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Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico Facultad de Ciencias Tarea 1 Electromagnetismo 1 Gerardo Gonz´alez Garc´ıa [email protected] Fecha de entrega: 23 de agosto de 2019

Resumen del cap´ıtulo 21: Carga el´ ectrica Los fen´omenos el´ectricos y magn´eticos fueron descubiertos por la civilizaci´on griega de manera separada, hasta que en 1820 Oersted encontr´o una relaci´on entre estos, naciendo as´ı, el electromagnetismo. Durante el siglo XIX, f´ısicos como Faraday y Maxwell desarrollaron esta ciencia te´orica y experimentalmente. Una cantidad que interviene en el electromagnetismo es la carga el´ectrica, es una propiedad intr´ınseca de las part´ıculas que componen a los cuerpos. Existen dos clases de carga, positiva y negativa (escogidos arbitrariamente por B. Franklin), aunque en la naturaleza los objetos son neutros, es decir, su carga total es cero. Esto no quiere decir que el objeto no tenga cargas positivas y negativas, sino que tiene la misma cantidad de ambos tipos. Decimos que un objeto est´a cargado cuando se rompe este equilibrio. Experimentalmente se puede demostrar que: Cargas con el mismo signo se repelen entre s´ı, y cargas con signo contrario se atraen. Los materiales se pueden clasificar en varios tipos, de acuerdo a la libertad que tienen las cargas de moverse en ellos. De esta forma, se les llama conductores a los materiales que permiten el despazamiento de carga y aislantes a los que no lo permiten. Tambi´en existen los semconductores, estos son materiales que bajo ciertas circunstancias se vuelven conductores, y los superconductores, son materiales que permiten el desplazamiento de carga sin dificultad alguna. Las propiedades de los aislantes y conductores se debe a la naturaleza el´ectrica de los a´tomos, los electrones tienen una carga negativa y los protones una carga positiva, aunque de igual magnitud, mientras que los neutrones tienen una carga nula. Las particulas m´oviles en un material son los electrones, de forma que, cuando se dice que un objeto est´a cargado negativamente, significa que el objeto tiene un exceso de electrones. La fuerza entre cargas se conoce como fuerza electrost´atica y C. Coulomb encontr´o una descripci´on matem´atica de esta en 1785: q1 q 2 F~ = K 2 rˆ r

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conocida como la ley de Coulomb, incre´ıblemente parecida a la ley de gravitaci´on universal de Newton. La unidad de carga en el SI es el Coulomb, la cual es una unidad derivada de otra conocida como corriente el´ectrica i, cuya unidad en el SI es el Amp`ere. Para esta u ´ltima cantidad se tienen que: dq i= (2) dt ´esta representa la cantidad de carga que atraviesa una regi´on dada por unidad de tiempo. Entonces: 1C = (1A)(1s) (3) El valor de la constante K, tambi´en conocida como constante electrost´atica, es el siguiente: K=

1 = 8.99 × 109 N · m2 /C 2 4π0

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mientas que el valor de 0 es: 0 = 8.85 × 1012 C 2 /N · m2

1

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conocida como la constante de permitividad del vac´ıo. En la pr´actica es com´ un utilizar la magnitud de la fuerza electrost´atica, es decir, basados en la ecuaci´on (1): F =

1 |q1 ||q2 | 4π0 r2

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Si tenemos un conjunto de n cargas, denotamos F~ij a la fuerza que ejerce la j-´esima part´ıcula sobre la i-esima, mientas que denotamos F~i a la fuerza neta ejercida sobre la i-´esima part´ıcula. la fuerza electrost´atica cumple el principio de superposici´on, es decir: F~i = F~i1 + F~i2 + F~i3 + ... + F~in

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es decir, la fuerza que ejerce una part´ıcula sobre otra no se ve afectada al agregar una part´ıcula m´as al sistema. Debido al parecido de la fuerza gravitacional con la electrost´atica, esta u ´ltima tambi´en sigue los teoremas de cascarones que sigue la primera, es decir: 1. Una capa uniforme de carga atrae o repele una part´ıcula cargada que se encuentre fuera de la capa como si toda la carga de esta u ´ltima estuviera concentrada en su centro. 2. Si una part´ıcula cargada se encuentra dentro de una capa de carga uniforme, no hay fuerza electrost´atica neta sobre la part´ıcula desde la capa. Si en un conductor esf´erico hueco colocamos una carga en exceso, la carga se distribuye de manera uniforme en el conductor debido a la repulsi´on de las part´ıculas que tienen toda esta carga. La carga es una cantidad cuantificada, es decir, cualquier carga en la naturaleza se puede escribir como un m´ ultiplo entero de una carga m´ınima: q = ne

n = ±1, ±2, ±3, ...

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donde e, la carga elemental tiene un valor de: e = 1.602 × 10−19 C

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no es posible encontara una carga de 3.196516e, aunque recientemente se decubrieron part´ıculas llamadas quarks, que tienen cargas fraccionarias de ±e/3 y ±2e/3. Sin embargo, no se han detectado estas part´ıculas en forma individual, por lo que se considera a e la carga fundamental. La carga, al igual que el momento y el momento angular, cumple una ley de conservaci´on. Esta ley se ha puesto a prueba y no se han encontrado excepciones. Esta ley de conservaci´on se puede enunciar como: En un sistema cerrado, la carga total del sistema se conserva, es decir, la suma lagebr´aica de la carga es una constante. Esta ley se cumple incluso en los procesos de creaci´on de pares y de su aniquilaci´on, por ejemplo, cuando un electr´on e− y su antipart´ıculas, el positr´on e+ experimentan un proceso de aniquilaci´on, la carga inicial y final en el proceso es cero. Este proceso genera dos rayos gamma: e− + e+ → γ + γ

2

Problemas Todos los c´alculos de los siguientes ejercicios fueron hechos en Wolfram Mathematica. Problema. 1 .¿Cu´al debe ser la distancia entre la carga puntual q1 = 26.0µC y la carga puntual q2 = −47.0µC para que la fuerza electrost´atica entre ellas tenga una magnitud de 5.70N ? Respuesta. Se cuenta con dos cargas y una fuerza para calcular unda distancia, eso sugiere usar la ecuaci´on (6) despejando r de ella: r K|q1 ||q2 | (10) r= F sustituyendo las cantidades correspondientes: r (8.99 × 109 N · m2 /C 2 )(26 × 10−6 C)(47 × 10−6 C) r= = 1.38m 5.70N La respuesta difiere en una cent´esima de metro debido a la posibilidad, de que en el texto se haga el redondeo de la constante el´ectrica. N

Problema. 7 .Dos esferas conductoras id´enticas, fijas en un lugar, se atraen entre s´ı con una fuerza electrost´atica de 0.108N cuando su separaci´on de centro a centro es de 50.0cm. Las esferas se conectan entonces mediante un delgado alambre conductor delgado. Cuando el alambre se retira, las esferas se repelen mutuamente con una fuerza electrost´atica de 0.0360N . A partir de las cargas iniciales sobre las esferas, con una carga neta positiva, ¿cu´al era a) la carga negativa en una de ´estas y b) la carga positiva en la otra? Respuesta. Una vez que se conectaron las esferas con el alambre conductor, las cargas se distribuyen de manera uniforme en ambas esferas, entonces las esferas quedan con la misma carga positiva. Para esta u ´ltima situaci´o contamos con la fuerza final y con la distancia, pues esta u ´ltima es fija. Necesitamos encontrar la carga, llam´emosla q, lo cual sugiere usar nuevamente la ecuaci´on (6), quedando as´ı: |q||q| q2 F =K 2 =K 2 (11) r r despejando q y tomando la parte positiva (el enunciado lo indica), se tiene que: r F q=r (12) K al sustituir obtenemos: s q = (50 × 10−2 m) ×

0.0360N = 1 × 10−6 C 8.99 × 109 N · m2 /C 2

(13)

Supongamos que las pelotas inicialmente ten´ıan cargas q1 y q2 , entonces, por la conservaci´ on de la carga se tiene que: q1 + q2 = 2 × 10−6 C (14) 3

Por otro lado, antes de conectarse las esferas cumplen que Kq1 q2 r2

(15)

r2 F K

(16)

(50 × 10−2 m)2 (−0.108N ) = −3 × 10−12 C 2 8.99 × 109 N · m2 /C 2

(17)

F = despejando el producto de las cargas:

q 1 q2 = sustituyendo los valores que marca el problema: q1 q2 =

La ecuaci´on (14) y la ecuaci´on (17) forman un sistema de ecuaciones, despejando q2 de la primera y sustituyendo en la seguunda se tiene que: q1 (2 × 10−6 C − q1 ) = −3 × 10−12 C 2

(18)

q12 − 2 × 10−6 q1 C − 3 × 10−12 C 2 = 0

(19)

desarrollando: Resolvi´endolo se obtiene que: q1 = 3 × 10−12 C = 3µC

q1 = −1 × 10−6 C = −1µC

(20)

Debido a la simetr´ıa de las ecuaciones, el sistema no detecta qui´en es q1 y q2 , por lo cual estas son las soluciones. Esto responde ambos incisos y coincide con el resultado del texto. N

Problema. 9 .En la figura 1, las particulas tienen cargas q1 = −q2 = 100nC y q3 = −q4 = 200nC y una distancia a = 5.0cm. ¿Cu´ales son las componentes a) x y b) y de la fuerza electrost´atica neta soble la part´ıcula 3?

Figura 1:

Respuesta. Se calcular´a directamente la suma vectorial:   q3 q1 q2 q4 ~ ~ ~ ~ F3 = F31 + F32 + F34 = rˆ31 + 2 rˆ32 + 2 rˆ34 4π0 a2 a + a2 a 4

   q1 1 q1 (−1, −1) q3 q3 (0, −q1 ) + √ (q1 , q1 ) + (q3 , 0) (0, −1) − 2 √ − 2 (−1, 0) = a2 2a a 4π0 a2 2 2 2   1 1 q3 √ q1 + q3 , √ q1 − q1 (21) 2 4π0 a 2 2 2 2 Entonces, calculando cada componente por separado:    (200 × 10−9 C)(8.99 × 109 N · m2 /C 2 ) 1 −9 −9 √ (100 × 10 C) + (200 × 10 C) F3x = (5 × 10−2 m)2 2 2 q3 = 4π0



= 0.169N

(22)

Mientras que la otra componente:    1 (200 × 10−9 C)(8.99 × 109 N · m2 /C 2 ) −9 ( √ − 1)(100 × 10 C) = −0.46N F3y = (5 × 10−2 m)2 2 2 obteniendo as´ı ambas respuestas. Solo hay una diferencia de una mil´esima en la componente X, el autor del texto probablemente ha redondeado. N Problema. 19 .En la figura 2, la part´ıcula 1 de carga +q y la part´ıcula 2 de carga +4.00q se mantienen a una separaci´on de L = 9.00cm sobre un eje x. Si la part´ıcula 3 de carga q3 ha decidiDo colocarse de modo que las tres part´ıculas permanezcan en un lugar cuando se suelten, ¿cu´ales deben ser las coordenadas a) x y b) y de la part´ıcula 3 y c) la raz´on q3 /q?

Figura 2:

Respuesta. Pedimos, como sugiere el enunciado, que la fuerza neta sobre F3 sea cero, es decir, usando el principio de superposici´on: 0 = F3 = F31 + F32

(23)

utilizando la f´ormula (1) y notando que la carga deber´ıa ser negativa y estar en el intervalo (0, L) para mantener el equilibrio. :   1 q3 q 1 q3 q2 =0 (24) − 4π0 (x3 − x1 )2 (x3 − x2 )2 sustituyendo las cargas y eliminando la constante el´ectrica:

simplificando entre q3

q3 q 4q3 q − =0 2 (x3 − x1 ) (x3 − x2 )2

(25)

1 4 − =0 2 (x3 − x1 ) (x3 − x2 )2

(26)

5

Ahora sustituimos las distancias para despu´es despejar x3 : 4 1 − =0 2 x3 (x3 − 9)2

(27)

x23 + 6x3 − 27 = 0

(28)

cuyas soluciones son: x3 = −9cm

x3 = 3cm

(29)

la repuesta negativa no puede ser la correcta. La componente Y necesariamente es cero, pues el sistema inicial ya est´a en equilibrio en Y, pues las fuerzas atractivas y repulsivas no act´ uan en este eje por estar alineadas en el eje X. Para la u ´ltima parte, se puede usar que, la fuerza neta sobre F2 tambi´en es cero, pues as´ı lo dicta el problema, entonces, usando la f´ormula (1): 0 = F2 = F21 + F23 1 4π0



(30) 

q2 q 1 q2 q3 =0 − 2 (x2 − x1 ) (x3 − x2 )2 q q3 − =0 2 (x2 − x1 ) (x3 − x2 )2 sustituyendo los valores de la distancia y despejando el cociente indicado: 36 q3 = = 0.4444 q 81

(31) (32)

(33)

Lo cual coincide con las respuestas del texto. N Problema. 25 .La magnitud de la fuerza electrost´atica entre dos iones id´enticos que est´ an −10 −9 separados una distancia de 5.0 × 10 m es 3.7 × 10 N . a) ¿Cu´al es la carga de cada i´on? b) ¿Cu´antos electrones est´an ausentes en cada i´on (lo que da al i´on su desequilibrio de carga)? Respuesta. Con la fuerza y una distancia para calcular cargas, se sugiere utilizar la f´ormula (6) pero usando q1 = q2 = q, ya que los iones son id´enticos. Entonces |q||q| q2 = K (34) r2 r2 despejando q y tomando la parte positiva (ya que el enunciado indica una ausencia de electrones), se tiene que: r F q=r (35) K al sustituir obtenemos: s 3.7 × 10−9 N q = (50 × 10−10 m) × = 3.2 × 10−18 C (36) 9 2 2 8.99 × 10 N · m /C F =K

el resultado no coincide con el del libro, probablemente el autor obtuvo la respuesta 32 × 10−19 C y no la transcribi´o correctamente. La cantidad de electrones seg´ un la f´ormula (8), es: q n= (37) e 6

al sustituir obtenemos: n=

3.2 × 10−18 C = 20 1.6 × 10−19 C

(38)

cada ion perdi´o 20 electrones. N

Problema. 29 .La atm´osfera de la Tierra es constantemente bombardeada por protones de rayos c´osmicos que se originan en alg´ un lugar del espacio. Si todos estos protones pasaran por la atm´osfera, cada metro cuadrado de la superficie terrestre recibir´ıa protones a un ritmo promedio de 1500 protones por segundo ¿Cu´al ser´ıa la corriente el´ectrica en la superficie total del planeta? Respuesta. El total de protones que entran a la Tierra en un segundo es:    protones/sm2 m2 pero cada prot´on tiene 1.602 × 10−19 C entonces la corriente es:    
proton C 3 2 −19 i = 1500 4π(6371 × 10 m) 1.602 × 10 = 0.1224A sm2 proton

(39)

(40)

lo cual coincide con la respuesta. N

Problema. 45 .Un neutron est´a formado por un quark de carga +2e/3 arriba y dos quarks abajo, cada uno con carga −e/3. Si suponemos que los quarks abajo est´an a 2.6 × 10−15 m de separaci´on dentro del neutr´on, ¿cu´al es la magnitud de la fuerza electrost´atica entre ellos? Respuesta. Se tienen todos los datos para aplicar directamente la f´ormula (6): F =

−19 2 1 e2 ) 1 |q1 ||q2 | 9 2 2 (1.6 × 10 = = (8.99 × 10 N · m /C ) 2 2 −15 4π0 r 4π0 9r 9(2.6 × 10 )2

= 3.78N

(41)

La respuesta es dos cent´esimas m´as grande, lo m´as probable es que el autor haya redondeado la constante el´ectrica. N

Problema. 49 .Sabemos que la carga negativa en el electr´on y la carga positiva en el prot´on son iguales. Suponga, sin embargo, que estas magnitudes difieren entre s´ı en 0.00010 %. ¿Con qu´e fuerza se repeler´ıan mutuamente dos monedas de cobre, puestas a 1.0m una de otra?(Sugerencia: un ´atomo neutro de cobre contiene 29 protones y 29 electrones.) ¿Qu´e concluye usted? Respuesta. Si difieren en 0.00010 %, con una regla de tres se puede calcular que cada par prot´on electr´on tiene una carga de: e 100 % = x 0.00010 %

(42)

q = 10−6 e

(43)

7

entonces en cada ´atomo tiene una carga de: q 0 = 29 × 10−6 e

(44)

multiplicando por el n´ umero de ´atomos en la moneda obtenemos la carga total de la moneda: Q = (3 × 1022 )q 0

(45)

Ahora podemos calcular la fuerza de repulsi´on entre ellas con la f´ormula (6): F =

22 −6 −19 1 Q·Q C))2 9 2 2 ((3 × 10 )(29 × 10 )(1.6 × 10 = (8.99 × 10 N · m /C ) 4π0 r2 (1m)2

= 1.74 × 108 N

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en el texto se omiten las cent´esimas. Lo impresionante es que, una variaci´on extremadamente peque˜ na entre las cargas de las part´ıculas podr´ıa producir fuerzas extremadamente grandes, esto debido a la gran cantidad de ´atomos que hay en cualquier objeto cotidiano. N

Problema. 63 .Cargas puntuiales de +6.0µC y −4.0µC se colocan sobre un eje x, en x = 8.0cm y x = 16m, respectivamente, ¿Qu´e carga debe colocarse en x = 24m para que cualquier carga colocada en el origen no experimente fuesrza electrost´atica neta? Respuesta. Designamos por Q a una carga de prueba en el origen, q1 y q2 las cargas del enunciado respectivamente, y q la carga que necesitamos encontrar en el problema. Calculamos la fuerza neta sobre Q y la suponemos cero, como pide el reactivo:   Q q1 q2 q 0 = FQ = FQq1 + FQq2 + FQq = + + (47) 4π0 d21 d22 d2 despejando q obtenemos: 2



q = −d

q2 q1 + d21 d22

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sustituyendo en la ecuaci´on anterior: q = −(24m)

2



6µC −4µC + 2 (8m) (12m)2

 = −45µC

lo cual coincide erfectamente con el resultado del texto. N

Bibliograf´ıa [1] Fundamentos de Fisica. H. Resnck. Editorial Patria 2009 [2]Electricidad y magnet´ısmo. E. Purcell. Editorial Revert´e 1994

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