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4. Encontrar el área de la región R que se encuentra fuera de la curva r  6 cos  y dentro de la curva r  2 cos   2 .

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER SEDE BARBOSA CÁLCULO II

REPASO CUARTO PARCIAL 1. Calcular el área de la región R encerrada por las curvas r  4sen y r  4 cos  .

5. Calcular el área de la región R que esta encerrada por la curva r 2  2 cos 2 y fuera de la curva r = 1 2. Encuentre el área de la región R que se encuentra fuera de la curva r  3 cos  y dentro de la curva r  1 cos  .

3. Obtener el área de la región que es exterior a la curva r = 1 e interior a la curva r  2sen2 .

6. Encuentre el área de la región común de las curvas r  3  2 cos  y r = 2.

7. Eliminar el parámetro y escribir la ecuación rectangular correspondiente: a. x= 3cos  , y=3sen  b. x= 4sen 2 , y=2cos 2 c. x= 4+2cos  , y= -1+sen  d. x= sec  , y= tan  3 3 e. x  cos  , y  sen  1

13. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 8. Hallar la longitud del cardiode

x  cos5 t , y  sen 3t cuando t 

r  2 1  sen 

9. Hallar la longitud y el área del lazo interior del caracol r  2  3sen



. 4 14. Considere la curva paramétrica x  2t 2 , y  2t 3  2t a. Encuentre las coordenadas (x, y) de todos los puntos de la curva donde la recta tangente es horizontal o vertical. b. Encuentre las coordenadas (x, y) de todos los puntos en los cuales la curva se cruza consigo misma. c. Verifique que en cada punto hallado en la parte anterior, las tangentes a la curva en ese punto son perpendiculares entre sí. d. ¿En cuáles puntos la curva corta el eje x? 15. Hallar la longitud de las curvas dadas en coordenadas polares: a. r 2  3 sen 2  b. r  2 sen 3  16. Hallar el área limitada por la curva

r 2  a 2 sen 4  .

10. Hallar la longitud y el área encerrada por la curva de la lemniscata r 2  sen 2

17. Hallar el área comprendida entre la primera y la segunda r  3 . espira en la espiral de Arquímedes

11. En cada instante t, la posición de un móvil viene determinada     por las coordenadas: x  a cos 3  t  y  a sen 3  t  2  2  calcular la longitud del camino recorrido por el móvil entre los instantes t = 0 y t = 1.

19. Hallar la longitud de curva cuyas ecuaciones paramétricas son x  a 2 cos t - cos2t  y  a 2 sent - sen2t 

12. Dibuje el lugar geométrico representado por las ecuaciones t2 t3 paramétricas y elimine el parámetro x  y y 3  2t 3  2t

18. Dada la astroide x  2 cos3 t y  2 sen3 t hallar su longitud y el volumen de rotación de la astroide en torno al eje y

20. Hallar el área de la superficie cuando gira un arco de cicloide: x  a t  sent  y  a 1  cos t  En torno del eje x. 21. Hallar el área de la superficie cuando gira la lemniscata r 2  a 2 cos2  Entorno al eje polar. 22. Calcular el área encerrada dentro de la curva x  3  2 cos t y  2  5sent 2