proceso de aprendizaje no queda más que seguir mejorando para alcanzar el éxito y la plenitud en todo lo que nos espera en la siguiente etapa de nuestra formación como profesionales.

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