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• Jose Aristobulo Gonzalez Florian

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 3: Derivadas

CALCULO DIFERENCIAL 100410A_474 GRUPO: 100410_518 TAREA 3: DERIVADAS

ELABORADO POR: ALBA CLEMENCIA MENDIETA VELOZA Código:28956188 MABIS LILIANA CORDOBA MOLINA JORGE ALBERTO GARIBELO PERALTA COD 93382808 YOVANNA CAROLINA DIAZ YEIMI TAFUR GONZALEZ DAYAN KATHERINE CAMPOS. Tutora

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCA INGENIERIA AMBIENTAL SEMESTRE B 2018

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 3: Derivadas

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo podemos encontrar ejercicios aplicando las temáticas de derivadas y sus aplicaciones. También se desarrollaron problemas como ejemplo de aplicación de estas temáticas, con el objetivo de conocer la importancia y su aplicación con respecto a problemas de la vida cotidiana. Se realizó un análisis de gráficas para mayor comprensión del tema y para aprender a graficar mediante el programa geógebra. El Objetivo del presente taller es el de emplear las derivadas y sus propiedades que nos serán útiles en nuestro desempeño profesional. Aplicando para su desarrollo diferentes herramientas como Geogebra y Editor de Ecuaciones, además de las ayudas que encontramos en el entorno de conocimiento y en la plataforma del curso. Desarrollaremos varias temáticas como son; Derivadas de funciones Derivada de la función implícita Propiedades fundamentales de las derivadas Regla de L’ HOPITAL Máximos y mínimos de una función

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Optimización Análisis de graficas Continuidad de una función Y cálculo de los limites

A continuación, se presentan los ejercicios, gráficas y problemas asignados para el desarrollo de Tarea 3, en este grupo de trabajo: Calcular por Calcular la derivada Aplicando las reglas de la derivación calcule, las L’Hôpital los Derivadas de orden superior: 𝒅𝒚 derivadas de las siguientes funciones: implícita 𝒅𝒙: siguientes límites:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 3: Derivadas 1.

Estudiante 1

𝒍𝒏𝒙𝟐

𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐−𝟏 𝒙→𝟏

3.

𝟐

2.

𝒇(𝒙) =

(𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟐)

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 (𝟓𝒙 + 𝟐

𝟒𝒙𝟐 )

𝒙𝟐 −𝟑𝒙

4.

𝟔𝒙𝟐 𝒚 + 𝟓𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐 𝒚

5.

𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 + √𝒙 𝒇′′′ (𝒙) =?

1. Calcular por la regla de L’ HOPITAL el siguiente limite 𝒍𝒏𝒙𝟐

𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 −𝟏 𝒙→𝟏

𝒍𝒏𝒙𝟐

𝒍𝒏𝟏𝟐 𝟎

Evaluando directamente 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 −𝟏=𝟏𝟐 −𝟏=𝟎 𝒙→𝟏

𝟎

Observamos que se presenta una indeterminación , de la forma 𝟎 , lo que nos permite utilizar la regla de L’ HOPITAL para eliminar la indeterminación. 𝟐𝒙 𝒙𝟐

𝒍𝒏𝒙𝟐

𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 −𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝒙 , derivando tanto numerador como denominador 𝒙→𝟏

𝒙→𝟏

𝟐 𝒙

𝒍𝒏𝒙𝟐

𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 −𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝒙 aplicando regla de la oreja 𝒙→𝟏

𝒙→𝟏

𝒍𝒏𝒙𝟐 𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 𝟐 reemplazando en el segundo miembro 𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙→𝟏 𝟐𝒙 𝒍𝒏𝒙𝟐

𝟏

𝟏

𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 −𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 = 𝟏𝟐 = 1 𝒙→𝟏

𝒙→𝟏

2. Aplicando las reglas de la derivación calcule, la derivada de la siguiente función: 𝟐

(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 Aplicando la regla del cociente

𝑑 𝑑𝑥

𝒖(𝒙) 𝝊(𝒙).𝒖′(𝒙)−𝒖(𝒙).𝝊′(𝒙) [ ( )] = 𝒗𝒙 [𝝊(𝒙)]²

De acuerdo a esto se tiene que : . 𝒖(𝒙) = (𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐)𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒖′(𝒙) = 𝟐(𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙)(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐)=

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𝒖′(𝒙) = 𝟐𝒙(𝟑𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐) 𝒖′(𝒙) = − 𝟐𝒙(𝟐 − 𝟑𝒙)(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐) Para

𝝊(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝝊′(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑

Reemplazando en la derivada del cociente de dos funciones tenemos: 𝑑 𝒖(𝒙) (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 ). 𝟐𝒙(𝟑𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐) − (𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐) [ ]= 𝑑𝑥 𝒗(𝒙) [𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 ]²

𝟐

. (𝟐𝒙 − 𝟑)

𝑑 𝒖(𝒙) (𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐)[(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 ). 𝟐𝒙(𝟑𝒙 − 𝟐) − (𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐). (𝟐𝒙 − 𝟑)] [ ]= 𝑑𝑥 𝒗(𝒙) [𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 ]² 𝑑 𝒖(𝒙) (𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐)[𝟔𝒙𝟒 − 𝟐𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟐 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔] [ ]= 𝑑𝑥 𝒗(𝒙) [𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 ]² 𝑑 𝒖(𝒙) (𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐)[𝟒𝒙𝟒 − 𝟏𝟕𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 − [ ]= 𝑑𝑥 𝒗(𝒙) [𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 ]²

1. Aplicando las reglas de la derivación calcule, la derivada de la siguiente función: 𝟐

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 (𝟓𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 ) = 𝒖(𝒙). 𝝊(𝒙)

𝟒𝒙 − 𝟔]

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 3: Derivadas 𝑑 ( ) ( ) Aplicando la regla del Producto [𝒖(𝒙). 𝝊(𝒙)] = 𝒖(𝒙). 𝝊′ 𝒙 + 𝒖′ 𝒙 . 𝝊(𝒙) = 𝑑𝑥

De acuerdo a esto se tiene que : . 𝒖(𝒙) = 𝒙𝟑 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒖′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 Para

𝝊(𝒙) = (𝟓𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 )𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝝊′(𝒙) = 𝟐(𝟓 + 𝟖𝒙)(𝟓𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 ) 𝑑 [𝒖(𝒙). 𝝊(𝒙)] = 𝒖(𝒙). 𝝊′(𝒙) + 𝒖′(𝒙) . 𝝊(𝒙) 𝑑𝑥

𝑑 𝟐 [𝒖(𝒙). 𝝊(𝒙)] = 𝒙𝟑 . 𝟐(𝟓 + 𝟖𝒙)(𝟓𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 ) + 𝟑𝒙𝟐 . (𝟓𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 ) 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥

[𝒖(𝒙). 𝝊(𝒙)] = (𝟓𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 )[10𝒙𝟑 +16𝒙𝟒 + 𝟏𝟓 𝒙 + 𝟏𝟐𝒙𝟒 ] [𝒖(𝒙). 𝝊(𝒙)] = (𝟓𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 )[10𝒙𝟑 +28𝒙𝟒 + 𝟏𝟓 𝒙] [𝒖(𝒙). 𝝊(𝒙)] = 𝟏𝟏𝟐𝒙𝟔+80𝒙𝟓 +𝟓𝟎𝒙𝟒 +𝟔𝟎𝒙𝟑 +𝟕𝟓𝒙𝟐

Estudiante 1

Graficar las siguientes funciones en geogebra de acuerdo con los lineamientos del contenido “Derivadas en Geogebra” a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 b) 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐭 𝟐 𝟓𝒙

Resolver los siguientes problemas de aplicación de las derivadas.

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a) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: 𝒇 (𝒙) = (𝒙𝟐 ) (𝒙 + 𝟐) 𝟐

b) Una empresa tiene la siguiente función de producción: 𝑸 = 𝟒 𝑳𝟑 + 𝟓𝑳𝟐 , donde 𝑳 representa el número de horas de trabajo aprovechadas por la empresa diariamente, y 𝑸 el número de quintales obtenidos de un determinado producto agrícola.

Estudiante 1

Calcule el valor de 𝑳 para el cual el producto total es máximo.

Estudiante 2 EJERCICIOS TAREA 3: DERIVADAS

Calcular por L’Hôpital los siguientes límites: Estudiante 2

1.

lim

𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥

𝑥→0 2𝑠𝑒𝑛𝑥

Estudiante 2

Aplicando las reglas de la derivación calcule, las derivadas de las siguientes funciones:

Calcular la derivada implícita 𝑑𝑦 : 4.

2. 𝑓(𝑥) =

(6+3𝑥)3 𝑥 3 +4𝑥 2 +2

3.

𝑓(𝑥) = 6𝑥

2 (𝑥 2

+𝑥

3 )3

Derivadas de orden superior:

𝑑𝑥

−𝑥 5 𝑦 7 − 1 = 𝑥 + 𝑦

5.

𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 + 4𝑥 2 + √𝑥 + 2 𝑓 ′′′ (𝑥) =?

Gráficar las siguientes funciones en geogebra de acuerdo con los lineamientos del contenido “Derivadas en Geogebra” a) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥

Graficas en Geogebra de acuerdo con las indicaciones del contenido “Derivadas en Geogebra”

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a) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: 𝑓 (𝑥) = (𝑥 2 ) (𝑥 − 3) Estudiante 2 b) Con un cartón de 6X4 metros se pretende construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja para obtener su volumen máximo.

1 -Calcular por L’Hôpital los siguientes límites

𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙 𝒙→𝟎 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙

𝐥𝐢𝐦

𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥

Resuelvo lim ( 2𝑠𝑖𝑛(𝑥) ) 𝑥→0

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 lim ( ) =1 𝑥→0 2𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 lim ( ) 𝑥→0 2𝑠𝑖𝑛(𝑥) lim [𝑐. 𝑓(𝑥)] = 𝑐. lim ×→ a𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎

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𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥

2

𝑠𝑖𝑛(𝑥)

= .lim → 0 (

)

Aplico regla L’Hopital =

1 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 . limx → 0 ( ) 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

Sustituyo la variable =

1 𝑒 0 + 𝑒 −0 . 2 𝑐𝑜𝑠(0)

Simplifico

1 𝑒 0 +𝑒 −0 2

.

𝑐𝑜𝑠(0)

:1

=1

2. Aplicando las reglas de la derivación calcule, las derivadas de las siguientes funciones 𝒇(𝒙) =

(𝟔 + 𝟑𝒙)𝟑 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐

Aplico la regla del cociente[

𝝊(𝒙) 𝒗(𝒙)

]=

𝝊′(𝒙).𝝊(𝒙)−𝝊(𝒙).𝝊′(𝒙) 𝝊(𝒙)𝟐

𝒅 (𝟑𝒙 + 𝟔) 𝟑 [ ] 𝒅𝒙 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐 𝒅 [(𝟑𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙

𝟑 ]. (𝒙𝟑

+ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐) − (𝟑𝒙 + 𝟔) (𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐)

𝟐

𝟑

.

𝒅 𝟑 [𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐] 𝒅𝒙

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La derivación es lineal derivamos los términos de forma separada los términos de forma separada y saco los factores constantes

=

𝟑 (𝟑.

𝒅 𝒅 [𝒙] + [𝟔]) (𝟑𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙 𝒅𝒙

𝟐 (𝒙𝟑

+ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐) − (𝟑𝒙𝟐 + 𝟒. 𝟐𝒙 + 𝟎)(𝟑𝒙 + 𝟔)

(𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐)

𝟑

𝟐

La derivada de la variable de diferenciación es 1 y de constante 0

=

=

=

=

𝟑 (𝟑.

𝒅 𝒅 [𝒙] + [𝟔]) (𝟑𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙 𝒅𝒙

𝟐 (𝒙𝟑

+ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐) − (𝟑𝒙𝟐 + 𝟒. 𝟐𝒙 + 𝟎)(𝟑𝒙 + 𝟔)

(𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐)

𝟑(𝟑. 𝟏 + 𝟎)(𝟑𝒙 + 𝟔)

𝟗(𝟑𝒙 + 𝟔)

𝟐 (𝒙𝟑

𝟐 (𝒙𝟑

𝟐

+ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐) − (𝟑𝒙 + 𝟔) (𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐) 𝟐

+ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐) − (𝟑𝒙 + 𝟔) (𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐) 𝟐

𝟗(𝟑𝒙 + 𝟔) 𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟔) 𝟑 (𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙) − (𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐) 𝟐 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐

Simplifico 𝟓𝟒(𝒙 + 𝟐) 𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑) (𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐) 𝟐

𝟑 (𝟑𝒙𝟐

𝟑 (𝟑𝒙𝟐

+ 𝟖𝒙)

+ 𝟖𝒙)

𝟑

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3 Aplicando las reglas de la derivación calcule, las derivadas de las siguientes funciones:

𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )𝟑 Utilizamos la regla del Producto Donde 6 es constante a 6𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒙 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝟔 𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ) 𝒅

6𝒅𝒙 [𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )

𝟑

𝒆𝒔 𝒙

𝟑] 𝒅

𝒅

𝒅

Diferencio el uso de la regla del producto𝒅𝒙 [𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)]𝒆𝒔𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 [𝒈(𝒙)] + 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 [𝒇(𝒙)]𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒇(𝒙)=𝒙𝟐 𝒚 𝒈(𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ) 𝒅

6(𝒙𝟐 𝒅𝒙 [(𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )

𝟑]

𝟑

+ (𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )

𝟑

)

𝟑 𝒅 [𝒙𝟐 ]) 𝒅𝒙

Diferencio 𝒅

Aplico regla de cadena 𝒅𝒙 [𝒇(𝒈(𝒙))]𝒆𝒔 𝒇′ (𝒈(𝒙))𝒈′(𝒙)𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆𝒇(𝒙) = (𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑

𝟑

𝒚 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑

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6(𝒙𝟐 (𝟑(𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )

𝟐 𝒅 [𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟑 𝒅 [𝒙𝟐 ]) 𝒅𝒙

+ 𝒙𝟑 ]) + (𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )

Diferencio 6(𝟑𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )

𝟐 (𝟐𝒙

+ 𝟑𝒙𝟐 ) + 𝟐(𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )

𝟑

𝒙)

Simplifico 6x(𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )

4

𝟐

(𝟑𝒙(𝟐𝒙 + +𝟑𝒙𝟐 ) + 𝟐(𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 )

Calcular la derivada implícita

𝑑𝑦 𝑑𝑥

:

−𝒙𝟓 𝒚𝟕 − 𝟏 = 𝒙 + 𝒚 Vemos a y como una función de x Es una derivación lineal, derivamos los términos de forma separada y saco los factores constantes [𝒂. 𝝊(𝒙) + 𝒃. 𝒖(𝒙)]′ = 𝒂. 𝒖′(𝒙) + 𝒃. 𝒖′(𝒙) 𝒅 𝒅 [𝒚 + 𝒙] [−𝒙𝟓 𝒚𝟕−𝟏 ] = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅

𝒅

𝒅

𝒅

≡ 𝒅𝒙 [−𝟏] − 𝒅𝒙 [𝒚𝟕 𝒙𝟓 ] = 𝒅𝒙 [𝒙] + 𝒅𝒙 [𝒚] la derivada de una constante es 0 𝒅 [𝒚𝟕 ]. 𝒙𝟓 𝒅𝒙

≡ 𝟎 -(

≡ 𝟕𝒚𝟔 .

+ 𝒚𝟕 .

𝒅 [𝒙𝟓 ]) 𝒅𝒙

= 𝟏 + 𝒚′ 𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒐 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 [𝒖(𝒙)

𝒅 [𝒚]. 𝒙𝟓 − 𝟓𝒙𝟒 𝒚𝟕 = 𝒚′ + 𝟏 𝒅𝒙

𝒏 ]′

= 𝒏. 𝒖(𝒙)

𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒙

𝒏−𝟏

. 𝒖′(𝒙)

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≡ −𝟕𝒚′ 𝒚𝟔 𝒙𝟓 − 𝟓𝒚𝟕 𝒙𝟒 = 𝒚′ + 𝟏 ≡ −𝟕𝒚𝟔 𝒚′ 𝒙𝟓 − 𝟓𝒚𝟕 𝒙𝟒 = 𝒚′ + 𝟏 Simplifico ≡ −𝟕𝒙𝟓 𝒚𝟔 𝒚′ − 𝟓𝒙𝟒 𝒚𝟕 = 𝒚′ + 𝟏 −𝒙𝟒 𝒚𝟔 (𝟕𝒙𝒚′ + 𝟓𝒚) = 𝒚′ + 𝟏

Resuelvo la Ecuación para y’;

y’

=−

𝟓𝒙𝟒 𝒚𝟕 +𝟏 𝟕𝒙𝟓 𝒚𝟔 +𝟏

5 Derivadas de orden superior: 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟐 + √𝒙 + 𝟐 𝒇′′′ (𝒙) =? Primera derivada Derivación lineal, derivo los términos de forma separada y saco los factores constantes 𝒅 𝒅𝒙

[√𝒙 + 𝟐 +2𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟐 ] 𝒅

𝒅

𝒅

= 𝒅𝒙 [√𝒙 + 𝟐 ]+2.𝒅𝒙 [𝒙𝟒 ] + 𝟒. 𝒅𝒙 [𝒙𝟐 ] Aplico la regla de la potencia de cadena, Multiplico por 𝝊′ (𝒙)𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂

=

𝟏 𝟐

(𝒙 + 𝟐)

𝟏 𝟐

𝒅

−𝟏 . 𝒅𝒙 [𝒙 + 𝟐] + 𝟐.4𝒙𝟑 + 𝟒. 𝟐𝒙 derivación lineal ,derivamos términos de forma separada y saco los factores constantes [𝒂. 𝝊(𝒙) + +𝒃. 𝝊(𝒙)]′ = 𝒂. 𝝊′(𝒙) + 𝒃. 𝝊(𝒙)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 3: Derivadas 𝒅 𝒅 [𝒙]+ [𝟐] 𝒅𝒙 𝒅𝒙

𝟐√𝒙+𝟐

=

=

𝟏+𝟎 𝟐√𝒙 + 𝟐

𝟏 𝟐√𝒙 + 𝟐

+ 𝟖 𝒙𝟑 + 𝟖𝒙

+ 𝟖𝒙𝟑 + 𝟖𝒙

+ 𝟖𝒙𝟑 + 𝟖𝒙

la derivada de la constante es 0