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• John Alexander Rojas

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Nombre: Belkis Eliana Corpus Gaitan Calculo diferencial Taller: Caso problema: Optimización de funciones de variable real. Eje 4 Fundacion Universitaria Area Andina Fecha: 03 de Agosto 2020 Caso problema A continuación, se presentan tres casos problema que muestran formas de maximizar una función de variable real, haciendo uso de las derivadas en diferentes contextos. Se explica el contexto en cada caso y se proponen unas actividades al final de cada explicación. representa el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad.

Determine: ● El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad. ¿ ( ¿ )=−3 ? 2+72 ?+ 243? ? (?)=−3? 2 +72? +243 ? 3 ? 2+72 ?−243=0 ? 2−24 ?−81=0

(?−27)(? +3)=0

(?−27) ?=−3 Rta:deben transcurrir 27 días para que la enfermedad desaparezca. ● El número máximo de personas afectadas. ? (?) = −3?2+ 72? + 243? (?) = −6d + 72 ?′(?) = 0 = −6d + 72 6? = 72 ? = 12

? (12) = −3(12)2+ 72 (12) + 243 ? (12) = −3(12)2 + 72 (12) + 243 ? (12) = 675 Rta: El número máximo de personas contagiadas es de 675.

● Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad. Medio ambiente. La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función C (x)=100+ 12 x−0,5 x 2 donde x es el tiempo transcurrido desde el primero de enero de 2001 contado en años. ● Determine el dominio y el rango de C ( x). ● Elabore el gráfico de C (x) usando GeoGebra. ● Seleccione un punto de la gráfica de C (x), luego calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. Interprete el resultado gráficamente y en el contexto del problema.

● ¿Cuál es la concentración máxima de ozono que se alcanza en esa ciudad? siendola funcion C ( x )=−0.5 x 2+ 12 x +100 Se nos pide encontrar la concentración máxima de contaminante, como haz de saber, esta es una aplicación de la derivada, por consiguiente derivas la funcion, por si no lo sabes la derivada de una constante es 0, y se utiliza esta regla: x n → n x n−1 2 (−0.5 x ) +1 ( 12 ) +0=0

−x +12=0 x=12 Ahora, en 12 años alcanza la concentración máxima, ahora el valor obtenido lo sustituyes: C ( 12 )=−0.5 (12 )2 +12 ( 12 )+ 100 C ( 12 )=−72+1 44+100 C ( 12 )=1 72 El dominio sera: D f x ∈ R Rango: Rango: γ ∈ ¿ Estos ultimos se obtienen con la grafica.

Transporte. Una compañía de autobuses metropolitanos ha comprobado que el número de viajeros diarios, V ,es función del precio del billete, p ,según la expresión: V ( p)=400−8 p ● Determine el dominio y el rango de V (x ). ● Elabore el gráfico de V (x ) usando GeoGebra. ● Determine la expresión que nos proporciona los ingresos diarios, I (p) , de esa compañía en función del precio del billete. Recuerde que los ingresos se calculan como el producto del número de viajeros y el precio. ● Elabore el gráfico de I (x) usando GeoGebra. ● ¿Cuál es el precio del billete que hace máximo los ingresos diarios? ● ¿Cuáles son esos ingresos máximos? El dominio de V(p) es 0≤p≤50 en tanto que el rango de la función V(p) es 0≤V(p)≤400.

En principio esta función V(p) debe cumplir que siempre debe ser positiva, es decir que V(p)≤0. Para esto se tiene que cumplir que:

Dominio: 0≤p≤50. Para p50, la función V(p) se convierte en negativa y con eso se viola la condición inicial.   Rango: Limitado el dominio a 0≤p≤50, los valores que se obtiene para el ámbito de existencia de la función son: Si p=0 => V(p) = 400 Si p=50 => V(p) = 0 Por lo tanto el rango es 0≤V(p)≤400.