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• Mayela Borja

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UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO División: Ciencias de la Salud TAREA 5 Materia: Física

08/09/18

Temas Módulo de Young Densidad y peso específico, Presión Principio de Pascal, Principio de Arquímedes Elasticidad (módulo de Young) Ejemplo: Un alambre de 3 m de longitud y sección transversal de 0.06 cm 2, se alarga 0.12 cm cuando se le suspende un peso de 480 N. Encuentre el esfuerzo sobre el alambre, la deformación unitaria resultante y el valor del módulo de Young para el material del alambre Solución Información: L0 = 3 m; A = 0.06 cm2 = 6X10-6 m2; L = 0.12 cm = 1.2X10-3 m w = F = 480 N Cálculo del esfuerzo,  = F/A  = 480 N/6X10-6 m2  = 8X107 N/m2 Calculo de la deformación lineal,  = L/L0  = 1.2X10-3 m/3 m  = 4X10-4 Cálculo del módulo elástico lineal (módulo de Young), Y = / Y = (8X107 N/m2)/4X10-4 Y = 2X1011 N/m2 Opción Cálculo del módulo elástico lineal (módulo de Young), Y = FL 0/AL Y = [(480 N)(3 m)]/[(6X10-6 m2)(1.2X10-3 m)] Y = 1 440 N/7.2X10-9 m2 Y = 2X1011 N/m2 = 200 GPa Ejemplo: ¿Qué fuerza se necesita para estirar en un 0.1 %, una barra de acero de 1.5 cm de diámetro? (para el acero Y = 18.5X10 11 dina/cm2) Solución Información: L = (0.1 %)L0 = (0.001)L0; d = 1.5 cm; Y = 18.5X1011 dina/cm2

Cálculo del área, A = d2/4 A = [(3.14)(1.5 cm)2]/4 A = 1.76625 cm2 Cálculo de la fuerza, Y = FL0/AL; YAL/L0 = F {[18.5X1011 dina/cm2][1.76625 cm2][L0(0.001)]}/L0 = F 3.2675X109 dina = F = 3.2675 Gdina Ejemplo: Un alambre de metal tiene una longitud de 3 m y un diámetro de 0.05 cm. Al aplicarle una fuerza de tensión de 49 N, se alarga 0.3 cm. Calcular su módulo elástico Solución Información: L0 = 3 m; d = 0.05 cm = 5X10-4 m; F = 49 N L = 0.3 cm = 3X10-3 m Cálculo del área, A = d2/4 A = [(3.14)( 5X10-4 m)2]/4 A = 1.9625X10-7 m2 Cálculo del módulo elástico (módulo de Young), Y = FL 0/AL Y = [(49 N)(3 m)]/[(1.9625X10-7 m2)(3X10-3m)] Y = [49 N]/[1.9625X10-10 m2] Y = 2.4968X1011 N/m2 = 249.68X109 N/m2 = 2.4968X1011 Pa = 249.68 GPa Densidad y peso específico Ejemplo: Hallar la densidad absoluta y la densidad relativa del alcohol etílico, sabiendo que 63.3 g de esta sustancia ocupan un volumen de 80 cm 3 Solución Información: m = 63.3 g = 6.33X10-2 kg; 80 cm3 = 8X10-5 m3 Cálculo de la densidad absoluta,  = m/V  = 63.3 g/80 cm3 = 0.79125 g/cm3  = 6.33X10-2 kg/8X10-5 m3 = 791.25 kg/m3 Cálculo de la densidad relativa o gravedad específica,  = (alcohol)/(agua)  = (0.79125 g/cm3)/(1g/cm3)  = 0.79125  = (791.25 kg/m3)/(1 000 kg/m3)  = 0.79125

Ejemplo: La masa de un litro de leche entera es de 1.032 kg. La grasa que contiene, cuando está libre, posee una densidad de 865 kg/m 3 y representa un 4 % en volumen de la leche. ¿Cuál es el peso específico de la leche desgrasada? Solución Información: 1 litro = 1 X10-3 m3; mE = 1.032 kg; G = 865 kg/m3 Porcentaje de grasa 4 % La grasa se cuantifica en volumen Cálculo del porcentaje de grasa,

(1X10-3 m3)(4/100) = 4X10-5 m3 Cálculo de la masa de la grasa,  = mG/V; V = mG (865 kg/m3)(4X10-5 m3) = mG 3.46X10-2 kg = mG Cálculo de la masa de leche desgrasada, mD = mE – mG 1.032 kg – 3.46X10-2 kg = 0.9974 kg Cálculo del volumen de leche desgrasada, VD = VE – VG 1X10-3 m3 – 4X10-5 m3 = 9.6X10-4 m3 (0.96 litro) Cálculo de la densidad absoluta de la leche desgrasada, D = mD/VD D = 0.9974 kg/9.6X10-4 m3 D = 1 038.95 kg/m3 = 1.03895 g/cm3 Cálculo del peso específico, DD = Dg DD = (1 038.95 kg/m3)(9.8 m/s2) DD = 10 181.71 N/m3 En otras unidades DD = (1.03895 g/cm3)(980 cm/s2) DD = 1 018.171 dina/cm3 Ejemplo: Una botella tiene 31.2 g de masa cuando está vacía, 98.44 g cuando se llena con agua. Cuando se llena con un aceite, la masa es de 88.78 g. ¿cuál es la gravedad específica del aceite? Solución Información: m(vacía) = 31.2 g; m(con agua) = 98.44 g; m(con aceite) = 88.78 g Cálculo de la masa del agua dentro de la botella, Magua = 98.44 g – 31.2 g = 67.24 g Cálculo del volumen de agua,  = m/V; V = m/ Vagua = 67.24 g/(1 g/cm3) Vagua = 67.24 cm3, volumen interior del recipiente (capacidad) Cálculo de la masa de aceite, maceite = 88.78 g – 31.2 g = 57.58 g Cálculo la densidad del aceite,  = m/V aceite = 57.58 g/67.24 cm3 aceite = 0.856 g/cm3 Cálculo de la densidad relativa o gravedad específica del aceite, aceite = (aceite)/(agua) aceite = 0.856 g/cm3/1 g/cm3 aceite = 0.856 Presión Ejemplo: ¿Qué presión manométrica de suministro necesita una manguera anti – incendio que debe lanzar agua a una altura de 20 m? Solución Información: h = 20 m; g = 9.8 m/s2;  = 1 000 kg/m3 Cálculo de la presión manométrica (presión hidrostática), P = gh P = (1 000 kg/m3)(9.8 m/s2)(20 m)

P = 196 000 N/m2 = 196 kPa = 1.96X105 N/m2 Ejemplo: ¿A qué altura estaría el nivel en un barómetro de alcohol a la presión atmosférica normal? (mercurio  = 13 600 kg/m3; alcohol  = 790 kg/m3) Solución Información: mercurio = 13 600 kg/m3; alcohol = 790 kg/m3; g = 9.8 m/s2 Presión normal (nivel del mar), P = 1.013X10 5 N/m2 (Pa) P = P’; P = gh; P’ =’gh’, (alcohol) gh = ’gh’ (mercurio); gh = ’gh’ h = ’h’ Altura de la columna de mercurio para la presión normal, h’ = 0.76 m Cálculo de la altura de alcohol, h = ’h’/ h = (13 600 kg/m3)(0.76 m)/790 kg/m3 h = 13.08 m Opción Presión atmosférica normal, 1.013X105 N/m2 (Pa) Cálculo de la altura del alcohol, P = gh; P/g = h 1.013X105 N/m2/(790 kg/m3)(9.8 m/s2) = h 1.013X105 N/m2/7 742 N/ kg/m3 = h 13.08 m= h Ejemplo: ¿Cuál es la fuerza que soporta un globo de 45 cm de radio sumergido en un lago a una profundidad de 15.24 m? Solución Información: r = 45 cm; h = 15.24 m;  = 1 000 kg/m3; g = 9.8 m/s2 Cálculo del área externa del globo, A = 4r2 A = 4(3.14)(0.45 m)2 A = 2.5434 m2 Cálculo de la presión, P = gh P = (1 000 kg/m3)(9.8 m/s2)(15.24 m) P = 149 352 N/m2 Cálculo de la fuerza, P = F/A; PA = F (149 352 N/m2)(2.5434 m2) = F 379 861.87 N = F Principio de Pascal Ejemplo: Un pistón que sostiene una piedra comprime un gas en un tanque. El pistón y la piedra tienen una masa de 20 kg. El área de la sección transversal del pistón mide 8 cm2. ¿Cuál es la fuerza de escape del gas por una válvula de 1.5 cm2? Solución Información: m1 = 20 kg; A1 = 8 cm2; A2 = 1.5 cm2; g = 9.8 m/s2 Cálculo de la fuerza (1), F1 = w1 = m1g F1 = (20 kg)(9.8 m/s2) F1 = 196 N

Cálculo de la fuerza (2), F1/A1 = F2/A2; F1A2/A1 = F2 (196 N)(1.5 cm2)/8 cm2 = F2 294 N/8 = F2 36.75 = F2 Ejemplo: Según el principio de Pascal un recipiente cilíndrico, se romperá llenando de aceite ( = 698 kg/m3) un tubo, adaptado a la tapa del barril, hasta una altura de 37.56 m. ¿Cuál es el área del depósito si la resistencia de sus paredes es de 4.53X104 N? Solución Información:  = 698 kg/m3; g = 9.8 m/s2; h = 37.56 m; F = 4.53X104 N Cálculo de la presión (hidrostática), P = gh P = (698 kg/m3)(9.8 m/s2)(37.56 m) P = 256 925.424 N/m2 Cálculo del área, P = F/A; A = F/P A = 4.53X104 N/256 925.424 N/m2 A = 0.1763 m2 Ejemplo: Un dispositivo consta de dos ramas, la izquierda tiene un pistón de 600 kg, con un área de 800 cm2, en la rama derecha el pistón tiene área de 25 cm2 y su peso es mínimo. El aparato se llena con una solución (  = 780 kg/m3), hasta elevarse 8 m en la rama derecha. Encontrar la fuerza requerida en la rama derecha para mantener el equilibrio 25 cm2

600 kg 800 cm2

8m

Solución Información: mI = 600 kg; AI = 800 cm2 = 0.08 m2; AD = 25 cm2 = 2.5X10-3 m2  = 780 kg/m3; g = 9.8 m/s2 Cálculo de la presión en la rama izquierda, P IZQ = F/A; F = w = mg F = (600 kg)(9.8 m/s2) = 5 880 N PIZQ = 5 880 N/0.08 m2 PIZQ = 73 500 N/m2 Cálculo de la fuerza requerida en la rama derecha, PDER = Presión manométrica del aceite + la presión del pistón, P DER = gh + F/A 73 500 N/m2 = (780 kg/m3)(9.8 m/s2)(8 m) + F/2.5X10-3 m2 73 500 N/m2 = 61 152 N/m2 + F/2.5X10-3 m2 73 500 N/m2 – 61 152 N/m2 = F/2.5X10-3 m2 12 348 N/m2 = F/2.5X10-3 m2;

12 348 N/m2(2.5X10-3 m2) = F 30.87 N = F Principio de Arquímedes Ejemplo: Una estatua antigua de 85 kg, está sumergida a poca profundidad, en un lago, si su volumen es de 7.5X104 cm3. Calcular la fuerza necesaria para ponerla a flote Solución Información: m = 85 kg; V = 7.5X104 cm3 = 7.5X10-2 m3; g = 9.8 m/s2  = 1 000 kg/m3 Cálculo del peso de la estatua en el aire, w = mg w = (85 kg)(9.8 m/s2) w = 833 N El volumen de líquido desalojado es igual al volumen del objeto Cálculo de la fuerza necesaria, w = F + FF; w – FF = F; FF = wagua desalojada = Vg 833 N – (1 000 kg/m3)(7.5X10-2 m3)(9.8 m/s2) = F 833 N – 735 N = F 98 N = F Ejemplo: Un tanque de acero con un volumen de 1.543X10 -3 m3, parcialmente lleno con agua, se sostiene por medio de una cadena que registra una tensión de 1 940.6 N. Determinar la tensión en la cadena si el tanque se sumerge en agua, sin derramar su contenido Solución Información: VTANQUE = 1.543X10-3 m3; T = 1 940.6 N;  = 1 000 kg/m3 g = 9.8 m/s2 T + FF – w = 0. La tensión “T” y la fuerza de flotación “FF” son fuerzas verticales con sentido positivo, mientras el peso “w” es una fuerza vertical con sentido negativo, en equilibrio Cálculo de la tensión, Fuera del agua, T – w = 0; T = w, por tanto, w = 1 940.6 N Dentro del agua, T + FF – w = 0; T = w – FF; FF = wagua desalojada = Vg T = w – Vg El volumen de agua desalojado es exactamente igual al volumen del cuerpo que ingresa a ella, T = 1 940.6 N – (1 000 kg/m3)(9.8 m/s2)(1.543X10-3 m3) T = 1 940.6 N – 15.1214 N T = 1 925.47 N Ejemplo: Calcular el volumen de helio ( = 0.179 kg/m3) necesario para elevar un globo aerostático de 870 kg, incluida su carga. Aire ( = 1.29 kg/m3) Solución Información: He = 0.179 kg/m3; m 870 kg; AIRE = 1.29 kg/m3; 9.8 m/s2

Principio de Arquímedes. “El aire empuja a los cuerpos, de abajo hacia arriba, con una fuerza equivalente al peso del aire desalojado”. Este principio no es exclusivo del agua o de los líquidos, funciona para todos los fluidos El volumen del aire desalojado será exactamente el volumen de helio dentro del globo (no se toma en cuenta el grosor del material de construcción del globo), VA = VHe La fuerza de flotación es el peso del aire w A = mAg La masa del aire AVA = mA wA = AVAg Peso del helio; wHe = mHeg He = mHe/VHe wHe = HeVHeg La fuerza de flotación debe ser suficiente para levantar el helio contenido en el globo más el globo y su carga FF = wHe + wC FF = wA wA = wHe + wC AVAg = HeVHeg + mg, se divide entre “g” AVAg/g = HeVHeg/g + mg/g AVA = HeVHe + m (dado que, VA = VHe, no tiene caso hacer la distinción) AV = HeV + m AV – HeV = m V(A – He) = m V = m/(A – He) V = 870 kg/(1.29 kg/m3 – 0.179 kg/m3) V = 870 kg/1.111 kg/m3) V = 783.078 m3 = 783 078 litro Contestar 5.1 Definir los términos: elasticidad, esfuerzo y deformación 5.2 Definir módulo elástico 5.3 ¿Cuál es la diferencia entre la densidad absoluta y la densidad relativa? 5.4 ¿Cuál es la diferencia entre la densidad absoluta y el peso específico? 5.5 Definir: presión hidrostática, presión manométrica, presión atmosférica y presión absoluta o presión total 5.6 ¿A qué se llama presión normal o presión estándar? 5.7 ¿Qué experimento diseñó Torricelli para medir la presión atmosférica? 5.8 ¿Qué nombre recibe el instrumento ideado por Torricelli para medir la presión atmosférica? 5.9 La presión atmosférica varía con la altura sobre el nivel del mar ¿Por qué?

5.10 ¿Por qué cuando un avión en vuelo sufre una perforación en el fuselaje, el aire sale en lugar de entrar? 5.11 ¿Por qué los recipientes de agua, de refresco, gas LP, etc. tienden a ser cilíndricos o esféricos? 5.12 ¿Cuál es la equivalencia entre las unidades de presión: a) Pa y atm; b) N/m2 y mmHg; c) atm y lb/in2; d) Psi y Pa; e) N/m2 y torr? 5.13 Localizar ejemplos del principio de Pascal 5.14 ¿Cómo se aplica el principio de Arquímedes en el caso de un barco, construido de hierro y con gran carga, para que pueda flotar? Ejercicios 5-1. El hueso del fémur en la pierna del ser humano, en su parte más angosta, se parece a un cilindro hueco con radio exterior aproximado de 1.1 cm y radio interior equivalente a la mitad del anterior. Suponiendo que la resistencia del hueso a la compresión es 170 MPa, ¿cuánta fuerza se requiere para romperlo? 5-2. El colágeno tiene resistencia última a la tensión igual a 60 MPa. ¿Qué carga máxima puede sostener una fibra cuya área transversal es de 1X10 -6 m2? Respuesta: F = 60 N 5-3. ¿Qué esfuerzo se necesita para producir una elongación de 0.02 % en un alambre de aluminio? Y = 68.9 GPa. 5-4. Un tubo de acero de 4 m de longitud sirve para soportar un piso combado. El diámetro interior del tubo es de 8 cm y el exterior de 10 cm. Un aparato sensible a la deformación indica que la longitud del tubo disminuyó 0.01 cm. ¿Cuál es la magnitud de la carga que sostiene el tubo? (Y = 2.1X10 11 N/m2) Respuesta: F = 14 836.5 N 5-5. Una columna de acero sólido es de forma cilíndrica con 3 m de altura y 10 cm de diámetro. Calcular la disminución de altura que experimenta al soportar una carga de 80 toneladas (Y = 225.4 GPa) 5-6. Una masa de 500 kg se ha colgado del extremo de un alambre de 2 m y 1 mm de diámetro. Si el alambre se estira 1.4 cm. ¿Cuál es el esfuerzo aplicado? ¿Cuál es la deformación que se consigue? ¿Cuál es el valor del módulo de Young para este alambre? Respuesta:  = 6 242 038 217 N;  = 7X10-3; Y = 8.917X1011 N/m2(Pa) 5-7. Una viga maestra de acero de 4.9 m y con área de sección de 64.5 cm 2, sostiene una carga de 20 toneladas. ¿Cuál es la disminución resultante en la longitud de la viga? (Y = 1.825X107 N/m2)

5-8. Un cartílago humano fresco, con área de sección transversal igual a 1 cm 2, se estudia en el laboratorio. Se encuentra que cuando se carga con 100 N, su longitud aumenta 4.2 %. Determine su módulo de elasticidad Respuesta: Y = 23 809 523.81 N/m2(Pa) 5-9. A 20 0C, ¿aproximadamente qué masa de aire está presente en una habitación de 8 m de longitud, 6 m de anchura y 2.8 m de altura? (el peso específico del aire a 20 0C es 11.76 N/m3) 5-10. Una esfera sólida hecha de cierto material tiene un radio de 2 cm y una masa de 81 g. ¿Cuál es su densidad absoluta? ¿Cuál es su densidad relativa? Respuesta:  = 2 418.39 kg/m3;  = 2.41839 5-11. Suponiendo que la densidad de un hombre típico es de 1 005 kg/m 3. ¿Cuál es el volumen que ocupa una persona de 70 kg? 5-12. La densidad dentro de una nube de neutrones es aproximadamente 1X1019 kg/m3. ¿Cuál sería el diámetro de la Tierra si ésta estuviera comprimida en esa densidad? (Suponer la Tierra como una esfera perfecta, cuya masa es 5.98X1024 kg) Respuesta: D = 104.546 m 5-13. Un matraz con capacidad de 100 cm3 y masa de 58.71 g, se llena completamente de una solución desconocida y registra una masa total de 253.63 g. ¿Cuál es la densidad relativa de la solución? ¿Cuál es su peso específico? 5-14. Una viga de roble de 58 kg tiene 4 m de longitud, 20 cm de anchura y un espesor de 10 cm, encontrar: a) la densidad absoluta y b) la densidad relativa. c) ¿Flota el roble en el agua? d) ¿Por qué? Respuesta: a)  = 725 kg/m3; b)  = 0.725; c) si flota 5-15. Las estrellas blancas enanas son muy pequeñas y muy masivas. Un trozo de 6.45 cm3 de esas estrellas, traído a la Tierra pesaría más o menos 9 800 N. Determine su densidad en unidades del SI 5-16. ¿Qué presión mínima se requiere para llevar la sangre desde el corazón hasta la parte superior de la cabeza, si la distancia vertical es de 68.6 cm? Suponer para la sangre  = 1 040 kg/m3 y que la fricción es despreciable Respuesta: P = 6 991.712 N/m2 5-17. ¿Cuál es la presión, medida en atmósfera, a 100 m de profundidad en el océano? ¿Qué fuerza se ejerce sobre una esfera de investigación de 12 m 2 de área? Densidad del agua de mar = 1 030 kg/m 3 5-18. En una prueba pulmonar el paciente sopla, lo más fuerte que pueda, en una rama de manómetro de tubo abierto, donde un resorte simula un contenido de mercurio. Al impuso del paciente el indicador se eleva 6 cm. ¿Cuál es la presión mostrada al soplar? Exprese la respuesta en pascal (Pa) y en atmósfera (atm)

Respuesta: P = 7 996.8 Pa; P = 0.0789 atm 5-19. ¿Cuál es la diferencia de presión sanguínea entre la coronilla y la planta de los pies, en una persona de 1.70 m de estatura, cuando está de pie? ( = 1.05X103 N/m3) 5-20. Una persona aspira de un manómetro a presión estándar, de tal manera que se registra una disminución equivalente a 74 mm de mercurio. ¿Cuál es la presión en la boca del sujeto al hacer el experimento? Exprese la respuesta en cmHg y en N/m2 Respuesta: P = 7.4 cmHg; P = 9 863.42 N/m2 5-21. Cuando el cuñado de Pascal ascendió a la cima del Mont Puy-de-Dôme, de 3 200 ft de altura, el barómetro que portaba indicó una caída aproximada de 3 in de mercurio. ¿Cuál fue la pérdida correspondiente de presión? 5-22. ¿Qué presión hidrostática y qué presión absoluta percibe un nadador sumergido 20 m bajo la superficie del mar? ( = 1.025X103 kg/m3) Respuesta: PH = 200 900 N/m2; PABS = 302 200 N/m2 5-23. Una prensa hidráulica está diseñada para mantener una fuerza de salida de 1 440 N, cuando se aplique una fuerza de entrada de 40 N, si el cilindro de salida tiene un diámetro de 15 cm, ¿cuál es el diámetro del cilindro de entrada? 5-24. En su trabajo un odontólogo requiere de un sillón que se eleva o desciende, según sus necesidades. Si el sillón que utiliza tiene un pedal que empuja un pistón de área igual a 0.8 cm2 y el pistón elevador tiene un diámetro de 12 cm para levantar 185 kg (sillón y paciente). ¿Qué fuerza debe imprimir al pedal para elevarlos? Respuesta: FE = 12.83 N 5-25. En una máquina hidráulica la razón del pistón grande al pequeño es de 18 a 1. Si la fuerza de entrada es de 250 N. Encuentre la fuerza de salida 5-26. Un bloque de concreto de 870 kg está sumergido en un estanque con agua. ¿Qué fuerza se necesita para llevarlo a la superficie? ¿Qué fuerza se requiere para sacarlo completamente del agua? La densidad absoluta del concreto es 2.3X103 kg/m3 Respuesta: F = 4 821.6 N; F’ = 8 526 N 5-27. Un trozo de madera de 12 cm por 9 cm por 6 cm se pone a flotar en agua, se le une una pieza metálica de 1.8 kg y con una densidad absoluta de 3 100 kg/m3. Ambos elementos se hunden unidos y dentro del líquido registran 0.75 kg. Encontrar la densidad absoluta de la madera 5-28. Un cubo de madera de 5 cm de lado flota en el agua con tres cuartos de la madera sumergida. ¿Cuál es el peso del cubo? ¿Cuál es la masa del cubo? Respuesta: w = 0.91875 N; m = 0.09375 kg

5-29. Un globo meteorológico esférico, vacío, con 5 kg de masa, tiene 2.879 m de radio cuando está totalmente inflado con helio. Debe llevar una pequeña carga de instrumentos de 10 kg. Las densidades del aire y del helio son, respectivamente, 1.16 kg/m3 y 0.160 kg/m3. ¿Podrá despegar el globo? Argumentar

SOLUCIONES Ejemplo: Un globo aerostático permanece en reposo a una altura de 76 m. Una persona que viaja dentro de él, lanza un proyectil con un ángulo de 40 0 sobre el horizonte y con velocidad de 12 m/s, ¿Cuál es el alcance del proyectil? ¿Cuánto tiempo permanece en el aire? y ¿Con qué velocidad cae al suelo? Solución Alternativa Información: h0 = 76 m;  = 400; v0 = 12 m/s. El problema se divide en dos (primera parte, al subir el proyectil. Segunda parte, al bajar) vfy = 0 m/s (punto más elevado de la curva) 12 m/s

h’

400

76 m

Altura máxima (H)

Cálculo de las componentes de la velocidad inicial vx = v0cos  vx = (12 m/s)cos 400 vx = (12 m/s)(0.7660) vx = 9.192 m/s v0y = v0sen  v0y = (12 m/s)sen 400 v0y = (12 m/s)(0.6427) v0y = 7.7124 m/s

Cálculo de la altura (h’), vfy2 = v0y2 + 2gh; (vfy2 – v0y2)/2g = h’ ↑ [(0 m/s)2 – (7.7124 m/s)2]/2(– 9.8 m/s2) = h’ [0 m2/s2 – 59.4811 m2/s2]/– 19.6 m/s2 = h’ – 59.4811 m2/s2/– 19.6 m/s2 = h’ 3.03475 m = h’ Cálculo de la altura máxima, H = h0 + h’ H = 76 m + 3.03475 m H = 79.03475 m Cálculo del tiempo al subir, vfy = v0y + gtS; (vfy – v0y)/g = tS ↑ (0 m/s – 7.7124 m/s)/– 9.8 m/s2 = tS – 7.7124 m/s/– 9.8 m/s2 = tS 0.7869 s = tS

v0y = 0 m/s

79.03475 m

Cálculo del tiempo al bajar, H = v0ytB + ½ gtB2↓ 79.03475 m = (0 m/s)tB + ½ (9.8 m/s2)tB2 79.03475 m = ½ (9.8 m/s2)tB2 2(79.03475 m)/9.8 m/s2 = tB2 158.0695 m/9.8 m/s2 = tB2 16.12954 s2 = tB2 √[16.12954 s2] = tB 4.0161 s = tB Cálculo del tiempo total de vuelo, tT = tS + tB tT = 0.7869 s + 4.0161 s tT = 4.803 s

Cálculo del alcance del proyectil, vx = x/tT; vxtT = x (9.192 m/s)(4.8 s) = x 44.1216 m = x Cálculo de la velocidad de caída del proyectil, v fy = v0y + gtB ↓ vfy = 0 m/s + (9.8 m/s2)(4.0161 s) vfy = 0 m/s + 39.3568 m/s vfy = 39.3568 m/s (Por el cambio de sentido en el movimiento inicial) vfy = – 39.35778 m/s Cálculo de la velocidad de caída del proyectil (2 a forma), vfy2 = v0y2 + 2gH ↓ vfy2 = (0 m/s)2 + 2(9.8 m/s2)(79.03475 m) vfy2 = 0 m2/s2 + 1 5490811 m2/s2 vfy2 = 1 549.0811 m2/s2 vfy = √[1 549.0811 m2/s2] vfy = 39.3568 m/s (Por el cambio de sentido en el movimiento inicial) vfy = – 39.3583 m/s

NOTA: las diferencias se deben a redondeos, aproximaciones y/o cortes en las cantidades Cálculo de la velocidad resultante (al tocar el suelo), v R = [vx2 + vfy2] vR = [(9.192 m/s)2 + (– 39.35778 m/s)2] vR = [(84.4928 m2/s2) + (1 549.034847 m2/s2)] vR = [1 633.527647 m2/s2] vR = 40.4168 m/s Cálculo de la dirección de la velocidad,  = [vY/vX] tan-1  = [(– 39.35778 m/s)/(9.192 m/s)] tan-1  = [– 4.2817] tan-1  = – 76.850 IV cuadrante,  = 3600 + ;  = 3600 + (– 76.850)  = 283.150 Cálculo de la velocidad resultante (al tocar el suelo, con el resultado de la segunda forma), vR = [vx2 + vfy2] vR = [(9.192 m/s)2 + (– 39.3583 m/s)2] vR = [(84.4928 m2/s2) + (1 549.075779 m2/s2)]

vR = [1 633.568579 m2/s2] vR = 40.4174 m/s Cálculo de la dirección de la velocidad,  = [vY/vX] tan-1  = [(– 39.3583 m/s)/(9.192 m/s)] tan-1  = [– 4.2817] tan-1  = – 76.850 IV cuadrante,  = 3600 + ;  = 3600 + (– 76.850)  = 283.150 Solución Alternativa (2) Información: h0 = 76 m;  = 400; v0 = 12 m/s. El problema se divide en dos partes. La primera como un vuelo completo a nivel del punto de salida. La segunda es el complemento de la caída hasta llegar al suelo) vfy = 0 m/s (punto más elevado de la curva) 12 m/s 400

76 m

h’ Nivel cero

Altura máxima (H)

400

(1400)

Si la curva es simétrica, el tiempo que tarda en subir tarda en bajar y la velocidad de salida, es la velocidad de regreso Se considera solo el movimiento en dirección vertical

Cálculo de la componente vertical de la velocidad inicial v0y = v0sen  v0y = (12 m/s)sen 400 v0y = (12 m/s)(0.6427) v0y = 7.7124 m/s Cálculo de la altura (h’), vfy2 = v0y2 + 2gh; (vfy2 – v0y2)/2g = h’ ↑ [(0 m/s)2 – (7.7124 m/s)2]/2(– 9.8 m/s2) = h’ [0 m2/s2 – 59.4811 m2/s2]/– 19.6 m/s2 = h’ – 59.4811 m2/s2/– 19.6 m/s2 = h’ 3.03475 m = h’ Cálculo del tiempo al subir, para h’, vfy = v0y + gts; (vfy – v0y)/g = ts ↑ (0 m/s – 7.7124 m/s)/– 9.8 m/s2 = ts – 7.7124 m/s/– 9.8 m/s2 = ts 0.7869 s = ts Cálculo del tiempo al bajar, para h’, h = h’ + v 0yt + ½ gt2 ↓ h’ = 0 m (Nivel cero), voy = 0 m/s (parte del punto más alto) 3.03475 m = 0 m + (0 m/s)tb + ½ (9.8 m/s2)tb2 3.03475 m = ½ (9.8 m/s2)tb2 3.03475 m = (4.9 m/s2)tb2

3.03475 m/4.9 m/s2 = tb2 0.6193 s2 = tb2 √[0.6193 s2] = tb 0.7869 s = tb, SE JUSTIFICA, el tiempo que tarda en subir se tarda en bajar Cálculo del tiempo de vuelo, desde el punto de salida, hasta el regreso al mismo nivel t1 = ts + tb t1 = 0.7869 s + 0.7869 s t1 = 1.5738 s Cálculo de la velocidad vertical de regreso (a nivel), v fy2 = v0y2 + 2gh’ ↓ vfy = √[v0y2 + 2gh’], parte del punto más elevado v0y = 0 m/s, h’ = 3.03475 m vfy = √[(0 m/s)2 + 2(9.8 m/s2)(3.03475 m)] vfy = √[0 m2/s2 + 59.4811 m2/s2] vfy = √[59.4811 m2/s2] vfy = 7.712399 m/s ≈ 7.7124 m/s, SE JUSTIFICA, la velocidad vertical de salida es igual a la velocidad vertical de caída NOTAS: En este caso no se considera cambio de sentido en la velocidad, el movimiento es sólo de arriba hacia abajo La velocidad horizontal no se modifica EJERCICIO: Probar que: v0 = √[(vx)2 +( vfy)2] = 12 m/s Segunda parte v0y = 7.7124 m/s

76 m

No importa la trayectoria, se puede considerar como una caída libre Cálculo de la velocidad vertical al llegar al suelo, vfy2 = v0y2 + 2gh ↓ vfy = √[v0y2 + 2gh], parte del punto más elevado v0y = 0 m/s, h’ = 3.03475 m vfy = √[(7.7124 m/s)2 + 2(9.8 m/s2)(76 m)] vfy = √[59.4811 m2/s2 + 1 489.6 m2/s2] vfy = √[1 549.0811 m2/s2] vfy = 39.3583 m/s Cálculo de la componente horizontal del proyectil, v x = v0cos  vx = (12 m/s)cos 400 vx = (12 m/s)(0.7660) vx = 9.192 m/s Cálculo de la velocidad resultante (al tocar el suelo), v R = [vx2 + vfy2] vR = [(9.192 m/s)2 + (39.3583 m/s)2] vR = [(84.4928 m2/s2) + (1 549.075779 m2/s2)] vR = [1 633.568579 m2/s2] vR = 40.4174 m/s Cálculo de la dirección de la velocidad,  = [vY/vX] tan-1

 = [(39.3583 m/s)/(9.192 m/s)] tan-1  = [4.2817] tan-1  = 76.850 IV cuadrante,  = 3600 – ;  = 3600 – 76.850)  = 283.150 Cálculo del tiempo (2), vfy = v0y + gt2, (vfy – v0y)/g = t2 ↓ (39.3583 m/s – 7.7124 m/s)/9.8 m/s2 = t2 31.6459 m/s/9.8 m/s2 = t2 3.2291 s = t2 Cálculo del tiempo total de vuelo, tT = t1 + t2 tT = 1.5738 s + 3.2291 s tT = 4.80297 s ≈ 4.803 s Cálculo del alcance, vx = x/tT; vxtT = x (9.192 m/s)(4.803 s) = x 44.149 m = x

NOTA: las diferencias se deben a redondeos, aproximaciones y/o cortes en las cantidades

2-11. Superman llega de frente a una locomotora que va a 60 km/h y la detiene uniformemente hasta el reposo en 1/1 000 s, para salvar a Luisa Lane, amarrada a los rieles. Calcule la desaceleración en m/s 2. Si la separación entre Luisa Lane y las ruedas de la locomotora, en alto total, es de 10 cm. ¿A qué distancia de ella comenzó a detener el “hombre de acero” al tren? Respuesta: a = – 16 666 m/s2; S = 0.108333 m Solución t = 1/1 000 s = 1X10-3 s L.L. Sup. vf = 0 m/s

v0 = 60 km/h = 16.666 m/s

  LOCOMOTORA 10 cm = 0.1 m Cálculo de la aceleración, vf = v0 + at; (vf – v0)/t = a (0 m/s – 16.666 m/s)/1X10-3 s = a – 16.666 m/s/1X10-3 s = a – 16 666 m/s2 = a Cálculo del desplazamiento a partir del inicio del frenado S = S 0 + v0t + ½ at2 S = 0.1 m + (16.666 m/s)(1X10-3 s) + ½ (– 16 666 m/s2)(1X10-3 s)2 S = 0.1 m + (16.666 m/s)(1X10-3 s) + ½ (– 16 666 m/s2)(1X10-6 s2) S = 0.1 m + 0.016666 m/s + ½ (– 0.016666 m) S = 0.1 m + 0.016666 m/s – 8.333X10-3 m S = 0.108333 m

2-18. Se deja caer una pelota desde lo alto de un edificio, 1.5 s después se lanza, desde el mismo punto, otra pelota. ¿Qué velocidad debe darse a la segunda pelota para que alcance a la primera en 85 m? Solución Cálculo del tiempo de caída para la primera pelota (azul) h = h0 + v0t + ½ gt2 h0 = 0 m (no se informa de una altura inicial), v0 = 0 m/s (se deja caer) 85 m = 0 m + (0 m/s)t + ½ (9.8 m/s2)t2 85 m = ½ (9.8 m/s2)t2 85 m = (4.9 m/s2)t2 85 m/4.9 m/s2 = t2 17.3469 s2 = t2 √[17.3469 s2] = t 4.1649 s = t Cálculo del tiempo de caída para la segunda pelota (roja). La pelota roja sale 1.5 s después de la pelota azul, por tanto, su tiempo de movimiento es: t = t – t0 t = 4.1649 s – 1.5 s t = 2.6649 s La altura que debe recorrer la pelota roja es la misma que la de la pelota azul, (h = 85 m) Cálculo de la velocidad inicial para la pelota roja, h = h0 + v0t + ½ gt2 h0 = 0 m (no se informa de una altura inicial) 85 m = 0 m + v0(2.6649 s) + ½ (9.8 m/s2)(2.6649 s)2 85 m = v0(2.6649 s) + (4.9 m/s2)(7.10169 s2) 85 m = v0(2.6649 s) + 34.7982 m 85 m – 34.7982 m = v0(2.6649 s) 50.2018 m/2.6649 s = v0 18.838 m/s = v0