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GUIA DE EJERCICIOS: APLICACIÓNES DE LA DERIVADA I. ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LAS VARIACIÓNES DE UNA FUNCIÓN Determinar los puntos extremos de las siguientes funciones (máximos, mínimos), puntos de inflexión e intervalos de crecimiento y decrecimiento, aplicando el criterio de la 1ª, 2ª y 3ª derivada.  2 14  ,  3 3 

1) y  3 x 2  4 x  6

mín.: 

2) y  x 2  8 x

mín.:  4 ,  16 

3) y  x 2  4 x  8

mín.:  2 , 4 

4) y  x 3  6 x 2  9 x  8

mín.:  3 ,  8 , máx.: 1,  4  , inf.:

5) y  3 x 3  9 x  1

mín.: 1,  5 , máx.:   1, 7  , inf.:

 2 ,  6

 0 ,1

1 3 1 2 x  x  6x  8 3 2   1 133  ,    2 12 

6) y 

 

mín.:  2 ,

2 43    , máx.:   3 ,  , inf.: 3 2  

II. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON APLICACIÓN DE LA DERIVADA Ejemplos: 1. Una ventana tiene la forma de un rectángulo rematado por su parte superior con un semicírculo y se quiere contornear con p metros de borde metálico. Hallar el radio de la parte semicircular si el área total de la ventana ha de ser máxima. Sol: El área total de la ventana viene dado por la función: A(r )  2rh (r ) 

 r2 . 2

El perímetro total de la ventana es: p  2 r  2h( r )   r .

Despejando h(r ) , obtenemos:

h( r ) 

p  2r   r . 2

Reemplazamos en la fórmula del área: 2  p  2r   r   r  r2 A(r )  2r   = pr  2r 2  . 2 2 2  

Derivando, obtenemos: A( r )  p  4r   r . Haciendo A(r )  0 ,

Y despejando

r:

A( r )  p  4r   r  0 . r

p . 4

Como la segunda derivada es r

2.

A(r )  4    0 , podemos concluir que

p proporciona el máximo deseado. 4

Una fábrica posee una cantidad de producción de 25 artículos por semana. La experiencia ha demostrado que n artículo por semana pueden ser vendidos a un precio de p dólares cada uno, donde p  110  2n , y el costo de producción de n artículos es (600  10n  n 2 ) dólares. ¿Cuántos artículos deberían fabricarse cada semana a fin de obtener el mayor beneficio? Sol: El beneficio ( P dólares) en la venta de n artículos es P  np  (600  10n  n 2 ) , es decir P  100n  600  3n 2 . Podemos simplificar los cálculos suponiendo que la función f ( x )  100 x  600  3 x 2 , 0  x  25 , coincide con la función obtenida anteriormente en los valores de x  n enteros. Derivando se obtiene:

f ( x)  100  6 x .

Y haciendo f ( x)  100  6 x  0 , obtenemos: x 

162  16,666 . 3

Calculando f (16) y f (17) nos damos cuenta que la elección debe ser x  17 . (¿Cómo sabemos para que este valor corresponde el mayor beneficio?) 3.

Hallar las dimensiones de la base de la caja rectangular de volumen máximo que puede construirse con 200 cm 2 de cartón si la base ha de ser tres veces más larga que la anchura. Sol:

10 3

cm de ancho y 10 cm de largo

4.

Una fábrica posee una cantidad de producción de 25 artículos por semana. La experiencia ha demostrado que n artículo por semana pueden ser vendidos a un precio de p dólares cada uno, donde p  110  2n , y el costo de producción de n artículos es (600  10n  n 2 ) dólares. ¿Cuántos artículos deberían fabricarse cada semana a fin de obtener el mayor beneficio?

162  16,666 3 Calculando f (16) y f (17) nos damos cuenta que la elección debe ser x  17

Sol: x 

5.

Hallar dos números positivos cuya suma es 40 y cuyo producto sea máximo.

6. 7.

Sol: x  20 , y  20 . Hallar las dimensiones del rectángulo que, con perímetro p , posea el área máxima. Un jardín rectangular de 200 metros cuadrados de área ha de vallarse contra los conejos. Hallar las dimensiones que requerirán la menor cantidad de valla, si uno de los tres lados del jardín está ya protegido por una tapia. Sol: x  10 m, y  20 m. QR

8.

Hallar la mayor área que puede tener un rectángulo si su base descansa sobre el eje x y sus vértices superiores están en la curva y  4  x 2 . Sol: x  

9.

2 3

Hallar el área máxima para un rectángulo inscrito en un círculo de radio

r.

Sol: A = 2r2 10.

De todos los triángulos isósceles con un perímetro dado, ¿cuál posee mayor área? Sol: Triángulo equilátero de lados con medida igual a

11.

p . 3

Se dispone de 100 cm2 de cartón para construir una caja rectangular. ¿Cuáles son las dimensiones de la base para una caja de volumen máximo, si la longitud ha de ser doble que la anchura? (a) Supóngase que la caja tiene tapa.

(b) Supóngase que la caja no tiene tapa. Sol:

x5

2 3

cm. QR y 2 x  10

2 3

cm.

12.

De una pieza rectangular de cartón han de cortarse cuatro cuadrados congruentes, uno en cada esquina. La pieza restante, en forma de cruz, se dobla para formar una caja abierta. ¿De qué tamaño deben cortarse los cuadrados para que el volumen de la caja resultante sea máximo?

13.

Un fabricante de artículos para alumbrado sabe que puede vender x lámparas de pie por semana a p dólares cada una, donde 5 x  375  3 p . El 2 coste de producción es (500  15 x  15 x ) dólares. Demostrar que el máximo beneficio se obtiene cuando la producción es de alrededor de 30 unidades por semana.

14.

Demostrar que una tienda de campaña cónica de volumen dado necesitará la mínima cantidad de lona cuando la altura sea 2 veces el radio de la base. Supóngase que no se utiliza lona en el suelo.