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• Sebastian Grisales

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Física de Ondas. Taller de Clase Segundo Parcial 2015-01.

1. Una cuerda de 𝑙 = 80 [cm] de longitud que está tensionada con ambos extremos fijos tiene dos frecuencias consecutivas en 𝑓𝑖 = 80 [Hz] y 𝑓𝑖+1 = 100 [Hz]. (a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental con que se propaga una perturbación en la cuerda? (b) Halle el orden de los armónicos de 𝑓𝑖 = 80 [Hz] y 𝑓𝑖+1 = 100 [Hz]. (c) ¿Cuál es la rapidez de fase de la onda que se propaga en la cuerda? SOLUCIÓN. (a)

𝜆 𝑙 = 𝑚 ( ) (1) 𝑣 = 𝜆𝑓 (2) 2 De (2) tenemos: 𝑣 𝑓 = (3), 𝜆 Y de (1) tenemos: 𝜆=

2𝑙 (4). 𝑚

Al sustituir (4) en (3) tenemos: 𝑓=

𝑣 𝑣 ⟹ 𝑓𝑚 = 𝑚 (5) ∴ 𝑚 = 1,2,3, … 2𝑙 2𝑙 ( ) 𝑚

Ahora empleemos (5) para hallar el ∆𝑓 donde: ∆𝑓 = 𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖 = (100 − 80) [Hz] ⟹ ∆𝑓 = 20[Hz] (6) (5): De 𝑣 𝑣 ∆𝑓 = 𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖 = [(𝑖 + 1) − 𝑖 ] 2𝑙 2𝑙 𝑣 𝑣 (7) ⟹ ∆𝑓 = [(𝑖 + 1) − 𝑖] ⟹ ∆𝑓 = 2𝑙 2𝑙 Luego la frecuencia fundamental 𝑓𝑓 que es la misma ∆𝑓 entre dos frecuencias consecutivas, de (6) y (7) será: 𝑓𝑓 = ∆𝑓 =

𝑣 = 20[Hz] (8) 2𝑙

(b) Para hallar el orden de los armónicos tenemos: 𝑣 𝑓𝑖 80[Hz] 𝑓𝑖 = 𝑖 ( ) = 𝑖𝑓𝑓 ⟹ 𝑖 = = 2𝑙 𝑓𝑓 20[Hz] ⟹ 𝑖 = 4 (9) Luego el siguiente armónico será: 𝑖 + 1 = 5 (10) ó 𝑣 𝑓𝑖+1 = (𝑖 + 1) ( ) = (𝑖 + 1)𝑓𝑓 2𝑙 𝑓𝑖+1 100[Hz] ⟹ (𝑖 + 1) = = 𝑓𝑓 20[Hz] ⟹ (𝑖 + 1) = 5 (c) Para hallar recordemos:

la

rapidez

de

fase

𝑇 𝑣=√ ∶ cte. 𝜌𝑚 𝐴 Luego será la misma para los dos armónicos. (Es un error común en un parcial pensar que son velocidades de fase diferentes!!!) Por tanto hallamos la velocidad para el modo fundamental: 2𝑙 𝑣 = 𝜆𝑓 = 𝑓𝑚 = 2𝑙∆𝑓 = 1,6[m] ∗ 20[Hz] 𝑚 ⟹ 𝑣 = 32.0[m⁄s] (11) Profesores: Andrés Rivera y Julián Fernando Ruiz Roa. Página | 1 .

Universidad de Antioquia. Instituto de Física. Facultad de Ingenierías. 2. Un tubo de vidrio está abierto por un extremo y cerrado por el otro por medio de un pistón móvil. El tubo lleno de aire está más caliente que la temperatura ambiente, y sobre el extremo abierto se mantiene en parlante emitiendo un sonido con una frecuencia de 𝑓 = 345 [Hz]. Se escucha una resonancia cuando el pistón está a 𝑙𝑖 = 25 [cm] del extremo abierto y de nuevo cuando se encuentra a 𝑙𝑖+1 = 75 [cm] del extremo abierto. (a) ¿Cuál es la rapidez de fase de la onda que se propaga dentro del tubo? (b) ¿A qué distancia del extremo abierto se encontrará el pistón la siguiente vez que se escuche una resonancia? (c) ¿Cuál de las siguientes funciones de onda representa mejor el sonido dentro del tubo: 𝜉(𝑥, 𝑡) = 𝜉0 sen(𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡) ó 𝜉(𝑥, 𝑡) = 𝜉0 cos(𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡)? Explique. Determine si cada uno de los extremos es un nodo o un antinodo de presión. SOLUCIÓN. (a)

𝜆 𝑙 = (2𝑚 + 1) ( ) (1) 4

𝑣 = 𝜆𝑓 (2)

De (2) tenemos: 𝜆=

𝑣 (3), 𝑓

𝑙𝑓 =

Al sustituir (3) en (1) tenemos: 𝑙𝑚 = (2𝑚 + 1)

Al igual que hicimos con el ejercicio anterior: ∆𝑙 = 𝑙𝑖+1 − 𝑙𝑖 = [[2(𝑖 + 1) + 1]

⟹ ∆𝑙 = 2

𝑣 4𝑓

𝑣 ] 4𝑓

⟹ ∆𝑙 = [(2𝑖 + 3) − 2𝑖 − 1]

𝑣 345.0[m⁄s] = ⟹ 𝑙𝑓 = 0.25[m] 4𝑓 4 ∙ 345[Hz]

𝑙𝑖 = (2𝑖 + 1)𝑙𝑓 = 0.25[m] ⟹ 𝑖 = 0

𝑣 (4) ∴ 𝑚 = 0,1,2, … 4𝑓

− (2𝑖 + 1)

𝑣 = ∆𝑙 ∗ 2𝑓 = 2 ∙ (. 75 − .25)[m] ∙ 345[Hz] ⟹ 𝑣 = 2 ∙ 0.50[m] ∙ 345[Hz] ⟹ 𝑣 = 345.0[m⁄s] (6) (b) Para hallar la próxima distancia tenemos:

𝑣 4𝑓

𝑣 𝑣 (5) ⟹ ∆𝑙 = 4𝑓 2𝑓

Dado que ∆𝑙 es conocido la velocidad de fase será: Profesores: Andrés Rivera y Julián Fernando Ruiz Roa. Página | 2 .

𝑙𝑖+1 = [2(𝑖 + 1) + 1]𝑙𝑓 = (2𝑖 + 3)𝑙𝑓 𝑙𝑖+1 = (2𝑖 + 3)𝑙𝑓 = 3𝑙𝑓 = 0.75[m] 𝑙𝑖+2 = [2(𝑖 + 2) + 1]𝑙𝑓 = (2𝑖 + 5)𝑙𝑓 𝑙𝑖+2 = (2𝑖 + 5)𝑙𝑓 = 5𝑙𝑓 = 1.25[m] Otra forma: 𝑙𝑖+2 = (2𝑖 + 5)𝑙𝑓 = (2𝑖 + 3)𝑙𝑓 + 2𝑙𝑓 𝑙𝑖+2 = 𝑙𝑖+1 + 2𝑙𝑓 = (0.75 + 0.50)[m] 𝑙𝑖+2 = 1.25[m] (c) 𝜉(𝑥, 𝑡) = 𝜉0 cos(𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡) En 𝑥 = 0 antinodo de desplazamiento por tanto nodo de presión y en 𝑙𝑚 nodo de desplazamiento y antinodo de presión.

Física de Ondas. Taller de Clase Segundo Parcial 2015-01. 3. Considere una onda acústica armónica cilíndrica radialmente simétrica que se propaga hacia afuera en dirección radial y que tiene la forma: 2 𝜓(𝑟, 𝑡) = 𝐴√ cos (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4)) 𝜋𝑘𝑟 y la cual representamos en la Figura 1. (a) Determine la densidad de energía y la densidad de energía promedio. (b) Determine la intensidad acústica y la intensidad acústica promedio. (c) Determine la potencia y la potencia promedio. 2𝑘𝜌0 𝐴2 1 ) 𝜋𝑟 2 2 𝑘𝜌0 𝐴 〈ℰ̂ 〉 = . 𝜋𝑟 (b) Del pastel oficial tenemos: 〈ℰ̂ 〉 = (

⃗ y 𝑰̂ = − ̅𝑝𝒗 empleamos: ⃗ 𝜓 = − [𝑘𝐴√ 𝛁 Figura 1. Onda Acústica Cilíndrica. SOLUCIÓN (a) Del pastel oficial tenemos: 1 1 ̂ + 𝒰̂ = 𝜌0 [(𝛁 ⃗ 𝜓∙𝛁 ⃗ 𝜓) + (𝜓,𝑡 )2 ], ℰ̂ = 𝒦 2 𝑣2 y sabemos que: ̂ = 2𝒰̂ ℰ̂ = 2𝒦 empleamos: 𝜌0 2 ℰ̂ = 2𝒰̂ = 2 (𝜓,𝑡 ) 𝑣 𝜕𝜓 2 = 𝜔𝐴√ sen (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4)) 𝜕𝑡 𝜋𝑘𝑟 𝜔 2 𝐴2

𝜌0 2 ( ) sen2 (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4)) 2 2 (𝜔 ⁄𝑘 ) 𝜋𝑘𝑟 2𝑘 ℰ̂ = 𝜌0 𝐴2 ( ) sen2 (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4)). 𝜋𝑟 La densidad de energía promedio será: ℰ̂ =

〈ℰ̂ 〉 = 〈ℰ̂ 〉 = (

𝜔 2𝜋⁄𝜔 ∫ ℰ̂ 𝑑𝑡 2𝜋 0

2𝑘𝜌0 𝐴2 𝜔 2𝜋⁄𝜔 ) ∫ sen2 (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4)) 𝑑𝑡 𝜋𝑟 2𝜋 0

⃗𝜓 ⃗ =𝛁 𝒗

2 sen (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4)) 𝜋𝑘𝑟

3 𝐴 2 + √ 𝑟 −2 cos (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4))] 𝒊̂𝑟 2 𝜋𝑘

2𝑘 ⃗ = −𝐴 [√ sen (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4)) 𝒗 𝜋𝑟 1 +√ cos (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4))] 𝒊̂𝑟 2𝜋𝑘𝑟 3 ̅𝑝 = 𝜌0 𝜓,𝑡 2 ̅𝑝 = 𝜌0 [𝜔𝐴√ sen (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4))] 𝜋𝑘𝑟 2 𝑰̂ = 𝜌0 𝜔𝐴2 [( ) sen2 (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4)) 𝜋𝑟 1 +( ) sen (2𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 2𝜔𝑡 + (𝜋⁄2))] 𝒊̂𝑟 2𝜋𝑘𝑟 2 𝜔 2𝜋⁄𝜔 〈𝑰̂〉 = ∫ 𝑰̂𝑑𝑡 2𝜋 0

2 𝜔 2𝜋⁄𝜔 〈𝑰̂〉 = 𝜌0 𝜔𝐴2 [( ) ∫ sen2 (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4)) 𝑑𝑡 𝜋𝑟 2𝜋 0

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Universidad de Antioquia. Instituto de Física. Facultad de Ingenierías. 1 𝜔 2𝜋⁄𝜔 +( ) ∫ sen (2𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 2𝜔𝑡 + (𝜋⁄2)) 𝑑𝑡] 𝒊̂𝑟 2 2𝜋𝑘𝑟 2𝜋 0

2 1 𝜌0 𝜔𝐴2 〈𝑰̂〉 = 𝜌0 𝜔𝐴2 [( ) ( ) + (0)] = ( ) 𝒊̂𝑟 𝜋𝑟 2 𝜋𝑟 𝜌0 𝜔𝐴2 〈𝑰̂〉 = ( ) 𝒊̂𝑟 . 𝜋𝑟 2 𝐼̂ = 𝜌0 𝜔𝐴2 [( ) sen2 (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4)) 𝜋𝑟 1 +( ) sen (2𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 2𝜔𝑡 + (𝜋⁄2))] 2𝜋𝑘𝑟 2 𝜌0 𝜔𝐴2 〈𝐼̂〉 = |〈𝑰̂〉| = ( ). 𝜋𝑟 (c) Del pastel oficial tenemos: ⃗𝑷 ⃗ =𝐴 ̂ 𝑰̂ frente de onda

2 ⃗𝑷 ̂⃗ = 2𝜋𝑟ℎ𝜌0 𝜔𝐴2 [( ) sen2 (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋 ⁄4)) 𝜋𝑟 1 ( ) sen (2𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 2𝜔𝑡 + (𝜋⁄2))] 𝒊̂𝑟 2𝜋𝑘𝑟 2

⃗𝑷 ⃗ = ℎ𝜌 𝜔𝐴2 [4 sen2 (𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝜋⁄4)) ̂ 0 1 ( ) sen (2𝑘⃗ ∙ 𝑟 − 2𝜔𝑡 + (𝜋⁄2))] 𝒊̂𝑟 𝑘𝑟 𝜌 𝜔𝐴2 ⃗〉=𝐴 ̂ ̂〉 = 2𝜋𝑟ℎ ( 0 〈⃗𝑷 ) 𝒊̂𝑟 . frente 〈𝑰 𝜋𝑟 de onda ̂ 〉 = 2ℎ𝜌 𝜔𝐴2 𝒊̂ . 〈⃗⃗𝑷 0

𝑟

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Física de Ondas. Taller de Clase Segundo Parcial 2015-01. ⃗ (𝑧, 𝑡) = [(1⁄2√3)𝒊̂𝑥 + (1⁄2)𝒊̂𝑦 ] sen(0,3𝑧 − 40𝑡) [m]. 4. Una onda descrita por la ecuación 𝝃 (a) ¿Qué tipo de onda es la descrita por la ecuación?, ¿en qué dirección se encuentran las perturbaciones producto de la onda y en qué dirección viaja la onda? Explique. (b) Encuentre la magnitud de la amplitud de la onda, la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo. (c) Encuentre el número de onda, la longitud de onda y la velocidad de fase de la onda. (d) Encuentre la velocidad y la aceleración de un punto en el medio debido a la onda.

SOLUCIÓN (a) Tipo de Onda: Por ser representada por la función seno es una onda armónica, además por la perpendicularidad entre la dirección de propagación y el plano de las perturbaciones entonces deducimos que es una onda transversal plana.

1 1 1 4 1 = √ ( + 1) = √ ( ) = 4 3 4 3 √3 𝜔 = 40[rad⁄s] ⟹ 𝜈 = ⟹𝑇=

𝜔 = 6,3661[Hz] 2𝜋

2𝜋 = 0,15[s] 𝜔

(c) Dirección: La onda viaja paralela al eje 𝑧 en el sentido positivo del sistema coordenado. Debido a las componentes del vector vemos lo siguiente: ⃗𝝃(𝑧, 𝑡) = 𝜉𝑥 (𝑧, 𝑡)𝒊̂𝑥 + 𝜉𝑦 (𝑧, 𝑡)𝒊̂𝑦 1 𝜉𝑦 2√3 1 tan(𝜃) = = = 1 𝜉𝑥 √3 2 1

𝜋 𝜃 = tan−1 ( ) = 30° = [rad] 6 √3 La onda se encuentra sobre un plano que forma un ángulo de 30° ó 𝜋⁄6 [rad] con respecto al eje 𝑥.

𝑘 = 0,3[rad⁄m] ⟹ 𝜆 = 𝑣=

2𝜋 = 20,94[m] 𝑘

𝜔 40 = = 133,3[m⁄s] 𝑘 0,3

(d) 𝑣=

⃗ 𝜕𝝃 𝜕𝑡

𝑣 = −(40)[(1⁄2√3)𝒊̂𝑥 + (1⁄2)𝒊̂𝑦 ] cos(0,3𝑧 − 40𝑡) [m⁄s]

𝑎=

𝜕 2 ⃗𝝃 𝜕2𝑡

𝑎 = −(40)2 [(1⁄2√3)𝒊̂𝑥 + (1⁄2)𝒊̂𝑦 ] sen(0,3𝑧 − 40𝑡) [m⁄s2 ]

(b)

𝜉0 = √𝜉𝑥2 + 𝜉𝑦2 = √(

2 1 2 ) +( ) 2 2√3

1

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Universidad de Antioquia. Instituto de Física. Facultad de Ingenierías. 5. Una patrulla de la policía va por una curva sin peralte de radio 𝑅 = 100 [m] a una velocidad tangencial de 30 [m⁄s] con la sirena encendida a una frecuencia 𝑓 = 300 [Hz]. Más adelante se encuentra una tracto mula varada en la curva de la autopista, si la señal de la sirena tarda un instante 𝑡1 = 10 [s] en alcanzar la parte trasera del camión varado y un instante 𝑡2 = 5 [s] en reflejarse y devolverse a la patrulla que se acerca. ¿Cuál será la frecuencia reflejada por la tracto mula y percibida por el conductor de la patrulla?

La ecuación del efecto Doppler en trayectoria circular es:

𝑓′

𝜔 𝑡 𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 ± 𝜔𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑅 cos ( 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 ) 2 =[ ]𝑓 𝜔𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡 𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 ± 𝜔𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑅 cos ( ) 2

SOLUCIÓN: El movimiento de la onda sonora presenta dos etapas, la primera desde la patrulla a hacia el camión varado y la segunda de regreso a la patrulla. La frecuencia que llega al camión varado es: 𝜔𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 = 0 ⟹ 𝑣𝑇𝑎𝑛𝑔−𝑜𝑏𝑠 = 0 𝑣𝑇𝑎𝑛𝑔−𝑓𝑢𝑒 = 𝑅𝜔𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 ⟹ 𝜔𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑣𝑇𝑎𝑛𝑔−𝑓𝑢𝑒 ⁄𝑅 ′ 𝑓𝑐𝑎𝑚 =[

𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜

𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 𝜔𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡1 ] 𝑓 = [ 𝑣𝑇𝑎𝑛𝑔−𝑓𝑢𝑒 𝑡1 ] 𝑓 𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 − 𝜔𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑅 cos ( ) 𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 − 𝑣𝑇𝑎𝑛𝑔−𝑓𝑢𝑒 cos ( ) 2 2𝑅

340 [m⁄s] ′ ′ ⟹ 𝑓𝑐𝑎𝑚 =[ ] 300 [Hz] ⟹ 𝑓𝑐𝑎𝑚 = 301,89 [Hz] 30 [m⁄s] ∙ 10 [s] 340 [m⁄s] − [30 [m⁄s] cos ( )] 2 ∙ 100[m] Profesores: Andrés Rivera y Julián Fernando Ruiz Roa. Página | 6 .

Física de Ondas. Taller de Clase Segundo Parcial 2015-01. La frecuencia que retorna a la patrulla es: 𝜔𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0 ⟹ 𝑣𝑇𝑎𝑛𝑔−𝑓𝑢𝑒 = 0 𝑣𝑇𝑎𝑛𝑔−𝑜𝑏𝑠 = 𝑅𝜔𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 ⟹ 𝜔𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝑣𝑇𝑎𝑛𝑔−𝑜𝑏𝑠 ⁄𝑅 𝑣𝑇𝑎𝑛𝑔−𝑜𝑏𝑠 𝑡2 𝜔 𝑡 𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 + 𝑣𝑇𝑎𝑛𝑔−𝑜𝑏𝑠 cos ( ) 𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 + 𝜔𝑜𝑏𝑠 𝑅 cos ( 𝑜𝑏𝑠 2 ) 2𝑅 2 ′ ′ ′ 𝑓𝑝𝑎𝑡𝑟 =[ ] 𝑓𝑐𝑎𝑚 =[ ] 𝑓𝑐𝑎𝑚 𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜

′ ⟹ 𝑓𝑝𝑎𝑡𝑟 =[

340 [m⁄s] + [30 [m⁄s] cos (

30 [m⁄s] ∙ 5 [s] )] 2 ∙ 100[m]

340 [m⁄s]

] 301,89 [Hz]

′ ⟹ 𝑓𝑝𝑎𝑡𝑟 = 321,4 [Hz]

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Universidad de Antioquia. Instituto de Física. Facultad de Ingenierías. 6. El observador no está situado en la dirección del movimiento rectilíneo del emisor. En clase hemos estudiado el caso de un emisor que se mueve a lo largo de una trayectoria recta con velocidad constante 𝑣𝐸 y el observador está situado en un punto de dicha trayectoria recta. Consideremos una situación algo más compleja. Supongamos que el observador está a una distancia 𝑅 de la dirección en la que se mueve el emisor, tal como se indica en la figura.

En el instante 𝑡 el emisor emite la primera señal que puede corresponder a un máximo de una onda armónica. El observador la escucha en el instante 𝑡1 . Si en el instante 𝑡 la distancia entre el emisor y el observador es 𝑑1 , tendremos: 𝑑1 𝑡1 = 𝑡 + 𝑣𝑠 siendo 𝑣𝑠 la velocidad del sonido. En el instante 𝑡 + 𝑃 se emite la segunda señal. El observador la escucha en el instante 𝑡2 . Si en el instante 𝑡 + 𝑃 la distancia entre el emisor y el observador es 𝑡2 , tendremos que 𝑑2 𝑡2 = 𝑡 + 𝑃 + 𝑣𝑠 siendo 𝑃 el periodo de la onda armónica. Para el observador, el periodo 𝑃′ de la onda armónica será la diferencia de los tiempos de llegada de las dos señales 𝑑2 − 𝑑1 𝑃′ = 𝑡2 − 𝑡1 = 𝑃 + 𝑣𝑠 La relación entre 𝑑2 y 𝑑1 se puede deducir resolviendo el triángulo de la figura

𝑑22 = 𝑑12 + (𝑣𝐸 𝑃)2 − 2𝑑1 𝑣𝐸 𝑃 cos(90 − 𝜃) Profesores: Andrés Rivera y Julián Fernando Ruiz Roa. Página | 8 .

Física de Ondas. Taller de Clase Segundo Parcial 2015-01. 𝑣𝐸 𝑃 2 𝑣𝐸 𝑃 𝑑22 = 𝑑12 [1 + ( ) −2 sen(𝜃)] 𝑑1 𝑑1 Obtenemos una expresión más simplificada, si consideramos la siguiente aproximación, el lado de longitud 𝑣𝐸 𝑃 es mucho menor que cualquiera de los otros dos lados de longitud 𝑑1 o 𝑑2 . Despreciamos el cociente al cuadrado frente a la unidad, y efectuamos el desarrollo en serie 1 (1 − 𝑥)1⁄2 = 1 − 𝑥 + ⋯ para 𝑥 ≪ 1 2 tenemos que

𝑑2 ≈ 𝑑1 √1 − 2

𝑣𝐸 𝑃 𝑣𝐸 𝑃 sen(𝜃) ≈ 𝑑1 (1 − sen(𝜃)) ≈ 𝑑1 − 𝑣𝐸 𝑃 sen(𝜃) 𝑑1 𝑑1

El periodo 𝑃′ de la onda armónica medido por el observador, valdrá 𝑃′ = 𝑃 +

(𝑑2 − 𝑑1 ) 𝑣𝐸 ≈ 𝑃 − 𝑃 sen(𝜃) 𝑣𝑠 𝑣𝑠

La frecuencia es la inversa del periodo 𝑓 ′ = 1⁄𝑃′ 𝑓′ = 𝑓 [

𝑣𝑠 ] 𝑣𝑠 − 𝑣𝐸 sen(𝜃)

Fórmula aproximada Esta fórmula se puede obtener de forma directa si partimos de la fórmula del efecto Doppler para el caso más simple: el observador en reposo 𝑣𝑂 = 0 situado en la trayectoria del emisor en movimiento rectilíneo con velocidad 𝑣𝐸 constante.

𝑓′ = [

𝑣𝑠 ]𝑓 𝑣𝑠 − 𝑣𝐸

Cuando el observador no está en la dirección del movimiento rectilíneo del emisor, trazamos una línea recta que pase por el emisor y el observador en el instante 𝑡, y proyectamos la velocidad 𝑣𝐸 del emisor a lo largo de dicha recta.

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En dicho instante, el emisor se acerca al observador con una velocidad 𝑣𝐸 sen(𝜃), tal como puede apreciarse en la figura. Sustituimos 𝑣𝐸 por 𝑣𝐸 sen(𝜃), y obtenemos la misma fórmula. 𝑣𝑠 𝑓′ = 𝑓 [ ] 𝑣𝑠 − 𝑣𝐸 sen(𝜃) El emisor describe un movimiento circular Supongamos ahora que el emisor describe una trayectoria circular de radio 𝑅 con velocidad angular 𝜔 constante. El observador en reposo está situado a una distancia 𝑅 del centro de la trayectoria circular, en el origen de ángulos, tal como se muestra en la figura.

En el instante 𝑡 el emisor emite la primera señal que puede corresponder a un máximo de una onda armónica. El observador la escucha en el instante 𝑡1 . Si en el instante 𝑡 la distancia entre el emisor y el observador es 𝑑1 , tendremos 𝑡1 = 𝑡 + (𝑑1 ⁄𝑣𝑠 ) En el instante 𝑡 + 𝑃 se emite la segunda señal. El observador la escucha en el instante 𝑡2 . Si en el instante 𝑡 + 𝑃 la distancia entre el emisor y el observador es 𝑑2 , tendremos que 𝑡2 = 𝑡 + 𝑃 + (𝑑2 ⁄𝑣𝑠 )

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Física de Ondas. Taller de Clase Segundo Parcial 2015-01. El periodo del movimiento ondulatorio armónico medido por el observador es 𝑃′ = 𝑡2 − 𝑡1 = 𝑃 + [(𝑑2 − 𝑑1 )⁄𝑣𝑠 ]

En el triángulo isósceles de la figura, se puede calcular fácilmente, 𝑑1 conocido el radio 𝑅 y el ángulo 𝜔𝑡. 𝑑1 = 2𝑅 sen(𝜔𝑡⁄2) De modo similar se calcula 𝑑2 . 𝑃′ = 𝑃 +

(𝑑2 − 𝑑1 ) 2𝑅 𝜔(𝑡 + 𝑃) 𝜔𝑡 4𝑅 𝜔𝑃 𝜔𝑡 𝜔𝑃 =𝑃+ {sen [ ] − sen ( )} = 𝑃 + sen ( ) cos ( + ) 𝑣𝑠 𝑣𝑠 2 2 𝑣𝑠 4 2 4

Esta fórmula se puede simplificar, si consideramos que 𝜔𝑃 es pequeño y por tanto, podamos escribir sen(𝑥) ≈ 𝑥. 𝑃′ ≈ 𝑃 +

4𝑅 𝜔𝑃 𝜔𝑡 𝑃 𝜔𝑡 ( ) cos ( ) = [𝑣𝑠 + 𝜔𝑅 cos ( )] 𝑣𝑠 4 2 𝑣𝑠 2

La frecuencia es la inversa del periodo 𝑓 ′ = 1⁄𝑃′ 𝑣𝑠 𝑓′ = 𝑓 [ 𝜔𝑡 ] 𝑣𝑠 + 𝜔𝑅 cos ( ) 2 Fórmula aproximada El emisor describe una trayectoria circular de radio R, con velocidad angular ω constante, su posición angular en el instante 𝑡 es 𝜔𝑡, y su velocidad es 𝜔𝑡, tangente a la trayectoria, tal como se muestra en la siguiente figura. La velocidad 𝑣𝐸 es la proyección de la velocidad del emisor sobre la recta que une el emisor y el observador (flecha azul)

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En el triángulo isósceles formado por los dos radios y la línea que une el emisor y el observador, el ángulo 𝛼 vale 𝛼 = (𝜋⁄2) − (𝜔𝑡⁄2). Como 𝑣𝐸 = 𝜔𝑅 cos [(𝜋⁄2) − 𝛼] = 𝜔𝑅 cos(𝜔𝑡⁄2) La fórmula que describe el efecto Doppler que se produce en esta situación es 𝑣𝑠 𝑓′ = 𝑓 [ 𝜔𝑡 ] 𝑣𝑠 + 𝜔𝑅 cos ( ) 2 Cuando 𝜔𝑡 < 𝜋 el emisor se aleja del observador 𝑓 ′ < 𝑓. Cuando 𝜔𝑡 > 𝜋 el emisor se acerca del observador 𝑓 ′ > 𝑓. Cuando 𝜔𝑡 = 𝜋 la línea que une el emisor y el observador es el diámetro horizontal y la proyección de la velocidad del emisor sobre el diámetro es cero. La frecuencia del sonido que escucha el observador es la misma que la que emite la fuente de sonido 𝑓 ′ = 𝑓.

Cuando 𝜔𝑡 = 2𝜋 se produce una discontinuidad. La frecuencia 𝑓 ′ pasa de un máximo (el emisor se acerca al observador) 𝑓′ = 𝑓 [

𝑣𝑠 ] 𝑣𝑠 − 𝜔𝑅

a un mínimo, (el emisor se aleja del observador) Profesores: Andrés Rivera y Julián Fernando Ruiz Roa. Página | 12 .

Física de Ondas. Taller de Clase Segundo Parcial 2015-01. 𝑓′ = 𝑓 [

𝑣𝑠 ] 𝑣𝑠 + 𝜔𝑅

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