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Tarea 4 Roberto Hurtado Quiroz Matemática Instituto IACC 17 de octubre de 2016

Desarrollo

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜. 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 𝑥=

−(−2) ± √22 − 4 ∗ 1 ∗ −3 2∗1

𝑥=

2 ± √2 + 12 2

𝑥=

2 ± 3,74 2

𝑥1 =

5,74 = 2,87 2

𝑥2 =

−1,74 = −0,87 2

Luego se calculan los vértices. 𝑉𝑥 =

−(−2) 2 = =1 2∗1 2

Luego reemplazamos x con el valor de Vx para calcular el vértice Y 𝑉𝑦 = 12 − 2 ∗ 1 − 3 𝑉𝑦 = 1 − 2 − 3 𝑉𝑦 = −4 Los vértices f(x) son V=(1, -4) Asignamos valores a la tabla para poder graficar: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4

2

3

4

5

6

7

8

9

10

b) Determinar si es injectiva. Se puede determinar fácilmente que la función no es injectiva trazando una recta en el gráfico en donde esta se intercepta con mas de 1 punto en X. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1 -2 -3 -4

c) Determinar condiciones para que sea sobreyectiva Para que la función sea sobreyectiva debemos dar un Dominio definido. Para este caso asignaremos ejemplificamos 𝐷 = [1, +∞[ 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 [−4, +∞[

d) Determinar la inversa de 𝑓 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 No es una función inyectiva, por lo tanto no se puede calcular la inversa de 𝑓. Para que la función sea inyectiva se debe restringir el dominio y en este caso lo restringimos a 𝐷𝑓(𝑥) = [1, +∞[

Luego convertimos la función a la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 𝑓(𝑥) = 1(𝑥 − 1)2 − 4 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 𝑦 = (𝑥 − 1)2 − 4 𝑦 + 4 = (𝑥 − 1)2 √𝑦 + 4 = √(𝑥 − 1)2 √𝑦 + 4 = ±(𝑥 − 1) 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖ó 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 1 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 Entonces continuamos despejando x: √𝑦 + 4 = +(𝑥 − 1) 𝑥 = √𝑦 + 4 + 1 La inversa de x es 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4 + 1

Bibliografía IACC (2015). Funciones. Parte III. Matemática. Semana 8.