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• Bannesa mora

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Ejercicios 1 - Distribución Binomial C. En una cena el sábado por la noche en un restaurante, una compañía de ocho amigos. tiene la opción de pescado o carne como plato principal, mientras que para el postre pueden elegir ya sea crema de caramelo o pastel de selva negra. Suponiendo que el 70% de las personas piden carne en su plato principal y un 60% de pedido de tarta de selva negra como postre, encuentre la probabilidad de que: 2) Entre las ocho personas, nadie elige la combinación de pescado y negro pastel de bosque. 3) Entre las ocho personas, al menos seis eligen la combinación de carne y crema caramelo

( nx )( p) ( 1− p )

P ( x) =

x

n−x

1) Una persona específica elige pescado como plato principal y pastel de selva negra para el postre. Tenemos los siguientes datos n=8 x=1 Probabilidad de elegir otra carne que no sea carne probilidad de que no pida carne=30 % pastel de selva negra probabilidad pastel del selva negra=60 % Entonces como tenemos una intercesión p=0.3∗0.6=0.18 Remplazamos los datos P ( x=1 )= 8 ( 0.18 )1 ( 1−0.18 )8−1 1

()

Desarrollamos la combinación 8! P ( x=1 )= ( 0.18 )1 ( 1−0.18 )8 −1 1! ( 8−1 )

La probabilidad de que alguien pida pescado como plato principal y pastel de selva negra para el postre. P ( x=1 )=0.3589=35.89 % 2) Entre las ocho personas, nadie elige la combinación de pescado y pastel de selva negra. Tenemos los siguientes datos n=8 x=0 Probabilidad de elegir otra carne que no sea carne probilidad de que no pida carne=30 % pastel de selva negra probabilidad pastel del selva negra=60 % Entonces como tenemos una intercesión entre ambos p=0.3∗0.6=0.18 Remplazamos los datos P ( x=0 )= 8 ( 0.18 )1 ( 0−0.18 )8−1 0

()

Desarrollamos la combinación P ( x=0 )=

8! ( 0.18 )0 ( 1−0.18 )8−0 0 ! ( 8−0 )

La probabilidad de que nadie pida pescado como plato principal y pastel de selva negra para el postre. P ( x=1 )=0.2044=20.44 % 3) Entre las ocho personas, al menos seis eligen una combinación diferente a pescado y pastel de selva negra. Tenemos los siguientes datos n=8 x=0 Probabilidad de elegir otra carne que no sea carne probilidad de que no pida carne=30 % pastel de selva negra

probabilidad pastel del selva negra=60 % Entonces como tenemos una intercesión entre ambos p=0.3∗0.6=0.18 Tenemos que la probabilidad es igual a P ( x ≥ 6 )=P ( x=6 )+ P ( x=7 )+ P ( x=8 ) Desarrollamos las probabilidades 8! P ( x=6 )= ( 0.18 )6 ( 1−0.18 )8−6=0.00064035 6 ! ( 8−6 ) P ( x=7 )=

8! ( 0.18 )7 ( 1−0.18 )8−7=4,01616E-05 7 ! ( 8−7 )

P ( x=6 )=

8! ( 0.18 )8 ( 1−0.18 )8−8=1,102E-06 8 ! ( 8−8 )

Sumamos la probabilidad P ( x ≥ 6 )=0.00064035 Obtenemos P ( x ≥ 6 )=0.06816 % GEOGEBRA

Ejercicio 2. Distribución Poisson. C. Julie tiene una página de Facebook y está muy interesada en tener una gran cantidad de amigos en esta red social. El número de amigos agregados a su página sigue un proceso de Poisson con una tasa de 𝜆 = 3 personas por semana. ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana en particular gane menos de tres ¿amigos?

p ( x) =

e−λ λ x x!

Tenemos nuestra media λ=3 Entonces la probabilidad de que al menos gane 3 amigos es igual P ( X ≥3 )=1−( P ( X =0 ) + P ( X=1 )+ P ( X =2 ) ) Desarrollamos cada probabilidad aparte p ( x=0 )=

e−3 λ0 =0.04978 0!

p ( x=1 )=

e−3 λ 1 =0.14936 1!

p ( x=2 )=

e−3 λ2 =0.22404 2!

La probabilidad de al menos hacer 3 amigos P ( X ≥3 )=1−0.6472=57.68 %

2. Suponga que durante una semana en particular no hizo nuevos amigos entre el domingo y el viernes, y el viernes por la noche se sintió muy decepcionada y quería saber la probabilidad de que haya al menos un nuevo amigo el sábado de esa semana. ¿Puedes dar una respuesta a su pregunta?

Como tenemos 3 amigos a la semana la media para cada día seria λ=

3 7

La probabilidad de que al menos gane 1 amigo el sábado P ( X ≤2 ) =1−P ( X=0 ) Desarrollamos cada probabilidad aparte 3 0 e 7 p ( x=0 )= =0.651 0! −3 7

()

La probabilidad de al menos hacer 1 amigos P ( X ≥1 ) =1−( 0.651 )=0.3485=34.85 %

Ejercicio 3. Distribución Hipergeométrica. C. En un estante de supermercado, hay 45 paquetes de cereales. Entre estos, hay cinco paquetes cuya fecha de caducidad es inferior a una semana a partir de ahora. Camila selecciona cuatro paquetes de cereales al azar y tiene la intención de consumirlos después de una semana, ya que ella tiene otro paquete de cereales en casa. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cuatro paquetes que ella compró tenga su fecha de caducidad dentro de una semana? R N −¿ R ( X )( n −¿ X ) p ( x) = ( Nn ) donde N=total de poblacion R=exitos de la poblacion n=muestra x=numero de exitos de la muestra 1) ¿Cuál es la probabilidad de alguno de los cuatro paquetes que ella compró tenga su fecha de vencimiento en menos de una semana, (es decir que estén vencidos cuando ella los piense consumir)? Para alguno entonces la probabilidad tiene que ser mayor a 1 p ( x ≥ 1 )=1−( p ( x=0 ) ) Entonces nuestro dato son iguales a R N −¿ R X n −¿ X p ( x) = N n

( )(

)

( )

donde N=45 R=5 n=4 5 45 −¿ 5 ( 0 )( 4 −¿ 0 ) p ( x=0 )= =0,613376288 45 ( 4)

La probabilidad de que alguno este vencido es igual p ( x ≥ 1 )=1−0,613376288=0.3866=38.66 %

2) ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima semana, cuando ella esté lista para consumir los cereales todos estén vencidos? La probabilidad de que los 4 estén vencidos 5 45 −¿ 5 ( 4 )( 4 −¿ 4 ) p ( x=4 )= =3,35582E-05 45 (4)

Ejercicio 4 Distribución Normal. . En cierta población humana el nivel de colesterol en la sangre (medido en mg dl− 1 ) sigue una distribución normal con media 𝜇 = 220 y desviación estándar 𝜎 = 40. 1) Encuentre el porcentaje de personas en esa población con un nivel de colesterol entre 200 y 260. x−μ z= σ Tenemos que la probabilidad es igual a P ( 200≤ x ≤ 260 ) =P ( x ≤260 ) −P ( 200 ≤ x )

Calculamos la primera probabilidad

z=

200−220 =−0.5 40

Entonces la primera probabilidad es igual P ( 200≤ x )=0.30853 Ahora calculamos la otra probabilidad z=

260−220 =1 40

Entonces la segunda probabilidad es igual a P ( x ≤ 260 )=0.8413 Tenemos que la probabilidad de que el porcentaje de personas tenga un colesterol entre 200 y 260 es P ( 200≤ x ≤ 260 ) =0.8413−0.3085 Obtenemos los siguientes valores que el porcentaje de persona con colesterol entre 200 y 260 P ( 200≤ x ≤ 260 ) =0.5328

Por geogebra

1) Cuál es el valor del nivel de colesterol en sangre por encima del cual está el nivel de colesterol en sangre del 10% de las personas en la población? Tenemos que un 10% está por encima del nivel de colesterol en este caso el 90% ya que va de izquierda a derecha P ( x ≥ ? ) =0.90 Hacemos una función inversa z=1.2815 Entonces remplazamos x−220 =1.2815 40 Despejamos x x−220=51.2606 Pasamos a sumar x=51.2606+220 Tenemos que 10% de la población tiene colesterol mayor a 271.262 x=271.262