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• Moisés Florez Sanchez

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UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA. Asignatura: MATEMATICAS FUNDAMENTALES (MT 301C) GRUPO 03 Tercer corte Programa: Comercio Internacional Docente: HARRIS WRANDON LAGUNA LAMILLA

1. Resuelva los siguientes problemas de contexto. A. Una pieza de equipo comprada hoy en $ 580 000 se devalúa linealmente hacia un valor de desecho de $30 000 cada año.

a. Escriba una fórmula para su valor V después de n años. V= valor d= devaluación n= años

V-D(N) 580.000-30.000 (n)

b. Calcule el valor de la pieza dentro de 7 años. Y= f(x) -30.000(n) + 580.000 F(x) = -30.000(7) + 580.000 F(x) = 370.000 c. ¿Cuál es el dominio de la función V? El dominio de la función v es el conjunto de números reales que pueda adquirir la variable (n) B. Un vendedor gana un sueldo fijo más un porcentaje de comisión por sus ventas mensuales. En un mes en que sus ventas fueron de $ 480 000, recibió un pago total de $ 474 000. Al mes siguiente sus ventas fueron de $ 640 000, y recibió un pago de $482 000. Encuentre una ecuación que de su pago total P como función de las ventas v. ¿Cuál es su sueldo fijo y cuál es el porcentaje de comisión? DATOS: Total ventas: 480.000

Total suelto: 474.000 Total ventas 2: 640.000 Total sueldo 2: 482.000 I= sueldo + % (ventas) 474.000 = 𝑋 + 𝐶 × 480.00 (−1) 482.000= −𝑋+𝐶 640.000 − 474.000= −𝑋−𝐶 480.00

− 8.000 = 𝐶 160.000 8.000

𝐶 = 160.000 = 0 8.000

𝐶 = 160.000 = 0.05 482.000 = 𝑋 + 0.05 × 640.000

X=

0.05×640.000 482.000

32.000

= 482.00 = 0.06639

C. El dueño de una fábrica de refrescos sabe que su ganancia en miles de pesos semanales, como función del número x de cajas de refrescos vendidas, está dada por la ecuación U(x) = −0.01x2 +9x−1296. ¿Cuántas cajas se deben vender semanalmente para obtener una ganancia máxima? ¿Cuál es la ganancia máxima? U(x) = −0.01x2 +9x−1296 = -0.01x2+9x-1296 =0 −9

𝑥 = 2(−0.01) = 450

Se deben vender 450 cajas para obtener una ganancia máxima

U (450) = −0.01x2 +9x-1296 = -0.01 (450)2 + 9(450) – 1296 = -2025 + 4050 – 1296 = 729 La ganancia máxima es de 729

D. La ecuación de demanda para cierto producto es 3q+100p -1800 = 0, donde p es el precio unitario y q el número de unidades vendidas. Determine el nivel de producción que maximiza los ingresos del fabricante para este producto. P = Precio unitario q = Nº unidades vendidas Despejar q en función de p 3q+ 100p -1800 =0 Q (p) = (100p-1800)*p Q (p) = 100𝑝2– 1800p = 0 Hallamos el vértice −𝑏

P = 2𝑎

A = 100

P=

b = 1800

−(−1800) 2×100 −𝑏

K=f(

2𝑎

=

1800 200

c=0

=9

)

F (9) =100(9)2 − 1800(9) F (9) = 100(81) -16200

F (9) =8100-16200 F (9) = 8100 Maximo: (8100, 9)

E. Si un banco ofrece una tasa de interés de 6% anual, compuesta trimestralmente, ¿cuánto debe invertirse hoy para tener acumulado $2500 dentro de tres años? 𝑟

F. Recuerde que: 𝐴 = 𝑝 (1 + 𝑛)𝑛𝑡

A: Valor futuro, P: Valor presente, r: tasa, n:

Periodo, t: plazo de inversión. DATOS:

A: 2500 P: ? R: 0, 06 N: 4 T: 3 A= P (1 + r/n) nt

A = P = A/(1 + n)nt = 2500/ (1+0, 06/ 4)4*3= 2090, 96 r

G. Digamos que ganas $ 500 en una competencia de deletreo y lo inviertes en un fondo mutuo que paga el 8% de interés anual. ¿Cuánto dinero tendrías después de 5 años?

A (t): Cantidad después de t años P: inversión inicial (principal) R: tasa de interés T: el tiempo en años N: cantidad de veces que el interés es compuesto al año 𝑟 𝑛𝑡

𝐴(𝑡) = 𝑃 (1 + 𝑛)

𝐴(𝑡) = 500 (1 +

8% 1(5) 1

)

𝐴(𝑡) = 500(1 + 0.08)5 𝐴(𝑡) = 734.6640384 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑛𝑑𝑜 Año 1: 500 (1+0.08)=540 Año 2: 540 (1+0.08)=583.2 Año 3: 583.2 (1+0.08)=629.856 Año 4: 629.856 (1+0.08)=680.24448 Año 5: 680.24448 (1+0.08)= 734.6640384 H. Una computadora, adquirida por $1800, se devalúa según la fórmula V(n) = 1800*0,75n, donde n es el número de años desde que se compró y V(n) es su valor. ¿En cuánto tiempo alcanzará un valor de $1000? 𝑣𝑛 = 1800(0,75)𝑛 1000 = 1800(075)𝑛 1000 1800

=0,75𝑛

0,6=0, 75𝑛 log 𝑜, 6 = 𝑛. (𝑙𝑜𝑔0.75) 𝑙𝑜𝑔 0,6

𝑛 = log 0,75 𝑛 = 1,75 En otras palabras, un año.

I. Una máquina industrial se compró hace cinco años, y su valor decrece exponencialmente con el tiempo según la fórmula V (t) = 4549,46 * 0,907485t, donde t es el número de años de uso. ¿Dentro de cuántos años se habrá reducido su valor a la mitad del valor original? Formula V (t) = 4549,46 ∙ 0,907485t F(x) = a ∙ 𝑏 𝑥

Valor original 4549,46

Vo =

4549,46 2

= 2274.73

4549.46 ∙ 0.907485𝑡 = 2274.73 2274.73 4549.46

0.907485𝑡 =

0.907485𝑡 = 0.5 log 0.907485𝑡 = log 0.5 𝑡 ∙ log 0.907485 = log 0.5 t=

log 0.5 log 0.907485

t = 7.14

REEMPLAZAMOS: V (t) = 4549,46 ∙ 0,907485t V (7.14) = 4549,46 ∙ 0,907485(7.14) = 4549,46 ∙ 0.500004266 = 2274.749411

2. Resuelva las siguientes ecuaciones: a) log 3 2𝑥 + log 3 (𝑥 + 1) = log 3 (𝑥 − 1) + 1 Log3 (2x2 + 2x) = Log3 (x-1)+1 Log3 (2x2 + 2x) - Log3 (x-1) = 1 Log3 (

2𝑥+2𝑥 𝑥−1

)=1

2𝑥(𝑥+1) ) Log3 ( 𝑥−1

31 = 3=

=1

2𝑥(𝑥+1) 𝑥−1

2𝑥(𝑥+1) 𝑥−1

= 2x (x+1) = 3 (x-1)

2x(x+1) = 3x-3 2x(x+1)-3x = -3 2x2 – x = -3 2x2 – x + 3 = 0 X no es un número real

b) log 2 (1 − 𝑤) + log 2 (3 − 𝑤) = 3 Log2 [(1-w) (3-w)] = Log2 23 (1-w) (3-w)= 8 3-w-3w+w2 =8 W2- 4w+3-8=0

W2-4w-5=0

x=

FACTORIZAR

−b±√b2 −4ac 2a

−(−4)±√(−4)2−4(1)(−5)

W=

2(1) 4±√16+20

W=

2

W = W1 = W2 =

FORMULA

4±√36 2

4+6 2

=

4−6 2

10 2 2

=

2

=5 =1

c) log 2 (𝑦 2 − 12) + log 2(3 − 𝑦 2) = 3 log 2 ((𝑦 2 − 12)(3 − 𝑦 2 )) = 3 log 2 (3𝑦 2 − 𝑦 4 − 36 + 12𝑦 2 ) = 3 log 2 (−𝑦 4 + 15𝑦 2 − 36) = log 2 23 log 2 (15𝑦 2 − 𝑦 4 − 36) = log 2 8

−𝑦 4 + 15𝑦 2 − 36 = 8 −𝑦 4 + 15𝑦 2 − 36 − 8 = 0 −𝑦 4 + 15𝑦 2 − 44 = 0 (-1) 𝑦 4 − 15𝑦 2 + 44 = 0 𝑦2 = 𝑧

𝑧 2 − 15𝑧 + 44 = 0

a

𝑧=

b

c

15±√152 − 4 (1) (44) 2(1)

𝑍=

15 ± √225 − 4 ( 1 ) ∙ (44 ) 2(1)

𝑍=

15 ± √225 − 176 2(1)

𝑍=

15 ± √225 − 176 2

𝑍=

15 ± √49 2

𝑍1 = 𝑍=

15 + 7 2

22

=

2

= 11

15 ± 7 2

𝑍2 =

15 − 7 2

𝑦 2 = 𝑍 → 𝑦 = ± √𝑍 𝑦1 = 2 ±√4 𝑦2 = −2

=

8 2

=4

𝑦3 = √11 ±√11 𝑦4 = −√11

d) 2𝑤 − 1 =

2𝑤 − 1 =

−5(3𝑤+2) 2𝑤+1

−15 − 10 2𝑤 + 1

2𝑤 − 1(2𝑤 + 1) = −15𝑤 − 10 (2𝑤 − 1)(2𝑤 + 1) + 15𝑤 + 10 = 0 4𝑤 2 − 1 + 15𝑤 + 10 = 0 4𝑤 2 + 9 + 15𝑤 = 0 4𝑤 2 + 15𝑤 + 9 = 0 4𝑤 2 + 12𝑤 + 3𝑤 + 9 = 0 4𝑤 × (𝑤 + 3) + 3(𝑤 + 3) = 0 (𝑤 + 3) × (4𝑤 + 3) = 0 𝑤+3 = 0 4𝑤 + 3 = 0 𝑤 = −3 3 1 𝑤 = − ,𝑤 ≠ 4 2 𝑤 = −3 −3 𝑤= 4 3 𝑤1 = −3, 𝑤2 = − = 0,75 4 3. Resuelva las siguientes inecuaciones. a) 𝑤 2 > (𝑤 − 1)2 + 5

w² > w² - 2w + 1 + 5 0 > - 2w + 1 + 5 0 > - 2w + 6 2w > 6

W>

6 2

W>3 + -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

(3, + ∞)

b) 3 ≥

𝑥−1 3

> −4

3(3) ≥ 𝑥 − 1 > 3(−4) 9 ≥ 𝑥 − 1 > −12 9 + 1 ≥ 𝑥 > −12 + 1 10 ≥ 𝑥 > −11 𝑥 ∈ (−11,10]

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 c) 1 – |5 − 7| < − 1-│5-7x│ < -

2 5

2 5 2

-│5-7x│ < - +1 5

-│5-7x│
0 (9 + 1). (2 − q) > 0 q2 < 0 (q + 1). (2 − q) < 0 q ∈ R → {0} → q ∈ (−1,2) (q + 1). (2 − q) > 0 q2 < 0 (q + 1). (2 − q) < 0 → q ∈ ∅ q ∈ (−∞, −1) ∪ (2, +∞) q ∈ (−1,0) ∪ (0,2) q∈∅ q ∈ (−∞, −1) ∪ (2, +∞) q ∈ (1,0) ∪ (0,2) q∈∅ q ∈ (−1,0) ∪ (0,2), q ≠ −1, q ≠ 2 q ∈ (−1,0) ∪ (0,2)

Los problemas planteados en este taller fueron tomados del documento: Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemáticas. Ejercicios de Matemática para Administración. M.Sc. Luis Alejandro Acuña (2018)

RESOLVIERON LOS EJERCICIOS

GRUPO 1

GRUPO 2

1I

Luisa Fernanda Martínez Moreno

Dayana Carolina Retamozo Rivera

1I

Selena Vanessa León Díaz

Isabella Fernández Regalao

2C

María de Jesús del Castillo Álvarez

3A

Marianna Garrido García

Luisa Fernanda Carillo Rojas

1D

José Raúl Atehortúa Campo

Valeria María Villero Araujo

1D

Anthony Smith García Martínez

1E-F GRUPO 3

GRUPO 4

GRUPO 5

GRUPO 6

GRUPO 7

EXPLICARON LOS EJERCICIOS

Luz Gabriela Quintero Salas

Jaider Francisco González Guerra

1A

Adriana Judith Cot Olaya

Diego Indalecio Caña Quintero

1H

Faudys Enrique Palacio Serrano

Harvieth Jhoan Calvo García

1H

Ángela Lucia Rangel Yepes

Valentina Méndez Quintero

1G

Lilian Melisa Mosquera Córdoba

1G

José Amiro Molina Ramos

2A

Imera Sofía Bohórquez Bernier

José Luis Aparicio Rodríguez

1C

Roberto Carlos Beleño Lerma

Jack Harry Puello López

3B

María Camila Merchán Maestre

2B

Silieth Lorena Zambrano Figueroa

2B

Valentina Gutiérrez Anillo

Cristian Leonel Pesca Pérez

3G

Miguel Alberto García Vega

Camilo Andrés Rangel Guerrero

3G

Lais Andrea Pabón Galvis

3D

Marcela Patricia Paredes Suarez

María Vergara Ávila

2D

Valentina Pedrozo Reyes

Lisayn Daza Palmera

1B

José Andrés Torres Mendoza