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• Cristian Felipe Perez

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´ ticas ba ´ sicas Fundamentos de matema Luis Cornelio Recalde Doris Hinestroza Humberto Mora Miguel Marmolejo ´ Jairo Alvarez Ernesto Acosta

´Indice general 1 L´ ogica y conjuntos 1.1 Algunas anotaciones hist´oricas de la l´ogica y la teor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La l´ogica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 L´ogica y matem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Clasificaci´ on de las proposiciones . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Simbolizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Sintaxis de la l´ ogica proposicional . . . . . . . . . . 1.4.2 Sem´ antica de la l´ ogica proposicional . . . . . . . . . 1.5 Razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Tautolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Contradicci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Reglas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 L´ogica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Cuantificadores L´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Algunas simbolizaciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Negaci´on de los cuantificadores . . . . . . . . . . . 1.6.4 Distribuci´on de cuantificadores . . . . . . . . . . . 1.6.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 M´etodos de demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Demostraci´on directa . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 M´etodo del contrarrec´ıproco . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 M´etodo de demostraci´on por contradicci´on o reducci´on al absurdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4 Demostraci´on por disyunci´on de casos . . . . . . . 1.7.5 Demostraci´on por contraejemplo . . . . . . . . . . . 1.7.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Nociones fundamentales de conjuntos . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Formas de designar los conjuntos . . . . . . . . . . ii

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 2 4 5 6 8 13 13 15 17 20 24 25 26 28 29 29 32 34 35

. . . . . .

37 39 39 40 41 41

´INDICE GENERAL 1.8.2 1.8.3 1.8.4 1.8.5 1.8.6

Principios b´asicos para la formaci´on Operaciones con conjuntos . . . . . Conjuntos coordinables, relaciones . Los n´ umeros naturales . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

iii de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

2 Los n´ umeros reales como sistema matem´ atico 2.1 Algunas anotaciones hist´oricas de los n´ umeros reales . . . 2.2 Construcci´on conjuntista de R . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Los n´ umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Los n´ umeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Los n´ umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Los n´ umeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Los n´ umeros como resultado de la actividad de medir y contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 La representaci´on de los n´ umeros reales: Numerales decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Sistemas de numeraci´on antiguos . . . . . . . . . . 2.2.8 El sistema binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Interpretaci´on geom´etrica de los n´ umeros reales . . . . . . 2.3.1 La recta num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Estructura algebraica de los n´ umeros reales . . . . . . . . . 2.4.1 Componentes del sistema matem´atico de los n´ umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 La estructura algebraica de los n´ umeros reales . . . 2.4.3 Inversos y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Algunos teoremas sobre los n´ umeros reales . . . . . 2.4.5 Potencias enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Estructura de orden de los n´ umeros reales . . . . . . . . . 2.5.1 Los axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Valor Absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5 Propiedad del superior . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.6 La existencia de ra´ıces n-´esimas . . . . . . . . . . . 2.5.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

42 49 55 57 58

. . . . . .

64 64 66 66 71 77 81

. 83 . . . . . . . .

85 88 92 96 99 102 109 111

. . . . . . . . . . . . . .

112 112 118 120 124 130 137 137 139 140 150 153 161 164

iv

´INDICE GENERAL

3 Operaciones con n´ umeros reales y n´ umeros complejos 171 3.1 Sistemas matem´aticos y subsistemas de los reales . . . . . . 171 3.1.1 El subsistema de los n´ umeros racionales . . . . . . . 172 3.1.2 El subsistema de los n´ umeros enteros . . . . . . . . . 173 3.1.3 Principio de inducci´on matem´atica . . . . . . . . . . 174 3.1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.2 Sumas y sucesiones de n´ umeros . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.2.1 Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.2.2 Sucesiones num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.2.3 Progresiones aritm´eticas. . . . . . . . . . . . . . . . . 182 3.2.4 Progresiones geom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . 186 3.2.5 Series num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 3.3 Exponenciaci´on y logaritmaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.3.1 Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.3.2 Exponentes racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 3.3.3 Exponentes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 3.3.4 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 3.3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 3.4 N´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 3.4.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 3.4.2 El sistema de los n´ umeros complejos . . . . . . . . . 230 3.4.3 Representaci´on geom´etrica de los n´ umeros complejos 235 3.4.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 ´ 4 Algebra 244 4.1 Algunas anotaciones sobre el desarrollo hist´orico del ´algebra 244 4.2 Expresiones variables y factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . 247 4.2.1 El objeto del ´algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.2.2 Expresiones matem´aticas variables . . . . . . . . . . 252 4.2.3 Tipos de expresiones variables . . . . . . . . . . . . . 254 4.2.4 Operaciones con expresiones variables . . . . . . . . . 258 4.2.5 Suma y resta de polinomios . . . . . . . . . . . . . . 259 4.2.6 Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 261 4.2.7 Productos notables y factorizaci´on . . . . . . . . . . 262 4.2.8 El teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 4.2.9 Operaciones con expresiones racionales y variables en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 4.2.10 Racionalizaci´on de denominadores . . . . . . . . . . . 279

´INDICE GENERAL

v

4.2.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Divisi´on de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 El algoritmo de la divisi´on . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 La divisi´on sint´etica (regla de Rufini) . . . . . . . . 4.3.4 El teorema del residuo y el teorema del factor. . . . 4.3.5 El teorema fundamental del ´algebra . . . . . . . . . 4.3.6 Ceros racionales de un polinomio con coeficientes enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Funciones 5.1 Algunas anotaciones hist´oricas de la noci´on de funci´on 5.2 Elementos generales de las funciones . . . . . . . . . . 5.2.1 Definici´on general del concepto de funci´on . . . 5.2.2 Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Diversas representaciones . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Gr´afica de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Diferentes tipos de funciones . . . . . . . . . . . 5.2.6 C´alculo del dominio y rango de una funci´on . . 5.2.7 Clases de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.8 Composici´on de funciones . . . . . . . . . . . . 5.2.9 Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Funciones num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.3.1 Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Gr´afica de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Transformaci´on de gr´aficas . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Crecimiento y decrecimiento de funciones . . . . 5.3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Algunas funciones num´ericas especiales . . . . . . . . . 5.4.1 Funciones polin´omicas . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Funciones cuadr´aticas . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 Funciones logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 El origen de la trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . 5.5.2 Medida de ´angulos . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

281 288 288 289 292 295 297

. 302 . 306 311 . 311 . 315 . 315 . 316 . 320 . 324 . 328 . 329 . 330 . 332 . 333 . 337 . 340 . 341 . 342 . 349 . 355 . 361 . 366 . 366 . 366 . 372 . 378 . 380 . 384 . 384 . 384

´INDICE GENERAL

vi 5.5.3 5.5.4 5.5.5 5.5.6 5.5.7

Relaciones trigonom´etricas . . . . . . . . . Definici´on de las funciones trigonom´etricas Inversas de las funciones trigonom´etricas. . Identidades trigonom´etricas . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A Ap´ endice 1: Ecuaciones e inecuaciones A.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Ecuaciones equivalentes y transformaci´on A.4 Tipos de ecuaciones . . . . . . . . . . . . A.5 Soluci´on de algunas ecuaciones t´ıpicas . . A.6 Soluci´on de ecuaciones fraccionarias . . . A.7 Soluci´on de otros tipos de ecuaciones . . A.8 Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . A.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

388 390 397 402 411

. . . . . . . . .

417 . 417 . 419 . 422 . 429 . 430 . 437 . 439 . 442 . 450

B Ap´ endice 2: As´ıntotas de una funci´ on 455 B.0.1 As´ıntotas de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 455 C Ap´ endice 3: Factoriales y Permutaciones

459

Cap´ıtulo

1 Euclides fue un matem´ atico y ge´ ometra griego. Se le conoce como “El Padre de la Geometr´ıa”.

L´ ogica y conjuntos 1.1.

Algunas anotaciones hist´ oricas de la l´ ogica y la teor´ıa de conjuntos

Se reconoce a Plat´on (427 a.C. - 347 a.C.) y a Arist´oteles (384 a.C. - 332 a.C.) como los primeros fil´osofos de la Grecia antigua, que establecieron las bases conceptuales de los argumentos l´ogicos que fueron utilizados por Euclides (325 a. C. - 265 a. C.) en los procesos de demostraci´ on en su libro de geometr´ıa llamado los “Elementos”. Para ello Arist´oteles utiliza tres grandes principios l´ogicos que gobiernan dichos procesos: el principio de identidad, el principio de tercero excluido y el principio de no contradicci´on. Estos principios fueron adoptados por los te´ologos y fil´osofos de la Edad Media como Pedro Abelardo y Tom´as de Aquino bajo el nombre de dial´ectica. En el siglo XIX, la necesidad de fundamentar las matem´aticas exige la implementaci´on de una l´ogica que obedezca a los problemas de rigor. De 1

2

L´ogica y conjuntos

esta manera se desarrolla la l´ogica simb´olica, la l´ogica booleana, el c´alculo proposicional y la inducci´on matem´atica. Entonces el objeto de la l´ogica ya no se enmarca en establecer las leyes de pensamiento, sino en determinar un m´etodo que permita diferenciar los razonamientos correctos de los incorrectos. Entre sus principales pensadores podemos citar a Peano, Hilbert, Russell, y G¨odel. Por u ´ltimo, la teor´ıa de conjuntos tiene mucha relaci´on con los desarrollos l´ogicos y constituyen el cimiento del edificio matem´atico, dado que en general, todas las nociones matem´aticas se relacionan con los conjuntos, tal es el caso de los n´ umeros naturales, enteros, racionales y reales al igual que las nociones de relaci´on y funci´on. OBJETIVOS DEL CAPITULO • Determinar la validez de un razonamiento (razonamiento correcto o incorrecto) usando los elementos de la l´ogica proposicional. • Implementar la l´ogica proposicional como herramienta fundamental en el desarrollo de la teor´ıa de conjuntos.

1.2.

La l´ ogica proposicional

L´ogica y matem´aticas Los procedimientos usados en matem´aticas exigen ser demostrados a trav´es del m´etodo hipot´etico-deductivo. Para ello las matem´aticas hacen uso de la l´ogica. La l´ogica es la ciencia que se encarga de exponer las leyes, modos y formas del razonamiento y que tiene por objeto el estudio de los m´etodos y principios que permiten distinguir entre los buenos argumentos (argumentos correctos o argumentos v´alidos) y los malos argumentos (argumentos no correctos o argumentos inv´alidos). 1.2.1 Definici´ on argumento Un argumento est´a formado por un conjunto de una o m´as oraciones, una de las cuales se denomina conclusi´ on; las otras se denominan premisas.

La l´ogica proposicional

3

1.2.2 Ejemplo Analicemos el siguiente argumento en el cual la conclusi´on se ha separado de las dos premisas por medio de la l´ınea horizontal Todos los animales tienen cuatro patas. Los c´ ondores son animales. Luego, los c´ondores tienen cuatro patas.

Este argumento que tiene como premisas las dos primeras oraciones y la tercera es la conclusi´on, es correcto, pues la conclusi´on es una consecuencia de las premisas. Este argumento obedece a una forma gen´erica: Todos los elementos de A son elementos de B. x es un elemento de A. Luego, x es un elemento de B.

Observemos que no importa la veracidad de la oraci´on “los c´ondores tienen cuatro patas”, sino el esquema de la argumentaci´on. Lo correcto o no de un argumento depende de la forma en que se relacionan las oraciones que los componen sin importar su significado. A continuaci´on daremos los elementos necesarios para determinar la validez o no de un razonamiento. En el lenguaje natural las frases u oraciones son de diferente tipo: interrogativo, como ¿qu´e hora es?, ¿qui´en es el presidente?, imperativo como ¡Det´engase!, ¡es una orden!, exclamativo ¡qu´e calor tan desesperante!, y declarativo “hoy es lunes”,“la l´ogica es fundamental en el aprendizaje de las matem´aticas”. Estas u ´ltimas frases pueden ser afirmadas o negadas. Esto da origen a la siguiente definici´on. 1.2.3 Definici´ on proposici´ on Una proposici´on es un enunciado declarativo que, expresado en un contexto particular, tiene sentido preguntarse si es falso o verdadero. 1.2.4 Ejemplo 1. La capital de Colombia es Cartagena. √ 2. 4 = 2. 3. Quiero ser matem´atico.

4

L´ogica y conjuntos

4. Si 2x + 5 = 0, entonces x = 0. 5. x + 7 = 0. 6. 11 < 4. 7. ¿llover´a el s´abado?. 8. En una galaxia, diferente de la V´ıa L´actea, hay vida inteligente. 9. Todo n´ umero par mayor o igual a 4 es una suma de dos primos. Las frases tres, cinco y siete no son proposiciones, las frases uno, dos, cuatro y seis son proposiciones. Las frases ocho y nueve tambi´en lo son aunque no se puede decir con total certeza pues no se posee los elementos necesarios para darle su asignaci´on. Esta u ´ltima frase es conocida como la conjetura de Goldbach (por una carta a Euler en 1742). La frase cinco no es una proposici´on pero si le damos un valor a la variable x, ´esta se vuelve una proposici´on. Esta se conoce como proposici´on abierta. 1.2.5 Definici´ on funci´ on proposicional Una funci´on proposicional (llamada tambi´en proposici´on abierta) es un enunciado que depende de x y que origina una proposici´on cada vez que la variable x se sustituye por un valor apropiado x0. 1.2.6 Definici´ on l´ ogica proposicional La l´ ogica proposicional es un tipo especial de l´ogica en la cual en los argumentos s´olo se usan proposiciones.

1.3.

Clasificaci´ on de las proposiciones

En l´ogica distinguimos dos tipos de proposiciones: simples o at´ omicas y compuestas o moleculares. Las proposiciones at´omicas son aquellas que corresponden a frases simples; en la gram´atica t´ıpica corresponde a las oraciones que tienen un s´olo verbo. 1.3.1

Ejemplo

Simbolizaci´ on

5

1. El dos es menor que el tres. 2. El r´ıo Nilo atraviesa Paris. Las proposiciones moleculares se componen de dos o m´as proposiciones simples, ligadas a trav´es de conectivos l´ ogicos. En nuestro caso utilizaremos los siguientes conectivos l´ogicos. Conectivo. ✭✭no es cierto que✮✮. ✭✭y✮✮. ✭✭o✮✮. ✭✭si ... entonces✮✮. ✭✭si y s´olo si✮✮. 1.3.2

Tipo de proposici´ on. Negaci´on. Conjunci´on. Disyunci´on. Condicional. Bicondicional.

Ejemplo

1. Si el domingo llueve, entonces no ir´e al cine. 2. Roberto est´a en la casa o en el colegio. 3. Luis canta y baila.

1.4.

Simbolizaci´ on

Los argumentos que se desarrollan en el lenguaje cotidiano, ya sea en querellas jur´ıdicas o en discusiones rutinarias, en general, presentan muchas ambig¨ uedades. Las palabras utilizadas tienen diversas connotaciones y las frases pueden recargarse de emociones, deseos o ilusiones. Estas cuestiones, unidas a los giros idiom´aticos, en muchas ocasiones hacen dif´ıcil establecer significados precisos. Una misma frase puede significar cosas diferentes, dependiendo si se dice con iron´ıa, placer o alegr´ıa. Con el prop´osito de evitar las confusiones, propias del lenguaje natural, en matem´aticas se ha establecido un lenguaje simb´olico. Para la constituci´on de un lenguaje simb´olico es necesario partir de una serie de reglas claras y sencillas, que nos permitan manejar de manera adecuada los enunciados propios de la l´ogica. En general, un lenguaje simb´olico consta de dos elementos b´asicos: Sintaxis y Sem´ antica.

6

L´ogica y conjuntos

Sintaxis de la l´ogica proposicional El lenguaje de la l´ogica proposicional est´a conformado por varios s´ımbolos, algunos de los cuales aparecen a continuaci´on: S´ımbolo. ( ) ∼ ∨ ∧ −→ ←→ p, q, . . .

Nombre. Par´entesis izquierdo. Par´entesis derecho. Negaci´on. Disyunci´on. Conjunci´on. Condicional. Bicondicional. S´ımbolos proposicionales.

Observaciones.

Espa˜ nol: Espa˜ nol: Espa˜ nol: Espa˜ nol: Espa˜ nol:

no. o. y. si... , entonces. si y s´olo si.

Cualquier cadena de estos s´ımbolos, repetidos o no, constituye una frase del lenguaje proposicional. Al igual que en cualquier idioma, no todas las frases tienen sentido. Los cinco s´ımbolos ∼, ∨, ∧, −→, ←→ se llaman conectivos l´ogicos. Por ello es necesario precisar algunas reglas sint´acticas para obtener las f´ormulas proposicionales ´o f´ormulas bien formadas: fbf. Las f´ormulas bien formadas (fbf) son aquellas palabras construidas siguiendo las siguientes normas: 1. Los s´ımbolos proposicionales son fbf’s. 2. Si α es una fbf, tambi´en lo es ∼ (α). 3. Si α y β son fbfs, tambi´en lo son (α) ∨ (β), (α) ∧ (β), (α) −→ (β) y (α) ←→ (β). 4. S´olo son fbfs las que se obtienen por la combinaci´on de los pasos anteriores. 1.4.1

Ejemplo

1. ∼ (p) es una fbf. 2. (∼ (p)) ∧ (q) es una fbf. En este caso α = ∼ (p) y β = (q). 3. ((∼ (p)) ∧ (q)) −→ (r) es una fbf, donde α = (∼ (p)) ∧ (q) y β = (r). Podemos s´olo escribir (∼ p ∧ q) −→ r. !

"

!

"

4. (∼ (p)) ∧ ((q) ∨ (r)) −→ ∼ ((∼ (q)) −→ (r)) es una fbf, en la

7

Simbolizaci´ on !

"

!

"

cual: α = (∼ (p)) ∧ ((q) ∨ (r)) y β = ∼ ((∼ (q)) −→ (r)) . α se obtiene de α1 = ∼ (p) y α2 = (q) ∨ (r), cada una de las cuales son fbfs. A su vez β se obtiene de β1 = (∼ (q))! −→ (r), y ´esta " de β = ∼ (q) y β3"= (r). Podemos s´olo escribir ∼ p ∧ (q ∨ r) −→ !2 ∼ (∼ q −→ r) .

5. La expresi´on p ∨ ∧ q no es una fbf, pues no se puede obtener aplicando las normas dadas antes. Igual con las expresiones s −→ (q ∼) y (←→)(q ∨ p).

En la medida que no se produzcan confusiones es conveniente presentar las fbfs con el menor n´ umero de par´entesis posible. Para ello se establecen las siguientes convenciones: 1. Los s´ımbolos proposicionales no necesitan par´entesis. 2. El s´ımbolo de la negaci´on act´ ua sobre la fbf m´as corta a su derecha. 3. Cuando una fbf tiene varios conectivos, primero act´ uan ∨, ∧ y luego −→, ←→. 1.4.2

Ejemplo

1. En lugar de la fbf ∼ (p) se puede escribir ∼ p. !

"

2. La fbf (p) ∧ ∼ (q) puede escribirse como p ∧ ∼ q. !

"

!

"

3. La fbf (p)∧(q) −→ ∼ (r) , podemos escribirla como p∧q −→ ∼ r. 4. Al simplificar par´entesis no necesarios en la fbf #!

"

$

!

(p) ∧ (q) ∨ (r) −→ (∼ (q)) −→ (r)

"

quedar´a (p ∧ q) ∨ r −→ (∼ q −→ r). En general, las denominaremos fbf, f´ormulas proposicionales o simplemente proposiciones.

8

L´ogica y conjuntos

Sem´antica de la l´ogica proposicional En las matem´aticas cl´asicas utilizamos la l´ogica est´andar, en la cual se convienen dos valores alternativos. V , llamado verdadero, y F , llamado falso. 1.4.3 Definici´ on sem´ antica El proceso mediante el cual a cada f´ormula bien formada se le da una asignaci´on de falsa (F ) o verdadera (V ), conociendo las asignaciones dadas a las f´ormulas at´omicas, se denomina sem´ antica de la l´ ogica proposicional. A partir de la asignaci´on de valores de verdad, dados a los s´ımbolos proposicionales, incorporamos unas reglas para la negaci´on, la disyunci´on, la conjunci´on, el condicional y el bicondicional, que nos permita asignarles un u ´nico valor a cada fbf.

La negaci´ on La negaci´ on es un conectivo que no enlaza proposiciones, sino que ✭✭act´ ua✮✮ sobre una proposici´on cambi´andole el sentido y formando otra. En el lenguaje corriente este conectivo se expresa mediante los t´erminos: ✭✭no es cierto que✮✮, ✭✭no ocurre que✮✮, ✭✭no sucede que✮✮, ✭✭es falso que✮✮, o simplemente, ✭✭no✮✮. 1.4.4

Ejemplo

1. No es cierto que trece sea un n´ umero primo. 2. Borges no escribi´o la Divina comedia. Si p es verdadera entonces ∼ p es falsa. Si p es falsa, ∼ p es verdadera. La tabla de verdad quedar´ıa: p V F

∼p F V

La conjunci´ on La conjunci´ on enlaza dos o m´as enunciados a trav´es de t´erminos como ✭✭y✮✮, ✭✭sin embargo✮✮, ✭✭pero✮✮, ✭✭aunque✮✮, ✭✭adem´as✮✮... Tambi´en el punto se-

Simbolizaci´ on

9

guido y el punto y coma se interpretan, en ocasiones, como conjunciones. 1.4.5

Ejemplo

1. Ecuador es un pa´ıs sudamericano y Argentina es un pa´ıs europeo. 2. El dos es n´ umero par, pero tambi´en es un n´ umero primo. 3. Las matem´aticas alegran la vida, nos hace mejores ciudadanos, y son la base de otras ciencias. La f´ormula p ∧ q es verdadera si y s´olo si p y q son ambas verdaderas. La tabla de verdad de p ∧ q (conjunci´ on) est´a dada por: p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

Es conveniente advertir que la presencia de la ✭✭y✮✮ no implica autom´aticamente que el enunciado sea compuesto, tal es el caso de la frase: ✭✭Efra´ın y Mar´ıa representan el prototipo del amor rom´antico✮✮.

La disyunci´ on Cuando dos proposiciones se combinan insertando el vocablo ✭✭o✮✮ se consigue una proposici´on compuesta denominada disyunci´ on. Las disyunciones pueden ser de dos tipos: inclusivas y exclusivas. En las exclusivas se interpreta que s´olo una de las proposiciones es verdadera, mientras que en las inclusivas al menos una de las proposiciones es verdadera, es decir, pueden ser verdaderas ambas. 1.4.6

Ejemplo

1. Juan habla portugu´es o habla italiano. 2. O el cinco es un n´ umero positivo o es un n´ umero negativo. La proposici´on 1 es inclusiva, mientras que la proposiciones 2 es exclusiva.

10

L´ogica y conjuntos

La f´ormula p ∨ q es verdadera si y s´olo si p es verdadera o q es verdadera. La tabla de verdad de p ∨ q (disyunci´ on) est´a dada por: p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

Una notaci´on usual para el “o” exclusivo es !. La tabla de verdad del “o” es la siguiente: p V V F F

q V F V F

p!q F V V F

El condicional o implicaci´ on El conectivo condicional se utiliza cuando aparece la acci´on de consecuencia. Tambi´en se denomina implicaci´on. El condicional aparece enlazando dos proposiciones a las que, adem´as de otros nombres, las podemos llamar antecedente y consecuente, a trav´es de las expresiones ✭✭si... entonces...✮✮, ✭✭siempre que✮✮, ✭✭luego✮✮, ✭✭si✮✮, seg´ un los siguientes esquemas : 1. Si siete es un n´ umero par, entonces siete es un n´ umero impar. Antecedente: Siete es un n´ umero par. Consecuente: Siete es un n´ umero impar. 2. Un cuerpo celeste es un planeta, siempre que no tenga luz propia. Antecedente: Un cuerpo celeste no tiene luz propia. Consecuente: Un cuerpo celeste es un planeta. Las implicaciones juegan un papel fundamental en los desarrollos l´ogicos, pues es a trav´es de ´estas que se intenta caracterizar el sentido de consecuencia l´ ogica. la proposici´on p −→ q, (se lee p implica q), se conoce como proposici´on condicional. Recordemos que a p se le llama antecedente y a q consecuente. Se acostumbra con esta implicaci´on decir que:

Simbolizaci´ on

11

p es condici´ on suficiente para q; q es condici´ on necesaria para p. Su tabla de verdad est´a dada por: p V V F F

q V F V F

p −→ q V F V V

Tambi´en podemos decir que p es la hip´ otesis y q es la conclusi´ on o que de p se sigue q. El hecho de que la implicaci´on sea verdadera cuando p sea falsa y q verdadera, indica que de una falsedad se puede concluir una verdad. En esta misma direcci´on, el hecho de que tambi´en la implicaci´on es verdadera cuando p es falsa y q falsa, nos lleva a concluir que de una falsedad se puede concluir otra falsedad. Vale la pena reiterar que estas asignaciones no excluyen cierta arbitrariedad, pues se pueden dar ejemplos que no concuerden con tal valoraci´on. Sin embargo, ellas constituyen una herramienta fundamental en la implementaci´on de algunos aspectos te´oricos b´asicos de las matem´aticas. En particular esta interpretaci´on de la implicaci´on nos permite sustentar formalmente que el conjunto vac´ıo es subconjunto de todo conjunto. 1.4.7 Definici´ on rec´ıproca A la proposici´on q −→ p se le llama la rec´ıproca de la proposici´on p −→ q. Obs´ervese que la veracidad p −→ q no garantiza la de q −→ p; como lo muestra el siguiente caso. 1.4.8 Ejemplo La proposici´on x = 3 −→ x2 = 9, es verdadera, mientras que la rec´ıproca: x2 = 9 −→ x = 3, es falsa porque cuando x toma el valor de −3, (−3)2 = 9 y sin embargo 3 ̸= −3. 1.4.9 Definici´ on contrarec´ıproca A la proposici´on ∼ q −→ ∼ p se le llama la contrarec´ıproca de la proposici´on p −→ q.

12

L´ogica y conjuntos

1.4.10 Ejemplo La proposici´on ∼ (x2 = 9) −→∼ (x = 3), equivalente a x2 ̸= 9 −→ x ̸= 3, es la contrarec´ıproca de la primera proposici´on presentada en el ejemplo anterior. Obs´ervese que esta proposici´on tambi´en es verdadera. M´as adelante mostraremos que este resultado se cumple en general.

El bicondicional o la doble implicaci´ on El bicondicional se expresa mediante la expresi´on ✭✭si y s´olo si✮✮ e indica una relaci´on de doble condicional entre los enunciados. 1.4.11

Ejemplo

1. Dos es un n´ umero primo si y s´olo si dos es un n´ umero impar. 2. Los patos son aves si y s´olo si los patos no vuelan. La f´ormula p ←→ q ser´a verdadera si p y q son verdaderas, o´, p y q son falsas. Su tabla de verdad est´a dada por: p V V F F

q V F V F

p ←→ q V F F V

Cuando p ←→ q es verdadera, se suele decir que las proposiciones p y q son equivalentes. Si asignamos los valores de verdad a un conjunto de letras proposicionales, quedan determinados, de manera u ´nica, los valores de verdad para cada f´ormula que contenga alguna de estas letras. 1.4.12 Ejemplo Sea el conjunto de letras proposicionales: {p, q, r, s}; sea la asignaci´on p = V , q = F , r = F y s = V. Para las f´ormulas: α = (∼ p −→ r) ∨ (p ∧ s) y β = (q ∧ ∼ s) ←→ p, tenemos que α = V y β = F .

Razonamientos

1.5.

13

Razonamientos

Tautolog´ıa 1.5.1 Definici´ on tautolog´ıa Una f´ormula proposicional es una tautolog´ıa si es verdadera para todas las asignaciones de verdad de las letras proposicionales que la componen. 1.5.2

Ejemplo p V F

La doble negaci´on: p ←→ ∼ (∼ p): ∼ p ∼ (∼ p) p ←→ ∼ (∼ p) F V V V F V

1.5.3 Ejemplo La proposici´on (p −→ q) ←→ (∼ p ∨ q) es una tautolog´ıa, como se muestra en la siguiente tabla de verdad. p V V F F

q V F V F

∼ p ∼ p ∨ q p −→ q (p −→ q) ←→ (∼ p ∨ q) F V V V F F F V V V V V V V V V

An´alogamente la proposici´on ∼ (p −→ q) ←→ (p ∧ ∼ q) es una tautolog´ıa. En este caso diremos que las proposiciones ∼ (p −→ q) y (p ∧ ∼ q) son l´ ogicamente equivalentes, para lo cual utilizamos la designaci´on ∼ (p −→ q) ≡ (p ∧ ∼ q). 1.5.4 Definici´ on equivalencia l´ ogica Dos fbfs, α y β, son l´ ogicamente equivalentes cuando tienen la misma tabla de verdad. Dicho de otra forma, cuando α ↔ β es una tautolog´ıa. Si α y β son l´ogicamente equivalentes se escribe α ≡ β.

14

L´ogica y conjuntos

1.5.5 Ejemplo A partir de la siguiente tabla de verdad podemos determinar la tautolog´ıa y por consiguiente que las proposiciones p −→ q y ∼ q −→ ∼ p son equivalentes. p V V F F

q V F V F

∼ p ∼ q p −→ q ∼ q F F V F V F V F V V V V

−→ ∼ p (p −→ q) ←→ (∼ q −→ ∼ p) V V F V V V V V

Demostrar que una fbf es una tautolog´ıa a trav´es de las tablas de verdad puede resultar bastante dispendioso, especialmente si se tienen muchos s´ımbolos proposicionales. En el caso de 2 s´ımbolos proposicionales se tienen 4 casos; para 3 s´ımbolos se tienen 8 casos y para 4 s´ımbolos, 16 casos. Se puede demostrar que para n s´ımbolos, se tienen 2n casos. En el fondo no se necesita dar todas las asignaciones; basta con tener en cuenta ciertos casos. Por lo menos para demostrar que una fbf no es una tautolog´ıa es suficiente mostrar una asignaci´on que la haga falsa. !

"

1.5.6 Ejemplo La proposici´on, (p −→ q) ∧ r −→ (q ∧ r) no es una tautolog´ıa porque para la asignaci´on p = F , q = F y r = V , ella es falsa. p F

q F

1.5.7

r V

p ⇒ q (p −→ q) ∧ r q ∧ r ((p −→ q) ∧ r) −→ (q ∧ r) V V F F

Ejemplo

1. Para mostrar que la proposici´on (p −→ q) −→ (∼ p ∨ q) es una tautolog´ıa, supongamos que para una asignaci´on ella es falsa. De acuerdo a las reglas de asignaci´on expuestas antes, tendr´ıamos que (p −→ q) ser´ıa verdadera y (∼ p ∨ q) falsa.

(∼ p ∨ q) es falsa cuando ∼ p es falsa y q falsa, o sea, cuando p es verdadera y q falsa. Pero eso significa que p −→ q ser´ıa falsa; lo cual no puede darse porque hab´ıamos partido de que era verdadera. Por lo tanto, no hay asignaciones para la cuales

Razonamientos

15

la proposici´on es falsa, sino todo lo contrario. Eso significa que es una tautolog´ıa. 2. Se deja como ejercicio demostrar las siguientes equivalencias l´ogicas usadas en muchos razonamientos: a) ∼ (∼ p) ≡ p (Doble negaci´on).

b) ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q (Ley de De Morgan). c) ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q (Ley de De Morgan). d) p ∧ q ≡ q ∧ p (Ley conmutativa). e) p ∨ q ≡ q ∨ p (Ley conmutativa).

Contradicci´on Cuando una proposici´on siempre es falsa obtenemos una contradicci´ on. 1.5.8 Ejemplo Considerando la tabla de verdad de la proposici´on p ∧ ∼ p tenemos una contradicci´on. p V F

∼ p p∧ ∼ p F F V F

En general es inmediato ver que si una proposici´on α es una tautolog´ıa, entonces su negaci´on ∼ α es una contradicci´on (y viceversa).

16

L´ogica y conjuntos

1.5.9 Definici´ on razonamiento Un razonamiento est´a dado por una cadena de proposiciones P1 , P2 ,..., Pn (premisas), y C (conclusi´ on). Es usual la notaci´on: P1 , P2 , .. . Pn , C, para para representar un razonamiento. Los razonamientos pueden ser v´alidos (correctos) o no v´ alidos (incorrectos). Decimos que el razonamiento anterior es v´alido si la implicaci´on, P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn −→ C es una tautolog´ıa. En caso contrario se dice que el razonamiento no lo es. Generalmente, un razonamiento se presenta escribiendo de manera horizontal las premisas e identificando la conclusi´on. 1.5.10

Ejemplo

El razonamiento p −→ q, p, q,

consta de dos premisas: las proposiciones p −→ q y la proposici´on p; la conclusi´ on es q. Es un razonamiento v´alido puesto que ! " (p −→ q) ∧ p −→ q es una tautolog´ıa. Se denomina Modus ponendo ponens.

1.5.11

Ejemplo

El razonamiento p −→ r, ∼ p, ∼ r, !

"

no es v´alido, puesto que (p −→ r)∧ ∼ p −→ ∼ r no es una tautolog´ıa. A este razonamiento se le llama falacia por negaci´on del antecedente

Razonamientos

17

Reglas de inferencia Para efectos de validar razonamientos, es pertinente fijar unas reglas de inferencia, las cuales se toman como punto de partida para demostrar ´o refutar la validez de cualquier razonamiento. A continuaci´on se enuncian las m´as utilizadas: Modus (PP)

Ponendo

Ponens

Modus (TT)

Tollendo

p −→ q, p, q.

p −→ q, ∼ q, ∼ p.

Doble Negaci´ on (DN)

Ley de Adjunci´ on (A)

∼ (∼ p), p. Modus Tollendo Ponens (TP) p ∨ q, ∼ p, q.

p ∨ q, ∼ q, p.

Leyes de De Morgan ∼ (p ∧ q), ∼ p ∨ ∼ q.

∼ (p ∨ q), ∼ p ∧ ∼ q.

Ley de Conjunci´ on (C) p, q, p ∧ q.

q, p, q ∧ p.

Tollens

p, p ∨ q. Silogismo Hipot´ etico (SH)

Simplificaci´ on (S)

p ∧ q, p.

p −→ q, q −→ r, p −→ r.

p ∧ q, q.

Leyes Conmutativas p ∧ q, q ∧ p.

p ∨ q, q ∨ p.

Simplificaci´ on (SD) p ∨ p, p.

Disyuntiva

18

L´ogica y conjuntos

1.5.12 to:

Ejemplo

Demostrar la validez del siguiente razonamien-

Pedro estudia matem´ aticas o ingenier´ıa. Pedro no estudia matem´ aticas. Si Pedro estudia ingenier´ıa, quiere las matem´aticas. Pedro quiere las matem´ aticas.

El primer paso es simbolizar las proposiciones at´omicas: p : Pedro estudia matem´aticas. q : Pedro estudia ingenier´ıa. s : Pedro quiere las matem´aticas. As´ı el razonamiento quedar´a: p ∨ q, ∼ p, q −→ s, s. Ahora identifiquemos las premisas y la conclusi´on; usaremos las abreviaciones Pi , i = 1, 2, 3 para las premisas y C para la conclusi´on. P1 P2 P3 C

: p ∨ q, : ∼ p, : q −→ s, : s.

Una manera de validar este resultado es demostrar que f´ormula !

"

(p ∨ q) ∧ (∼ p) ∧ (q −→ s) −→ s,

es una tautolog´ıa. Sin embargo, este proceso resulta, como ya se ha se˜ nalado, un poco abstruso, debido a que debemos manejar tres variables y combinar valoraciones. En este caso vamos a validar el razonamiento, descomponiendo en pasos simples la inferencia, para despu´es unirlos. Paso 1.

Razonamientos

P1 : p ∨ q, P2 : ∼ p, C1 : q. Resultado que se obtiene aplicando la regla 3 (tp). Paso 2. C1 : q, P3 : q −→ s, C : s. El cual se obtiene aplicando la regla 1 (pp). En general, cada paso no se hace independiente sino que se presenta integrado, escribiendo al lado la explicaci´on pertinente: P1 P2 P3 P4 C

: p ∨ q, : ∼ p, : q −→ s, : q, tp P1 , P2 , : s, pp P3 , P4 .

1.5.13 Ejemplo Lea con cuidado el siguiente razonamiento. El objetivo es mostrar que la conclusi´on es consecuencia l´ogica de las premisas (P). Aplique algunas de las reglas de inferencias. Si Juan tiene 17 a˜ nos, entonces Juan tiene la misma edad de Mar´ıa. Si Carlos no tiene la misma edad de Juan, entonces Carlos tiene edad diferente de la de Mar´ıa. Juan tiene 17 a˜ nos y Carlos tiene la misma edad que Mar´ıa. Por lo tanto, Carlos tiene la misma edad que Juan y Juan tiene la misma edad que Mar´ıa.

Simbolizando convenientemente obtenemos: p: Juan tiene 17 a˜ nos q: Juan tiene la misma edad de Maria. r: Carlos tiene la misma edad de Juan. s: Carlos tiene la misma edad de Maria. El razonamiento se valida as´ı:

19

20

L´ogica y conjuntos

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 C

: p −→ q, Premisa. : ∼ r −→ ∼ s, Premisa. : p ∧ s, Premisa. : p, Regla 4 P3 . : q, Regla 1 P4 y P1 . : s, Regla 4 P3 . : r, Regla 2 P2 y P6 . : r ∧ q, Regla 11 P7 y P5 .

Como se puede observar, hemos llegado a la conclusi´on que quer´ıamos.

Ejercicios 1.5 En cada uno de los ejercicios del 1 al 8 responda verdadero o falso justificando su respuesta. 1. El enunciado ✭✭El tri´angulo es m´as grande que el c´ırculo✮✮ es una proposici´on. 2. El enunciado ✭✭Si dos rectas son paralelas, se interceptan✮✮ es una proposici´on. 3. El enunciado ✭✭x2 + 2 = 0✮✮ es una proposici´on. 4. El enunciado ✭✭Si x2 = 0, entonces x = 2✮✮ es una proposici´on. 5. El enunciado ✭✭Ojal´a el deportivo Cali quede campe´on del f´ utbol colombiano✮✮, es una proposici´on. 6. Toda oraci´on del lenguaje ordinario corresponde a una proposici´on. 7. La f´ormula ∼ (p −→ q) ←→ (p ∧ ∼ q) es una tautolog´ıa. 8. Si la f´ormula p −→ q es verdadera, entonces ∼ q −→∼ p tambi´en es verdadera 9. Lea detenidamente el siguiente p´arrafo: Si los mejores equipos de f´ utbol del mundo est´an en Argentina y Boca Juniors es el campe´ on de Argentina, entonces Boca Juniors es el mejor equipo de f´ utbol del mundo.

Razonamientos

21

Trate de convencer a sus compa˜ neros de que la conclusi´on es correcta. 10. Analice el enunciado: ✭✭Am´erica es el mejor equipo de Colombia✮✮. ¿Considera que es una proposici´on? 11. ¿Considera que el enunciado: ✭✭todo n´ umero par es igual a la suma de dos impares✮✮ es una proposici´on? 12. Un n´ umero natural p, mayor que uno, es primo si y s´olo si sus u ´nicos divisores son ´el mismo y la unidad. ¿Considera que el enunciado: ✭✭todo n´ umero par es la suma de dos primos✮✮ es una proposici´on? 13. Argumentar en favor o en contra del siguiente enunciado: ✭✭el ´exito del proceso de paz en Colombia no s´olo depende de los negociadores de la guerrilla y el gobierno sino de la existencia y puesta en pr´actica de unas pol´ıticas de justicia social✮✮ es una proposici´on verdadera. 14. Dar cinco ejemplos de proposiciones compuestas que den cuenta de conjunciones. 15. Dar cinco ejemplos de proposiciones compuestas que den cuenta de disyunciones. 16. Dar cinco ejemplos de proposiciones compuestas que den cuenta de implicaciones. 17. ¿La oraci´on: ✭✭estudi´e y fu´ı a cine ayer✮✮, es simple o compuesta? ¿C´omo identifica usted las oraciones simples de las compuestas? 18. Dar cinco ejemplos de f´ormulas proposicionales construidas a partir de las letras proposicionales p, q y r. 19. Si simbolizamos por: p : ✭✭Ana Mar´ıa se levanta tarde✮✮. q : ✭✭Juan se levanta temprano✮✮. r : ✭✭La madre de Juan y Ana Mar´ıa est´a enojada✮✮. Simboliza las proposiciones siguientes: a) Si Juan se levanta temprano o Ana Mar´ıa se levanta tarde entonces la madre de ellos no est´a enojada. b) Si Juan no se levanta temprano y Ana Mar´ıa se levanta tarde entonces la madre de ellos est´a enojada.

22

L´ogica y conjuntos

c) Si Ana Mar´ıa no se levanta tarde entonces Juan no se levanta temprano. d) O la madre de Juan y Ana Mar´ıa no est´a enojada o Ana Mar´ıa no se levanta tarde. e) Si Ana Mar´ıa no se levanta tarde y Juan se levanta temprano entonces la madre de ellos no est´a enojada. 20. Demuestre que las siguientes f´ormulas son tambi´en tautolog´ıas: a) Reducci´on al absurdo !

"

(p −→ q) ←→ (p ∧ ∼ q) −→ (r ∧ ∼ r) . b) Leyes de De Morgan ∼ (p ∨ q) ←→ (∼ p ∧ ∼ q). ∼ (p ∧ q) ←→ (∼ p ∨ ∼ q). 21. Responder a) ¿Qu´e es una tautolog´ıa? b) ¿Cu´ando dos proposiciones son equivalentes? c) ¿Cu´ando decimos que una proposici´on es una contradicci´on? 22. En los siguientes razonamientos demostrar que las conclusiones son consecuencia l´ogica de las premisas dadas. a) Si Jos´e es m´as alto que Pedro, entonces Mar´ıa es m´as baja que Juana. Mar´ıa no es m´as baja que Juana. Si Jos´e y Luis tienen la misma estatura entonces Jos´e es m´as alto que Pedro. Por lo tanto Jos´e y Luis no tienen la misma estatura. b) Si esta es una sociedad matriarcal, entonces el hermano de la madre es la cabeza de familia. Si el hermano de la madre es cabeza de familia entonces el padre no tiene ninguna autoridad. Esta es una sociedad matriarcal. Por lo tanto el padre no tiene ninguna autoridad. 23. En los siguientes ejercicios las premisas est´an dadas en forma simb´olica. D´e una deducci´on completa de la proposici´on que se quiere demostrar. a) Demostrar C : s con:

Razonamientos

23

P1 : ∼ t ∨ r, P2 : ∼ s −→ ∼ r, P3 : t. b) Demostrar C : ∼ s ∨ ∼ t con:

c) Demostrar C : p ∧ q con:

P1 : ∼ r ∧ t, P2 : s −→ r.

P1 P2 P3 P4

: q, : q −→ ∼ s, : ∼ s −→ t, : ∼ t ∨ p.

d) Demostrar C : ∼ t con: P1 P2 P3 P4

: ∼ p, : q ∨ ∼ r, : q ←→ p, : t −→ r.

e) Demostrar C : ∼ g con: P1 P2 P3 P4 P5

: f −→ ∼ t, : ∼ f −→ (h −→ ∼ g), : (∼ i ∨ ∼ h) −→ ∼ (∼ t), : ∼ i ∨ ∼ d, : d ∧ h.

f ) Demostrar C : ∼ r ∨ u con:

P1 : ∼ s −→ (t −→ u), P2 : s ∨ (∼ r ∨ t), P3 : ∼ s.

24. Coloque los par´entesis adecuadamente de tal manera que podamos obtener la conclusi´on. a) b)

P : p −→ r ∧ q. C : p −→ r. P1 : p −→ q ∧ r. P2 : ∼ q ∧ r. C : ∼ p.

c)

P : p ∧ r ∨ q. C : p.

24

L´ogica y conjuntos

1.6.

L´ ogica de predicados

En el lenguaje usual nos enfrentamos a expresiones que no son posibles de simbolizar a trav´es del c´alculo proposicional. Es el caso de los llamados silogismos, como el que presentamos a continuaci´on: Todo hombre es mortal. S´ocrates es hombre. Luego, S´ocrates es mortal.

Si usamos una simbolizaci´on dentro del c´alculo proposicional, tendr´ıamos un esquema de la forma: p. q. r, el cual no permite obtener la conclusi´on como consecuencia l´ogica de las premisas. Para lograr este objetivo ser´a necesario estudiar la estructura interna de las proposiciones. Provisionalmente emplearemos la representaci´on: Todo H es M , s es H, que sugiere una visi´on conjuntista ✭✭todo elemento de H es un elemento de M ✮✮, ´o lo que es lo mismo ✭✭H es un subconjunto de M ✮✮, y como ✭✭s es un elemento de H ✮✮, tenemos por conclusi´on que ✭✭s es un elemento de M ✮✮, que es lo que se quiere en el razonamiento. La l´ogica proposicional no es suficiente para analizar todos los razonamientos. En ella se presentan unidades de informaci´on como un todo, no se distingue sus partes ´o componentes. Para penetrar en la estructura interna de las proposiciones se introduce la l´ogica de primer orden, es decir, se introducen variables y cuantificadores, donde los cuantificadores afectan u´nicamente a las variables. En el ejemplo incorporamos las simbolizaciones: H(x) = x es hombre. M (x) = x es mortal, para as´ı representar el razonamiento por:

L´ogica de predicados !

25 "

∀x H(x) −→ M (x) . H(s). M (s), que permite apreciar en forma precisa la validez del razonamiento. Hemos introducido la notaci´on prefija H(s) para referirnos a la proposici´on ✭✭S´ocrates es hombre✮✮, donde el s´ımbolo H denota el predicado ✭✭es un hombre✮✮, mientras que s denota el sujeto ✭✭S´ocrates✮✮. Esta idea se extiende a propociones donde aparecen predicados referidos a m´as de un objeto, as´ı por ejemplo la proposici´on ✭✭Mutis est´a entre Borges y C´ortazar✮✮ se puede simbolizar por E(m, b, c). En el primer caso diremos que el s´ımbolo de predicado H es unario, y en el otro caso que E es ternario. Por otra parte en el ejemplo se simboliz´o la proposici´on ✭✭Todo hombre es mortal✮✮, en el cual el sujeto de la proposici´on no aparece en forma expl´ıcita, pues el sujeto es un individuo variable sobre el conjunto de todos los hombres. Esto hace necesario introducir la variable x para hacer este sujeto expl´ıcito y acompa˜ narlo de la expresi´on ✭✭para todo✮✮, para lo cual se introduce el s´ımbolo ∀ (an´alogamente usaremos el s´ımbolo ∃ para la expresi´on ✭✭existe al menos un✮✮). De esta forma usando el s´ımbolo H para el predicado ✭✭es hombre✮✮, y el s´ımbolo M para ✭✭es mortal✮✮ tenemos la simbolizaci´on usada !

"

∀x H(x) −→ M (x) . Al utilizar simbolizaciones de la l´ogica de primer orden es indispensable fijar un universo ´o dominio del discurso, es decir fijar el conjunto que ✭✭recorren✮✮ las variables.

Cuantificadores L´ogicos Las funciones proposicionales no s´olo generan proposiciones al reemplazar la variable por valores num´ericos, sino combinados con expresiones llamadas cuantificadores l´ogicos. Estos se clasifican as´ı: 1. Cuantificador Universal: “para todo x” y se simboliza ∀x. 2. Cuantificador Existencial: “Existe alg´ un x” y se simboliza ∃x. 3. Cuantificador de existencia y unicidad: “Existe un u ´nico x” y se simboliza ∃!x

26

L´ogica y conjuntos

1.6.1

Ejemplo

1. Para todo x ∈ R, existe un y ∈ R tal que x + y = 0, en simbolos: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(x + y = 0). 2. Para todo x ∈ R, si x ̸= 0 entonces existe un y ∈ R tal que xy = 1, en s´ımbolos: (∀x ∈ R)(x ̸= 0 −→ (∃y ∈ R)(xy = 1)).

Algunas simbolizaciones !

"

1. Todo planeta es un sat´elite: ∀x P (x) −→ S(x) . Al afirmar que todo planeta es un sat´elite estamos afirmando que cualquier objeto que es un planeta es tambi´en un sat´elite, es decir, que para todo objeto x, si x es un planeta, entonces x es un sat´elite. !

"

2. Todo planeta gira alrededor del sol: ∀x P (x) −→ R(x, s) . Es decir, para todo objeto x, si x es planeta entonces x gira alrededor del sol. !

"

3. Alg´ un planeta gira alrededor de la luna: ∃x P (x) ∧ R(x, l) . Es decir, hay un objeto que es un planeta, y gira alrededor de la luna. 4. Juan es hermano de Pedro y Mar´ıa: H(j, p) ∧ H(j, m) ´o tambi´en H(j, p, m). !

"

5. Ning´ un planeta es un sat´elite: ∼ ∃x P (x) ∧ S(x) ´o !

"

∀x P (x) −→ ∼ S(x) .

Lo que se quiere expresar es que no hay objetos que sean al mismo tiempo un planeta y un sat´elite. En la primera simbolizaci´on decimos directamente que no hay objetos con las dos propiedades consideradas, y en la segunda que todo objeto que sea planeta no es un sat´elite que obviamente es equivalente a la anterior. !

"

6. Ning´ un objeto celeste gira alrededor de s´ı mismo: ∼ ∃x R(x, x) . Se˜ nalemos que no es necesario expresar la propiedad de ser objeto celeste, puesto que el universo de la estructura, el dominio de los objetos que hablamos, es precisamente el conjunto de los objetos celestes, de modo que al decir ✭✭para todo x✮✮ estamos diciendo ✭✭para todo objeto celeste x✮✮.

L´ogica de predicados

27

7. Todas las" ´aguilas vuelan, usando ✭✭todas la ´aguilas✮✮ como universo: ! ∀x V (x) .

8. Todas las ´aguilas vuelan, pero utilizando ✭✭todas las aves✮✮ como el ! " universo: ∀x A(x) −→ V (x) .

9. Alrededor de los sat´elites no giran objetos celestes: #

!

∀x S(x) −→ ∼ ∃z R(z, x) #

"$

"$

!

´o bien ∼ ∃x S(x) ∧ ∃z R(z, x) . #

"$

!

10. Hay exactamente un sat´elite : ∃x S(x) ∧ ∀y S(y) −→ x = y . Para decir que x es el u ´nico sat´elite, decimos que x es un sat´elite y que todo sat´elite es igual a x. 11. Todo lo que me gusta es inmoral ´o ilegal ´o engorda: #

!

∀x G(x) −→ I(x) ∨ In(x) ∨ E(x)

"$

.

12. Todo pol´ıtico honesto vota solamente por alguien diferente de si mismo: ⎛ ⎞ #

!

∀x ⎝P H(x) −→ ∀y V (x, y) −→ x ̸= y

"$ ⎠.

A continuaci´on daremos un ejemplo que indique la l´ogica de predicados. 1.6.2 Ejemplo Todos los miembros del comit´e viven en esta ciudad. El presidente de la sociedad es un miembro del comit´e. La se˜ norita Lopez, es la presidente. Por tanto la se˜ norita Lopez, vive en esta ciudad. Si 1 representa la se˜ norita Lopez y definimos C(x) : x est´a en el comit´e. K(x) : x vive en esta ciudad. P (x) : x es presidente. Entonces el razonamiento lo podemos reescribir as´ı:

28

L´ogica y conjuntos

P1 P2 P3 C

: ∀x [C(x) −→ K(x)], : ∀x [P (x) −→ C(x)], : P (1), : K(1).

Tal razonamiento es v´alido ya que: P1 P2 P3 P4 C

: ∀x [C(x) −→ K(x)], : ∀x [P (x) −→ C(x)], : P (1), : C(1), P2 , P3 : K(1). P1 , P4

Negaci´on de los cuantificadores Las negaciones de los cuantificadores est´an dadas por las siguientes dos reglas: !

"

!

"

∼ ∀x P (x) ←→ ∃x ∼ P (x) . !

"

!

"

∼ ∃x P (x) ←→ ∀x ∼ P (x) . 1.6.3

Ejemplo

Negar cada una de las siguientes sentencias:

1. ϕ : Todos los fil´osofos son geniales. ∼ ϕ : Existen algunos fil´osofos que no son geniales. 2. ϕ : Todas las aves vuelan. ∼ ϕ : Existen algunas aves que no vuelan. 3. ϕ : Existen algunos fil´osofos geniales, pero incoherentes. ∼ ϕ : Todos los fil´osofos no son geniales ´o no son incoherentes. 4. ϕ : Todos los hombres que son idealistas alcanzan su felicidad. ∼ ϕ : Existen algunos hombres idealistas que no alcanzan su felicidad. En general un cuantificador universal no se puede conmutar con un cuantificador existencial. Es decir, la f´ormula: !

"

∀x ∃y R(x, y) ,

L´ogica de predicados

29

no siempre tiene la misma significaci´on que la f´ormula: !

"

∃y ∀x R(x, y)

1.6.4 Ejemplo Si M (x, y) significa y es la madre de x, obs´ervese que las siguientes dos sentencias no son equivalentes: !

"

∀x ∃y M (x, y) : Para todo ser humano existe una madre. !

"

∃x ∀y M (x, y) : Existe una madre para todo ser humano.

Distribuci´on de cuantificadores La distribuci´on de cuantificadores esta dada por las siguientes reglas: ∃x(P (x) −→ Q(x)) ←→ ∀xP (x) −→ ∃xQ(x) (∀x)(P (x) ∧ Q(x)) ←→ (∀x)(P (x)) ∧ (∀x)(Q(x)) (∀x)(P (x)) ∨ (∀)(Q(x)) −→ (∀x)(P (x) ∨ Q(x)) (∃x)(P (x) ∧ Q(x)) ←→ (∃x)(P (x)) ∧ (∃x)(Q(x) (∃x)(P (x) ∨ Q(x)) −→ (∃x)(P (x)) ∨ (∃x)(Q(x))

Ejercicios 1.6 En los ejercicios del 1 al 10 responda falso o verdadero justificando su escogencia y considere los siguientes predicados: a. C(x) : x es colombiano b. V (x) : x es vallecaucano c. S(x) : x es de Santiago de Cali

30

L´ogica y conjuntos

d. P (x, y) : x es el padre de y e. M (x, y) : x es la madre de y 1. ∀x(C(x) −→ V (x)) 2. ∀x(V (x) −→ S(x)) 3. ∀x(S(x) −→ C(x)) 4. ∃x(C(x) ∧ V (x)∧ ∼ S(x)) 5. ∃x(S(x)∧ ∼ C(x)) 6. ∀x∀y(P (x, y) −→∼ P (y, x)) 7. ∀x∀y∀z(M (x, z) −→∼ P (y, z)) 8. ∀x∃yP (y, x) 9. ∃x∀yM (x, y) 10. El enunciado: M (x, y) ∧ M (y, z) simboliza la expresi´on ✭✭x es la abuela de z ✮✮. 11. Simbolice completamente las siguientes proposiciones: a) Ning´ un hombre es a la vez loco y cuerdo. b) Todo hombre es mortal c) Ning´ un n´ umero es a la vez par e impar. d) Todo n´ umero real es positivo si y s´olo si es mayor que cero. e) No todos los n´ umeros reales son positivos. 12. Fijando como universo el conjunto de los seres vivos actualmente: a) Simbolice los predicados: i. ii. iii. iv.

x x x x

es es es es

hombre. mujer. madre de y. padre de y.

b) Con las simbolizaciones del item anterior, definir los predicados: i. x es hijo de y.

L´ogica de predicados

31

ii. x es abuela paterna de y. iii. x no tiene hijas. iv. x es hermano de y por parte de padre y madre. 13. Traduzca a lenguaje simb´olico las siguientes proposiciones y sus negaciones: a) La ecuaci´on x2 − x + 1 = 0 tiene soluci´on en R. b) Alg´ un n´ umero entero es par.

c) Todas las mascotas de los cale˜ nos son perros ´o no son chig¨ uiros. d) Existen personas que si alcanzan un cierto conocimiento entonces creen saberlo todo. 14. Escriba la negaci´on de las siguientes proposiciones cuantificadas e interpr´etelas en el lenguaje ordinario. Tome como referencia el universo de los n´ umeros reales: !

"

a) ∃x x2 + 5x + 4 = 0 . !

"

b) ∃x 0,3 < x < 0,31 .

!

"

c) ∀x ∀y x + y = y + x . !

"

d) ∀x ∃y x + y = 0 .

15. L´ease el predicado binario A(x, y) como “x es amigo de y”. Asumiendo que la relaci´on “ser amigo de y”, es sim´etrica, es decir, A(x, y) implica A(y, x), simbolice el siguiente razonamiento: Todo aquel que aprecie a Jorge escoger´ a a Pedro para su partido. Pedro no es amigo de nadie que sea amigo de Juan. Luis no escoger´a a nadie para su partido que no sea amigo de Carlos. Por lo tanto, si Carlos es amigo de Juan, entonces Luis no aprecia a Jorge.

16. Represente simb´olicamente el siguiente razonamiento: El pap´a de cada ser humano es uno de sus familiares. Patricia no es amiga de nadie que no sea m´as joven que ella ´o que no tenga los ojos claros. Patricia es un ser humano, y el pap´a de todo ser humano no es m´as joven que ´este. Nadie que tenga los ojos claros es familiar de Patricia. Por tanto, si Roberto es el pap´ a de Patricia, entonces Patricia no es amiga de Roberto.

32

L´ogica y conjuntos

1.7.

M´ etodos de demostraci´ on

Los or´ıgenes de la l´ogica se remontan a la antig¨ uedad griega. Arist´oteles consideraba la l´ogica como una proped´eutica de la ciencia; esto es, una disciplina que deb´ıa cultivar el fil´osofo, el astr´onomo y en especial, el matem´atico. Los principios l´ogicos constituyen la base de una demostraci´on matem´atica. A trav´es de la l´ogica se busca que las demostraciones est´en libres de incoherencias y subjetividades. Los procesos demostrativos en matem´aticas no pueden depender del gusto o de sentimientos interiores; se trata de que los argumentos que usamos para demostrar las propiedades de los objetos matem´aticos tengan validez p´ ublica. Los objetos matem´aticos habitan un universo con unas caracter´ısticas especiales. Son entidades, como los n´ umeros, las funciones, las ecuaciones, los puntos, las rectas, entre otros, que no tienen color, olor, ni sabor; no suben de peso ni sufren depresiones. Son entidades abstractas a las cuales no tenemos acceso a trav´es de los sentidos, sino a trav´es de un proceso hipot´etico-deductivo, el cual se funda en el m´etodo axiom´atico. Un sistema axiom´atico consta de tres elementos b´asicos: 1. Los objetos matem´aticos: dados a trav´es de las definiciones o de manera nominal. 2. Algunas propiedades de los objetos que se toman como puntos de partida: los postulados o axiomas. 3. Las proposiciones: los teoremas, corolarios y lemas. Los objetos matem´aticos se definen y se relacionan guardando tres grandes principios: 1. El principio de identidad 2. Principio de no contradicci´on 3. Principio del tercero excluido. Mediante el primero se pueden hacer sustituciones y equivalencias. El segundo proh´ıbe que los contrarios se den al mismo tiempo, mientras el tercero excluye t´erminos intermedios entre los contrarios. Coloquialmente, el tercero excluso nos dice que un enunciado s´olo puede ser falso o verdadero. ¿C´omo podr´ıa ser una proposici´on medio verdadera o un tercio falsa? El principio de no contradicci´on impide la presencia de proposiciones que

M´etodos de demostraci´on

33

sean falsas y verdaderas a la vez: O se es o no se es. Ser o no ser, como lo inmortalizara Shakespeare. 1.7.1 Definici´ on axioma Un axioma es una proposici´on fundamental de un sistema axiom´atico que se toma como verdadera sin demostraci´on alguna. Para poder establecer propiedades de los objetos matem´aticos no basta con los axiomas y las definiciones; es necesario establecer los teoremas. 1.7.2 Definici´ on teorema Un teorema matem´atico es una proposici´on sobre los objetos matem´aticos, la cual debe ser demostrada. Generalmente, un teorema es de la forma: Hip´otesis entonces Tesis,

H

−→ T .

1.7.3 Definici´ on demostraci´ on Una demostraci´on es un proceso deductivo, el cual tiene como punto de partida las hip´otesis y de tal suerte que usando las definiciones, los postulados y los teoremas previamente demostrados, se concluye la tesis. El proceso demostrativo se hace a trav´es de la aplicaci´on de los principios l´ogicos que hemos establecido. Esquem´aticamente, un proceso demostrativo se puede sintetizar de la siguiente manera: H

T

Hip´otesis.

Conclusi´on.

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Argumentaci´ on l´ ogica. Se usan definiciones, teoremas y axiomas.

Figura 1.1: Esquema de una demostraci´ on.

De esta forma, para demostrar un teorema, es decir un enunciado de la forma H −→ T , se procede as´ı:

34

L´ogica y conjuntos

1. Suponemos que las hip´otesis H, se cumplen; es decir son proposiciones matem´aticas verdaderas. 2. A partir de la hip´otesis construimos un proceso argumentativo, en el cual podemos utilizar las definiciones, los axiomas y teoremas ya demostrados, para obtener, mediante la aplicaci´on de las reglas de deducci´on l´ogica, la validez de T . 3. En estas instancias concluye la prueba y queda establecida la validez de H −→ T . Como se puede observar, la mayor dificultad estriba en el hecho de reconocer los elementos del apartado 2. Si bien no hay recetas m´agica que nos permitan la conformaci´on de los pasos sucesivos para llegar de la hip´otesis a la tesis, hemos identificado algunos m´etodos, m´as o menos can´onicos, para hacer demostraciones, los cuales describimos a continuaci´on.

Demostraci´on directa Una demostraci´on directa del teorema H −→ T consiste en exhibir un razonamiento de la forma: P1 : P2 : P3 : .. . Pn : Pn+1 : C:

H, H −→ h1 , h1 −→ h2 , hn−1 −→ hn , hn −→ T , T.

Analicemos un poco el funcionamiento del m´etodo. Partiendo de P1 se trata de establecer P1 , P2 , ..., Pn , Pn+1 , que expresan implicaciones ya demostradas. Observemos que el razonamiento es v´alido puesto que la f´ormula !

"

H ∧ (H −→ h1) ∧ (h1 −→ h2) ∧ . . . (hn−1 −→ hn ) ∧ (hn −→ T ) −→ T,

es una tautolog´ıa. Esto se debe a que tanto H como cada una de las premisas P1 , P2 , ..., Pn y Pn+1 son proposiciones verdaderas, entonces podemos aplicar reiteradamente modus ponendo ponens y obtener T .

M´etodos de demostraci´on

35

1.7.4 Ejemplo Usemos el m´etodo directo para demostrar la proposici´on: ✭✭la suma de dos n´ umeros pares es un n´ umero par✮✮. En el lenguaje ordinario encontramos los textos de los enunciados tal como est´a presentado el ejemplo. Es necesario, en consecuencia, que podamos identificar en ´el la implicaci´on impl´ıcita con sus correspondientes antecedente y consecuente; de lo contrario no ser´ıa posible abordar su demostraci´on. El enunciado anterior lo podemos presentar as´ı: Teorema Si a y b son n´ umeros pares, entonces a + b es un n´ umero par. Demostraci´ on. P1 :

a par y b par.

Hip´otesis.

P2 :

si a par y b par, entonces a = 2n y b = 2k, n, k enteros.

Definici´on n´ umero par.

P3 :

si a = 2n y b = 2k, entonces a + b = 2n + 2k.

Ley uniforme de la suma.

P4 :

si a+b = 2n+2k, entonces a + b = 2(n + k).

Ley distributiva del producto.

P5 :

si a + b = 2(n + k), entonces a + b es par.

Definici´on de n´ umero par.

C:

a + b es par.

M´etodo del contrarrec´ıproco Supongamos que se quiere demostrar el teorema correspondiente a H −→ T y que al seguir los pasos del m´etodo directo no logramos llegar de la hip´otesis H a la conclusi´on T . Se procede entonces a demostrar, por el m´etodo directo, su contrarrec´ıproca ∼ T −→ ∼ H. Si logramos este acometido, hemos demostrado H −→ T . Esto se debe a que H −→ T y ∼ T −→ ∼ H son l´ogicamente equivalentes, puesto que (H −→ T ) ←→ (∼ T −→ ∼ H)

36

L´ogica y conjuntos

es una tautolog´ıa. 1.7.5 Ejemplo Demostrar el teorema: Si el cuadrado de un n´ umero es impar entonces el n´ umero es impar. Empleando el m´etodo directo se tiene: Teorema

Si a2 es impar entonces a es impar.

Demostraci´ on. P1 :

a2 es impar.

Hip´otesis.

P2 :

si a2 impar, entonces a2 = 2k + 1, k entero.

Definici´on n´ umero impar.

P3 :

si a2 = √ 2k + 1, entonces a = ± 2k + 1.

Tomando ra´ıces en la ecuaci´on anterior.

Sin embargo, √ no podemos asignarle la caracter´ıstica de par o impar al n´ umero 2k + 1. Al no haber logrado la conclusi´on aplicando las propiedades respectivas, nos lleva a intentar demostrar el enunciado usando la contrarec´ıproca. El enunciado del contrarrec´ıproco corresponde al siguiente teorema: Teorema

Si a es par, entonces a2 es par.

Demostraci´ on. P1 :

a es par.

Hip´otesis.

P2 :

si a par. entonces a = 2k, k entero.

Definici´on de n´ umero par.

P3 :

si a = 2k, entonces a2 = (2k)2 .

Ley uniforme.

P4 :

si a2 = (2k)2 , entonces (2k)2 = 4k 2 = 2(2k 2 ).

Ley asociativa.

M´etodos de demostraci´on

P5 :

si (2k)2 = 2(2k 2 ), entonces a2 = 2(2k 2 ).

Ley transitiva.

P6 :

si a2 = 2(2k 2 ), entonces a2 es par.

Definici´on de n´ umero par.

C:

a2 es par.

37

M´etodo de demostraci´on por contradicci´on o reducci´on al absurdo El m´etodo de demostraci´on por reducci´on al absurdo se fundamenta en el principio de no contradicci´on, propio de la actividad matem´atica. En t´erminos generales, consiste en suponer la negaci´on de la proposici´on que se quiere demostrar y generar una contradicci´on. Esquem´aticamente este m´etodo se puede describir de la siguiente manera: 1. Queremos demostrar el teorema H −→ T . 2. Suponemos que da su negaci´on: ∼ (H −→ T ) 3. A partir de procesos deductivos intermedios obtenemos una proposici´on del tipo Q ∧ ∼ Q, que es una contradicci´on. 4. Como la teor´ıa es consistente, entonces no puede darse ∼ (H −→ T ), sino ∼ ∼ (H −→ T ) que es l´ogicamente equivalente a H −→ T , que es la proposici´on que quer´ıamos demostrar. El m´etodo de reducci´on al absurdo se fundamenta en las dos siguientes equivalencias l´ogicas: ∼ (H −→ T ) es equivalente a H ∧ ∼ T , simb´olicamente: ∼ (H −→ T ) ≡ H ∧ ∼ T. H −→ T es equivalente a (H ∧ ∼ T ) −→ (Q ∧ ∼ Q), simb´olicamente: H −→ T ≡ (H ∧ ∼ T ) −→ (Q ∧ ∼ Q)

38

L´ogica y conjuntos

1.7.6 Ejemplo Demostrar utilizando el m´etodo de reducci´on al absurdo el teorema: ✭✭Si a2 es par entonces a es par✮✮. P1 :

a2 par y a impar.

Afirmaci´on de hip´otesis y negaci´on de la tesis.

P2 :

si a impar, entonces a = 2k+1, k entero.

Definici´on n´ umero impar.

P3 :

si a = 2k + 1, entonces a2 = (2k + 1)2 .

Ley uniforme.

P4 :

si a2 = (2k+1)2 , entonces a2 = 4k 2 + 4k + 1.

Producto.

P5 :

si a2 = 4k 2 + 4k + 1, entonces a2 = 2(2k 2 + 2k) + 1, donde s = 2k 2 + 2k es entero

Ley distributiva y ley clausurativa

P6 :

si a2 = 2(2k 2 +2k)+1, entonces a2 = 2s + 1.

Sustituyendo.

P7 :

a2 impar.

Definici´on de n´ umero impar.

P8 :

a2 par y a2 impar.

Conjunci´on ci´on).

(contradic-

En consecuencia, a2 par y a impar es falso y por tanto su negaci´on es verdadera. Se concluye que, si a2 es par entonces a es par, es verdadera.

M´etodos de demostraci´on

39

Demostraci´on por disyunci´on de casos El siguiente razonamiento P1 P2 P3 C

: : : :

p ∨ q, p −→ r, q −→ r, r.

es usado en teoremas cuya hip´otesis puede partirse en casos mutuamente excluyentes, cada uno de los cuales conduce igualmente a la conclusi´on prevista. 1.7.7 Ejemplo El cuadrado de todo entero, o es un multiplo de 4 ´o diferente de un m´ ultiplo de 4 en 1. x entero −→ x2 = 4t ´o x2 = 4t + 1, para alg´ un entero t La hip´otesis de que x es entero debe tratarse en dos separados x es par o x es impar (p ∨ q). x es par −→ x = 2m para alg´ un entero m −→ x2 = 4m2 , un multiplo de 4. x es impar −→ x = 2m + 1 para alg´ un entero −→ x2 = 4t + 1 para un entero t, y por lo tanto x2 difiere en 1 de alg´ un multiplo de 4.

Demostraci´on por contraejemplo Usualmente nos encontramos con el deseo de demostrar que una afirmaci´on de la forma “Todo elemento de x que satisfaga la propiedad P satisface la tambi´en la propiedad Q” es verdadera, pero puede suceder que una afirmaci´on de tal tipo sea falsa. As´ı, si se desea demostrar que una afirmaci´on es falsa, todo lo que se requiere es exhibir un contraejemplo, entonces si existe un elemento x0 que satisface la propiedad P y no satisface la propiedad Q, decimos que tal x0 es un contrajemplo y as´ı, tendriamos informaci´on suficiente para demostrar la falsedad de la afirmaci´on. 1.7.8 Ejemplo Si x es entero primo, entonces x es impar, es una implicaci´on falsa. En efecto, x = 2 es un contraejemplo ya que 2 es un n´ umero primo y es par.

40

L´ogica y conjuntos

Ejercicios 1.7 En los ejercicios del 1 al 6 responda falso o verdadero justificando su elecci´on. 1. Seg´ un el principio de identidad, para todo par de objetos cualesquiera x, y, se tiene que x ̸= y. 2. Seg´ un el principio del tercero excluido, no existen tres objetos x, y, z tales que x = y = z. 3. Cualquier teorema matem´atico se puede demostrar por el m´etodo directo. √ umero irracional✮✮ no tiene hip´otesis. 4. El teorema matem´atico ✭✭ 2 es un n´ 5. Seg´ un el principio de no contradicci´on, todas las tautolog´ıas son verdaderas. 6. El cuadrado de todo n´ umero entero impar es un n´ umero entero impar. 7. Identificar la hip´otesis y la tesis de los siguientes enunciados: a) Si un tri´angulo tiene dos lados desiguales, a mayor lado se opone el mayor ´angulo. b) Si dos circunferencias son tangentes exteriormente, la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios. c) Un n´ umero es divisible por dos si termina en cero o cifra par. d) Los ´angulos opuestos por el v´ertice son iguales. e) La suma de los ´angulos interiores de un tri´angulo suman 180 grados. f ) Si un n´ umero divide a otros dos, divide a sus diferencias. √ umero irracional. g) 2 es un n´ 8. Demuestre, usando el m´etodo directo, que: ✭✭la suma de tres enteros consecutivos es m´ ultiplo de tres✮✮. 9. Demuestre, usando el m´etodo del contrarrec´ıproco que: ✭✭Si el producto de dos enteros es par, al menos uno de ellos es par✮✮. 10. Demuestre, usando el m´etodo de reducci´on al absurdo que: ✭✭para a y b n´ umeros reales, si a · b = 0, entonces a = 0 ´o b = 0✮✮.

Nociones fundamentales de conjuntos

1.8.

41

Nociones fundamentales de conjuntos

En esta secci´on se presentan las nociones b´asicas de la teor´ıa de conjuntos;. Todos los seres humanos manejamos la idea intuitiva de conjunto, pues advertimos ✭✭montones✮✮ o ✭✭agrupaciones✮✮ de objetos muy variados, ya sea de orden emp´ırico como computadores, carros o manzanas, o de orden abstracto como n´ umeros, puntos, l´ıneas, arc´angeles o vampiros. Intuitivamente un conjunto es una agrupaci´on de objetos, los cuales se denominan elementos del conjunto. Sin embargo, esta definici´on es circular porque la palabra ✭✭agrupaci´on✮✮ es un sin´onimo de la palabra conjunto. La teor´ıa de conjuntos moderna fue delineada por los matem´ aticos alemanes George Cantor y Richard Dedekind a finales del siglo XIX. Para Cantor, un conjunto era una colecci´on de objetos diferenciados claramente por nuestra intuici´on. Esta definici´on camufla algunas paradojas que es necesario resarcir. Para ello los conjuntos se introducen a trav´es de teor´ıas axiom´aticas. En este libro presentamos los axiomas m´as generales, que permiten desarrollar una teor´ıa sin caer en contradicciones. En las teor´ıas axiom´aticas modernas se parte de algunos t´erminos indefinidos: en nuestro caso, los conceptos de conjunto y elemento. Simplemente diremos que los elementos pertenecen a los conjuntos o que los conjuntos est´an formados de elementos, sin detenernos a discutir su naturaleza. 1.8.1 Definici´ on conjuntos Se hablar´a de conjuntos A, B, C..., y de sus elementos x, y, z,... Se escribe x ∈ A en los casos siguientes: x est´a en A, x pertenece a A ´o x es un elemento de A. An´alogamente, se escribe x ∈ / A en cualquiera de los casos siguientes: x no est´a en A, x no pertenece a A ´o x no es un elemento de A.

Formas de designar los conjuntos Matem´aticamente hablando, los conjuntos son objetos abstractos y atemporales. No podemos referirnos a ellos como a los objetos f´ısicos ya sea se˜ nal´andolos, toc´andolos o degust´andolos. Sin embargo, dado que constituyen la materia prima de muchas ramas de las matem´aticas, necesitamos hacernos de algunas formas para nombrarlos. Hay dos maneras usuales: por

42

L´ogica y conjuntos

comprensi´ on cuando se da una regla que permite describir sus elementos; y por extensi´on cuando se listan los elementos del conjunto. Las colecciones se representan con letras may´ usculas. Los elementos de las colecciones se presentan encerrados entre llaves y separados por comas. 1.8.2

Ejemplo

1. La colecci´on de vocales se puede representar por: A = {a, e, i, o, u}; en este caso, i ∈ A y z ∈ / A. 2. La colecci´on de los n´ umeros naturales menores que 8 se puede representar as´ı: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} por extensi´on, ´o A = {x ∈ N : x < 8} por comprensi´on; se lee el conjunto de los x tales que x es natural y x es menor que 8. 3. El conjunto de los n´ umeros naturales pares es dif´ıcil de representar por extensi´on debido a que no podemos nombrar la totalidad de los elementos de un conjunto infinito. Para representarlo por comprensi´on se acostumbra a listar algunos elementos y dar una regla de formaci´on: B = {x ∈ N : x es par}. 4. La colecci´on de los n´ umeros reales menores que 2: D = {x ∈ R : 2 > x}. Conjunto que corresponde al intervalo: (−∞, 2). En este caso, 5 ∈ / D, 0 ∈ D, −45 ∈ D, etc. 5. la colecci´on de los n´ umero reales mayores a −3 y menores o iguales que 4: E = {x ∈ R : −3 < x ∧ x ≤ 4} = {x ∈ R : −3 < x ≤ 4} = (−3, 4].

Principios b´asicos para la formaci´on de conjuntos Como se ha enunciado antes, a trav´es de las teor´ıas axiom´aticas se proporciona una salida formal al problema de rigor en matem´aticas. Para el caso de los conjuntos la teor´ıa m´as difundida fue instaurada por los matem´aticos Ernest Zermelo y Abraham Fraenkel, la cual acoge el axioma de elecci´on. Esta axiom´atica se designa como zf (axiom´ atica de Zermelo-Frankel) y comenz´o a difundirse a principios del siglo xx. En este texto nos basaremos en los axiomas m´as generales los cuales describimos a continuaci´on.

Nociones fundamentales de conjuntos

43

Axioma de extensi´ on Todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A si y solo si A = B. En este sentido: si A y B son el mismo conjunto, A y B tienen los mismos elementos. El axioma de extensi´on establece que un conjunto se encuentra determinado por sus elementos. Con ello queremos decir que no hay conjuntos distintos que tengan los mismos elementos. M´as concretamente, el axioma de extensi´on plantea que si A y B tienen los mismos elementos, entonces A = B. En otras palabras, como dice P. Halmos en su libro Teor´ıa intuitiva de conjuntos: ✭✭con mayor ostentaci´on y menos claridad: Un conjunto est´a determinado por su extensi´on✮✮; de manera formal: A = B si y s´olo si A y B tienen los mismos elementos. En este sentido, los siguientes conjuntos son iguales:

A = {a, b, c},

B = {a, a, b, c, c} y C = {a, a, b, b, c, c}.

El principio de extensionalidad expresa que lo que importa de un conjunto no es c´omo lo definimos, sino cu´ales son sus elementos. De acuerdo a este axioma se pueden demostrar los dos siguientes resultados. 1.8.3 Propiedades de conjuntos Para A, B y C conjuntos: 1. A = A 2. A = B implica B = A. 3. A = B y B = C implica A = C.

44

L´ogica y conjuntos

La relaci´ on de inclusi´ on 1.8.4 Definici´ on subconjunto Diremos que un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A, si todo elemento de B, es un elemento de A. Se denota B ⊆ A. En conclusi´on, B ⊆ A,si y s´olo si, cada x ∈ B implica x ∈ A. Para el caso en el cual B ⊆ A, pero B ̸= A, se dice que B es un subconjunto propio de A y escribiremos B ⊂ A 1.8.5 Ejemplo Si A = {a, b, c, d, e, f }, B = {b, c, f } y C = {b, c, h} entonces B ⊂ A, pero C no est´a contenido en A, pues h ∈ C y sin embargo h ∈ / A. Bas´andonos en la definici´on de subconjunto se pueden demostrar las siguientes propiedades elementales de los conjuntos. 1.8.6 Propiedades de subconjuntos Para A, B y C conjuntos: 1. A ⊆ A. 2. Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C. 3. A = B, si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A. Se puede ilustrar la prueba de la propiedad 2 de 1.8.6 acudiendo a los diagramas de Venn: A ⊆ B se representa por la figura 1.2: B A

Figura 1.2: A ⊆ B.

B ⊆ C se representa por la figura 1.3:

Nociones fundamentales de conjuntos

45

C B

Figura 1.3: B ⊆ C.

Combinando los dos diagramas anteriores obtenemos: C B A

Figura 1.4: A ⊂ B ⊂ C.

del cual se deduce: C A

Figura 1.5: A ⊂ C.

Principio de separaci´ on La noci´on tan libre e intuitiva de conjunto, como colecci´on o reuni´on de elementos, llev´o a resultados contradictorios que amenazaban resquebrajar uno de los pilares de la matem´atica como lo es la consistencia. Cl´asicamente, la consistencia es uno de los principios fundamentales de cualquier teor´ıa; seg´ un este principio una cosa no puede ser y no ser al mismo tiempo. Una proposici´on no puede ser falsa y no falsa a la vez. No puede suceder que un conjunto A pertenezca a otro conjunto B, y al mismo tiempo el conjunto A no pertenezca al conjunto B. Con la idea de conjunto como colecci´on arbitraria puede suceder que un conjunto sea o no elemento de s´ı mismo. Por ejemplo, el conjunto de sillas no es un elemento de s´ı mismo, puesto que el conjunto de sillas no es en s´ı mismo una silla. En realidad casi todos los conjuntos que uno piensa, no son elementos de s´ı mismos. El conjunto de mesas, el conjunto de n´ umeros, el conjunto de palabras, etc. Sin embargo, existen algunos conjuntos que gozan de la propiedad de pertenecerse a s´ı mismos; por ejemplo, el conjunto de ideas es una idea. ¿El conjunto de todos los conjuntos es un conjunto?

46

L´ogica y conjuntos

Es famosa la Paradoja de Russell, que lleva el nombre de su descubridor. En esta paradoja, el matem´atico y fil´osofo ingl´es Bertrand Russell llama la atenci´on en el hecho que hay colecciones que no se pertenecen a s´ı mismas y otras que se pertenecen. Por ejemplo, la colecci´on de todos los conjuntos, se contiene as´ı misma. De hecho, la mayor´ıa de conjuntos conocidos, no se pertenecen. Russell define el siguiente conjunto: Sea A el conjunto formado por aquellos conjuntos que no se pertenecen a s´ı mismos; simb´olicamente: A = {B tales que B ∈ / B} . En seguida nos preguntamos ¿A ∈ A? Observemos que si A ∈ A, no puede ser un elemento de A, pues en A s´olo est´an los que no se pertenecen a s´ı mismos. Por lo tanto, se tiene que, A ∈ A implica que A ∈ / A. De otro lado, si A ∈ / A, tendr´ıamos que A es un elemento del mismo A. De esta forma llegamos a la contradicci´on: A ∈ A si y s´olo si A ∈ / A. As´ı, de acuerdo a lo anterior se demuestra que la colecci´on de todos los conjuntos no es un conjunto. Ello significa que no existe el conjunto de todos los conjuntos. Ahora bien, verifiquemos este enunciado suponiendo que la colecci´on de todos los conjuntos es un conjunto U , y sea P (A) la propiedad que dice que el conjunto A se pertenece a si mismo. Entonces por el principio de separaci´on: B = {A ∈ U tales que P (A)}, seria un conjunto, el cual ya mostramos que nos conduce a contradicci´on. Por este motivo es preciso restringir la formaci´on de conjuntos a trav´es del siguiente principio. Axioma de la especificaci´ on ´ o de separaci´ on Si A es un conjunto, existe otro conjunto, contenido en A, que satisface una propiedad determinada. Utilizando este axioma podemos formar otros conjuntos a partir de los ya establecidos. Esto quiere decir que si tenemos un conjunto, podemos obtener nuevos conjuntos de las partes del conjunto dado.

Nociones fundamentales de conjuntos

47

Generalmente, la propiedad se establece seg´ un formulaciones del c´alculo de predicados: Partiendo de un conjunto A determinado, se obtiene otro conjunto B, el cual es una parte de A, y cuyos elementos cumplen una condici´on S(x). De manera simb´olica: B = {x ∈ A : S(x)}.

1.8.7

Ejemplo

Sea el conjunto:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. A partir del conjunto A, formamos otro conjunto B cuyos elementos cumplan la propiedad de ser pares: B = {x ∈ A : x es un n´ umero par}. En este caso S(x) corresponde a la propiedad ✭✭ser par✮✮. Entonces, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Este principio nos permite formar con tranquilidad otros conjuntos a partir de los ya establecidos. En palabras simples: si contamos con un conjunto determinado, podemos obtener nuevos conjuntos de los subconjuntos del conjunto dado.

A pesar de no existir el conjunto de todos los conjuntos, para efectos pr´acticos siempre estaremos interesados en tratar con conjuntos de un cierto tipo. Por ejemplo, cuando hablamos de la aritm´etica estamos interesados en los n´umeros enteros; cuando hacemos consideraciones estad´ısticas nos limitamos a una poblaci´on determinada. En general fijamos un conjunto al que pertenecen los objetos en que estamos interesados, nos referiremos a este como el universo y lo denotamos por X. Nosotros tomamos a X = R como el conjunto de los n´umeros reales. En general cuando nos refiramos a conjuntos num´ericos el universo ser´a R.

48

L´ogica y conjuntos

El conjunto vac´ıo Axioma del conjunto vac´ıo Existe un conjunto el cual no contiene elementos. El conjunto vac´ıo es, a primera vista, extra˜ no porque parece escapar a nuestra intuici´on; sin embargo, desde el punto de vista te´orico es muy importante para representar ciertas situaciones y para poder definir algunas operaciones entre conjuntos. De manera simb´olica: ∃B ∀x (x ∈ / B) El conjunto vac´ıo se representa por el s´ımbolo: ∅. 1.8.8 Ejemplo El conjunto {x ∈ R : 5 < x ∧ x < 4} = ∅, puesto que no existe ning´ un n´ umero real que cumpla las exigencias requeridas. Una propiedad importante del conjunto vac´ıo es que es subconjunto de cualquier conjunto; es decir, para todo conjunto A se tiene que: ∅ ⊂ A. La demostraci´on de este enunciado resulta ser de una profunda sencillez: se trata de probar que todo elemento de ∅ es un elemento de A, es decir, x ∈ ∅ implica que x ∈ A; pero como ∅ carece de elementos, entonces x ∈ ∅ es una proposici´on falsa y por lo tanto la implicaci´on es verdadera. Luego la condici´on se cumple de manera inmediata. Es necesario notar que esto funciona perfectamente pues la l´ogica subyacente ha sido dada para que funcione; recu´erdese que estamos parados en la l´ogica cl´asica bivalente. Hasta ahora, los axiomas presentados no son muy u ´tiles pues los conjuntos que hasta ahora existen es ∅ y los que se puedan obtener de este a partir del axioma de separaci´on, pero solo se obtendr´ıa de nuevo el conjunto vac´ıo porque no es posible separar elementos de ∅. En la vida cotidiana es natural reunir objetos y formar conjuntos a partir de aquellos, a´ un si estos objetos no tienen nada en com´ un. Para formalizar est´a noci´on intuitiva, es preciso introducir un axioma que garantize la validez de esa construcci´on.

Nociones fundamentales de conjuntos

49

Axioma de pares Dados dos conjuntos cualesquiera, existe un conjunto cuyos elementos son estos conjuntos. Este axioma permite obtener m´as conjuntos a partir de dos ya existentes. Simb´olicamente: ∀A ∀B ∃C (x ∈ C ←→ x = A ∨ x = B). El conjunto C contiene solamente a A y B como elementos, el cual no es otro que el conjunto {A, B}. De otro lado, es conveniente se˜ nalar que los conjuntos ∅ y {∅} son diferentes, es decir, ∅ ̸= {∅}. Mientras el conjunto ∅ no tiene elementos, {∅} tiene un elemento. Si A y B son conjuntos, a veces es natural desear unir sus elementos en un conjunto y que adem´as este sea definido por comprensi´on. Se puede observar que con los axiomas aceptados hasta ahora, no es posible realizar esta construcci´on. Por lo tanto, es necesario otro axioma que garantice la existencia de un conjunto con las propiedades requeridas. Axioma de uni´ on Para cualquier par de conjuntos A, B existe un conjunto con la propiedad de que todo elemento de ´el es un elemento de A o es un elemento de B. Si bien el anterior axioma nos permite garantizar la uni´on de una cantidad finita de conjuntos, no es suficiente para garantizar la uni´on de una cantidad infinita de conjuntos. Es posible generalizar el axioma anterior, pero para este libro basta con la versi´on finita.

Operaciones con conjuntos En esta secci´on vamos a estudiar la conformaci´on de nuevos conjuntos a partir de los ya determinados. Ello se consigue combinando los elementos de los conjuntos ya establecidos, es decir, estableciendo operaciones entre conjuntos. La tres operaciones m´as simples son la uni´on, la intersecci´on y la diferencia que estudiaremos a continuaci´on.

50

L´ogica y conjuntos

La uni´ on 1.8.9 Definici´ on uni´ on La uni´ on de dos conjuntos A y B, denotada por A ∪B, se define como el conjunto formado por los elementos de A junto con los elementos de B. De esta forma, A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}, lo cual equivale a expresar que: x∈A∪B 1.8.10 Ejemplo entonces,

si y s´olo si x ∈ A ∨ x ∈ B.

Sean A = {1, 2, 3, 4, 6} y B = {2, 3, 7, 8, 9}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}.

1.8.11 Ejemplo Sean C = {x ∈ R : −9 < x ≤ −1} y D = {x ∈ R : −7 ≤ x ≤ 1}. En t´erminos de intervalos se tiene que C = (−9, −1 ] y D = [−7, 1]; entonces C ∪ D = (−9, 1]. Bas´andonos en la definici´on de uni´on entre conjuntos se pueden demostrar las siguientes propiedades elementales. 1.8.12 Propiedades de la uni´ on de conjuntos Para A y B conjuntos se tienen las siguientes propiedades: 1. Idempotencia: A ∪ A = A. 2. Conmutatividad: A ∪ B = B ∪ A. 3. Asociatividad: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). 4. Identidad: A ∪ ∅ = A. Otras propiedades a) A ⊆ (A ∪ B). b) Si A ⊆ B entonces A ∪ B = B. Como ejemplo ilustrativo, demostremos 2:

Nociones fundamentales de conjuntos

51

A ∪B = B ∪A se basa en la equivalencia l´ogica de p ∨q y q ∨p. Debemos demostrar que x ∈ A ∪ B si y s´olo si x ∈ B ∪ A. Observemos que el enunciado anterior es equivalente a: x ∈ A ∨ x ∈ B ←→ x ∈ B ∨ x ∈ A, Lo cual demuestra la propiedad.

La intersecci´ on 1.8.13 Definici´ on intersecci´ on La intersecci´on de dos conjuntos A y B se define como el conjunto formado por los elementos comunes a A y B; se designa por A ∩ B. En la notaci´on usual: A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}. Equivalentemente: x ∈ A ∩ B ←→ x ∈ A ∧ x ∈ B. Observemos que en virtud del axioma de separaci´on, dicho conjunto resultante entre la intersecci´on de dos conjuntos existe. Separando de A o B los elementos que satisfacen la propiedad x ∈ A ∧ x ∈ B se obtiene la intersecci´on. 1.8.14 Ejemplo entonces

Sean A = {1, 2, 3, 4, 6} y B = {2, 3, 7, 8, 9}, A ∩ B = {2, 3}.

1.8.15 Ejemplo Sean C = {x ∈ R : −7 < x ≤ 5} y D = {x ∈ R : 2 < x}. En t´erminos de intervalos se tiene que C = (−7, 5 ] y D = (2, ∞), entonces C ∩ D = (2, 5 ]. 1.8.16 Ejemplo Si E = {x ∈ N : x es un n´ umero par} y F = {x ∈ N : x es un n´ umero impar}, entonces E ∩ F = ∅.

52

L´ogica y conjuntos

Bas´andonos en la definici´on de intersecci´on entre conjuntos se pueden demostrar las siguientes propiedades elementales:

1.8.17 Propiedades de la intersecci´ on de conjuntos Para A y B conjuntos se tienen las siguientes propiedades: 1. Idempotencia: A ∩ A = A. 2. Conmutatividad: A ∩ B = B ∩ A. 3. Asociatividad: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). 4. Identidad: A ∩ ∅ = ∅. Otras propiedades a) (A ∩ B) ⊆ A y (A ∩ B) ⊆ B. b) Si A ⊆ B entonces A ∩ B = A.

La diferencia 1.8.18 Definici´ on diferencia La diferencia de dos conjuntos A y B se define como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B; se denota como A − B. Es decir, A − B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ / B},

lo cual equivale a expresar que:

x ∈ A − B si y s´olo si x ∈ A ∧ x ∈ / B. Observemos que en virtud del axioma de separaci´on, el conjunto resultante de la operaci´on de diferencia existe. Separando de A los elementos que satisfacen la propiedad x ∈ A ∧ x ∈ / B se obtiene la diferencia de A con B.

Nociones fundamentales de conjuntos

1.8.19 Ejemplo entonces,

53

Sean A = {1, 2, 3, 4, 6} y B = {2, 3, 7, 8, 9}, A − B = {1, 4, 6}.

1.8.20 Ejemplo Si C = {x ∈ R : 2 < x ≤ 6} y D = {x ∈ R : 4 < x}, entonces C − D = (2, 4 ]. 1.8.21 Ejemplo Si E = {x ∈ N : x es un n´ umero par} y F = {x ∈ N : x es un n´ umero impar}; entonces E − F = E. Bas´andonos en la definici´on de diferencia entre conjuntos se pueden demostrar las siguientes propiedades elementales: 1.8.22 Propiedades diferencia de conjuntos Para A, B y C conjuntos se tienen las siguientes propiedades: 1. A − (A − B) = A ∩ B. 2. A − ∅ = A. 3. ∅ − A = ∅. 4. (A − B) − C = A − (B ∪ C). Propiedades Distributivas. 1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 3. A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C). 4. A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C).

El conjunto partes Axioma de partes Dado un un conjunto A existe un conjunto asociado a A, llamado el conjunto potencia de A o partes de A formado por todos los subcon-

54

L´ogica y conjuntos

juntos de A. Se denota por P (A). 1.8.23 Ejemplo de A ser´a

Si A = {x ∈ Z+ : x < 4}, el conjunto partes

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Es posible demostrar que si A es un conjunto finito que tiene n elementos, es decir, su cardinalidad es n, entonces la cardinalidad del conjunto P(A) es 2n .

Complemento 1.8.24 Definici´ on complemento Sea X un conjunto y A ⊆ X. Definimos el complemento de A en X como el conjunto X − A. El complemento de A en X se denota por CX A o simplemente A′ cuando se conoce cual es el conjunto X. Es decir A′ = X − A = {x ∈ X : x ∈ / A}. 1.8.25 Ejemplo Tomando como X el conjunto de n´ umeros reales R, tenemos que para A = {x ∈ R : 1 ≥ x}, el complemento A′ = (1, ∞].

El producto cartesiano 1.8.26 Definici´ on par ordenado, producto cartesiano Sean A y B conjuntos, a ∈ A y b ∈ B. Definimos el par ordenado (a, b) entendiendo que (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d. El producto cartesiano entre A y B se define como: A × B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}. 1.8.27

Ejemplo

Si A = {u, v} y B = {u, v, w}, entonces:

A × B = {(u, u), (u, v), (u, w), (v, u), (v, v), (v, w)}.

Nociones fundamentales de conjuntos

55

Bas´andonos en la definici´on de producto cartesiano entre conjuntos se pueden demostrar las siguientes propiedades elementales: 1.8.28 Propiedades del producto cartesiano Para A, B y C conjuntos se tienen las siguientes propiedades: 1. Identidad: A × ∅ = ∅ × A = ∅ Propiedades distributivas: 2. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) 3. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) En casos muy especiales el producto cartesiano es conmutativo, pero en general no lo es. Para ilustrar, del ejemplo 1.8.27 tenemos: A × B = {(u, u), (u, v), (u, w), (v, u), (v, v), (v, w)}. Por otra parte: B × A = {(u, u), (u, v), (v, u), (v, v), (w, u), (w, v)}. Por lo tanto por el axioma de extensi´on podemos concluir que A×B ̸= B×A pues (v, w) ∈ A × B y (v, w) ∈ / B × A. Lo mismo ocurre con la asociatividad, donde en general: A × (B × C) ̸= (A × B) × C

Conjuntos coordinables, relaciones En la figura 1.6 aparecen representados dos conjuntos concretos: uno de letras griegas y otro de figuras geom´etricas. Se observa que cada letra esta acompa˜ nada de su respectiva figura; es decir, a cada letra le corresponde una figura o viceversa, a cada figura le corresponde una letra. Se dice que en este caso existe una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto de letras y el conjunto de figuras, o que los dos conjuntos son coordinables. En el primer caso, tenemos un conjunto de letras: L = {alfa, beta, gama, delta, ´epsilon}, y un conjunto de figuras geom´etricas: F = {c´ırculo, estrella, cuadrado, cruz, tri´angulo}, y se estableci´o la correspondencia:

56

L´ogica y conjuntos

α

β

γ

δ

ϵ

⃝

⋆

#

$

△

Figura 1.6: Dos conjuntos: uno de letras griegas y otro de figuras geom´etricas.

alfa

beta

gama

delta

´epsilon

c´ırculo

estrella

cuadrado

cruz

tri´angulo

Tenemos entonces que el conjunto L es coordinable con el conjunto F . En la figura 1.7 se observa igualmente la presencia de un conjunto de letras y de un conjunto de figuras; sin embargo hay letras solitarias. A cada figura le corresponde una letra, pero a cada letra no se le puede hacer corresponder una figura. En otras palabras, hay letras que no tienen figura. Se dice que en este caso no existe una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto de las letras y el conjunto de las figuras, o que los dos conjuntos son no coordinables.

α

β

γ

⃝

⋆

#

δ

ϵ

Figura 1.7: Dos conjuntos: uno de letras griegas y otro de figuras geom´etricas.

Haciendo la misma operaci´on que en el caso anterior se tendr´a el diagrama: alfa

beta

gama

c´ırculo

estrella

cuadrado

delta

´epsilon

En este caso tenemos que el conjunto de figuras reducido R = { c´ırculo, estrella, cuadrado }, no es coordinable con el conjunto L.

Nociones fundamentales de conjuntos

57

1.8.29 Definici´ on conjuntos coordinables Dos conjuntos A y B son coordinables, cuando a cada elemento del conjunto A le corresponde uno y s´olo un elemento del conjunto B, y a cada elemento del conjunto B le corresponde uno y s´olo un elemento del conjunto A. Como ejemplo ilustrativo de la anterior definici´on, veamos como los n´ umeros naturales forman un conjunto coordinable.

Los n´umeros naturales Los n´ umeros naturales constituyen el concepto matem´atico primario. Ellos conforman la base sobre la que se levanta el edificio matem´atico. En este caso haremos una presentaci´on t´ıpica del sistema de los n´ umeros naturales con base en la teor´ıa de conjuntos presentada en la secci´on anterior. Tomemos los siguientes conjuntos: A = {a, b, c, d, e}. B = {α, β, γ, δ}. C = {v, w, x, y, z}. G = {F, N, M, S, B}. P = {T, K, I, L, Q}. N = {H, R, J}. Una r´apida inspecci´on a los conjuntos anteriores nos muestra que los conjuntos A, C, G y P son coordinables entre s´ı, mientras que los conjuntos B y N no lo son. Decimos que los conjuntos A, C, G y P pertenecen a una misma clase, cuya propiedad la designamos con la palabra cinco y la representamos con el s´ımbolo 5 o numeral 5. 1.8.30 Definici´ on n´ umero natural de un conjunto El n´ umero natural de un conjunto es lo que tienen de com´ un todos los conjuntos coordinables con ´el; representa a los conjuntos de una misma clase. Cada s´ımbolo que representa un n´ umero natural corresponde al n´ umero de elementos del conjunto en consideraci´on. As´ı, el s´ımbolo 0 representa la cantidad de elementos del conjunto ∅. Como vimos en la secci´on anterior, el conjunto ∅ es un conjunto sin elementos; diferente al conjunto {∅}, que es un conjunto cuyo u ´nico elemento

58

L´ogica y conjuntos

es ∅. Adem´as el conjunto {∅} es coordinable con todo conjunto de la forma {a}, {b}, etc. El numeral 1 representa la cantidad de elementos de cada uno de los conjuntos coordinables con {∅}. En la subsecci´on anterior mostramos que ∅ ̸= {∅}; ello significa que el conjunto {∅, {∅}} no es coordinable con el conjunto {∅}. O dicho de otra manera, los conjuntos {∅, {∅}} y {∅} no pertenecen a la misma clase. El numeral 2 representa la cantidad de elementos de cada uno de los conjuntos coordinables con {∅, {∅}}. Siguiendo este proceso constructivo tenemos que 3 representa la cantidad de elementos de cada uno de los conjuntos coordinables con {∅, {∅}, {∅, {∅}} }, y as´ı sucesivamente, de tal forma que tendremos: 0=∅ 1 = {∅} = {0} 2 = {∅, {∅}} = {0, 1} .. .

n = {0, 1, . . . , n − 1} .. .

Observemos que los n´ umeros naturales se generan a partir del cero mediante la adici´on de unidades; de esta forma, dado un n´ umero natural n, al agregarle una unidad obtenemos un nuevo n´ umero natural n + 1, denominado el sucesor de n. El conjunto de n´ umeros naturales se representa por N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Un conjunto determinado no se puede considerar en s´ı mismo un conjunto num´erico. Para ello es necesario definir las operaciones aritm´eticas de suma y producto y una relaci´on de orden.

Ejercicios 1.8 En los ejercicios del 1 al 18 responda falso o verdadero justificando su elecci´on. Para los ejercicios del 1 al 13 considere los siguientes conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {{1}, {3, 4}} C = {{1, 2}, 3, {3}}.

Nociones fundamentales de conjuntos

59

1. 1 ∈ A.

7. 3 ∈ C.

13. {1, 2, 3} = C.

2. 1 ∈ C.

8. {3} ⊂ C.

3. {1} ⊂ A.

9. {3, 4} ∈ A.

14. A ∪ B = A + B.

4. {1} ⊂ B.

10. {3, 4} ⊂ B.

5. {1, 2} ⊂ A.

11. ∅ ⊂ A.

16. ∅ ⊂ ∅.

6. {1, 2} ⊂ C.

12. 2 ∈ C.

17. {2} ∈ 2, {2, 3} .

15. ∅ ∈ ∅.

-

.

18. Si A ⊂ B, entonces A ∩ B = A. 19. Denote por extensi´on cada uno de los siguientes conjuntos: a) El conjunto de los sat´elites naturales de la tierra. b) El conjunto de los escritores que han recibido el Premio Nobel de literatura en Colombia. c) El conjunto de los escritores que han recibido el Premio Nobel de literatura en Latinoam´erica. d) El conjunto de los n´ umeros enteros. e) El conjunto de los n´ umeros racionales menores que 2 y mayores que 1. 20. Dados los siguientes conjuntos, escriba los subconjuntos de cada uno de ellos a) {2, 5}. -

.

b) ∅, {1}, 1 .

-

.

c) {a, b}, {a} .

d) ∅.

21. Bas´andose en la definici´on de complemento entre conjuntos demostrar las siguientes propiedades elementales: a) A ∪ X = X. b) A ∩ X = A.

c) A ∪ A′ = X. d) (A′ )′ = A.

e) X ′ = ∅. f ) ∅′ = X. g) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′ . h) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′ .

22. Utilizando las propiedades de los conjuntos demuestre que:

60

L´ogica y conjuntos

a) (A ∪ B ′ ) ∩ B = A ∩ B.

b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ′ ) = A.

c) A ∪ (A ∩ B) = A.

d) A ∩ (A ∪ B) = A.

e) A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C).

f ) (A ∪ B) − B = A si y s´olo si A ∩ B = ∅.

g) A − (A ∩ B) = A − B.

h) A − B = B − A si y s´olo si si A = B. i) A − B = A si y s´olo si A ∩ B = ∅.

j) A − B = B si y s´olo si A = B = ∅.

k) A ∩ B = A ∪ B si y s´olo si A = B.

l) A ∩ B = A − B si y s´olo si A = ∅.

23. Sean A = {1, 5, 7}, B = {1, 3, 4, 8} y C = {5, 6, 8, 9} Encuentre cada uno de los siguientes conjuntos: a) A ∪ C. b) A ∩ C.

c) A ∪ (B ∩ C). d) B − A.

e) A × B. f ) B × A.

g) A × (B ∪ C). h) (A × B) ∪ (A × C).

24. D´e la negaci´on de las siguientes proposiciones cuantificadas: a) ∃x ∈ R (x2 + 5x + 4 = 0). b) ∃x ∈ Q (0,3 < x < 0,33).

c) ∀a ∈ R ∀b ∈ R (a + b = b + a).

d) ∀x ∈ C ∃y ∈ C (xy = 1).

e) ∃x ∈ R ∀y ∈ R (x + y = y).

25. Traduzca al lenguaje simb´olico las siguientes proposiciones y sus negaciones: a) La ecuaci´on x2 − x + 1 = 0 tiene soluci´on en R.

b) Todo n´ umero racional a ̸= 0 tiene otro n´ umero racional b ̸= 0 tal que ab = 1.

Nociones fundamentales de conjuntos

61

c) Todo n´ umero entero n tiene en Z otro n´ umero m tal que m + n = 0. d) Alg´ un n´ umero entero no es par. e) Todo n´ umero entero se puede descomponer como producto de factores primos. 26. D´e la negaci´on, la rec´ıproca y la contrarrec´ıproca de las siguientes implicaciones y diga cu´al de las proposiciones es verdadera: a) Si un n´ umero entero es primo, no es divisible por 3. b) Dados a y b n´ umeros reales, si ab = 0 entonces a = 0 ´o b = 0. c) Dado x n´ umero real, si 0 < x < 1 entonces 0 < x2 < x. 27. Escriba en forma simb´olica las siguientes proposiciones, d´e su negaci´on y diga cu´ales son falsas y cu´ales verdaderas: √ umero racional ´o irracional. a) 3 es un n´ b) 18 es divisible por tres y por seis. c) Una condici´on necesaria para que 32 = 10 es que 8 − 3 = 6. d) Una condici´on suficiente para que 2 < 3 es que 2 < 5. e) Una condici´on necesaria y suficiente para que 0,75 sea un n´ umero racional es que se pueda escribir como fracci´on entre enteros. 28. Defina en forma comprensiva y en forma extensiva los siguientes conjuntos: a) El conjunto de todos los naturales menores que 7. b) El conjunto de todos los enteros pares. c) El conjunto de todos los n´ umeros naturales mayores que 13 y menores que 31. d) El conjunto de todos los n´ umeros naturales impares menores que 13. 29. Sean A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} y B = {x ∈ R : x2 − 9 = 0}. Encuentre: a) A ∪ B.

b) A ∩ B.

c) A − B.

d) B − A.

30. Demuestre que los siguientes conjuntos son coordinables con Z o con un subconjunto suyo y por lo tanto que son numerables. a) Los n´ umeros pares positivos.

62

L´ogica y conjuntos

b) Los n´ umeros impares positivos. c) Todos los enteros m´ ultiplos de 5. d) El conjunto de los n´ umeros que se obtienen al elevar el −3 sucesivamente a la primera potencia, a la segunda potencia, etc. 31. Escriba una argumentaci´on convincente para demostrar que los conjuntos siguientes son conjuntos coordinables. a) Los n´ umeros naturales pares y los n´ umeros naturales. b) Los n´ umeros naturales pares y los n´ umeros naturales impares. 32. Un n´ umero infinito de matem´aticos que celebraban un congreso muy especial, ocuparon todos los cuartos del Hotel Hilbert, que obviamente ten´ıa tantos cuartos como n´ umeros naturales. El problema de hospedaje se present´o cuando un periodista no quer´ıa compartir cuarto para cubrir el evento. Aparentemente el caso era irresoluble. Sin embargo, despu´es de unos instantes, uno de los matem´aticos dio con una clave salvadora: ¿Cu´al fue la soluci´on dada por el prestigioso hombre de ciencia? 33. ¿C´omo se podr´ıa resolver el problema anterior si aparecieran veinte periodistas? 34. ¿Tendr´ıa el problema soluci´on si aparecen tantos periodistas como n´ umeros naturales? 35. Al tener tanto ´exito en su negocio, el due˜ no del Hotel Hilbert, decidi´o dar una copa de vino a todos los hu´espedes. Al ir a sentarse a la mesa (de infinitos puestos), algunos de los matem´aticos encontraron la forma de acomodarse de tal suerte que no beber´ıan una, sino cuatro copas del espumosos vino cada uno. ¿Cu´al deber´ıa ser esa manera de ubicarse para hacer esto posible? 36. ¿Puede haber una manera de ubicarse en la mesa de tal suerte que cada uno de los matem´aticos pueda tomar un n´ umero infinito de copas?

Nociones fundamentales de conjuntos

63

Cap´ıtulo

2 David Hilbert probablemente fue uno de los matem´ aticos m´ as influyentes del siglo XX. A principios del siglo pasado, present´ o una lista de 23 problemas que en su ´epoca estaban por resolver y que dirigieron gran parte de la investigaci´ on matem´ atica del siglo XX.

Los n´ umeros reales como sistema matem´ atico 2.1.

Algunas anotaciones hist´ oricas de los n´ umeros reales

Formalmente hablando, las primeras construcciones de los n´ umeros reales datan del siglo XIX y las presentaciones axiom´aticas de R empiezan a ventilarse en los albores del siglo XX. La primera huella de una teor´ıa sistem´atica de n´ umeros data de la antig¨ uedad griega, concretamente en los Elementos de Euclides, cuatro siglos antes de Cristo. Sin embargo muchos de los re64

Algunas anotaciones hist´oricas de los n´ umeros reales

65

sultados de Euclides provienen de una tradici´on de varios siglos atr´as en la escuela pitag´orica. La b´ usqueda de soluciones de ecuaciones de la forma P n(x) = 0, donde P n(x) es un polinomio de grado n, plantea la necesidad de extender las soluciones a los radicales, como lo hacen los ´arabes hacia el siglo IX d.C. Un aspecto que cataliza el desarrollo hist´orico del concepto de n´ umero, tiene relaci´on con la adopci´on del sistema de representaci´on decimal desarrollado por los matem´aticos ´arabes , el cual fue introducido en Europa por Leonardo de Pisa (1170-1250). El universo num´erico se extiende a partir de las operaciones con exponentes y logaritmos establecidas por John Napier, Henry Briggs y Nicolas Mercator, entre otros, entre los siglos XVI y XVII. En el marco del problema de la medida de figuras planas Jhon Wallis empieza a evidenciar la necesidad de incorporar cantidades diferentes a las ra´ıces inexactas. En el caso de la cuadratura del c´ırculo, Wallis establece la siguiente aproximaci´on cl´asica para π: 2 × 2 × 4 × 4... π = 2 1 × 1 × 3 × 3... Con Leonard Euler se da un avance importante en el aspecto operativo a trav´es de la representaci´on de las cantidades en fracciones continuas. En sus obras An´alisis del Infinito y Sobre Fracciones Continuas, Euler realiza una sistematizaci´on de la teor´ıa de las fracciones continuas, demostrando que cada n´ umero racional se puede representar como una fracci´on continua finita y un n´ umero irracional como una fracci´on continua infinita. Incorpora algunos elementos simb´olicos, como el s´ımbolo π, para la raz´on entre el di´ametro y la longitud de un c´ırculo y e para la base los logaritmos neperianos. Por esta ´epoca se establece la diferencia entre irracionales trascendentes y algebraicos. Sin embargo todo esto se hace de una manera informal y va delineando la necesidad de establecer una teor´ıa rigurosa de los n´ umeros reales. La salida a este problema se da a partir de las construcciones de Cantor y Dedekind. Cantor, desarrolla su teor´ıa de n´ umeros a partir de sucesiones de racionales, mientras Dedekind lo hace a partir de cortaduras de n´ umeros racionales. La primera propuesta axiom´atica de los n´ umeros reales se debe a David Hilbert (1862-1943) en 1899. En otros art´ıculos Hilbert va afinando su propuesta axiom´atica de los reales, que consiste en 18 axiomas, divididos en cuatro grupos: de conexi´on, para las operaciones, de orden y de continuidad. Las presentaciones de los libros de an´alisis modernas se basan en la propuesta axiom´atica de Hilbert.

66

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

OBJETIVOS DEL CAPITULO • Establecer una caracterizaci´on axiom´atica para la estructura algebraica de los n´ umeros reales. • Adquirir la noci´on de los n´ umeros reales como puntos de una recta y utilizarlos como herramienta te´orica para medir longitudes. • Realizar operaciones algebraicas con los n´ umeros reales y describir propiedades de subconjuntos de R.

2.2.

Construcci´ on conjuntista de R

Los n´umeros naturales Podemos empezar mencionando que los n´ umeros naturales tienen este nombre debido al hecho de que el hombre de manera intuitiva tuvo desde tiempos muy antiguos la noci´on de cantidad (un ejemplo de ello es el Hueso de Ishango), as´ı, los n´ umeros naturales han sido muy u ´tiles para la vida cotidiana tanto como para el desarrollo de las matem´aticas. Los n´ umeros naturales constituyen una base fundamental para una construcci´on de los n´ umeros reales. Por esto, es c´elebre la cita del matem´atico y l´ogico Leopold Kronecker (1823-1891) “Dios hizo los naturales; el resto es obra del hombre”. Ahora bien, continuando con la introducci´on presentada acerca de los n´ umeros naturales en el capitulo anterior, tenemos que, dos conjuntos A y B son coordinables, cuando a cada elemento del conjunto A le corresponde uno y s´olo un elemento del conjunto B, y a cada elemento del conjunto B le corresponde uno y s´olo un elemento del conjunto A. Se denotar´an a los n´ umeros naturales por medio de numerales. Por ejemplo, el numeral 2 representa la cantidad de elementos de cada uno de los conjuntos coordinables con {∅, {∅}}. El numeral 3 representa la cantidad de elementos de cada uno de los conjuntos coordinables con {∅, {∅}, {∅, {∅}} }, y as´ı sucesivamente, de tal forma que tendremos: 0=∅ 1 = {∅} = {0}

Construcci´ on conjuntista de R

67

2 = {∅, {∅}} = {0, 1} .. .

n = {0, 1, . . . , n − 1} .. .

Observemos que los n´ umeros naturales se generan a partir del cero mediante la adici´on de unidades; de esta forma, dado un n´ umero natural n, al agregarle una unidad obtenemos un nuevo n´ umero natural n + 1, denominado el sucesor de n. El conjunto de n´ umeros naturales se representa por N = {0, 1, 2, 3, . . .}.

Sin embargo, un conjunto determinado no se puede considerar en s´ı mismo un conjunto num´erico. Para ello es necesario definir las operaciones aritm´eticas de suma y producto y una relaci´on de orden.

La suma de n´ umeros naturales La suma se define con base al milenario m´etodo de ir adicionando, a uno de los sumandos, tantas unidades como tenga el otro; al final volvemos a contar tomando como referencia el conjunto de los n´ umeros naturales a partir del uno: 1, 2, 3, 4, etc. Este proceso se puede formalizar (partiendo del cero) de manera recurrente de acuerdo a la definici´on conjuntista de los n´ umeros naturales, 0 = 0, 1 = 0 + 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1, .. . Est´a es la forma can´onica de representar conjuntistamente a los n´ umeros naturales. Sin embargo, si tenemos al conjunto a, el conjunto {a} tambi´en representa al 1. Observemos por ejemplo que 3 = 2+1 = (1+1)+1. Debido al principio de extensi´on (1 + 1) + 1 = 1 + 1 + 1, pues en un conjunto no importa el orden de aparici´on de los elementos: {a, b, c} = {a, b} ∪ {c} =

68

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

{a} ∪ {b} ∪ {c} = {a} ∪ {b, c}. De esta manera, no interesa el lado en el cual sumemos la unidad en la generaci´on de nuevos n´ umeros; as´ı: 3 = (1 + 1) + 1 = 2 + 1, = 1 + 1 + 1, = 1 + (1 + 1) = 1 + 2. De acuerdo a lo anterior, se introduce la siguiente definici´on general de suma de dos n´ umeros naturales. 2.2.1 Definici´ on m´ odulo, sucesor Sean n y m n´ umeros naturales, definimos: 1. El m´odulo de la suma como el n´ umero natural 0 que cumple: n + 0 = 0 + n = n. 2. La suma de n con el sucesor de m como: n + (m + 1) = (n + m) + 1. En la definici´on anterior se habla de “El m´odulo de la suma” y no de “Un m´odulo de la suma”porque el m´odulo es u´nico, es decir, existe un ´unico n´umero natural con la propiedad 1. De acuerdo a la definici´on del cero y de lo establecido antes se tendr´a que los n´ umeros naturales cumplen las siguientes propiedades b´asicas. 2.2.2 Teorema Sean n, m, k n´ umeros naturales, entonces: 1. Propiedad clausurativa. n + m es un n´ umero natural. 2. Propiedad uniforme: Si n = m entonces n + k = m + k. 3. Propiedad conmutativa: n + m = m + n. 4. Propiedad asociativa: (n + m) + k = n + (m + k). En estas instancias no se demuestran estas propiedades formalmente, pues para ello es necesario el Principio de Inducci´on Matem´atica, se sugiere que el lector las verifique informalmente.

Construcci´ on conjuntista de R

69

El producto de n´ umeros naturales 2.2.3 Definici´ on producto en N Dados dos n´ umeros naturales m y n, el producto o la multiplicaci´on entre m y n, simbolizada como m · n o m × n, se define como: m0 = 0. m(n + 1) = mn + m. Como todo n´ umero natural distinto de cero es el sucesor de otro n´ umero natural, la operaci´on resulta bien definida. Utilizaremos indistintamente los s´ımbolos ✭✭×✮✮ o ✭✭·✮✮ para indicar la multiplicaci´on, pero en general, cuando intervienen n´ umeros, letras o par´entesis, y no hay lugar a confusiones, se acostumbra omitir cualquier s´ımbolo. Por ejemplo: 4 × m = 4 · m = 4m, 2 × m × n = 2 · m · n = 2mn, a × (b + c) = a · (b + c) = a(b + c). Con base en la anterior definici´on y de nuevo el Principio de Inducci´on Matem´atica, el producto entre n´ umeros naturales cumple las siguientes propiedades b´asicas, las cuales el lector puede verificar informalmente:

2.2.4 Teorema Sean tres n´ umeros naturales m, n y s se tiene que: 1. Propiedad uniforme: Si n = m entonces n · s = m · s. 2. Propiedad del elemento nulo: n · 0 = 0 · n = 0. 3. Propiedad del elemento neutro: n · 1 = 1n = n. 4. Propiedad conmutativa del producto: nm = mn. 5. Propiedad asociativa del producto: (mn)s = m(ns). Se pueden combinar las operaciones de suma y producto. Si tomamos los n´ umeros naturales m, n y s, se puede efectuar la suma n + m, y ese

70

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

resultado, a su vez, multiplicarlo por s, (m + n)s; operaci´on que se hace siguiendo las definiciones de suma y producto. 2.2.5 Teorema Propiedad distributiva en N La propiedad distributiva del producto de n´ umeros naturales respecto a la suma establece que dados tres n´ umeros naturales cualesquiera m, n y s, tenemos que: (m + n)s = ms + ns.

Orden en los n´ umeros naturales Un orden total en un conjunto es una relaci´on entre sus elementos, que permite determinar de dos cualesquiera de ellos cu´ando son iguales o cu´ando uno es menor que el otro. Podemos establecer un orden en los naturales como ✭✭consecuencia inmediata✮✮ de la secuencia de n´ umeros naturales que hemos desarrollado antes: 0, 1, 2, . . . , n, . . . Diremos, informalmente, que un n´ umero m es menor que otro n´ umero n, si m est´a a la izquierda de n en la presentaci´on de los n´ umeros naturales, es decir: 0, 1, 2, . . . , m, . . . , n, . . . En este caso escribimos m < n, y es usual referirnos a estas comparaciones como desigualdades. As´ı, usando estas desigualdades de secuencia de N, quedar´ıa: 0 < 1 < 2 < ... < m < ... < n < ... Para dos n´ umeros naturales m y n, la expresi´on m ≤ n, significa que m < n ´o m = n. Si m ≤ n, entonces tambi´en se acostumbra a escribir n ≥ m. Tomando como base esto, podemos escribir: 2 < 4, 5 ≤ 5, 2 ≤ 4,

Construcci´ on conjuntista de R

71

2.2.6 Teorema Ley de la tricotom´ıa Dados m, n ∈ N una y solo una de las siguientes afirmaciones es verdadera, m < n, m = n, n < m. Notemos que si partimos de la desigualdad 3 < 4, se cumple que 4 = 3 + 1. Este es un hecho que se cumple en general, pues si tenemos que m < n tendremos la siguiente situaci´on: 0, 1, 2, . . . , m, . . . , n, . . . , que en t´erminos de suma quedar´ıa: 1/ + 1 +01· · · + 12 + /1 + 1 +01· · · + 12 m veces.

/

s veces.

01 n veces.

2

lo cual demuestra una de la siguiente propiedad fundamental del conjunto de los n´ umeros naturales.

2.2.7 Teorema Sean los n´ umeros naturales m y n. Si m < n, entonces existe un u ´nico n´ umero natural s ̸= 0 tal que m + s = n. 2.2.8 Ejemplo Como 2 < 7, entonces existe un u ´nico n´ umero n = 5, tal que 2 + 5 = 7. Si m = n, el u´nico n´umero natural s tal que m + s = n es s = 0.

Los n´umeros enteros El teorema seg´ un el cual para dos n´ umeros naturales m y n, con m < n, existe un u ´nico n´ umero natural s ̸= 0, tal que m + s = n, permite incorporar la resta como operaci´on entre naturales. El n´ umero s se denomina la diferencia entre n y m, y se representa como n − m. Tenemos entonces que s = n − m si y s´olo si n = m + s. Al n´ umero n se le llama el minuendo y a m el sustraendo. Observemos que n − 0 = n. La resta entre naturales solo es posible si el minuendo es mayor que el sustraendo. La generalizaci´on de la resta, a dos cualesquiera n´ umeros

72

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

naturales, obliga a extender el sistema num´erico de los n´ umeros naturales a los n´ umeros enteros. Vale la pena resaltar que, hist´oricamente, esta extensi´on no fue inmediata; la raz´on es que da origen a los n´ umeros negativos, y desde la antig¨ uedad cl´asica, el n´ umero estaba ligado al proceso de contar donde lo negativo no ten´ıa cabida. Incluso hasta mediados del siglo pasado muchos famosos matem´aticos se negaban a reconocerles la ciudadan´ıa num´erica. Sin embargo, algunos aspectos vencieron la resistencia. Se pod´ıan extender las operaciones de suma y producto sin ning´ un sacrificio te´orico. La existencia de fen´omenos f´ısicos, como el movimiento, que llevaban al planteamiento de ecuaciones del tipo 3 + x = 2, o x2 + x − 6 = 0. La matematizaci´on de ciertos fen´omenos como la altitud y la medida de la temperatura. El desarrollo de sistemas contables por parte de los comerciantes, que exig´ıan un m´etodo de consignar las deudas, incluyendo la acumulaci´on progresiva de las mismas. Para ello se precisaba de la ampliaci´on de las operaciones de suma y producto. Surge la necesidad de representar de alguna forma la diferencia n − m para dos n´ umeros naturales cualesquiera. Recordemos que lo u ´nico que tenemos para representarla es el conjunto de los naturales mismos. 2.2.9 Definici´ on opuesto Sean los n´ umeros naturales m y n, tales que m < n y s tal que m + s = n, lo cual significa que n − m = s. Definimos m − n como el opuesto de s y lo designamos como −s (menos s). Seg´ un la definici´on anterior, como 7 − 3 = 4, entonces 3 − 7 = −4; la expresi´on −4 ser´a el opuesto de 4. Como n + 0 = n, es decir, n − n = 0, se tiene que: 2.2.10 Definici´ on opuesto de un natural Para cada n´ umero natural n, se define el opuesto de n como −n. La expresi´on n − n = 0, se puede representar como n + (−n) = 0, de lo cual se sigue el siguiente teorema. 2.2.11 Teorema La suma de cualquier n´ umero natural n y su opuesto −n, es cero; es decir, para todo n se tiene que n + (−n) = 0.

Construcci´ on conjuntista de R

73

2.2.12 Ejemplo As´ı tenemos que para el n´ umero natural 5 el opuesto es −5 y se cumple que 5 + (−5) = 0. Dado que 0 + 0 = 0, entonces −0 = 0, lo cual significa que el cero es igual a su opuesto. El n´ umero cero es el u ´nico con esta propiedad. Por otra parte como n + (−n) = 0 y se debe cumplir la propiedad conmutativa, tenemos que (−n) + n = 0, por lo tanto el opuesto de −n es n, es decir −(−n) = n. Con base a lo anterior, tenemos que cada opuesto de un n´ umero natural genera a su vez un nuevo n´ umero. Esto nos permite ampliar nuestro universo num´erico, de los n´ umeros naturales a los n´ umeros enteros.

2.2.13 Definici´ on Z Diremos que el conjunto de los n´ umeros enteros, representado por Z est´a conformado por la uni´on del conjunto de los n´ umeros naturales y el conjunto de sus opuestos. De esta forma, el conjunto de los n´ umeros enteros quedar´a conformado de la siguiente manera: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Adem´as, se acostumbra las simbolizaciones: Z+ = {1, 2, 3, . . .} y Z− = {−1, −2, −3, . . .}.

Las operaciones usuales con los n´ umeros enteros La suma y el producto entre los elementos de Z se definen con base a las operaciones entre naturales.

74

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

2.2.14

Definici´ on

suma en Z

1. Si n, m ∈ N definimos n + m usando la definici´on en N. 2. Para todo n ∈ Z definimos n + 0 = 0 + n = n. 3. Si m y n son n´ umeros naturales diferentes de cero: a) Si m ≤ n, n + (−m) = s, donde s + m = n. b) Si n < m, n + (−m) = −s, donde s + n = m.

c) (−n) + (−m) = −n − m = −m − n = −(n + m)

2.2.15

Ejemplo

Realicemos los siguientes c´alculos:

a) 7 + (−4), como 4 ≤ 7, 7 + (−4) = 3, puesto que 3 + 4 = 7.

b) (−15)+27, como 15 ≤ 27, (−15)+27 = 12, puesto que 12+15 = 27.

c) 10+(−16), como 10 < 16, 10+(−16) = −6, puesto que 6+10 = 16. d) (−8) + (−5) = −8 − 5 = −5 − 8 = −(8 + 5) = −13.

2.2.16 Teorema Sean n, m, k ∈ Z entonces: 1. Propiedad uniforme: Si n = m entonces n + k = m + k. 2. Propiedad asociativa: (n + m) + k = n + (m + k). 3. Propiedad conmutativa: n + m = m + n. 4. Propiedad del inverso aditivo: Existe s ∈ Z tal que n + s = 0.

Construcci´ on conjuntista de R

2.2.17

Definici´ on

75

producto en Z

1. Si n, m ∈ N usamos la multiplicaci´on definida en N. 2. Para todo n ∈ Z, definimos n0 = 0n = 0. 3. Si m y n son naturales diferentes de cero, definimos: a) (−m)n = n(−m) = −(mn). b) (−m)(−n) = mn. 2.2.18

Ejemplo

1. Realicemos los siguientes c´alculos: a) (−3)(−2) = 3 · 2 = 6.

b) (−1)(−5) = −(−5) = 5. c) (−4)6 = −(4 · 6) = −24. d) 3(−7)+(−4)(−6+2) = −(3·7)+(−4)(−4) = −21+16 = −5. 2. Partiendo del hecho que la suma y producto de n´ umeros enteros cumple las propiedades b´asicas de los n´ umeros naturales, efectu´e las siguientes operaciones: a) −3 + 7 + 5 − 8. b) −(−4) + (−8). !

"

c) −(−5) + 9 4. !

"

d) −(−5) + 9 (−4).

e) (−6)(−8). f ) (−1 + 5 + 9 − 10)(−4).

g) 7(−2) + (−3)(−12). !

"

h) 3(−8) + (−5) −3 + (−8) .

2.2.19 Teorema Sean n, m, k ∈ Z entonces: 1. Propiedad uniforme: Si n = m entonces n · k = m · k. 2. Propiedad asociativa: (nm)k = n(mk). 3. Propiedad conmutativa: nm = mn. 4. Propiedad del elemento nulo: n1 = n.

76

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

5. Propiedad distributiva del producto sobre la suma n(m+k) = nm+ nk. 6. Si n ̸= 0, m ̸= 0 entonces nm ̸= 0. 7. Si k ̸= 0 y nk = mk entonces n = m.

Orden y representaci´ on de los n´ umeros enteros Z Como lo anotamos antes, los n´ umeros enteros Z, constituyen una extensi´on de los n´ umeros naturales. De esta manera, conjuntistamente hablando, se cumple que: N ⊂ Z. Nuestro objetivo, ahora, es definir un orden en Z que conserve el orden de los naturales N, y adem´as que incluya los elementos de Z− . Para ello se recurre a la siguiente definici´on: 2.2.20 Definici´ on orden en Z Diremos que n es menor o igual que m (n ≤ m) si y solo si m − n ∈ N. Para visualizar el orden de los enteros se emplea la representaci´on t´ıpica que ubica el cero como punto referencial; a su derecha se colocan, de manera progresiva, los elementos de Z+ , y a la izquierda de forma decreciente, ´ los elementos de Z− . Esta es una denominaci´on nominal que permite una − visualizaci´on integral de Z y Z+ : |

...− 3

|

−2

|

−1

|

|

|

|

0

1

2

3...

De esta forma Z+ = {1, 2, 3, . . .}, Z− = {. . . , −3, −2, −1}, y dado un n´ umero entero x ∈ Z, se presenta uno y s´olo uno de los tres casos siguientes: x ∈ Z− ,

x = 0,

´o x ∈ Z+ .

Adem´as, hay que tener en cuenta que si x ∈ Z+ , entonces −x ∈ Z− , y si x ∈ Z− , entonces −x ∈ Z+ . Se suele denominar a los elementos de Z+ los enteros positivos y a los elementos de Z− los enteros negativos.

Construcci´ on conjuntista de R

77

Los n´umeros racionales Uno de los primeros problemas b´asicos planteados hist´oricamente en la matematizaci´on de fen´omenos f´ısicos, fue la medida de magnitudes: longitud, ´area y volumen ente otras. El proceso general de medir se basa en la comparaci´on. Para poder establecer una determinada medida se debe fijar una unidad que sirva de referencia. As´ı, para medir un segmento se parte de otro segmento, que se toma como unidad, y se determina las veces que la unidad esta contenida en el segmento. La cuesti´on es que no siempre la unidad ✭✭cabe✮✮ un n´ umero entero de veces. Hay ocasiones en que es necesario fraccionar la unidad elegida, de tal suerte que el segmento a medir es igual a n´ umero entero de veces m´as una fracci´on de la unidad. Visualicemos esto a trav´es de un ejemplo. Se nos pide medir el segmento AB tomando como unidad el segmento CD: A

B

C

D 1

Para ello determinamos las veces que la unidad CD cabe en AB: A

B 1

1

E

Observamos que la unidad cabe 2 veces y sobra el segmento EB: AB = 2CD + EB = 2 + EB. A continuaci´on, determinamos las veces que el segmento sobrante EB cabe en la unidad CD. C E

D B

Tenemos que la unidad CD es igual a 3 veces EB; en otras palabras, la unidad se ha dividido en tres partes; es decir: EB =

1 1 CD = . 3 3

Un antepasado de la representaci´on de este proceso lo constituye la ✭✭raz´on✮✮ entre magnitudes. Justamente la idea de lo racional, cuantitativamente hablando, proviene de poderse disponer en raz´on dos cantidades. Hoy en d´ıa, el resultado de esto se expresa por un par de n´ umeros enteros

78

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

—por obvias razones diferentes de cero—, denominados el numerador y el denominador. El denominador expresa el n´ umero de partes en las cuales se tuvo que dividir la unidad; el numerador las partes que se tomaron. La representaci´on t´ıpica es de la forma m/n, donde m y n pertenecen a Z+ ; en este caso m es el numerador y n es el denominador. En t´erminos generales, los n´ umeros constituyen una herramienta poderosa en los procesos de medir y de contar. Sin embargo, nos hemos encontrado con el hecho que los n´ umeros enteros se muestran insuficientes para ello. Adem´as la aparici´on de ecuaciones de la forma 3x + 6 = 10, que no se satisfacen para ning´ un entero, exigen una ampliaci´on del dominio num´erico. De esta forma, si partimos del conjunto de los n´ umeros naturales: N = {0, 1, 2, 3, . . .}, y luego establecemos la extensi´on de los n´ umeros enteros: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Podemos obtener una nueva extensi´on, denominada el conjunto de los n´ umeros racionales, el cual denotaremos por Q. En un sentido an´alogo al paso de N a Z, para la construcci´on formal de Q, incorporamos otros elementos a partir de los elementos de Z. En este sentido, el sistema de los n´ umeros racionales est´a conformado por el conjunto: ⎧ ⎨p

Q=⎩

q

⎫ ⎬

: p, q ∈ Z y q ̸= 0⎭.

Operaciones entre n´ umeros racionales Tal como en el caso de los enteros, es necesario establecer las operaciones de suma y producto para los elementos de Q. Primero definimos el conjunto Q+ de los racionales positivos: ⎧ ⎨p

Q+ = ⎩

q

⎫ ⎬

: p, q ∈ N y q ̸= 0⎭.

Si p/q ∈ Q+ le denominamos racional positivo. Observemos que el n´ umero racional positivo p/q, se puede interpretar como p veces la fracci´on 1/q; es decir: 1 1 p 1 = + ··· + = p . q q q q /

01 p veces.

2

Construcci´ on conjuntista de R

79

Este hecho nos permite extender la suma a los n´ umeros racionales positivos de igual denominador: p r 1 1 + =p +r , q q q q =

=

1 1 1 1 + ··· + + + ··· + , q q q q 01 p veces.

/

2

1 1 + ··· + , q q

/

01 r veces.

/

2

01 2 p+r veces.

1 = (p + r) , q p+r . = q

Resumamos este resultado de la siguiente manera: 2.2.21 Definici´ on Para sumar dos n´ umeros racionales positivos, con igual denominador, se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador: p+r p r + = . q q q 2.2.22

Ejemplo

2 1 2+1 3 + = = . 5 5 5 5 −8 7 −8 + 7 −1 2. + = = . 3 3 2 2

1.

Para generalizar la suma de n´ umeros racionales de diferente denominador tengamos presente algunas cuestiones b´asicas. Se puede interpretar 1 1 · = q r

⎛ ⎞

1 r q

⎝ ⎠

=

1 , rq

r ∈ Z+ ,

80

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

como representaci´on de la acci´on de dividir la fracci´on 1/r en q partes, que es lo mismo que dividir la unidad en rq partes. En este sentido, la expresi´on r/r, r ̸= 0, constituye una representaci´on del n´ umero 1. Esto nos permite obtener expresiones equivalentes al n´ umero racional p/q m´ ultiplicando tanto el numerador como el denominador por un mismo entero diferente de cero. De esta forma, dados dos n´ umeros racionales p/q y r/s se pueden obtener los racionales equivalentes: p ps = q qs

r rq = , s sq

y

que permiten incorporar la suma y el producto de n´ umeros racionales.

2.2.23 Teorema suma y producto en Q Sean p/q y r/s n´ umeros racionales. Entonces: 1.

p r pr · = . q s qs

2.

p r ps + qr + = . q s qs

Demostraci´on: ⎛

⎞

1.

1 1 1 1 1 pr p r · = p · r = (pr)⎝ · ⎠ = (pr) = . q s q s q s qs qs

2.

ps qr ps + qr p r + = + = . q s qs qs qs

2.2.24 a) b) c)

Ejemplo

17 9 17 · 7 + 9 · 11 218 + = = . 11 7 11 · 7 77 −3 1 −3 · 3 + 1 · 2 −7 + = = . 2 3 2·3 6 5 12 5 · 12 60 · = = . 13 7 13 · 7 91

Construcci´ on conjuntista de R

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Orden entre los n´ umeros racionales 2.2.25 Definici´ on Orden en Q Sean p/q y r/s n´ umeros racionales con q > 0, s > 0. Entonces: p r < ←→ ps < qr. q s

Los n´umeros irracionales Adem´as de los n´ umeros racionales, existen otros n´ umeros que no son expresables como fracciones de enteros y que se llaman n´ umeros irracionales. Utilizaremos el s´ımbolo I para referirnos al conjunto √ de estos umeros. √ n´ Ejemplos conocidos de n´ umeros irracionales son π, e, 2 y 3. Dijimos √ umero racional, pues no se puede expresar antes que 1/ 2 no era un n´ como fracci´on entre enteros. Demostrar que un n´ umero dado es √ irracional no es sencillo. Las demostraciones de la irracionalidad de π, 2 y e, por ejemplo, fueron en su momento pasos importantes en el desarrollo de las √ matem´aticas. La demostraci´ √on cl´asica de la irracionalidad de 2 es la siguiente: Supongamos que 2 no es irracional. Esto es, se puede expresar como una fracci´on p/q, donde p y q son enteros. Simplificando esta fracci´on, si fuese necesario, podemos suponer que p y q no tienen factores comunes; o lo que es lo mismo, que la fracci´on ha sido reducida a su forma m´as simple. Se puede escribir: p √ = 2, (2.1) q p2 = 2, (2.2) q2 p2 = 2q 2 . (2.3) Se deduce de esta u ´ltima expresi´on que p2 es par. Puesto que el cuadrado de un n´ umero impar es un n´ umero impar, el que p2 sea par significa que p tambi´en es par. Por lo tanto p = 2r siendo r entero. Sustituyendo p2 por 4r2 en la ecuaci´on 2.3 se tiene 4r2 = 2q 2 , 2r2 = q 2 .

82

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

Es decir, que q 2 tambi´en es par y, por la misma raz´on utilizada en el p´arrafo anterior, q tambi´en lo ser´a. Consecuentemente, q es de la forma q = 2k, siendo k entero. Este resultado permite concluir que 2 es un factor com´ un de p y de q, contra el supuesto de que no ten´ıa factores comunes. Esto es una contradicci´on. Se deduce, por lo tanto, que el supuesto en la √ igualdad 2.1 no es v´alido y que 2 no es racional. Seguramente que no es dif´ıcil para el estudiante aceptar que hay numerosos (infinitos) n´ umeros racionales. ¿Qu´e se √ puede afirmar de los irracionales? ¿No habr´a m´as irracionales que π, e, 2? En realidad el conjunto de umeros irracionales es infinito. Partiendo de la irracionalidad de √ los n´ 2, no√es dif´ıcil demostrar, por ejemplo, que si p/q es un n´ umero racional, umero irracional. Para demostrarlo procedamos de nuevo p/q + 2 es un n´ en forma indirecta. Afirmemos lo contrario de lo que queremos probar. Es decir, supongamos que p √ + 2, q es racional y que por lo tanto se puede expresar como una fracci´on de n´ umeros enteros m/n. Podemos escribir: p √ m + 2= , q n √ m p 2= − , n q =

mq − np . nq

Pero (mq − np)/nq es un n´ umero racional pues, tanto mq − np, como nq son enteros. Pero √ esto es una contradicci´on, pues esta√fracci´on de enteros es igual a 2 y demostramos, anteriormente, que 2 es irracional. Se concluye, por lo tanto, que nuestra hip´otesis de trabajo es falsa y que √ p/q + 2 no puede ser racional. La gran abundancia de n´ umeros irracionales se puede intuir tambi´en utilizando numerales decimales y observando que ser´ıan inagotables las fracciones decimales infinitas no peri´odicas que podr´ıamos construir. Ya vimos, por ejemplo, c´omo el s´ımbolo 4,101001000100001 . . . da claramente la ley de formaci´on para una de tales fracciones y representa, por lo tanto, un n´ umero irracional. En realidad, se demuestra en matem´aticas que mientras es posible numerar al conjunto de los n´ umeros racionales poni´endolos en correspondencia uno a uno con los n´ umeros naturales, esto no es posible

Construcci´ on conjuntista de R

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con los n´ umeros irracionales y no se pueden listar mediante enumeraci´on. Es decir, que en la matem´atica, como en la vida real los ✭✭irracionales✮✮ abundan m´as que los ✭✭racionales✮✮. Debe ser claro que, seg´ un la definici´on de n´ umero irracional, I∩Q=∅ Es decir, I y Q no tienen elementos comunes. El conjunto que resulta de la uni´on de los n´ umeros racionales y los n´ umeros irracionales constituye el conjunto de los n´ umeros reales que denotaremos con el s´ımbolo R. Consecuentemente: R=Q∪I Otro paso en la evoluci´on del concepto de n´ umero llega a los llamados n´ umeros complejos que se suelen representar en la forma a+bi, siendo a y b n´ umeros reales y por definici´on i2 = −1. La parte a se suele llamar la parte real del n´ umero complejo y b su parte imaginaria. Cuando el n´ umero es de la forma 0+bi se considera igual a bi y se dice que es imaginario puro. Cuando es de la forma a + 0i se considera igual a a y se dice que el n´ umero complejo es real. Utilizaremos la letra C para representar al conjunto de los n´ umeros complejos. Se puede escribir por lo tanto, con base en las consideraciones anteriores, que R ⊂ C. Son ejemplos de n´ umeros complejos 1 + i, 1 y 6i.

Los n´umeros como resultado de la actividad de medir y contar La descripci´on que hemos hecho de los n´ umeros reales, clasific´andolos en naturales, enteros, racionales e irracionales ha sido el producto de un largo y dif´ıcil proceso de desarrollo del concepto de n´ umero. La noci´on de n´ umero real sintetiza el proceso milenario de establecer un cuerpo te´orico que integre las actividades de medir, contar y ordenar. En este proceso fue determinante el establecimiento de relaciones de correspondencia biun´ıvoca entre grupos de objetos. En todo caso, desde tiempos prehist´oricos, el hombre pudo percibir no s´olo diferencias cualitativas, sino tambi´en diferencias cuantitativas que le permitieron establecer diferencias entre uno y muchos objetos. Si se tienen dos agrupaciones, no siempre basta con la sola percepci´on visual para determinar en cual de las dos hay mayor n´ umero de elementos; generalmente tenemos que realizar una operaci´on. Por ejemplo, si queremos saber si hay m´as sillas que alumnos, basta hacer sentar a los alumnos de

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Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

tal forma que si quedan alumnos parados habr´a m´as alumnos que sillas. Pero no siempre es posible efectuar operaciones concretas para cuantificar agrupaciones; se hace necesario un aparato te´orico que permita efectuar, de manera abstracta, la operaci´on de comparar. Para ello hemos establecido los sistemas de numeraci´on. El primero de los sistemas num´ericos corresponde a nuestros n´ umeros naturales. Desde la antig¨ uedad griega sabemos que estos n´ umeros no son suficientes para resolver todos los problemas de medici´on abstracta. Se hace necesario extender progresivamente el concepto de n´ umero que incluya no s´olo el cero sino tambi´en cantidades negativas, fraccionarias y tambi´en las llamadas magnitudes inconmensurables. El primer tratado en el que se formaliza un sistema num´erico corresponde a los Elementos de Euclides, el cual fue escrito en la antigua Grecia, hacia el siglo iv a. C. En este libro se define n´ umero como ✭✭una colecci´on de unidades✮✮, la cual implica que no se consideran como n´ umeros ni a los racionales ni a los irracionales. Sin embargo, Euclides desarrolla una teor´ıa de razones y proporciones con el prop´osito de establecer una teor´ıa de la medida para magnitudes no s´olo conmensurables, sino tambi´en inconmensurables. Con esto queremos decir que si bien las fracciones se utilizaban en los procesos de medici´on emp´ırica, no pose´ıan el estatus de n´ umero como tal. Tuvieron que transcurrir muchos siglos de desarrollo conceptual para representar las fracciones mediante la expresi´on m/n, sin hacer alusi´on al proceso de medir. Esta separaci´on con el orden emp´ırico fue constituyendo el sistema de los n´ umeros racionales de manera paulatina. El uso de la representaci´on simb´olica de cantidades que dieran cuenta del proceso de medir, tuvo gran importancia en la creaci´on de los n´ umeros racionales. De un lado, a partir de la introducci´on de la notaci´on m/n, para dar cuenta de cierto tipo de mediciones, permiti´o sustituir las operaciones de medici´on de magnitudes por la manipulaci´on de los s´ımbolos e hizo posible definir entre ellos las operaciones de adici´on y multiplicaci´on que hoy conocemos, con las mismas propiedades formales de las operaciones entre naturales (conmutativa, asociativa, distributiva). En la aritm´etica de los n´ umeros naturales, mientras las operaciones de suma y multiplicaci´on son siempre posibles, no ocurre lo mismo con las operaciones de divisi´on entera y resta. La divisi´on b ÷ a s´olo tiene sentido cuando b es un m´ ultiplo entero de a. La diferencia b − a s´olo la tiene cuando b es mayor que a. La introducci´on primero de las fracciones y luego de los n´ umeros negativos permiten resolver estas limitaciones pas´andose al sistema de los n´ umeros racionales en los cuales las operaciones aritm´eticas

Construcci´ on conjuntista de R

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b´asicas de suma, multiplicaci´on, sustracci´on y divisi´on (excepto por cero) son siempre posibles. Consideraciones semejantes a las anteriores son aplicables al desarrollo del sistema de n´ umeros irracionales como extensi´on del sistema de los n´ umeros racionales. Por ejemplo, la evoluci´on del concepto de ra´ız n-´esima y su relaci´on con el problema de cantidades inconmensurables condujeron paulatinamente a la identificaci´on y perfeccionamiento del concepto de n´ umero irracional y en general a la creaci´on de los sistemas de n´ umeros reales y n´ umeros complejos. Sin embargo, es pertinente aclarar que durante m´as de veinte siglos no se dio una caracterizaci´on completa de los n´ umeros irracionales, los cuales, generalmente, se trabajaban a trav´es de aproximaciones de n´ umeros racionales, pero sin una base estructural s´olida que proporcionara datos sobre sus propiedades o sobre la manera de operar ✭✭rigurosamente✮✮ con ellos. Fue s´olo hasta el siglo xix, con George Cantor y Richard Dedekind, que se logr´o una caracterizaci´on de los n´ umeros irracionales. En resumen, la evoluci´on del concepto de n´ umero se dio a partir del desarrollo abstracto de las actividades de contar y medir. El desarrollo hist´orico de los sistemas num´ericos puede mirarse como el perfeccionamiento paulatino de un modelo conceptual y simb´olico, que deb´ıa permitir la descripci´on, representaci´on y manipulaci´on de operaciones de medici´on cada vez m´as complejas. En este sentido el sistema de los n´ umeros reales, si bien puede considerarse como un modelo que representa y generaliza la noci´on de medici´on que se da en el mundo f´ısico, constituye un universo de entes abstractos con su propia legislaci´on. Dar cuenta de esa normatividad y determinar las complejas relaciones entre los objetos matem´aticos, en este caso los n´ umeros reales, constituye la esencia de la actividad matem´atica.

La representaci´on de los n´umeros reales: Numerales decimales Los n´ umeros son conceptos que requieren sistemas de representaci´on que permitan ✭✭visualizar✮✮ las operaciones. De hecho existen varios sistemas simb´olicos que dan cuenta de ello. La representaci´on y manejo usual de los n´ umeros reales se hace utilizando el sistema de numeraci´on decimal que por utilizar la t´ecnica del valor de posici´on hace posible que la representaci´on de cualquier n´ umero real puede hacerse con un numeral construido a partir de los s´ımbolos b´asicos 0, 1, 2,..., 9, llamados d´ıgitos.

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Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

De acuerdo con esta t´ecnica, el valor num´erico que representa un d´ıgito var´ıa seg´ un su posici´on en el numeral, excepto el 0 que siempre representa el mismo valor (valor nulo). El valor de un d´ıgito en un numeral se reconoce a partir de la forma como se definen estos numerales. As´ı, el n´ umero real representado por el numeral 2965,11 est´a definido por la siguiente expresi´on polin´omica que permite reconocer el valor num´erico que representa cada d´ıgito en el numeral: 2965,13 = 2000 + 900 + 60 + 5 + 0,1 + 0,03, = 2 × 103 + 9 × 102 + 6 × 10 + 5 + 1 ×

1 1 + 3 × 2. 10 10

O sea que el 2 representa dos mil unidades enteras; el 9, novecientas unidades enteras; el 6, sesenta unidades enteras; el 5, cinco unidades enteras. Los d´ıgitos que aparecen a la derecha de la coma representan unidades fraccionarias. As´ı el 1 representa una d´ecima y el 3, tres cent´esimas. El numeral 2695,31 se escribe, como en el caso anterior, 2695,31 = 2 × 103 + 6 × 102 + 9 × 10 + 5 + 3 ×

1 1 + 1 × 2. 10 10

Obs´ervese que en los ejemplos anteriores, el 9 aparece en ambos numerales y representa en ellos valores num´ericos diferentes. En el primero novecientas unidades enteras y en el segundo noventa. Igual sucede con el 1. En el primero representa una d´ecima y en el segundo una cent´esimas. El cinco por su parte representa en ambos numerales el mismo valor num´erico por ocupar la misma posici´on. Es importante observar, que en el lenguaje ordinario, y por razones de comodidad, los numerales se identifican con los n´ umeros que representan y as´ı se acostumbra decir ✭✭el n´ umero 1729✮✮ en lugar de ✭✭el n´ umero representado por el numeral 1729✮✮. Consecuentemente una expresi´on del tipo 5/4 = 1,25, que suele leerse ✭✭tres medios igual a uno veinticinco✮✮, debe entenderse en el sentido de que los numerales ✭✭5/4✮✮ y ✭✭1,25✮✮ representan el mismo n´ umero. Se puede generalizar las observaciones anteriores diciendo que todo n´ umero real admite una representaci´on por un numeral decimal que es de la forma: ±an an−1 . . . . . . . . . a1a0 , b1 b2 b3 . . . Donde los s´ımbolos a0, a1 ,..., an , b1 , b2 , b3 , etc., son d´ıgitos y los puntos suspensivos a la derecha del numeral indican que la sucesi´on de d´ıgitos puede continuar indefinidamente.

Construcci´ on conjuntista de R

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El n´ umero real que representa este numeral est´a definido por la siguiente expresi´on polin´omica que a su vez permite reconocer el valor num´erico que representa cada d´ıgito: ± an an−1 . . . . . . . . . a1 a0, b1 b2 b3 . . . = ± (an × 10n + an−1 × 10n−1 + . . . 1 1 + a1 × 10 + a0 + b1 × + b2 × 2 . . .). 10 10 Observe la correlaci´on entre el sub´ındice que identifica la posici´on del d´ıgito en el numeral y el exponente de la potencia de 10 asignada con el d´ıgito. Cuando a partir de un determinado d´ıgito en la parte decimal del numeral, todos los d´ıgitos son cero, se omite su escritura y el numeral es finito. Este es el caso del ejemplo que hemos considerado anteriormente, se escribe 2965,13 como una forma simplificada del numeral 2965,13000... y es por lo tanto un ejemplo de numeral finito. Si identificamos los d´ıgitos en este numeral de acuerdo con la notaci´on generalizada obtenemos la siguiente correspondencia: 2 9 6 5 ,1 3 0 0 a3 a2 a1 a0 , b1 b2 b3 b4 En este caso n = 3 y b3 = b4 = b5 = . . . = 0. Otros ejemplos de numerales decimales son los siguientes (damos a la derecha de cada uno de ellos la expresi´on polin´omica que lo define y que permite identificar al n´ umero real que representa): −80539 = −(8 × 104 + 0 × 103 + 5 × 102 + 3 × 10 + 9) = −(8 × 104 + 5 × 102 + 3 × 10 + 9) 1 1 +8× 2 1,98 = 1 + 9 × 10 10 1 1 1 1 + 3 × 2 + 7 × 3 + 0 × 4 + ··· 2,037037 . . . = 2 + 0 × 10 10 10 10 0 1 0 0 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· 4,101001 . . . = 4 + 10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 + 3 + 6 + 10 + · · · =4+ 10 10 10 10 La representaci´on decimal permite caracterizar y distinguir los diferentes tipos de n´ umeros reales existentes. Las afirmaciones siguientes recogen resultados que el estudiante ha debido estudiar en el bachillerato.

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Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

El conjunto de los numerales decimales de la forma ± an an−1 . . . . . . . . . a1 a0, b1 b2 b3 . . .

se pueden identificar con el conjunto de los n´ umeros reales. Es decir, cada numeral de este tipo representa un n´ umero real y a su vez todo n´ umero real admite ser representado de esta manera. Cuando a partir de un d´ıgito bk de la parte decimal de un numeral hay una repetici´on indefinida de un grupo de d´ıgitos, el numeral se dice que es peri´odico y el n´ umero que representa es un n´ umero racional. Cuando este no es el caso el n´ umero representado es un n´ umero irracional. Debe ser claro que los numerales que hemos llamado anteriormente finitos representan n´ umeros racionales, pues se trata de numerales peri´odicos en los cuales el grupo de d´ıgitos que se repite est´a constituido por el 0. Debe ser igualmente claro que los numerales del tipo ± an an−1 . . . . . . . . . a1 a0 son casos especiales de este tipo de numerales y representan n´ umeros enteros. Si en el caso de numerales peri´odicos identificamos con c1 . . . . . . . . . cm el grupo de d´ıgitos que se repite, el numeral se escribe de la siguiente forma: ± an an−1 . . . . . . . . . a1a0 , b1 b2 b3 . . . . . . . . . bk c1 c2 . . . . . . . . . cm

La raya sobre el conjunto de d´ıgitos c1 c2 . . . . . . . . . cm indica que el numeral se obtiene por la repetici´on indefinida de dicho grupo de d´ıgitos. El n´ umero m de d´ıgitos en el grupo se llama per´ıodo de la fracci´on decimal. Veamos los ejemplos de la p´agina anterior. En el numeral 68,178787 . . . = 68,178 el par de d´ıgitos 78 se repite indefinidamente y por lo tanto es un decimal peri´odico con per´ıodo 2. As´ı, 68,178 representa un n´ umero racional. En cambio 4,1010010001 . . . representa un n´ umero irracional, pues es un numeral con infinitos d´ıgitos que no es peri´odico en el sentido de la definici´on dada. 1,98, por ser una fracci´on decimal finita, denota un n´ umero racional, mientras que −80539 denota obviamente un n´ umero entero negativo. En este contexto surge naturalmente el siguiente problema que el estudiante debe poder resolver. Si un n´ umero racional puede representarse por una fracci´on entre enteros y tambi´en por un numeral decimal peri´odico, ¿c´omo se puede pasar de una forma de representaci´on a otra?

Sistemas de numeraci´on antiguos Es imposible determinar cu´ando, c´omo y d´onde se gener´o el proceso de contar en los seres humanos. Su desarrollo se fue dando en diversas culturas, de acuerdo a necesidades, intereses y condiciones particulares. Sabemos

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que en los pueblos antiguos no manejaban ✭✭signos ✮✮para la representaci´on de cantidades. En aquellos tiempos remotos, la cuantificaci´on de las mercanc´ıas se hac´ıa a trav´es de objetos concretos. No era extra˜ no, entonces, ver a un mercader, el cual quer´ıa vender un reba˜ no, portar una bolsa con tantas piedras como vacas quer´ıa negociar. Tambi´en se utilizaban los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un n´ umero al siguiente A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representaci´on m´as pr´actico. No es dif´ıcil argumentar respecto a las posibilidades impl´ıcitas en estos m´etodos cuando se trata de cuantificar colecciones muy grandes. A medida que las relaciones comerciales se fueron tornando complejas, el hombre empez´o a sustituir las piedritas por signos que pod´ıan ser gravados en arcilla o pergamino en la antig¨ uedad, y en papel o en la pantalla del computador en ´epocas recientes. En principio, el camino seguido por diversas civilizaciones fue el de tratar de representar los n´ umeros de la manera m´as intuitiva posible a trav´es de caracteres que se agrupaban para expresar el n´ umero deseado, el cual se denomina sistema aditivo. Era una afinaci´on del m´etodo de las piedritas guardadas en la bolsa.

Sistema Egipcio

Figura 2.1: Sistema de numeraci´ on egipcio

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Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

Sistema Griego

Figura 2.2: Sistema de numeraci´ on griego

Sistema Babil´ onico

Figura 2.3: Sistema de numeraci´ on babil´ onico

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Sistema Romano

Figura 2.4: Sistema de numeraci´ on romano

Los principios b´asicos de la numeraci´on romana son los siguientes: 1. No se pueden escribir m´as de tres s´ımbolos iguales seguidos. 2. Un s´ımbolo de rango inferior escrito antes resta, escrito despu´es suma. 3. Una raya sobre un n´ umero lo multiplica por 10. 4. Un marco que envuelve el n´ umero lo multiplica por 100000.

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Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

Sistema Maya

Figura 2.5: Sistema de numeraci´ on maya

El sistema binario Como se dijo antes, existen muchos sistemas de medici´on. El m´as utilizado es el sistema decimal en donde los m´ ultiplos y subm´ ultiplos del patr´on de medida est´an ligados entre s´ı por potencias de 10, tal como se ha descrito. Otros sistemas de medici´on se pueden obtener estableciendo una relaci´on diferente entre los m´ ultiplos y subm´ ultiplos del patr´on de medida. En lugar de estar ligados entre s´ı por potencias de 10 se pueden ligar por potencias de 2, 3, 4, etc. Obteniendo as´ı sistemas de medici´on en base 2 (binario), base 3, base 4, etc. respectivamente. Veamos un poco m´as de cerca el sistema de medici´on en base 2 o binario, El proceso de medici´on con el sistema de base 2 es exactamente el mismo que con el sistema decimal, pero las unidades, enteras y fraccionarias, est´an ligadas por potencias de 2 en lugar de potencias de 10. En el sistema de medici´on binario una unidad entera de orden k se obtiene por yuxtaposici´on de 2 unidades enteras de orden k − 1 o al yuxtaponer 2k unidades enteras de orden 0. De manera an´aloga una unidad fraccionaria de orden k se obtiene al subdividir en dos partes iguales una unidad

Construcci´ on conjuntista de R

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fraccionaria de orden k − 1, o lo que es lo mismo de subdividir en 2k partes iguales una unidad entera de orden 0. Debido a que 2 unidades enteras de orden k conforman 1 unidad entera de orden k + 1 y 2 unidades fraccionarias de orden k conforman una unidad fraccionaria de orden k − 1, en cualquier medici´on con este sistema solo habr´a 0 ´o 1 unidad entera de orden k y 0 ´o 1 unidad fraccionaria de orden k (k = 1, 2, 3, . . .). Puesto que en este caso los numerales binarios pueden interpretarse, como en el caso de los numerales decimales, como registros de los procesos de medici´on con un sistema de medici´on binario abstracto, lo dicho anteriormente significa que en los numerales binarios s´olo pueden aparecer el 0 y el 1 como ✭✭d´ıgito✮✮. Es decir son s´ımbolos de la forma 10011,001, cuyo significado se define mediante la expresi´on polin´omica: x = 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 1 +

0 1 0 + 2 + 3. 2 2 2

Operaciones con n´ umeros binarios Suma: para sumar dos n´ umeros en base 2 se siguen los mismos delineamientos de base diez. Por ejemplo para sumar 11012 con 1012, el proceso a seguir sera el siguiente: 1101 + 101 2 1101 + 101 210

1 1101 + 101 0 1 1101 + 101 2010

1101 + 101 10 1101 + 101 10010

El resultado final sera entonces 10010. Observemos que : 11012 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 8 + 4 + 1 = 13 1012 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 4 + 1 = 5; 11012 + 1012 = 100102 = 1 × 24 + 1 × 21 = 18, como en efecto se esperaba. Producto: no necesitamos sino las tablas del cero y del uno. × 0 1 0 0 0 1 0 1

94

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

Se utiliza el mismo algoritmo que para el caso con base diez. Por ejemplo al multiplicar 1102 con 112 se tendr´a: 110 × 11 110 110 10010 Como en el caso de los numerales decimales, los numerales binarios pueden ser finitos o infinitos y estos a su vez pueden ser peri´odicos (representan n´ umeros racionales) o no peri´odicos (representan n´ umeros irracionales). Podemos concluir diciendo que un numeral binario es un s´ımbolo de la forma: an . . . a1a0 , b1 b2 b3 . . . , en el cual los ai y bj son o´ 0 o´ 1 y el n´ umero real que representa est´a definido mediante la siguiente expresi´on: b1 b2 b3 + 2 + 3 + ··· . 2 2 2 Queda la pregunta de c´omo pasar de un numeral binario a un numeral decimal y viceversa. El primer problema es f´acil ya que, en el caso de un numeral binario finito, se puede reconstruir la expresi´on polin´omica del n´ umero (en potencias de 2). an . . . a1a0 , b1 b2 b3 . . . = an × 2n + · · · + a1 × 2 + a0 +

2.2.26

Ejemplo

1. Si x = 11011,011 en binario, se puede escribir: 1 1 + 3, 2 2 2 = 27,375 (en decimal).

x = 24 + 23 + 2 + 1 +

2. En el caso de un numeral binario infinito peri´odico, se procede de la misma forma que cuando se busca la expresi´on racional de un decimal infinito peri´odico. Para hacer esto con numerales binarios, observe que el punto en cualquier numeral binario se debe correr multiplicando por una potencia de 2. As´ı, si x = 111, 01 en binario, entonces 22x = 11101, 01, y de esta forma 22x − x = 11101, 01 − 111, 01 = 10110; pero 10110 representa

Construcci´ on conjuntista de R

95

en binario el mismo entero que representa 22 en decimal. As´ı se tiene que: 22 22 x= 2 = = 7, 3. 2 −1 3

En el caso de un irracional, es decir, un binario infinito no peri´odico, se pueden tomar aproximaciones mediante numerales binarios finitos, para obtener aproximaciones mediante decimales finitos del n´ umero dado. Para pasar de un numeral decimal a uno binario se debe reconstruir el proceso de medici´on en forma algebraica. Es decir, se debe escribir el numeral decimal como suma de potencias de 2. En esta secci´on, hemos visto de cerca el sistema de medici´on binario. Este sistema es uno de los que utilizan los computadores para realizar internamente sus operaciones. Los otros sistemas de medici´on (base 3, 4, 5, etc.) se comportan de la misma forma, pero rara vez nos encontramos con ´estos. 2.2.27 Ejemplo Si x = 33,375 en decimal, debemos encontrar la potencia m´as alta de 2 que es menor o igual a 33,375. En este caso es 25 = 32 y por lo tanto: x = 25 + 1,375. Repetimos el procedimiento para el residuo x = 25 + 20 + 0,375, y as´ı sucesivamente: 1 + 0,125, 22 1 1 = 25 + 20 + 2 + 3 , 2 2 5 4 = 1 × 2 + 0 × 2 + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 2 + 1 × 20 1 1 1 + 0 × + 1 × 2 + 1 × 3. 2 2 2 Es decir que el numeral binario correspondiente es x = 25 + 20 +

x = 100001,011;

96

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

Por lo tanto, 33,37510 = 100001,0112 . En este caso hemos obtenido un numeral binario finito, sin embargo es posible que aunque el numeral decimal sea finito, el numeral binario sea infinito. Esta misma t´ecnica se puede emplear para numerales decimales infinitos, aunque el proceso es muy lento. Si el numeral decimal es peri´odico, en general, al pasarlo a binario el per´ıodo se hace m´as grande.

Ejercicios 2.2 En los ejercicios 1 a 16 responda verdadero o falso justificando su respuesta. Si requiere de una demostraci´on para las justificaciones, diga si ´esta es directa, indirecta o por el m´etodo de contraejemplo. 1. Todo n´ umero natural es un n´ umero entero. 2. Todo n´ umero menor que cero es un n´ umero entero. 3. Todo n´ umero real es un n´ umero racional. 4. Todo n´ umero real es un n´ umero complejo. 5. Todo n´ umero irracional es un n´ umero real. 6. Existen n´ umeros racionales que son irracionales. 7. Existen n´ umeros irracionales que son racionales. √ 8. Si r es racional entonces r 2 es irracional. 9. Existen n´ umeros irracionales α y β tales que α + β es racional. 10. Existen n´ umeros irracionales α y β tales que αβ es racional. 11. Existen n´ umeros irracionales α y β tales que α + β y αβ son ambos racionales. 12. R = N ∪ Z ∪ Q ∪ I. 13. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. 14. Dados dos n´ umeros racionales diferentes siempre es posible encontrar otro n´ umero racional en medio de los dos.

Construcci´ on conjuntista de R

97

15. Dado un n´ umero natural siempre es posible encontrar otro n´ umero natural mayor. 16. Dado un n´ umero racional siempre es posible encontrar un n´ umero entero mayor. 17. Identifique como natural, entero, racional, irracional o complejo cada uno de los siguientes n´ umeros, justificando su respuesta (recuerde que un n´ umero puede pertenecer a m´as de un conjunto num´erico): 2 2 32 22 3 √ 1 a) { + 4, + , (−17)8 , , 0, , −π, −0,7 + , 82 + 152 , 2.333 . . . }. 3 5 5 4 7 7 √ √ √ 2 b) {( 3) , −2+3i, 1− 2, −3.12112111211112 . . . , 239.5821, 64+0i}. 18. Utilice el m´etodo indirecto para demostrar que si α es un n´ umero irracional entonces: p a) + α es un n´ umero irracional. p y q son enteros (q ̸= 0). q p umero irracional. p y q son enteros (p ̸= 0 y q ̸= 0). b) α es un n´ q 19. Teniendo en cuenta lo visto en este cap´ıtulo y que las ra´ıces inexactas son n´ umeros irracionales clasifique los siguientes n´ umeros: √ √ 2 1 √ a) 18. c) 4 2. g) − . e) + 3. 2 π !√ "12 √ √ 3 2 . h) 5 · 2, 031. f) b) 1,96. d) 0,35 + π. 20. Diga para qu´e valores reales de x los siguientes numerales no representan un n´ umero real. 7x + 1 . x+3 2x + 3 b) . 4x + 6 3 c) √ . x

a)

0 . x2 + 100 11x e) 2 . x +1 −x + 3 f) . 0

d)

g)

x+4 . x2 − 16

21. Exprese cada n´ umero racional en forma decimal (compare sus resultados con el resultado de una calculadora):

98

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

9 . 11 2 . d) 13

7 . 9 19 . b) 88

22 . 7 1 . (largo) f) 19

c)

a)

e)

22. Defina en forma comprensiva los siguientes conjuntos: a) {1, 3, 5, 7, 9, . . .}

b) {1, 4, 9, 16, 25, . . .}

1 1 c) {1, 31 , 91 , 27 , 81 , . . .}

d) El conjunto de los n´ umeros complejos. e) El conjunto de todos los n´ umeros reales menores que −2 y mayores o iguales que 5. f ) El conjunto de todos los n´ umeros irracionales mayores que 0 y menores o iguales que −1. 23. Considere el siguiente conjunto: ⎫

⎧ ⎨1

⎬ 1 1 A = ⎩ , , , . . . , R, Q, 1, 2, 3, 4, 5, . . .⎭. 2 3 4

Diga cu´ales de los siguientes casos son verdaderos y cu´ales falsos justificando su respuesta. √ g) Q ∈ A. a) 3 ∈ A. b) R ⊂ A. h) C ∈ A. c) Q ⊂ A.

d)

⎧ ⎨1

⎩n

⎫ ⎬

: n ∈ Z⎭ ⊂ A.

e) N ⊂ A. f ) R ∈ A.

i) N ∈ A.

j) A ∈ A.

k) A ⊂ A. ⎧ ⎨

⎫

⎬ 1 : k ∈ N⎭ ⊂ A. l) ⎩ 2k + 1

24. Indique la manera de establecer una correspondencia biun´ıvoca entre los siguientes conjuntos: a) Un diccionario de espa˜ nol y alg´ un subconjunto de los n´ umeros naturales

Interpretaci´ on geom´etrica de los n´ umeros reales

99

b) Entre los n´ umeros reales negativos y los n´ umeros reales positivos mayores que 2. c) Entre N × N y los n´ umeros naturales.

2.3.

Interpretaci´ on geom´ etrica de los n´ umeros reales

Los problemas de medici´on que determinaron hist´oricamente el desarrollo del concepto de n´ umero real tienen una interpretaci´on geom´etrica. Medir es, esencialmente, un proceso de comparaci´on de dos ✭✭cantidades✮✮ homog´eneas, una de las cuales se toma arbitrariamente como patr´on de comparaci´on. Consecuentemente, no es dif´ıcil ver que cualquier medici´on f´ısica de car´acter escalar (especialmente de magnitudes fundamentales) puede ser idealizada, en t´erminos geom´etricos, mediante la comparaci´on de dos segmentos de recta, uno de los cuales se toma arbitrariamente como patr´on de medida. Cabe aclarar que representaremos la medidad del segmento AB por AB. Esta idealizaci´on geom´etrica de cualquier medici´on escalar puede describirse de la siguiente manera. Sean AB y CD dos segmentos tal como se indica en la Fig. 2.6 AB se toma arbitrariamente como patr´on de medida. A

B

C

|

|

|

D |

Figura 2.6: Idealizaci´ on geom´etrica del proceso de medici´on.

Al comparar las longitudes se presentan dos opciones seg´ un que el segmento AB pueda o no acomodarse un n´ umero entero de veces en el segmento CD. En la primera opci´on la operaci´on de medir se reduce a la de contar las veces que AB se puede acomodar en CD. La medida de CD, respecto de umero entero n AB, que denotaremos como CD|AB, estar´a dada por el n´ de veces que AB cabe en CD, esto es CD = nAB, o lo que es lo mismo CD|AB = n. Cuando el patr´on de medida se ha establecido previamente como AB para todo el universo de magnitudes. Se tiene que AC = n, y ademas AB = 1, pues AB ✭✭cabe exactamente✮✮ una vez en AB.

100

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

En la segunda opci´on AB no puede acomodarse un n´ umero entero de veces en CD, la comparaci´on se extiende introduciendo nuevas unidades (subunidades o unidades fraccionarias) que se obtienen subdividiendo en partes iguales, digamos p, el patr´on original. En un modelo geom´etrico, esta subunidad se puede identificar con el segmento EF , cuya medida respecto de AB conviene representar con el s´ımbolo: 1 · p Es decir, 1 EF |AB = . p De nuevo la operaci´on de medici´on se reduce a determinar el n´ umero de veces que esta subunidad puede acomodarse en CD. Si ´este es un n´ umero entero e igual a s, el n´ umero fraccionario s/p indicar´a este hecho y servir´a para representar la medici´on de CD respecto de AB. Simb´olicamente s CD|AB = . p Tambi´en se podr´ıa escribir CD|EF = s. El proceso de medici´on no se agota, sin embargo, con la introducci´on de unidades fraccionarias. Por lo menos, desde un punto de vista te´orico cabe la siguiente pregunta: dado el segmento CD y el patr´on de medida AB ser´a siempre conmensurable respecto de AB, es decir, ¿ser´a siempre posible encontrar una unidad fraccionaria EF de AB, que pueda acomodarse en AC un n´ umero exacto de veces? Obs´ervese que dicha pregunta puede interpretarse tambi´en como una pregunta sobre la suficiencia del conjunto de los n´ umeros racionales para representar la totalidad de resultados posibles en un proceso de medici´on. Una respuesta positiva significa que toda medici´on puede representarse por un n´ umero fraccionario s/p mientras que una respuesta negativa indicar´ıa que existen mediciones que no pueden ser establecidas con base a los n´ umeros racionales. Este caso se presenta al comparar la diagonal del cuadrado y uno de sus lados. Consideremos en la figura 2.6 el segmento AB, que se toma como patr´on de medida, y tracemos el cuadrado ABA′ B ′ tal como se indica, en este cuadrado tracemos la diagonal AA′

Interpretaci´ on geom´etrica de los n´ umeros reales

B’

A’

A

B

101

Figura 2.7: Construcci´ on de un segmento inconmensurable AC respecto del patr´ on de medida AB.

Aplicando el teorema de Pit´agoras se puede escribir la siguiente relaci´on entre las medidas de AA′ , AB y BA′ respecto de AB. (AA′ )2 = (AB)2 + (BA′ )2 . Puesto que ABA′ B ′ es un cuadrado y la longitud de su lado respecto de AB es 1, se puede escribir (AA′ )2 = 1 + 1 = 2, √ AA′ = 2. √ En secciones anteriores demostramos que 2 no puede tener forma fraccionaria. En conclusi´on, y contrario a lo que puede indicar la intuici´on, hemos construido un segmento AA′ que es inconmensurable respecto de un patr´on de medida determinada, en el sentido de que no es posible encontrar una unidad fraccionaria de AB que pueda acomodarse en AA′ un n´ umero exacto de veces y que, por lo tanto, su medici´on, pueda expresarse como un n´ umero fraccionario m/n. La medici´on de este segmento AA′ respecto de √ la unidad de medida AB ser´a expresada por el n´ umero irracional 2. Un caso similar se presenta cuando se relaciona la longitud de una circunferencia y su di´ametro, que da lugar al conocido n´ umero irracional π.

102

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

C

D

C =π D

π = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582 0974944592307816406286208998628034825342117067982148086 5132823066470938446095505822317253594081284811174502841 0270193852110555964462294895493038196442881097566593344 6128475648233786783165271201909145648566923460348610 . . .

La recta num´erica Se puede decir que, en t´erminos intuitivos y teniendo en cuenta su origen hist´orico, los n´ umeros reales positivos pueden interpretarse como longitudes de segmentos respecto de una unidad de medida determinada y que su clasificaci´on en racionales e irracionales responde a la posibilidad te´orica de dos resultados cualitativamente diferentes en todo proceso de medici´on. Los n´ umeros racionales, incluidos los enteros, expresan la longitud de segmentos conmensurables respecto de la unidad de medida adoptada, mientras que los llamados n´ umeros irracionales expresan la longitud de segmentos que son inconmensurables respecto de dicha unidad. De acuerdo con lo anterior si tomamos una recta ideal en la cual se ha tomado un punto A de referencia y un segmento arbitrario AB como unidad de medida y un sentido de medici´on, ✭✭positivo✮✮ a la derecha y ✭✭negativo✮✮ a la izquierda, todo punto P sobre la recta determinar´a un segmento AP cuya medida relativa respecto de la unidad AB ser´a un n´ umero real x. Entonces, si deseamos conocer la recta ideal de los n´ umeros naturales tomaremos como punto de referencia el n´ umero 0 que tambi´en lo denotaremos como el origen, y de acuerdo a la secci´on anterior sabemos que el conjunto de los n´ umeros naturales consiste de todos los n´ umeros enteros positivos, entonces tendremos que cada uno de estos n´ umeros tiene un u ´nico punto en la recta ideal, todos posicionados de menor a mayor y a la derecha de nuestro punto de referencia.

Interpretaci´ on geom´etrica de los n´ umeros reales

103

Origen 0

1

2

3

4

5

6

Figura 2.8: Recta ideal de los enteros positivos

Partiendo del argumento anterior, si deseamos conocer la recta ideal de los todos los n´ umeros enteros tomaremos la recta anterior y a˜ nadiremos todos los n´ umeros opuestos de los enteros positivos en distintos puntos, donde a cada n´ umero opuesto le corresponde un u ´nico punto a la izquierda del punto de referencia. Origen −3

−2

−1

0

1

2

3

Figura 2.9: Recta ideal de los enteros

Ahora, nuestro objetivo es saber c´omo ubicar los n´ umeros racionales en la recta num´erica, para esto es importante tener en cuenta el siguiente teorema. Teorema Primer Teorema de Tales Si en un tri´angulo se traza una l´ınea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un tri´angulo semejante al tri´angulo dado. De la existencia de una relaci´on de semejanza entre ambos tri´angulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Lo cual significa que la raz´on entre la longitud de dos de ellos en un tri´angulo se mantiene constante en el otro. Dicho esto, una aplicaci´on del teorema de Tales, para el caso conmensurable, es bastante importante por s´ı sola, ya que establece una manera para que un segmento pueda ser dividido en un n´ umero entero cualquiera de partes iguales. Sup´ongase por ejemplo, que se quiere dividir el segmento AB en tres partes iguales ver Fig. 2.10. 1. Se toma un segmento cualquiera como unidad, el segmento CD, por ejemplo. 2. Con CD se construye un segmento AQ de tres unidades, teniendo

104

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

cuidado de que los segmentos AB y AQ no queden sobre una misma recta. 3. Se traza la recta s que pase por los puntos B y Q. 4. Si P1 y P2 son los puntos en el segmento AQ tales que los segmentos sean iguales al segmento CD, entonces tr´acense por los puntos P1 y P2 rectas paralelas a la recta s, y sean P1′ y P2′ los puntos de corte de estas rectas con el segmento AB. Entonces, seg´ un el teorema de Tales, P1 P2 P2 B AP1 = = AP1′ P1′ P2′ P2′ Q y con AP1 = P1 P2 = P2 B entonces: AP1′ = P1′ P2′ = P2′ Q y se ha divido el segmento AB en tres segmentos iguales.

Q C

D

P2 s

P1

A

P1′

P2′

B

Figura 2.10: Teorema de Tales para dividir un segmento en 3 partes iguales

Este m´etodo expuesto no depende ni de la unidad CD que se tome, ni del ´angulo entre los segmentos AB y AQ. Para dividir el segmento AB en n segmentos iguales, el proceso es an´alogo y basta cambiar en las instrucciones el n´ umero 3 por n y se obtiene as´ı un m´etodo completamente general. Entonces, de acuerdo al anterior m´etodo, si deseamos ubicar n´ umeros racionales en la recta ya tenemos una herramienta para poder hacerlo, por ejemplo, podemos dividir el segmento que parte en cero y termina en 1, dividirlo en 10 segmentos iguales y as´ı ubicar n´ umeros racionales tales como 9 1 1 10 , 5 ... 10 ver Fig. 2.11.

Interpretaci´ on geom´etrica de los n´ umeros reales

0

1 10

2 10

3 10

2 5

1 2

3 5

7 10

4 5

105

9 10

1

Figura 2.11: Divisi´ on del segmento de 0 a 1 en 10

Algunos n´ umeros irracionales se pueden representar √ geometricamente utilizando el teorema de Pitag´oras.Veamos el caso de 2. En la recta num´erica de la Fig. 2.12 se construye un cuadrado de lado 1, entonces √ por el teorema de Pitag´oras tenemos que la medida de la diagonal es 2, luego construyendo una circunferencia con radio equivalente a la diagonal del cuadrado y con centro en el origen, tenemos que la intersecci´on entre la circunferencia umero √ y la recta num´erica son los puntos que representan el n´ irracional 2 y su inverso aditivo.

√

√ − 2

0

2

1

1

√

2

Figura 2.12: Construcci´ on de un segmento inconmensurable AC respecto del patr´ on de medida AB.

En general, si deseamos representar raices cuadradas en la recta real, debemos seguir un procedimiento similar al anterior, teniendo en cuenta

106

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

que en algunos casos se deben construir rect´angulos en vez de cuadrados, tomando las medidas apropiadas de los lados de acuerdo umero que √ al n´ queremos representar. Por ejemplo, si queremos ubicar 5 en la recta real, debemos tomar un rect´angulo de altura 1 y base 2. Hasta ahora hemos visto como ubicar algunos n´ umeros irracionales, tales como algunas ra´ıces cuadradas, por esto mismo es natural hacerse la siguiente pregunta, ¿es posible representar ra´ıces cubicas u otros n´ umeros irracionales tales como el n´ umero π?. Responderemos la segunda parte de la pregunta y dejaremos la primera parte para lector, dicho esto, tenemos que no es posible representar exactamente el n´ umero π, pero si es posible representar en la recta real una aproximaci´on de π tal como sigue. Trabajando con la aproximaci´on de π, conocida como milu, o radio de Zu, en honor al matem´atico Zu Chongzhi quien trabajando con unas peque˜ nas varillas aproxim´o un circulo con un pol´ıgono apropiado, descifrando 355 , teniendo en cuenta esto, procedemos con ubicar los n´ umeros que π ≈ 113 11,3 y 3,55 ver Fig 2.13, luego trazamos la recta auxiliar perpendicular a la recta real en el punto que representa el n´ umero 10, as´ı, con ayuda de un comp´as en el origen trazamos un arco con radio 11,3, hasta cortar la recta perpendicular hecha anteriormente, unimos dicho punto con el origen. Para finalizar, de nuevo usando el comp´as desde el origen trazamos un arco con radio 3,55, donde a partir de la intersecci´on de dicho arco con la recta que va desde el origen hasta el punto de intersecci´on del arco con radio 11,3, trazamos una recta perpendicular a la recta real, donde esta intersecci´on con la recta num´erica ser´a nuestro punto que representa la aproximaci´on deseada de π. Es importante tener en cuenta que este procedimiento se fundamenta en el siguiente razonamiento, pues : 11,3 3,55 = ⇒ π ≈ 3,141592 10 π En general, los n´ umeros reales son, a menudo, representados geom´etricamente como puntos de una recta (denominada recta real). Se elige un punto para que represente el 0 y otro a la derecha del cero para que represente el 1, como muestra la Fig. 2.14. Esta elecci´on determina la escala con un conjunto apropiado de axiomas para la geometr´ıa Eucl´ıdea a cada punto de

Interpretaci´ on geom´etrica de los n´ umeros reales

π 3,55

0

10

107

11,3

Figura 2.13: Aproximaci´ on de π en la recta real

la recta real corresponde un n´ umero real y uno s´olo y, rec´ıprocamente, cada n´ umero real est´a representado por un punto de la recta real y uno solo. Es usual referirse al punto x en vez de referirse al punto correspondiente del n´ umero real x. Negativo

|

0

|

1 Figura 2.14: Recta n´ umerica.

|

|

x

y

Positivo

Entonces, si el punto x est´a a la izquierda del punto y, decimos que x es menor que y. Los n´ umeros positivos est´an a la derecha del 0 y los n´ umeros negativos estan a la izquierda del 0. As´ı, se tiene una correspondencia biun´ıvoca (o identificaci´on) entre puntos de una recta ideal y n´ umeros reales que da origen al concepto de recta num´erica que nos permite hablar indistintamente de ✭✭n´ umeros✮✮ o ✭✭puntos✮✮ y que nos permite entender e interpretar muchas de las propiedades de los n´ umeros reales en t´erminos de su representaci´on como puntos de una recta. El n´ umero asociado a un punto P arbitrario se llama coordenada del punto. Si P1 y P2 son dos puntos arbitrarios en la recta num´erica con coordenadas x1 y x2 la medida relativa de P1 P2 se calcula mediante la

108

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

expresi´on: P1 P2 = x2 − x1.

Consideremos el caso particular que se indica en la Fig. 2.15. Negativo

A

P1

|

|

P2 |

0

x1

x2

Positivo

Figura 2.15: m(P1 P2 ) = x2 − x1 .

Se puede escribir: AP2 = AP1 + P1 P2 , x2 = x1 + P1 P2 , P1 P2 = x2 − x1 . Estudiando los otros casos posibles en lo que respecta a la ubicaci´on relativa de los puntos P1 y P2 respecto del origen A se puede comprobar que la f´ormula anterior sigue siendo v´alida (ver ejercicios). La recta num´erica permite visualizar igualmente el orden natural que se da entre los n´ umeros reales. Si x e y son n´ umeros reales asociados con los puntos P y Q respectivamente, x ser´a menor que y (x < y) si P est´a a la izquierda de Q y por lo tanto P Q = y − x es positiva. Se establece tambi´en de manera natural la noci´on de distancia entre dos n´ umeros reales sobre la recta num´erica. Por definici´on la distancia entre dos puntos ser´a la medida del segmento determinado por ellos, en la direcci´on positiva de la recta y se llamar´a medida absoluta del segmento. 2.3.1 Definici´ on valor absoluto Si P es un punto sobre una recta num´erica y x es el n´ umero real asociado con ´el, tal como se indica en la Fig. 2.16, definimos, geom´etricamente, valor absoluto de x, y lo denotaremos |x|, como la distancia de P al origen. Utilizando la definici´on de distancia dada anteriormente, se puede observar que si P est´a a la derecha del origen A, x es positivo y su distancia al origen estar´a dada por AP = x − 0 = x, mientras que si P est´a a la izquierda de A, x ser´a negativo y su distancia al origen estar´a dada por P A = 0 − x = −x. Se puede concluir por lo tanto que: ⎧ ⎨x

si x ≥ 0, |x| = ⎩ −x si x < 0.

Interpretaci´ on geom´etrica de los n´ umeros reales A

109

P

|

|

x

0

La distancia al origen esta dada por |x| = x. P

A

|

|

x

0

La distancia al origen esta dada por |x| = −x. Figura 2.16: Interpretaci´ on geom´etrica de |x|.

Si P1 y P2 son puntos arbitrarios sobre una recta num´erica con coordenadas x1 y x2 respectivamente, la distancia entre P1 y P2 estar´a dada por P1 P2 = x2 −x1 si P1 esta a la izquierda de P2 (x1 < x2 ), y por P2 P1 = x1 −x2 si P2 est´a a la izquierda de P1 (x2 < x1). As´ı, la distancia entre P1 y P2 est´a dada por el valor absoluto de la diferencia de las coordenadas de los dos puntos. Se puede escribir por lo tanto: Distancia entre P1 y P2 = |x2 − x1 |. 2.3.2

Ejemplo

De acuerdo con las definiciones anteriores 6 6 6 6 636 6 6 6 6 646

=

6 6 6 6 6 36 6− 6 6 6 6 46

3 = , 4

lo cual se desprende claramente del significado intuitivo que le hemos dado al valor absoluto de un n´ umero y que en este caso dice que la distancia al origen de los puntos marcados con 3/4 y −3/4 es la misma. Por otra parte si P1 y P2 son puntos con coordenadas x1 = 32 y x2 = − 12 respectivamente, se tiene que la distancia entre P1 y P2 viene dada por la expresi´on: |x2 − x1 | =

6 6 6 1 6− 6 6 2

6

6

6

2 666 666 7 666 7 − 6 = 6− 6 = . 36 6 66 6

Ejercicios 2.3 En los ejercicios del 1 al 10 responda verdadero o falso justificando su

110

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

respuesta. 1. La medida de un segmento es independiente del patr´on de medida que se escoja. 2. Siempre es posible encontrar un patr´on de medida que se acomode un n´ umero entero de veces en un segmento de recta dado. 3. Dado un patr´on de medida y un segmento de recta arbitrario, siempre es posible encontrar un n´ umero entero de unidades fraccionarias que se acomoden en el segmento dado. 4. El conjunto de n´ umeros racionales es suficiente para representar la totalidad de resultados posibles en un proceso de medici´on. 5. La diagonal de un cuadrado es inconmensurable con respecto al lado. 6. La longitud de una circunferencia es conmensurable con respecto a su radio. 7. El valor absoluto de un n´ umero real distinto de cero es un n´ umero real negativo. 8. No existe ning´ un n´ umero racional α tal que |α − π| < 10−6. 9. Use una calculadora para determinar cual de los siguientes n´ umeros racionales es la mejor aproximaci´on para el n´ umero irracional π. 22 , 7

355 , 113

103993 , 33102

2508429787 . 798458000

10. √ Sobre una recta num´erica, represente los n´ umeros irracionales 13.

√

3,

√

7,

11. Efect´ ue los siguientes c´alculos: a) |9 − 5|.

c) |5| + |−11|.

b) |−2| − |−3|.

d) 1 − |−1|.

1 . |−3| f ) −15 × |4|.

e)

12. Calcule las distancias de A a B, de B a C, de C a B y de A a C si A, B y C son tres puntos en una recta num´erica con coordenadas respectivas

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

a) −3, −2 y −5. b) 1, 11, y −2.

111

1 3 5 c) − , y . 4 2 4 d) 2,5, −7,54 y −5,65.

13. Sobre una recta num´erica represente el conjunto de puntos cuyas coordenadas x satisfacen: a) |3 − 2x| = 1.

c) |x| = 5.

1 b) |x − 1| < . 2

d)

6 6 6 6x 6 6

6

2 666 + 6 ≤ 2. 36

14. Si aproximamos 1/6 mediante 0,16 y 0,17, estime el error que se comete en cada caso. ¿Cu´al de estas aproximaciones es mejor?

2.4.

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

En las secciones anteriores hemos hecho una descripci´on de los n´ umeros reales apoy´andonos en el conocimiento intuitivo que el estudiante trae del bachillerato sobre los diferentes tipos de n´ umeros. Hemos discutido, igualmente, los problemas inherentes a los procesos de medici´on que han jugado un papel determinante en el desarrollo del concepto de n´ umero real. En esta secci´on nuestro inter´es es hacer ver al estudiante, que algo m´as que un conjunto de entes abstractos aislados, los n´ umeros reales constituyen un sistema matem´atico que est´a definido por un conjunto de operaciones que permite relacionarlos entre s´ı y en cuyo estudio se desarrolla la aritm´etica y el ´algebra. Nuestro prop´osito es: i. Presentar al estudiante una caracterizaci´on de este sistema, esto es, identificar un conjunto de propiedades b´asicas que lo definen, a partir de las cuales sea posible obtener las restantes propiedades del sistema mediante un razonamiento deductivo. ii. Repasar algunas propiedades b´asicas de las operaciones entre n´ umeros, de utilidad en su manejo aritm´etico y algebraico. iii. Ejemplificar en qu´e consiste el llamado m´etodo deductivo de las matem´aticas.

112

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

Componentes del sistema matem´atico de los n´umeros reales En el estudio de los n´ umeros reales es importante distinguir dos aspectos fundamentales: 1. Los n´ umeros reales se combinan mediante operaciones de suma y multiplicaci´on y los resultados son n´ umeros reales bien definidos. Estas operaciones b´asicas entre reales, con las propiedades formales o axiomas que ellos satisfacen, constituyen la estructura algebraica de los n´ umeros reales. 2. Los n´ umeros reales se comparan entre s´ı. Se habla de que un n´ umero es mayor, menor o igual que otro. En otras palabras existe un orden entre n´ umeros reales que permite su comparaci´on. Este orden se visualiza claramente en la representaci´on geom´etrica de los n´ umeros reales. Estos dos aspectos, la estructura algebraica y el orden definen los aspectos fundamentales del sistema matem´atico de los n´ umeros reales.

La estructura algebraica de los n´umeros reales La estructura algebraica de los n´ umeros reales est´a definida por la adici´on (+), la multiplicaci´on (×) y los siguientes axiomas o propiedades formales que dichas operaciones satisfacen. En lo que sigue, las letras a, b, c, d, etc. representan n´ umeros reales arbitrarios. Cuando no hay lugar a confusi´on utilizaremos indistintamente ✭✭×✮✮ o ✭✭·✮✮ para indicar multiplicaci´on y cuando intervienen una, dos o m´as letras en la multiplicaci´on, se acostumbra a omitir cualquier s´ımbolo, por ejemplo: 9 × y = 9 · y = 9y, π × c × d = π · c · d = πcd, u × v × w = u · v · w = uvw. Axioma 1: Propiedad uniforme. Si a = b y c = d entonces a + c = b + d y ac = bd. Esta propiedad, que se suele llamar propiedad uniforme; indica simplemente que el resultado de una suma o de una multiplicaci´on, es un n´ umero real u ´nico.

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

113

Habitualmente se enuncia la propiedad uniforme, diciendo que si dos igualdades se suman o multiplican miembro a miembro, se obtiene tambi´en una igualdad. Hemos visto que un n´ umero puede ser representado por s´ımbolos o numerales diferentes y que la igualdad a = b indica que ambos s´ımbolos se refieren al mismo ente num´erico. En esta perspectiva se ve con mayor claridad la importancia de la propiedad uniforme, seg´ un la cual, los resultados de las operaciones entre reales son u ´nicos y son independientes de la forma de representaci´on de los n´ umeros que intervienen en ellas. As´ı, el resultado de sumar 2/5 + 1/6 ser´a el mismo de sumar 0,4 + 2/12. 2 2 1 + = 0,4 + . 5 6 12 Igual sucede con la multiplicaci´on. Axioma 2: Propiedad conmutativa. Para la suma: a + b = b + a, y para la multiplicaci´on: ab = ba. Esta propiedad se expresa, en el lenguaje ordinario, diciendo que el ✭✭orden de los sumandos no altera la suma✮✮ y que el ✭✭orden de los factores no altera el producto✮✮. Puede pensar el estudiante que esta propiedad, por la familiaridad que tiene con ella, es una propiedad com´ un a toda operaci´on entre n´ umeros. No es ´este el caso como se puede ver con la divisi´on, ya que no es lo mismo, por ejemplo, dividir 15 entre 3 (15 ÷ 3) que dividir 3 entre 15 (3 ÷ 15). 15 ÷ 3 ̸= 3 ÷ 15. Axioma 3: Propiedad asociativa. Los resultados de las operaciones se pueden combinar con otros n´ umeros para obtener nuevos resultados. a + (b + c) = (a + b) + c y a(bc) = (ab)c Rigurosamente hablando, la prelaci´on en que se quieren efectuar las operaciones debe ser indicada sin ambig¨ uedades. Usualmente, esta prelaci´on en las operaciones se indica utilizando par´entesis, llaves y corchetes, y las

114

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

operaciones se ejecutan de adentro hacia afuera. As´ı, para calcular el resultado representado por la siguiente expresi´on, es necesario transformarla de la manera que se indica. 2.4.1

Ejemplo ⎧⎡⎛ ⎪ ⎨ ⎢⎝ 1 ⎣ ⎪ ⎩ 5

+

⎞

⎤

⎫ ⎪ ⎬

1⎠ 4 8 × 5⎥⎦ + ⎪ + = 7 14 ⎭ 3

⎧⎡ ⎪ ⎨ 12 ⎢ ⎣ ⎪ ⎩ 35 ⎧ ⎪ ⎨ 12

=⎪ ⎩

7

⎤

× 5⎥⎦ +

+

8 =2+ , 3 14 = . 3

⎫ ⎪ ⎬

⎫ ⎪ ⎬

4 8 + , ⎪ 14 ⎭ 3

4 8 + , ⎭ 14 ⎪ 3

Procedimiento de c´alculo que es diferente, por ejemplo, al indicado a continuaci´on: ⎧ ⎪ ⎨1

⎡⎛

⎞

⎤⎫

⎧

⎤⎫

⎡

⎬ ⎨1 ⎬ 4 ⎥⎪ 8 ⎪ 2 ⎥⎪ 8 ⎢⎝ 1 ⎢5 ⎠ ⎣ ⎦ + ⎣ + ⎦ + , + × 5 + = + ⎪ ⎭ ⎩5 ⎭ ⎩5 7 14 ⎪ 3 ⎪ 7 4 ⎪ 3 ⎧ ⎪ ⎨1

⎫ ⎬ 17 ⎪

8 =⎪ + ⎪+ , ⎩5 14 ⎭ 3 99 8 + , = 70 3 557 = . 210

Teniendo la convenci´on anterior, la propiedad asociativa se puede expresar simb´olicamente de la siguiente manera: Para la suma: (a + b) + c = a + (b + c), y para la multiplicaci´on: (ab)c = a(bc). Que en el lenguaje ordinario se puede expresar diciendo que el resultado de una suma o multiplicaci´on de varios n´ umeros no depende de la manera como se asocian los sumandos o los factores.

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

115

Es esta propiedad la que hace que expresiones como 1 1 + + 2 + (−11) + 13 5 7 ´o 1 1 × × 2 × (−11) × 13 5 7 no sean ambiguas, a pesar de que se puede proceder a su c´alculo asociando los n´ umeros de diversas maneras. La importancia de esta propiedad, que en el c´alculo ordinario pasa desapercibida por nosotros, se puede ver con la divisi´on (÷) que no es asociativa. La expresi´on 25 ÷ 5 ÷ 4 ÷ 2, a diferencia de las dos anteriores, s´ı es ambigua pues su resultado depende de la manera como se asocian los n´ umeros: = > (25 ÷ 5) ÷ (4 ÷ 2) ̸= 25 ÷ (5 ÷ 4) ÷ 2 .

Una expresi´on como 2 + 3 × 7 es en principio ambigua pues no es claro cu´al operaci´on procede a cu´al, es decir, si el 3 debe sumarse o multiplicarse primero. En la pr´actica, sin embargo, especialmente con el advenimiento de las m´aquinas de c´alculo electr´onico, se han impuesto ciertas prioridades en la ejecuci´on de operaciones. As´ı, por ejemplo, se ha establecido la regla de que la multiplicaci´on es precedente, lo cual elimina la ambig¨ uedad de la expresi´on anterior. Es decir, 2 + 3 × 7 = 2 + 21 = 23. Este convenio hace que una expresi´on como : 3 1 +1+ ×5 4 2 deje de ser ambigua. Algo semejante ocurre con la expresi´on 16 ÷ 4 ÷ 2 ÷ 1 que se ejecuta de izquierda a derecha. Es decir −2 + 3 × 9 +

2 16 ÷ 4 ÷ 2 ÷ 3 = 4 ÷ 2 ÷ 3 = 2 ÷ 3 = . 3 Axioma 4: Propiedad del elemento neutro. Existe un u ´nico n´ umero real que al sumarlo a cualquier n´ umero real. No lo modifica (elemento neutro de la suma). Este elemento es el cero (0). Simb´olicamente: a + 0 = 0 + a = a,

para cualquier real a.

Existe un s´olo n´ umero que al multiplicar a cualquier n´ umero real no lo modifica (elemento neutro de la multiplicaci´on). Este elemento es

116

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

el uno (1). Simb´olicamente: a1 = 1a = a,

para cualquier real a.

Axioma 5: Propiedad de los inversos. Para la suma, dado cualquier n´ umero real a, existe un s´olo n´ umero que sumado con ´el es igual a 0. Este n´ umero, que se representa con −a, se suele llamar inverso aditivo u opuesto de a. a + (−a) = (−a) + a = 0 Para la multiplicaci´on, dado cualquier n´ umero real a, diferente de cero, existe s´olo un n´ umero que multiplicado con ´el es igual a 1. Este n´ umero, que se representa como a−1 ´o 1/a, se suele llamar inverso multiplicativo o rec´ıproco de a. aa−1 = a−1a = 1 El opuesto de 3 es −3 (porque sumado con 3 da 0), mientras que su rec´ıproco es 1/3 (porque multiplicado por 3 da 1). Si a = 3,

1 −a = −3 y a−1 = . 3

El opuesto de −4/3 es 4/3: 4 4 − + = 0, 3 3 y su rec´ıproco es −3/4:

⎛

⎞

4 3 − × ⎝− ⎠ = 1. 3 4

El opuesto de 0 es 0, puesto que 0 es el n´ umero que sumado con 0 da 0 (0 + 0 = 0). De esta manera −0 = 0. El 0 no posee rec´ıproco, 0−1 ´o 1/0 no est´a definido. El opuesto de π se simboliza como −π y su rec´ıproco como 1/π. Observe que al escribir −a, para denotar al opuesto de a, no quiere decir que −a sea un n´ umero negativo; Lo ser´a si a es positivo, pero si a es negativo, como en el caso de a = −3, −a = −(−3) = 3 es positivo. De manera id´entica, el inverso multiplicativo no es necesariamente una

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

117

fracci´on. Si a = 1/3 debe ser claro que 1 1 a−1 = = = 3. 1 a 3

Resta y divisi´ on entre reales Utilizando la notaci´on de opuesto y rec´ıproco es posible definir resta y divisi´on entre n´ umeros reales, en t´erminos de las operaciones de suma y multiplicaci´on. As´ı a − b se puede definir como la suma de a con el opuesto de b. Simb´olicamente a − b = a + (−b). Se puede escribir, por lo tanto que: 1 ! √ " 1 √ − 3= + − 3 , y que 3⎛ ⎞ 3 1 1 4 − ⎝− ⎠ = 4 + . 3 3

Por su parte, si b ̸= 0, a ÷ b, se puede definir como el producto de a por el rec´ıproco de b resultado que tambi´en puede representarse como la fracci´on a/b entre n´ umeros reales. Simb´olicamente 1 a a ÷ b = = ab−1 = a b b Consecuentemente, se puede escribir que √ √ √ !√ "−1 √ 5 5÷ 7= 5× 7 =√ 7 y ⎛ ⎞−1 1 1 1 1 π ÷ = ×⎝ ⎠ = . 3 π 3 π 3

La definici´on anterior generaliza el concepto de fracci´on racional. No es dif´ıcil ver que las operaciones de suma y multiplicaci´on entre fracciones reales se pueden efectuar como si fuesen fracciones racionales. En particular se puede demostrar que ad + cb a c + = y b d bd a c ac · = , b d bd cumpliendo adem´as las mismas propiedades formales.

118

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

Axioma 6: Propiedad distributiva de la multiplicaci´ on respecto de la suma. Esta propiedad, que muestra que hay una coherencia operativa entre la multiplicaci´on y la suma entre reales, se puede expresar de la siguiente manera. Para a, b y c n´ umeros reales a(b + c) = ab + ac. O sea, que el producto de una suma por un n´ umero, es igual a la suma de los productos de dicho n´ umero por los diferentes sumandos. La aplicaci´on de esta propiedad de derecha a izquierda de la igualdad (sentido contrario de la distribuci´on) se suele denominar ✭✭extraer factor com´ un✮✮. As´ı, por ejemplo, en la transformaci´on 21 × 120 = 21 × (100 + 20) = 21 × 100 + 21 × 20 = 2100 + 420 = 2520,

se utiliza la propiedad distributiva en forma directa, mientras que en la simplificaci´on de la fracci´on real a2 + 3a a(a + 3) = = a, si a + 3 ̸= 0, a+3 a+3 se aplica en sentido contrario, extrayendo a a como factor com´ un. Las propiedades que hemos enunciado, expresan las caracter´ısticas algebraicas esenciales de la suma y la multiplicaci´on entre reales y constituyen, por lo tanto, su estructura algebraica. Es decir, a partir de ellas, mediante razonamiento deductivo de car´acter l´ogico, es posible construir y demostrar todos los conceptos y propiedades que utilizamos en el manejo aritm´etico de los n´umeros reales y en general en el ´algebra. Ellas est´an, por lo tanto, en la base de todos los procesos aritm´eticos y algebraicos que utilizamos, s´olo que, por su familiaridad, tienden a pasar desapercibidas.

Inversos y ecuaciones Un uso importante de los inversos operativos de la suma y la multiplicaci´on entre reales se puede apreciar en la soluci´on de ecuaciones. Tomemos el caso de una ecuaci´on de primer grado en una inc´ognita cuyo m´etodo de soluci´on debe conocer el estudiante. Por ejemplo, queremos calcular los n´ umeros y, para los cuales se cumple que √ 1 1 y + 3 = 1 − y. 4 2

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

119

Para resolver esta ecuaci´on, el estudiante procede agrupando en un lado de la ecuaci´on los t´erminos afectados por y y en el otro, los t´erminos independientes o libres de y, para lo cual utiliza el principio formal de que un t´ermino que est´a sumando se puede pasar al otro lado de la igualdad cambiando su signo. Se tiene as´ı la expresi´on √ 1 3 1 y + y = y = 1 − 3. 4 2 4 Despeja luego y, ✭✭liber´andola✮✮ de coeficientes num´ericos, para lo cual utiliza el principio formal de que un coeficiente que est´e multiplicando pasa al otro lado de la igualdad a dividir y si est´a dividiendo pasa a multiplicar. Obtiene, as´ı, la expresi´on siguiente que da la soluci´on de la ecuaci´on. √ 4 y = (1 − 3). 3 Estas reglas utilizadas para ✭✭trasladar✮✮ t´erminos de un lado a otro de la ecuaci´on son, en realidad, aplicaciones directas de la propiedad uniforme y de la existencia de inversos operativos, tal como se indica a continuaci´on. √ 1 1 y + 3 = 1 − y. 4 2 Sumando a ambos lados de la igualdad (1/2) y, o sea el opuesto de −(1/2) y, por la propiedad uniforme, se obtiene la igualdad ⎛

⎞

⎛

⎞

1 ⎠ √ 1 1 1 ⎝ y+ y + 3 = 1 + ⎝− y + y ⎠. 4 2 2 2 √ √ Reiterando esta operaci´on con − 3, o sea con el opuesto de 3 se obtiene la igualdad √ 3y = 1 − 3. 4 Finalmente, multiplicando ambos lados de la ecuaci´on por 4/3, es decir, por el rec´ıproco de 3/4 se obtiene la soluci´on √ 4 (1 − 3). 3 Este ejemplo se podr´ıa expresar en forma m´as general diciendo que gracias a la existencia de los inversos operativos, la ecuaci´on de primer grado de la forma ay + b = cy + d, y=

120

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

con a ̸= c, tiene siempre soluci´on u ´nica en los reales, soluci´on que est´a dada por la expresi´on d−b . y= a−c

Resumen de los axiomas algebraicos En el cap´ıtulo sobre ´algebra haremos un tratamiento m´as sistem´atico sobre la soluci´on de ecuaciones. La siguiente tabla resume las propiedades que definen la estructura algebraica de los n´ umeros reales. Para el producto.

Nombre del axioma.

Para la suma.

Uniforme.

Si a = b y Si a = b y c = d, enc = d, entonces tonces a + c = b + d. ac = bd.

Conmutativa.

a + b = b + a.

Asociativa.

(a+b)+c = a+(b+c). (ab)c = a(bc).

Neutros operativos.

a + 0 = 0 + a = a.

Inversos operativos.

a + (−a) = −a + a = a 1 = 1 a = 1. a a 0.

Distributiva de la multiplicaci´on con a(b + c) = ab + ac. respecto de la suma.

ab = ba.

1 a = a 1 = a.

ab + ac = a(b + c).

Algunos teoremas sobre los n´umeros reales Un prop´osito muy importante en esta secci´on es el de ilustrar el m´etodo deductivo, con base en el cual se organiza (aunque no necesariamente se produce) el conocimiento matem´atico. Se aspira a que el estudiante aprenda a distinguir cu´ando un determinado resultado o teorema ha sido demostrado y cu´ando no lo ha sido y a que ampli´e su experiencia con diferentes tipos de

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

121

demostraci´on, especialmente el tipo directo, el m´etodo de contraejemplo, y el indirecto sobre los cuales se trat´o en la secci´on 1.7. Por otra parte los resultados que se demuestran son importantes en s´ı mismos y han de servir para fundamentar mejor nuestro razonamiento algebraico. 2.4.2 Teorema multiplicaci´ on por 0 Para cualquier n´ umero real a a 0 = 0 a = 0. Demostraci´ on. En efecto, se puede escribir: a 0 + a 0 = a (0 + 0). = a 0.

Propiedad distributiva. Propiedad del cero.

Restando a 0 a ambos lados de la ecuaci´on y utilizando la propiedad uniforme, se obtiene a 0 = 0. La igualdad a 0 = 0 a se sigue directamente de la propiedad conmutativa. El teorema 2.4.4 es familiar al estudiante, y por ello mismo puede sorprenderle, o parecerle innecesario, que desde el punto de vista matem´atico requiera de una demostraci´on. Curiosamente, frente a expresiones del tipo √ 0/ 5, por ejemplo, el estudiante √ no siempre presenta la misma seguridad. Solo hay que observar que 0/√ 5 se puede escribir como una expresi´on del tipo 0 a tomando a como 1/ 5. Por lo tanto 0 1 √ = 0 × √ = 0. 5 5 Esta conclusi´on se puede obtener tambi´en aplicando directamente la definici´on de 0. 2.4.3 Teorema ley de signos Sean a y b n´ umeros reales arbitrarios, entonces. 1. −(−a) = a. 2. (−a)b = a(−b) = −ab.

122

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

3. (−1)a = −a. 4. (−a)(−b) = ab. 5. (−1)(−1) = 1. Demostraci´ on. 1. Basta interpretar la propiedad del opuesto. a + (−a) = −a + a = 0. En este caso la igualdad dir´ıa que el n´ umero que hay que sumarle a ✭✭−a✮✮ (y que por lo tanto es su opuesto −(−a)) para obtener 0 es ✭✭a✮✮. Es decir a es el opuesto de −a y por lo tanto se puede escribir −(−a) = a. 2. Se necesita demostrar que (−a)b es el opuesto de ab es decir que (−a)b + ab = 0. En efecto (−a)b + ab = (−a + a)b. = 0 b. = 0.

Propiedad distributiva. Propiedad del opuesto. Teorema 2.4.4.

La parte a(−b) = −ab se demuestra de la misma forma . 3. (−1)a = −(1 a). = −a.

Teorema 2.4.4.2.

4. (−a)(−b) = a(−(−b)). = ab.

Teorema 2.4.4.2. Teorema 2.4.4.1.

(−1)(−1) = 1 × 1 = 1

Teorema 2.4.4.4.

5.

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

123

En la demostraci´on del teorema 2.4.4 se utilizan exclusivamente las propiedades distributiva, propiedad del cero y propiedad uniforme para alcanzar el resultado a 0 = 0. En la demostraci´on del teorema 2.4.4, partes 1) y 2), se utiliza adem´as de algunas de las propiedades formales dadas para los n´ umeros reales, el teorema 2.4.4, ya demostrado. En las partes 3), 4) y 5) las demostraciones se apoyan en los resultados parciales demostrados previamente. En la demostraci´on del resultado siguiente, se procede tambi´en por demostraci´on directa. 2.4.4 Teorema producto 0 ab = 0 si y s´olo si a = 0 ´o b = 0. Demostraci´ on. Si a = 0 ´o b = 0 entonces ab = 0 seg´ un lo afirma el teorema 2.4.4 ya demostrado. Se requiere demostrar, solamente, que si ab = 0 entonces a = 0 ´o b = 0. Se puede suponer que a ̸= 0, pues si no lo fuese estar´ıamos en el caso anterior. Ahora bien, si a ̸= 0, entonces existe su inverso multiplicativo a−1 , y por lo tanto, multiplicando ambos miembros de la igualdad ab = 0 por ´el, se puede escribir a−1 (ab) = a−10 = 0. Teorema 2.4.4. Por otra parte 0 = a−1 (ab) = (a−1 a)b. = 1 b. = b.

Propiedad asociativa. Propiedad del inverso multiplicativo. Propiedad del uno.

El teorema 2.4.4 tiene una aplicaci´on importante en la soluci´on de ciertas ecuaciones. As´ı, por ejemplo, cuando se plantea una ecuaci´on de la forma ⎛

⎞

√ " 1 ! (x − 2)⎝x + ⎠ x − 5 = 0, 3 se pregunta por los valores de x que hacen v´alida la igualdad. El resultado que acabamos de demostrar dice que tales valores se encuentran igualando

124

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

a cero los diferentes factores. Es decir, que ⎛

⎞

√ " 1 ! (x − 2)⎝x + ⎠ x − 5 = 0, 3

si y s´olo s´ı

√ 1 = 0 ´o x − 5 = 0, 3 lo cual nos permite concluir que las soluciones de la ecuaci´on propuesta vienen dadas por √ 1 y x = 5. x = 2, x = − 3 Se puede expresar esta observaci´on en forma m´as general diciendo que para resolver una ecuaci´on de la forma p1(x) × p2 (x) × · · · × pn (x) = 0, sus soluciones se obtienen resolviendo, separadamente, las ecuaciones p1 (x) = 0, p2 (x) = 0, ..., pn (x) = 0. x − 2 = 0 ´o x +

Potencias enteras En el proceso de desarrollar deductivamente la aritm´etica y el ´algebra, a partir de las propiedades formales que caracterizan su estructura algebraica, se da tambi´en un proceso constructivo con la definici´on de nuevos conceptos cuyas propiedades tambi´en son objeto de demostraci´on. El s´ımbolo siguiente introduce una operaci´on muy importante en la matem´atica, la cual hemos de generalizar m´as adelante. 2.4.5 Definici´ on significado de las operaciones Sea a un n´ umero real arbitrario y n un entero no negativo. Se define el significado de las operaciones an y a−n de la siguiente manera: 1. a0 = 1, cuando a ̸= 0 (el s´ımbolo 00 no se define). 2. an = a × a × · · · × a (n veces) para 0 < n. 3. a−n = (an )−1 = 2.4.6

1 . Es decir a−n es el rec´ıproco de an . an

Ejemplo ⎛ ⎞4 1 ⎝ ⎠

5

=

1 1 1 1 1 1 × × × = = . 5 5 5 5 5 × 5 × 5 × 5 625

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

125

Puesto que 5 × 5 × 5 × 5 = 54, tambi´en se puede escribir que ⎛ ⎞4 1 ⎝ ⎠

5

=

1 . 54

(1/5)−4 se puede calcular de inmediato, conocido el resultado anterior, pues se sabe que es el rec´ıproco de (1/5)4 , es decir de 1/625. Por lo tanto ⎛ ⎞−4 1 ⎝ ⎠ = 625. 5 Aplicando la definici´on de a−n , se llega al mismo resultado de la siguiente manera: ⎛ ⎞−4 1 1 ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞4 . 5 1 ⎝ ⎠

5

Como

⎛ ⎞4 1 ⎝ ⎠

5

se tiene

=

1 1 1 1 1 × × × = , 5 5 5 5 625

⎛ ⎞−4 1 ⎝ ⎠

5

=

1 ⎛

⎞

1 ⎠ ⎝ 625

= 625.

Observaciones: Resulta u ´til observar los siguientes hechos que se desprenden directamente de las definiciones dadas. Los s´ımbolos a y b denotan n´ umeros reales y n es un entero positivo. 1. 1 a−n

= an .

Puesto que por definici´on: 1 a−n

=

1 = an . 1 an

126

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

2.

⎛ ⎞n a ⎝ ⎠

b

Puesto que por definici´on: ⎛ ⎞n a ⎝ ⎠

b

a a a × · · · × a an = × ··· × = = n. b b b × ··· × b b

3.

⎛ ⎞−n a ⎝ ⎠

b

Puesto que: ⎛ ⎞−n a ⎝ ⎠

b

an = n. b

=

1 ⎛ ⎞n a ⎝ ⎠

b

⎛ ⎞n

bn ⎝ b ⎠ = n= . a a ⎛ ⎞n

1 a−n bn ⎝ b ⎠ = n= n= = −n . a a a b bn

Observe, finalmente, que como todo n´ umero entero negativo es de la forma −n, con n entero positivo, las expresiones anteriores definen el s´ımbolo an, para cualquier entero n y cualquier real a, excepto el caso 00 que no tiene definici´on. 2.4.7 Teorema Sean a y b n´ umeros reales y m y n enteros. Se tiene que: 1. am an = am+n . 2. (am )n = amn . 3. (ab)n = an bn . Es fundamental que el estudiante tenga una correcta interpretaci´on de lo que afirman estas igualdades, pues sobre ellas se fundamenta todo el c´alculo con potencias y su validez sigue igual para las potencias con exponentes racionales e irracionales. Demostraci´ on. 1. am an = am+n . Esta primera propiedad se puede expresar en lenguaje ordinario diciendo que el producto de dos potencias de igual base, es igual a la

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

127

potencia que tiene igual base y cuyo exponente es la suma de los dos exponentes de los factores. As´ı, ⎛ ⎞3 ⎛ ⎞4 1 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

4

=

⎛ ⎞7 1 ⎝ ⎠ .

4

113 × 11−4 × 112 = 113+(−4)+2 = 111 = 11. Para demostrar esta propiedad se consideran diferentes casos: Caso 1. m = 0 ´o n = 0. Suponiendo que m = 0, am an = a0 an = 1 an = an = a0+n = am+n . El caso n = 0 es exactamente igual. Caso 2. m y n son positivos. am an = (a × · · · × a) × (a × · · · × a) . Definici´on del s´ımbolo an . /

01 m veces.

=a × ·01· · × a2 . /

2

/

01 n veces.

2

Propiedad asociativa.

m + n veces.

= am+n .

Definici´on del s´ımbolo an .

Caso 3. m y n son negativos. En este caso m y n son de la forma m = −r y n = −s, siendo r y s enteros positivos. Se puede escribir am an = a−r a−s . 1 1 = r · s. a a 1 = r s. aa 1 = r+s . a = a−(r+s). = a(−r)+(−s). = am+n .

Representaci´on de m y n. Definici´on del s´ımbolo a−n . Producto entre fracciones. Caso anterior. Definici´on del s´ımbolo a−n . Teorema 2.4.4 y propiedad distributiva. Representaci´on de m y n.

Caso 4. m y n tienen signos diferentes.

128

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

Suponiendo que m es positivo y n negativo de la forma n = r y que m + n = m − r es positivo, (m mayor que r). Se puede escribir am an = am a−r , am = r, a ⎞ ⎛ ar ⎠ m−r ⎝ a , = ar = 1 × am−r , = am+(−r) , = am+n .

Si m − r es negativo (r − m positivo). Entonces am an = am a−r , am = r, a ⎞ ⎛ am 1 = ⎝ m ⎠ r−m , a a 1 = r−m , a = a−(r−m) , = am+(−r) , = am+n . El caso m negativo y n positivo se resuelve de manera id´entica. 2. (am )n = amn . Esta propiedad dice, en el lenguaje ordinario, que el resultado de elevar una potencia entera am a un exponente entero n, es una potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes m y n. As´ı, y

#

58

#

5

8

$2

$−2

= 58×2 = 516, 8×(−2)

=5

−16

=5

(−8)×2

=5

#

= 5

−8

$2

.

Dejamos la demostraci´on de esta propiedad como ejercicio.

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

129

3. (ab)n = an bn . En el lenguaje ordinario esta propiedad expresa que el resultado de elevar a una potencia entera un producto de n´ umeros reales, es igual al producto de las potencias que se obtienen de elevar cada factor a la misma potencia entera. As´ı:

y

⎛ #

⎞7

⎞7

⎛

⎛ ⎞7

47 π 7 4π ⎠ 1⎠ 7 ⎝1⎠ 7 7 1 ⎝ ⎝ = 4π · = (4π) · =4 ·π · 7 = 7 , 3 3 3 3 3

4π

−3

$−6

−6

=4

#

π

−3

$−6

= 4−6 π (−3)×(−6) = 4−6 π 18,

π 18 . 45 Para la demostraci´on de esta propiedad se consideran diferentes casos como en el punto 1. Caso 1. n = 0. Ambos lados de la igualdad son iguales a 1. Caso 2. n positivo. =

Definici´on del s´ımbolo an .

(ab)n = (ab) × · · · × (ab) . 01 n veces.

/

2

= (a × · · · × a) (b × · · · × b). Propiedad asociativa y conmutativa. /

01 n veces. n n

=a b .

2/

01 n veces.

2

Definici´on del s´ımbolo an .

Caso 3. n negativo. En este caso n ser´a de la forma n = −r, con r entero positivo. Se puede escribir (ab)n = (ab)−r . 1 = . (ab)r 1 = r r. ab 1 1 = r · r. a b = a−r b−r . = anbn .

Representaci´on de n. Definici´on del s´ımbolo a−n . Caso anterior. Producto entre fracciones. Definici´on del s´ımbolo a−n . Representaci´on de n.

130

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

2.4.8 Ejemplo Presentamos a continuaci´on algunos ejemplos en los cuales se combinan varias de las propiedades anteriores. En cada caso, la expresi´on dada debe simplificarse lo m´aximo posible y en la expresi´on final solo deben aparecer exponentes positivos. 1. (9−3 )15 + 9 + 9(15−2 ) (32 )−3 × 3 × 5 + 32 + 32 × (3 × 5)−2 = , 9−2 × 15−4 (32 )−2 × (3 × 5)−4 =

3−6 × 3 × 5 + 32 + 32 × 3−2 × 5−2 , (32 )−2 × (3 × 5)−4

3−5 × 5 + 32 + 30 × 5−2 = , 3−4 × 3−4 × 5−4

= 38 × 54 (3−5 × 5 + 32 + 5−2 ),

= 33 × 55 + 310 × 54 + 38 × 52 , = 33 52 (53 + 37 52 + 35). 2. #

7

2

2 5$

2

+ 49

5

2×2

=7

5

!

+ 7

6

6

= 72 + 72 ,

" 5 2 2

,

6

= 2 × 72 . 3. ! " 11−3 × 8 + 3 + 115 × 8−1 4 2 −3 5 −1 = 11 × 8 11 × 8 + 3 + 11 × 8 , 11−4 × 8−2 = 11 × 83 + 3 × 114 × 82 + 119 × 8.

Ejercicios 2.4 En los ejercicios 1 al 23 responda verdadero o falso y justifique su respuesta.

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

131

1. Para todo a, b, c, d ∈ R con b, d ̸= 0: ad a c × = . b d bc 2. Para todo a, b, c, d ∈ R con b ̸= 0 y d ̸= 0: a+c a c + = . b d b+d 3. Para todo a, b, c, d ∈ R con b ̸= 0 y d ̸= 0 a b 4. Si b, d ̸= 0, entonces cuando ab = ab .

a b

=

c d

?

c ac = . d bd

si y solo si ad = bc. Adem´as determine

5. (ab)−1 = a−1 b−1 , si a, b ̸= 0. 6. La ecuaci´on ax + b = cx + d siempre tiene soluci´on en R. 0 7. La fracci´on real √ no tiene sentido. 5 8. Para todo x, y, z ∈ R con z ̸= 0: (x + y) ÷ z = (x ÷ z) + (y ÷ z). 9. Para todo x, y, z ∈ R (suponga que todas las operaciones est´an definidas): x ÷ (y + z) = (x ÷ y) + (x ÷ z). 10. Para todo a ∈ R existe x ∈ R tal que 0 x = a. 11. El rec´ıproco de 4 − a, si existe, es 12. El n´ umero

1 1 − . 4 a

2+x tiene rec´ıproco para todo x ∈ R. 3−x

13. El rec´ıproco de todo n´ umero entero es un n´ umero entero. 14. El rec´ıproco de todo n´ umero racional es un n´ umero racional. 15. El rec´ıproco de todo n´ umero irracional es un n´ umero irracional.

132

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

16. Al efectuar el c´alculo

5−1 , 1 5−1

se obtiene 5−2 . 17. La cuarta parte de la quinta parte de 20 es igual a la quinta parte de la cuarta parte de 20. 18. 3n 3m = 9nm para todo n, m ∈ Z. 19. (2n )m = 2n+m para todo n, m ∈ Z. 20. 5 × (3)n = 5 × 3n para todo n ∈ Z. 21. 2n + 2n = 2n+1 para todo n ∈ Z. 22. 4n + 4n = 4n+1 para todo n ∈ Z. 23. Si n es un entero par, (−a)n = an para todo a ∈ R. 24. Si n es un entero entonces (−a)n = −an para todo a ∈ R. ⎛

⎞−5

11 25. ⎝ ⎠ 23

235 = 5. 11

26. Calcule mentalmente los resultados de las siguientes operaciones y luego explique, por escrito, el proceso seguido, indicando las propiedades formales utilizadas. a) 16 × 625. b) 11 × 99.

c) 8 × 9 × 5. d) 23 × 22 + 21 × 20.

e) 12 × 9 + 5 × 25.

27. Si la suma fuese distribuida respecto de la multiplicaci´on cu´al ser´ıa el resultado de la siguiente operaci´on: ⎛

⎞

4 9 6 + ⎝ × ⎠. 3 2 28. Determine si las siguientes igualdades son v´alidas. Si una igualdad es v´alida, establezca qu´e propiedades de los n´ umeros reales la justifican, si no lo es, diga qu´e propiedad ha sido mal utilizada.

Estructura algebraica de los n´ umeros reales ⎛

√

a) 1 + ⎝ b) c) d) e) f)

⎞

⎛

133

⎞

1 1 √ 3 − ⎠ = 1 − ⎝ + 3⎠ . 5 5 ⎛

⎞

3 3 (8 ÷ 5) ÷ = 8 ÷ ⎝5 ÷ ⎠. 5 5 3 3 (x + y) = x + y. 2 2 3,2 3,2 1 1 √ + +1 =1+ √ + . 11 2 11 2 ⎛ ⎞ 3 3 21 − ⎝64 − ⎠ = (21 − 64) − . 9 9 ⎛ ⎞ √ 1 7 ⎝ 101 − ⎠ − 1 = 1 − ⎛ ⎞−1 . 2 √ 7 ⎝ 101 − ⎠ 2

29. En cada caso, d´e los inversos multiplicativos (rec´ıproco) y aditivo (opuesto), si existen, de los n´ umeros que se indican a continuaci´on. Las letras a y b denotan n´ umeros reales arbitrarios. a) 0. b) 1. 1 c) . 5 1 d) − . 3

1 1 − . 4 a ⎛ ⎞4 √ 1 @ k) ⎝ ⎠ 1 + 3. 3

−0,96. (0,25)2 . √ 7. (1 + b)2 . 2+b i) . 1 − a2

e) f) g) h)

j)

30. De las siguientes fracciones cu´ales representan un n´ umero real y cuales no. 210 a) . 0

b)

0 . 210

210 c) 10 . 2 (210)−1 d) 10 −1 . (2 )

e)

0

⎛ ⎞.

3 2

⎝ ⎠

f)

0 . 0

g)

0

⎛ ⎞−1 . 3 ⎝ ⎠

2

31. Diga cu´ales de las siguientes propiedades son v´alidas para la resta entre n´ umeros reales: la asociativa, la conmutativa, la distributiva de la multiplicaci´on respecto de la resta. Justifique su respuesta.

134

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

32. Efect´ ue las operaciones indicadas (justifique cada paso), =

>

=

>

a) (−5) 7 (3 − 2) + 11 + 9 −1 (−2 + 4) + 21 . ⎡

⎛

⎞⎤

> 5 2 8 3= b) ⎢⎣32 (−6 + 3) − 15 ⎝ − ⎠⎥⎦ + (2 − 6) 14π − (2π − 7π) 11 . 7 3 3 π

c) (64 ÷ 16) ÷ 2. ⎡

⎛

⎞⎤

= > 2 4 7 d) −45 ⎢⎣ (17 + 23) − 11 ⎝ − ⎠⎥⎦ − 1 (2 − 2) 4 − 9 . 3 4 2 ⎡

1 1 1+ 3 . e) 1 1+ 4

f)

⎛ ⎢ ⎢1 1 ⎢ ⎢ +⎝ ⎢5 4 − ⎢⎢⎢ ⎢ ⎢ 4+ ⎢ ⎣

+ 1

1+

⎤−1 ⎞⎥ 3⎠⎥⎥ ⎥ 5 ⎥⎥ ⎥ . ⎥ ⎥ ⎥ 6 ⎥⎦

7

33. Suponga que debe efectuar los c´alculos que se indican utilizando una calculadora que no tiene incorporado el sistema de prelaci´on usual entre operaciones. Introduciendo par´entesis indique la manera como deber´ıa ordenar estos c´alculos y efectu´e las operaciones utilizando ✭✭par´entesis✮✮ en la calculadora. Realice luego los mismos c´alculos ✭✭de seguido✮✮ con la calculadora y compare los resultados. Deben ser iguales. Para facilitar la escritura transforme las ✭✭barras✮✮ de las fracciones en el s´ımbolo ÷. a)

3 6 1 + ×2+ . 3 11 8

b) −2 + 9 × 6 +

4 2 + 3 + × 6. 4 5

c) 128 ÷ 4 ÷ 8 ÷ 16.

d)

1 −3+4×5 2

. 6 + 8 × 9 × 1,5 − 4 7 1 1 + 0,64 e) + 1,25 × 0,68. 1 1+ 1,32

34. En los siguientes ejercicios simplifique las expresiones dadas utilizando al m´aximo las propiedades de potencias. D´e las expresiones finales en t´erminos de potencias enteras con exponentes positivos.

Estructura algebraica de los n´ umeros reales

4−2 + 2−4 . 8−1 32 + 2−3 . i) 64−1 ! "−3 j) 8−2 .

a) 23 2−4 .

h)

b) 36 × 3−5 .

c) 42 4−5 46 .

(−2)4 + (−4)2 . d) (−1)6 f ) b 2 b−2

"4

!

k) 3−5 .

2 −4 6

e) 5 5

135

5.

!

"3

l) 32 7−2 .

(b ̸= 0).

(−2)2 + (−4)4 g) . (−1)

32 7−3 + 3−6 72 m) . 3 × 7−1 + 3−7 74

n) ¿Cu´al es la repuesta en los casos l) y m) si 3 se sustituye por a y 7 se sustituye por b? !

"!

"

n ˜) −6n2 mk −4 2n−1 m3k 5 . o)

12a2b3 14ab4 + . 18a3b2 9a5

!

"2

p) 13a2b + 7a−1 b2 . q)

!

!

144uv 2 vw−1 −3

−2

9u vw q

"3

"−2 .

35. Encuentre la soluci´on de las siguientes ecuaciones justificando los pasos: a) 5x + 4 = 23.

c) (x + 3)(x + 2) = 0.

b) 4x − 13 = 5x + 8.

d) (3x − 8)(6x + 7) = 0.

36. En un zool´ogico hay 2000 animales y el 25 % de ´estos son aves. Se sabe que el 60 % de las aves son bichofu´es (Pitangus sulphuratus). a) ¿Cu´antos bichofu´es hay en el zool´ogico? b) ¿Qu´e porcentaje de los animales del zool´ogico no son bichofu´es? c) ¿Qu´e porcentaje de las aves del zool´ogico no son bichofu´es? 37. Treinta litros de una soluci´on contienen 40 % de cierta sustancia qu´ımica. ¿Qu´e cantidad de ´acido debe agregarse para que la soluci´on restante contenga 25 % de la sustancia qu´ımica? 38. Demuestre utilizando la definici´on de rec´ıproco que 1−1 = 1 (el rec´ıproco de 1 es 1) y que (a−1 )−1 = a.

136

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

39. Utilizando la definici´on de la resta a − b, las propiedades formales de la suma y la multiplicaci´on y los resultados sobre n´ umeros reales estudiados en esta unidad, demuestre que: a) (a − b) + (b − c) = a − c. b) −(a + b) = −a − b.

c) −(a − b) = −a + b.

d) a(b − c) = ab − ac.

40. Siguiendo un procedimiento semejante al utilizado en esta unidad para demostrar que am an = am+n . demuestre que (am )n = amn con a real y m y n enteros. Los ejercicios siguientes pueden ser utilizados para demostrar que las fracciones reales tienen las mismas propiedades que las fracciones racionales. a 41. Utilizando la definici´on que se da de la fracci´on real demuestre las b siguientes proposiciones: a −a a a) − = = , b ̸= 0. b b −b a ac b) = , b ̸= 0 y c ̸= 0. b bc a c ad + bc c) + = , b ̸= 0 y d ̸= 0. b d bd ac a c d) × = , b ̸= 0 y d ̸= 0. b d bd a ad e) b = , b ̸= 0, c ̸= 0, y d ̸= 0. c bc d ⎛ ⎞−1 a b f ) ⎝ ⎠ = , a ̸= 0 y b ̸= 0. b a

42. En cada uno de los ejercicios siguientes efect´ ue las operaciones que se indican hasta obtener una fracci´on real simplificada. Identifique las fracciones racionales. a)

9 4π 11 + + . 99 18 20

b)

1,75 1 − + (0,2)−1 . 2 5

Estructura de orden de los n´ umeros reales

137

⎛ ⎞ √ 2 ⎝3 3⎠ 12 −3 2 5 + . e) c) × × . 3 4 2 5 16 2 √ ⎞ √ ⎛√ 3 12 ⎝ 11 12 √ − √ ⎠. f) − d) √4 . 6 12 11 2 √ 3 ⎞ √ √ ⎛√ √ 3 7+ 3⎝ 7+ 3 √ ⎠. g) +√ 4 2 7− 3 ⎛

h) (0,28 − 1) ⎝

2.5.

1−

1 √

0,28

+

1+

1 √

0,28

⎞

⎠.

Estructura de orden de los n´ umeros reales

Los axiomas de orden El orden, que es el otro elemento constitutivo del sistema matem´atico de los n´ umeros reales, es inherente al concepto mismo de n´ umero real. Cuando se dice que hay un orden en R se quiere decir que existe un criterio que permite comparar n´ umeros reales y decidir, de dos n´ umeros arbitrarios diferentes, cu´al es el ✭✭menor✮✮ (o ✭✭el mayor✮✮). En la secci´on 2.2.5 hemos visto c´omo, mediante la representaci´on geom´etrica, se introduce un orden natural en el conjunto de n´ umeros reales. Recordemos que el cero en la recta num´erica divide al conjunto de n´ umeros reales en tres conjuntos disjuntos: los reales a la derecha del cero, los reales a la izquierda del cero y el conjunto cuyo u ´nico elemento es el cero. En esta unidad introduciremos formalmente una relaci´on de orden entre n´ umeros reales, a partir de un conjunto de axiomas. Para ello suponemos que existe un subconjunto R+ ⊆ R , denominado conjunto de los reales positivos, que satisfacen los siguientes axiomas de orden:

138

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

Axioma 7: propiedad clausurativa Si x, y pertenecen a R+ , entonces x + y pertenece a R y x, y pertenece a R simb´olicamente: Si x, y ∈ R → x + y ∈ R ∧ x, y ∈ R Axioma 8: 0∈ / R+ Axioma 9: Tricotom´ıa Para todo x perteneciente a los R, se cumple uno s´olo de los siguientes casos x = d, o x ∈ R+ , o −x ∈ R+ . Estos axiomas nos permiten definir formalmente las nociones de menor que (, igual o menor que (≤), igual o mayor que (≥), y su representaci´on simb´olica. 2.5.1 Definici´ on orden El n´ umero real x es menor que el n´ umero real y, si y − x pertenece a + R , esto es, x < y si y solo si y − x ∈ R+ . Simb´olicamente: x < y ←→ y − x ∈ R+ Notaci´ on: 1. y > x significa x < y 2. x ≤ y significa o x < y, ´o x = y 3. y ≥ x significa o y > x, ´o y = x De esta forma, dado que para todo x ∈ R+ , x > 0, pues x − 0 = x ∈ R+ . En este caso se dice que x es positivo. Si −x ∈ R+ se tiene que x < 0, y se dice que x es negativo. Si x < y y y < z, se escribe x < y < z. Interpretaci´on similar se dan para las desigualdades, x ≤ y < z, x < y ≤ z, x ≤ y ≤ z.

Estructura de orden de los n´ umeros reales

139

Intervalos Utilizaremos la siguiente terminolog´ıa para referirnos a los siguientes conjuntos de n´ umeros reales que se agrupan bajo el nombre gen´erico de intervalo. 2.5.2 Definici´ on intervalos Sean a y b n´ umeros reales tales que a < b, se definen los siguientes conjuntos: Intervalo finito abierto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}. Intervalo finito cerrado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. Intervalo finito semiabierto o semicerrado: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}. [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}. Sea c un n´ umero real, se definen los siguientes conjuntos: Intervalos infinitos abiertos: (−∞, c) = {x ∈ R : x < c}. (c, ∞) = {x ∈ R : c < x}. Intervalos infinitos cerrados: (−∞, c] = {x ∈ R : x ≤ c}. [c, ∞) = {x ∈ R : c ≤ x}. Se define el conjunto R como: R = (−∞, ∞). Ahora veremos algunas representaciones gr´aficas de los conjuntos anteriores: el intervalo abierto (figura 2.17) y el intervalo cerrado (figura 2.18). Combinando estas dos representaciones podemos obtener la del intervalo semiabierto o semicerrado (figura 2.19). Y de forma similar se obtienen las representaciones de los intervalos infinitos.

140

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico a

(

b

)

Figura 2.17: Dos representaciones del intervalo abierto (a, b). a

[

b

]

Figura 2.18: Dos representaciones del intervalo cerrado [a, b].

Inecuaciones Antecedemos la presentaci´on de algunos teoremas sobre el orden con una observaci´on que consideramos importante. En matem´aticas las palabras ✭✭relaci´on de orden✮✮ tienen un significado muy preciso. El s´ımbolo ✭✭≤✮✮, cuyo significado hemos definido anteriormente, es, matem´aticamente, una ✭✭relaci´on de orden✮✮ en cuanto que permite establecer una conexi´on espec´ıfica entre pares de n´ umeros reales que tiene las siguientes caracter´ısticas o propiedades: 1. Propiedad reflexiva: a ≤ a 2. Propiedad antisim´etrica: si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b 3. Propiedad transitiva: si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c. 2.5.3 Teorema Sean a, b, c y d n´ umeros reales, entonces: 1. Si a ≤ b y c ≤ d entonces a + c ≤ b + d. Dos desigualdades se pueden sumar t´ermino a t´ermino sin que cambie el sentido de la desigualdad. 2. Si a ≤ b y 0 ≤ c entonces ac ≤ bc. Los dos miembros de una desigualdad pueden ser multiplicados por un n´ umero no negativo sin que cambie el sentido de la desigualdad. 3. Si a ≤ b y c ≤ 0 entonces ac ≥ bc. a

(

b

]

Figura 2.19: Dos representaciones del intervalo semiabierto (a, b].

Estructura de orden de los n´ umeros reales

141

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un n´ umero no positivo, el sentido de la desigualdad se invierte. 4. Si 0 ≤ a ≤ b y 0 ≤ c ≤ d entonces 0 ≤ ac ≤ bd. 5. Si a ≤ b ≤ 0 y c ≤ d ≤ 0 entonces ac ≥ bd ≥ 0. Demostraci´ on. 1. Por hip´otesis se tiene que 0 ≤ b − a y 0 ≤ d − c y por la propiedad clausurativa de los reales positivos se concluye que 0 ≤ (b − a) + (d − c) = (b + d) − (a + c), o lo que es lo mismo, que a + c ≤ b + d. 2. Por hip´otesis se tiene que 0 ≤ c y 0 ≤ b − a y por la propiedad clausurativa de los reales positivos se concluye que 0 ≤ c(b − a) = cb − ca = bc − ac, o lo que es lo mismo, que ac ≤ bc. 3. Por hip´otesis se tiene que 0 ≤ −c y 0 ≤ b − a y por la propiedad clausurativa de los reales positivos se concluye que 0 ≤ −c(b − a) = −cb + ca = ac − bc, o lo que es lo mismo, que bc ≤ ac (ac ≥ bc). Las proposiciones 4) y 5) que son consecuencias de la 2) y 3), las dejamos como ejercicio (ver ejercicios). 2.5.4 Ejemplo Conviene ilustrar aqu´ı c´omo el teorema 2.5.3 tiene aplicaciones a la soluci´on de inecuaciones. Supongamos que se quieren determinar los valores que puede tomar x que hacen v´alida la siguiente desigualdad x x + 6 ≤ + 8. 4 2 En t´erminos conjuntistas se quiere determinar el conjunto ⎧ ⎨

⎫

⎬ x x x ∈ R : + 6 ≤ + 8 . ⎩ ⎭ 4 2

142

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

La estrategia para resolver este tipo de inecuaci´on lineal es igual a la que se sigue para resolver una ecuaci´on lineal y que consiste en primera instancia en trasladar todos los t´erminos afectados por x a un lado de la desigualdad y los t´erminos independientes de x en el otro lado. Luego se despeja x libr´andola de su coeficiente para obtener la soluci´on final. Las transformaciones anteriores se fundamentan en el teorema 2.5.3 que acabamos de demostrar y se pueden realizar de la siguiente manera: por la parte 1) del teorema y la propiedad reflexiva del orden se puede primero agregar a ambos lados de la desigualdad −x/2 y luego −6 sin que se modifique el sentido de la desigualdad para obtener los siguientes resultados: x x +6≤ +8 y 4 2 x x − ≤− , 2 2 sumando t´ermino a t´ermino se tiene x x − + 6 ≤ 8, 4 2 luego x x − ≤ 8 − 6. 4 2 Obteniendo la desigualdad x − ≤ 2. 4 En este caso, si multiplicamos por −4, el sentido de la desigualdad se invierte, de acuerdo con la parte 3) del teorema 2.5.3 para obtener x ≥ −8. Esto quiere decir que todo n´ umero real x no menor que −8 satisface la desigualdad propuesta. En t´erminos conjuntistas la respuesta se puede escribir en la forma: {x ∈ R : x ≥ −8} = [−8, ∞).

Vale la pena observar que en la primera transformaci´on se ha podido trasladar el t´ermino x/4 al lado derecho de la desigualdad y 8 al lado izquierdo para obtener: 1 1 6 − 8 ≤ x − x, 2 4

Estructura de orden de los n´ umeros reales

−2 ≤

143

x . 4

Utilizando la parte 1) del teorema se puede multiplicar ambos lados de la ultima desigualdad por 4 sin modificar el sentido de la misma, para obtener el siguiente resultado: −8 ≤ x. Que es, naturalmente, el mismo resultado anterior. 2.5.5 Teorema Sean a y b n´ umeros reales, 0 < ab si y s´olo si 0 < a y 0 < b ´o a < 0 y b < 0. Simb´olicamente !

"

0 < ab ←→ (0 < a y 0 < b) ´o (a < 0 y b < 0) . El resultado consignado en este teorema es el que el estudiante conoce como la ley de los signos. Este dice que el producto ab de los n´ umeros a y b es positivo s´olo en el caso en que a y b posean el mismo signo. Demostraci´ on. Procederemos primero en la direcci´on ←. Se puede escribir que si 0 < a y 0 < b entonces 0 < ab (segunda propiedad formal de orden o propiedad clausurativa). Si a < 0 y b < 0 entonces 0 < −a y 0 < −b (ley de tricotom´ıa), luego 0 < (−a)(−b) = ab (teorema 2.4.4 y segunda propiedad formal de orden). Hemos demostrado que si a y b son del mismo signo entonces 0 < ab. Demostremos ahora la proposici´on rec´ıproca. Sea 0 < ab, y asumamos que 0 < a. Se debe demostrar que 0 < b. Si fuese b < 0, se tendr´ıa 0 < −b (ley de tricotom´ıa) y por consiguiente 0 < a(−b) = −ab (teorema 2.4.4 y segunda propiedad formal de orden). Luego, por la ley de tricotom´ıa ab < 0. Lo cual contradice la hip´otesis sobre ab. Se concluye entonces que 0 < b. Asumamos ahora que a < 0. Procediendo como antes, demuestre como ejercicio que tiene que ser b < 0. No es dif´ıcil ver que la situaci´on a = 0 no puede darse (¿porqu´e?). En conclusi´on, si 0 < ab entonces una de las dos situaciones se cumple 0 < a y 0 < b ´o a < 0 y b < 0, que es justamente lo que se quer´ıa demostrar.

144

Los n´ umeros reales como sistema matem´atico

2.5.6 Corolario Si a es n´ umero real diferente de 0, entonces 0 < a2 , en particular se tiene que 0 < 1 (el cuadrado de todo n´ umero diferente de 0 es positivo). Demostraci´ on. Reemplazando b por a en el teorema 2.5.3, es obvio que ambos factores poseen el mismo signo. Por otro lado como 1 = 12 entonces concluimos que 0 < 1. 2.5.7 Corolario a y a−1 son simult´aneamente positivos o negativos. Demostraci´ on. El corolario es inmediato del teorema 2.5.3 pues 0 < 1 = aa−1 .

Este corolario tambi´en se puede expresar escribiendo 1 0 < a si y s´olo si 0 < . a El teorema 2.5.3 y sus corolarios tienen tambi´en implicaciones muy importantes en la soluci´on de inecuaciones que ilustramos con dos ejemplos sencillos. 2.5.8 Ejemplo Supongamos que se quieren determinar los valores de x que hacen v´alida la siguiente desigualdad ⎞

⎛

1 0 ≤ (x − 1) ⎝x + ⎠. 3

Es decir, se quiere determinar el conjunto ⎧ ⎨

⎛

⎞⎫

1 ⎬ ⎝x + ⎠ . x ∈ R : 0 ≤ (x − 1) ⎩ 3 ⎭

Lo primero que se puede observar es que la igualdad ⎛

⎞

1 (x − 1) ⎝x + ⎠ = 0, 3

Estructura de orden de los n´ umeros reales

145

1 es v´alida para los casos x = 1 y x = − . 3 Consideremos ahora ⎛

⎞

1 0 < (x − 1) ⎝x + ⎠. 3 Aplicando el teorema 2.5.3 se puede escribir ⎛

⎞

⎛

⎞

1 1 0 < (x−1) ⎝x+ ⎠ ←→ ⎝0 < x−1 y 0 < x+ ⎠ ´o 3 3

⎛

⎞

1 ⎝x−1 < 0 y x+ < 0⎠. 3

Transformando cada uno de los t´erminos a la derecha de la doble implicaci´on se tiene: 1. ⎛

⎞

1 (0 < x − 1) y ⎝0 < x + ⎠ ←→ (1 < x) y 3 ←→ 1 < x.

⎛

⎞

1 ⎝− < x⎠, 3

Este conjunto de inecuaciones se puede representar gr´aficamente (figura 2.20). −

1 0,51,41 > 0,51,414 > · · · > √

0,5 2 > · · · > 0,51,415 > 0,51,42 > 0,51,5 > 0,52 .

En este caso la definici´on matem´atica de 0,5 maneras siguientes: 0,5 0,5

√

2

se podr´ıa dar de las dos

√

2

√

= ´ınf{0,51 , 0,51,4, 0,51,41 , 0,51,414 , . . .},

2

= sup{0,52, 0,51,5 , 0,51,42, 0,51,415, . . .}.

De manera similar al ejemplo anterior se pueden establecer las siguientes desigualdades:

Exponenciaci´on y logaritmaci´on

a) 0,4 ≥ 0,3789291 ≈ 0,51,4 > 0,5

√

2

209

> 0,51,5 ≈ 0,3535534 ≥ 0,3.

b) 0,376 ≥ 0,3752698 ≈ 0,51,414 > 0,5 0,375.

√

c) 0,37522 ≥ 0,3752151 ≈ 0,51,41421 > 0,5 0,37521.

2

√ 2

> 0,51,415 ≈ 0,3750097 ≥ > 0,51,41422 ≈ 0,3752125 ≥

d) 0,375215 ≥ 0,37521424 ≈ 0,51,4142135 > 0,5 0,37521422 ≥ 0,375214.

√ 2

> 0,51,4142136 ≈

Desigualdades que en este caso permiten estimar tambi´en el grado de √ 2 aproximaci´on de las diferentes potencias a 0,5 . Se puede afirmar, por √ ejemplo, que si se aproxima a 0,5 2 por 0,51,414 (por exceso) o por 0,51,415 (por defecto) el error que se comete es menor que 0,376 − 0,375 = 0,001. Tambi´e√n se puede observar la formaci´on paulatina de la expresi´on decimal de 0,5 2 . As´ı, por ejemplo, al mirar la desigualdad d) se puede concluir que los 6 primeros d´ıgitos de su expresi´on decimal est´an dados por 0,375214. Esta definici´on operativa por aproximaci´on se puede generalizar en realidad a cualquier potencia ax con exponente real. El entender estos procesos aproximativos es importante para saber c´omo seleccionar el n´ umero de d´ıgitos en el exponente, y a veces en la base de acuerdo con el nivel de precisi´on que deseamos tener en nuestros c´alculos (ver el ejercicio 9). El siguiente teorema que damos sin demostraci´on describe una propiedad muy importante de las potencias reales, y en cierta medida puede considerarse una extensi´on del teorema para exponentes racionales descrito antes. 3.3.10 Teorema Sean a, b, x, e y n´ umeros reales. 1. Si 1 < a entonces x < y si y s´olo si ax < ay . 2. Si 0 < a < 1 entonces x < y si y s´olo si ax > ay . 3. Si 0 < a < b entonces ax < bx si y s´olo si 0 < x. 4. Si 0 < a < b entonces ax > bx si y s´olo si x < 0. Lo anterior se puede interpretar en lenguaje ordinario diciendo, que cuando 1 < a, el valor de la potencia crece a medida que los valores del exponente x crecen, pero si 0 < a < 1 los valores de la potencia decrecen cuando los valores del exponente x crecen.

210

Operaciones con n´ umeros reales y n´ umeros complejos

De otro lado, si el exponente x es positivo, fijo y var´ıan los valores de la base, los valores de la potencia crecen cuando crecen los valores de la base. Pero si x es negativo, los valores de la potencia decrecen al crecer los valores de la base. Los siguientes casos particulares que el estudiante puede comprobar con su calculadora, ilustran las variaciones mencionadas. 3 Para el caso 1, 1 < a. Sea a = 3,5 y algunas de sus potencias: (3,5)− 4 , 1 1 1 (3,5)− 2 , (3,5) 4 , (3,5) 2 , (3,5)2 , (3,5)3 y (3,5)10. Calculando en su orden las potencias anteriores, y redondeando se tiene: 0,39 < 0,53 < 1,9 < 1,36 < 12,25 < 42,9 < 275854,7. Lo cual permite observar que las potencias anteriores aumentan de izquierda a derecha al aumentar el exponente y manteniendo fija la base que es mayor a 1. Para el caso 2, 0 < a < 1. Sea √a = 0,4 y algunas de sus potencias: 1 3 1 (0,4)−3 , (0,4)− 2 , (0,4) 2 , (0,4) 4 , (0,4) 2 , (0,4)3 y (0,4)10 Calculando en su orden las potencias anteriores y redondeando se tiene: 15,62 > 1,58 > 0,6324 > 0,5030 > 0,2737 > 0,0640 > 0,0001. Lo cual permite observar que las potencias anteriores decrecen de izquierda a derecha al aumentar el exponente y manteniendo fija la base que es positiva pero menor a 1. Para el caso 3 y 4, 0 < a < b. Sean a = 0,1 y b = 0,2. 1

1

0,1 2 ≈ 0,3162 < 0,4472 ≈ 0,2 2 . 0,13 = 0,001 < 0,008 = 0,23. 0,15 = 0,00001 < 0,00032 = 0,25 . 0,1−3 = 1.000 > 125 = 0,2−3 . 1

1

0,1− 2 ≈ 3,1623 > 2,2361 ≈ 0,2− 2 . Las tres primeras desigualdades dejan ver que cuando 0 < x, las potencias ax y bx conservan el sentido de la desigualdad entre a y b (ax < bx si a < b). Las tres u ´ltimas permiten ver que este sentido se invierte cuando x x x < 0 (a > b si a < b). Podr´ıa preguntarse el estudiante cu´al puede ser el inter´es e importancia de extender el concepto de potencia con exponente entero, cuyo significado intuitivo es m´as o menos claro y que en t´erminos generales puede interpretarse como una notaci´on abreviada de la multiplicaci´on, al concepto de

Exponenciaci´on y logaritmaci´on

211

potencia con exponente real cuyo significado aparece bastante abstracto y elusivo. En t´erminos generales, podr´ıa decirse que las razones son las mismas que llevaron a los matem´aticos a construir sucesivamente modelos de sistemas num´ericos m´as amplios a partir del concepto primitivo de n´ umero natural. De un lado necesidades inherentes al desarrollo formal del c´alculo matem´atico y de otro e ´ıntimamente unidas con aquellas necesidades del mundo f´ısico. El siguiente ejemplo ayuda a ilustrar este punto de vista. 3.3.11 Ejemplo Supongamos que la poblaci´on de un pa´ıs crece al 2 % anual. En una fecha determinada la poblaci´on es de P0 habitantes. Se quiere calcular la poblaci´on de dicho pa´ıs al cabo de un n´ umero de a˜ nos determinado. Si llamamos Pk la poblaci´on del pa´ıs al cabo del a˜ no k, se puede escribir, P1 = P0 + P0 × 0,02 = P0 × 1,02.

Poblaci´on al cabo del primer a˜ no. 2 P2 = P1 + P1 × 0,02 = P1 × 1,02 = P0 × 1,02 . Poblaci´on al cabo del segundo a˜ no. P3 = P2 + P2 × 0,02 = P2 × 1,02 = P0 × 1,023 . Poblaci´on al cabo del tercer a˜ no. Siguiendo esta ley de formaci´on se tiene que la poblaci´on del pa´ıs al cabo del a˜ no k se puede calcular de la siguiente manera: Pk = Pk−1 + Pk−1 × 0,02 = Pk × 1,02 = P0 × 1,02k .

F´ormula que en realidad se puede demostrar formalmente por inducci´on. Aunque de gran utilidad, la f´ormula que hemos deducido s´olo puede aplicarse para un n´ umero entero de a˜ nos. Si el crecimiento de la poblaci´on se considera un proceso continuo tiene sentido preguntarse por la poblaci´on del pa´ıs al cabo de cualquier per´ıodo de tiempo que vendr´ıa a expresarse por un n´ umero real t. La definici´on de potencias con exponente real viene a dar la salida a este problema de c´alculo. Si el modelo de crecimiento se considera el mismo en todos los per´ıodos la f´ormula anterior puede transformarse en Pt = 1,02t P0 , donde t es cualquier n´ umero real positivo que se interpreta como tiempo medido en a˜ nos, transcurrido desde la fecha en que la poblaci´on del pa´ıs era P0 y Pt representa la poblaci´on del pa´ıs al t´ermino de dicho per´ıodo.

212

Operaciones con n´ umeros reales y n´ umeros complejos

Logaritmos El teorema 3.3.3 y los ejemplos con que hemos tratado de ilustrar su significado permiten sacar conclusiones sobre el comportamiento de ax cuando x var´ıa. Cuando 1 < a y x crece ax tambi´en crece, llegando a tomar valores tan grandes como se quiera si los x se toman suficientemente grandes. Se suele decir ✭✭ax tiende a infinito cuando x tiende a infinito✮✮. Cuando x decrece tomando valores negativos ax decrece y sus valores se aproximan al valor 0. Se dice entonces que ✭✭ax tiende a 0 cuando x tiende a infinito negativo✮✮. Algo similar ocurre cuando 0 < a < 1, pero el sentido de la variaci´on de x a es diferente. En este caso, cuando x toma valores cada vez m´as grandes y positivos, ax decrece tomando valores positivos que se van aproximando a 0, y cuando x decrece tomando valores negativos cada vez menores y sin l´ımite inferior, ax crece tomando valores positivos arbitrariamente grandes. Se dice entonces que ✭✭ax tiende a 0 cuando x tiende a infinito✮✮ y que ✭✭ax tiende a infinito cuando x tiende a infinito negativo✮✮. El hecho fundamental, que se puede demostrar matem´aticamente, es que al variar x en R, ax recorre todos los n´ umeros reales positivos, de suerte que dado un n´ umero positivo mayor o menor que 1, la ley de correspondencia que a cada n´ umero real x asigna el n´ umero positivo ax define una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto de los n´ umeros reales R y el + conjunto de los reales positivos R . Se puede afirmar, por lo tanto, rec´ıprocamente, que todo n´ umero real positivo b se puede expresar en la forma y b = a , siendo y un n´ umero real u ´nico. Las observaciones anteriores permiten dar la siguiente definici´on. 3.3.12 Definici´ on logaritmo Sean a y b n´ umeros reales positivos con a ̸= 1. De acuerdo con las observaciones anteriores existe un n´ umero real y (y solo uno) tal que y a = b. Este n´ umero se llama ✭✭logaritmo en base a de b✮✮ y se denota con el s´ımbolo: y ≡ loga b. Se puede reescribir, por lo tanto, la igualdad anterior como aloga b = b. Es decir que el ✭✭logaritmo de un n´ umero en una base dada, es el exponente al cual hay que elevar la base para reproducir el n´ umero✮✮.

Exponenciaci´on y logaritmaci´on

213

Cuando a = 10 se habla de logaritmos vulgares o decimales. Cuando a = e los logaritmos se llaman naturales y se escribe ln b en lugar de loge b. 3.3.13

Ejemplo

a) loga 1 = 0, pues a0 = 1, para cualquier base a. b) log0,5 0,25 = 2, pues 0,52 = 0,25. 1 1 c) log3 = −3, pues 3−3 = . 27 27 2 2 d) log10 10 = 2, pues 10 = 102 . e) loga ak = k, pues obviamente ak = ak , para cualquier base a. Expresamos en forma de teorema las propiedades b´asicas de los logaritmos. 3.3.14 Teorema Sean a, x e y n´ umeros reales no negativos y a ̸= 1. Entonces: 1. loga xy = loga x + loga y. 1 = − loga x. x x 3. loga = loga x − loga y. y

2. loga

4. loga xy = y loga x, en este caso ✭✭y ✮✮ puede ser cualquier n´ umero real. Demostraci´ on. Las demostraciones de las propiedades anteriores se reducen a una aplicaci´on directa de la definici´on de logaritmo. 1. aloga x+loga y = aloga x aloga y . = xy.

Propiedades de las potencias. Definici´on del logaritmo.

Puesto que el logaritmo de xy es u ´nico y por definici´on es el n´ umero al cual hay que elevar la base a para obtener xy. Se ha demostrado que este n´ umero es loga x + loga y. Por lo tanto, loga xy = loga x + loga y.

214

Operaciones con n´ umeros reales y n´ umeros complejos

2. 1

1 . x 1 = log x . a a = a− loga x.

aloga x =

loga

1 = − loga x. x

Definici´on de logaritmo. Definici´on de logaritmo. Propiedad de los exponentes. Unicidad del logaritmo de 1/x o correspondencia biun´ıvoca entre potencias y logaritmos.

3. x

x . y aloga x = log y . a a = aloga x−loga y .

aloga y =

loga

x = loga x − loga y. y

Definici´on de logaritmo. Definici´on de logaritmo. Propiedad de las potencias reales. Unicidad del logaritmo de x/y.

4. y

aloga x = xy . !

= a

" loga x y

= ay loga x. loga xy = y loga x.

Definici´on de logaritmo. .

Definici´on de logaritmo. Propiedad de las potencias reales. Unicidad del logaritmo de xy .

3.3.15 Ejemplo Los siguientes ejemplos permiten ilustrar el uso de las reglas anteriores. 1. Calcule log10 (225/16) expres´andolo inicialmente en t´erminos de los factores primos de los n´ umeros involucrados y utilizando finalmente una calculadora dando el resultado final redondeado a

Exponenciaci´on y logaritmaci´on

mil´esimas. 225 52 32 log10 = log10 4 . 16 2

215

Descomposici´on en factores primos. Propiedad 3.

= log10 52 32 − log10 24 .

= log10 52 + log10 32 − log10 24 .

Propiedad 1.

= 1,1480625. = 1,148.

Leyendo de la calculadora. Redondeando a mil´esimas.

= 2 log10 5 + 2 log10 3 − 4 log10 2. Propiedad 4.

@ √ 2. Calcular ln 3 52 56 con un error no mayor de 10−4 empezando por expresar el logaritmo pedido en t´erminos de los logaritmos de los factores primos de los n´ umeros involucrados.

ln

@ 3

52

√

56 =

=

⎛

2 ⎝5 ln⎜

#

7×2

⎛

3

$1

3

2⎟

1 ⎜ 2 ln⎝5 7 × 23 3 #

⎞1 ⎠

$1

.

⎞

2⎟

⎠.

$1 1 1 # 2 3 2 = ln 5 + ln 7 × 2 . 3 3 2 1 1 = ln 5 + ln 7 + ln 2. 3 6 2 = 1,7438505. = 1,7439.

Expresando radicales en forma de potencias y factorizando. Propiedad 4. Propiedad 1. Propiedades 1 y 4. Leyendo de la calculadora. Redondeando a la diezmil´esimas.

3. Escriba la expresi´on: 1 y3 2 loga − 3 loga y + loga x4y 2 , x 2 como un solo logaritmo. ⎛

⎞2

! "1 y3 1 y3 2 loga − 3 loga y + loga x4 y 2 = loga ⎝ ⎠ − loga y 3 + loga x4y 2 2 , x 2 x

216

Operaciones con n´ umeros reales y n´ umeros complejos ⎛

⎞2

"1 y3 ! ⎝ ⎠ x4 y 2 2 x = loga , y3 = loga y 4 .

Logaritmaci´ on como operaci´ on inversa de la exponenciaci´ on Al hablar de la suma y la resta o de la multiplicaci´on y la divisi´on entre reales se dice que son operaciones inversas. El significado de operaci´on inversa se puede explicar de la siguiente manera. Para la suma y la resta. Si a es un n´ umero real y le sumo otro n´ umero real b obtengo a + b. Si a este n´ umero le resto b obtengo (a + b) − b = a, es decir vuelvo a obtener el n´ umero inicial a. Este proceso se puede repetir empezando por restar b de a, para obtener a − b y sumar luego b para obtener (a − b) + b = a. Es decir, la resta es operaci´on inversa de la suma y rec´ıprocamente, la suma es operaci´on inversa de la resta, en el sentido de que la una ✭✭deshace✮✮ lo que hace la otra. Esta interpretaci´on se hace precisamente mediante la siguiente expresi´on anal´ıtica, y

(a + b) − b = a,

(a − b) + b = a.

An´alisis semejante es v´alido para las operaciones de multiplicaci´on y divisi´on cuando se realiza entre reales diferentes de 0. Se puede escribir, y

(a × b) ÷ b = a,

(a ÷ b) × b = a.

Este concepto de operaci´on inversa se puede aplicar tambi´en a la radicaci´on respecto de la potenciaci´on de n´ umeros positivos a un exponente entero positivo dado. As´ı, si 0 < a, y lo elevamos a la potencia n para extraer luego ra´ız n-´esima obtenemos el n´ umero a inicial. Lo mismo ocurre si empezamos extrayendo ra´ız n-´esima y luego elevando a la potencia n-´esima. Estas definiciones se pueden sintetizar simb´olicamente de la siguiente manera: √ n an = a.

Exponenciaci´on y logaritmaci´on

y

! √ "n n

a

217

= a.

Si consideramos la exponenciaci´on (elevar a un exponente arbitrario x una base dada a, en este caso no negativa) y la logaritmaci´on (calcular el logaritmo de un n´ umero x en una base a) como operaciones sobre un n´ umero x, se puede observar que se trata de operaciones inversas, en el sentido dado anteriormente en el que una operaci´on ✭✭deshace✮✮ lo que hace la otra. Se puede escribir, loga ax = x. aloga x = x.

Propiedad 4 del teorema 3.3.4. Definici´on de logaritmo.

Cambios de base El siguiente teorema expresa la manera como el logaritmo de un n´ umero se puede transformar de una base a otra. 3.3.16 Teorema Sean a y b n´ umeros reales positivos y x un n´ umero real positivo, entonces: loga x logb x = . loga b Demostraci´ on. Por la definici´on de logaritmo se puede escribir, x = blogb x . Tomando logaritmos en base a a ambos lados de la igualdad anterior, se tiene: !

Por lo tanto

"

loga x = loga blogb x , = logb x loga b. logb x =

loga x . loga b

218

Operaciones con n´ umeros reales y n´ umeros complejos

3.3.17

Ejemplo √ 1. log7 3 4 se puede expresar en t´erminos de logaritmos de base 10 de la siguiente manera: √ √ log10 3 4 3 log7 4 = . log10 7 La expresi´on de la derecha se puede evaluar con calculadora. Calculando dicho resultado con aproximaci´on a las mil´esimas tendremos,

log7

√ 3

1 log10 4 log10 4 3 4= = ≈ 0,237. log10 7 log10 7 √ 3

2. Calculemos el logaritmo anterior utilizando logaritmos naturales, que tambi´en aparecen incorporados en las calculadoras cient´ıficas, y comparemos resultados. 1 ln 4 √ ln 4 3 3 = ≈ 0,237. log7 4 = ln 7 ln 7 √ 3

Forma de variaci´ on de los logaritmos Utilizando la definici´on de logaritmo y las propiedades que hemos establecido daremos un teorema para logaritmos semejante al teorema 3.3.3. En ´este aparecen logaritmos con base mayor que 1 que son los m´as utilizados. 3.3.18 Teorema Si a, x e y son n´ umeros reales positivos y 1 < a, entonces loga x < loga y si y s´olo si x < y. Demostraci´ on. Por definici´on de logaritmo se tiene, x = aloga x y y = aloga y. Utilizando el teorema 3.3.3, se puede escribir aloga x < aloga y si y s´olo si loga x < loga y.

Exponenciaci´on y logaritmaci´on

219

Es decir: x < y si y s´olo si loga x < loga y. Se puede observar que la demostraci´on anterior se apoya en el teorema 3.3.3 y si el asunto se analiza m´as de cerca, se llega a concluir que ambos teoremas son equivalentes y que la clave de su conexi´on est´a en el hecho de que ✭✭exponenciaci´on✮✮ y ✭✭logaritmaci´on✮✮ son operaciones inversas. Para efectos pr´acticos esto quiere decir que el comportamiento de loga x al variar x se puede deducir del comportamiento de ay al variar y. Consideremos el caso 1 < a. Cuando x crece loga x tambi´en crece, y no es dif´ıcil convencerse (ver ejemplo num´erico) con la ayuda de una calculadora de mano, que loga x puede alcanzar valores tan grandes como se quiera incrementando adecuadamente los valores de x. ¿Qu´e se puede decir de loga x, cuando x se aproxima a 0? Puesto que loga x a = x, para que x tienda a 0 es necesario que el exponente de a tome valores negativos cada vez menores y sin limite. Se dice en este caso que cuando x se aproxima o´ tiende a 0 loga x tiende a infinito negativo. Los siguientes valores num´ericos para logaritmos de base 10 ayudan a visualizar el significado de ´este teorema. log 4 × 10−10 , log 4 × 10−3 , log 4, log 4000, log 4 × 101 0. Calculando en su orden con ayuda de calculadora y redondeando a la unidad fraccionaria m´as cercana de orden 4 se tienen los siguientes resultados: −9,3979 < −2,3979 < 0,6021 < 3,6021 < 10,6021.

Que permite concluir que los logaritmos anteriores se ordenan de menor a mayor de izquierda a derecha a medida que el n´ umero x, al cual se calcula su logaritmo, crece.

Aplicaci´ on a la soluci´ on de ecuaciones En los siguientes ejemplos ilustramos la aplicaci´on de las propiedades de logaritmos y potencias a la soluci´on de ecuaciones. 3.3.19

Ejemplo

1. Calcular los valores de x para los cuales 2−x = 8.

220

Operaciones con n´ umeros reales y n´ umeros complejos

Utilizando logaritmos decimales se puede escribir, log 2−x = log 8, −x log 2 = log 8,

luego,

log 8 log 2 x = −3.

x=−

Este u ´ltimo c´alculo se puede efectuar con la calculadora, o tambi´en mediante el siguiente razonamiento log 23 3 log 2 log 8 =− =− = −3. x=− log 2 log 2 log 2 Utilizando logaritmos en base 2 se puede escribir tambi´en: log2 2−x = log2 8, −x = 3, x = −3. 2. Resolver para x.

42x+3 = 5x−2 .

Utilizando logaritmos decimales, se tiene (2x + 3) log 4 = (x − 2) log 5, 2x log 4 − x log 5 = −2 log 5 − 3 log 4, x (log 42 − log 5) = log 5−2 + log 4−3 , # $ 16 −2 −3 x log = log 5 4 , 5 # $ log 5−2 4−3 . x= 16 log 5

Exponenciaci´on y logaritmaci´on

221

C´ alculo num´ erico con potencias y logaritmos Hacemos, por u ´ltimo, algunas observaciones sobre el c´alculo num´erico con logaritmos y potencias. Al tratar en la pr´actica con mediciones f´ısicas o n´ umeros aproximados involucrando c´alculos con potencias y logaritmos, los resultados obtenidos estar´an tambi´en sujetos a errores. Aplicando los teoremas 3.3.3 y 3.3.4 es posible estimar tales errores. Supongamos que queremos calcular N = log x, donde x = 3,51 ± 0,01. Puesto que el logaritmo en base 10 crece, al crecer x se tiene que el verdadero valor de N puede oscilar entre log 3,50 y log 3,52. Haciendo c´alculos se tiene: 0,544068 ≈ log 3,50 ≤ N ≤ log 3,52 ≈ 0,546543. Se puede observar que log 3,52 − log 3,50 ≈ 0,002475 ≈ 0,0025. Esto implica que la incertidumbre, o posible error a que est´a sujeto este c´alculo, s´olo empieza a afectar en las mil´esimas. Se puede observar tambi´en que log 3,51 ≈ 0,545307 es pr´acticamente el punto medio del intervalo [ log 3,50 , log 3,52 ]. Tiene sentido pr´actico por lo tanto tomar como valor de N este valor medio y como incertidumbre del c´alculo la diferencia positiva con los extremos del intervalo, que puede aproximarse por exceso a 0,0013. Este posible error a que est´a sujeto el c´alculo implica que el valor num´erico de N no debe tener m´as de 3 o en el mejor de los casos 4 cifras decimales. Se podr´ıa escribir, por lo tanto, que N = log(3,51 ± 0,01) = 0,5453 ± 0,0013, o tambi´en perdiendo un poco de precisi´on, que: N = log(3,51 ± 0,01) = 0,545 ± 0,002. Es interesante observar que, en t´erminos absolutos, el posible error a que est´a sujeto el c´alculo de N es menor que el posible error de x y que en t´erminos relativos, ambos errores son pr´acticamente iguales. Es decir, que la operaci´on ✭✭logaritmo✮✮ no incrementa o propaga el error. Consideremos ahora el caso de la expresi´on N = y = ax , donde tanto x como a est´an sujetos a errores o aproximaciones. Supongamos, por ejemplo, que a = 3,40 ± 0,01 y x = 2,2 ± 0,1. Por las propiedades de las potencias con exponente real, consignadas en el teorema 3.3.3 se puede afirmar que el valor exacto de y est´a entre 3,392,1 y 3,412,3 . Haciendo c´alculos se tiene: 12,9843 ≈ 3,392,1 ≤ y ≤ 3,412,3 ≈ 16,8010.

222

Operaciones con n´ umeros reales y n´ umeros complejos

Se puede proceder como en el ejemplo anterior, para calcular tanto el valor asignado y (promedio de valores extremos) como el error posible a que est´a sujeto el c´alculo (diferencia con valores extremos). Para determinar el n´ umero de cifras que debe tener N debe observarse que 3,412,3 − 3,392,1 ≈ 3,8167 ≈ 4. O sea que el posible error de c´alculo afecta las unidades enteras y, por lo tanto, no tiene sentido expresar a N con fracci´on decimal. Se puede escribir, consecuentemente: y = (3,40 ± 0,01)2,2±0,1 = 15 ± 2. Como se puede ver el error que afecta el c´alculo y es bastante grande, incluso en t´erminos relativos, si se compara con los errores que afectan la base a y al exponente x. Es decir errores peque˜ nos en ´estos tienen un impacto fuerte en el error que afecta a y.

Ejercicios 3.3 De los ejercicios 1 al 15, responda verdadero ´o falso justificando su respuesta. 1. Sea x ∈ R. √ a) Si x2 = 2 entonces x = 2. c) Si xn = a entonces x = n a. b) Si x3 = −64 entonces x = −4. 2. Sea a ∈ R, entonces: √ a) n an = |a|.

!

b) an

"1

n

= a.

3. Para cualquier par de n´ umeros reales a y b se tiene que: √ 1 1 1 a) 2 a2 + b 2 = a + b. c) (ab) 2 = a 2 − b 2 . √ √ √ b) 3 ab = 3 a 3 b. 3

6

1

4. 18 4 = 18 8 .

2

5. (−16) 3 = (−16) 6 .

6. Sean a y x n´ umeros reales y 0 < a, entonces: #

ax − a−x

$2

= a2x − a−2x .

Exponenciaci´on y logaritmaci´on √

7. 2

3

8. log2

223

= sup{21 , 21,7 , 21,73, 21,732, . . .}. √ 3

9 + log2 4 + log6 8 =

421 . 100

1 −→ 2x < 1. x 2 1 −→ log4 x < 1. 10. Sea x ∈ R+ , 1 < log4 x 9. Sea x ∈ R, 1
=

>

x2 − x − 2 = x + (1) x + (−2) = (x + 1)(x − 2).

5. Factoricemos el polinomio en x de grado dos 3x2 + 5x − 2. Escribiendo " > 1= 3! 2 3x + 5x − 2 = (3x)2 + (15x) − 6 , 3x2 + 5x − 2 = 3 3 y procediendo como en el ejemplo anterior, se tiene > >= > 1= 1= (3x)2 + (3x)5 − 6 = (3x) + α (3x) + β , 3 3

Expresiones variables y factorizaci´on

265

donde los n´ umeros α y β son tales que α + β = 5 y αβ = −6. Experimentando se encuentra que α = 6 y β = −1. Consecuentemente, >= > 1= (3x) + 6 (3x) − 1 , 3 ! "! " = x + 2 3x − 1 .

3x2 + 5x − 2 =

6. Factoricemos el polinomio x2 + 3xy + 2y 2 . Considerando la anterior expresi´on como el polinomio en x de grado dos x2 + bx + c, donde b = 3y y c = 2y 2 , y procediendo como en los ejemplos anteriores, se tiene x2 + (3y)x + (2y 2 ) = (x + α)(x + β), donde α y β son tales que α + β = 3y y αβ = 2y 2 . Sin mucha dificultad se encuentra que α = 2y y β = y. En consecuencia =

>=

>

x2 + 3xy + 2y 2 = x + 2y x + (y) , = (x + 2y)(x + y). 7. Factoricemos el polinomio en x de grado dos x2 + 2x + 2. Si seguimos el esquema de los ejemplos anteriores, se tiene x2 + 2x + 2 = (x + α)(x + β), donde los n´ umeros α y β son tales que α + β = 2 y αβ = 2. Esta vez ensayando es en realidad muy dif´ıcil encontrar dichos n´ umeros. En particular, podemos concluir que α y β no son n´ umeros enteros. Para factorizar el polinomio en consideraci´on, escribimos x2 + 2x + 2 = x2 + 4x + 1 − 1 + 2, (sumamos y restamos 1) con el objeto de completar un cuadrado perfecto. As´ı: x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1.

´ Algebra

266

La t´ecnica del ejemplo anterior se puede generalizar para factorizar cualquier polinomio de grado dos en x, ax2 + bx + c; a ̸= 0. Para ello escribimos ⎡

⎛ ⎞

⎡

⎛ ⎞

⎤

c b ax2 + bx + c = a⎣x2 + ⎝ ⎠x + ⎦, a a ⎛

⎞2

⎛

⎞2

⎞2

⎛

⎤

b c b b = a⎣x2 + ⎝ ⎠x + ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ + ⎦, a 2a 2a a ⎡⎛

⎞2

⎡⎛

⎞2

⎡⎛

⎞2

⎛

⎡⎛ a⎢⎣⎝x

⎞2

!@

⎤

b c b = a⎣⎝x + ⎠ − ⎝ ⎠ + ⎦, 2a 2a a ⎤

b⎠ b2 4ac ⎝ ⎣ =a x+ − 2 + 2 ⎦, 2a 4a 4a

⎞⎤

b b2 − 4ac ⎠⎦ = a⎣⎝x + ⎠ − ⎝ , 2a 4a2

= =

⎡⎛ a⎢⎣⎝x ⎡

Esto es

+

b⎠ − 2a ⎞

b + ⎠− 2a

= a⎢⎣x +

b−

@

b2

b2

"2 ⎤

− 4ac 4a2

⎤⎡⎛

@

⎥ ⎦,

⎞

b2 − 4ac ⎥⎢ b⎠ ⎦⎣⎝x + + 2a 2a ⎤⎡

@

b2

@ ⎤

⎤

b2 − 4ac ⎥ ⎦, 2a

b+ − 4ac ⎥⎢ − 4ac ⎥ ⎦⎣x + ⎦. 2a 2a

ax2 + bx + c = a(x + α)(x + β),

a ̸= 0,

(4.13)

donde @

b − b2 − 4ac α= 2a

@

b + b2 − 4ac y β= . 2a

(4.14)

Si analizamos los n´ umeros α y β que aparecen en la f´ormula (4.14) podemos observar que si el n´ umero ∆ = b2 − 4ac, llamado el discriminante del polinomio correspondiente, es menor que cero, entonces tanto α como β son n´ umeros complejos. Si ´este es el caso, decimos que el polinomio no se puede factorizar en los reales. Es decir, si dado el polinomio ax2 + bx + c;

a, b, c ∈ R,

Expresiones variables y factorizaci´on

267

no existen polinomios de grado uno x + α y x + β, donde α ∈ R y β ∈ R, tales que ax2 + bx + c = a(x + α)(x + β), se dice que el polinomio no se puede factorizar en los reales. As´ı por ejemplo, el polinomio x2 + x + 1 no se puede factorizar en los reales. Pues si usamos la formula (4.14), tenemos a = 1, b = 1 y c = 1 y por lo tanto @ √ 1 − 12 − 4 × 1 × 1 1 − 3 i = , α= 2×1 2

y

@ √ 1 + 12 − 4 × 1 × 1 1 + 3 i β= = . 2×1 2

En este caso α y β son n´ umeros complejos. De todas formas, el polinomio dado se puede factorizar en los complejos, usando la formula (4.13) obtenemos ⎡

⎛

x2 + x + 1 = ⎢⎣x + ⎝

1−

√ 2

3

⎞⎤⎡ i ⎠⎥⎢ ⎦⎣x

⎛

+⎝

1+

√ 2

3

⎞⎤ i ⎠⎥ ⎦.

En general, el problema de la factorizaci´on de polinomios no es f´acil y ser´a tratado en forma m´as sistem´atica m´as adelante.

El teorema del binomio Es frecuente encontrar situaciones en las que debemos calcular la potencia n-´esima de la suma de dos n´ umeros a y b, (a + b)n . El teorema del binomio, del cual los productos notables (4.5), (4.6), (4.7) y (4.8) son casos particulares, establece una f´ormula para calcular la expansi´on de (a + b)n . En la presentaci´on que haremos del teorema del binomio requeriremos de los llamados n´ umeros! combinatorios, los cuales se definen en t´erminos " n de los s´ımbolos 0!, n! y k ; como tambi´en de algunas de sus propiedades. Estos s´ımbolos representan n´ umeros que se determinan como se indica a continuaci´on:

´ Algebra

268

4.2.14 Definici´ on n´ umeros combinatorios El factorial de un n´ umero natural se define de manera inductiva: 1. 0! = 1, 0! se lee cero factorial. 2. n! = 1 · 2 · 3 · · · · · (n − 1) · n, n ∈ N. n! se lee n factorial. Dados dos ! " n k como: ⎛ ⎞

n´ umeros naturales n y k, se define el n´ umero combinatorio ⎛ ⎞

n n n! 3. ⎝ ⎠ = , 0 ≤ k ≤ n. ⎝ ⎠ se lee n combinado k. k (n − k)! k! k

Los n´ umeros

⎛ ⎞

n ⎝ ⎠, 0

⎛ ⎞

n ⎝ ⎠, . . . , 1

⎛

⎞

n ⎠ ⎝ , n−1

⎛ ⎞

n n

⎝ ⎠,

se denominan n´ umeros combinatorios de orden n. Seg´ un lo expresado anteriormente se tiene que: 4.2.15

Ejemplo

a) 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

b) 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040.

c)

⎛ ⎞

5 5! 5! 1·2·3·4·5 = = = = 10. 3 (5 − 3)! 3! 2! 3! (1 · 2) · (1 · 2 · 3)

⎝ ⎠

Observaci´ on:De la definici´on del s´ımbolo n! se tiene que: (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · · · · · (n − 1) · n · (n + 1), = [1 · 2 · 3 · · · · · (n − 1) · n] (n + 1), = n! (n + 1), 4.2.16

Ejemplo

a) 8! = (7 + 1)! = 7! 8. b) 13! = (12 + 1)! = 12! 13.

Expresiones variables y factorizaci´on

269

4.2.17 Teorema ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ n n 1. ⎝ ⎠ = 1 = ⎝ ⎠, n ∈ N. n 0 ⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

n n ⎠ 2. ⎝ ⎠ = ⎝ , n, k ∈ N y 0 ≤ k ≤ n. k n−k ⎛

⎞

n n ⎠ ⎝ n + 1⎠ 3. ⎝ ⎠ + ⎝ = n, k ∈ N y 0 ≤ k ≤ n. k k−1 k Haciendo uso de la tercera propiedad de los n´ umeros combinatorios ⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

n ⎠ ⎝n⎠ ⎝n + 1⎠ ⎝ + = , k−1 k k ! "

! "

podemos generar, en forma inductiva, a partir de los n´ umeros 10 y 11 , los n´ umeros combinatorios de orden 2, 3, 4, etc. tal como aparece en el siguiente diagrama triangular ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

4 0

⎝ ⎠

3 0

⎝ ⎠

2 0

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

4 1

⎝ ⎠

1 0

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

3 1

⎝ ⎠

0 0

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

2 1

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

4 2

⎝ ⎠

←− n = 0

⎛ ⎞

1 1

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

3 2

⎝ ⎠

←− n = 1

⎛ ⎞

2 2

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

4 3

⎝ ⎠

←− n = 2

⎛ ⎞

3 3

⎝ ⎠

⎛ ⎞

←− n = 3

4 ←− n = 4 4 .. .

⎝ ⎠

Observe que la propiedad de los n´ umeros combinatorios mencionada anteriormente se refleja en el anterior tri´angulo en el hecho de que cada n´ umero que aparece en ´este se obtiene sumando los dos n´ umeros que aparecen inmediatamente sobre ´el, excepto est´an sobre los lados del " ! " los! que n n tri´angulo que son! siempre iguales a 0 y n respectivamente. En parti" 4 cular, el n´ umero 2 que aparece en la fila cuarta se obtiene sumando los

´ Algebra

270

n´ umeros

! " 3 1

y

! " 3 2

! "

los cuales son los que aparecen inmediatamente sobre ´el: ⎛ ⎞

! "

⎛ ⎞

3 3 ⎝ ⎠+⎝ ⎠= 1 2 ⎛ ⎞ 4 ⎝ ⎠. 2

Puesto que n0 = 1 = nn para todo n = 0, 1, 2, . . ., calculando los n´ umeros del anterior tri´angulo, haciendo uso de su ley de formaci´on, obtenemos: ←− n = 0 1 1 ←− n = 1 1 2 1 ←− n = 2 1 3 3 1 ←− n = 3 1 4 6 4 1 ←− n = 4 .. . 1

En este arreglo triangular de n´ umeros tambi´en se refleja la propiedad de los n´ umeros combinatorios ⎛ ⎞

⎛

⎞

n n ⎠ ⎝ ⎠=⎝ , k n−k

pues el tri´angulo es ✭✭sim´etrico✮✮ respecto de su ✭✭altura✮✮. Tambi´en se observa que hay n + 1 n´ umeros combinatorios de orden n, pues en la fila n-´esima del tri´angulo aparecen n + 1 n´ umeros.

Los n´ umeros combinatorios y el teorema del binomio Volviendo al problema que nos ocupa, de encontrar una f´ormula para calcular la expansi´on de (a + b)n , un c´alculo directo nos muestra que: (a + b)0 = (a + b)1 = (a + b)2 = (a + b)3 =

←− n = 0

1 1a2

1a

+

1b

+

2ab

+

1b2

1a3 + 3a2 b + 3ab2 + 1b3

←− n = 1

←− n = 2

←− n = 3

(a + b)4 = 1a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + 1b4 ←− n = 4 .. .

Expresiones variables y factorizaci´on

271

El matem´atico franc´es B. Pascal observ´o que los coeficientes que aparecen en las expansiones de (a + b)n tienen cierta ley de formaci´on y los dispuso como se indica en el siguiente esquema, denominado el tri´angulo de Pascal. ←− n = 0 1 1 ←− n = 1 1 2 1 ←− n = 2 1 3 3 1 ←− n = 3 1 4 6 4 1 ←− n = 4 .. . 1

Este tri´angulo es precisamente el tri´angulo que obtuvimos al generar los n´ umeros combinatorios y tiene las mismas caracter´ısticas de ´este. Por lo tanto, podemos escribir ! " 0 0

(a + b)0 = ! " 1 0 a

(a + b)1 = (a + b)2 = (a + b)3 = (a + b)4 = .. .

! " 4 4 0 a

! " 3 3 a 0

+

! " 2 2 0 a

+

! " 4 3 1 a b

+

! " 3 2 ab 1

+

+

! " 2 1 ab

+

! " 4 2 2 2 a b

! " 1 1 b

+

! " 3 ab2 2

+

! " 2 2 2 b

+

! " 4 3 3 ab

! " 3 3 b 3

+

! " 4 4 4 b

En general, el teorema del binomio establece que si a y b son n´ umeros y n ∈ N, entonces n

(a + b) =

O P

O P

O P

O P

O P

n n 0 n n−1 1 n n−2 2 n n−k k n 0 n a b + a b + a b + ··· + a b + ··· + a b , 0 1 2 k n

o lo que es lo mismo, (a + b)n =

n H

k=0

⎛ ⎞

n ⎝ ⎠an−k bk . k

Debe observarse que la expansi´on de (a + b)n tiene n + 1 sumandos, los cuales se pueden ordenar as´ı: ⎛ ⎞

n ⎝ ⎠an b0 , 0

⎛ ⎞

n ⎝ ⎠an−1 b, 1

⎛ ⎞

n ⎝ ⎠an−2 b2 , . . . , 2

⎛ ⎞

n ⎝ ⎠a0 bn . n

´ Algebra

272

Consecuentemente, podemos decir que el t´ermino k + 1 de la expansi´on de (a + b)n es ⎛ ⎞ n ⎝ ⎠an−k bk . k

As´ı por ejemplo, la expansi´on de (a + b)20 tiene 21 sumandos y el t´ermino 17 est´a dado por ⎛

⎞

20 20! ⎝ ⎠a20−16 b16 = a20−16b16 , (20 − 16)! 16! 16 20! 4 16 ab , 4! 16! = 4845a4 b16.

=

4.2.18 Ejemplo Como un ejemplo de la aplicaci´on del teorema del binomio, hagamos la expansi´on de (x2 + y −3 )4 , y ̸= 0. !

x2 + y −3

"4

=

4 H

k=0

⎛ ⎞ 4 ! "4−k ! −3 "k ⎝ ⎠ x2 y ,

k

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

4 ! "4 ! "0 4 ! "3 ! "1 4 ! "2 ! "2 = ⎝ ⎠ x2 y −3 + ⎝ ⎠ x2 y −3 + ⎝ ⎠ x2 y −3 0 1 2 ⎛ ⎞

⎛ ⎞

4 ! "1 ! "3 4 ! "0 ! "4 + ⎝ ⎠ x2 y −3 + ⎝ ⎠ x2 y −3 , 3 4 ⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

4 4 4 4 4 = ⎝ ⎠x8 + ⎝ ⎠x6 y −3 + ⎝ ⎠x4 y −6 + ⎝ ⎠x2 y −9 + ⎝ ⎠y −12 y −12 0 1 2 3 4 ⎛ ⎞

+⎝

5⎠ −15 y , 5

= x8 + 4x6 y −3 + 6x4 y −6 + 4x2 y −9 + y −12 x2 y −12 + y −15 .

Operaciones con expresiones racionales y variables en general Puesto que las expresiones fraccionarias son cocientes que contienen s´ımbolos que representan n´ umeros, pueden aplicarse las propiedades de las fracciones reales que se vieron en el cap´ıtulo 2. En problemas de simplificaci´on

Expresiones variables y factorizaci´on

273

es de particular importancia la siguiente formula, ya vista en el cap´ıtulo 2. ad a = , bd b donde a, b y d representan n´ umeros con b ̸= 0 y d ̸= 0. Esta regla se enuncia a veces as´ı: un factor com´ un no nulo en el numerador y en el denominador puede ser cancelado en el cociente. Para usar esta propiedad en expresiones fraccionarias se factoriza el numerador y el denominador de la expresi´on y se cancelan los factores comunes que aparezcan en el numerador y en el denominador. Por ejemplo, consideremos la siguiente expresi´on racional en y 3y 2 − 5y − 2 . y2 + y − 6

Factorizando el numerador y el denominador y cancelando los factores comunes obtenemos 3y 2 − 5y − 2 (3y + 1)(y − 2) 3y + 1 = = . y2 + y − 6 (y + 3)(y − 2) y+3 En este ejemplo se cancel´o el factor com´ un (y − 2). Es decir, dividimos numerador y denominador por y − 2. Esta simplificaci´on es v´alida u ´nicamente si y − 2 ̸= 0, o sea, si y ̸= 2. Por lo tanto 2 no est´a en el dominio de la u ´ltima expresi´on pues en caso contrario el denominador de la expresi´on original se anular´ıa cuando se sustituya y por 2. Estas restricciones se dar´an por sentadas cuando se simplifiquen expresiones fraccionarias. Simplifiquemos ahora la expresi´on fraccionaria sen4 x − 1 . sen2 x + 1 Factorizando el numerador y cancelando factores comunes, se llega a sen4 x − 1 (sen2 x − 1)(sen2 x + 1) = = sen2 x − 1. 2 2 sen x + 1 sen x + 1 Usando la identidad trigonom´etrica sen2 x + cos2 x = 1, se puede escribir sen4 x − 1 = − cos2 x. 2 sen x + 1 La multiplicaci´on y la divisi´on de expresiones fraccionarias se efect´ uan haciendo uso de las reglas para la multiplicaci´on y divisi´on de fracciones

´ Algebra

274

reales. La fracci´on obtenida se simplifica como ya se ha explicado. Recordemos que a c ac × = . b d bd Como un ejemplo efectuemos la siguiente multiplicaci´on entre dos expresiones racionales. ⎞⎛

⎛

⎞

x2 − 6x + 9 ⎠⎝ 2x − 2 ⎠ (x2 − 6x + 9)(2x − 2) ⎝ = , x2 − 1 x−3 (x2 − 1)(x − 3) "2

!

x − 3 2 (x − 1) , = (x − 1)(x + 1)(x − 3) 2(x − 3) . (x + 1)

=

Ilustremos ahora la divisi´on de expresiones fraccionarias efectuando la operaci´on ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 x + 2 x − 4 ⎝ ⎠÷⎝ ⎠. 2x − 3 2x2 − 3x Recordemos que: a d a c ÷ = × . b d b c Entonces: ⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞⎛

⎞

x + 2 ⎠ ⎝ x2 − 4 ⎠ ⎝ x + 2 ⎠⎝ 2x2 − 3x ⎠ ⎝ ÷ = , 2x − 3 2x2 − 3x 2x − 3 x2 − 4

x + 2 2x2 − 3x · , 2x − 3 x2 − 4 (x + 2) x (2x − 3) = , (2x − 3)(x − 2)(x + 2) x . = x−2 =

Veamos este otro ejemplo: ⎛

⎞

⎛

!

⎞

"

x2 + 3yx − 10y 2 (x − 2y) x2 + 3yx − 10y 2 ⎠ ⎝ x2 − x + 1 ⎠ ⎝ ÷ = , x+1 x − 2y (x + 1)(x2 − x + 1) =

(x − 2y)(x + 5y)(x − 2y) , (x + 1)(x2 − x + 1)

Expresiones variables y factorizaci´on

=

275

(x − 2y)2 (x + 5y) . x3 + 1

Para sumar o restar dos expresiones fraccionarias, se recomienda encontrar un denominador com´ un y aplicar las siguientes reglas: a+c a c + = d d d

y

a c a−c − = . d d d

Si los denominadores son diferentes, se puede obtener un denominador com´ un, multiplicando el numerador y el denominador de cada una de las fracciones dadas por expresiones apropiadas. Para ello se busca el m´ınimo com´ un denominador de las dos fracciones. El m´ınimo com´ un denominador se puede encontrar, mediante la factorizaci´on de cada denominador y luego multiplicando los factores distintos usando el mayor exponente que aparezca en cada factor. Ilustramos el m´etodo efectuando la siguiente operaci´on y simplificando el resultado: 7 11 + , 24 18 Las factorizaciones primas de los denominadores son: 24 = 23 ·3 y 18 = 2·32. Para encontrar el m´ınimo com´ un denominador hacemos el producto de los diferentes factores primos, usando el mayor exponente asociado con cada factor. En este caso el m´ınimo com´ un denominador es 23 · 32 = 72. Escribiendo cada fracci´on con denominador 72 y usando una de las reglas dadas antes, se tiene: 11 7 11 · 3 7·4 + = + , 24 18 24 · 3 18 · 4 33 28 = + , 72 72 33 + 28 = , 72 61 = . 72 Otra alternativa es usar las siguientes reglas para la suma y diferencia de fracciones ad + cb a c + = b d bd

y

a c ad − cb − = . b d bd

´ Algebra

276

El m´etodo para encontrar el m´ınimo com´ un denominador para expresiones fraccionarias es an´alogo al ilustrado en el ejemplo num´erico. Como un ejemplo efectuemos la siguiente suma y simplifiquemos la respuesta. x 7x − 2 + . x2 + 6x + 9 x2 + 2x − 3 Factorizando los denominadores, se obtiene que x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 y x2 + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1). Observe que el m´ınimo com´ un denominador 2 es (x + 3) (x − 1). Multiplicando el numerador y el denominador de la primera fracci´on por (x − 1) y los de la segunda por (x + 3), y sumando se obtiene x2

x 7x − 2 x 7x − 2 + 2 = + , 2 + 6x + 9 x + 2x − 3 (x + 3) (x + 3)(x − 1) = = =

x(x + 3) (7x − 2)(x − 1) + , (x + 3)2 (x − 1) (x + 3)(x − 1)(x + 3) (7x − 2)(x − 1) + x(x + 3) , (x + 3)2 (x − 1)

8x2 − 6x + 2 . (x + 3)2 (x − 1)

Cuando los denominadores no son muy dif´ıciles de factorizar se recomienda calcular el m´ınimo com´ un denominador. Los siguientes ejemplos ilustran otros aspectos sobre las operaciones entre expresiones fraccionarias. 4.2.19

Ejemplo

1. Efect´ ue y simplifique: √

3 2 − . x−1 x−1

Factorizando √ el denominador de la segunda expresi´on, se obtiene √ que x − 1 = ( x − 1)( x + 1). √ √ Ya que el m´ınimo com´ un denominador es ( x−1)( x+1), multiplicamos el numerador y el denominador de la primera expresi´on

Expresiones variables y factorizaci´on

por

√

277

x + 1, se resta y se obtiene √

3 2 = − x−1 x−1 = = =

" !√ 3 x+1 1 !√ "!√ " − , x−1 x−1 x+1 √ 3 x+3 1 − , x−1 x−1 √ 3 x+3−2 , x−1 √ 3 x+1 . x−1

En algunos casos es necesario simplificar cocientes antes de efectuar las operaciones, como se ilustra en los siguientes ejemplos. 2. Efect´ ue y simplifique: 6 1 x+3+ x . 9 1 x− 3− x x

1−

Empezamos simplificando cada una de las expresiones, as´ı: 6 (x + 3) − 6 x−3 x+3= x+3 = x2 + 3 , 2 9 x −9 x −9 x− x x x x−3 x x(x − 3) = · 2 = , x + 3 x − 9 (x + 3)(x − 3)(x + 3) x x = = , (x + 3)(x + 3) (x + 3)2

1−

y 1 1 x =1· x = . = 3x − 1 x 3x − 1 3x − 1 1 3− x x 1 x

´ Algebra

278

Ahora escribimos x 1 x(3x − 1) (x + 3)2 + = + , (x + 3)2 3x − 1 (x + 3)2 (3x − 1) (x + 3)2 (3x − 1) x(3x − 1) + (x + 3)2 , = (x + 3)2 (3x − 1)

=

4x2 + 5x + 9 . (x + 3)2 (3x − 1)

3. Efect´ ue y simplifique: x

√

2−

3x2

x3 2 − 3x2 + 2

−√

2 − 3x

x3 !

2−

3x2

"3 . 2

Simplificando el numerador de la primera expresi´on, se llega a √ √ 3 2 √ 2 − 3x 2 − 3x2 − x3 x x 2 √ x 2 − 3x − √ = , 2 − 3x2 2 − 3x2 =

x(2 − 3x2 ) − x3 √ , 2 − 3x2

2x − 4x3 √ = . 2 − 3x2

De aqu´ı que la primera expresi´on es igual a 2x − 4x2 √ 3 2x − 4x3 2 − 3x2 = √ 2x − 4x =! "3 . 2 − 3x2 2 − 3x2 (2 − 3x2) 2 2 − 3x 2 Por tanto la suma pedida es 2x − 4x3

!

2 − 3x2

"3 2

+

x3 !

2 − 3x2

"3 2

=

2x − 3x3

!

2 − 3x2

"3 . 2

Expresiones variables y factorizaci´on

279

Racionalizaci´on de denominadores En algunos casos los denominadores de ciertas expresiones fraccionarias contienen sumas o restas que incluyen radicales y pueden ser racionalizadas, es decir , podemos encontrar otra expresi´on fraccionaria equivalente a la dada cuyo denominador no contenga radicales. En este proceso de racionalizaci´on es importante tener presentes los productos notables. Ilustramos esto con algunos ejemplos. Veamos primero un ejemplo num´erico en el que usamos el producto notable. !√ √ " 7 + 6 5 5 √ √ = !√ √ "!√ √ ", 7− 6 7− 6 7+ 6 !√ √ " 5 7+ 6 = !√ "2 !√ "2 , 7 − 6 !√ √ " 5 7+ 6 , = 7−6 !√ √ " =5 7+ 6 .

Obs´ervese que el mismo procedimiento se puede emplear para racionalizar la siguiente expresi´on fraccionaria: !√ " √ 3y 2x + 2 − 2x − 1 3y "!√ ", √ √ √ √ = !√ 2x + 2 + 2x − 1 2x + 2 + 2x − 1 2x + 2 − 2x − 1 !√ " √ 3y 2x + 2 − 2x − 1 = !√ "2 !√ "2 , 2x + 2 − 2x − 1 " !√ √ 3y 2x + 2 − 2x − 1 , = (2x + 2) − (2x − 1) !√ " √ 3y 2x + 2 − 2x − 1 , = 3 !√ " √ = y 2x + 2 − 2x − 1 . En este ejemplo usaremos el producto notable (4.11). = √ > √ 2 1 − 3 x + ( 3 x)2 2 √ = √ √ >, √ = 1 + 3 x (1 + 3 x) 12 − 3 x + ( 3 x)2

´ Algebra

280

= √ > √ 2 1 − 3 x + ( 3 x)2 √ = , 13 + ( 3 x)3 = √ > √ 2 1 − 3 x + ( 3 x)2 . = 1+x

Por u ´ltimo, queremos hacer notar que con frecuencia hay que hacer uso de las leyes de los exponentes en la simplificaci´on de resultados, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Para efectuar y simplificar la suma: !√

a−

"3 √ 2a2 √ b + √ +b b 3 ab − 3b a √ . + √ a−b a a+b b

√

Se escriben las expresiones con exponentes fraccionarios, as´ı: #

1 2

a −b

1 2

$3

3

3

!

+ 2a 2 + b 2

3

1

"

1

3 a2 b2 − b + . a−b

3

a2 + b2

El numerador de la primera expresi´on es igual a #

1 2

a −b

1 2

$3

3 2

3 2

+ 2a + b =

⎡ # $3 1 ⎣ a2

#

−3 a

3

1 2

$2 #

b

1 2

$

#

+3 a

1 2

$#

b

1 2

$2

#

− b

3

+ 2a 2 + b 2 , 3

1

1

3

3

3

= a 2 − 3ab 2 + 3a 2 b − b 2 + 2a 2 + b 2 , 3

1

1!

1

1

= 3a 2 − 3ab 2 + 3a 2 b, "

1

= 3a 2 a − a 2 b 2 + b , Y el de la segunda es igual a: #

1 2

1 2

$

3 a b − b = 3b

1 2

#

1 2

a −b

1 2

$

.

Factorizando los denominadores de las dos expresiones, se obtiene: 3 2

3 2

#

a +b = a #

1 2

1 2

$3

= a +

#

+ b

1 2

$3

,

⎡ $ # $2 1 1 b2 ⎣ a2

1 2

1 2

#

−a b + b

1 2

$2

⎤

⎦,

1 2

$3

⎤ ⎦

Expresiones variables y factorizaci´on #

1 2

= a +b y #

a−b= a

1 2

$2

#

1 2

− b

$#

1 2

1 2

281

$

1 2

a−a b +b ,

$2

#

1 2

= a +b

1 2

$#

1 2

a −b

1 2

$

.

Por tanto la suma pedida se obtiene as´ı: 1

#

#

1

1

$

3a 2 a − a 2 b 2 + b 1

1

a2 + b2

$#

1

1

1

$

a − a2 b2 + b

+

#

#

1

1

3 b2 a2 − b2 1

1

a2 + b2

$#

1

$

1

1

a2 − b2

$

1

3 a2 3 b2 = 1 1 + 1 , 1 a2 + b2 a2 + b2 1

1

3 a2 + 3 b2 = , 1 1 a2 + b2 =

#

1 2

3 a +b #

1

1 2

1

a2 + b2

= 3.

$

$

,

Ejercicios 4.2 1. Responda verdadero o falso justificando su respuesta. a) Las expresiones a (b + c) = ab + ac, a, b, c ∈ R, y a (b + c) = ab + ac, a, b ∈ R. Expresan lo mismo. b) Dada la expresi´on variable √ a (z − 1) x log(x + 4) 8z 3 + 1 √ √ + + 3 . |x| − 8 z − 27 3x − 5 + x − 3 i. ii. iii. iv. v. vi. vii.

El El El El El El El

n´ umero n´ umero n´ umero n´ umero n´ umero n´ umero n´ umero

3 est´a en el dominio de la variable x. 2 est´a en el dominio de la variable x. 8 est´a en el dominio de la variable x. −4 est´a en el dominio de la variable x. −2 est´a en el dominio de la variable x. 3 est´a en el dominio de la variable z. −3 est´a en el dominio de la variable z.

´ Algebra

282

viii. El n´ umero 1 est´a en el dominio de la variable z. c) Los siguientes pares de expresiones variables son equivalentes. i. (x + y)2 y x2 + 2xy + y 2 . ii. x3 + y 3 y (x + y)(x2 − xy + y 2 ). iii. (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn) y 1 − xn+1 . √ √ iv. (x − x)(x + x) y x(x − 1); 0 < x. (x + 4)(x − 2) x2 − 4 y , x ̸= 4 y x ̸= 2. v. x−4 (x − 2) vi. x − y y

#

1 3

x −y

1 3

$#

2 3

1 3

1 3

x +x y +y

2 3

$

.

vii. x2 + 4 xy + 4 y 2 − y 4 y (x + 2 y + y 2 )(x + 2 y − y 2 ). √ √ d) Las expresiones variables 4x − 7 y 4 − x − 3; 3 < x. Son equivalentes, cuando x = 4 se tiene √ √ √ 4x − 7 = 9 = 3 = 4 − 1 = 4 − x − 3. e) El grado del polinomio que resulta de sumar dos polinomios en una variable es la suma de los grados de los polinomios sumandos. f ) El grado del polinomio que resulta de multiplicar dos polinomios en una variable es la suma de los grados de los polinomios factores. !

g) La expansi´on de x2 − x3

"7

tiene 8 sumandos.

h) El tercer t´ermino de la expansi´on de ⎞5

⎛

est´a dado por

3⎠ ⎝2x + , x3 ⎛ ⎞

⎛

⎞2

5 3⎠ ⎝ ⎠ 2x3 ⎝ = 20 x−3 . x3 2

2. Exprese en terminolog´ıa algebraica las siguientes expresiones idiom´aticas. a) Cuatro veces un n´ umero natural arbitrario m´as el n´ umero ra´ız cuadrada de 3 multiplicado por la semisuma del mismo n´ umero natural con seis. b) El producto de cuatro n´ umeros impares consecutivos es igual a cinco veces la suma de los mismos.

Expresiones variables y factorizaci´on

283

c) El ´area de un campo de futbol que tiene quince metros m´as de largo que de ancho es de tresciento metros cuadrados. 3. Consideremos el siguiente pasaje de The Hunting of the Snark por Lewis Carrol. Tomando el n´ umero tres como punto de partida, para poder descubrir otro que yo desconozco, sumo siete y sumo diez y multiplico despu´es por un millar menos ocho. Acto seguido, divido este resultado por novecientos m´as noventa y dos. Luego resto diez y siete y la respuesta ser´a cierta y exacta a perfecci´ on.

Si el punto de partida es cinco, ¿cual ser´a la respuesta exacta y verdadera a la perfecci´on? 4. Suponga que un alambre de quince metros de longitud se corta en tres pedazos. Con uno de ellos se debe formar un tri´angulo equil´atero y con el otro se debe formar una circunferencia. Exprese en terminolog´ıa algebraica la suma de las ´areas encerradas por las dos figuras en t´erminos de la longitud del pedazo de alambre con que se forma el tri´angulo. 5. Se va a fabricar una caja de base cuadrada y sin tapa, con una hoja cuadrada de cuarenta metros de lado, cortando cuadrados iguales de cada esquina de la hoja y doblando los lados. Encuentre la expresi´on variable que da el volumen de la caja en t´erminos de la longitud del lado del cuadrado que se corte. 6. D´e el valor num´erico que toma la expresi´on variable 3x2 +

9 5 yx + ; 4 7

x, y ∈ R.

Cuando asignamos a las variables x e y los valores: a) 0 y 1995 respectivamente. b) 27 y 0 respectivamente. √ √ c) 2 y 2 respectivamente. √ √ d) 2 + 1 y 2 − 1 respectivamente. √ √ e) 3 2 y 2 respectivamente. 7. Clasifique las siguientes expresiones en: algebraicas, mon´omicas, polin´omicas, racionales, trascendentes o fraccionarias.

´ Algebra

284 ⎛

⎞

3 + cos2 x . sen x log(x + 1) + π . f) 4x √ √ g) 3 2x + 7 x − 5 x5 − 9πx7 .

√ π a) 3 x3 + x4 + sen⎝ ⎠x5 . 4 ⎛

e)

⎞

3π b) xz 2w − 7 cos2 ⎝ ⎠xyzw. 4 @

5 x5y 3 − 5y π + . c) 3 √ 53 3 5 x y − 5x π d) + . 3 3

h) cos x + 3 sen 2x − 7 sen2 π cos x. i) 1 + (5 + i)y + (π − i)y 3 .

8. Efect´ ue las operaciones indicadas y exprese el resultado en forma polin´omica. !

"!

!

"!

"

a) 1 + 5x − 2x2 + x3 −2 − 4x + x2 + 2x4 .

b) (y 4 − 4y + y 2 ) + y (y 3 + 5y + 3y − 7). " ! " !√ √ 3 wz − x + 7x2 − 2 + 3 wz + x2 − 4x3 . c) "

d) 1 + w + w3 − 2w4 6 − w2 . !

"!

"

e) zx − x2 + 5x3 x − x4y + 5x3 . =

f ) (x + 1 i) 2x + 3

>=

>

x − (5 + i) x2 .

9. Use los productos notables para efectuar las operaciones indicadas. !

" −1 2

!

a) 2x + 3x . !√ " 3 √ b) x+ y . c) (x + y + z)(x + y − z). #

1 2

g) a − b !

1 5

$#

4 5

3 5

1 5

e) (sen x + cos x)(sen x − cos x). !

2 5

"

"2

f ) x3 + y 3 − z 3 .

2 5

1 5

3 5

a +a b +a b +a b +b

"!

"!

"

d) 1 + x + x2 + x3 + · · · + x7 1 − x .

=

4 5

$

. >=

>

k) z − (3 + i) z − (3 − i) . h) 9zw2 + y 8 9zw2 − y 8 . √ √ i) ( 3 xy + 2)( 3 xy − 5). l) (2 + i)3 + (2 − i)3 . j) (yzy 3 + 2)(45z 3 y 3 − 7zy 2 + 5). 10. Use los productos notables para factorizar: a) x2 − 8.

c) x8 − 32.

b) 27x9 − 64y 6 .

d) (x + y)3 − 64z 9 .

Expresiones variables y factorizaci´on

e) f) g) h)

285

i) 2z 2 + z − 6.

a − b. 4x4y 6 − 25x2y 2 z + 9z 2. x2 − 11x + 18. x2 + 2yx − 15y 2 .

j) cos2 x − 2 cos x − 15. k) sen2 x − 4w sen x − 21z 2.

l) 3ab2x6 − a2 + amx6 − 5am + b2 x6 − 3b2 . m) 32x + 2 · 3x − 40.

n ˜) x2 + 1.

n) z 2 + 4xz + 4x2 − 4x4.

o) 3 + 9x + 9x2 + 3x3.

11. Use productos notables para calcular la suma 1 + 2 + 22 + · · · + 219. 12. Demuestre por inducci´on sobre n que el n´ umero n´ umero natural.

! " n k ;

!

0 ≤ k ≤ n es un

13. Encuentre el quinto t´ermino en la expansi´on de 2a2 +

√

"8

7 .

14. Halle, si existe, el coeficiente de x6 en la expansi´on de [x2 + (1/4)x]11; x ∈ R y x ̸= 0.

15. Halle, si existe, el coeficiente de x6 en la expansi´on de (x2 −x−1 )13; x ∈ R y x ̸= 0. 16. Demuestre que: ⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

5 5 5 5 5 a) 1 + ⎝ ⎠ + ⎝ ⎠ + ⎝ ⎠ + ⎝ ⎠ + ⎝ ⎠ = 25 . 1 2 3 4 5 b)

n H

k=0

c)

n H

⎛ ⎞

n = 2n . k

⎝ ⎠

⎛ ⎞

(−1)k ⎝

k=0

n⎠ = 0. k

17. Sume los cuatro primeros t´erminos del desarrollo de (1 + 0,03)10 . Use luego una calculadora para calcular (1,03)10 y compare sus respuestas. ¿Qu´e puede usted decir acerca de esta comparaci´on? ¿Por qu´e? Estime el error que se comete al escribir (1 + 0,03)10

3 H

⎛

⎞

10 ⎝ ⎠(0,03)k . = k=0 k

18. Efect´ ue las operaciones indicadas y simplifique

´ Algebra

286

5x + 3 2x − 1 + . 5x − 3 2x + 1 5 3 a+6 c) + − 2 . a−3 a+3 a −9

a)

b)

2z + 7 4z + 18 − . z 2 − 5 5z 2 + z + 3

d)

y+8 2y − 4 y+2 − + . 2y 2 + 6 y 2 − 6 − 12 3y 2 − 12y

e)

9 z+3 z+5 − + 2 . z − 9 z − 2 z − 11z + 18

x2 − 3 1 − 2 2+x f) x −1 x− 4+ . 4 x+1 1− x+3 a − 1 a2 + a + 1 · . g) 2 a −1 a3 + 1 z 2 + 2z − 3 z+2 h) ÷ 2 . z−1 z + 3z ⎛√

⎞ √ xw + 4 xw − 4 2 ⎟ ⎝√ ⎠÷ √ +√ i) ⎜ . xw − 4 xw + 4 x2 w 2 − 4 ⎛

⎞

1 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ 2x2 + y 2 2x2 ⎟ ⎜ ⎟ 2x + x ⎜ ⎟ j) ⎜ − · . 1 xy ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2xy

19. Racionalice los denominadores de las siguientes expresiones: √ 1 2+ 7 √ √ . d) √ √ . a) 5 + 7 + 3 3− 7 √ √ 2 2x 3y + 3y 2x √ . b) √ √ e) √ . a + 3b 2y 3x − 3x 2y √ √ 2x + 3y − 2x − 3y 1 √ √ . . c) √ f) 2x + 3y + 2x − 3y 1+ 52

Expresiones variables y factorizaci´on

2 @ . g) √ 5 x + 5 y2

h)

287

4 √ . 5 1 − w2

20. Simplifique la expresi´on @

4a + 1 + 2x2 @

2x + 1 + 2x2 si

6 6M

B 6 C 6

16 a C b6 − D 666, x = 666 26 b a6

,

0 < b < a.

21. Simplifique la expresi´on

2x @ + 1 − 3x2

si

x= 22. Simplifique la expresi´on B C C n D

B C Cm D

@

1 − 3x2 , 2x

@

− m2 − 4 . 2m

3

14 · 3n ; 272n+1 + 33n+1

n ∈ N.

23. Demuestre que si x e y son n´ umeros reales tales que x + y = 4, entonces 2 2 4≤x +y . 24. Un arma dispara un proyectil verticalmente hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 10 metros por segundo.La f´ormula d = 10t − 5t2 expresa la distancia, en metros, dirigida desde el suelo hasta el proyectil cuando han transcurrido t segundos. La f´ormula v = 10 − 15t expresa la velocidad instant´anea, en metros sobre segundo, del proyectil cuando han transcurrido t segundos. Halle: a) La velocidad instant´anea del proyectil cuando ha transcurrido 1 segundo. b) La velocidad instant´anea del proyectil cuando han transcurrido 3 segundos. c) El tiempo que se tarda el proyectil en alcanzar el punto m´as alto. d) La altura m´axima que alcanza el proyectil. e) La velocidad instant´anea del proyectil cuando llega al suelo.

´ Algebra

288

4.3.

Polinomios

Divisi´on de polinomios En esta unidad trabajaremos s´olo con polinomios en una variable. Aunque en la secci´on 4.2.3 hemos escrito algo sobre polinomios, es necesario que empecemos ajustando la terminolog´ıa b´asica que utilizaremos en esta unidad. Para referirnos a polinomios en x escribiremos: p (x), q(x), r(x), etc. Diremos que un polinomio en x, p (x), tiene coeficientes enteros, racionales, reales ´o complejos si todos los coeficientes de p (x) lo son. En los siguientes ejemplos ilustramos esto. Polinomio Variable 3 7 2 + 3x − 5x + 8x x 8 3 − 5w2 + w3 + w5 w 5 3 √ 4 + 7 2 z 2 + 8z 6 z 7 4 + (2 + i)α + 5α3 α √ Indeterminada. 3 2 0

Grado 7

Coeficientes Enteros.

5

Racionales.

6

Reales.

4

Complejos.

0

Reales.

Indeterminada. No se define. Enteros.

Puesto que Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, entonces todo polinomio con coeficientes enteros es tambi´en un polinomio con coeficientes racionales. A la vez, todo polinomio con coeficientes racionales es un polinomio con coeficientes reales, etc. Pero, un polinomio con coeficientes reales no necesariamente es un polinomio con coeficientes racionales ´o enteros. Usaremos el siguiente criterio de igualdad de dos polinomios: dos polinomios en x, p (x) y q(x), son iguales si los coeficientes de p (x) y q(x) correspondientes a la misma potencia de x son iguales. De este criterio se sigue que dos polinomios iguales deben tener igual grado. Por lo tanto, podemos escribir, dos polinomios en x de grado n p (x) = a0 + a1x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 + anxn y q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bn−1 xn−1 + bn xn

Polinomios

289

son iguales, es decir p (x) = q(x), si y s´olo si a0 = b0 , a1 = b1 , a2 = b2 , . . ., an = bn . Observemos que si dos polinomios p (x) y q(x) son iguales, entonces las expresiones variables p (x) y q(x) son equivalentes. Rec´ıprocamente, se puede demostrar que si las expresiones polin´omicas p (x) y q(x) son equivalentes, entonces los polinomios p (x) y q(x) son iguales en el sentido anterior. Dado un polinomio p (x) y un n´ umero c, el valor num´erico que toma la expresi´on polin´omica p (x) al sustituir x por c lo denotaremos por p (c), As´ı por ejemplo, dado el polinomio p (x) = 1 + 2x2 − x3, el valor num´erico que toma la expresi´on polin´omica p (x) al sustituir x por el n´ umero 5 es −74, es decir, p (5) = −74, pues p (5) = 1 + 2 · 52 − 53 = −74. Asimismo, p (1) = 2, pues p (1) = 1 + 2 · 12 − 13 = 2. En particular, dado un polinomio p (x) y un n´ umero c, si se tiene que p (c) = 0, entonces diremos que el n´ umero c es un cero de p (x). Por ejemplo, el n´ umero 2 es un cero del polinomio p (x) = −8 − 10x − x2 + 2x3 + x4 pues p (2) = −8 − 10 · 2 − 22 + 2 · 23 + 24 = 0,

pero el n´ umero 3 no es un cero del polinomio dado, pues

p (3) = −8 − 10 · 3 − 32 + 2 · 33 + 34 = 88. Los polinomios en una variable tienen muchas propiedades algebraicas comunes con los n´ umeros enteros. Haremos notar esto en el desarrollo de esta unidad.

El algoritmo de la divisi´on En el bachillerato vimos que dados dos n´ umeros enteros f y g, existen dos n´ umeros enteros u ´nicos q y r tales que f = g × q + r,

(4.15)

290

´ Algebra

donde 0 ≤ r < g. Esto es, f es m´ ultiplo de g si r = 0 ´o f est´a entre dos m´ ultiplos consecutivos de g si r ̸= 0. El algoritmo para encontrar los n´ umeros q y r, que aparecen en (4.15) es el proceso familiar de la divisi´on que disponemos as´ı: f g r q En este proceso al n´ umero f se le llama dividendo, al n´ umero g divisor, al n´ umero q cociente y al n´ umero r residuo. En particular, dados los n´ umeros f = 19 y g = 7, encontramos que q = 2 y r = 5, 19 7 5 2 En consecuencia, 19 = 7 × 2 + 5.

Se puede mostrar que asimismo dados dos polinomios f (x) y g(x), existen dos polinomios u ´nicos q(x) y r(x) tales que f (x) = g(x) q(x) + r(x),

(4.16)

donde; o bien r(x) = 0 ´o el grado r(x) es menor que el grado de g(x). Similarmente, cuando en (4.16) r(x) = 0, entonces se dice que f (x) es m´ ultiplo de g(x) ´o que g(x) es un factor de f (x). El algoritmo para encontrar los polinomios q(x) y r(x) que aparecen en (4.16) es similar al caso de n´ umeros enteros y los disponemos as´ı: f (x) g(x) r(x) q(x) En este proceso al polinomio f (x) se le llama dividendo, al polinomio g(x) divisor, al polinomio q(x) cociente y al polinomio r(x) residuo. Ilustramos tal proceso con el siguiente ejemplo 4.3.1 Ejemplo Consideremos los polinomios f (x) = −3 + 4x + 15x2 + 2x3 y g(x) = 5 + x, y encontremos los polinomios q(x) y r(x) tales que f (x) = g(x) q(x) + r(x), donde r(x) = 0 ´o grad r(x) < grad g(x). El c´alculo requerido se hace as´ı:

Polinomios

2x3 + 15x2 + 4x −

3

−2x3 − 10x2 5x2 + 4x − 5x2 − 25x − 21x − 3 21x + 105 102

291

x+5 2x2 + 5x − 21

←− r(x).

El estudiante puede verificar que 2x3 + 15x2 + 4x − 3 = (x + 5)(2x2 + 5x − 21) + 102, esto es, f (x) = g(x) q(x) + r(x). Los pasos a seguir en el proceso de la divisi´on de dos polinomios, pueden resumirse as´ı: 1. Escribimos los t´erminos del dividendo y del divisor de izquierda a derecha de acuerdo a las potencias descendentes de la variable, dejando espacio para los t´erminos con coeficiente nulo. 2. Obtenemos el primer t´ermino del cociente dividiendo el t´ermino inicial del dividendo en el t´ermino inicial del divisor. 3. Multiplicamos el divisor por este t´ermino del cociente y restamos el producto del dividendo. 4. Usamos el residuo de esta resta como nuevo dividendo y repetimos los pasos 2 a 4. 5. Cuando el residuo tenga grado menor que el de divisor o sea el polinomio nulo, el proceso ha terminado. Otros ejemplos que ilustran el proceso son los siguientes. 4.3.2 Ejemplo Consideremos los polinomios f (x) = 15+x−2x4 y g(x) = 3x + 2x2 y encontremos los polinomios q(x) y r(x) tales que f (x) = g(x) q(x) + r(x), donde r(x) = 0 ´o grad r(x) < grad g(x).

´ Algebra

292

−2x4

+

x + 15

2x4 + 3 x3

2x2 + 3x − x2 +

3 9 x− 2 4

3 x3 9 − 3 x3 − x2 2 9 − x2 + x 2 9 2 27 x + x 2 4 31 x + 15 4

←− r(x).

Por lo tanto, ⎛

⎞

⎛

⎞

3 9 31 −2x + x + 15 = (2x + 3x)⎝− x + x − ⎠ + ⎝ x + 15⎠, 2 4 4 4

2

2

esto es, f (x) = g(x) q(x) + r(x).

La divisi´on sint´etica (regla de Rufini) La divisi´on sint´etica es un m´etodo simplificado para dividir un polinomio f (x) por un polinomio g(x) de la forma g(x) = (x − c). Para explicar en qu´e consiste el m´etodo, consideremos el caso particular en que f (x) es un polinomio de grado tres, o sea f (x) = a3x3 + a2 x2 + a1 x + a0,

a3 ̸= 0.

Efectuemos la divisi´on f (x) por g(x) usando el algoritmo visto en la secci´on anterior.

Polinomios

a 3 x3 +

a 2 x2 +

3

−a3x +

ca3 x

293

x−c

a1 x + a0

2

(a2 + ca3)x2 + −(a2 + ca3)x2 +

a3x2 + (a2 + ca3 )x +(a1 + ca2 + c 2 a3 )

a1 x 2 (ca2 + c a3 )x (a1 + ca2 + c 2 a3 )x + a0 −(a1 + ca2 + c 2 a3 )x + ca1 + c 2 a 2 + c3 a 3 a0 + ca1 + c 2 a2 + c3 a3

←− r(x).

Se tiene que el cociente es igual a

q(x) = a3 x2 + (a2 + ca3 )x + (a1 + ca2 + c 2a3 ), y el residuo

r(x) = a0 + a1c + a2c 2 + a3c3 .

Observe que el residuo r(x) de tal divisi´on es un n´ umero, que es precisamente f (c), pues r(x) = a0 + a1 c + a2 c 2 + a3 c3 = f (c). Sobre este aspecto volveremos en la siguiente secci´on. Ahora bien; existe una ley de formaci´on de los coeficientes del cociente y del residuo. Para deducirla y facilitar su escritura, denotemos el cociente de la divisi´on por q(x) = b2 x2 + b1 x + b0 y el residuo por r(x) = r. As´ı tenemos que q(x) = b2 x2 + b1 x + b0 = a3x2 + (a2 + ca3)x + (a1 + ca2 + c 2 a3) y

r(x) = r = a0 + a1c + a2 c 2 + a3 c3 .

De esto se sigue que b0 = a1 + ca2 + c 2a3 , b1 = a2 + ca3 y b2 = a3. Lo que permite visualizar la mencionada ley de formaci´on. Con el objeto de agilizar los c´alculos, indicamos dicha ley de formaci´on como aparece en el siguiente diagrama: a3

a2 + ca3

a1 + c (a2 + ca3 )

a0 + (a1 + ca2 + c a3)c 2

a3 a2 + ca3 a1 + ca2 + c 2a3 a0 + a1 c + a2c 2 + a3 c3 = f (c).

×c

´ Algebra

294

Este diagrama nos permite calcular en forma r´apida una de tales divisiones. Ilustramos el m´etodo con el siguiente ejemplo. 4.3.3

Ejemplo

1. Consideremos el polinomio f (x) = x3 −2x2 +2x−3 y efectuemos la divisi´on de f (x) por el polinomio g(x) = (x − 5) usando la divisi´on sint´etica. −2 +5 3

1 1

2 + 15 17

−3 ×5 + 85 82 = f (5).

Consecuentemente f (x) = (x − 5)(x2 + 3x + 17) + 82. Observemos que para el uso correcto de la divisi´on sint´etica debe tenerse en cuenta que, en el diagrama dado antes, escribimos los coeficientes de los t´erminos del dividendo de izquierda a derecha seg´ un las potencias descendentes de la variable, colocando cero para los t´erminos con coeficiente nulo. Los coeficientes del cociente aparecen abajo ordenados de igual forma. El u ´ltimo n´ umero que parece en la parte de abajo es el residuo de la respectiva divisi´on. Adem´as, si el dividendo tiene grado n, entonces, en este caso especial, el cociente tiene grado n − 1. 2. Consideremos el polinomio f (w) = 2w5 − 3w3 + 2w2 + 7, y efectuemos la divisi´on de f (w) entre el polinomio g(w) = (w + 3) = w − (−3). 2 2

0 −3 2 0 7 − 6 + 18 − 45 + 129 − 387 −6

15

−43

129

×(−3)

−380 = f (−3).

En consecuencia f (w) = (w + 3)(2w4 − 6w3 + 15w2 − 43w + 129) + (−380).

Polinomios

295

El teorema del residuo y el teorema del factor. En esta secci´on presentamos dos teoremas, uno de los cuales establece una estrecha relaci´on entre factores de grado uno y ceros de un polinomio. Como veremos, si conocemos todos los ceros de un polinomio, entonces conocemos su factorizaci´on en factores de grado uno y viceversa. 4.3.4 Teorema Teorema del residuo Dados el polinomio f (x) y el n´ umero c, el residuo que se obtiene al dividir f (x) por el polinomio g(x) = x − c es f (c). Demostraci´ on. Puesto que g(x) = x − c es un polinomio de grado uno, el residuo que se obtiene al dividir f (x) entre g(x) es un polinomio r(x) de grado cero o bien r(x) = 0. De cualquier forma r(x) = r es un n´ umero. Si q(x) es el cociente de tal divisi´on, entonces f (x) = (x − c) q(x) + r. Por lo tanto f (c) = (c − c) q(c) + r = 0 · q(c) + r = 0 + r = r, que era lo quer´ıamos demostrar. En el siguiente ejemplo verificamos el resultado del teorema anterior. 4.3.5

Ejemplo

Consideremos el polinomio f (x) = x3 − 3x2 − 5x + 8

y el n´ umero c = 3. Efectuemos la divisi´on de f (x) por g(x) = (x − c) = (x − 3). Usando la divisi´on sint´etica, se tiene ×3 −3 −5 8 +3 0 − 15 1 0 −5 −7 ←− Residuo.

1

Por el teorema del residuo se tiene que f (3) = −7. Haciendo el c´alculo directamente se obtiene f (2) = 33 − 3 · 32 − 5 · 3 + 8 = −7.

´ Algebra

296

4.3.6 Teorema Teorema del factor Dados el polinomio f (x) y el n´ umero c, f (c) = 0 si y s´olo si g(x) = x−c es un factor de f (x). Demostraci´ on. Por el teorema del residuo, f (x) = (x − c) q(x) + f (c) para alg´ un cociente q(x). Ahora, si f (c) = 0, entonces f (x) = (x − c) q(x), es decir, g(x) = x − c es un factor de f (x). Rec´ıprocamente, si g(x) = x − c es un factor de f (x), entonces f (x) = (x − c) p (x), para alg´ un polinomio p (x). En consecuencia f (c) = (c − c) p (c) = 0 · p (c) = 0. El teorema queda demostrado. Ilustramos el resultado del teorema anterior con los siguientes ejemplos. 4.3.7

Ejemplo

1. Consideremos el polinomio f (x) = x3 − 3x2 − 2x + 6. El polinomio g(x) = x − 3 es un factor de f (x) puesto que f (2) = 33 − 3 · 32 − 2 · 3 + 6 = 0.

El estudiante puede verificar que f (x) = (x − 3)(x2 − 2). 2. Dado el polinomio f (x) = 2x5 + 3x4 − 30x3 − 57x2 − 2x + 24. Si sabemos que f (x) se factoriza as´ı, ⎛ ⎛ √ ⎞⎞⎛ ⎛ √ ⎞⎞ P O 3 + 17 ⎠⎟⎜ ⎝ 3 − 17 ⎠⎟ 3 (x+1)⎜ ⎝x−⎝ ⎠⎝x− ⎠, f (x) = (x−4) x + 2 2 2

Polinomios

297

por el teorema del factor, inmediatamente podemos decir que los ceros de f (x) son √ √ 3 3 − 17 3 + 17 c1 = −1, c2 = − , c3 = 4, c4 = , c5 = . 2 2 2 De otro lado, si sabemos que todos los ceros de un polinomio f (x) son √ c1 = −1, c2 = 5, c3 = 3, entonces, por el teorema del factor, necesariamente f (x) es de la forma ! √ " f (x) = c (x − 5)(x + 1) x − 3 ,

donde c es un n´ umero diferente de cero.

El problema de encontrar los ceros de un polinomio es de gran importancia en el estudio de las funciones polin´omicas y racionales. Desafortunadamente, a excepci´on de algunos casos, es dif´ıcil calcular los ceros de un polinomio. En la secci´on 4.3.6 daremos un m´etodo efectivo para calcular los ceros racionales, si los hay, de un polinomio con coeficientes enteros.

El teorema fundamental del ´algebra A pesar de la dificultad pr´actica para calcular los ceros de un polinomio, se puede progresar en la teor´ıa de tales ceros. En esta secci´on veremos esencialmente dos teoremas. El primero de ellos, conocido como el teorema fundamental del ´algebra, nos permite determinar la cantidad de ceros, reales o complejos, que puede tener un polinomio, pero no nos indica c´omo calcular dichos ceros. El segundo de ellos nos muestra una propiedad que tienen los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales. 4.3.8 Teorema Teorema fundamental del ´ algebra Si un polinomio f (x) tiene coeficientes complejos y tiene grado mayor que cero, entonces f (x) tiene al menos un cero complejo. La demostraci´on usual de este teorema requiere de resultados del campo de la matem´atica denominado variable compleja. No haremos su demostraci´on.

298

´ Algebra

Como caso particular, si todos los coeficientes de f (x) son reales y f (x) tiene grado mayor que cero, entonces f (x) tiene al menos un cero complejo. Hacemos notar que si a + b i es un cero complejo de un polinomio, puede suceder que b = 0, en cuyo caso a + b i se reduce al n´ umero real a y nos referiremos a ´este como un cero real. Combinando el teorema del factor y el teorema fundamental del ´algebra se obtiene el siguiente corolario. 4.3.9 Corolario Todo polinomio con coeficientes complejos que tenga grado mayor que cero, tiene necesariamente un factor de la forma g(x) = x − c, donde c es un n´ umero complejo. Haciendo uso reiterado del corolario anterior, podemos expresar, en teor´ıa, cualquier polinomio f (x) de grado n, 0 < n, como un producto de n polinomios de grado 1. En efecto, si f (x) tiene grado n, 0 < n, por el corolario anterior podemos escribir f (x) = (x − c1 ) q1 (x), donde c1 ∈ C y q1 (x) es un polinomio de grado n−1. Si 0 < n−1, aplicamos de nuevo el corolario al polinomio q1 (x), para obtener q1 (x) = (x − c2) q2 (x), donde c2 ∈ C y q2 (x) es un polinomio de grado n − 2. Por tanto f (x) = (x − c1)(x − c2) q2 (x). Continuando con el proceso, despu´es de n etapas llegamos a un polinomio q(x) de grado cero, digamos que qn (x) = c, donde c ∈ C y c ̸= 0. Podemos por lo tanto escribir f (x) = (x − c1 )(x − c2 ) · · · (x − cn )c, donde c1 , c2, . . . , cn , c ∈ C. Este resultado lo podemos sintetizar en el siguiente corolario, as´ı: 4.3.10 Corolario Si f (x) es un polinomio con coeficientes complejos y el grado de f (x) es n, 0 < n, entonces existen n´ umeros complejos c1, c2 , . . . , cn y c tales que f (x) = (x − c1 )(x − c2 ) · · · (x − cn )c.

Polinomios

299

Notamos que en el enunciado del corolario anterior no necesariamente los n´ umeros ci son diferentes. Si un factor (x − ci ) aparece m veces en la factorizaci´on, entonces decimos que el n´ umero ci es un cero de multiplicidad m de f (x). Si un cero de multiplicidad m es contado como m ceros, entonces el corolario anterior establece que un polinomio f (x) de grado n, 0 < n, tiene exactamente n ceros complejos. Los siguientes ejemplos ilustran esta observaci´on. 4.3.11

Ejemplo

1. El polinomio f (x) = x5 − 3x4 − x3 + 3x2 − 12x + 36, se puede factorizar, como producto de polinomios de grado uno, as´ı ! √ "! √ " f (x) = (x − 3)(x − 2)(x + 2) x − 3 i x + 3 i . En este caso f (x) tiene tres ceros reales de multiplicidad uno, a saber, c1 = 3, c2 = 2, c3 =√−2 y dos ceros √ complejos de multiplicidad uno, a saber, c4 = 3 i y c5 = − 3 i. 2. El polinomio de coeficientes complejos (¿por qu´e) f (x) = (x − 1)2 (x + 2)4 (x − 2i)(x + 2i)3 (x + 3 + i) es de grado 11 y tiene dos ceros reales diferentes, c1 = 1 de multiplicidad dos y c2 = −2 de multiplicidad cuatro, y tres ceros complejos diferentes, c3 = 2i de multiplicidad uno, c4 = −2i de multiplicidad tres y c5 = −(3 + i) de multiplicidad uno. 4.3.12 Teorema Si f (x) es un polinomio con coeficientes reales de grado n, 0 < n, y si c es un cero complejo de f (x) entonces necesariamente el conjugado de c, c, es tambi´en un cero complejo de f (x). Demostraci´ on. Supongamos que el polinomio p (x) = a0 + a1x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 + anxn tiene coeficientes reales, es decir, a0 , a1 , . . . , an ∈ R. Si c es un cero complejo de f (x), entonces f (c) = a0 + a1 c + a2c 2 + · · · + ancn = 0.

´ Algebra

300

Ya que dos n´ umeros complejos iguales tienen conjugados iguales, entonces a0 + a1 c + a2 c 2 + · · · + an cn = 0. Como el conjugado de una suma de n´ umeros complejos es igual a la suma de los conjugados de dichos n´ umeros y el conjugado de un producto de n´ umeros complejos es igual al producto de los conjugados de dichos n´ umeros, se tiene que a0 + a1 c + a2 c 2 + · · · + an cn = a0 + a1 c + a2 c 2 + · · · + an cn = 0. Ya que el conjugado de un n´ umero real es igual as´ı mismo, entonces f (c) = a0 + a1c + a2 c 2 + · · · + an c n = 0. La u ´ltima igualdad establece que c es un cero de f (x), que era lo que quer´ıamos demostrar. Veamos el siguiente ejemplo. Encontremos un polinomio f (x) con coeficientes reales de grado 4, sabiendo que c1 = 2 + i y c2 = −3 i son ceros de f (x). Por el teorema anterior, los n´ umeros c1 = 2 − i y c2 = 3 i tambi´en son ceros de f (x). Por el teorema del factor, f (x) tiene por factores a =

>

(x − c1 ) = x − (2 + i) . =

>

(x − c2 ) = x − (−3 i) . =

>

(x − c1 ) = x − (2 − i) . =

>

(x − c2 ) = x − (3 i) .

Multiplicando estos factores encontrarnos el polinomio buscado. As´ı, =

f (x) = x − (2 + i) =

= x − (2 + i) !

>=

>=

x − (−3 i)

>=

x − (2 − i)

"!

"

= x2 − 4x + 5 x2 + 9 ,

>=

>

x − (2 − i) x − 3 i ,

>=

x + 3i

>=

>

x − 3i ,

= x4 − 4x3 + 14x2 − 36x + 45. 4.3.13 Corolario Todo polinomio con coeficientes reales de grado n, 0 < n, puede expresarse como un producto de polinomios de grado uno o de grado dos con coeficientes reales, donde los factores de grado dos no tienen ceros reales.

Polinomios

301

Demostraci´ on. Por el corolario (4.3.5) f (x) se puede expresar as´ı: f (x) = (x − c1 )(x − c2 ) · · · (x − cn )c,

donde c1 , c2, . . . , cn , c ∈ C. De la igualdad anterior se sigue que c es el coeficiente del t´ermino de f (x) de grado n y por lo tanto c ∈ R. Ahora bien, algunos de los n´ umeros c1, c2 , . . . , cn pueden ser reales; esto es, sus partes imaginarias pueden ser cero. En tales casos obtenemos los factores de grado uno mencionados en el enunciado del teorema. Si uno de los n´ umeros ci no es real, por ser ´este un cero de f (x), entonces, por el teorema anterior ci es tambi´en un cero de f (x). Esto implica, por el teorema del factor, que (x−ci ) y (x−ci ) aparezcan en la factorizaci´on de f (x). Si estos factores se multiplican, obtenemos (x − ci )(x − ci ) = x2 − (ci + ci )x + ci ci ;

el cual es un polinomio de grado dos con coeficientes reales, pues ci + ci y ci ci son n´ umeros reales. De esta forma, los ceros complejos de f (x) y sus conjugados dan origen a polinomios de grado dos con coeficientes reales los cuales no tienen ceros reales. Esto completa la demostraci´on. 4.3.14

Ejemplo

Expresemos el polinomio con coeficientes reales f (x) = x4 + x2 − 6,

como un producto de polinomios de grado uno con coeficientes complejos y como un producto de polinomios de grado uno y de grado dos con coeficientes reales; con la condici´on que los de grado dos no tengan ceros reales. Haciendo w = x2, obtenemos x4 + x2 − 6 = w2 + w − 6.

Usando el producto notable (4.12) se tiene

w2 + w − 6 = (w − 2)(w + 3),

o sea En consecuencia, y

x4 + x2 − 6 = (x2 − 2)(x2 + 3). !

f (x) = x4 + x2 − 6 = x − !

√

"!

2 x+

f (x) = x4 + x2 − 6 = x −

√

"!

√ " 2 (x + 3i)(x − 3i),

2 x+

√

"!

"

2 x2 + 3 .

´ Algebra

302

Ceros racionales de un polinomio con coeficientes enteros Como ya hemos dicho, generalmente es dif´ıcil encontrar los ceros de un polinomio de grado grande. Sin embargo, daremos un m´etodo efectivo para para calcular los ceros racionales, si los hay, de un polinomio con coeficientes enteros. Como veremos, este m´etodo nos permitir´a tambi´en calcular los ceros racionales, si los hay, de un polinomio con coeficientes racionales. El m´etodo se deduce del siguiente teorema. 4.3.15 Teorema Teorema de los ceros racionales Sea el polinomio en x de grado n con coeficientes enteros f (x) = an xn + an−1xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0. Si p/q es un cero racional de f (x), donde p y q no tienen factores primos comunes, entonces p divide a a0 y q divide a an . Demostraci´ on. Demostremos que p divide a0, o lo que es lo mismo, que p es un factor de a0. Si p = ±1, entonces p es un factor de a0 pues 1 y −1 son factores de cualquier n´ umero. Si p ̸= ±1, entonces p/q ̸= ± 1, pues si p/q = ±1 se tendr´a que p = ± q, y como p y q no tiene factores primos comunes, esto implica que p = ± q = ±1, lo cual contradice el hecho de que p ̸= ±1. Suponemos en lo que sigue que p ̸= ±1 y por lo tanto, que p ̸= ± q. Puesto que p/q es un cero de f (x), se tiene que ⎛ ⎞

⎛ ⎞n

⎛ ⎞n−1

p p p f ⎝ ⎠ = an ⎝ ⎠ + an−1⎝ ⎠ q q q

+ · · · + a2

⎛ ⎞2 p ⎝ ⎠

q

⎛ ⎞

+ a1 ⎝

p⎠ + a0 = 0. q

Multiplicando ambos miembros de la anterior igualdad por q n se obtiene, anpn + an−1pn−1 q + · · · + a2 p2 q n−2 + a1 p q n−1 + a0 q n = 0. Sumando −a0 q n en los dos miembros de la u ´ltima igualdad se obtiene, an pn + an−1 pn−1 q + · · · + a2 p2 q n−2 + a1 p q n−1 = −a0 q n , o lo que es lo mismo, !

"

p an pn−1 + an−1 pn−2 q + · · · + a2 p q n−2 + a1 q n−1 = −a0 q n .

Polinomios

303

Esto nos indica que p es un factor del entero −a0 q n . Si descomponemos p en sus factores primos, digamos que p = p1 · p2 · · · · · pk , entonces observamos que cada uno de los primos pi (i = 1, 2, . . . , k) es tambi´en un factor de −a0 q n . Por hip´otesis ninguno de los primos pi (i = 1, 2, . . . , k) es factor de q. Esto implica que cada uno de los primos pi es un factor a0 , o sea, p es un factor de a0 . Argumentando en forma similar se demuestra que q divide a an . El siguiente ejemplo ilustra el resultado del teorema anterior. Dado el polinomio con coeficientes enteros f (x) = 6x3 + 11x2 − 4x − 4, encontremos todos los ceros racionales, si los hay, de f (x). De acuerdo con el teorema anterior, si p/q es un cero racional de f (x), donde p y q no tienen factores primos comunes, entonces p divide a a0 = −4 y q divide a a3 = 6. Por lo tanto, los posibles valores de p son: ±1, ±2 y ±4, y los posibles valores de q son: ±1, ±2, ±3 y ±6. En consecuencia, los ceros racionales de f (x), si los hay, estar´an entre los n´ umeros 1 1 1 2 4 ±1, ±2, ±4, ± , ± , ± , ± y ± . 2 3 6 3 3 Es necesario comprobar cu´ales de estos n´ umeros son ceros de f (x). Para tal efecto se recomienda usar la divisi´on sint´etica; recordemos que por el teorema del factor, p/q es un cero de f (x) si y s´olo si (x − p/q) es un factor de f (x). Veamos en primer lugar si c = 1 es un cero de f (x), o lo que es lo mismo, si (x − 1) es un factor de f (x). Haciendo la divisi´on sint´etica de f (x) entre (x − 1) se encuentra que f (x) = (x − 1)(6x2 + 17x + 13) + 9,

lo cual demuestra que c = 1 no es un cero de f (x), pues f (1) = 9 ̸= 0. Ensayando ahora con c = −2, se tiene =

f (x) = x − (−2)

>=

>

6x2 − x − 2 = (x + 2)(6x2 − x − 2),

lo cual demuestra que c = −2 es un cero de f (x). Ya tenemos una factorizaci´on de f (x). Los restantes ceros de f (x) deben ser ceros del segundo factor, q(x) = 6x2 − x − 2,

y por lo tanto podemos usar el polinomio q(x) para calcular el resto de ceros de f (x). Haciendo la divisi´on sint´etica de q(x) en (x + 1/2) obtenemos ⎛

⎞

1 q(x) = ⎝x + ⎠(6x − 4), 2

´ Algebra

304

o sea, ⎛

⎞

⎛

⎞

1 f (x) = (x + 2)⎝x + ⎠(6x − 4) 2 ⎛

⎞

1 2 = (x + 2)⎝x + ⎠ 6 ⎝x − ⎠. 2 3

El m´etodo descrito antes para calcular los ceros racionales, cuando los hay, de un polinomio con coeficientes enteros se pueden extender a polinomios con coeficientes racionales. Esta extensi´on se basa en la siguiente observaci´on. Si k es un n´umero no nulo y f (x) es un polinomio cualquiera, entonces el n´umero c es un cero de f (x) si y s´olo si el n´umero c es un cero del polinomio g(x) = kf (x). En efecto, si k ̸= 0, g(c) = kf (c) = 0 si y s´olo si f (c) = 0. As´ı, si f (x) es un polinomio con coeficientes racionales y k es el m´ınimo com´un denominador de todos los coeficientes de f (x), entonces g(x) = kf (x) es un polinomio con coeficientes enteros. Para calcular los ceros de g(x), los cuales son los mismos ceros de f (x), usamos el m´etodo ejemplificado antes.. 4.3.16

Ejemplo

Dado el polinomio con coeficientes racionales

f (x) = x4 −

1 3 2 2 1 1 x + x − x− , 6 3 6 3

encontremos todos los ceros racionales, si los hay, de f (x). En este caso el m´ınimo com´ un denominador de todos los coeficientes de f (x) es k = 6. Por lo antes discutido, los ceros de f (x) son los ceros del polinomio con coeficientes enteros g(x) = 6f (x) = 6x4 − x3 + 4x2 − x − 2. Ahora bien, si p/q es un cero racional de g(x), donde p y q no tienen factores primos comunes, entonces las posibilidades para p son: ±1 y ±2 y las posibilidades para q son ±1 y ±2, ±3 y ±6. En consecuencia, los posibles ceros racionales de g(x) son: ±1,

±2,

2 ± , 3

1 ± , 2

±

1 3

y

1 ± . 6

Polinomios

305

Ensayando a trav´es de la divisi´on sint´etica tenemos que c1 = −1/2 es un cero de g(x). As´ı: ⎞

⎛

1 g(x) = ⎝x + ⎠(6x3 − 4x2 + 6x − 4), 2 ⎛ ⎞ 1 = ⎝x + ⎠ q(x). 2 Si usamos la divisi´on sint´etica con los coeficientes del polinomio q(x) obtenemos que c2 = 2/3 es un cero de q(x) y por lo tanto de g(x). Adem´as, ⎞ ⎛ 2 q(x) = ⎝x − ⎠(6x2 + 6) 3

En consecuencia,

⎞⎛

⎛

⎞

2 1 g(x) = ⎝x + ⎠⎝x − ⎠(6x2 + 6), 2 3 ⎛

⎞⎛

⎞

⎛

⎞⎛

⎞

1 2 = 6⎝x + ⎠⎝x − ⎠(x2 + 1), 2 3

"! " 1 2 ! = 6⎝x + ⎠⎝x − ⎠ x − i x + i . 2 3

De la u ´ltima igualdad se desprende que el resto de ceros de g(x) son c3 = i y c4 = −i. En resumen, los ceros de f (x) son c1 = −1/2, c2 = 2/3, c3 = i y c4 = −i. Adem´as, ⎞⎛

⎛

o sea

⎞

"! " 2 ! 1 g(x) = 6f (x) = 6⎝x + ⎠⎝x − ⎠ x − i x + i , 2 3 ⎛

⎞⎛

⎞

"! " 1 2 ! f (x) = ⎝x + ⎠⎝x − ⎠ x − i x + i . 2 3

Esta secci´on no nos da informaci´on para la obtenci´on de ceros irracionales de un polinomio. Los ejemplos dados no representan problemas t´ıpicos de aplicaci´on. De hecho, es lo m´as com´ un que un polinomio con coeficientes racionales no tenga ceros racionales. Afortunadamente, existen m´etodos

´ Algebra

306

para dar un valor aproximado de los ceros irracionales con el grado de exactitud que se desee. En la pr´actica, tal aproximaci´on se efect´ ua usando una calculadora o una computadora. En el cap´ıtulo dedicado al estudio de las funciones elementales veremos uno de tales m´etodos.

Ejercicios 4.3 1. Responda v (verdadero) o f (falso) justificando su respuesta. a) Todo polinomio con coeficientes racionales es un polinomio con coeficientes reales. b) Dados el polinomio f (x) y el n´ umero c, el residuo que se obtiene al dividir f (x) por g(x) = (x − c) es f (c).

c) Dados el polinomio f (x) y el n´ umero c, f (c) = 0 si y s´olo si g(x) = (x − c) es un factor de f (x).

d) Todo polinomio f (x) de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n ceros complejos.

e) Si f (x) es un polinomio con coeficientes reales y el n´ umero complejo c es tal que f (c) = 0, entonces f (c) = 0. f ) Todo polinomio f (x) con coeficientes reales puede escribirse en la forma f (x) = c (x − c1 )(x − c2 ) · · · (x − ck )(a1 x2 + b1 x + d1 ) (a2 x2 + b2 x + d2 ) · · · (aj x2 + bj x + dj ), donde los n´ umeros c, c1 , ..., ck , a1, b1 , d1 , ..., aj , bj y dj son todos reales. g) Los posibles ceros racionales del polinomio f (x) = 2x4 + 23x2 + 8x son 0, ±2,±8, ±4 y ±1.

h) Los posibles ceros racionales del polinomio f (x) =

1 4 5 3 5 2 1 x + x − x − 5x − 3 2 7 9

son ±1, ±1/3, ±1/4 y ±1/9.

√ i) Los posibles ceros racionales de f (x) = x4 + 2 3 x2 + 6 son ±1, ±2. ±3 y ±6.

Polinomios

307

2. Diga cu´al es el grado de los polinomios s(x) = f (x) + g(x) y p (x) = f (x)g(x), si: a) f (x) = π + 7x2 + 2x5 y g(x) = x2 + 7x + 2. √ 3 7 b) f (x) = x2 − x3 y g(x) = 5 − x3 . 2 3 2 c) f (x) = (x + 1)2 (x − 4) y g(x) = (5 − x2 )(x − 9)2 .

d) f (x) = (4 + i)x4 y g(x) = π.

3. Clasifique los polinomios del problema anterior como polinomios con coeficientes enteros, racionales, reales o complejos. 4 3 2 4. Dado el polinomio f (x) = √15x + 7x − 44x − 21x − 3. Calcule f (−2), f (−2/3), f (0), f (1) y f ( 3). √ 5. Sea f (x) el polinomio del punto anterior. ¿Es c = 3 un cero de f (x)? ¿c = −2/3, c = 0, c = 1?

6. Encuentre el cociente q(x) y el residuo r(x) de la divisi´on de f (x) entre g(x), si: a) f (x) = x4 + 2x3 − 3x + 10 y g(x) = x2 + x − 1. b) f (x) = 7x3 − 3x y g(x) = 2x2 + x.

c) f (x) = 3x2 y g(x) = x − 1.

d) f (x) = 5x3 − 7 y g(x) = 2x2 − 3x + 5.

e) f (x) = (2 + i)x4 + 3 ix3 + 2 y g(x) = x + 2 + i.

7. Use la divisi´on sint´etica para efectuar: a) (2x3 − 8x2 − 2x + 4) ÷ (x + 2). 5

3

b) (3z − 5z − 2) ÷

⎛

⎝z

⎞

1 − ⎠. 4

c) (6w5 + 12w2 + 14) ÷ (w − 2).

d) (6x + 2) ÷ (x + 2).

e) (xn + 1) ÷ (x + 1), n ∈ N.

f ) (xn − 1) ÷ (x + 1), n ∈ N. !

"

g) z 3 + (1 + i)z 2 − 5 ÷ (z − i).

8. Use la divisi´on sint´etica y el teorema del resto para calcular f (c), si: a) f (x) = 2x4 − 3x3 + 4x2 + 5x − 7 y c = −2. b) f (z) = 0,03z 3 + 0,4z − 0,016 y c = 0,02. √ c) f (w) = 2w3 + 5w2 − 16 y c = 1 − 2.

´ Algebra

308

9. Use la divisi´on sint´etica para comprobar que c es un cero de f (x), si: a) f (x) = x5 − 6x4 + 11x3 − x2 − 14x + 5 y c = −1. b) f (x) = 15x4 + x3 − 52x2 + 20x + 16 y c = 1.

c) f (x) = −2x5 + 6x4 + 10x3 − 6x2 + 9x + 4 y c = 4 i. 10. Determine el valor de k que hace que f (x) = 2x3 + kx2 + kx − 5 sea divisible por g(x) = x + 2. 11. Determine todos los valores de k que hacen que f (z) = 2k 2 z 2 + 8kz − 6 sea divisible por g(z) = z − 2. 12. D´e el residuo que se obtiene al dividir f (x) = 5x60 +3x55 −2x18 +7x7 −11 entre g(x) = x + 2. 13. D´e un polinomio de grado cuatro que tenga a c1 = 2 como un cero de multiplicidad dos y a c2 = −5 como un cero de multiplicidad dos. 14. Encuentre un polinomio de grado siete tal que c1 = 0 sea un cero de multiplicidad tres y c2 = 2 sea un cero de multiplicidad cuatro. 15. D´e el grado, los ceros y la multiplicidad de tales ceros para los polinomios: a) f (x) = (x + 7)3 (x − 2). b) f (x) = (x + 2)3 (x2 − 2).

c) f (x) = (x2 − 5x + 11)(x + 1)3 .

16. Compruebe que c = 2 es un cero de multiplicidad tres del polinomio f (x) = x4 − 5x3 + 6x2 + 4x − 8, y factorice a f (x) como un producto de factores de grado uno. 17. Compruebe que c = 3 es un cero de multiplicidad cuatro del polinomio f (x) = x5 − 5x4 − 30x3 + 270x2 − 675x + 567 y calcule el resto de ceros de f (x). 18. Encuentre, si los hay, todos los ceros racionales de los polinomios: a) f (x) = 2x3 + 3x − 5.

b) f (z) = 6z 4 − 11z 3 + 8z 2 − 33z − 30.

c) f (w) = w4 + 2w3 − 7w2 − 8w + 12. 1 3 d) f (x) = x2 + 2 x− . 2 3

Polinomios

309

2 4 17 a + 5a2 − a − 15. 3 3 19. D´e un√polinomio con coeficientes reales de grado 4, tal que c1 = 2 + i y c2 = 3 i sean ceros de ´el. e) f (a) =

20. Use el teorema (4.3.6) (Teorema de los ceros racionales) para demostrar que: √ a) 2 ∈ I. Sugerencia: considere el polinomio p (x) = x2 − 2. √ b) 12 36 ∈ I. Sugerencia: considere el polinomio p (x) = x12 − 36. 21. Considere los polinomios en ex

f (ex ) = e2x + e3x − 7ex + 22e2x + 5 y

g(ex ) = 4e4x − 1.

Efect´ ue la operaci´on f (ex ) ÷ g(ex ). 22. Considere los polinomios en sen x

f (sen x) = 5 sen4 x + 2 sen3 x − 7 sen x − 2 y g(sen x) = sen x − 5.

Efect´ ue la operaci´on f (sen x) ÷ g(sen x).

23. Encuentre, si existen, constantes A, B , C y D. tales que: a) 7x5 − 2x3 + x2 + 5 = A(x5 + 1) + B(x3 + 1) + Cx2 . 4x2 + 2x + 1 A B C b) = + + . 3 2 2x + x − x x 2x − 1 x + 1 c)

2x2 − x + 4 A Bx + C = + 2 . x3 + 4x x x +4

4x3 − 3x2 + x − 3 Ax + B Cx + D d) = + 2 . 3x2 (x2 + 1) 3x2 x +1 e)

5x2 − 36x + 48 A B C = + + . x(x − 4)2 x x − 4 (x − 4)2

310

´ Algebra

Cap´ıtulo

5 Augustin-Louis Cauchy fue un matem´ atico y f´ısico fundador del an´alisis moderno, contribuyendo de forma medular al desarrollo de las matem´aticas. “Mas conceptos y teoremas han sido nombrados en honor a Cauchy que cualquier otro matem´ atico”.

Funciones 5.1.

Algunas anotaciones hist´ oricas de la noci´ on de funci´ on

Aunque la noci´on de funci´on es transversal pr´acticamente a todas las ramas de las matem´aticas, su delineamiento conceptual, como objeto matem´atico, solo empez´o a evidenciarse desde el siglo XVIII, fundamentalmente a partir de los problemas del c´alculo de ´areas, longitudes de curvas y tambi´en por la necesidad de la matematizaci´on del movimiento. Sin embargo, podemos encontrar algunos antecedentes muchos siglos antes en el uso de variables relacionadas, surgidas en muchas situaciones de la cotidianidad, desde las matem´aticas babilonias y egipcias, pasando por las matem´aticas griegas, las ´arabes y sobre todo, en el renacimiento. Podemos ubicar los primeros vestigios de la noci´on de funci´on en las tablas de corres311

312

Funciones

pondencia elaboradas a partir de la observaci´on de fen´omenos naturales y aspectos de la vida cotidiana. As´ı, los babilonios elaboraron tablas de cuadrados de los n´ umeros naturales y cubos de los n´ umeros naturales. En su obra m´as conocida, denominada el Almagesto, el matem´atico alejandrino Ptolomeo (85 d.C.-165 d.C.) elabor´o varias tablas que pueden ser asimiladas a nuestras relaciones trigonom´etricas. En los resultados de los antiguos no se puede identificar la noci´on de variable y menos la dependencia de cantidades variables. Este aspecto empieza a ventilarse con Galileo Galilei, quien establece relaciones de interdependencia de las variables del movimiento de ca´ıda libre de los cuerpos. Sabemos que uno de los problemas que movilizaba a los matem´aticos a partir del siglo XIV era la descripci´on del movimiento. La mayor´ıa de problemas pr´acticos que se revelaban en esta ´epoca ten´ıan relaci´on directa o indirecta con el movimiento. M´as all´a de entender las leyes fundamentales del movimiento que reg´ıan, por ejemplo, los planetas, se precisaba una astronom´ıa que resolviera el problema pr´actico de la navegaci´on marina a gran escala; se requer´ıa de m´etodos que dieran respuesta al problema de las trayectorias de los barcos. A partir del siglo XIV se generaliz´o el uso de las tablas. A trav´es de tabulaciones sucesivas se describ´ıan las direcciones seguidas por un m´ovil en diferentes momentos. Es as´ı como aparecen las tablas de datos de las variables posici´on y tiempo aplicadas al movimiento de los planetas, el movimiento de proyectiles y el movimiento de ca´ıda libre. La determinaci´on de las diversas posiciones de una trayectoria, con las variaciones del tiempo, constituye el elemento conceptual primitivo del concepto de relaci´on entre variables (la posici´on var´ıa respecto al tiempo). El mismo uso de la palabra variable tiene su procedencia en las variaciones de una cantidad debido a los diferentes valores del tiempo, que luego se generalizan en la cuantificaci´on de otras magnitudes como ´areas, longitudes y vol´ umenes. Uno de los trabajos m´as importantes de esta ´epoca se debe al matem´atico y astr´onomo franc´es Nicol´as Oresme (1323-1382), quien planteaba que aquello que var´ıa, ya sea que se pueda o no medir, se puede representar como una cantidad continua a trav´es de un segmento. De esta manera trazaba gr´aficas de variaci´on de la temperatura, la intensidad luminosa. En la representaci´on gr´afica utilizaba las expresiones de “longitud” y “latitud”, para designar los ejes coordenados de la geometr´ıa anal´ıtica introducida por Ren´e Descartes (1596-1650). El principal aporte de Descartes fue haber visualizado un sistema de representaci´on de las curvas a trav´es de ecuaciones, estableciendo un puente de contacto entre geometr´ıa y ´algebra. La idea de Descartes reposa en la posibilidad de representar cualquier punto del plano por medio de un par ordenado (x, y).

Algunas anotaciones hist´oricas de la noci´on de funci´on

313

Una curva correspond´ıa a una ecuaci´on que involucraba las variables x y y, de manera que los puntos de la curva fueran las soluciones de la ecuaci´on. La geometr´ıa anal´ıtica de Descartes se convirti´o en una herramienta para el desarrollo del c´alculo diferencial e infinitesimal de Leibniz y Newton. En 1667 en su libro Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura, el matem´atico escoc´es James Gregory (1638-1675), establece una primera definici´on de funci´on como una cantidad que se obtiene de otras cantidades mediante una serie de operaciones algebraicas o mediante cualquier otra operaci´on. Por la misma ´epoca, Newton utiliz´o el t´ermino fluentes para designar las variables dependientes del tiempo, que modernamente reconocemos como funciones param´etricas. Leibniz utiliz´o expl´ıcitamente la palabra funci´on para designar cualquier cantidad que var´ıa de un punto a otro en una curva. Sin embargo, lo que podr´ıamos llamar la conciencia de la emergencia de un nuevo objeto matem´atico, funci´on, con su significado propio, se va construyendo a partir de los trabajos de Jean Bernoulli (1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783), Joseph Lagrange (1736-1813), Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). En el a˜ no 1718, el franc´es Johann Bernoulli, establece una definici´on de funci´on de una manera m´as cualificada que Gregory: “Se llama funci´on de una variable a una cantidad compuesta, de manera que sea, por esa variable y por constantes”. Leonhard Euler, en su obra Introducci´ on al an´ alisis de los infinitos de 1748, Leonhard Euler sustituye la expresi´on “cantidad” por expresi´on anal´ıtica. Para Euler, “una funci´on de cantidad variable es una expresi´on anal´ıtica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por n´ umeros ´o cantidades constantes”. Una expresi´on anal´ıtica es una expresi´on formada a partir de las operaciones elementales de la aritm´etica, la composici´on de funciones, las series y los productos infinitos, la integraci´on y la derivaci´on; por ejemplo xn, (x + 2)2 ,

x4 . n=1 2

H∞

En 1755, en el marco de la resoluci´on de ecuaciones diferenciales, Euler establece una segunda definici´on en su obra Instituciones del c´alculo diferencial: “Funci´on de ciertas cantidades variables es una cantidad variable que depende de las primeras de manera que siempre que ellas cambien, la funci´on tambi´en experimenta tambi´en un cambio: la funci´on puede ser determinada por una ley cualquiera a partir de las variables.” El matem´atico franc´es Sylvestre Fran¸cois Lacroix (1765-1843), en la introducci´on de su Trait´e (1797), establece la siguiente definici´on: “Toda cantidad cuyo valor

314

Funciones

depende de una o varias otras es llamada una funci´on de estas u ´ltimas, ya sea que uno conozca o no por medio de qu´e operaciones es necesario pasar de las u ´ltimas a la primera cantidad.” Joseph Louis Lagrange (1736-13) en su Teor´ıa de funciones anal´ıticas de 1797, proporciona la siguiente definici´on de funci´on: “Se llama funci´on, de una o varias cantidades, a toda expresi´on del c´alculo en la cual esas cantidades entran de una manera cualquiera, relacionadas o no con otras cantidades que toman valores dados e invariables, mientras que las cantidades de la funci´on pueden recibir todos los valores posibles.” Para Lagrange, toda funci´on f (x) admit´ıa un desarrollo en series de Taylor de la forma: i3 i2 f (x + i) = a0 + a1 i + a2 + a3 + . . . 2! 3! Fue Joseph Fourier (1768-1830), quien advirti´o la necesidad de establecer una definici´on de funci´on desligada de la noci´on de expresi´on anal´ıtica: “en general la funci´on f (x) representa una sucesi´on de valores u ordenadas, cada una de las cuales es arbitraria. Como la abscisa x recibe una infinidad de valores, hay un n´ umero igual de ordenadas f (x) y todas ellas tienen valores num´ericos concretos, ya sean positivos, negativos o nulos. No suponemos, en general, que estas ordenadas est´en sujetas a una ley com´ un a todas ellas; se suceden unas a otras de manera arbitraria y cada una de ellas viene dada como si fuera una cantidad aislada.” Aunque Fourier especific´o algunos avances substanciales, fue Cauchy, quien formul´o una definici´on de funci´on como una relaci´on arbitraria: “Cuando las cantidades variables est´an de tal modo relacionadas entre s´ı que, dado el valor de una de ellas, es posible concluir los valores de todas las dem´as, expresamos ordinariamente diversas cantidades por medio de una de ellas, la cual toma entonces el nombre de variable independiente, y a las otras cantidades expresadas por medio de la variable las llamamos funciones de esta variable.” La definici´on de la noci´on de funci´on sigui´o un periodo de afinamiento, hasta alcanzar un buen grado de formalizaci´on a partir de la teor´ıa de conjuntos. En este sentido, en 1939, Nicol´as Bourbaki, establece la siguiente definici´on de funci´on: “Una funci´on es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y s´olo un elemento del segundo conjunto.” Bourbaki tambi´en introduce las nociones de dominio, contradominio e imagen. En la actualidad la noci´on de funci´on se define en el marco de la teor´ıa de conjuntos, como un conjunto especial.

Elementos generales de las funciones

5.2.

315

Elementos generales de las funciones

Definici´on general del concepto de funci´on Como se dijo antes, la noci´on de funci´on constituye la salida conceptual en la modelaci´on matem´atica de fen´omenos que conten´ıan variables relacionadas. Especialmente en la matematizaci´on del movimiento donde cada tiempo t determinado se relacionaba con una posici´on u ´nica r(t). Decimos que la posici´on depende del tiempo o que la posici´on se da en funci´on del tiempo. Notemos el lenguaje sugestivo subyacente, especialmente por el uso de palabras como ✭✭relaci´on✮✮ y ✭✭funci´on✮✮, que luego lograran su ciudadan´ıa matem´atica, constituy´endose en objetos matem´aticos propiamente dichos. De esta manera, se volvi´o una pr´actica com´ un definir funci´on como un cierto tipo de relaci´on. No es extra˜ no para ninguno de nosotros ver gr´aficas, f´ormulas y tabulaciones que muestran ciertas relaciones especiales entre los elementos de dos conjuntos. La palabra misma funci´on la encontramos vinculada a muchas actividades que ya hemos desarrollado o de las cuales tenemos alguna idea. Veamos algunas de ellas: 1. Expresamos la distancia que recorre un cuerpo en funci´on del tiempo. 2. El ´area de un cuadrado est´a en funci´on de su lado: A = l2. 3. La longitud de la circunferencia est´a en funci´on de su radio: S = 2πr. En t´erminos generales, nos interesa que se reconozca la existencia de relaciones entre los elementos de dos conjuntos que cumplen dos propiedades. 1. Todo elemento del conjunto de partida tiene una imagen en el conjunto de llegada. 2. Cada elemento del conjunto inicial tiene una y solo una imagen. A este tipo de relaciones entre conjuntos se les denominan funciones. Un esquema nos puede esclarecer lo anterior: Conjunto de partida.

Relaci´ on.

Conjunto de llegada.

316

Funciones

Intuitivamente una funci´on es una ley de correspondencia o ley de apareamiento entre elementos de un conjunto A y un conjunto B, que asocia a cada elemento x del primer conjunto, un u ´nico elemento y del segundo. Formalmente, la noci´on de funci´on se define en t´erminos de conjuntos.

Definici´on Sean A y B conjuntos. Una funci´on de A en B es un conjunto F de pares ordenados pertenecientes a A×B tal que para cada a ∈ A, existe un u ´nico b ∈ B, con (a, b) ∈ F . En otras palabras si (a, b) ∈ F y (a, c) ∈ F , entonces b = c . El conjunto A se llama dominio de f y se denota como Df , el conjunto B se denomina codominio de f y se denota como Df . Si (x, n) ∈ F , se dice que y es la imagen de x; en este caso y se denota como f (x) y se escribe y = f (x). El rango de f corresponde al conjunto de elementos de B, que son im´agenes de los elementos de A, se denota por Rf . Rf = {y ∈ B: y = f (x), para alg´ un x ∈ a} En general una funci´on f no se designa con el conjunto de pares ordenados, sino simplemente en la expresi´on y = f (x) . En este caso se dice ✭✭sea la funci´on y igual a f (x)✮✮. Es tambi´en com´ un encontrar las notaciones f : A −→ B, x −→ f (x) y f : A −→ B, x −→ f (x). De acuerdo con nuestra definici´on, dos funciones son iguales si y solo si tienen el mismo dominio y asignan a cada elemento del dominio la misma imagen en el codominio. Simb´olicamente, sean f y g funciones con dominios Df y Dg respectivamente. Entonces: !

"

f = g ←→ Df = Dg ∧ ∀ x ∈ Df f (x) = g(x) . Consideremos cualquier funci´on f : A −→ B. Las siguientes observaciones son pertinentes respecto de esta funci´on. 1. Los conjuntos A y B pueden ser de cualquier naturaleza y no tienen que ser necesariamente conjuntos num´ericos. Puede ocurrir, adem´as, que A = B.

Elementos generales de las funciones

317

2. La correspondencia puede tener formas y significados diferentes. Puede estar determinada por una ley cient´ıfica, por una f´ormula matem´atica o por una asignaci´on arbitraria. 3. La forma como se define expl´ıcitamente la ley de correspondencia de una funci´on puede adoptar expresiones diferentes, pero en todo caso debe ser tal que dado cualquier elemento x en el dominio se pueda determinar un´ıvocamente su imagen f (x). 4. De acuerdo con nuestra definici´on de funci´on y con el criterio de igualdad que hemos establecido entre ellas, dos funciones pueden ser iguales sin tener codominios iguales. 5.2.1

Ejemplo

1. La regla que asocia a cada n´ umero real x el n´ umero real x2 define una funci´on f : A −→ B donde A = Df = R y B = Cf = R. La ley de correspondencia o nexo funcional, como tambi´en se suele decir, estar´ıa definido por la expresi´on f (x) = x2 . El rango de f es igual al conjunto -

.

Rf = f (x) : x ∈ R = {x2 : x ∈ R} = R+ 0. Por definici´on R+ es el conjunto de todos los n´ umeros reales positivos + + y R0 = R ∪ {0}. Es muy importante tener en cuenta que las dos primeras igualdades, A = Df = R y B = Cf = R, son el resultado de aplicar la definici´on de dominio y rango en la definici´on de f . La u ´ltima igualdad (Rf = {x2 : x ∈ R} = R+ 0 ), sin embargo, es una afirmaci´on que a lo mejor el estudiante acepte f´acilmente, pero que no est´a demostrada. Para demostrarla constatemos que simult´aneamente se cumplen las dos inclusiones, Rf ⊂ R+ 0 y + + R0 ⊂ Rf , y por lo tanto se cumple la igualdad Rf = R0 . La primera inclusi´on es inmediata de la definici´on de f , pues sus im´agenes son n´ umeros al cuadrado (f (x) = x2 ) y por lo tanto no pueden ser n´ umeros negativos. Para constatar la segunda inclusi´on se requiere comprobar que si a es un elemento cualquiera de R+ 0 entonces 2 a ∈ Rf , es decir, que existe x en R, tal que f (x) = x = a. Esto es inmediato, pues si en la u ´ltima ecuaci´on se despeja x, se tiene que

318

Funciones

!√ " ! √ " √ x = ± a ∈ R = Df , y se cumple que f a = f − a = a. Es decir a ∈ Rf . De acuerdo con la definici´on de f se puede escribir lo siguiente:

f (−3) = (−3)2 = 9 = 32 = f (3). !√ "2 !√ " 2 = 2, f 2 =

y f (x) = 25 si y s´olo si x = 5 o x = −5.

Observe que la ecuaci´on f (x) = −4 no tiene soluci´on. Es decir que no existen un n´ umero real x tal que x2 = −4, pues el cuadrado de todo n´ umero real es no negativo. Esto tambi´en se puede interpretar diciendo que −4 ∈ / Rf . 2. La suma, la multiplicaci´on y la resta entre n´ umeros reales definen funciones entre parejas de n´ umeros reales. As´ı, por ejemplo, la suma define una funci´on f : R2 −→ R de la siguiente manera, A = Df , es igual al conjunto de todas las parejas de n´ umeros reales. -

.

Df = (a, b) : a ∈ R y b ∈ R = R2

y B = Cf = R. La ley de correspondencia est´a definida de la siguiente manera f (a, b) = a + b. En este caso Rf es igual al codominio. Es decir Rf = R. Para demostrar esta afirmaci´on se procede como en el caso anterior. Se observa primero, que por la definici´on de f , sus im´agenes son n´ umeros reales, y por lo tanto, Rf ⊂ R. Se demuestra luego que R ⊂ Rf , es decir, que cualquier n´ umero real se puede obtener como imagen de f , En efecto, sea a cualquier n´ umero real. Es claro que f (0, a) = 0 + a = a. En otras palabras a es la imagen de la pareja (0, a). Se concluye, por lo tanto, que R ⊂ Rf y consecuentemente R = Rf . De acuerdo con la definici´on de f se puede escribir: ⎛

⎞

⎛

⎞

1 7 1 f ⎝4, − ⎠ = 4 + ⎝− ⎠ = . 2 2 2

Si f (x, y) = 1 entonces x + y = 1. Es decir -que la soluci´on de. la ecuaci´on f (x, y) = 1 est´a dada por el conjunto (x, 1 − x) : x ∈ R .

Elementos generales de las funciones

319

3. La expresi´on f (x, y) = (x − y, x + y) define una funci´on f tal que, Df = R2 y Cf = R2 . ¿Qu´e se puede decir en este caso de Rf ? Por definici´on es claro que Rf ⊂ R2 . Pero, ¿se cumple que Rf = R2? Para afirmarlo habr´ıa que mostrar que para cualquier pareja (a, b) en R2 , existe otra pareja (x, y) en R2 , tal que f (x, y) = (x − y, x + y) = (a, b). Igualdad que se transforma en el siguiente sistema de ecuaciones. x−y =a x + y = b. Este sistema siempre tiene soluci´on (´ unica), dada por las expresiones x=

a+b 2

y

y=

b−a . 2

De esta forma podemos concluir que Rf = R2 . De acuerdo con la definici´on de f se puede escribir que: ⎛

⎞

⎛

⎞

1 1 1 3 f ⎝ , ⎠ = ⎝− , ⎠. 4 2 4 4 f (x, y) = (0, 0) ←→ (x, y) = (0, 0). 4. Debe mantenerse presente que no toda regla de correspondencia entre elementos de dos conjuntos define una funci´on. As´ı por ejemplo, si a cada x en R+ le hacemos corresponder los y en R tales que y 2 = x, esta ley de correspondencia no define una funci´on de R+ en R. En efecto, para determinar que valores de y est´an asociados con cada x en R√+ , se requiere despejar y de la ecuaci´on y 2 = x. Se tiene que y = ± x. Esto quiere decir que a cada x corresponde m´as de una imagen, por ejemplo, a x = 1 le corresponder´ıan y = 1 y y = −1. O sea que no cumple la definici´on de funci´on. 5. La ley de correspondencia que define una funci´on no tiene que comportarse del mismo modo para todo elemento del dominio y no tiene, por lo tanto, que ser descrita por una sola expresi´on matem´atica. Por ejemplo, la expresi´on ⎧ ⎨x 4 ,

f (x) = ⎩

2

x,

si x ≤ 1. si 1 < x,

320

Funciones

define una funci´on de R en R cuyo comportamiento var´ıa si x ≤ 1 o 1 < x. Para calcular f (a) es necesario saber en que parte del dominio esta a. As´ı, por ejemplo, si a = −2, f (−2) = (−2)4 = 16. Si a = 2, f (2) = 22 = 4. Los problemas de la forma: ✭✭hallar los valores de x en el dominio tales que f (x) = b✮✮, pueden presentar dificultades con estas funciones. Por ejemplo, en el caso en que b = 6 hay que plantear dos ecuaciones, x2 = 6 y x4 = 6, y se deben escoger las soluciones con la definici´on √ √ que concuerden 4 de la funci´on. En este caso √ √ son x = − 6 y x = 6 6 no es soluci´ o n ya que 1 < 6 y por lo tanto Obs´ e rvese que x = !√ " !√ "4 √ √ 4 f 6 = 6 = 36 ̸= 6. Lo mismo sucede si x = − 6, ya que − 4 6 < 1 ! √ " ! √ "2 √ y por lo tanto f − 4 6 = − 4 6 = 6 ̸= 6. Dada la pertinencia de resaltar el conjunto de partida y de llegada, denotaremos la funci´on f como: f : A −→ B

´o

f

A −→ B.

Si es necesario, podemos cambiar las letras de los conjuntos A y B por cualquier otras y escribir f : X −→ Y, x −→ f (x).

Recordemos que las funciones son relaciones especiales, en las cuales a cada elemento del conjunto A le corresponde un s´olo elemento del conjunto B. Esto nos permite citar la imagen que la funci´on f le asigna al elemento x por f (x) (se lee f de x). Al valor de x se le llama la entrada y a y la salida. A x se le llama la variable independiente y a y la variable dependiente, tambi´en se dice que y es la imagen de x por medio de f .

Diversas representaciones Muchas veces es u ´til reconocer las diversas maneras en las que se pueden representar las funciones. A continuaci´on describiremos las representaciones m´as usuales a partir de algunos ejemplos.

Representaci´ on simb´ olica abstracta Esta representaci´on est´a asociada a las expresiones simb´olicas presentadas en la definici´on matem´atica. En general, cuando se est´a trabajando en un

Elementos generales de las funciones

321

dominio espec´ıfico, no hay necesidad de reiterarlo. Por ejemplo, la expresi´on f (x) = −2x + 5 representa una funci´on tal que a cada x ∈ R le hace corresponder el n´ umero real −2x + 5, as´ı, f (3) = −2 × 3 + 5 = −1, f (−3) = −2 × (−3) + 5 = 11.

Representaci´ on algebraica Cuando se presentan en forma de ecuaciones con variables reales. En este caso se acostumbra a despejar la variable y y se determina si es funci´on de la variable x. Consideremos las siguientes ecuaciones: 1. y 3 − x − 1 = 0.

2. y 2 + x2 − 4 = 0. √ 3. y = ± x + 9. 4. y = 2x − 5.

En este caso, 2 y 3 no corresponden a funciones. Para 1 se tiene que √ 3 f (x) = x + 1 y para 4, f (x) = 2x − 5.

Representaci´ on sagital Esta representaci´on se da cuando se definen las funciones utilizando flechas que unen las variables relacionadas. Se utilizan en el caso de funciones con dominio finito. Veamos algunos ejemplos: Sean A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4}. 1. La relaci´on definida por el diagrama: a

1

b

2

c

3

d

4

corresponde a una funci´on en la cual f (a) = 4, f (b) = 2, f (c) = 1 y f (d) = 4. En este caso Df = {a, b, c, d} y Rf = {1, 2, 4}.

322

Funciones

2. La relaci´on definida por el diagrama: a

1

b

2

c

3

d

4

no es una funci´on puesto que el elemento a no est´a relacionado con ning´ un elemento; no tiene imagen. 3. La relaci´on definida por el diagrama: a

1

b

2

c

3

d

4

no es funci´on pues el elemento d tiene dos im´agenes, 3 y 4.

Representaci´ on tabular Cuando se presentan los valores correspondientes a trav´es de tablas: Tabla 1 A 0 1 2 3 4

B 0 2 4 6 8

Tabla 2

Tabla 3

A a b c d e

A 15 30 43 43

B 4 2 4 6 8

B 1.65 1.7 1.8 1.75

Los datos correspondientes a las tablas 1 y 2 definen una funci´on de los respectivos dominios, pues a cada elemento del conjunto A le corresponde un s´olo dato del conjunto B. La tabla 3, en la cual se relacionan las edades

Elementos generales de las funciones

323

(en a˜ nos) y las estaturas (en metros), no representa una funci´on puesto que al 43 le corresponden dos valores; es claro que esto es congruente con la realidad ya que sabemos que dos individuos de 43 a˜ nos pueden tener diferente estatura.

Representaci´ on de pares ordenados definidos Sean X = {a, b, c, d} y Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Consideremos los siguientes conjuntos de parejas: 1. A = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 5)}. 2. B = {(a, 5), (a, 1), (b, 3), (c, 5), (d, 4)}. 3. C = {(a, 1), (b, 2), (d, 4)}. 4. D = {(a, 4), (b, 4), (c, 4), (d, 4)}. A y D representan funciones,del conjunto x en el conjunto y, mientras que B y C no. Note que B no es funci´on pues el elemento a tendr´ıa dos im´agenes, lo cual est´a en contra de la definici´on de funci´on. C no es funci´on porque el elemento c del dominio no tiene imagen; sin embargo, si tomamos ahora el conjunto X ′ = {a, b, d} como dominio y el mismo codominio Y , C representar´ıa una funci´on. De esta manera, la representaci´on de una funci´on por medio de pares ordenados, no es en s´ı misma completa, es necesario precisar el dominio.

Representaci´ on de pares ordenados por comprensi´ on Supongamos que X = Y = R (conjunto de los n´ umeros reales), y consideremos los siguientes conjuntos de parejas definidas seg´ un la ley establecida: 1. A = {(x, y) : y = 3x}. 2. B = {(x, y) : y = x2 }. ⎧ ⎨

⎫

1⎬ 3. C = ⎩(x, y) : y = ⎭. x

4. D = {(x, y) : x2 + y 2 − 1 = 0}.

324

Funciones

Solamente A y B representan funciones. C no representa una funci´on puesto que no existe ninguna pareja que tenga como primer componente el n´ umero real 0, esto se debe la operaci´on 1/0 no est´a definida. D no es funci´on pues las parejas (0, 1) y (0, −1) cumplen con la propiedad exigida, lo cual significar´ıa que el 0 tendr´ıa dos im´agenes.

Representaci´ on cartesiana Un plano cartesiano est´a formado por dos rectas perpendiculares entre s´ı, denominados ejes coordenados. Al eje horizontal se le denomina eje de las abscisas y cada uno de sus puntos se simboliza por la letra x. Al eje vertical se le denomina eje de las ordenadas y cada uno de sus puntos se simboliza por la letra y. En el eje de las abscisas se representa la variable independiente y en el eje de las ordenadas la variable dependiente. En t´erminos generales, la pareja (x0, y0 ) ∈ R2 est´a determinada por un u ´nico punto P en el plano cartesiano; rec´ıprocamente, dado un punto en el plano cartesiano, se le puede adoptar una u ´nica pareja (x0 , y0 ) de n´ umeros reales. eje y

y0

P = (x0 , y0 )

x0

eje x

Gr´afica de una funci´on Dada una funci´on f : X ⊂ R −→ R, definimos la gr´afica de f como el conjunto: Gr f = {(x, y) ∈ R2 : y = f (x) para alg´ un x ∈ Df }. En el plano cartesiano la gr´afica de f puede ser representada por:

Elementos generales de las funciones

325

y y = f (x) Q R x0 , f (x0 )

f (x0 )

x

x0

Toda relaci´on de R en R tiene una representaci´on gr´afica cartesiana. Una manera intuitiva de determinar cuando una gr´afica en el plano cartesiano corresponde a una funci´on es trazando rectas paralelas al eje y, y si alguna de ellas toca a la gr´afica en m´as de un punto, entonces no corresponde a una funci´on, es lo que se conoce como la prueba de la vertical.

5.2.2

Ejemplo

1. Tomemos X = Y = [−2, 2 ]. La gr´afica cartesiana y 2

2 −2

x

−2

corresponde a una funci´on. 2. Tomemos X = [−2, 2 ] y Y = R. La siguiente gr´afica no corresponde a la gr´afica de una funci´on, pues hay puntos del dominio a los que les corresponde m´as de una imagen.

326

Funciones y

−2

2

x

3. X = Y = R. La siguiente gr´afica no corresponde a la gr´afica de una funci´on, pues hay elementos del dominio sin imagen. y

1 |

|

|

|

1

|

|

x

4. A = B = R. La siguiente gr´afica corresponde a la gr´afica de una funci´on, se supone que si bien solo aparece una porci´on de la gr´afica, se puede interpolar la parte restante. y

x

Elementos generales de las funciones

327

5. Consideremos la funci´on f (x) = x. Los puntos sobre su gr´afica son del tipo (x, x). La primera coordenada debe ser igual a la segunda. As´ı, f (1) = 1 y f (−1) = −1. y

f (x) = x

1 1

x

6. Sea f (x) = −x. y

f (x) = −x

1

x

−1

7. Sea f (x) = |x|. Cuando 0 ≤ x, f (x) = x. Cuando x < 0, f (x) = −x. De donde f (x) es combinaci´on de las gr´aficas precedentes. y

f (x) = |x|

x

8. Sea f (x) = 2, una funci´on constante para todo n´ umero real x. Los puntos de la gr´afica son (x, 2). La gr´afica es una recta horizontal que interseca al eje y en el punto (0, 2).

328

Funciones y f (x) = 2 1 x

9. Sea f (x) = x2 . La gr´afica consta de todos las parejas (x, x2 ) como (1, 1), (2, 4), (−1, 1), (3, 9), (−3, 9), etc. La gr´afica es la siguiente, junto con los puntos que se dieron como ejemplo. y f (x) = x2 4

1

1

2

x

Diferentes tipos de funciones De acuerdo con las caracter´ısticas de su dominio y codominio las funciones se suelen clasificar en grupos para facilitar su estudio. As´ı, por ejemplo (todos son de la secci´on 5.2.2). 1. Si tanto el dominio como el codominio de la funci´on son subconjuntos de R, la funci´on se suele llamar num´erica o funci´on real de una sola variable. La funci´on del ejemplo 1, f (x) = x2 y f (x) = 2x − 5 son casos t´ıpicos. 2. Si el dominio es un subconjunto de Rn (n = 2, 3, etc.) y el codominio es un subconjunto de R, la funci´on se llama real de varias variables. La funci´on del ejemplo 2, f (a, b) = a + b, es de este tipo con n = 2. 3. Si el dominio un subconjunto de R y el codominio de Rn (n = 2, 3, etc.), se dice que la funci´on es de valor vectorial y de variable real. En

Elementos generales de las funciones

329

los ejemplos considerados no hay funciones de este tipo. 4. Si el dominio es un subconjunto Rn y el codominio de Rm (n, m = 2, 3, etc.) la funci´on se llama de valor y de variable vectorial. La funci´on del ejemplo 3 de la secci´on 5.2.2, f (x, y) = (x − y, x + y), es de este tipo con n = m = 2. Aunque no siempre se tiene que n = m. 5. Si tanto el codominio como el dominio son subconjuntos de los n´ umeros complejos se habla de funciones complejas. En los ejemplos considerados no hay funciones de este tipo pero las hay en los ejercicios propuestos al final de la unidad. Existen muchas otras clasificaciones de funciones que no es del caso presentar aqu´ı. En este cap´ıtulo nos centraremos principalmente en el estudio de las funciones num´ericas, aunque en esta secci´on estudiamos el concepto de funci´on desde un punto de vista general.

C´alculo del dominio y rango de una funci´on No siempre nos es dado de manera expl´ıcita el dominio de una funci´on. En ocasiones, conocemos la relaci´on entre las variables dependiente e independiente a trav´es de una ecuaci´on, pero se sabe que el dominio no corresponde a la totalidad de los reales puesto que existen valores para los cuales la funci´on no estar´ıa definida. Un problema interesante en estos casos es el c´alculo de dominios. 5.2.3

Ejemplo

1 . x A cada n´ umero real x le hace corresponder su inverso. Dado que el 0 es el u ´nico n´ umero real que no tiene inverso (no existe ning´ un n´ umero real que multiplicado con 0 de 1), el dominio de f son todos los n´ umeros reales diferentes de 0. En particular, 1. Sea f (x) =

f (1) = 1,

⎛ ⎞

f⎝

!√ " 1 1⎠ =2 y f 2 = √ . 2 2

Puesto que 1/x es siempre diferente de cero, el rango de f es el conjunto de los n´ umeros reales y ̸= 0. As´ı podemos decir que Df = R − {0} y Rf = R − {0}.

330

Funciones

2. Sea g(x) =

√

x + 2.

Recordemos que la ra´ız cuadrada s´olo est´a definida para los n´ umeros reales mayores o iguales a cero. Esto significa que el dominio de g est´a constituido por los x ∈ R tales que 0 ≤ x + 2, o sea −2 ≤ √ x. Adem´as, como la ra´ız cuadrada siempre es positiva, entonces 0 ≤ x + 2. De esta forma, Df = [ −2, ∞) y Rf = [ 0, ∞) √ En particular, g(−2) = 0, g(0) = 2 y g(2) = 2. 2 + 1. 3−x √ Observemos que 3 −√ x tiene sentido solamente si 0 ≤ 3 − x, o sea si x ≤ 3. Para x = 3, 3 − x = 0 y su inverso no tiene sentido. As´ı que√Df = {x : x < 3} = (−∞, 3). Cuando x var´ıa desde −∞ hasta 3, 3 − x toma valores positivos y del mismo modo su inverso. As´ı el rango de la funci´on f es Rf = {y : 1 < y} = (1, ∞). 3. Sea f (x) = √

Clases de funciones Sea f : A −→ B una funci´on arbitraria y sea Rf su rango.

Funciones sobreyectivas Por definici´on, el rango Rf es un subconjunto del codominio B (Rf ⊂ B). Cuando el rango coincide plenamente con el codominio (Rf = B), se dice que f es sobreyectiva. En otras palabras, una funci´on f es sobreyectiva cuando todo elemento del codominio es imagen de alg´ un elemento en el dominio. Simb´olicamente !

"

f es sobreyectiva ←→ ∀y ∈ B ∃x ∈ A y = f (x) .

Funciones inyectivas La definici´on de f como funci´on excluye que pueda existir un elemento x en el dominio con dos o m´as im´agenes en el codominio, esto es, que existan elementos y1 y y2 (y1 ̸= y2 ) en B tales que y1 = f (x) y y2 = f (x). No excluye la definici´on de funci´on, sin embargo, que puedan existir

Elementos generales de las funciones

331

elementos diferentes en A, digamos x1 y x2, que tengan la misma imagen y en B, es decir, tales que f (x1 ) = f (x2 ) = y. Las funciones en las que esta situaci´on no se presenta se llaman inyectivas o uno a uno. En otras palabras, una funci´on es inyectiva cuando elementos diferentes en el dominio tienen im´agenes diferentes en el rango. Simb´olicamente !

"

!

"

f es inyectiva ←→ ∀x1, x2 ∈ Df x1 ̸= x2 −→ f (x1 ) ̸= f (x2 ) .

Expresi´on que tambi´en se puede escribir equivalentemente mediante el uso de la proposici´on contrarec´ıproca en la siguiente forma. f es inyectiva ←→ ∀x1, x2 ∈ Df f (x1 ) = f (x2 ) −→ x1 = x2 .

Funciones biyectivas Cuando una funci´on es inyectiva y sobreyectiva se dice que es biyectiva. En el capitulo 1, en la secci´on 1.8.4, hablamos de correspondencia biun´ıvoca entre conjuntos. Esta correspondencia se puede visualizar como una funci´on biyectiva. No es dif´ıcil ver que si entre los conjuntos X y Y existe una correspondencia biun´ıvoca, esta correspondencia define una funci´on biyectiva de X en Y . Rec´ıprocamente, la manera de establecer una correspondencia biun´ıvoca entre dos conjuntos X e Y , de ser posible, es definiendo una funci´on biyectiva de X en Y . 5.2.4

Ejemplo

1. Si X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c, d} y definimos f : X −→ Y tal que f (1) = b = f (2), f (3) = a. Claramente f no es inyectiva ni sobreyectiva. Sin embargo, si definimos f (1) = a, f (2) = b, y f (3) = c entonces f es inyectiva m´as no sobreyectiva. ¿Podr´ıamos definir f : X −→ Y que sea sobreyectiva? 2. La funci´on f (x) = x2 definida sobre los reales no es inyectiva puesto que 2 ̸= −2, y sin embargo, f (2) = f (−2). Puesto que el rango de la funci´on Rf = {y : 0 ≤ y} no es todo R, entonces f tampoco es sobreyectiva. 3. La funci´on lineal, f (x) = mx + b (m ̸= 0) es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva. Puesto que si x1 ̸= x2 entonces tendr´ıamos que mx1 + b ̸= mx2 + b, o sea que f (x1 ) ̸= f (x2 ), esto implica que f es inyectiva. Por otro lado si y es cualquier n´ umero real necesitamos probar que existe un x real tal que

332

Funciones

f (x) = y, esto equivale a resolver la ecuaci´on mx + b = y; resolviendo obtenemos mx = y − b y puesto que m ̸= 0, hallamos que x = (y − b)/m, as´ı f es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva.

Composici´on de funciones Dadas dos funciones f y g podemos obtener una nueva funci´on h combinando estas dos funciones de tal forma que a un valor particular del dominio de f , cuya imagen es f (x) le aplicamos g, seg´ un la siguiente definici´on: 5.2.5 Definici´ on funci´ on compuesta Sean g y f dos funciones, la funci´on compuesta de g y f se define como la funci´on h para la cual; h(x) = g(f (x)) La funci´on h se denomina f compuesta g, y se denota como g ◦ f Para que g(f (x)) tenga sentido es necesario que los valores f (x) pertenezcan al dominio de g. De esta forma, el domino de g ◦ f corresponder´a al conjunto: Df ◦g = {x ∈ Df : f (x) ∈ Dq } 5.2.6

Ejemplo

1. Sean f (x) = x + 3 y g(x) = x3 , entonces: Puesto que Df = R y para todo x, g(f (x)) se puede calcular, tenemos que Dg◦f = R. !

"

g ◦ f (x) = !g f (x) = g(x + 3) = (x + 3)3 . De esta manera, " g ◦ f (3) = g f (3) = g(3 + 3) = 63 = 216.

Por otro lado, Dg = R y para todo x, f (g(x)) se puede calcular, tenemos que Df ◦g = R. !

"

f ◦ g(x) = f g(x) = f (x3 ) = x3 + 1. !

"

De esta manera, (f ◦ g)(3) = (f g(3) ) = f (27) = 27 + 3.

Elementos generales de las funciones

333

2. Sean

1 1 √ . y g(x) = x2 x−2 Los dominios y rangos de f y g son respectivamente, Df = R − {0}, Rf = (0, ∞), Dg = {2 < x} = (2, ∞) y Rg = (0, ∞). f (x) =

Puesto que Rg ⊂ Df se puede definir f ◦ g : (2, ∞) −→ (0, ∞), donde ⎛

⎞

1 ⎠ (f ◦ g)(x) = f g(x) = f ⎝ √ = x − 2. x−2 !

"

es conveniente observar que Df ◦g = Dg = (2, ∞).

Por otro lado, tenemos que:

⎛

⎞

1 (g ◦ f )(x) = g f (x) = g ⎝ 2 ⎠ = x !

en este caso,

"

1 B C C D

1 −2 x2

.

Dg◦f = {x ∈ Df : f (x) ∈ Dg }. Si x ∈ Df , entonces x ̸= 0. Si f (x) ∈ Dg entonces 2 < 1/x2, lo cual implica que x2 < 2, o sea −2 < x < 2 con x ̸= 0. De esta forma, se puede definir g ◦ f con Dg◦f = (−2, 0) ∪ (0, 2).

Funciones inversas Hemos dicho que una funci´on es una ley de correspondencia entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B. En esta definici´on el orden en que se consideran los conjuntos no se puede modificar y por ello toman nombres distintos. Se podr´ıa pensar, sin embargo, que si f es una funci´on de A en B, al existir una ley de correspondencia que asocia a cada x en A un elemento y en B, y m´as espec´ıficamente en el rango Rf , se podr´ıa usar esa misma correspondencia en sentido contrario, es decir, invirti´endola, para establecer una correspondencia entre los elementos de Rf , que ahora ser´ıa el dominio de la relaci´on y elementos de A que ahora ser´ıa el codominio y rango de la nueva ley de correspondencia.

334

Funciones

En realidad dicha correspondencia inversa se puede obtener, como se visualiza en la gr´afica siguiente, pero no necesariamente define una funci´on pues en el caso de funciones que no son inyectivas un elemento del nuevo dominio podr´ıa tener m´as de una imagen. f •

• Nueva correspondencia.

•

•

•

La nueva correspondencia no necesariamente define una funci´ on.

Resulta claro intuitivamente, por lo tanto, que solo en el caso de funciones inyectivas, la ley de correspondencia que se obtiene de invertir el sentido de la ley de correspondencia de f , define una funci´on. Esta funci´on toma el nombre de funci´on inversa de f . Si la denotamos con g, su ley de correspondencia resulta definida, consecuentemente, en t´erminos de f , de la siguiente manera: x es la imagen de y seg´ un g (x = g(y)), si y s´olo si y es la imagen de x seg´ un f (y = f (x)). Se cumple adem´as, que Dg = Rf y Df = Cg = Rg , lo cual permite considerar las funciones compuestas g◦f ! " ! " de A en A, tal que g f (x) = x y f ◦ g de Rf en Rf tal que f g(y) = y. Las consideraciones anteriores se pueden formalizar de la siguiente manera. 5.2.7 Definici´ on funci´ on inversa Sea f una funci´on de A en B. Sea Rf su rango. Se dice que f posee ! " inversa si existe una funci´ on g de Rf en A tal que g f (x) = x para ! " todo x en A, y f g(y) = y para todo y en Rf . Si existe, g es u ´nica y por lo tanto se habla de la funci´on inversa de f . Esto es, en realidad, una proposici´on que deber´ıa demostrarse pero que dejamos como un ejercicio. 5.2.8 Teorema Una funci´on f posee inversa si y s´olo si f es inyectiva. Demostraci´ on. −→). Suponemos que f posee inversa. Para demostrar que f es inyectiva basta demostrar que si x1 y x2 son elementos arbitrarios en

Elementos generales de las funciones

335

el dominio de f , tales que f (x1 ) = f (x2 ), entonces x1 "= x2.!En efecto, si g ! " es! la inversa de f ,!por definici´ on, se tiene que g f (x1 ) = g f (x2 ) y como " " g f (x1 ) = x1 y g f (x2 ) = x2 , se concluye la igualdad buscada. ←−). Supongamos ahora que f es inyectiva para demostrar que posee inversa. Como f es inyectiva, para todo elemento y en Rf existe un elemento x en Df , u ´nico, tal que y = f (x). Si se define la ley de correspondencia g de Rf en Df de suerte que g(y) = x, g es una funci´on bien definida porque ! " a cada y en Rf solo corresponde un x en Df . Adem´as, g f (x) = g(y) = x ! " para todo x en Df y f g(y) = y para todo y en Rf . Es decir, g cumple la definici´on de funci´on inversa de f . Con el fin de ayudar a precisar aspectos operativos y conceptuales de la definici´on de funci´on inversa volvemos con algunas observaciones sobre los ejemplos de la secci´on 5.2.2 que hemos venido considerando a lo largo de esta unidad. No sobra decir que las funciones inversas son de uso extendido en el c´alculo matem´atico tal como se desprende de su incorporaci´on a las calculadoras manuales de tipo cient´ıfico. 1. La funci´on f (x) = x2 de R en R+ 0 no es inyectiva. Por lo tanto, no posee funci´on inversa. Sin embargo, si consideramos una restricci´on del dominio a Df = R+ 0 , sabemos que es inyectiva. Al despejar x en la 2 expresi´on y = x nos permite encontrar la expresi´on que define la ley √ de correspondencia de la inversa. Se tiene x = y (¿Por qu´e se omite √ √ − y?). Compruebe que la funci´on g(y) = y cumple la definici´on de ser funci´on inversa de f cuando se restringe a R+ 0. 2. La funci´on f (x, y) = x + y de R2 en R no es inyectiva y no tiene, consecuentemente, funci´on inversa. 3. La funci´on f (x, y) = (x − y, x + y) de R2 en R2 es inyectiva y sobreyectiva y por lo tanto posee funci´on inversa g de R2 en R2. Para encontrar la ley de correspondencia que define a g es importante tener presente que las im´agenes de f son parejas de n´ umeros (a, b), que se obtienen a partir de la pareja (x, y), mediante la expresi´on (a, b) = f (x, y) = (x − y, x + y). Por lo tanto, para obtener en forma expl´ıcita la ley de correspondencia que define a g se debe expresar la pareja (x, y) en t´erminos de (a, b) a partir de la ecuaci´on anterior. Utilizando los resultados obtenidos al presentar este ejemplo en" la sec! ci´on 5.2.2, se puede escribir que (x, y) = (a + b)/2, (b − a)/2 y por

336

Funciones

lo tanto se puede concluir que ⎛

⎞

a + b b − a⎠ (x, y) = g(a, b) = ⎝ , . 2 2 Quiz´as sea m´as coherente con la notaci´on que hemos utilizado para funciones de una variable describir a f de la siguiente manera, (y1 , y2 ) = f (x1 , x2 ) = (x1 − x2, x1 + x2!), en cuyo caso su inversa " g se describir´ıa como (x1 , x2 ) = g(y1 , y2 ) = (y1 + y2 )/2, (y2 − y1 )/2 . Es importante que el estudiante pueda comprender que el procedimiento seguido en este ejemplo es, en realidad, el mismo que el utilizado en la ilustraci´on del numeral 1. En ambos casos se trata de despejar x de la expresi´on que se simboliza como y = f (x) para obtener una expresi´on x = g(y), que permite obtener x en t´erminos de y. Solo que en el numeral mencionado x e y representan n´ umeros, mientras que el ejemplo presente representan parejas de n´ umeros. Terminamos esta secci´on con la siguiente observaci´on sobre notaci´on. Es muy com´un utilizar el s´ımbolo f −1! para denotar la funci´on inversa de " ! " f −1 −1 cuando existe. Consecuentemente, f f (y) = y, y ∈ Rf y f f (x) = x, x ∈ Df . Cuando se encuentre con esta notaci´on es importante que el estudiante tenga presente que el ✭✭−1 ✮✮ no se trata de un exponente y que no vaya a caer en la tentaci´on de escribir f −1 (x) = 1/f (x). Es com´un tambi´en encontrar en libros de matem´aticas expresiones de la forma f −1 (C) donde C es un conjunto en el codominio de f . En este caso f −1 (C) se llama imagen inversa de C seg´un f y se define como f −1 (C) = {x ∈ Df : f (x) ∈ C}. En este contexto, esta notaci´on es aplicable a cualquier funci´on a´un as´ı no sea inyectiva y no debe asociarse, por lo tanto, con una supuesta funci´on inversa. Por ejemplo, si f (x) = x4 de R en R, se tiene que: !

"

-

.

f −1 [ 0, 1] = x ∈ R : f (x) = x4 ∈ [ 0, 1 ] , = {x ∈ R : 0 ≤ x4 ≤ 1}, = [ −1, 1 ].

Obs´ervese que en este caso f no posee inversa.

Elementos generales de las funciones

337

Ejercicios 5.2 1. Determine si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas justificando su respuesta. a) Entre dos funciones arbitrarias f y g siempre se puede definir la funci´on compuesta f ◦ g.

b) La funci´on f (x) = x2 de {0, 1, 2, 3, 4} en R es igual a la funci´on definida por el conjunto de parejas {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}.

c) De R en {0, 1} solo se pueden definir dos funciones.

d) Existe una funci´on que no posee inversa.

e) Sean f y g funciones. Si f ◦ g y g ◦ f existen entonces f ◦ g = g ◦ f .

f ) Las funciones f : R −→ R tal que f (x) = sen x y g : R −→ [ 1, 1 ] tal que g(x) = sen x no son iguales. x−1 1 g) La funci´on f (x) = 2 y g(x) = son iguales. x −1 x+1 h) Toda funci´on se puede hacer sobreyectiva. i) No toda funci´on inyectiva posee inversa. !

"

j) Sean f y g funciones de R en R. Si f g(x) = x, para todo x en R entonces g = f −1 . 2. Explique si la ley de correspondencia que se describe en cada uno de los numerales siguientes define una funci´on. Si la respuesta es positiva determine su dominio y codominio. Si la respuesta es negativa explique si una adecuada restricci´on del dominio en que se considera la ley de correspondencia permite generar una funci´on. a) La ley de correspondencia que asigna a cada estudiante regular de Univalle su c´odigo y su plan de estudios. b) A = πr2 . c) x2 − y + 1 = 0 (y como funci´on de x).

d) x2 + y 2 = 1 (y como funci´on de x).

e) x2 + 4xy − x + y − 6 = 0 (x como funci´on de y). f ) x + y + z = 1 (z como funci´on de x e y).

g) f : C −→ R, f (z) = |z|.

338

Funciones

h) La ley de correspondencia que a cada polinomio de coeficientes reales se le asigna su grado. i) f (x, y) = (2y, x) de R2 en R2 . @

j) {(x, y) : y = |x| + 2, x ∈ R}. 1 . k) y = f (x) = (x − 4)(x + 4) 3. En cada una de las siguientes funciones determine, si es posible: a) El tipo de funci´on (num´erica de una variable, de varias variables, compleja, de valor vectorial, etc.). b) El dominio. c) El valor f (a). d) Si b ∈ Rf . Justifique apropiadamente sus respuestas. a) f : R −→ R. f (x) = x2 + x + 1. a = 0, 1, t + 1. b = 2, 0, −1. √ 3 1 b) f (x) = √ 2 . a = 3, . b = 1, 0. 2 x − 16 √ √ 3xy c) f (x, y) = 3 . a = (1, 1), ( t, t). b = 0, 1. x + y3 d) {(1, 1), (2, 4), (3, 9), . . .}. a = 5, k + 1. b = 24, 49. ⎧ ⎨x,

e) f (x) = ⎩ 2x + 3,

si 3x ≤ 0, . a = −1, 0, 1. b = 2, 0,5 , −2. si 0 < x.

4. En cada caso determine si la funci´on que se da es inyectiva. Calcule tambi´en su rango. Si la funci´on es inyectiva calcule su funci´on inversa comprobando que es su inversa. a) f (x) = 3x2 + 2.

+ 8 b) f : R+ 0 −→ R0 tal que f (x) = x .

e) f (x) = c) f (x) = x3 + 1. d) f (x) =

1 . x+1

1 . x2 − 4

@

f ) f (x, y) = 2x2y 2 . ⎧ ⎨x,

g) f (x) = ⎩

si x ≤ 0, x + 1, si 0 < x.

Elementos generales de las funciones

339

5. Explique de que manera las operaciones de multiplicaci´on, divisi´on y resta entre n´ umeros reales, pueden considerarse funciones (determine dominio, codominio y rango). 6. En cada uno de los siguientes casos encuentre una funci´on que exprese: a) El radio de una circunferencia en t´erminos de su per´ımetro. b) El volumen de un paralelep´ıpedo rectangular en t´erminos de las longitudes de sus aristas. c) El volumen de un cilindro circular recto en t´erminos de su radio y de su altura. 7. Si 20 personas o menos realizan un viaje, una agencia cobra 2.000 pesos por persona. Si viajan m´as de 20 personas el precio reduce en 200 pesos por persona que exceda las 30. Si el cupo en un viaje es de 200 personas encuentre una funci´on que exprese el costo total en t´erminos del n´ umero de personas que hacen el viaje. 8. Encuentre una funci´on que exprese el n´ umero de funciones que se pueden definir de un conjunto de n elementos en un conjunto de m elementos en t´erminos de n y m. 9. Encuentre una funci´on que exprese el n´ umero de subconjuntos de k elementos de un conjunto de n elementos en t´erminos de n y k. 10. Encuentre una funci´on que exprese el n´ umero de subconjuntos de un conjunto de n elementos en t´erminos de n (tenga en cuenta al conjunto vac´ıo como un subconjunto). 11. En cada uno de los siguientes casos calcule f ◦ g y g ◦ f si es posible; determinando los casos de funciones inversas que se presenten. Calcule igualmente f ◦ g(a) para el a que se indica. 1 1 1 , g(x) = 3 y a = . x−2 x 2 b) f (x) = 4x3 + 5x2 , g(x) = x − 1 y a = 2. √ c) f (x) = x2 − 1, g(x) = 2x − 3 y a = |t + 1|.

a) f (x) =

d) f (x) = 1, g(x) = 2 y a = 0.

12. En cada una de las funciones num´ericas h que se dan trate de hallar funciones f y g tales que h = f ◦ g.

340

Funciones

a) h(x) = (x + 1)3 . b) h(x) = 2x+1 − 3. ⎛

⎞2

⎛

⎞2

1 ⎠ 1 ⎠ c) h(x) = 4⎝ +⎝ + 5. x−1 x+2 13. Suponga que dada una funci´on f de X en Y , existe! una "funci´on g de Rf ! " en Df tal que g f (x) = x para todo x en Df y f g(y) = y para todo y ∈ Rf . Demuestre que g es u ´nica.

5.3.

Funciones num´ ericas

En esta unidad nos centraremos en el estudio de las funciones num´ericas. Recordemos que una funci´on se llama num´erica si tanto su dominio como codominio son conjuntos de n´ umeros reales. El concepto de funci´on, y m´as espec´ıficamente el de funci´on num´erica, est´a presente en todos los cap´ıtulos que hemos estudiado. Cuando en el cap´ıtulo 4 se habla de valores num´ericos de expresiones matem´aticas que se determinan a partir los de valores de las variables, se est´a hablando de una correspondencia que define una funci´on de valor num´erico, en una o en varias variables, cuyos dominios son los dominios de las expresiones matem´aticas correspondientes. Consecuentemente, la clasificaci´on que dimos de dichas expresiones induce, a su vez, una clasificaci´on similar en las funciones definidas por ellas. Una funci´on de valor num´erico ser´a algebraica o trascendente seg´ un que est´e definida por una expresi´on matem´atica algebraica o trascendente. A su vez, una funci´on algebraica ser´a polin´omica si est´a definida por un polinomio, racional si est´a definida por una expresi´on algebraica racional, etc. Son ejemplos de √ funciones algebraicas, 3 f (x) = x +x−1, f (x) = (x−1)/(x+1) y f (x) = x/(x+1). Son ejemplos de funciones trascendentes, f (x) = ex , f (x) = log x y f (x) = cos x. En ambos casos los dominios est´an determinados por los dominios de definici´on de las expresiones matem´aticas correspondientes. En el ejercicio 1 de esta unidad se proponen algunas funciones para clasificar.

Funciones num´ericas

341

´ Algebra de funciones Como hemos dicho anteriormente, las funciones son objetos matem´aticos que se pueden combinar mediante reglas especiales para producir nuevas funciones. En la secci´on 5.2.8 introdujimos la operaci´on general de composici´on. Para las funciones num´ericas se pueden introducir tambi´en ✭✭operaciones aritm´eticas✮✮ que permiten hablar de suma, multiplicaci´on, etc. de funciones. Estas operaciones se definen de la siguiente manera. Sean f y g dos funciones num´ericas con dominio com´ un D. Funci´ on suma: f + g. Es la funci´on definida en el dominio de f y g, cuya ley de correspondencia se establece de la siguiente manera: (f + g)(x) = f (x) + g(x). No es dif´ıcil ver que ´esta operaci´on de suma tiene las mismas propiedades formales de la suma entre n´ umeros: asociativa, conmutativa, etc. En particular, el elemento neutro ser´a la funci´on 0 que a cada x en el dominio considerado asocia el valor cero. Esto es 0(x) = 0. Consecuentemente, si f es una funci´on num´erica, la funci´on opuesta se puede denotar como −f y su ley de correspondencia estar´a definida por la expresi´on (−f )(x) = −f (x). Funci´ on diferencia: f −g. Como en el caso de los n´ umeros, la resta entre funciones f − g se puede considerar como un caso particular de la suma, definida por f − g = f + (−g). Se puede definir tambi´en como la funci´on en el dominio com´ un de f y g, cuya ley de correspondencia se establece de la siguiente manera: (f − g)(x) = f (x) − g(x). Funci´ on producto: f g. Es la funci´on definida en el dominio com´ un de f y g, cuya ley de correspondencia se establece de la siguiente manera: (f g)(x) = f (x)g(x). Esta operaci´on de multiplicaci´on entre funciones goza de algunas, pero no de todas, las propiedades formales de la multiplicaci´on entre n´ umeros. Funci´ on cociente: f /g. Esta operaci´on supone que g(x) ̸= 0 para todos los x del dominio considerado. En este caso, la funci´on cociente es la funci´on

342

Funciones

definida en el dominio com´ un de f y g, cuya ley de correspondencia se establece de la siguiente manera: ⎛

⎞

f f (x) ⎝ ⎠(x) = . g g(x) Esta operaci´on se podr´ıa plantear como en la divisi´on entre n´ umeros, y de manera similar a la suma, como un caso particular de la multiplicaci´on (ver el ejercicio 2 de esta unidad). Es com´ un encontrar funciones que se presentan como cf , f ± c y (1/c)f , siendo c una constante. Estas funciones son, en realidad, resultados particulares de las operaciones entre funciones definidas anteriormente, en los cuales una de las funciones involucradas, es constante. Basta tomar en las definiciones dadas g(x) = c, para todo x es el dominio com´ un. Es importante destacar que las operaciones que hemos definido, aunque se apoyan en las operaciones entre n´ umeros, son operaciones entre funciones, que son objetos matem´aticos distintos de los n´ umeros. Por lo tanto, as´ı como hablamos que los conjuntos de n´ umeros ten´ıan una estructura algebraica, podemos afirmar que ciertos conjuntos de funciones num´ericas se pueden dotar tambi´en de una estructura algebraica (mirar el ejercicio n´ umero 2). Utilizando las definiciones que hemos dado, una funci´on determinada se puede mirar como el resultado de combinar algebraicamente varias funciones. Por ejemplo si h(x) = (x2 + x)/(x + 1) se podr´ıa pensar, por ejemplo, que h = (h1 + h2 )/(h3 ) donde h1 (x) = x2 , h2(x) = x y h3(x) = x + 1, en el dominio R − {−1}. De manera rec´ıproca si f (x) = ex y g(x) = x2 , la funci´on h = gf estar´a definida por la expresi´on h(x) = x2ex.

Gr´afica de una funci´on De la geometr´ıa anal´ıtica sabemos, que mediante un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, es posible establecer una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto de parejas de n´ umeros reales (R2 ) y los puntos del plano. En esta correspondencia, si (x, y) es una pareja de n´ umeros, el punto asociado se denota por P (x, y). La pareja (x, y) se llama la coordenada del punto P . Como hemos on f no es m´as que un ! visto,"una funci´ conjunto de parejas de la forma x, f (x) , que en el caso de las funciones num´ericas, son parejas de n´ umeros. Tiene sentido, por lo tanto, hablar de representaci´on gr´afica o simplemente gr´afica Gf de una funci´on num´erica f , que naturalmente vendr´ıa dada por el conjunto de puntos con coordenadas

Funciones num´ericas !

343

"

del tipo x, f (x) . Simb´olicamente: -

.

Gr´afica de la funci´on f = Gf = (x, y) : x ∈ Df , y = f (x) , -

.

"

= (x, f (x) : x ∈ Df .

Gf constituye una representaci´on intuitiva de la funci´on f que permite visualizar su comportamiento matem´atico y, en especial, la forma como la variaci´on de x (variable independiente), afecta la variaci´on de y (variable dependiente). Por esta raz´on, la gr´afica es un instrumento de gran utilidad en el estudio y aplicaci´on de las funciones num´ericas. Esbozaremos a continuaci´on algunos pasos o principios u ´tiles en la construcci´on de la gr´afica de una funci´on. En lo que sigue, Gf se refiere al gr´afico de una funci´on num´erica arbitraria f . Ilustraremos, inicialmente, tales principios discutiendo simult´aneamente la construcci´on de la gr´afica de la funci´on, g(x) = |x|.

Identificaci´ on de simetr´ıas Algo que puede simplificar considerablemente el trazado de la gr´afica de una funci´on es la identificaci´on de alguna simetr´ıa, ya que permite reducir la zona o dominio en que se estudia la forma de la gr´afica. El resto de ella se obtiene aplicando la simetr´ıa identificada. Damos a continuaci´on, los criterios para determinar cuando la gr´afica de una funci´on es sim´etrica respecto al eje y ´o al origen. La gr´afica Gf es sim´etrica respecto al eje y si dado un punto P (x, y), arbitrario en Gf , el punto P (−x, y) tambi´en est´a en Gf (ver la dos figuras siguientes). Puesto que un punto P (x, y) est´a en la gr´afica de f si y solo si y = f (x), la definici´on anterior es equivalente a decir que, Gf es sim´etrica respecto al eje y si y s´olo si f (x) = f (−x) para todo x en el dominio de f . y P (−x, y)

−x

P (x, y)

x

x

Figura 5.1: Puntos sim´etricos respecto al eje y.

344

Funciones y Q R −x, f (−x)

Q

R x, f (x)

x

x

−x

Figura 5.2: Porci´ on de gr´ afica sim´etrica respecto del eje y.

Si Gf es sim´etrica respecto al eje y, basta estudiar la forma de Gf a la derecha (o izquierda) del eje y. El resto de la gr´afica se puede obtener por simetr´ıa. Si aplicamos este criterio a nuestro ejemplo de referencia se tiene g(x) = |x| = |−x| = g(−x). Esto quiere decir que la gr´afica de g es sim´etrica respecto del eje y. Simetr´ıa respecto del origen. La gr´afica Gf es sim´etrica respecto al origen, si dado un punto arbitrario P (x, y) en Gf , el punto P (−x, −y) tambi´en esta en Gf . En el lenguaje funcional esto es equivalente a decir que Gf es sim´etrica respecto al origen si y s´olo si f (−x) = −f (x) para todo x en el dominio de f . y

−x

Q R x, f (x) x

x

Q R −x, f (−x)

Figura 5.3: Porci´ on de gr´ afica sim´etrica respecto al origen.

Si Gf es sim´etrica respecto al origen, basta estudiar la forma de Gf a la derecha o la izquierda del origen. El resto de la gr´afica se puede obtener

Funciones num´ericas

345

por simetr´ıa. En el caso de nuestro ejemplo de referencia no hay simetr´ıa respecto del origen, puesto que: g(−x) = |−x| = |x| = ̸ −g(x). Simetr´ıa respecto al eje x. La gr´afica de una funci´on no puede ser sim´etrica respecto al eje x. ¿Porqu´e? Observe, igualmente, que una funci´on no puede ser sim´etrica respecto al eje y y respecto al origen simult´aneamente. ¿Porqu´e?

Determinaci´ on de los puntos de corte de la gr´ afica con los ejes Con el eje x. Para calcular los posibles puntos de corte de Gf , con el eje x, basta determinar los x en Df , tales que f (x) = 0. Es decir, son los puntos (x, 0) que pertenecen a la gr´afica. En el ejemplo que nos ocupa, g(x) = |x| = 0 si y s´olo si x = 0. O sea, que Gg corta al eje x en el origen. Con el eje y. Para que Gf corte el eje y,"el 0 debe pertenecer a Df . El ! punto de corte tendr´a coordenadas 0, f (0) . En el ejemplo de referencia, el punto de corte con el eje y se confunde con el punto de corte con el eje x, puesto que g(0) = |0| = 0. O sea que el punto de corte es tambi´en el origen. Es importante observar que mientras los puntos de corte con el eje x pueden ser m´as de uno, existe, a lo sumo, un punto de corte con el eje y.

Tabla de Valores Adicionalmente a los puntos de corte con los ejes puede ser u ´til disponer de algunos puntos en Gf , para lo cual es necesario construir una tabla con las coordenadas de tales puntos. La tabla se construye dando a x algunos valores en el dominio, convenientemente escogidos, y calculando los valores f (x) correspondientes. En nuestro ejemplo de referencia, como la gr´afica de la funci´on sim´etrica respecto al eje y, es suficiente asignar a x valores no-negativos.

346

Funciones y 3

x |x| 0 0 1 1 2 2 3 3

2 1

1

2

3

x

La gr´afica de una funci´on usualmente contiene infinitos puntos, por lo que una tabla de valores, as´ı sea muy grande, constituye una ayuda muy precaria en la construcci´on de la mayor´ıa de las gr´aficas. Sin embargo, algunas veces, como en el ejemplo que nos ocupa, es posible intuir la forma de la gr´afica a partir de una tabla bien construida y, por lo general, es esto lo que se busca. Terminamos esta secci´on resumiendo la informaci´on que hemos obtenido sobre la funci´on g(x) = |x| y trazando su gr´afica que aparece en la figura siguiente. La forma de su gr´afica se deduce f´acilmente de la simetr´ıa respecto al eje y. y g(x) = |x|

x

Veamos otros ejemplos. Gr´afica de la funci´on y = f (x) = x3 . Para la determinaci´on de su gr´afica seguimos los pasos esbozados anteriormente. Simetr´ıas. Puesto que y = f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x), se deduce de inmediato que la funci´on no es sim´etrica respecto al eje y pero lo es respecto al origen. Puntos de corte con los ejes. Puesto que f (x) = x3 = 0 si y s´olo si x = 0, se concluye que los puntos de corte con los ejes coordenados coinciden y est´an en el origen.

Funciones num´ericas

347

Tabla de valores. La simetr´ıa de la funci´on respecto al origen permite reducir el estudio de la gr´afica para valores de x a la derecha del origen, incluy´endolo (ver la siguiente tabla y la figura correspondiente).

x

f (x) = x3

0

0

0,75

0,422

1

1

2

8

y 8

1 0,422 0 0,75 1

2

x

Observe que al crecer x, f (x) = x3 crece muy r´apidamente, por lo que es necesario utilizar una escala m´as reducida. Los puntos consignados en la figura anterior y la simetr´ıa respecto al origen, sugieren que la forma de la gr´afica es la que se indica en la figura siguiente.

348

Funciones y

f (x) = x3

x

⎧ ⎨−3,

Gr´afica de la funci´on y = f (x) = ⎩

[x],

si x < −2, si −2 ≤ x.

Donde [x] se suele nombrar como ✭✭mayor entero contenido en x✮✮. Por definici´on [x] = n siendo n tal que n ≤ x < n + 1. En general, siempre es importante entender bien lo que dice la definici´on de una funci´on, antes de intentar el trazado de su gr´afica. Esto es particularmente claro en el ejemplo que nos ocupa, porque entender su definici´on, es suficiente para vislumbrar la forma de su gr´afica. Si se medita un poco en la definici´on de [x], se llega r´apidamente a la conclusi´on que [x] permanece constante cuando x var´ıa entre dos enteros. Se puede escribir, por lo tanto, que: [x] = −2, [x] = −1, [x] = 0, [x] = 1, [x] = 2,

si si si si si

−2 ≤ x < −1. −1 ≤ x < 0. 0 ≤ x < 1. 1 ≤ x < 2. 2 ≤ x < 3.

Puesto que f (x) = −3 cuando x < −2 y f (x) = [x] cuando −2 ≤ x, debe ser claro que la gr´afica de f es la dada en la figura siguiente, sin necesidad de ninguna otra consideraci´on.

Funciones num´ericas

349

y 3 2 1 x −2

−1

1

2

3

4

−1 −2 −3

Transformaci´on de gr´aficas Las t´ecnicas que describimos a continuaci´on son u ´tiles para construir r´apidamente la gr´afica de ciertas funciones que est´an relacionadas con otras m´as simples y de las cuales conocemos su gr´afica. Estas t´ecnicas consisten en hacer transformaciones a la gr´afica de una funci´on conocida para obtener la gr´afica de la funci´on que queremos representar.

Las gr´ aficas de y = f (x) y de y = a f (x) Dada una funci´on y = f (x) definimos una nueva funci´on y = g(x) multiplicando por una constante a ̸= 0 los valores de f . y = g(x) = a f (x). Suponga que conocemos la gr´afica de f y que queremos hacer la gr´afica de g. Si 1 ≤ a entonces f (x) ≤ a f (x) = g(x) si 0 ≤ f (x), y g(x) = a f (x) ≤ f (x) si f (x) < 0.

En ambos casos lo que quiere decir es que la ordenada g(x) (en valor absoluto) es m´as grande que la ordenada f (x) (en valor absoluto) y que por lo tanto, la gr´afica de g se obtendr´a ✭✭estirando✮✮ la gr´afica de f en sentido vertical a partir del eje x.

350

Funciones

Si 0 < a < 1 se puede comprobar, de la misma manera, que: |g(x)| = |a f (x)| ≤ |f (x)|, lo que significa que el gr´afico de g se obtiene a partir del gr´afico de f por ✭✭compresi´on✮✮ vertical hacia el eje x. En la siguiente gr´afica se da una representaci´on geom´etrica de los dos casos anteriores. Es importante destacar que en ambos casos los puntos de corte con el eje x no var´ıan. y y = 2f (x)

x0

y = f (x) 1 y = f (x) 2

1 f (x0 ) 2 f (x0 )

x

2f (x0 )

Figura 5.4: ✭✭Estiramiento✮✮ y ✭✭compresi´on✮✮ de la gr´ afica de una funci´ on f .

Cuando a < 0 no es dif´ıcil ver la gr´afica de f se refleja respecto al eje x, y dependiendo del valor absoluto de a, la ✭✭expansi´on✮✮ o ✭✭compresi´on✮✮ vertical siguen siendo v´alidas, como se puede apreciar en la siguiente figura. y f (x0 )

x0

y = f (x)

x −

1 f (x0 ) 2

y=−

1 f (x) 2

Las gr´ aficas de y = f (x) y de y = f (x) + c En este caso la obtenci´on del gr´afico de y = g(x) = f (x) + c a partir del gr´afico de f es inmediata. Si 0 < c, todos los valores f (x) se incrementan

Funciones num´ericas

351

en c unidades para obtener g(x), de donde el gr´afico de g se obtiene desplazando el gr´afico de f verticalmente hacia arriba c unidades. Si c < 0 el gr´afico de g se obtendr´a desplazando el gr´afico de f , |c| unidades hacia abajo. y y = f (x) + c 0 f (b)) en la definici´on anterior, escribimos f (a) ≤ f (b) (resp. f (a) ≥ f (b)), diremos que f es no decreciente en I (resp. no creciente en I). El intervalo I se llamar´a intervalo de crecimiento o de decrecimiento de la funci´on f , seg´ un que f sea creciente o decreciente en I. Si una funci´on es creciente o decreciente en todo su dominio, se dir´a simplemente que es creciente o decreciente. Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funci´on a partir de su definici´on, se necesitan herramientas de c´alculo diferencial. Sin embargo, al conocer la forma de la gr´afica podemos encontrar de manera m´as o menos precisa los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la misma. Tal como se observa en la siguiente figura.

Funciones num´ericas y

357 y = f (x)

x 1

f crece.

5.3.1

f decrece.

f crece.

Ejemplo

1. Consideremos la funci´on f (x) = x2 definida en el intervalo [ −2, 2 ]. La gr´afica 5.13 indica que ´esta es creciente en [ 0, 2 ] mientras que es decreciente en [ −2, 0 ]. En efecto, para a y b en [ −2, 0 ] con a < b, se tiene que 0 ≤ −b < −a y por lo tanto b 2 < a2 . Para a y b en [ 0, 2 ] con a < b se tiene que a2 < b 2 .

2. La gr´afica de la funci´on g(x) = 2x + 3 (figura 5.14) indica que g es creciente en todo R. En efecto, si a < b se tiene que 2a < 2b (0 < 2) y por lo tanto 2a + 3 < 2b + 3. 3. La gr´afica de la funci´on h(x) = 1 indica que h no es creciente ni decreciente. Observar la figura 5.15. El concepto de crecimiento (o decrecimiento) es u ´til en algunos casos para determinar cu´ando una funci´on es invertible o no. En efecto, veamos el siguiente teorema. 5.3.2 Teorema Una funci´on creciente (o decreciente) en todo su dominio es inyectiva y por lo tanto invertible. Demostraci´ on. Supongamos que f es una funci´on creciente y que x1 y x2 son dos elementos distintos en el dominio de f con x1 < x2 . Debido al

358

Funciones y

y

y = g(x) = 2x + 3 f (x) = x2

x Decreciente.

x

Creciente.

Figura 5.13: f (x) = x2 .

Figura 5.14: g(x) = 2x + 3. y y = h(x) = 1

x Figura 5.15: h(x) = 1.

crecimiento de f se tiene que f (x1 ) < f (x2 ) y por lo tanto f (x1 ) debe ser distinto de f (x2 ). Podemos concluir que f es inyectiva y que por lo tanto tiene inversa f −1 . No debe ser dif´ıcil para el estudiante reproducir la demostraci´on para el caso de funciones decrecientes. 5.3.3

Ejemplo

1. La funci´on g(x) = 2x + 3 del ejemplo 2 es creciente en R, por lo tanto tiene inversa en todo R. 2. Obs´ervese que el rec´ıproco del teorema anterior no es cierto; por ejemplo la funci´on f (x) = 1/x, x ̸= 0, no es creciente ni decreciente en todo su dominio. Sin embargo f es invertible. 3. El contrarrec´ıproco del teorema anterior se puede usar para mostrar que una funci´on no es creciente (o decreciente) en todo su

Funciones num´ericas

359

dominio. La funci´on f (x) = x2 del ejemplo 1 no es invertible (no es inyectiva) y por lo tanto, no es creciente ni decreciente en todo su dominio. En el estudio del comportamiento de una funci´on num´erica es importante detectar cierto tipo de puntos ✭✭cr´ıticos✮✮. Por ejemplo, puntos donde la funci´on cambia de creciente a decreciente, puntos donde la funci´on alcanza valores m´aximos o m´ınimos. Aunque un estudio m´as completo de estos tipos de comportamiento requiere de las herramientas del c´alculo, presentamos las definiciones de extremo absoluto y de extremo local.

Extremos absolutos Sea f una funci´on real. Si existe c en Df tal que f (x) ≤ f (c) (resp. f (c) ≤ f (x)), para todo x en Df , se dice que f (c) es el m´aximo (resp. m´ınimo) absoluto de f . Se suele decir tambi´en que f alcanza en c su m´aximo (resp. m´ınimo) absoluto. Por ejemplo, el m´aximo y el m´ınimo absolutos de la funci´on f (x) = x2 del ejemplo 1 son respectivamente 4 = f (2) = f (−2) y 0 = f (0). La funci´on g(x) = 3x + 2 del ejemplo 2 no tiene m´aximo ni m´ınimo absolutos.

Extremos relativos o locales Sea f una funci´on real y c un elemento en Df . Se dice que f tiene en c un extremo local o relativo, si existe un intervalo abierto I que contiene a c y est´a contenido en Df , tal que f (c) es un extremo absoluto de f restringida a I. El valor f (c) se llama extremo local o relativo de f . La definici´on anterior no es aplicable a un punto c en los extremos de intervalos de definici´on de f . Por ejemplo si el dominio de f es [ a, b ], f (a) o f (b) no pueden ser extremos locales en el sentido de la definici´on anterior (¿porqu´e?). Sin embargo puede ocurrir que exista un intervalo J = [ a, b ] contenido en Df tal que f (a) es extremo absoluto de f cuando se restringe a J. Algo semejante puede ocurrir en el punto b. Cuando esto ocurre tenemos tambi´en que f (a) o f (b) son extremos locales o relativos de f , o equivalentemente que f tiene en a o en b un extremo local.

360

Funciones

En la figura, en los puntos c1 , c3, y b la funci´on f alcanza los valores m´aximos relativos. Obs´ervese que en los puntos c1 y c3 se aplica la primera parte de la definici´on, mientras que en b se aplica la segunda. En los puntos a, c2 y c4 la funci´on f alcanza los valores m´ınimos relativos. En este caso se aplica la primera parte de la definici´on a c2 y c4 y la segunda a a. Por otro lado se puede ver que en los puntos c1, c2 , c3 y c4 , la funci´on ha tenido un cambio en su comportamiento, de creciente a decreciente o viceversa. y

Df = [ a, b ]

c2 a

c1

c3

c4

b

x

El uso de la palabra relativo o local se debe a que un valor extremo de este tipo no es necesariamente el valor m´as grande o el m´as peque˜ no que puede tomar una funci´on. M´as a´ un la funci´on puede tener extremos relativos sin alcanzar nunca un valor m´aximo ni un valor m´ınimo (ver el ejercicio 11). Sin embargo, si la funci´on tiene extremos absolutos, estos se encuentran entre los extremos relativos. Por ejemplo, el valor m´aximo absoluto de la funci´on de la figura anterior corresponde al m´aximo de los m´aximos relativos. M´aximo absoluto de f = m´ax {f (c1 ), f (c3 ), f (b)} = f (b). El m´ınimo absoluto de f es el m´ınimo de los m´ınimos relativos. M´ınimo absoluto de f = m´ın {f (a), f (c2 ), f (c4 )} = f (c2 ).

Funciones num´ericas

361

Ejercicios 5.3 1. Clasifique las siguientes funciones en algebraicas y trascendentes, polin´omicas y racionales, y determine los dominios de cada una de ellas ⎛ ⎞ √ 5 2x − 1 3π . a) f (x) = e) h(t) = 2 cos⎝t + ⎠. 4 2 2 2 3 x y +x b) f (x, y) = . f ) h(w) = 3,32w + π. y3 + 1 c) g(x) = 1 − x + 7x3. cos x 8 g) f (x) = . d) g(z) = log8 (z + 1). x 2. De acuerdo con visto en la secci´on 5.3.1 de esta unidad, demuestre que: a) La suma de funciones de R en R es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro y cada funci´on posee elemento opuesto. b) El producto de funciones de R en R es asociativo, conmutativo, y posee elemento neutro. ¿Qu´e se puede decir del rec´ıproco? 1

3. Considere las funciones f (x) = 2x + 1, g(x) = (x − 1)2 y h(x) = x 2 + 2. Diga cuales de las siguientes igualdades son v´alidas: a) f ◦ (h + g) = f ◦ h + f ◦ g. b) f ◦ h = h ◦ f . c) h ◦ g = g ◦ h.

d) f (h + g) = f h + f g. e) (g ◦ h) ◦ f = g ◦ (h ◦ f ). f ) (g ◦ h)f = (gf ) ◦ (hf ).

4. Determine, si las hay, las simetr´ıas y los puntos de corte con los ejes de las gr´aficas de las siguientes funciones. √ a) f (x) = 4x2 − 2. c) h(x) = 25 − x2. b) g(x) = |x| − 2.

d) k(x) = x3 − x2.

5. Determine todas las as´ıntotas verticales y horizontales, de las siguientes funciones, indicando cuales de ellas son dobles. a) f (x) =

4 . 3x − 5

b) g(x) =

2x − 3 . 7 1 x2 + x + 15 15

362

Funciones

c) h(x) =

x2 . 81 − 4x2

d) k(x) =

x2 − x + 2 . x3 + 1

6. Trace las gr´aficas de las siguientes funciones para los valores de c dados. Use las transformaciones presentadas en la unidad, a) f (x) = x3 + c ; c = 0, c = 1, c = −3.

1 b) f (x) = −4(x − c)2 ; c = 0, c = 2, c = . 2 1 c) f (x) = |cx − 4| ; c = , c = 2, c = −1. 2 7. La siguiente figura muestra la gr´afica de una funci´on f con dominio 0 ≤ x ≤ 4. y

4

x

Trace la gr´afica de cada una de las siguientes funciones: a) y = f (x + 1). b) y = 3f (x). c) y = f (x) + 3.

d) y = −f (4x). ⎛

⎞

1 1 1 1 e) y = f ⎝ x + ⎠ + . 4 4 4 4

8. Demuestre que las siguientes funciones f y g son inversas una de la otra y trace sus gr´aficas: a) f (x) = 3x + 11 y g(x) =

x − 11 . 3

√ x2 + 6 b) f (x) = 3x − 6, 2 ≤ x y g(x) = , 0 ≤ x. 3 9. Demuestre que las siguientes funciones son invertibles demostrando que son crecientes o decrecientes. Encuentre sus inversas.

Funciones num´ericas

1 1 , < x. 5x − 1 5 d) f (x) = 8x2 + 6, 0 < x. √ e) f (x) = 36 − x2, 0 ≤ x ≤ 6.

a) f (x) = 3x − 4, x ∈ R. b) f (x) =

363

c) f (x) =

11 1 , − < x. 6x + 11 6

10. Demuestre que la funci´on f : R −→ R definida por f (x) = x3 + 2x + 3 es creciente y tiene inversa. Calcule f −1 (3), f −1 (3) y f −1 (0). 11. A continuaci´on aparecen las gr´aficas de ciertas funciones. Identifique en cada caso. a) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Intervalos donde la funci´on es constante. c) las as´ıntotas horizontales y verticales. d) los puntos donde se alcanzan los m´aximos y los m´ınimos. e) los valores x→∞ l´ım f (x), l´ım f (x), l´ım+ f (x) y l´ım − f (x). x→−∞

x→2

x→−3

f ) M´aximos y m´ınimos absolutos. y 3 2 1 x

−3 y 2

−1,5

2 −1,5

x

364

Funciones y 2 1 x

2

−3

y 2 1

1 2 2

−3

3

x

y

x

Funciones num´ericas

365

y

−3

2

x

12. Sea f : R −→ R una funci´on tal que: a) f (−4) = f (3) = f (7) = 0, f (0) = 3, f (−2) = 5, y f (5) = −1.

b) f es creciente en los intervalos (−∞, −2) y (5, ∞) y decreciente en el intervalo (−2, 5). c) l´ım f (x) = −∞. x→−∞

d) La recta y = 7 es una as´ıntota horizontal por debajo de la gr´afica de f . Use estos datos para hacer un bosquejo de la gr´afica de f . 13. Demuestre que la inversa de una funci´on creciente es creciente. 14. De ejemplos de funciones que no tengan intervalos de crecimiento ni de decrecimiento. 15. Demuestre que una funci´on creciente definida en un intervalo cerrado [ a, b ] alcanza el m´aximo absoluto en b y el m´ınimo absoluto en a. ¿Qu´e se puede decir si f esta definida en un intervalo abierto?

366

Funciones

5.4.

Algunas funciones num´ ericas especiales

Funciones polin´omicas Una funci´on f : R −→ R es polin´omica de grado n, si f (x) = anxn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , donde: n ∈ N y an, an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ R, con an ̸= 0. Cuando n = 0, f resulta ser la funci´on constante f (x) = a0 . Dos casos particulares de funciones polin´omicas son las funciones lineales y las funciones cuadr´aticas, que analizaremos a continuaci´on.

Funciones lineales Las funciones lineales son funciones polin´omicas de grado 1 y por lo tanto son de la forma: f (x) = ax + b,

a, b ∈ R,

a ̸= 0.

La gr´afica de esta funci´on coincide con el lugar geom´etrico que determina la ecuaci´on y = ax+b que por geometr´ıa anal´ıtica sabemos que es una l´ınea recta con pendiente (tangente del ´angulo de inclinaci´on de la recta respecto al eje x) a y que corta el eje y en el punto (0, b). La pendiente a de la recta se puede! expresar" utilizando el" simbolismo ! funcional, de la manera siguiente: sean x1 , f (x1 ) y x2 , f (x2 ) dos puntos distintos de la gr´afica de la funci´on lineal (figura 5.16). Luego: f (x1 ) = ax1 + b, f (x2 ) = ax2 + b. De esto se sigue que f (x2 ) − f (x1 ) = (ax2 + b) − (ax1 + b) = a(x2 − x1 ), por lo que a=

f (x2 ) − f (x1 ) x2 − x1

Algunas funciones num´ericas especiales

367

y

f (x2 ) f (x2 ) − f (x1 ) θ

f (x1 )

x2 − x1

a = tan θ =

θ

x1

f (x2 ) − f (x1 ) . x2 − x1

x

x2

Figura 5.16: Gr´ afica de una funci´ on lineal.

Como en la expresi´on anterior x1 ̸= x2, podemos suponer que x1 < x2 y por lo tanto f (x1 ) < f (x2 ) si y s´olo si 0 < a, f (x1 ) > f (x2 ) si y s´olo si a < 0. Esto quiere decir que la pendiente a da la clave para determinar si f es creciente o decreciente. En resumen, f es creciente si y s´olo si 0 < a y f es decreciente si y s´olo si a < 0. Este hecho se visualiza en las figuras 5.17 y 5.18. y y f (x2 ) f (x1 )

f (x1 )

θ

f (x2 )

θ

x1

x2

x

Figura 5.17: Gr´ afica de una funci´ on lineal creciente.

x1

x

Figura 5.18: Gr´ afica de una funci´ on lineal decreciente.

De otro lado, como para cada y ∈ R la ecuaci´on en x ax + b = y;

x2

a ̸= 0,

368

Funciones

tiene soluci´on u ´nica dada por x=

y−b , a

se concluye que la funci´on lineal es inyectiva y sobreyectiva. En consecuencia; la funci´on lineal, f (x) = ax + b, tiene como funci´on inversa a la funci´on f −1 (x) = (x − b)/a, que a su vez es una funci´on lineal. 5.4.1

Ejemplo

1. Consideremos las funciones lineales f (x) = 2x+4 y g(x) = −3x+ 5. La gr´afica de f es una recta de pendiente a = 2, que corta el eje y en el punto (0, 4). Puesto que la pendiente es positiva, f es creciente. Adem´as; como f (−2) = 0, se tiene que la recta corta el eje x en el punto (−2, 0). La gr´afica g es una recta de pendiente a = −3 < 0, por lo que g es decreciente. Adem´as corta el eje y en el punto (0, 5) y, como g(5/3) = 0 corta el eje x en el punto (5/3, 0). y y = g(x) = −3x + 5

y = f (x) = 2x + 4

5 22/5 4

−2

1 5

x 5 3

Despejando x de y = 2x + 4 se obtiene la expresi´on para la

Algunas funciones num´ericas especiales

369

funci´on inversa de f f −1 (x) =

x−4 , 2

y despejando x de y = 3x + 5 se obtiene la expresi´on para la funci´on inversa de g: g−1 (x) = −

x−5 . 3

En la figura anterior observamos que la rectas en consideraci´on se cortan, lo que significa que f y g toman el mismo valor en alg´ un punto a. Para encontrar el valor de a debemos resolver la ecuaci´on: 2a + 4 = −3a + 5. Al resolverla encontramos que a = 1/5, y que f (a) = g(a) = 22/5.

2. La funci´on lineal es un modelo matem´atico que se usa con frecuencia en aplicaciones cient´ıficas y t´ecnicas. Por ejemplo, la conocida relaci´on 9 F = C + 32, 5 que relaciona las medidas de las temperaturas en grados cent´ıgrados (◦ C) y en grados Fahrenheit (◦ F ) permite decir que ◦ F es una funci´on lineal de ◦ C. Mediante esta relaci´on podemos transformar las medidas de temperaturas en grados cent´ıgrados a grados Fahrenheit y viceversa. Por ejemplo, 25◦ C son equivalentes a 77◦ F , pues 9 F = · 25 + 32 = 77. 5

Proporcionalidad directa En el lenguaje cient´ıfico y t´ecnico es com´ un decir que una variable y es directa, o inversamente proporcional a otra variable x. As´ı, por ejemplo, se dice: ✭✭la distancia recorrida por un m´ovil que se desplaza a velocidad constante es directamente proporcional al tiempo transcurrido✮✮ (ley del movimiento uniforme). Asimismo se dice: ✭✭el volumen que ocupa una can-

370

Funciones

tidad fija de gas, a temperatura constante, es inversamente proporcional a la presi´on aplicada✮✮ (ley de Boyle). En t´erminos generales se dice que una variable y es directamente proporcional a una variable x, o que y var´ıa directamente con x, si existe un n´ umero k ̸= 0, llamado constante de proporcionalidad, tal que y = kx, para todos los valores num´ericos de los dominios de las variables x y y. En otras palabras, y es directamente proporcional a x, adem´as y es funci´on lineal de x de la forma indicada antes.

Proporcionalidad inversa Por otro lado se dice que la variable y es inversamente proporcional a una variable x, o que y var´ıa inversamente con x, si existe un n´ umero k ̸= 0, denominado constante de proporcionalidad, tal que k , x para todos los valores num´ericos de los dominios de las variables x y y. y=

5.4.2

Ejemplo

1. La ley de Hooke establece que la fuerza requerida para alargar x unidades de longitud. Un resorte sin estirar es directamente proporcional a x. Si un peso de 6 kg estira un resorte cuya longitud natural es de 20 cm hasta una longitud de 20,3 cm. ¿Cu´al es el peso que dar´a lugar a una longitud de 21,5 cm? Ver la siguiente figura.

20 cm

0,3 cm 1,5 cm P = 6 kg

P = ∗ kg

Algunas funciones num´ericas especiales

371

Denotemos por P el peso requerido para estirar el resorte x cm de su posici´on natural. La ley de Hooke establece que P y x son cantidades directamente proporcionales, por lo que existe un n´ umero k ̸= 0 tal que P = kx. Ahora bien; por los datos del problema sabemos que cuando P = 6 kg, x = 0,3 cm, o sea 6 = k(0,3). De aqu´ı que

60 . 3 En consecuencia, cuando x = 1,5 se tiene que 60 P = × 1,5 = 30. 3 Esto quiere decir que el peso que da lugar a una longitud del resorte de 21,5 cm es de 30 kg. k=

2. El tiempo t que se necesita para recorrer una cierta distancia var´ıa inversamente con la velocidad v. Se tarda 8 horas, a una velocidad de 70 km/h, en recorrer determinada distancia. ¿Cu´anto tiempo se tarda en recorrer esa distancia fija a una velocidad de 50 km/h? Denotemos por t el tiempo necesario para recorrer tal distancia a una velocidad v. Entonces k t= . v Puesto que cuando v = 70 km/h, t = 8 h, se tiene que k , 70 de donde k = 560 km. En consecuencia, cuando v = 50 km/h 8=

k 560 = = 11,2 h. v 50 Esto quiere decir que para recorrer la distancia fija de 560 km a una velocidad de 50 km/h el tiempo necesario es de siete horas y media. t=

372

Funciones

Funciones cuadr´aticas Las funciones cuadr´aticas son funciones polin´omicas de grado 2, y por lo tanto tienen la forma f (x) = ax2 + bx + c;

a, b, c ∈ R;

a ̸= 0.

De la geometr´ıa anal´ıtica se sabe que el lugar geom´etrico que determina la ecuaci´on y − k = a (x − h)2 ,

en coordenadas cartesianas rectangulares, es una par´abola que tiene v´ertice en el punto (h, k), por eje la recta x = h y que corta el eje y con el punto (0, k + ah2). Adem´as, sabemos que la par´abola es c´oncava hacia arriba si 0 < a y es c´oncava hacia abajo si a < 0. Ver las figuras 5.19 y 5.20. y x=h

(0, k + ah2 )

(h, k)

x Figura 5.19: Gr´ afica de una par´ abola: y − k = a (x − h)2 , 0 < a.

Partiendo de la expresi´on y = f (x) = ax2 + bx + c, completando cuadrados, tal como lo hicimos en la secci´on 4.2.7, se llega a la expresi´on ⎛

⎞

⎛

⎞2

b 4ac − b 2 ⎠ ⎝ = a ⎝x + ⎠ , y− 4a 2a que tiene la forma

y − k = a (x − h)2 ,

Algunas funciones num´ericas especiales

373

y (h, k)

x (0, k + ah2 )

x=h Figura 5.20: Gr´ afica de una par´ abola: y − k = a (x − h)2 , a < 0.

donde

4ac − b 2 b k= y h=− . 4a 2a Esto quiere decir que la gr´afica de la funci´on cuadr´atica y = ax2 + bx + c es una par´abola que tiene v´ertice en el punto ⎛

⎞

b 4ac − b 2 ⎠ ⎝ V = − , , 2a 4a por eje la recta x = −b/(2a) y que corta el eje y en el punto (0, c). Adem´as, de acuerdo con las observaciones anteriores se puede concluir que: 1. Cuando 0 < a; la par´abola es c´oncava hacia arriba, y consecuentemente la funci´on tiene un valor m´ınimo absoluto cuando x = −b/(2a), el cual es: ⎛ ⎞ 4ac − b 2 b ⎝ ⎠ f − = . 2a 4a Se deduce igualmente que el rango de f es el intervalo ⎞

⎛

4ac − b 2 ⎝ , ∞⎠, 4a !

"

f es decreciente en el "intervalo −∞, −b/(2a) y f es creciente en el ! intervalo −b/(2a), ∞ .

374

Funciones

2. Cuando a < 0; la par´abola es c´oncava hacia abajo, f tiene un valor m´aximo absoluto cuando x = −b/(2a), el cual es: ⎛

⎞

−b 4ac − b 2 f⎝ ⎠ = . 2a 4a !

"

El rango de f es el intervalo −∞, (4ac−b 2 )/(4a) . ¿En qu´e intervalos es la funci´on creciente? ¿En cu´ales decreciente? De la gr´afica y de lo dicho anteriormente, es claro que la funci´on cuadr´atica no es inyectiva, y por lo tanto no posee funci´on inversa. ¿Podr´ıa restringirse el dominio para que la nueva funci´on que se obtenga posea inversa?. Por u ´ltimo, para encontrar los puntos de corte de la gr´afica de la funci´on cuadr´atica con el eje x, basta resolver para x ∈ R la ecuaci´on ax2 +bx+c = 0. Como sabemos, las soluciones de ´esta est´an dadas por @

−b + b 2 − 4ac x1 = 2a

y

@

−b − b 2 − 4ac x2 = . 2a

Es importante destacar que cuando el discriminante b 2 − 4ac es menor que cero las soluciones anteriores son complejas conjugadas y que, por lo tanto, en este caso la gr´afica no corta el eje x. Ver las siguientes figuras. y 0