• Author / Uploaded
• Giancarlos Núñez Salinas

Citation preview

TRABAJO AUTONOMO REFLEXIVO 3 CALCULO DIFERENCIAL NIVEL PRINCIPIANTE TEMA: RAZON DE CAMBIO 1. El área de un círculo decrece a razón de

2 π cm 2 /seg . ¿Con qué

razón decrece el radio del círculo cuando su área es 2. La altura de un cono decrece aumenta

75 π cm2 ?

3 cm/seg ., mientras su radio

2 cm/seg . Cuando el radio mide

4 cm

y la altura

6 cm . ¿Está aumentando o disminuyendo el volumen del cono?, ¿Con qué razón? TEMA: VALORES MAXIMOS Y MINIMOS Determinar los intervalos de crecimiento, los extremos relativos y bosqueje la gráfica de las siguientes funciones (criterio de la primera derivada) a) b)

f ( x )=x 3 +2 x 2−4 x +2 f ( x )=

x 2 1+ x

Para cada una de las siguientes funciones, hallar el máximo y el mínimo absoluto en los intervalos que se indica a)

f ( x )=x 3 +3 x2 −24 x−10 en[0,4 ]

b)

f ( x )=

−4|x| x ∈ [ −4,2 ] 1+ x 2

TEMA: CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION Estudiar la concavidad y focalizar los puntos de inflexión de las siguientes funciones: Principiante f  x  x3  x 2  x

a.

b.

f  x    x  2 2  x  1 2 f  x 

2 x3

c. TEMA: CRITERIO DE LASEGUNDA DERIVADA Determine los extremos locales de las funciones dadas: 1. 2.

f ( x )=x 3 +2 x 2−4 x +2 4 3

f ( x )=x ( 1−x )

1/ 3

TEMA: PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y MINIMOS 1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P(3, 4) y forma con el primer cuadrante un triángulo de área mínima. R. 4x + 3y – 24 = 0 2.

Se quiere construir un jardín que tenga la forma de un sector circular con un perímetro de 30 m. Hallar el jardín de mayor superficie. R. 56.25 m2

TEMA: APLICACIONES A ALA ECONOMIA 1. La empresa "Vista TV Cable" tiene actualmente 2 000 suscriptores que pagan una cuota mensual de 20 dólares. Una encuesta reveló que se tendrían 50 suscriptores más por cada 0,25 dólares de disminución en la cuota. ¿Bajo qué cuota se obtendrá el ingreso máximo y cuántos suscriptores se tendrían entonces? Rpta. : 15 dólares; 3 000 suscriptos 2. Una empresa vende todas las unidades que produce a 4 C x dólares cada una. El costo total de la empresa por producir

C  x   50  1.3 x  0.001x 2

unidades está dado en dólares por: a) Escriba la expresión para la utilidad total U como una x función de . x b) Determine el volumen de producción de modo que la

U

utilidad sea máxima c) ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?

U  x   2.7 x  0.001x 2  50

Rpta. : (a) 1772.5 dolares

(b) 1350 unidades (c)

NIVEL MASTER TEMA: RAZON DE CAMBIO 1. La ordenada del punto que describe la circunferencia x 2+ y 2 =25 decrece con una velocidad de 1.5 cm/seg . ¿A qué velocidad varía la abcisa del punto cuando la ordenada llega a ser igual a 4 cm. 100

2. Una cometa que vuela a

m de altura es empujada

horizontalmente por el viento a una velocidad de

4 m/seg . Si

la cuerda se va soltando desde un punto fijo. ¿A qué velocidad se aleja la cometa e el instante que se han soltado 125 m de cuerda? TEMA: VALORES MAXIMOS Y MINIMOS Determinar los intervalos de crecimiento, los extremos relativos y bosqueje la gráfica de las siguientes funciones (criterio de la primera derivada) a)

f ( x )=

{

f ( x )=

x 2 ( x−2)

√ 25−( x +7 )

2

, si x ≤−3 12−x , si x>−3 2

}

2

b)

Para cada una de las siguientes funciones, hallar el máximo y el mínimo absoluto en los intervalos que se indica

√3 ( x 2−2 x)2 0≤ x ≤ 3

a)

(x) =

b)

f ( x )=arctan

0 ≤ x ≤1 ( 1−x 1+ x )

TEMA: CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION

Estudiar la concavidad y focalizar los puntos de inflexión de las siguientes funciones: Principiante f  x 

a.

3

 x  1 2



2

f  x   x 3  3x 2  4

b. f  x 

c.



1/ 3

x2 x2  4

TEMA: CRITERIO DE LASEGUNDA DERIVADA Determine los extremos locales de las funciones dadas: x 3 x −2 ¿lnx− x 2 ¿ f ( x )=¿ 2

1.

π 2 1 x − ( x−1) 8 2 1 f ( x )= ¿ 2

x 2+1 ¿ arctg x− 2.

TEMA: PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y MINIMOS 1.-Los puntos A y B están opuestos uno al otro en las riberas de un río recto que tiene un ancho constante de 3 km. El punto C está en la misma ribera que B. se desea un cable de A a C. si el costo del cable por agua es un 25% más caro que el costo del cable por tierra. ¿Qué línea de cable será la menos cotosa?. R. La línea de cable deberá tenderse a 4 km de B. 2.-Después de aprobar Cálculo diferencial un grupo de alumnos desean contratar un tren para hacer una excursión. La compañía ferroviaria accede a alquilar el tren si el número de viajeros es no menor de 200. la tarifa por persona será de S/. 8000 si viajan 200 persona y se reducirá en S/. 10 por cada viajero adicional ¿Cuál es el número de pasajeros que representará el menor arreglo para la compañía ferroviaria?. R. 500 pasajeros TEMA: APLICACIONES A ALA ECONOMIA

1.-Sea

p  10  3 x 

artículo, y sea

2

el precio al cual se venderán x unidades de cierto

I  x   x p x 

el ingreso obtenido de la venta de las x I ' x

unidades. Halle el ingreso marginal y dibuje las curvas de Ingreso e ingreso marginal en la misma gráfica. ¿Para que nivel de producción se maximiza el ingreso? dI 2 I  x   x10  3x  ;  10  3x 10  9 x  dx Rpta. : . El ingreso se x  10 / 9 maximiza cuando unidades.

p  600  x 2 2.-Dada la relación de demanda , donde x unidades pueden p venderse a un precio cada una. Encuentre cuando el ingreso marginal es: a) Creciente b) Decreciente x0 x Rptas.: (a) No existe valor de (b) Para todo valor de .