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• Linton Gómez

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CONSENSADORES O CAPACITORES 1. Defina y describa el funcionamiento de un capacitor. 2. Cuál es la unidad fundamental del capacitor. 3. Describa matemáticamente la relación que existe entre la capacitancia y el voltaje del mismo. 4. Analice la ecuación del voltaje del capacitor dependiente del tiempo. Encuentre el valor máximo y mínimo. 5. Analice la ecuación de corriente del capacitor dependiente del tiempo. Encuentre el valor máximo y mínimo. 6. Describa como se obtienen las constantes de tiempo del capacitor y analice la relación que existe con el voltaje. 7. Demuestre la ecuación para reducir capacitores en paralelo, halle el valor n-ésimo. 8. Demuestre la ecuación para reducir capacitores en serie, halle el valor nésimo. 9. Haga 10 ejemplos de reducción de capacitores en serie y paralelo.

DESARROLLO 1. Defina y describa el funcionamiento de un capacitor. El capacitor es un elemento pasivo que almacena energía en forma de campo eléctrico, adquiriendo carga eléctrica. El capacitor está formado por dos láminas conductoras, separadas por un aislante o dieléctrico de tal modo que puedan estar cargados con el mismo valor, pero con signos contrarios. 2. ¿Cuál es la unidad fundamental del capacitor? A la unidad de capacitancia se le ha dado el nombre de Farad o Faradio (F) en honor de Michael Faraday (1791-1867), que fue un físico y químico inglés, pionero del estudio de la electricidad. 3. Describa matemáticamente la relación que existe entre la capacitancia y el voltaje del mismo. La cantidad de carga Q que puede ser almacenada por un capacitor a un voltaje dado es proporcional a la capacitancia c y al voltaje v de donde: Q=C.V Al despejar c de la formula anterior se obtiene la ecuación que permite definir la unidad de capacitancia

C= Q/V

4. Analice la ecuación del voltaje del capacitor dependiente del tiempo. Encuentre el valor máximo y mínimo. CIRCUITO RC

Se aplica la ley de Kirchhoff sabiendo que I =

– E + R I + Q/C = 0 E = R I + Q/C E=

E

–

R

dQ Q + dt C

Q C

=

R

dQ dt

dQ E Q = − dt R RC dQ dt

=

1 RC

( E .C−Q )

dq dt

=

1 RC

( Q−EC )

dQ dt

c=

Q c

dQ Q−EC

=

−1 RC

dQ −1 =∫ dt Q−EC RC ¿ ∫¿ ln ( Q−EC )=

−t RC

ln ( Q−EC ) – ln (−EC ) =

e

ln

−t = ( Q−EC ) −EC RC

Q−EC −EC Q–EC=-EC Q=EC–EC

V.C= E C

V=E

e

e−t / RC

e−t / RC e−t / RC

( 1−e−t / RC )

Q=EC

V=

=

−t RC

E.

( 1−e−t / RC )

C ( 1−e−t / RC ) c

( 1−e−t / RC )

El valor mínimo es t=0, la diferencia de potencial entre las dos placas del condensador es 0. Y el condensador está descargado. Por otro lado el máximo valor se adquiere al aumentar el valor de t, este va a estar próximo al valor de la fuente E, aquí el condensador se encuentra cargado completamente, valor cercano a 1.

5. Analice la ecuación de corriente del capacitor dependiente del tiempo. Encuentre el valor máximo y mínimo.

Se parte de la ecuación de voltaje que se halló en el ejercicio anterior, el voltaje es igual a la capacitancia por la resistencia V = IR V=E IR = E

I=

−t RC

(1−e ) −t RC

(1−e )

E R

−t RC

(1−e )

El valor máximo de corriente del capacitor va a ser 1 que es con t=0. Aquí fluye la corriente máxima. El valor mínimo se alcanza al aumentar el valor del tiempo, este se aproxima a 0 con la carga total del capacitor.

6. Describa como se obtienen las constantes de tiempo del capacitor y analice la relación que existe con el voltaje. Las constantes de tiempo de carga y descarga del condensador se hallan al aplicar la función exponencial de los valores que puede adquirir la constante de tiempo t (Tabla 1), de esta manera se consigue el tiempo de descarga (e valor t) y el de carga al restarle el valor conseguido a 1 (1-valor de descarga) como aparece en la ecuación

−t RC

(1−e )

. Se puede

expresar también en porcentaje (Tabla 2). Tabla 2

Tabla 1 Descarga 0,3678794 4 0,1353352 8 0,0497870 7 0,0183156 4 0,0067379 5

t

Carga

-1

0,6321205 6

-2

0,8646647 2

-3

0,9502129 3

-4 -5

0,9816843 6 0,9932620 5

Descarga

t

Carga

36,78794 41%

-1

63,212055 9%

-2

86,466471 7%

4,978706 8%

-3

95,021293 2%

1,831563 9%

-4

98,168436 1%

0,673794

-5

99,326205

13,53352 83%

7% 0,0024787 5 0,0009118 8 0,0003354 6 0,0001234 1

-6

0,9975212 5

-7

0,9990881 2

-8

0,9996645 4

-9

0,9998765 9

3%

0,247875 2%

-6

99,752124 8%

0,091188 2%

-7

99,908811 8%

0,033546 3%

-8

99,966453 7%

0,012341 0%

-9

99,987659 0%

7. Demuestre la ecuación para reducir capacitores en paralelo, halle el valor n-ésimo.

Se puede decir que se Tienen N condensadores conectados en paralelo como se ilustra en la figura, se cumple que la carga total es igual a la suma de las cargas individuales de cada capacitor:

Qt=Q1+Q2+Q3+Qn-1+Qn Q=C.V Qt=C1.V1+C2.V2+C3.V3+Cn-1.Vn-1+Cn.Vn MISMO EN EL CIRCUITO. Qt=C1.V+C2.V+C3.V+Cn-1.V+Cn.V Qt=V (C1+C2+C3+Cn-1+Cn).

EL VOLTAJE ES EL

Qt V = C1+C2+C3+Cn-1+Cn Cequivalente= C1+C2+C3+Cn-1+Cn n

∑ci

Cequivalente =

i=1

NUMERO ENESIMO DE CAPACITORES EN

PARALELO

8. Demuestre la ecuación para reducir capacitores en serie, halle el valor n-ésimo. En serie la carga es la misma en todo el circuito Qt=Q1+Q2+Q3+Qn-1+Qn El voltaje total va a ser igual a la suma de los voltajes por separado Vt=V1+V2+V3+Vn-1+Vn

Q 1 Q 2 Q 3 Qn−1 Qn

Vt= C 1 + C 2 + C 3 + Cn−1 + Cn Vt=

Q

( C1 + C1 + C1 ) 1

2

3

Vt 1 1 1 1 1 = + + + + Q C 1 C 2 C 3 Cn−1 Cn

V/Q ES EL INVERSO DE Q/V QUE ES LA CAPACITANCIA

1 1 1 1 1 1 = + + + + C C 1 C 2 C 3 Cn−1 Cn 1 1 1 1 1 + + + + C 1 C 2 C 3 Cn−1 Cn ¿ ¿ 1 C= ¿ n

C equivalente =

∑ ❑( Ci1 ) i=1

-1

1 C

9. Haga 10 ejemplos de reducción de capacitores en serie y paralelo. 1. Hallar la capacitancia equivalente en la siguiente gráfica, teniendo en cuenta que C1= 580 pF y C2= 250 pF

C equivalente= C1+C2 C equivalente= 580 pF + 250 pF = 830 pf 2. Encontrar la capacitancia equivalente para el siguiente gráfico.

C=

C 1 xC 2 C 1+C 2

C=

6 x 15 90 = 6+15 21

= 4,28 Uf

3. Hallar capacitancia equivalente en la siguiente gráfica, teniendo en cuenta que C1= 12 uF C2= 32 uF C3= 58 uF C4= 73 uF

C1, C2 Y C4 EN SERIE

C 1,2,4 =

1 1 1 + + 12 32 73 ¿ 1 ¿

= 6,66 Uf

C 1,2,4 en paralelo con C3 Cequivalente= C 1,2,4 + C3 = 6,66 + 58 = 64,66 uF 4. Para la siguiente grafica reducir todos los capacitores a uno solo equivalente, C1 = 30000 Pf, C2 = 2 uF C3 = 0,5 uF

C equivalente= O,3 uF + 2 uF + 0,5= 2,8 Uf

5. Hallar la capacitancia equivalente para la siguiente grafica teniendo en cuenta que C1= 83000 nF C2= 1115500 pF C3= 1 mF

C equivalente = 0,83 mF + O,01 + 1 = 1,84 mF

6. Hallar la capacitancia equivalente para la siguiente gráfica, C1= 39 uF C2= 60 uF C3= 90 uF

Cequivalente =

1 1 1 + + 39 60 90 ¿ 1 ¿

= 17,54 uF

7. Hallas el capacitor equivalente en el siguiente circuito:

Cequivalente= 1 + 1 + 1 + 1 = 4 uF

8. Encuentre la capacitancia equivalente en la siguiente gráfica,

Cequivalente= 16+4+20+10 = 50 uF 9. Hallar capacitancia equivalente para el circuito si C1= 16439400 nF = 1 uF C3= 4uF

Cequivalente =

1 1 1 + + 0.16 1 4 ¿ 1 ¿

= 7.5 uF

10.Hallar capacitancia equivalente en la gráfica:

C equivalente =

C n

C equivalente = 9/3 = 3 uF

C2