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TALLER SOBRE CONDENSADORES

Presentado por: José Linton Gómez Gutiérrez

1. Defina y describa el funcionamiento de un capacitor. Un condensador o capacitor es un componente eléctrico que tiene la capacidad de almacenar energía eléctrica en forma de campo eléctrico o carga eléctrica. Desde la concepción más básica, un condensador está constituido por dos conductores aislados uno de otro. Me permitiré describir el funcionamiento de un capacitor tomando el ejemplo más sencillo: el condensador de placas paralelas, el cual está formado por dos grandes placas conductoras separadas por una pequeña distancia mediante un aislante que puede ser aire. Al conectar el condensador a una batería la corriente eléctrica circula, pero el aislante que existe entre las placas no permite el paso. Las cargas negativas se acumulan en una placa, y por inducción provocan que las cargas negativas (los electrones) de la otra placa se muevan. Por tanto la otra placa (inferior en el dibujo) queda cargada positivamente.

2. Cuál es la unidad fundamental del capacitor. La relación que existe entre el voltaje, aplicado al condensador y la carga eléctrica que almacena se denomina capacidad o capacitancia y está representada con la letra C. Su unidad es el Faraday o Faradio (F), donde 1F equivale a un Coulomb/voltio.

[ C ] =Faraday=F →1 F =1

Coulumb Voltio

El faradio es una unidad de capacitancia muy grande. En la práctica, los dispositivos utilizados cotidianamente, tienen capacitancias con −6

−12

intervalos entre microfaradios ( 10 F ) a picofaradios ( 10

F ).

3. Describa matemáticamente la relación que existe entre la capacitancia y el voltaje del mismo. Sabemos que la corriente que pasa por un conductor es un flujo orientado de cargas eléctricas. Si un capacitor es conectado a una fuente de corriente continua, éste recibe carga eléctrica. Para que se almacene carga, dicho flujo (Corriente) debe prolongarse por un periodo de tiempo dado. Por lo tanto, la carga almacenada (Q) corresponde

a la corriente entregada por la fuente durante el tiempo (t) durante el cual la fuente estuvo conectada al capacitor. Es decir:

I=

∆q ∆t

Por lo tanto la carga se puede expresar como la corriente que fluye en una unidad de tiempo determinada:

Q=I .t Experimentalmente se puede comprobar que la carga almacenada en un condensador es directamente proporcional al voltaje aplicado entre sus terminales. Sabemos que,

C=

Q Q o mejor , C= V ΔV

Entonces,

Q=CV Igualando las dos expresiones anteriores, tenemos que:

Q=It=CV

Si,

V=

Q C

Reemplazando, tenemos que:

V=

It C

De tal forma que, si se mantiene un flujo de corriente constante, y partiendo del hecho de que la Capacitancia también sea constante, vemos que el voltaje entre sus terminales es directamente proporcional al tiempo de carga. 4. Analice la ecuación del voltaje del capacitor dependiente del tiempo. Encuentre el valor máximo y mínimo. Para un circuito RC simple (arreglo entre resistores y capacitores), como el que se aprecia en la siguiente figura; donde también se puede estar representando cualquier conexión de múltiples resistores y capacitores,

donde se han determinado su equivalente como un único resistor y capacitor:

No fluirá corriente mientras que el circuito esté abierto (interruptor en posición a), pero si en t=0, el circuito se cierra (interruptor en posición b) y suponiendo que tenemos una fuente de voltaje continuo (E), la carga comenzará a fluir, estableciendo una corriente en el circuito, y el capacitor comenzará a cargarse. Aplicando la regla de la espira de Kirchhoff al circuito una vez que el interruptor está en la posición a. Recorriendo la espira de la figura en el sentido de las manecillas del reloj, tenemos que:

−E+ V c +V R =0 Reemplazando, vemos que:

−E+

q + IR=0 C

Donde q/C es la diferencia de potencial aplicado al capacitor e IR es la diferencia de potencial aplicado a la resistencia. Por lo tanto,

E=

q + IR C Si,

I=

∆q ∆t

Entonces:

E=

q dq + R C dt

Despejando,

E−

q dq = R C dt

dq E q = − d t R RC Factorizando dq 1 = ( EC −q ) dt RC Tenemos que:

dq q−CE = dt RC Multiplicamos por dt y dividimos entre q-CE

dq −1 = dt q−CE RC Integramos esta expresión, donde q= 0 en t= 0. q

t

dq −1 = ∫ q−CE ∫ dt RC 0 0

ln

−t = ( q−CE ) −CE RC

A partir de la definición de los logaritmos naturales y podemos escribir la expresión así:, reemplazando el valor de Q que hayamos anteriormente: −t RC

q ( t )=CE ( 1−℮ )

Como sabemos que entonces

Q=CV , tenemos que

(

−t

CV =CE 1−℮ RC

)

,

(

−t

C V = E 1−℮ RC C

)

Finalmente, tenemos que la ecuación del voltaje dependiente del tiempo es:

−t

V c ( t )=ε (1−℮ RC )

Donde

V c(t )

es el voltaje del capacitor dependiente del tiempo,

corresponde al voltaje de la fuente,

℮

ε

es un número irracional,

conocido como el número de Euler, que corresponde aproximadamente a 2.7183. Continuando,

RC

que es la constante de tiempo:

τ c =RC

,

corresponde al tiempo que tardaría el condensador en descargarse a velocidad constante, dicha contante es característica de cada circuito RC, y permite comparar el tiempo de descarga de cada circuito. Finalmente Como

t

τ c =RC

es el tiempo que queremos calcular. entonces, expresaremos la anterior ecuación como: −t τc

V c ( t )=ε (1−℮ )

Para así poder trabajar con

t

como una escala en múltiplos de

puesto que desconocemos las magnitudes de que

R

y

C , asumiendo

ε ≅ 1 . Como se puede apreciar en la siguiente tabla:

Tiem po 0 0.5 1 2

Voltaje del Capacitor 0 0.393 0.632 0.864

τc ,

3 4 5 10

0.950 0.982 0.993 0.999

Como se puede apreciar, con el paso del tiempo, el voltaje aumenta, aproximándose sin llegar a 1 (es decir a la carga completa), sin embargo cuando el tiempo es 4 veces el tiempo de carga (

τc ¿

se ha alcanzado

el 98.2 % del valor del voltaje total, lo cual equivale a decir que la carga es completa. Pero como se observa para t=10, el voltaje se ha aproximado lo suficiente a 1, como para afirmar que el valor máximo del voltaje es 1, es decir que cuando t se aproxima al infinito V se aproxima a 1 o al voltaje de la fuente.

T →∞ V c ( ∞ ) =ε

Por otro lado el valor mínimo del voltaje es 0 como se observa con t=0, puesto que en las condiciones iniciales la diferencia de potencial entre las placas del capacitor es 0, puesto que se encuentra descargado. 5. Analice la ecuación de corriente del capacitor dependiente del tiempo. Encuentre el valor máximo y mínimo. Partiendo de la ecuación del voltaje dependiendo del tiempo, y sabiendo que V=I.R, tenemos que como:

(

−t

V =E 1−℮ RC

)

Entonces, −t RC

IR=E ( 1−℮ )

Finalmente,

(

−t

E I = 1−℮ RC R

)

Se puede expresar la ecuación de corriente del capacitor dependiendo del tiempo como:

t

ε I c ( t )= ℮ τ R

Donde

c

I c ( t ) es la corriente del capacitor dependiente del tiempo,

corresponde al voltaje de la fuente,

℮

ε

es un número irracional,

conocido como el número de Euler, que corresponde aproximadamente a 2.7183.

R

corresponde al valor de la resistencia Continuando,

es la constante de tiempo de carga. Finalmente

t

τc

es el tiempo que

queremos calcular. t

Asumiendo que

ε y R ≅ 1 , tenemos que

Tiem po 0 0.5 1 2 3 4 5 10

ε =1, por lo tanto I c ( t ) =℮ τ : R c

Corriente del Capacitor 1 0.606 0.368 0.135 0.045 0.018 0.007 0.000045

Como se puede apreciar, con el paso del tiempo, la corriente disminuye, aproximándose sin llegar a 0, para

t=10 , la corriente se ha

aproximado lo suficiente a 0, como para afirmar que el valor mínimo de la corriente es 0, es decir que cuando t se aproxima al infinito

I

se

aproxima a 0. Debido a que el capacitor prácticamente ya se cargó y la corriente es casi nula. Es decir, para los tiempos

4≤t ≤∞

el capacitor

se comporta como circuito abierto ya que en sus extremos tiene un voltaje, prácticamente, igual al de la fuente y ya no circula prácticamente corriente.

T →∞

I c ( ∞ )=0 Por otro lado el valor máximo de la corriente es 1 como se observa con t=0, puesto que en las condiciones iniciales el capacitor actúa como un corto circuito ya y fluye la máxima corriente.

6. Describa como se obtienen las constantes de tiempo del capacitor y analice la relación que existe con el voltaje. La constante de tiempo se obtiene tabular los valores de la constante tau ( τ ) de la ecuación

−t RC

q ( t )=CE ( 1−℮ )

aplicando la función

exponencial se va a observar el tiempo necesario para que un condensador se cargue y descargue como se observa en la tabla siguiente: (I) t Descarg Exponen a cial 36,79% -1 13,53% -2 4,98% -3 1,83% -4 0,67% -5

(V) Carga 63,21% 86,47% 95,02% 98,17% 99,33%

La constante de tiempo, se define como el tiempo necesario para que un condensador se cargue a un 63.2 % de la carga total (máximo voltaje) después de que una fuente de corriente directa se haya conectado a un circuito RC. Y Como se ve, el condensador no alcanza su máxima carga (y voltaje). Si transcurre una nueva constante de tiempo el condensador se habrá cargado ahora a un 86.5 %, puesto que el 63.2% del 36.8% restante es 23.26%, entonces,

63.2 +23.26 =86.46 . Vemos que son

necesarias 5 constantes de tiempo para alcanzar una carga de más del 99%. Por definición sabemos que

τ c =RC

Si,

C=

y

Q V

V=

Q C

entonces:

Reemplazamos:

Obtenemos que:

τ c =R

V=

Q V

RQ τc

Como se observa las dos variables son inversamente proporcionales, de lo que se infiere que si el voltaje tiene un valor elevado, la constante debe tener uno bajo y viceversa.

7. Demuestre la ecuación para reducir capacitores en paralelo, halle el valor n-ésimo.

Tres o más condensadores están conectados en paralelos cuando se conectan de la manera que están en la siguiente figura.

Las primeras tres placas están conectadas al terminal positivo, mientras que las otras tres están conectadas al terminal negativo. De esta forma, la diferencia de potencial entre las placas del condensador es la misma para todas. La carga suministrada por la fuente se reparte entre los tres condensadores. En resumen: 

La carga total es igual a la suma de las cargas de cada condensador.

Qt =Q1+Q2 +Q3 

La diferencia de potencial es la misma en cada uno de los condensadores.

V t =V 1=V 2=V 3 Es posible sustituir el conjunto de condensadores por uno solo, sabemos que:

Qt =Ct V t Y así para Q1, Q2 y Q3. Introduciendo en la primera fórmula y desarrollando:

Qt =C1 V 1+C 2 V 2+C 3 V 3 Qt =V (C1 +C 2+ C3 ) Qt =C1 +C 2+ C3 V

Finalmente,

Qt =C =C 1+C 2 +C3 V t

Es decir, al colocar los condensadores en paralelos, su capacidad aumenta. Cuando los condensadores están descargados,

Ct ≅ 0 . Debido a que: Ct =

Qt 0 = =0 Vt Vt

Qn ≅ 0 , entonces

Por otro lado, cuando tenemos n capacitores conectados en paralelo a una fuente de voltaje, cada lámina de los condensadores se encuentra conectada una al extremo positivo de la fuente y la otra al extremo negativo de la misma como se observa en la imagen, lo que hace que los voltajes sean iguales para todos los condensadores, se puede hallar la fórmula para reducirlos matemáticamente a solo 1. Pues la carga equivalente del circuito es igual a las suma de las cargas de cada condensador por separado.

Qeq =Q1+Q 2+Q3 + …+ Qn−1+Q n Como

Q=CV Reemplazamos:

Qeq =C1 V +C2 V +C3 V +…+C n−1 V +C n V Como el voltaje es el mismo, entonces:

Qeq =V ( C1 +C 2+C 3 +…+C n−1+ Cn ) Q =C 1 +C2 +C 3 +…+C n−1+C n V Finalmente,

Q C= =C 1 +C2 +C 3+ …+C n−1+C n V

Si generalizamos, podemos expresar que: n

C eq=∑ C i i=1

8. Demuestre la ecuación para reducir capacitores en serie, halle el valor n-ésimo.

Tres o más condensadores están conectados en serie cuando se conectan como en la figura

Al conectarse los condensadores a la pila o batería, se extraen electrones de la placa izquierda de C1, los cuales son trasladados a la placa derecha de C3, como consecuencia ambas placas adquieren la misma carga, después la placa derecha de C1 se carga por inducción se carga con signo contrario, y este proceso continua con C2. En resumen: 

La carga de los condensadores es la misma para cada uno de los condensadores que intervienen en la conexión.

Qt =Q1=Q2=Q3 

El voltaje V, aplicado a los capacitores conectados, se divide de manera que se cumple :

V t =V 1+V 2+V 3

Podemos obtener un condensador equivalente teniendo en cuenta las dos condiciones anteriores. Sabemos que:

V t=

Qt Ct

Si reemplazamos en la anterior ecuación, obtenemos que:

V t=

Q 1 Q2 Q 3 + + C1 C2 C3

Pero, como las cargas son iguales obtenemos que:

V t =Q

( C1 + C1 + C1 ) 1

2

3

Vt 1 1 1 = + + Q C1 C2 C3

Como vemos,

Vt Q

es el inverso de

Q V , entonces:

1 1 1 1 = + + C t C1 C 2 C 3 Cuando los condensadores están descargados,

Qn ≅ 0 , entonces

Ct ≅ 0

Puesto que:

Ct =

Qt 0 = =0 Vt Vt

Para un número enésimo de condensadores, tenemos que:

V ε=

Q Q Q Q Q + + +…+ + C1 C2 C3 Cn−1 Cn Ahora, el factor común

1 1 1 1 1 + + +…+ + C 1 C2 C3 Cn−1 Cn ) V ε=Q ¿ Entonces,

1 1 1 1 1 + + +…+ + C 1 C2 C3 Cn−1 Cn ) Vε =¿ Q

Como vemos,

Vε Q

es el inverso de

Q V , entonces:

1 1 1 1 1 1 =( + + + …+ + ) Ceq C 1 C 2 C 3 Cn−1 Cn

Finalmente,

1

C eq= (

1 1 1 1 1 + + + …+ + ) C1 C2 C3 Cn−1 Cn

Generalizando, tenemos que: n

C eq=∑ i=1

1 1 Ci

9. Haga 10 ejemplos de reducción de capacitores en serie y paralelo. a. Calcular la capacidad equivalente a la siguiente configuración de condensadores. Sabiendo que sus capacidades son C1=3mF, C2=6mF y C3=12mF.

Como se trata de condensadores en serie, tenemos que:

C eq=

1 1 1 12 mF = = = =1.71 mF 1 1 1 4 +2+1 7 7 ( + + ) ( ) 3 mF 6 mF 12 mF 12 mF 12 mF

b. Calcular la capacidad equivalente a la siguiente configuración de condensadores. Sabiendo que sus capacidades son C1=3mF, C2=6mF y C3=12mF.

Como se trata de condensadores en paralelo, tenemos que:

C eq=C 1+ C2 +C 3=3 mF +6 mF + 12mF =21 mF

c. Calcular la capacidad equivalente de la siguiente configuración de condensadores. Sabiendo que sus capacidades son C1=10mF, C2=10mF, C3=20mF, C4=20mF y C5=5mF.

En este caso hay un ejercicio que combina condensadores en serie y paralelo, se debe resolver por partes de acuerdo a como se encuentra configurada cada una de las mismas. Como C1 y C2 se encuentran ambos conectados entre sí en serie, así como los condensadores C3 y C4. Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4.

C1−2=

C3− 4=

1

1 10 mF = =5 mF 1 1 2 2 ( + ) ( ) 10 mF 10 mF 1 0 mF 1

=

1 2 0 mF = =10 mF 1 1 2 2 ( + ) ( ) 20 mF 20 mF 20 mF =

Como ahora tenemos a

C1−2

y

C3− 4

en paralelo por lo que su

capacidad será la equivalente a dicha configuración es decir

C1−2−3−4 =C1−2 +C 2−3 =10 mF +5 mF=15 mF

Como ahora tenemos 2 condensadores en serie, vemos que:

C eq=

1

1 15 mF = =3.75 mF 1 1 4 4 ( + ) ( ) 15 mF 5 mF 1 5 mF =

d. Encuentre la capacidad equivalente entre los terminales a y b para el sistema de condensadores.

En éste circuito, los condensadores 3 y 4 están en serie, por tanto:

C3− 4=

40 ×120 =30 μ F (40+120)

Ahora tenemos en paralelo a

C3− 4

ya

C2 , entonces:

C2−3−4 =30 μF+ 90 μF=12 0 μF Finalmente tenemos dos condensadores en serie:

C eq=

60 ×120 =4 0 μF (6 0+120)