• Categories
• Matriz (Matemáticas)
• Vector euclidiano
• Física teórica
• Álgebra
• Álgebra lineal

Citation preview

Escuela de Administración y Mercadotecnia del Quindío Programa de Ingeniería Industrial Espacio Académico: Álgebra Lineal Docente: Mónica Bibiana Velasco Borda [email protected] Taller de Matrices y Vectores En los ejercicios 1 a 4, realice los cálculos indicados sabiendo que a = (2 − 3 0), b = (−7 − 5 4) y c = (6 1 8)

1 b con α, β ∈ R β

1. 2a + 4b − 3c

3. αa −

2. 3b − 7c + 2a

4. αc + βa + γb con α, β, γ ∈ C 

1 En los ejercicios 5 a 10, realice los operaciones indicadas con A = −2 0

  4 −4 −2, B =  0 −8 8

5. C − A − B

7. 0B − 7A

6. 2A − 3B + 4C

8. 2C − 5A

  7 5 1  y C = 3 −3 6

 −9 0 1

9. Encuentre una matriz D tal que 2A + B − D es la matriz cero de 2 × 3. 10. Encuentre una matriz E tal que 2A + B − 3E es la matriz de 2 × 3 con todas sus componentes iguales a 1.       2 0 5 0 1 0 11. Dados A = ,B= yC= , encuentre una matriz X tal que AX + XB = C. 0 3 0 6 0 1   −1 12. Si A es simétrica y A =  3 2 5 llene los espacios en blanco. −4 2 13. Dada la matriz A = (aij )n×n , ¿existe alguna diferencia  1 2 matriz C = (aji )n×n ? Encuentre B y C si A =  4 5 −7 8

entre la matriz B = (bij )n×n , con bij = aji y la  3 6. 9

14. Pruebe: a) Si A y B son matrices m × n, entonces (A + B)T = AT + BT . b) Si A es una matriz m × n, entonces (rA)T = rAT . 15. Encuentre las condiciones sobre un vector a de dimensión n tales que a · a = 0. 16. La traza de una matriz cuadrada A de orden n se define como la suma de los elementos de la diagonal principal. Si tr(A) denota la traza de A, tenemos que tr(A) =

n X

akk

k=1

Verifique que la traza de A tiene las siguientes propiedades: a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B) b) tr(αA) = αtr(A), con α ∈ R c) tr(AB) = tr(B)tr(A)

1

 17. Sea A =

2 8

   6 x , encuentre un vector no nulo b = tal que Ab = 6b. −6 y

18. Una matriz A de n × n tal que A2 = In se llama involutiva. Pruebe que la siguiente matriz es involutiva:   0 1 −1 A = 4 −3 4  3 −3 4 

   1 4 −α  5     19. Determine todos los valores α y β tales que los vectores   2  y −2β  son ortogonales. 3 3 20. Se puede organizar un torneo de tenis de la siguiente manera. Cada uno de los n tenistas juega contra todos los demás y se registran los resultados en una matriz R den × n de la siguiente forma:   si el tenista i le gana al tenista j  1 Rij = 0 si el tenista i le pierde contra el tenista j   0 si i = j Después se asigna al tenista i la calificación Si =

n X

n

Rij +

j=1

1X 2 (Rij ) 2 j=1

a) Para un torneo entre cuatro tenistas  0 0 R= 1 1

1 0 0 0

0 1 0 1

 0 1  0 0

Clasifique a los tenistas según sus calificaciones. b) Interprete el significado de la calificación. En los ejercicios 21 a 23 , multiplique las matrices usando los bloques indicados.    1  4 2 3 | 1 5    0 1 | −4 2  −1 0    − − 21.   − − | − −  2 3 3 1 | 6 4 1 5    1 0 | −1 1 2 4 | 1 6 2  1 | −3 4  0 | −2 5    3    − − | − − − − | − − 22.     −2 1 | 4 6 2 1 | −1 0  0 2 | 3 5 −2 4 | 1 3 !  1 2 −3 | −2 −1 23. 3 4 2 | 5 3 5 6 

sin θ 24. Muestre que para todo número real θ la matriz cos θ 0

cos θ − sin θ 0

25. De dos ejemplos de vectores columna que cumplan a · b = aT b.

2

 0 0 es invertible y encuentre su inversa. 1



2 26. Encuentre los números α y β tales que  5 β

α −6 2

 3 2 es simétrica. 4



1 27. Resuelva el sistema AX = B, para cada vector B si A = 1 0

  3 a) B = 2 4

1 2 0

 4 1. 1

  2 b) B = 1 0

  −1 c) B =  3  2

En los ejercicios 28 a 30, determine si las matrices son no singulares y si lo son, transforme cada matriz a una forma [A|I] para hallar sus inversas.

 1 28. A = 2  3  29. A = 1 1

1 1

 

1 0 30. A =  2 0

 3 4 2 1 6 0

0 1 3 0

1 0 4 0

 0 1  0 1

En los ejercicios 31 a 34, Encontrar la matriz triangular inferir L y la matriz triangular suprior U tales que A = LU.



 7 −8 31. A = −56 73  1 2 −1 0 −1 5 32. A =  2 3 1 1 −1 6

 1 4 6 33. A = 2 −1 3 3 2 5  2 3 −1 4 7 2 34. A =  −2 5 −2 0 −4 5



 4 8  4 4

 6 1  0 2

En los problemas 35 y 36, a) encuentre una matriz de permutación P y matrices triangulares inferior y superior L y U tales que PA = LU; b) utilice el resultado del inciso a) para resolver el sistema Ax = b.



   5 4 6 0    36. A = −10 −8 3 , b = −7 15 4 2 10

    0 4 8 35. A = , b= 3 −1 −10

En los problemas 37 y 38, Resuelva el sistema usando factorización LU.



   1 4 6 −1    7 38. A = 2 −1 3 , b = 3 2 5 2

    −3 6 9 37. A = , b= 6 −14 10

3